Tüm alıştırma soruları

Dik koordinat düzleminde, merkezil birim çember ile $y = 1$ teğet doğrusu verilmiştir.

$\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ olmak üzere, başlangıç kenarı pozitif $x$ -ekseni olan yönlü $\theta$ aç��sının bitim kolunun birim çemberi kestiği nokta $P$ , $y = 1$ doğrusunu kestiği nokta ise $K$ 'dir.

$P$ noktasının $y$ -ekseni üzerindeki dik izdüşümü $H$ ve birim çemberin $y$ -eksenini kestiği pozitif nokta $A(0,1)$ 'dir.

Buna göre, $AHPK$ yamuğunun alanının $\theta$ türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

-\frac{\cot\theta \cos^2\theta}{2}

\frac{\cot\theta \cos^2\theta}{2}

-\frac{\tan\theta \sin^2\theta}{2}

\frac{\tan\theta \sin^2\theta}{2}

-\frac{\cot\theta \sin^2\theta}{2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-\frac{\cot\theta \cos^2\theta}{2}$

Cevap

-\frac{\cot\theta \cos^2\theta}{2}

İkinci bölgede

\cos\theta < 0

ve

\cot\theta < 0

olduğundan, yamuğun taban uzunlukları sırasıyla

-\cos\theta

ve

-\cot\theta

olur. Yükseklik ise

1 - \sin\theta

olarak bulunur. Alan formülü uygulanıp sadeleştirildiğinde alan

-\frac{\cot\theta \cos^2\theta}{2}

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Açının bölgesini ve fonksiyonların işaretlerini belirleme

\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)

olduğundan açı ikinci bölgededir. Bu bölgede

\sin\theta > 0

,

\cos\theta < 0

ve

\cot\theta < 0

olur.

Geometrik uzunluklar daima pozitif olmalıdır. Bu yüzden koordinat değerlerini uzunluğa çevirirken bölgeye göre işaret analizi yapılması gerekir.

2

P

ve

K

noktalarının koordinatlarını bulma

P

noktası birim çember üzerinde olduğundan koordinatları

P(\cos\theta, \sin\theta)

'dir.

K

noktası ise terminal doğrusunun

y = 1

doğrusunu kestiği nokta olduğundan,

y_K = 1

ve

x_K = \cot\theta

olup

K(\cot\theta, 1)

'dir.

Yamuğun köşe koordinatlarını belirlemek, taban ve yükseklik uzunluklarını hesaplamamızı sağlar.

3

Yamuğun taban uzunluklarını ve yüksekliğini hesaplama

Yamuğun tabanları y-eksenine paralel dik izdüşümler arasındaki yatay uzaklıklardır: Üst taban

AK = 0 - \cot\theta = -\cot\theta

, alt taban

HP = 0 - \cos\theta = -\cos\theta

. Yükseklik ise y-ekseni üzerindeki dikey uzaklıktır:

AH = y_A - y_H = 1 - \sin\theta

olarak bulunur.

Yamuğun alan formülü olan

\frac{a+c}{2} \cdot h

ifadesini uygulamak için gerekli tüm geometrik uzunlukları elde etmek.

4

Yamuğun alanını hesaplama ve trigonometrik olarak sadeleştirme

\text{Alan}(AHPK) = \frac{(-\cot\theta) + (-\cos\theta)}{2} \cdot (1 - \sin\theta) = -\frac{\cos\theta(1 + \sin\theta)}{2\sin\theta} \cdot (1 - \sin\theta) = -\frac{\cos\theta(1 - \sin^2\theta)}{2\sin\theta} = -\frac{\cos^3\theta}{2\sin\theta} = -\frac{\cot\theta\cos^2\theta}{2}

Yamuk alan formülünü uygulayıp

\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

özdeşliğini kullanarak en sade hali bulmak.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki noktaların ve teğet doğrularının kestikleri noktaların koordinatlarının trigonometrik fonksiyonlar cinsinden ifade edilmesi ve bölgelere göre işaret analizi.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 1202Soru →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı $f$ fonksiyonunun grafiği orijine göre simetriktir.

Her

x

gerçek sayısı için,

f(x) - 3f(-x) = 4x^3 - 8x

eşitliği sağlanmaktadır.

$g(x) = f(x - 2) + 4$ biçiminde tanımlanan $g$ fonksiyonunun grafiğinin simetri merkezi $A(a, b)$ noktasıdır.

Buna göre, $f(a) + g(b)$ toplamının değeri kaçtır?

4

8

12

60

-12

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

12

f fonksiyonunun grafiği orijine göre simetrik olduğundan f bir tek fonksiyondur. f(-x) = -f(x) yazılıp denklem çözüldüğünde f(x) = x^3 - 2x elde edilir. g(x) = f(x - 2) + 4 fonksiyonunun simetri merkezi, f fonksiyonunun simetri merkezi olan (0, 0) noktasının 2 birim sağa ve 4 birim yukarı ötelenmesiyle (2, 4) olarak bulunur. Buradan a = 2 ve b = 4 elde edilir. f(2) = 4 ve g(4) = f(2) + 4 = 8 değerlerinin toplamı 12 olur.

Adım Adım Çözüm

1

f fonksiyonunun tek/çift olma durumunun belirlenmesi

f fonksiyonunun grafiği orijine göre simetrik olduğundan f bir tek fonksiyondur. Dolayısıyla her x gerçek sayısı için f(-x) = -f(x) eşitliği sağlanır.

Orijine göre simetrik olan fonksiyonlar tek fonksiyondur.

2

f(x) fonksiyonunun kuralının elde edilmesi

f(-x) = -f(x) ifadesi verilen denklemde yerine yazıldığında f(x) - 3(-f(x)) = 4x^3 - 8x elde edilir. Buradan 4f(x) = 4x^3 - 8x ve f(x) = x^3 - 2x olarak bulunur.

Verilen fonksiyonel denklemde tek fonksiyon tanımı kullanılarak bilinmeyen fonksiyonun kuralı elde edilir.

3

g fonksiyonunun simetri merkezinin belirlenmesi

f fonksiyonunun simetri merkezi orijin yani (0, 0) noktasıdır. g(x) = f(x - 2) + 4 fonksiyonunun grafiği, f fonksiyonunun 2 birim sağa ve 4 birim yukarı ötelenmesiyle elde edildiği için g'nin simetri merkezi A(2, 4) olur. Buradan a = 2 ve b = 4 bulunur.

Bir fonksiyonun grafiği ötelendiğinde simetri merkezi de aynı miktarda ötelenir.

4

f(a) ve g(b) değerlerinin hesaplanması ve toplamın bulunması

a = 2 için f(2) = 2^3 - 2(2) = 4 olur. b = 4 için g(4) = f(4 - 2) + 4 = f(2) + 4 = 4 + 4 = 8 olur. Buradan f(a) + g(b) = 4 + 8 = 12 elde edilir.

Bulunan simetri merkezi koordinatları fonksiyon kurallarında yerine yazılarak istenen toplam hesaplanır.

Anahtar Kavram

Tek fonksiyonların simetri özellikleri ve öteleme dönüşümleri altındaki simetri merkezlerinin değişimi.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 1203Soru →

x^2 - 4x - 5 < 0

eşitsizliğini sağlayan kaç farklı

x

tam sayı değeri vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Eşitsizliği sağlayan 5 farklı tam sayı değeri vardır.

Verilen

x^2 - 4x - 5 < 0

eşitsizliğinde ifade

(x-5)(x+1) < 0

olarak çarpanlarına ayrılır. Kökler

-1

ve

5

olup başkatsayı pozitif olduğu için işaret tablosunda kökler arası negatif (

-

) işaretlidir. Dolayısıyla çözüm kümesi

(-1, 5)

açık aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayılar

0, 1, 2, 3, 4

olup 5 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1

x^2 - 4x - 5 = 0

denkleminin köklerini çarpanlara ayırma yöntemiyle bulun.

(x - 5)(x + 1) = 0 \Rightarrow x_1 = -1

ve

x_2 = 5

elde edilir.

Eşitsizlik işaret tablosunun sınır noktalarını belirlemek için öncelikle ifadenin kökleri bulunur.

2

Bulunan köklerle işaret tablosu oluşturun ve ifadenin işaretini inceleyin.

Başkatsayı (

x^2

'nin katsayısı)

+1

(pozitif) olduğundan tablonun en sağından

+

ile başlanır. Köklerden geçildikçe işaret değiştirilir ve tablo

+ \mid - \mid +

şeklinde oluşur. Eşitsizlik

<0

olduğundan negatif bölge olan

(-1, 5)

aralığı çözüm kümesi olarak seçilir.

İkinci dereceden ifadenin hangi aralıklarda negatif değer aldığını belirlemek için işaret incelemesi yapılır.

3

(-1, 5)

açık aralığında yer alan tam sayıları belirleyin ve sayısını bulun.

Bu aralıktaki tam sayılar

0, 1, 2, 3, 4

değerleridir. Toplamda 5 adet tam sayı değeri vardır.

Bizden istenen, eşitsizliği sağlayan tam sayıların adedidir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin çarpanlara ayrılarak köklerinin bulunması ve işaret tablosu yardımıyla çözüm kümesinin belirlenmesi.

Soru 1204Soru →

Eşitsizlik sistemleri konusunu çalışan bir öğrenci, aşağıdaki eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulmak istemektedir:

x^2 - 9 \leq 0

\frac{x - 1}{x + 2} > 0

Buna göre, bu eşitsizlik sistemini sağlayan tüm $x$ tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Eşitsizlik sistemini sağlayan tüm

x

tam sayılarının toplamı 2'dir.

Eşitsizlik sisteminin her iki eşitsizliğini de sağlayan ortak çözüm kümesi

[-3, -2) \cup (1, 3]

olarak bulunur. Bu kümedeki tam sayılar

-3, 2, 3

olup toplamları

2

eder.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci eşitsizliğin çözüm kümesini bulma

x \in [-3, 3]

x^2 - 9 \leq 0

eşitsizliğinin kökleri

x = -3

ve

x = 3

'tür. Başkatsayı pozitif olduğundan

[-3, 3]

aralığında ifade negatif veya sıfırdır.

2

İkinci eşitsizliğin çözüm kümesini bulma

x \in (-\infty, -2) \cup (1, \infty)

\frac{x - 1}{x + 2} > 0

ifadesinin kökleri

x = 1

ve

x = -2

'dir. İşaret tablosu incelendiğinde ifadenin pozitif olduğu bölgeler belirlenir.

3

Ortak çözüm kümesini (kesişimini) belirleme

x \in [-3, -2) \cup (1, 3]

Her iki eşitsizliğin de sağlandığı aralıklar kesiştirilir.

4

Ortak çözüm kümesindeki tam sayıları bulma

-3, 2

ve

3

[-3, -2)

aralığındaki tek tam sayı

-3

'tür (

-2

paydanın kökü olduğu için a��ık aralıktır).

(1, 3]

aralığındaki tam sayılar ise

2

ve

3

'tür (

1

dahil değildir).

5

Tam sayıların toplamını hesaplama

2

Bulunan tam sayı değerleri toplanır:

(-3) + 2 + 3 = 2

.

Anahtar Kavram

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemleri

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 1205Soru →

Analitik düzlemde, $y = x^2 - 2x + 7$ parabolü ile $y = 4x + c$ doğrusu birbirine teğettir. Buna göre, bu parabol ile doğrunun teğet olduğu noktanın apsisi kaçtır?

-3

-1

1

3

4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Parabol ile doğrunun teğet olduğu noktanın apsisi 3'tür.

Parabol ile doğrunun birbirine teğet olması, ortak çözüm denkleminin diskriminantının sıfıra eşit olması anlamına gelir.

x^2 - 2x + 7 = 4x + c

denklemi düzenlendiğinde

x^2 - 6x + (7-c) = 0

elde edilir. Bu denklemin çift katlı kökü, teğet noktasının apsisidir ve

x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2} = 3

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Parabol ve doğrunun denklemlerini birbirine eşitleyerek ortak çözüm denklemini oluşturun.

x^2 - 2x + 7 = 4x + c \Rightarrow x^2 - 6x + (7-c) = 0

Kesişim veya teğetlik noktalarını bulmak için iki fonksiyonun ortak çözümü yapılmalıdır.

2

Teğet olma koşulunu (diskriminantın sıfıra eşit olması) kullanarak ortak çözüm denkleminin çift katlı kökünü hesaplayın.

Çift katlı kök (teğet noktasının apsisi)

x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3

olarak bulunur.

İkinci dereceden bir denklemin diskriminantı sıfır olduğunda, denklemin tek (çift katlı) kökü vardır ve bu kök

-\frac{b}{2a}

formülüyle bulunur.

Anahtar Kavram

Parabol ile doğrunun teğet olması durumunda ortak denklemin tek kökünün (çift katlı kök) bulunması

Soru 1206Soru →

x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)

olmak üzere,

\frac{\sin\left(\frac{11\pi}{2} - x\right) + \cos(900^\circ + x)}{\cos\left(\frac{9\pi}{2} + x\right) - \sin(540^\circ - x)}

ifadesinin en sade hâli aşağıdakilerden hangisidir?

\cot(x)

-\cot(x)

\tan(x)

-\tan(x)

-1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: \cot(x)

Cevap

İfadenin en sade hâli cot(x) değeridir.

Verilen trigonometrik ifadelerin esas ölçüleri bulunup indirgeme formülleri doğru bir şekilde uygulandığında, pay kısmında -2cos(x) ve payda kısmında -2sin(x) ifadeleri elde edilir. Bu iki ifadenin birbirine oranı cos(x)/sin(x) olup, bu da cot(x) ifadesine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1

Pay kısmındaki terimlerin esas ölçülerini bularak indirgeme formüllerini uygulayın.

sin(11pi/2 - x) = sin(3pi/2 - x) = -cos(x) ve cos(900° + x) = cos(180° + x) = -cos(x) elde edilir.

Büyük açıların esas ölçülerini belirlemek ve bölgelere göre işaret analizi yapmak için.

2

Payda kısmındaki terimlerin esas ölçülerini bularak indirgeme formüllerini uygulayın.

cos(9pi/2 + x) = cos(pi/2 + x) = -sin(x) ve sin(540° - x) = sin(180° - x) = sin(x) elde edilir.

Payda kısmındaki trigonometrik oranları en sade hâle getirmek için.

3

Bulunan ifadeleri ana kesirde yerine yerleştirip sadeleştirme işlemini tamamlayın.

[-cos(x) - cos(x)] / [-sin(x) - sin(x)] = -2cos(x) / -2sin(x) = cos(x)/sin(x) = cot(x) bulunur.

İfadenin en sade biçimini bulmak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik ifadelerin bölgelere göre indirgenmesi sürecinde açıların esas ölçüleri bulunur. Açı, yatay eksene (pi veya 180 derece) göre yazıldığında fonksiyonun ismi değişmez; düşey eksene (pi/2 veya 3pi/2) göre yazıldığında ise fonksiyon eş fonksiyonuna (sinüs-kosinüs, tanjant-kotanjant) dönüşür. Her iki durumda da elde edilen yeni terimin işareti, orijinal fonksiyonun o bölgedeki işaretine göre belirlenir.

Soru 1207Soru →

$x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right)$ olmak üzere tanımlanan aşağıdaki $a$ , $b$ ve $c$ ifadelerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe sıralama c < a < b şeklindedir.

Verilen aralıkta ifadeler sadeleştirildiğinde; en küçük değerin negatif ve

-1

'den küçük olan toplam ifadesi, ortanca değerin negatif ancak sıfıra daha yakın olan rasyonel ifade, en büyük değerin ise pozitif olan fark ifadesi olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1

İlk ifadenin (

a

) sadeleştirilmesi

a = \frac{\sin x \cos x}{\sin x + \cos x}

Paydadaki

\tan x - \cot x

ifadesi

\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cos x}

olarak yazılır. Pay ile payda oranlandığında ortak çarpan olan

\sin x - \cos x

sadeleşir.

2

İkinci ifadenin (

b

) sadeleştirilmesi

b = \cos x - \sin x

1 - 2\sin^2 x = \sin^2 x + \cos^2 x - 2\sin^2 x = \cos^2 x - \sin^2 x

özdeşliği kullan��lır. Bu ifade iki kare farkı olarak

(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)

şeklinde yazılıp paydadaki terimle sadeleştirilir.

3

Üçüncü ifadenin (

c

) sadeleştirilmesi

c = \sin x + \cos x

Pay kısmındaki

\sin^4 x - \cos^4 x

ifadesi iki kare farkı olarak

(\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)

şeklinde çarpanlarına ayrılır.

\sin^2 x + \cos^2 x = 1

olduğundan pay

\sin^2 x - \cos^2 x = (\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x)

olur ve paydadaki terimle sadeleşir.

4

İfadelerin işaretlerinin ve büyüklüklerinin bölgelere göre analizi

c < a < b

x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right)

aralığı 3. bölgenin ikinci yarısıdır. Bu aralıkta

-1 < \sin x < -\frac{\sqrt{2}}{2} < \cos x < 0

bağıntısı geçerlidir. Buradan

b = \cos x - \sin x > 0

bulunur.

c = \sin x + \cos x < -1

ve

a = \frac{\sin x \cos x}{\sin x + \cos x} \in (-0.354, 0)

olduğundan

c < a < b

sıralaması elde edilir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik özdeşliklerin sadeleştirilmesi ve birim çember üzerindeki bölgelere göre trigonometrik değerlerin sıralanması.

Soru 1208Soru →

\frac{(x - 2)^2}{x - 5} \leq 0

x - 1 \geq 0

Yukarıda verilen eşitsizlik sisteminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

[1, 5]

[2, 5)

[1, 5)

[1, 2) \cup (2, 5)

[2, 5]

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $[1, 5)$

Cevap

Çözüm kümesi

[1, 5)

yarı açık aralığıdır.

Birinci eşitsizlik olan

\frac{(x-2)^2}{x-5} \leq 0

ifadesinde payın çift katlı kökü

x=2

ve paydanın kökü

x=5

'tir. Paydanın sıfır olamayacağı göz önüne alındığında bu eşitsizliği sağlayan aralık

(-\infty, 5)

olur. İkinci eşitsizlik olan

x - 1 \geq 0

ifadesinden

x \geq 1

yani

[1, \infty)

aralığı elde edilir. İki kümenin kesişimi

[1, 5)

aralığı olduğundan bu aralık doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci eşitsizliği analiz edelim:

\frac{(x-2)^2}{x-5} \leq 0

.

x < 5

elde edilir. Payın kökü olan

x=2

çift katlı köktür. Paydanın kökü

x=5

tek katlı köktür ve payda sıfır olamayacağı için

x \neq 5

olmalıdır.

(x-2)^2

ifadesi her

x

gerçel sayısı için sıfırdan büyük veya eşit olduğundan, ifadenin işareti paydanın işaretine bağlıdır. Eşitsizliğin negatif olması için

x-5 < 0 \Rightarrow x < 5

olmalıdır. Ayrıca eşitlik durumu nedeniyle payı sıfır yapan

x=2

değeri de çözüm kümesine dahildir. Buradan birinci eşitsizliğin çözüm kümesi

(-\infty, 5)

olarak bulunur.

Eşitsizlik sistemindeki birinci ifadenin çözüm aralığını bulmak.

2

İkinci eşitsizliği analiz edelim:

x - 1 \geq 0

.

x \geq 1

elde edilir, yani çözüm kümesi

[1, \infty)

aralığıdır.

Eşitsizlik sistemindeki ikinci ifadenin çözüm aralığını bulmak.

3

Her iki eşitsizliğin çözüm kümelerinin kesişimini alalım.

(-\infty, 5) \cap [1, \infty) = [1, 5)

aralığı elde edilir. Bu aralıkta

x=2

çift katlı kökü de yer aldığı için kümeden herhangi bir eleman çıkarmaya gerek yoktur.

Eşitsizlik sisteminin ortak çözüm kümesini belirlemek.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik sistemlerinin çözümünde, her bir eşitsizliğin ayrı ayrı çözüm kümeleri bulunarak ortak kesişim kümesi elde edilir.

Soru 1209Soru →

Bir $x$ dar açısı $0 < x < \frac{\pi}{4}$ eşitsizliğini sağlamaktadır. Buna göre, aşağıda tanımlanan trigonometrik değerleri en küçükten en büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Doğru sıralama d < a < b < c şeklindedir.

İfadeler en sade hallerine indirgendiğinde

a = -\sin x

,

b = \sin x

,

c = \tan x

ve

d = -\tan x

olarak bulunur.

0 < x < \frac{\pi}{4}

aralığında tüm değerler pozitif olup

\sin x < \tan x

ilişkisi vardır. Buradan hareketle pozitif değerler için

b < c

ve negatif değerler için eşitsizlik yön değiştireceğinden

d < a

sıralaması bulunur. Negatif değerler pozitiflerden her zaman küçük olduğundan genel sıralama

d < a < b < c

şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1

Derece cinsinden verilen

a

ve

c

ifadelerinin açılarını indirgeyiniz.

900^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 180^\circ

olduğundan esas ölçü

180^\circ

’dir. Buradan

a = \sin(180^\circ + x) = -\sin x

bulunur.

c = \tan(x - 540^\circ)

ifadesinde tanjantın periyodu

180^\circ

(veya

\pi

) olduğundan

c = \tan(x - 3 \cdot 180^\circ) = \tan x

elde edilir.

Bölgelere göre indirgeme yapabilmek için öncelikle açıların esas ölçülerini veya periyodik karşılıklarını belirlemek gerekir.

2

Radyan cinsinden verilen

b

ve

d

ifadelerinin açılarını indirgeyiniz.

\frac{13\pi}{2} = 6\pi + \frac{\pi}{2} = 3 \cdot 2\pi + \frac{\pi}{2}

olduğundan esas ölçü

\frac{\pi}{2}

’dir. Dolayısıyla

b = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x

olur.

\frac{7\pi}{2} = 2\pi + \frac{3\pi}{2}

olduğundan esas ölçü

\frac{3\pi}{2}

’dir. Dolayısıyla

d = \cot\left(\frac{3\pi}{2} + x

\right) = -\tan x$ olur.

Radyan cinsinden açıların

\frac{\pi}{2}

veya

\frac{3\pi}{2}

katlarına göre indirgenmesinde fonksiyonların isim değiştireceğini ve açının bulunduğu bölgedeki işaretini belirlemek gerekir.

3

Elde edilen ifadeleri

0 < x < \frac{\pi}{4}

aralığındaki değerlerine göre sıralayınız.

0 < x < \frac{\pi}{4}

aralığında

\sin x

ve

\tan x

değerleri pozitiftir ve

\sin x < \tan x

eşitsizliği geçerlidir.
Pozitif olan terimler karşılaştırıldığında:

0 < b < c

yani

0 < \sin x < \tan x

elde edilir.
Negatif olan terimler karşılaştırıldığında:

\sin x < \tan x

eşitsizliği

-1

ile çarpıldığında yön değiştirir ve

-\tan x < -\sin x

yani

d < a < 0

elde edilir.
Tüm değerler birleştirildiğinde doğru sıralama

d < a < b < c

olur.

Dar açılarda farklı trigonometrik fonksiyonların büyüklük ilişkilerini ve negatif sayıların sıralama kurallarını uygulayarak sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik oranların bölgelere göre indirgenmesi ve dar açılarda sıralama

Soru 1210Soru →

Osmanlı Devleti'nin Kuruluş Dönemi'nde, küçük bir beylikten güçlü bir devlet yapısına geçiş sürecinde idari, hukuki, sosyal ve askeri alanlarda çeşitli teşkilatlanma çalışmaları yapılmıştır. Bu süreçte hem fetihlerin kalıcı kılınması hem de merkezi otoritenin korunması amaçlanmıştır.

Buna göre, Osmanlı Kuruluş Dönemi padişahlarının merkezi yapıyı güçlendirmek ve devlet düzenini korumak amacıyla gerçekleştirdikleri faaliyetlerle ilgili aşağıdaki değerlendirmelerden hangisi doğrudur?

Orhan Bey Dönemi'nde Divan-ı Hümayun'un kurulmasıyla birlikte halkın seçtiği temsilcilerin yer aldığı meclis, yürütme yetkisini padişahtan devralarak meşruti yönetimi başlatmıştır.

Tımar sisteminde dirlik sahiplerine geniş toprakların mülkiyeti verilmiş, böylece Avrupa'dakine benzer bağımsız feodal senyörlerin ve güçlü toprak soylularının ortaya çıkması desteklenmiştir.

I. Murad Dönemi'nde geleneksel veraset anlayışında değişiklik yapılarak ülke topraklarının padişah ve oğullarına ait kabul edilmesi, taht kavgalarını sınırlandırarak merkezi otoriteyi gü��lendirmeyi amaçlamıştır.

Rumeli ve Balkanlar'da fethedilen yerlerdeki gayrimüslim halkı adalet, hoşgörü ve vergi kolaylığıyla devlete bağlamak amacıyla yoğun bir iskân politikası yürütülmüştür.

Padişahların egemenlik yetkisini sınırlayan veraset düzenlemeleriyle Kut inancından kaynaklanan veraset mücadeleleri ve taht kavgaları tamamen ortadan kaldırılmıştır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I. Murad Dönemi'nde geleneksel veraset anlayışında değişiklik yapılarak ülke topraklarının padişah ve oğullarına ait kabul edilmesi, taht kavgalarını sınırlandırarak merkezi otoriteyi gü��lendirmeyi amaçlamıştır.

Cevap

I. Murad Dönemi'nde geleneksel veraset anlayışında değişiklik yapılarak ülke topraklarının padişah ve oğullarına ait kabul edilmesi, taht kavgalarını sınırlandırarak merkezi otoriteyi güçlendirmeyi amaçlamıştır.

Osmanlı Devleti'nde geleneksel Türk devlet geleneğinden gelen 'ülke hanedanın ortak malıdır' anlayışı taht kavgalarını tetiklemekteydi. I. Murad bu anlayışı 'ülke padişah ve oğullarının malıdır' şeklinde değiştirerek taht üzerinde hak iddia edebilecek hanedan üyelerinin sayısını azaltmış, taht kavgalarını sınırlandırmayı ve merkezi otoriteyi güçlendirmeyi amaçlamıştır. Bu değerlendirme tarihsel gerçeklerle tam olarak uyuşmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Kuruluş Dönemi'ndeki veraset sisteminin gelişimini analiz etmek.

Geleneksel olarak 'ülke hanedanın ortak malıdır' olan anlayış, I. Murad döneminde 'ülke padişah ve oğullarının malıdır' şeklinde değiştirilmiştir.

Hükümdarlık hakkı olan kişi sayısını azaltarak taht kavgalarını sınırlandırmak ve merkezi otoriteyi korumak amaçlanmıştır.

2

Diğer seçeneklerde verilen bilgilerin tarihsel ve kavramsal doğruluk durumlarını incelemek.

Diğer seçeneklerde iskân ile istimalet kavramlarının karıştırıldığı, tımar sisteminin feodalizm gibi yorumlandığı, meclis ve meşrutiyet gibi modern kavramların Kuruluş Dönemi'ne uyarlandığı ve taht kavgalarının tamamen bittiği yönünde yanlış genellemeler yapıldığı görülmektedir.

Kuruluş Dönemi teşkilatlanma çalışmalarının amaçlarını ve terimsel anlamlarını doğru ayırt etmek sorunun çözümü için gereklidir.

Anahtar Kavram

Osmanlı veraset sistemindeki değişimler ve kurumsallaşma adımları

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 1211Soru →

k

bir gerçel sayı olmak üzere,

[k, k+3]

kapalı aralığında tanımlı

f(x) = x^2 - 4x + 5

fonksiyonunun alabileceği en büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark

15

’tir.

Buna göre, $k$ sayısının alabileceği farklı değerlerin çarpımı kaçtır?

-9

-6

-2

3

6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -6

Cevap

En büyük değer ile en küçük değer arasındaki farkın 15 olması koşulunu sağlayan farklı k değerlerinin çarpımı -6'dır.

Doğru yanıt olan değer, parabolün tepe noktası olan x = 2 apsisli noktanın sağında ve solunda kalan aralıkların her ikisinin de incelenmesiyle elde edilir. k = 3 durumunda fonksiyon [3, 6] aralığında artandır ve fark 15 olur. k = -2 durumunda ise fonksiyon [-2, 1] aralığında azalandır ve fark yine 15 olur. Bu iki değerin çarpımı -6 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Parabolün tepe noktasını bulma

r = 2

f(x) = x^2 - 4x + 5 parabolünün tepe noktasının apsisi r = -b / (2a) = -(-4) / (2 * 1) = 2 olarak bulunur. a = 1 > 0 olduğundan kollar yukarı doğrudur ve fonksiyon x = 2'de minimum değerini alır.

2

k parametresine bağlı aralık durumlarını belirleme

Üç farklı durum: k >= 2 (artan), k+3 <= 2 (azalan) ve -1 < k < 2 (tepe noktası aralık içinde)

[k, k+3] aralığının tepe noktası olan 2'ye göre konumunu inceleyerek en büyük ve en küçük değerlerin hangi noktalarda oluştuğunu belirlemek gerekir.

3

Aralığın tepe noktasının sağında kalması durumunu (k >= 2) inceleme

k = 3

k >= 2 ise f(x) fonksiyonu [k, k+3] aralığında daima artandır. En küçük değer f(k), en büyük değer f(k+3) olur. Fark: f(k+3) - f(k) = (k+3)^2 - 4(k+3) + 5 - (k^2 - 4k + 5) = 6k - 3 olur. 6k - 3 = 15 denklemi çözüldüğünde k = 3 elde edilir. Bu değer k >= 2 koşulunu sağlar.

4

Aralığın tepe noktasının solunda kalması durumunu (k <= -1) inceleme

k = -2

k+3 <= 2 yani k <= -1 ise f(x) fonksiyonu [k, k+3] aralığında daima azalandır. En büyük değer f(k), en küçük değer f(k+3) olur. Fark: f(k) - f(k+3) = -(6k - 3) = -6k + 3 olur. -6k + 3 = 15 denklemi çözüldüğünde k = -2 elde edilir. Bu değer k <= -1 koşulunu sağlar.

5

Tepe noktasının aralık içinde olması durumunu (-1 < k < 2) inceleme

Reel kök bulunamaz

Bu durumda en küçük değer tepe noktasında oluşur: f(2) = 1. En büyük değer ise sınırlarda oluşur. Tepe noktasına uzak olan sınıra göre maksimum değer f(k) veya f(k+3) olur. (k-2)^2 = 15 veya (k+1)^2 = 15 denklemlerinden gelen kökler aralık sınırlarını sağlamaz.

6

Bulunan k değerlerinin çarpımını hesaplama

3 * (-2) = -6

Koşulları sağlayan k değerleri 3 ve -2'dir. Bu değerlerin çarpımı sorulmuştur.

Anahtar Kavram

Bir parabolün kapalı bir aralıktaki en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için tepe noktasının aralığa göre konumu incelenmelidir. Eğer tepe noktası aralığın dışındaysa fonksiyon o aralıkta monotondur (artan veya azalan); içindeyse en büyük ya da en küçük değer tepe noktasında oluşur.

Soru 1212Soru →

Analitik düzlemde, $y = 2x^2 - ax + 3$ parabolü ile $y = 2x + 1$ doğrusu birbirine teğettir. Buna göre, $a$ gerçek sayısının alabileceği pozitif değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Doğru cevap 2'dir.

Parabol ile doğrunun teğet olması, ortak kesim noktası denkleminin diskriminantının sıfır olması demektir. İki denklemi birbirine eşitlediğimizde elde ettiğimiz

2x^2 - (a+2)x + 2 = 0

denkleminin diskriminantı

\Delta = (a+2)^2 - 16 = 0

olmalıdır. Buradan

(a+2)^2 = 16

olup,

a+2 = 4 \implies a = 2

veya

a+2 = -4 \implies a = -6

bulunur. Pozitif değer istendiği için doğru cevap 2'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Parabol ve doğrunun ortak denklemini oluşturmak

2x^2 - (a+2)x + 2 = 0

denklemi elde edilir.

Parabol ve doğrunun kesişim ya da teğetlik noktalarını bulabilmek için denklemlerinin ortak çözülmesi gerekir.

2

Teğetlik şartını uygulamak

\Delta = [-(a+2)]^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 0

eşitliğinden

(a+2)^2 = 16

elde edilir.

Bir doğru ile parabolün teğet olması, ortak denklemlerinin çift katlı köke sahip olması yani diskriminantının sıfıra eşit olması anlamına gelir.

3

a

parametresinin alabileceği değerleri hesaplamak

a = 2

veya

a = -6

bulunur.

Karesi 16 olan sayılar 4 ve -4 olduğundan

a+2

ifadesi bu sayılara eşitlenerek çözüme gidilir.

4

Koşula uygun değeri belirlemek

a = 2

olarak seçilir.

Soruda

a

sayısının alabileceği pozitif değer istendiği için negatif olan -6 elenir.

Anahtar Kavram

Parabol ile doğrunun birbirine teğet olması durumunda ortak denklemin diskriminantının sıfıra eşit olması

Soru 1213Soru →

Dik koordinat düzleminde, başlangıçta $(0, 20)$ noktasında bulunan $A$ hareketlisi $y$ -ekseni boyunca negatif yönde saniyede $3$ birim sabit hızla, $(-10, 0)$ noktasında bulunan $B$ hareketlisi ise $x$ -ekseni boyunca pozitif yönde saniyede $4$ birim sabit hızla aynı anda harekete başlamıştır.

Buna göre, hareketleri boyunca bu iki hareketli arasındaki mesafe en az kaç birim olur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

İki hareketli arasındaki en kısa mesafe 10 birimdir.

İki hareketli arasındaki mesafenin karesini veren fonksiyon

f(t) = 25t^2 - 200t + 500

şeklindedir. Bu parabolün tepe noktasının apsisi

t = 4

olup, bu değer yerine yazıldığında mesafe en az

\sqrt{f(4)} = 10

birim olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Hareketlilerin

t

saniye sonraki konumlarını koordinat olarak ifade etme

A

hareketlisinin konumu

A(0, 20 - 3t)

,

B

hareketlisinin konumu

B(-10 + 4t, 0)

olur.

Hareketliler sabit hızla hareket ettiklerinden geçen süre ile hızlarının çarpımı aldıkları yolu verir.

2

İki hareketli arasındaki mesafeyi

t

değişkenine bağlı olarak formüle etme

d(t) = \sqrt{(-10 + 4t - 0)^2 + (0 - (20 - 3t))^2} = \sqrt{(-10 + 4t)^2 + (20 - 3t)^2}

Analitik düzlemde iki nokta arasındaki uzaklık formülü

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

şeklindedir.

3

Mesafe fonksiyonunun içindeki ifadeyi düzenleyerek ikinci dereceden fonksiyonu elde etme

f(t) = 16t^2 - 80t + 100 + 9t^2 - 120t + 400 = 25t^2 - 200t + 500

elde edilir.

En küçük değeri bulabilmek için ifadeyi

at^2 + bt + c

biçiminde bir parabol denklemine dönüştürmek gerekir.

4

Parabolün en küçük değerini aldığı tepe noktasının süresini (

t

) bulma

t = r = -\frac{b}{2a} = -\frac{-200}{2 \times 25} = 4

saniye bulunur.

Kolları yukarı doğru olan bir parabol en küçük değerini tepe noktasında (

r, k

) alır.

5

Bulunan

t = 4

değerini mesafe formülünde yerine yazarak en küçük mesafeyi hesaplama

d(4) = \sqrt{25(4)^2 - 200(4) + 500} = \sqrt{100} = 10

birim.

En küçük uzaklığı bulmak için tepe noktasının apsis değeri mesafe fonksiyonunda yerine yazılır.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir fonksiyonun (parabolün) tepe noktasında en küçük veya en büyük değerini alması uygulamaları.

Soru 1214Soru →

Dik koordinat düzleminde, $f(x) = x^2 - 4x + 7$ parabolünün grafiği $a$ birim sağa ve $b$ birim aşağı ötelendiğinde $g(x) = x^2 - 10x + 22$ parabolünün grafiği elde ediliyor.

Buna göre, $a + b$ toplamı kaçtır?

3

5

9

-3

15

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Dokuz

Verilen parabollerin tepe noktaları sırasıyla

T_1(2, 3)

ve

T_2(5, -3)

olarak bulunur. Apsisteki değişim

2 \rightarrow 5

olduğundan grafik

3

birim sağa ötelenmiştir (

a = 3

). Ordinattaki değişim

3 \rightarrow -3

olduğundan grafik

6

birim aşağı ötelenmiştir (

b = 6

). Bu durumda

a + b = 9

olur.

Adım Adım Çözüm

1

f(x) = x^2 - 4x + 7

parabolünün tepe noktasını bulma

f(x) = (x - 2)^2 + 3

biçiminde yazılarak tepe noktası

T_1(2, 3)

olarak elde edilir.

Öteleme hareketini takip edebilmek için başlangıç fonksiyonunun tepe noktasını belirlemeliyiz.

2

g(x) = x^2 - 10x + 22

parabolünün tepe noktasını bulma

g(x) = (x - 5)^2 - 3

biçiminde yazılarak tepe noktası

T_2(5, -3)

olarak elde edilir.

Öteleme sonrasındaki fonksiyonun tepe noktasını bularak iki nokta arasındaki yer değiştirmeyi belirlemeliyiz.

3

Öteleme miktarlarını ve toplamı hesaplama

Apsis

2

'den

5

'e çıktığı için

a = 3

birim sağa öteleme yapılmıştır. Ordinat

3

'ten

-3

'e indiği için

b = 6

birim aşağı öteleme yapılmıştır. Buradan

a + b = 3 + 6 = 9

bulunur.

Sağa öteleme miktarı olan

a

ile aşağı öteleme miktarı olan

b

'yi tespit edip toplamlarını bulmak.

Anahtar Kavram

Parabol grafiklerinde yatay öteleme

f(x-a)

ve dikey öteleme

f(x)+b

dönüşümleri tepe noktasının koordinatları üzerinden incelenebilir.

Soru 1215Soru →

Birim çember üzerinde, üçüncü bölgede yer alan bir $P(a, b)$ noktası, başlangıç kenarı pozitif $x$ -ekseni olan $\theta$ yönlü açısının bitiş kenarı üzerindedir.

\theta \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)

olmak üzere, $\tan\theta - \cot\theta = 1{}5$ eşitliği sağlandığına göre, $a \cdot b$ çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.4

Cevap

P(a, b) noktasının koordinatları çarpımı olan a ve b değerlerinin çarpımı 0,4 olarak elde edilir.

Birim çember tanımına göre çember üzerindeki her

P(a,b)

noktası için

a^2+b^2=1

ilişkisi geçerlidir. Ayrıca bu koordinatlar

a=\cos\theta

ve

b=\sin\theta

değerlerine karşılık gelir. Verilen denklemin çözümünden elde edilen

\tan\theta = 2

değeri, koordinatlar arasında

b = 2a

bağıntısını kurmamızı sağlar. Üçüncü bölgede her iki koordinat da negatif olduğundan

a = -1/\sqrt{5}

ve

b = -2/\sqrt{5}

bulunur. Bu iki değerin çarpımı ise

0,4

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen denklemde

\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}

özdeşliğini yerine yazarak denklemi tek bir değişken cinsinden düzenleyin.

\tan\theta - \frac{1}{\tan\theta} = \frac{3}{2}

eşitliğinin her iki tarafı

2\tan\theta

ile çarpılarak payda eşitlendiğinde

2\tan^2\theta - 3\tan\theta - 2 = 0

ikinci dereceden denklemi elde edilir.

Tanjant ve kotanjant fonksiyonları arasındaki çarpmaya göre tersi olma ilişkisini kullanarak denklemi çözülebilir bir forma getirmek.

2

Elde edilen ikinci dereceden denklemin çarpanlarına ayırarak

\tan\theta

değerini belirleyin.

2\tan^2\theta - 3\tan\theta - 2 = 0 \implies (2\tan\theta + 1)(\tan\theta - 2) = 0

denkleminin kökleri

\tan\theta = -0{}5

ve

\tan\theta = 2

olarak bulunur.

\theta \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)

aralığı üçüncü bölgeyi temsil ettiğinden bu bölgede tanjant fonksiyonu pozitif değer alır. Dolayısıyla

\tan\theta = 2

olmalıdır.

İkinci dereceden denklemi çözmek ve açının bulunduğu bölgeyi göz önüne alarak doğru işarete sahip kökü belirlemek.

3

Birim çember tanımını kullanarak koordinatlar arasındaki ilişkiyi kurun ve koordinatları hesaplayın.

Birim çember üzerindeki bir

P(a, b)

noktası için

a = \cos\theta

ve

b = \sin\theta

yazılabilir. Buradan

\tan\theta = \frac{b}{a} = 2 \implies b = 2a

elde edilir. Birim çember denklemi olan

a^2 + b^2 = 1

eşitliğinde yerine yazıldığında

a^2 + (2a)^2 = 1 \implies 5a^2 = 1 \implies a^2 = \frac{1}{5}

bulunur. Üçüncü bölgede apsis değeri negatif olduğundan

a = -\frac{1}{\sqrt{5}}

ve buna bağlı olarak ordinat değeri

b = 2a = -\frac{2}{\sqrt{5}}

bulunur.

Birim çember üzerindeki noktaların koordinatlarının kareleri toplamının 1 olması kuralını ve bölgeye göre koordinatların işaretlerini uygulamak.

4

Bulunan

a

ve

b

koordinat değerlerini birbiriyle çarpın.

a \cdot b = \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \cdot \left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right) = \frac{2}{5} = 0{}4

bulunur.

Soruda istenen

a \cdot b

çarpım değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki noktaların trigonometrik koordinat gösterimleri ile bölgelere göre trigonometrik fonksiyonların işaretlerinin belirlenmesi.

Soru 1216Soru →

-x^2 + 8x - 16 \geq 0

eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

(-\infty, 4]

[4, \infty)

\{4\}

\varnothing

\mathbb{R}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: \{4\}

Cevap

Çözüm kümesi yalnızca 4 elemanını içeren tek elemanlı kümedir.

Verilen

-x^2 + 8x - 16 \geq 0

eşitsizliğinde sol taraf eksi parantezine alındığında

-(x^2 - 8x + 16) \geq 0

ve buradan da

-(x-4)^2 \geq 0

elde edilir. Her iki taraf

-1

ile çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirir ve

(x-4)^2 \leq 0

olur. Reel sayılarda bir ifadenin karesi daima sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olduğundan, bu eşitsizliğin sağlanabilmesi için tek durum ifadenin sıfıra eşit olmasıdır. Buradan

x - 4 = 0

ve

x = 4

bulunur. Dolayısıyla çözüm kümesi yalnızca tek bir elemandan oluşur ve bu eleman 4'tür.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen eşitsizlikteki ifadeyi eksi parantezine alarak tam kare ifadeye dönüştürün.

-(x^2 - 8x + 16) \geq 0 \Rightarrow -(x-4)^2 \geq 0

ifadesi elde edilir.

İfadenin kökünü ve işaret yapısını daha kolay analiz edebilmek için tam kare biçimine getirmek gerekir.

2

Eşitsizliğin her iki tarafını -1 ile çarparak eşitsizliği yön değiştirin.

(x-4)^2 \leq 0

eşitsizliği elde edilir.

Karesel bir ifadenin i��aretini incelemeyi kolaylaştırmak.

3

Reel sayılarda bir ifadenin karesinin işaretini göz önüne alarak çözüm kümesini belirleyin.

Bir gerçel sayının karesi daima sıfırdan büyük veya sıfıra eşittir. Bu yüzden

(x-4)^2 \leq 0

durumunun sağlanabilmesi için tek olasılık

(x-4)^2 = 0

olmasıdır. Buradan

x = 4

bulunur.

Eşitsizliği sağlayan gerçel sayı değerlerini belirlemek.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde çift katlı köklerin işaret tablosundaki davranışı ve başkatsayı işaretinin tespiti.

Soru 1217Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde, $|AB| = 5\text{ birim}$ , $|AC| = 3\text{ birim}$ ve $m(\widehat{BAC}) = 120^\circ$ olduğuna göre, $|BC|$ uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

BC kenarının uzunluğu 7 birimdir.

Kosinüs teoremi denkleminde

120^\circ

'lik açının kosinüsü

-1/2

olarak yerine yazıldığında, iki negatif işaret birbirini artıya dönüştürür ve

|BC|^2 = 49

elde edilir. Karekökü alındığında kenar uzunluğu 7 birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Kosinüs teoremi formülünü kurma

|BC|^2 = |AB|^2 + |AC|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |AC| \cdot \cos(\widehat{BAC})

İki kenar uzunluğu ve aralarındaki açı verilen bir üçgende karşı kenarı bulmak için kosinüs teoremi uygulanır.

2

Değerleri formüle yerleştirme ve trigonometrik değeri belirleme

|BC|^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot (-1/2)

|AB|=5

,

|AC|=3

,

m(\widehat{BAC})=120^\circ

ve

\cos(120^\circ) = -1/2

değerleri yerine yazılır.

3

İşlemleri tamamlayarak uzunluğu hesaplama

|BC|^2 = 25 + 9 + 15 = 49 \implies |BC| = 7

Negatif işaretlerin çarpımından artı işareti elde edilir ve karekök alınarak sonuç bulunur.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 1218Soru →

\frac{(x^2 - 6x + 8)(x - 5)^2}{x^2 - 9x + 20} \leq 0

\frac{x^2 - 2x - 15}{x + 1} \leq 0

eşitsizlik sistemini sağlayan

x

tam sayılarının toplam�� kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Eşitsizlik sistemini sağlayan

x

tam sayılarının toplamı 5'tir.

Eşitsizlik sisteminin ortak çözüm kümesi

[2, 4) \cup (4, 5)

aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayılar 2 ve 3 olup, toplamları 5'tir.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci eşitsizli��in pay ve paydasındaki ifadeleri çarpanlarına ayıralım.

Pay:

(x-2)(x-4)(x-5)^2

, Payda:

(x-4)(x-5)

olur. Eşitsizlik

\frac{(x-2)(x-4)(x-5)^2}{(x-4)(x-5)} \leq 0

halini alır. Tanımlılık için payda sıfırdan farklı olmalıdır, yani

x \neq 4

ve

x \neq 5

olmalıdır.

Eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi bulunurken öncelikle ifadelerin en sade hali elde edilmeli ve tanımsızlık oluşturan noktalar belirlenmelidir.

2

Birinci eşitsizliği sadeleştirerek çözüm kümesini bulalım.

x \neq 4

ve

x \neq 5

koşulu altında, ortak olan

(x-4)

ve bir adet

(x-5)

çarpanları sadeleşir. Eşitsizlik

(x-2)(x-5) \leq 0

biçimine dönüşür. Buradan çözüm aralığı

[2, 5]

olarak bulunur.

4

ve

5

değerleri hariç tutulduğunda birinci eşitsizliğin çözüm kümesi

Ç_1 = [2, 5) \setminus \{4\}

olur.

Sadeleşen çarpanlar ifadenin işaretini değiştirmese de tanımsızlık sınırlarını belirler.

3

İkinci eşitsizliği çarpanlarına ayıralım ve işaret tablosunu oluşturalım.

Pay çarpanlarına ayrıldığında

(x-5)(x+3)

elde edilir. Eşitsizlik

\frac{(x-5)(x+3)}{x+1} \leq 0

olur. Kökler

x = -3

,

x = -1

(payda kökü, tanımsız) ve

x = 5

şeklindedir. İşaret tablosu yapıldığında negatif olan aralıklar

Ç_2 = (-\infty, -3] \cup (-1, 5]

olarak bulunur.

Rasyonel eşitsizliklerin çözümünde pay ve paydanın kökleri bulunarak işaret tablosu oluşturulur.

4

İki eşitsizliğin çözüm kümelerinin kesişimini alalım.

Ç_1 \cap Ç_2 = [2, 5) \setminus \{4\}

kesişim kümesi elde edilir.

Eşitsizlik sistemlerinde her iki eşitsizliği de aynı anda sağlayan ortak bölge çözüm kümesini oluşturur.

5

Kesişim kümesindeki tam sayıları bulup toplayalım.

[2, 4) \cup (4, 5)

aralığındaki tam sayılar yalnızca

2

ve

3

'tür. Toplamları

2 + 3 = 5

olur.

4

değeri paydayı sıfır yaptığı için,

5

değeri ise birinci eşitsizlikte açık uçlu sınır olduğu için çözüm kümesine dahil edilmez.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik sistemlerinin çözüm kümelerinin bulunması ve rasyonel ifadelerde sadeleştirme yaparken payda köklerinin hariç tutulması.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 1219Soru →

x^2 - 6x + 9 \le 0

eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi boş kümedir.

Doğru

Yanlış

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen eşitsizliğin çözüm kümesi boş küme değil, tek elemanlı olan

\{3\}

kümesidir. Bu nedenle önerme yanlıştır.

Verilen önerme yanlıştır çünkü

x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2

ifadesi her

x

gerçel sayısı için pozitif veya sıfıra eşittir. Eşitsizlikte 'küçük veya eşit' (

\le

) sembolü kullanıldığı için ifadenin sıfır olduğu

x = 3

değeri eşitsizliği sağlar. Bu sebeple çözüm kümesi

\{3\}

kümesidir ve boş küme değildir.

Adım Adım Çözüm

1

Eşitsizlikteki ikinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayırın.

x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2

tam kare ifadesi elde edilir.

İfadenin köklerini ve işaret durumunu incelemek için çarpanlarına ayırma işlemi yapılır.

2

Eşitsizliği sağlayan kökleri belirleyin.

(x - 3)^2 = 0 \Rightarrow x = 3

(çift katlı kök).

Tam kare ifadelerin kökleri çift katlı köktür ve işaret tablosunda işaret değişimi yaratmaz.

3

Kök değerinin eşitsizlik şartını sağlayıp sağlamadığını kontrol edin.

x = 3

için

(3 - 3)^2 = 0 \le 0

sağlandığından,

x = 3

değeri çözüm kümesine dahildir.

Eşitsizlikte 'küçük veya eşit' (

\le

) sembolü kullanıldığı için sıfır yapan değer çözüm kümesine eklenmelidir.

4

Çözüm kümesini tanımlayın ve önermenin doğruluğunu belirleyin.

Çözüm kümesi

\{3\}

olarak bulunur. Küme boş olmadığından önerme yanlıştır.

Önerme çözüm kümesinin boş küme olduğunu iddia etmektedir, bu iddia gerçeği yansıtmamaktadır.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde tam kare ifadeler, çift katlı kökler ve eşitlik durumunun çözüm kümesine etkisi.

Soru 1220Soru →

$x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ olmak üzere,

a = \frac{\cos(x) \tan(x) \csc^2(x) - \sin(x)}{\csc^2(x) - 1}

b = \frac{\tan(x) - \sin(x)\cos(x)}{\sin^2(x)}

c = \frac{\sin^3(x) + \cos^3(x)}{1 - \sin(x)\cos(x)}

ifadeleri tanımlanıyor.

Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

a < b < c

b < a < c

a < c < b

c < a < b

b < c < a

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $a < b < c$

Cevap

a < b < c

(sinüs değerinin tanjant değerinden, tanjant değerinin de sinüs ile kosinüs toplamından küçük olduğu sıralama)

Verilen cebirsel trigonometrik ifadeler sadeleştirildiğinde

a = \sin(x)

,

b = \tan(x)

ve

c = \sin(x) + \cos(x)

değerleri bulunur.

0 < x < \frac{\pi}{4}

aralığında,

\sin(x) < \tan(x) < 1

eşitsizliği geçerlidir. Diğer taraftan, aynı aralıkta yer alan açıların sinüs ve kosinüs toplamları daima

1

den büyük bir değere sahip olduğundan en büyük değer

c

olur. Bu durumda doğru sıralama küçükten büyüğe doğru

a < b < c

şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1

a

ifadesini trigonometrik özdeşlikler yardımıyla sadeleştirelim.

a = \sin(x)

a

ifadesinin payındaki

\cos(x) \tan(x) = \sin(x)

yazımı kullanılır. Buradan pay kısmı

\sin(x) \csc^2(x) - \sin(x) = \csc(x) - \sin(x) = \frac{1}{\sin(x)} - \sin(x) = \frac{1 - \sin^2(x)}{\sin(x)} = \frac{\cos^2(x)}{\sin(x)}

olur. Paydada ise

\csc^2(x) - 1 = \cot^2(x) = \frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)}

özdeşliği yerine konulur. İfadeler birbirine oranlandığında

\frac{\cos^2(x)}{\sin(x)} \cdot \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \sin(x)

elde edilir.

2

b

ifadesini sadeleştirelim.

b = \tan(x)

b

ifadesinin payındaki

\tan(x) - \sin(x)\cos(x)

terimi

\sin(x)

parantezine alınırsa

\sin(x)\left(\frac{1}{\cos(x)} - \cos(x)\right) = \sin(x)\left(\frac{1 - \cos^2(x)}{\cos(x)}\right) = \frac{\sin^3(x)}{\cos(x)}

elde edilir. Bu ifade paydadaki

\sin^2(x)

terimine bölündüğünde

\frac{\sin^3(x)}{\cos(x) \sin^2(x)} = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \tan(x)

sonucuna ulaşılır.

3

c

ifadesini sadeleştirelim.

c = \sin(x) + \cos(x)

c

ifadesinin payındaki iki küp toplamı ifadesi

\sin^3(x) + \cos^3(x) = (\sin(x) + \cos(x))(\sin^2(x) - \sin(x)\cos(x) + \cos^2(x))

şeklinde çarpanlarına ayrılır.

\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1

olduğu bilindiğinden, pay kısmı

(\sin(x) + \cos(x))(1 - \sin(x)\cos(x))

halini alır. Paydadaki

1 - \sin(x)\cos(x)

terimiyle sadeleşme yapıldığında geriye sadece

\sin(x) + \cos(x)

kalır.

4

Sadeleşen

a = \sin(x)

,

b = \tan(x)

ve

c = \sin(x) + \cos(x)

değerlerini

x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)

aralığı için karşılaştıralım.

a < b < c

Birinci bölgenin ilk yarısında (

0 < x < 45^\circ

) kosinüs değeri sinüs değerinden büyüktür (

0 < \sin(x) < \cos(x) < 1

).

\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}

tanımında payda

1

den küçük pozitif bir sayı olduğundan

\tan(x) > \sin(x)

yani

b > a

olur. Ayrıca bu aralıkta

\tan(x) < \tan(45^\circ) = 1

iken

\sin(x) + \cos(x) = \sqrt{2}\sin(x + 45^\circ) > 1

(çünkü

45^\circ < x + 45^\circ < 90^\circ

aralığında sinüs değeri

\frac{\sqrt{2}}{2}

den büyüktür) sağlanır. Buradan

c > 1

ve

b < 1

olduğundan

a < b < c

sıralaması kesinleşir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Dar Açılarda Sıralama

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram