Tüm alıştırma soruları

Tanımlı olduğu $x$ gerçel sayı değerleri için,

\frac{\cos\left(\frac{7\pi}{2} - x\right) + \sin(x - 5\pi)}{\sin\left(\frac{11\pi}{2} + x\right) + \cos(3\pi - x)}

ifadesinin en sade hâli aşağıdakilerden hangisidir?

-\tan(x)

\cot(x)

\tan(x)

-\cot(x)

-1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\tan(x)$

Cevap

\tan(x)

İfadenin payı sadeleştirildiğinde

-2\sin(x)

, paydası ise

-2\cos(x)

olarak elde edilir. Bu iki değerin birbirine bölünmesiyle

\frac{-2\sin(x)}{-2\cos(x)} = \tan(x)

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Pay kısmındaki

\cos\left(\frac{7\pi}{2} - x\right)

ve

\sin(x - 5\pi)

ifadelerini indirgeyiniz.

\cos\left(\frac{7\pi}{2} - x\right) = -\sin(x)

ve

\sin(x - 5\pi) = -\sin(x)

olur. Buradan pay kısmı

-\sin(x) + (-\sin(x)) = -2\sin(x)

olarak bulunur.

\frac{7\pi}{2}

açısının esas ölçüsü

\frac{3\pi}{2}

'dir. Açı üçüncü bölgede olduğundan kosinüsün işareti negatif olur ve

\frac{\pi}{2}

'nin tek katı kullanıldığı için fonksiyon sinüse dönüşür.

x - 5\pi

açısı ise esas ölç��süne tamamlandığında

x + \pi

olur; bu üçüncü bölgede sinüs negatiftir ve fonksiyon ismi değişmez.

2

Payda kısmındaki

\sin\left(\frac{11\pi}{2} + x\right)

ve

\cos(3\pi - x)

ifadelerini indirgeyiniz.

\sin\left(\frac{11\pi}{2} + x\right) = -\cos(x)

ve

\cos(3\pi - x) = -\cos(x)

olur. Buradan payda kısmı

-\cos(x) + (-\cos(x)) = -2\cos(x)

olarak bulunur.

\frac{11\pi}{2}

açısının esas ölçüsü

\frac{3\pi}{2}

'dir. Açı dördüncü bölgede olduğundan sinüsün işareti negatif olur ve

\frac{\pi}{2}

'nin tek katı kullanıldığı için fonksiyon kosinüse dönüşür.

3\pi - x

açısının esas ölçüsü

\pi - x

olup ikinci bölgede kosinüs negatiftir ve fonksiyon ismi değişmez.

3

Bulunan pay ve payda değerlerini oranlayarak ifadeyi sadeleştiriniz.

\frac{-2\sin(x)}{-2\cos(x)} = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \tan(x)

olarak elde edilir.

Pay ve paydadaki

-2

katsayıları sadeleşir. Kalan

\frac{\sin(x)}{\cos(x)}

oranı tanım gereği tanjant fonksiyonuna eşittir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik oranların

\pi

ve

\frac{\pi}{2}

'nin katları kullanılarak bölgelere göre indirgenmesi ve bu işlemlerde işaret ve isim değişikliği kurallarının uygulanması.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 1182Soru →

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı,

\frac{(2-x) \cdot (x^2 - x - 12)^2}{x^2 - 5x + 6} \ge 0

eşitsizliğini sağlayan en büyük 4 farklı

x

tam sayısının toplamı kaçtır?

-2

2

4

7

10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Eşitsizliği sağlayan en büyük 4 farklı tam sayının toplamı 4'tür.

Eşitsizliğin çözüm kümesi analiz edildiğinde, sadeleşen

x = 2

kökü ve paydadaki

x = 3

kökü tanımsızlık nedeniyle kümeden atılmalıdır. Karesel ifadenin kökleri olan

x = -3

ve

x = 4

çift katlı köklerdir. Yapılan işaret tablosuna göre çözüm kümesi

(-\infty, 3) \setminus \{2\} \cup \{4\}

şeklinde belirlenir. Bu aralıktaki en büyük dört farklı tam sayı sırasıyla

4

,

1

,

0

ve

-1

olup toplamları

4

'tür.

Adım Adım Çözüm

1

Eşitsizlikte yer alan tüm çarpanların köklerini ve bu köklerin katlılık durumlarını (tek veya çift katlı kök) belirleyin.

Paydaki

2-x = 0 \implies x=2

(tek katlı kök);

(x^2-x-12)^2 = 0 \implies x=4

ve

x=-3

(her ikisi de karesi alındığı için çift katlı kök). Paydadaki

x^2-5x+6 = 0 \implies (x-2)(x-3)=0 \implies x=2

ve

x=3

(her ikisi de tek katlı kök) elde edilir.

İşaret tablosu oluşturabilmek için kritik noktaların tespit edilmesi gerekir.

2

Aynı kökten hem pay hem de paydada bulunup bulunmadığını kontrol ederek sadeleştirme veya katlılık durumunu güncelleyin ve tanımsızlık koşullarını belirleyin.

x = 2

kökü hem pay hem de paydada mevcuttur. Eşitsizlikte paydada olduğu için

x \neq 2

olmalıdır.

x \neq 2

için

\frac{2-x}{x-2} = -1

olup bu ifade işaret değiştirmeyen sabit bir çarpan gibi davranır.

x = 3

paydanın kökü olup

x \neq 3

olmalıdır.

x = 4

ve

x = -3

payın çift katlı kökleridir.

Paydanın kökleri çözüm kümesine dahil edilemez ve ortak kökler işaret tablosunu doğrudan etkiler.

3

İşaret tablosunu oluşturun ve eşitsizliğin sıfırdan büyük veya eşit olduğu aralıkları ve noktaları belirleyin.

En sağdaki aralıkta (

x > 4

) ifadenin işareti negatif (

-

) ile başlar. İşaret tablosu sırasıyla:

x > 4 \implies -

;

x = 4

(çift katlı dahil)

\implies 0

;

3 < x < 4 \implies -

;

x = 3

(tek katlı hariç)

\implies

tanımsız;

2 < x < 3 \implies +

;

x = 2

(sadeleşen tanımsız hariç)

\implies

tanımsız;

-3 < x < 2 \implies +

;

x = -3

(çift katlı dahil)

\implies 0

;

x < -3 \implies +

şeklindedir. Buradan çözüm kümesi

S = (-\infty, 3) \setminus \{2\} \cup \{4\}

olarak elde edilir.

Eşitsizliğin sağlandığı aralıkları ve tek tek sağlayan kökleri doğru tespit etmek gerekir.

4

Çözüm kümesinde yer alan en büyük 4 farklı tam sayıyı bulun ve bunları toplayın.

Çözüm kümesindeki en büyük tam sayılar sırasıyla

4

,

1

(çünkü

3

ve

2

tanımsız olduğundan hariçtir),

0

ve

-1

şeklindedir. Bu sayıların toplamı

4 + 1 + 0 + (-1) = 4

olur.

Soruda istenen nihai sonuca ulaşmak için en büyük tam sayıların doğru sıralanıp toplanması gerekir.

Anahtar Kavram

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler

Soru 1183Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve çift olan bir $f$ fonksiyonunun grafiğinin $x$ eksenini kestiği noktaların apsisleri $-5, -2, 2$ ve $5$ 'tir. Bu fonksiyonun en büyük değeri $4$ olup bu değeri $x = 0$ noktasında almaktadır.

Bu

f

fonksiyonu kullanılarak,

g(x) = f(x - 3) + 2

h(x) = f(x + 1) - 1

fonksiyonları tanımlanıyor.

Buna göre;
I. $g(x)$ fonksiyonunun grafiği, $f(x)$ fonksiyonunun grafiğinin $x$ ekseni boyunca sola 3 birim ve $y$ ekseni boyunca yukarı 2 birim ötelenmesiyle elde edilir.
II. $h(x)$ fonksiyonunun grafiği $x = -1$ doğrusuna göre simetriktir.
III. $f(x)$ fonksiyonu $[0, 2]$ aralığında azalan ise, $g(x)$ fonksiyonu $[1, 3]$ aralığında artandır.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Yalnız II

I ve II

I ve III

II ve III

I, II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: II ve III

Cevap

II ve III

Doğru yanıt olan seçenek II ve III öncüllerini içermektedir. I. öncülde verilen sola öteleme ifadesi yanlıştır çünkü

f(x - 3)

dönüşümü grafiği sağa öteler. II. öncülde çift fonksiyonun

x = 0

doğrusuna göre olan simetrisinin, sola 1 birim ötelenerek

x = -1

doğrusuna taşındığı doğru ifade edilmiştir. III. öncülde çift fonksiyonun simetrisinden dolayı

[-2, 0]

aralığında artan olduğu ve sağa 3 birim öteleme ile bu artanlığın

[1, 3]

aralığına taşındığı doğru analiz edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1

I. öncülün analiz edilmesi ve öteleme yönünün belirlenmesi

I. öncül yanlıştır.

g(x) = f(x - 3) + 2

fonksiyonu,

f(x)

fonksiyonunun grafiğinin

x

ekseni boyunca pozitif yönde (sağa doğru) 3 birim ve

y

ekseni boyunca pozitif yönde (yukarı doğru) 2 birim ötelenmesiyle elde edilir. Öncüldeki 'sola 3 birim' ifadesi yatay öteleme yönünün ters alınmasından dolayı hatalıdır.

2

II. öncülün simetri ekseni değişimi üzerinden incelenmesi

II. öncül doğrudur.

f(x)

çift bir fonksiyon olduğundan grafiği y-eksenine (

x = 0

doğrusuna) göre simetriktir.

h(x) = f(x + 1) - 1

fonksiyonu tanımlanırken,

f(x)

grafiği

x

ekseni boyunca sola 1 birim kaydırılır. Bu durum simetri eksenini de sola 1 birim kaydırarak

x = -1

doğrusu yapar. Dikey eksendeki

-1

birimlik öteleme ise düşey simetri ekseninin konumunu değiştirmez.

3

III. öncülün çift fonksiyon simetrisi ve öteleme ile monotonicity ilişkisi üzerinden incelenmesi

III. öncül doğrudur.

f(x)

çift fonksiyonu

[0, 2]

aralığında azalan ise, y-eksenine göre simetrik olmasından dolayı

[-2, 0]

aralığında artan olmak zorundadır.

g(x) = f(x - 3) + 2

fonksiyonunun grafiği,

f(x)

'in sağa 3 birim ötelenmiş hali olduğundan,

f(x)

'in

[-2, 0]

aralığındaki artanlık özelliği

g(x)

için

[-2 + 3, 0 + 3] = [1, 3]

aralığına taşınır. Dolayısıyla

g(x)

fonksiyonu

[1, 3]

aralığında artandır.

Anahtar Kavram

Tek ve çift fonksiyonların simetri özellikleri ile dikey ve yatay öteleme dönüşümlerinin fonksiyonların tanım kümesi ve monotonicity (artanlık/azalanlık) üzerindeki etkileri.

Soru 1184Soru →

Dik koordinat düzleminde, $[-4, 4]$ kapalı aralığında tanımlı $y = f(x)$ fonksiyonunun grafiği doğrusal parçalardan oluşmakta olup tepe noktası $(0, 4)$ , $x$ -eksenini kestiği noktalar ise $(-4, 0)$ ve $(4, 0)$ 'dır.

a

ve

b

pozitif gerçek sayılar olmak üzere,

[-2, 2]

kapalı aralı��ında tanımlı

g(x) = a \cdot f(b \cdot x)

fonksiyonunun alabileceği en büyük değer

6

olarak veriliyor.

Buna göre, dik koordinat düzleminde $y = f(x)$ ve $y = g(x)$ grafiklerinin her ikisinin de altında kalan ve $x$ -ekseni ile sınırlanan ortak bölgenin alanı kaç birimkaredir?

5

8

10

12

16

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Ortak bölgenin alanı 10 birimkaredir.

Doğru yanıt olan 10 değeri,

g(x) = 1,5 \cdot f(2x)

dönüşümüyle elde edilen grafiğin

f(x)

ile

[-2, 2]

aralığındaki kesişim noktalarının

x = \pm 1

olduğu belirlendikten sonra,

[0, 1]

aralığında

f(x)

'in altında kalan alan (3,5 birimkare) ile

[1, 2]

aralığında

g(x)

'in altında kalan alanın (1,5 birimkare) toplamının iki katı alınarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

f(x)

fonksiyonunun kuralını belirleme

f(x) = 4 - |x|

(veya

x \ge 0

için

f(x) = 4 - x

,

x < 0

için

f(x) = 4 + x

)

Dönüşüm uygulanacak olan ana fonksiyonun cebirsel ifadesini elde etmek için

2

g(x)

fonksiyonunun tanım kümesinden faydalanarak

b

katsayısını bulma

b = 2

f(x)

'in tanım kümesi

[-4, 4]

ve

g(x) = a \cdot f(b \cdot x)

'in tanım kümesi

[-2, 2]

olduğundan, sınırların

b

katı orijinal sınırlara eşit olmalıdır:

b \cdot 2 = 4 \implies b = 2

.

3

g(x)

'in en büyük değerinden faydalanarak

a

katsayısını bulma

a = 1,5

f(x)

fonksiyonunun alabileceği en büyük değer

f(0) = 4

olduğundan,

g(x) = a \cdot f(2x)

fonksiyonunun en büyük değeri

g(0) = a \cdot f(0) = 4a

olur.

4a = 6 \implies a = 1,5

bulunur.

4

g(x)

fonksiyonunun cebirsel ifadesini yazma

g(x) = 1,5 \cdot (4 - |2x|) = 6 - 3|x|

a

ve

b

değerlerini yerine yazarak dönüşüme uğramış fonksiyonu elde etmek için

5

Grafiklerin kesişim noktasını bulma

x \ge 0

için kesişim noktası

x = 1

,

y = 3

'tür.

Hangi aralıklarda hangi fonksiyonun daha altta (ortak bölgenin üst sınırı) olduğunu belirlemek için:

4 - x = 6 - 3x \implies 2x = 2 \implies x = 1

.

6

Ortak bölgenin alanını hesaplama

Alan = 10 birimkare

Grafikler

y

-eksenine göre simetrik olduğundan

x \ge 0

bölgesindeki alanın 2 katını alırız.

[0, 1]

aralığında altta kalan fonksiyon

f(x)

,

[1, 2]

aralığında ise

g(x)

'tir. Birinci bölgedeki alan:

\int_0^1 (4 - x) \, dx + \int_1^2 (6 - 3x) \, dx = 3,5 + 1,5 = 5

birimkaredir. Tüm alan ise

2 \cdot 5 = 10

birimkare olur.

Anahtar Kavram

Fonksiyonların yatay ve dikey yönde esnetilmesi/sıkıştırılması dönüşümlerinin fonksiyon grafiği, tanım kümesi ve görüntü kümesi üzerindeki etkileri

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 1185Soru →

Aşağıda verilen $a$ , $b$ ve $c$ trigonometrik değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama

b < a < c

şeklindedir.

Verilen değerlerin işaretleri incelendiğinde

b

değerinin negatif,

a

ve

c

değerlerinin ise pozitif olduğu görülür. Buradan en küçük değerin

b

olduğu anlaşılır. Pozitif olan

a

ve

c

değerleri birinci bölgeye indirgendiğinde

a = \sin(20^\circ)

ve

c = \tan(40^\circ)

olur. Birinci bölgede

\sin(20^\circ) < \tan(40^\circ)

bağıntısı geçerli olduğundan

a < c

elde edilir. Bu durumları birleştirdiğimizde doğru sıralama

b < a < c

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

a

,

b

ve

c

değerlerinin açılarını bulundukları bölgelere göre inceleyip işaretlerini belirleyelim.

160^\circ

ikinci bölgede olduğundan

a = \sin(160^\circ) > 0

(pozitif),

250^\circ

üçüncü bölgede olduğundan

b = \cos(250^\circ) < 0

(negatif) ve

220^\circ

üçüncü bölgede olduğundan

c = \tan(220^\circ) > 0

(pozitif) olur. Buradan negatif olan

b

değerinin en küçük olduğu tespit edilir.

Farklı bölgelerdeki trigonometrik değerleri sıralarken işaret analizi yapmak kıyaslamayı büyük ölçüde kolaylaştırır.

2

Pozitif olan

a

ve

c

değerlerini kıyaslayabilmek için açıları birinci bölgeye indirgeyelim.

a = \sin(160^\circ) = \sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin(20^\circ)

ve

c = \tan(220^\circ) = \tan(180^\circ + 40^\circ) = \tan(40^\circ)

eşitlikleri elde edilir.

Pozitif değerleri büyüklük yönünden karşılaştırmak için hepsini dar açı (birinci bölge) cinsinden ifade etmek gerekir.

3

Birinci bölgedeki

\sin(20^\circ)

ile

\tan(40^\circ)

değerlerini karşılaştıralım.

Birinci bölgede (

0^\circ < x < 90^\circ

) her

x

açısı için

\sin(x) < \tan(x)

eşitsizliği geçerlidir. Ayrıca açı büyüdükçe sinüs ve tanjant değerleri artar. Bu durumda

\sin(20^\circ) < \sin(40^\circ) < \tan(40^\circ)

olduğundan

a < c

elde edilir. Negatif olan

b

en küçük olduğuna göre doğru sıralama

b < a < c

olur.

Birinci bölgedeki trigonometrik fonksiyonların artış eğilimlerini ve birbirleriyle olan büyüklük ilişkilerini kullanarak sıralamayı tamamlamak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Değerlerin Sıralanması ve Bölgelere Göre İndirgeme

Soru 1186Soru →

Analitik düzlemde, $y = x^2 - 4x + 5$ parabolü ile $y = mx - 4$ doğrusu verilmiştir. Bu doğru parabolü iki farklı $A$ ve $B$ noktasında kesmektedir. $A$ ve $B$ noktalarından parabole çizilen teğet doğruları bir $P$ noktasında kesişmektedir. $P$ noktasının ordinatı $-2$ olduğuna göre, $m$ sayısının alabileceği pozitif değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Ortak çözüm denkleminin kökleri kesişim noktalarının apsislerini verir. Teğetlerin kesişim noktasının ordinatının kökler toplamı ve çarpımı cinsinden ifadesi olan

y_p = x_1 x_2 - 2(x_1 + x_2) + 5

denkleminde değerler yerine yazılıp

-2

'ye eşitlendiğinde pozitif

m

değeri

4

olarak bulunur.

Ortak çözüm denkleminin kökleri kesişim noktalarının apsislerini verir. Teğetlerin kesişim noktasının ordinatının kökler toplamı ve çarpımı cinsinden ifadesi olan

y_p = x_1 x_2 - 2(x_1 + x_2) + 5

denkleminde değerler yerine yazılıp

-2

'ye eşitlendiğinde pozitif

m

değeri

4

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Parabol ile doğrunun kesim noktalarını bulmak için ortak çözüm denklemini yazın.

x^2 - 4x + 5 = mx - 4 \implies x^2 - (m+4)x + 9 = 0

denklemi elde edilir.

Kesişim noktalarının koordinatlarını belirlemek ve kökler toplamı ile çarpımını bulmak için ortak denklem gereklidir.

2

Ortak çözüm denkleminin kökleri olan

x_1

ve

x_2

için Vieta bağıntılarını kullanarak kökler toplamı ve çarpımını bulun.

x_1 + x_2 = m+4

ve

x_1 x_2 = 9

olarak bulunur.

Kesişim noktalarının apsisleri arasındaki ilişkiler, teğetlerin kesişim noktasını bulmada kullanılacaktır.

3

Parabolün üzerindeki

A(x_1, y_1)

ve

B(x_2, y_2)

noktalarından çizilen teğetlerin denklemlerini türev yardımıyla yazın.

Teğet denklemleri

y = (2x_1 - 4)x - x_1^2 + 5

ve

y = (2x_2 - 4)x - x_2^2 + 5

şeklinde elde edilir.

Teğetlerin kesişim noktası olan

P(x_p, y_p)

koordinatlarını bulmak için teğet denklemlerine ihtiyaç vardır.

4

Teğet denklemlerini birbirine eşitleyerek kesişim noktasının apsisi

x_p

ve ordinatı

y_p

değerlerini

x_1

ve

x_2

cinsinden bulun.

x_p = \frac{x_1 + x_2}{2}

ve

y_p = x_1 x_2 - 2(x_1 + x_2) + 5

bağıntıları elde edilir.

Kesişim noktasının ordinatının genel ifadesini belirleyip

m

parametresine bağlamak için bu sadeleştirme yapılır.

5

y_p

ifadesinde kökler toplamı ve çarpımını yerine yazarak

m

değerini hesaplayın.

y_p = 9 - 2(m+4) + 5 = 6 - 2m

olur. Kesişim noktasının ordinatı

-2

olarak verildiğinden,

6 - 2m = -2 \implies m = 4

bulunur.

Soruda verilen ordinat değeri yardımıyla bilinmeyen

m

parametresini çözmek için denklem kurulur.

Anahtar Kavram

Parabol ile doğrunun kesişim noktalarından parabole çizilen teğetlerin kesişim noktasının koordinatları, kesişim noktalarının apsisleri toplamı ve çarpımı cinsinden ifade edilebilir.

Soru 1187Soru →

Her

x

açısı için,

\sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) + \cos(\pi - x)

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

2\cos(x)

0

-2\cos(x)

-2\sin(x)

2\sin(x)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-2\cos(x)$

Cevap

-2\cos(x)

Doğru cevap olan

-2\cos(x)

ifadesi, trigonometrik indirgeme kurallarının her iki terim için de hatasız uygulanmasıyla bulunur. IV. bölgedeki sinüs değerinin işareti negatif olup isim değişir ve

-\cos(x)

elde edilir; II. bölgedeki kosinüs değerinin işareti negatif olup isim değişmez ve

-\cos(x)

elde edilir. Toplamları

-2\cos(x)

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

\sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right)

ifadesi sadeleştirilir.

\sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\cos(x)

\frac{3\pi}{2} + x

açısı koordinat düzleminin IV. bölgesindedir. IV. bölgede sinüsün işareti negatif (

-

) olup, açı

\frac{3\pi}{2}

referansıyla yazıldığı i��in fonksiyon isim değiştirerek kosinüse dönüşür.

2

\cos(\pi - x)

ifadesi sadeleştirilir.

\cos(\pi - x) = -\cos(x)

\pi - x

açısı II. bölgededir. II. bölgede kosinüsün işareti negatif (

-

) olup, açı

\pi

referansıyla yazıldığı için fonksiyon isim değiştirmez.

3

Elde edilen indirgenmiş ifadeler toplanır.

-\cos(x) + (-\cos(x)) = -2\cos(x)

Toplama işlemiyle ifadenin en sade hali elde edilir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 1188Soru →

x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right)

olmak üzere,

a = \sin(810^\circ - x)

b = \cos(7\pi + x)

c = \tan(x - 270^\circ)

olarak veriliyor.

Buna göre;

a

,

b

ve

c

değerlerini küçükten büyüğe do��ru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

c < a < b

Verilen ifadeler sadeleştirildiğinde

a = \cos(x)

,

b = -\cos(x)

ve

c = -\cot(x)

elde edilir.

x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right)

aralığında kosinüs değeri

-1

ile

-0.707

arasındadır. Dolayısıyla

a

negatif bir değerdir.

b

ise negatif bir değerin eksiyle çarpımı olduğundan pozitif bir değerdir. Bu aralıkta kotanjant değeri

1

'den büyüktür, dolayısıyla

c = -\cot(x)

değeri

-1

'den küçüktür. Bu durumda en küçük değer

-1

'den küçük olan c, ardından sıfıra daha yakın negatif değer olan a ve en büyük değer ise pozitif olan b'dir.

Adım Adım Çözüm

1

a ifadesini sadeleştirin.

a = \sin(810^\circ - x) = \sin(90^\circ - x) = \cos(x)

810^\circ

açısının esas ölçüsü

90^\circ

'dir (

810^\circ - 2 \cdot 360^\circ = 90^\circ

). Birinci bölgede sinüs fonksiyonu kosinüse dönüşür.

2

b ifadesini sadeleştirin.

b = \cos(7\pi + x) = \cos(\pi + x) = -\cos(x)

7\pi

açısının esas ölçüsü

\pi

'dir. Üçüncü bölgede kosinüs fonksiyonu negatif işaretlidir.

3

c ifadesini sadeleştirin.

c = \tan(x - 270^\circ) = \tan(x + 90^\circ) = -\cot(x)

x - 270^\circ

açısına

360^\circ

eklenerek esas ölçüsü

x + 90^\circ

bulunur. İkinci bölgede tanjant fonksiyonu negatif işaretlidir ve isim değiştirerek kotanjanta dönüşür.

4

Verilen aralığa göre değerleri karşılaştırın.

c < a < b

x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right)

aralığı üçüncü bölgededir (

180^\circ < x < 225^\circ

). Bu aralıkta

\cos(x) \in \left(-1, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)

olduğundan

a \in (-1, -0.707)

olur.

b = -\cos(x)

olduğundan

b \in (0.707, 1)

pozitif aralığındadır. Bu aralıkta

\cot(x) > 1

olduğundan

c = -\cot(x) < -1

olur. Bu durumda aralıklar

c < -1 < a < 0 < b

şeklinde sıralanır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik oranların bölgelere göre indirgenmesi ve sıralanması

Soru 1189Soru →

Bir tiyatro salonunda bilet fiyatı $x$ TL olarak belirlendiğinde, bir oyunu izlemeye gelen seyirci sayısı $120 - 2x$ kişi olmaktadır. Tiyatro salonunun her bir oyun için sabit gideri $400$ TL ve seyirci başına değişken gideri $10$ TL'dir. Buna göre, bu tiyatro salonunun bir oyundan elde edebileceği kâr en fazla kaç TL'dir?

400

425

800

850

1400

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 850

Cevap

Tiyatro salonunun bir oyundan elde edebileceği maksimum kâr 850 TL'dir.

Kâr fonksiyonu

K(x) = -2x^2 + 140x - 1600

olarak elde edilir. Bu parabolün tepe noktası maksimum kârı verir. Tepe noktasının apsisi

r = 35

olup, bu değer fonksiyonda yerine yazıldığında maksimum kâr 850 TL olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Seyirci sayısı ve bilet fiyatı cinsinden gelir fonksiyonunu oluşturma.

G(x) = x \cdot (120 - 2x) = -2x^2 + 120x

TL

Kârı hesaplayabilmek için öncelikle toplam geliri bilet fiyatı

x

deği��kenine bağlı olarak ifade etmemiz gerekir.

2

Sabit ve değişken giderleri toplayarak toplam maliyet fonksiyonunu oluşturma.

M(x) = 400 + 10 \cdot (120 - 2x) = 1600 - 20x

TL

Kâr, gelirden giderlerin çıkarılmasıyla bulunduğundan toplam maliyeti belirlemeliyiz.

3

Gelir fonksiyonundan maliyet fonksiyonunu çıkararak kâr fonksiyonunu elde etme.

K(x) = G(x) - M(x) = -2x^2 + 140x - 1600

TL

Maksimum kârı verecek tepe noktasını bulmak için kâr fonksiyonunu elde etmemiz gerekir.

4

Kâr parabolünün tepe noktasının apsisini (

r

) hesaplama.

r = -\frac{b}{2a} = -\frac{140}{2(-2)} = 35

TL

Kolları aşağı doğru olan bir parabol en büyük değerini tepe noktasında (

x = r

) alır.

5

Bulunan

r = 35

değerini kâr fonksiyonunda yerine yazarak maksimum kârı bulma.

K(35) = -2(35)^2 + 140(35) - 1600 = 850

TL

Maksimum kâr miktarını bulmak için tepe noktasının ordinatını (

k = K(r)

) hesaplarız.

Anahtar Kavram

Parabolün tepe noktası yardımıyla en büyük (maksimum) değerini bulma ve kâr optimizasyonu uygulamaları.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 1190Soru →

Bir kimyasal deney sırasında reaksiyon kabının sıcaklığı (°C cinsinden), deneyin başlangıcından itibaren geçen süre

t

(saat) olmak üzere,

0 \leq t \leq 12

aralığında

T(t) = a \cdot t^2 - 12a \cdot t + b

parabolik fonksiyonu ile modellenmektedir.

Deneyin başlangıcında kabın sıcaklığı azalmakta olup, deney süresince sıcaklığın aldığı en küçük değer $-10$ °C, en büyük değer ise $26$ °C'dir.

Buna göre, deney süresince kabın sıcaklığının $-6$ °C olduğu iki an arasında geçen süre kaç saattir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Kabın sıcaklığının

-6

°C olduğu iki an arasında geçen süre 4 saattir.

Verilen bilgilere göre başlangıçta azalan bir eğilim gösteren parabolün kolları yukarı doğrudur (

a > 0

). Bu durumda tepe noktasında (

t=6

) en küçük değer olan

-10

alınır. Tepe noktasına eşit uzaklıktaki uç noktalarda (

t=0

veya

t=12

) ise en büyük değer olan

26

alınır. Buradan

b = 26

ve

a = 1

bulunarak fonksiyon

T(t) = t^2 - 12t + 26

olarak elde edilir. Sıcaklığın

-6

olduğu anlar

t^2 - 12t + 32 = 0

denkleminin kökleri olan

4

. ve

8

. saatlerdir. Bu iki an arasındaki fark 4 saattir.

Adım Adım Çözüm

1

Tepe noktasının konumunu belirleme ve

a

katsayısının işaretini saptama.

Tepe noktasının apsisi

r = 6

ve

a > 0

olarak bulunur.

T(t) = a \cdot t^2 - 12a \cdot t + b

fonksiyonunun tepe noktasının apsisi

r = -\frac{-12a}{2a} = 6

olur. Deneyin başlangıcında (

t=0

) sıcaklık azaldığı için, fonksiyon tepe noktasına kadar azalan olmalıdır. Bu durum ancak parabolün kolları yukarı doğru olduğunda (

a > 0

) gerçekleşir.

2

En büyük ve en küçük değerlerin fonksiyon üzerindeki yerlerini belirleme.

En küçük değer

T(6) = -10

, en büyük değer ise

T(0) = T(12) = 26

olur.

a > 0

olduğundan

[0, 12]

kapalı aralığında fonksiyon en küçük değerini tepe noktası olan

t=6

'da alır. En büyük değerini ise tepe noktasına en uzak olan uç noktalarda alır.

t=0

ve

t=12

noktaları tepe noktasına eşit uzaklıkta (

6

birim) olduğundan bu noktalardaki değerler e��ittir ve en büyük değeri oluşturur.

3

Fonksiyonun katsayılarını (

a

ve

b

) bulma.

b = 26

ve

a = 1

elde edilir, böylece

T(t) = t^2 - 12t + 26

olur.

T(0) = b = 26

elde edilir. Tepe noktasındaki en küçük değer için

T(6) = a(6)^2 - 12a(6) + 26 = -10 \implies -36a + 26 = -10 \implies -36a = -36 \implies a = 1

bulunur.

4

Sıcaklığın

-6

°C olduğu zamanları bulma.

t = 4

ve

t = 8

saatleri elde edilir.

T(t) = -6 \implies t^2 - 12t + 26 = -6 \implies t^2 - 12t + 32 = 0

denklemi çözülmelidir. Bu denklem çarpanlarına ayrıldığında

(t-4)(t-8) = 0

olur ve kökler

t_1 = 4

ve

t_2 = 8

olarak bulunur. Her iki değer de

[0, 12]

aralığındadır.

5

İki an arasındaki süreyi hesaplama.

Süre 4 saattir.

Sıcaklığın

-6

°C olduğu iki an arasındaki süre

t_2 - t_1 = 8 - 4 = 4

saat olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Parabolün kapalı aralıktaki en büyük ve en küçük değer uygulamaları

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 1191Soru →

Aşağıdaki trigonometrik ifadelerin değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama

a < c < b

şeklindedir.

İfadelerin dar açı cinsinden karşılıkları ve işaretleri incelendiğinde;

a = -\cos(40^\circ)

negatif,

b = \sin(50^\circ)

ve

c = \tan(20^\circ)

pozitif bulunur. Pozitif değerlerden

\tan(20^\circ)

değeri

\sin(50^\circ)

değerinden küçük olduğu için en küçükten büyüğe sıralama

a < c < b

şeklinde elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Açıların esas ölçülerini bulma ve birim çember üzerindeki bölgelerini belirleme.

220^\circ

açısı 3. bölgededir.

-310^\circ

açısının esas ölçüsü

-310^\circ + 360^\circ = 50^\circ

olup 1. bölgededir.

200^\circ

açısı ise 3. bölgededir.

Trigonometrik oranların işaretlerini doğru saptayabilmek için açıların birim çemberdeki bölgelerini belirlemek gerekir.

2

İfadeleri dar açı cinsinden indirgeme formülleriyle yazma.

a = \cos(220^\circ) = \cos(180^\circ + 40^\circ) = -\cos(40^\circ)

,

b = \sin(-310^\circ) = \sin(50^\circ)

ve

c = \tan(200^\circ) = \tan(180^\circ + 20^\circ) = \tan(20^\circ)

olarak elde edilir.

Farklı bölgelerdeki açıların büyüklüklerini karşılaştırabilmek amacıyla dar açı cinsinden karşılıkları bulunur.

3

İşaret ve değer analizi yaparak sıralamayı gerçekleştirme.

a < 0

olduğundan en küçük değerdir. Pozitif olan

b

ve

c

değerleri için;

\tan(20^\circ) < \tan(30^\circ) \approx 0.577

ve

\sin(50^\circ) > \sin(45^\circ) \approx 0.707

olduğundan

c < b

eşitsizliği geçerlidir. Buradan genel sıralama

a < c < b

olarak bulunur.

Negatif sayıların pozitif sayılardan küçük olması ve pozitif dar açıların bilinen referans değerlerle kıyaslanması sıralamayı belirler.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaret analizi ve dar açı cinsinden indirgenmesi

Soru 1192Soru →

\frac{x^2 - 5x + 4}{x - 1} \leq 0

x^2 - 4 < 0

eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

(-2, 2)

(1, 2)

(-2, 1) \cup (1, 2)

[-2, 1) \cup (1, 2]

(-2, 4]

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(-2, 1) \cup (1, 2)$

Cevap

(-2, 1) \cup (1, 2)

Sistemdeki birinci eşitsizlik sadeleştirildiğinde

x \leq 4

elde edilir ancak paydanın sıfır olmaması koşulundan dolayı

x \neq 1

şartı aranır. İkinci eşitsizlik ise

x

değerinin

-2

ile

2

açık aralığında olmasını gerektirir. Bu iki çözüm kümesinin kesişimi alındığında,

(-2, 2)

aralığından tanımsızlık yapan

1

değeri çıkarılarak

(-2, 1) \cup (1, 2)

doğru çözümüne ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci eşitsizliğin pay kısmını çarpanlarına ayırıp kökleri bulalım.

\frac{(x - 1)(x - 4)}{x - 1} \leq 0

ifadesinde payın kökleri

x = 1

ve

x = 4

, paydanın kökü ise

x = 1

'dir.

Eşitsizliğin sınır değerlerini ve tanımsızlık noktalarını belirlemek için çarpanlara ayırma yöntemi uygulanır.

2

Birinci eşitsizlik için tanım kümesi kısıtlamasını belirleyelim ve çözüm kümesini bulalım.

x - 1

ifadesi sadeleştirildiğinde

x - 4 \leq 0 \implies x \leq 4

elde edilir. Ancak payda sıfır olamayacağı için

x \neq 1

olmalıdır. Dolayısıyla birinci eşitsizliğin çözüm kümesi:

Ç_1 = (-\infty, 4] \setminus \{1\}

olur.

Paydayı sıfır yapan değerler ifadeyi tanımsız kıldığından çözüm kümesinden çıkarılmalıdır.

3

İkinci eşitsizliğin çözüm kümesini bulalım.

x^2 - 4 < 0 \implies (x - 2)(x + 2) < 0

eşitsizliğinden kökler

-2

ve

2

olarak bulunur. İşaret incelemesiyle ��özüm aralığı:

Ç_2 = (-2, 2)

olur.

İkinci dereceden eşitsizliğin kökleri bulunarak negatif olduğu aralık tespit edilir.

4

İki eşitsizliğin ortak çözüm kümesini bulmak için kesişim işlemini uygulayalım.

Ç_1 \cap Ç_2 = \left((-\infty, 4] \setminus \{1\}\right) \cap (-2, 2) = (-2, 2) \setminus \{1\}

Bu küme açık aralıklar şeklinde yazıldığında

(-2, 1) \cup (1, 2)

olarak ifade edilir.

Eşitsizlik sistemlerinin çözümü, her iki eşitsizliği de aynı anda sağlayan değerlerin kesişim kümesidir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden rasyonel eşitsizlik sistemlerinde payda kökünün hariç tutularak ortak çözüm kümesinin bulunması.

Soru 1193Soru →

Bir radar ekranında bulunan dairesel tarama ibresi, saat yönünde saniyede $\frac{7\pi}{12}$ radyanlık sabit bir hızla dönmektedir. Buna göre, bu ibre çalıştırıldıktan $130$ saniye sonra taradığı yönlü açının esas ölçüsü kaç radyandır?

\frac{\pi}{6}

\frac{5\pi}{6}

\frac{7\pi}{6}

\frac{11\pi}{6}

\frac{\pi}{12}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{\pi}{6}$

Cevap

\frac{\pi}{6}

İbre saat yönünde yani negatif yönde hareket ettiği için

130

saniyede taradığı toplam açı

-\frac{455\pi}{6}

radyandır. Bu açının içerisindeki tam turlar ayıklandığında geriye

-\frac{11\pi}{6}

kalır. Esas ölçü negatif olamayacağı için bu değere

2\pi

eklendiğinde elde edilen

\frac{\pi}{6}

değeri doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1

İbrenin taradığı toplam açıyı yönüyle birlikte hesaplama.

İbre saat yönünde (negatif yönde) döndüğü için açısal hız

-\frac{7\pi}{12}

radyan/saniyedir.

130

saniyede taranan toplam açı:

130 \times \left(-\frac{7\pi}{12}\right) = -\frac{910\pi}{12} = -\frac{455\pi}{6}

radyandır.

Trigonometrik yön kurallarına göre saat yönü negatif, saat yönünün tersi ise pozitif yöndür.

2

Negatif açının içerisindeki tam turları ayıklama.

Pay olan

455

, paydanın iki katı olan

12

sayısına bölünür:

455 = 12 \times 37 + 11

. Buradan

-\frac{455\pi}{6} = -37 \times 2\pi - \frac{11\pi}{6}

elde edilir.

Radyan cinsinden esas ölçü bulunurken

2\pi

ve katları (tam turlar) denklemden çıkarılır. Bu yüzden pay, paydanın iki katına bölünerek kalan bulunur.

3

Kalan negatif açıyı

[0, 2\pi)

aralığına taşımak için

2\pi

ekleme.

-\frac{11\pi}{6} + 2\pi = \frac{\pi}{6}

radyan bulunur.

Esas ölçü negatif olamaz, değeri

[0, 2\pi)

aralığında olmalıdır. Negatif yönlü kalan açıya

2\pi

eklenerek pozitif yönlü esas ölçüsü elde edilir.

Anahtar Kavram

Yönlü açılarda saat yönünün negatif yön olarak alınması ve radyan cinsinden negatif açıların esas ölçüsünün bulunması.

Soru 1194Soru →

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı

\frac{(x^2 - 2x - 3) \cdot (x^2 - 4)^2}{(x^2 - x - 2) \cdot (x^2 - 9)} \le 0

eşitsizliğini sağlayan

x

tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

Eşitsizliğini sağlayan

x

tam sayılarının toplamı -1'dir.

Çarpanlarına ayrılmış eşitsizlikte sadeleştirmeler yapıldıktan sonra elde edilen

\frac{(x-2)(x+2)^2}{x+3} \le 0

ifadesinde kökler

x = -3

,

x = -2

(çift katlı) ve

x = 2

olarak bulunur. İşaret tablosuna göre eşitsizliği sağlayan aralık

(-3, 2]

aralığıdır. Ancak ilk ifadede paydayı sıfır yapan

x = -1

,

x = 2

ve

x = 3

değerleri tanımsızlık oluşturduğundan çözüm kümesinden çıkarılmalıdır. Buradan çözüm kümesi

S = (-3, 2) \setminus \{-1\}

olur. Bu kümedeki tam sayılar

-2

,

0

ve

1

olup toplamları

-1

değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1

Eşitsizlikteki tüm ifadeleri çarpanlarına ayırın.

\frac{(x-3)(x+1)(x-2)^2(x+2)^2}{(x-2)(x+1)(x-3)(x+3)} \le 0

Ortak çarpanları ve kökleri belirleyebilmek için.

2

Paydayı sıfır yapan (tanımsızlık oluşturan)

x

değerlerini belirleyin.

x \neq -3

,

x \neq -1

,

x \neq 2

ve

x \neq 3

Rasyonel ifadelerde payda sıfır olamayacağı için bu değerler çözüm k��mesine dahil edilemez.

3

Eşitsizlikteki ortak çarpanları sadeleştirin.

\frac{(x-2)(x+2)^2}{x+3} \le 0

(burada

x \notin \{-3, -1, 2, 3\}

)

İşaret incelemesini daha basit bir ifade üzerinden gerçekleştirmek için.

4

Sadeleşmiş ifadenin köklerini bulup işaret tablosunu hazırlayın.

Kökler:

x = -3

(tek katlı payda kökü),

x = -2

(çift katlı pay kökü),

x = 2

(tek katlı pay kökü). İşaretler en sağdan sola doğru sırasıyla:

(2, \infty) \rightarrow (+)

,

(-2, 2) \rightarrow (-)

,

(-3, -2) \rightarrow (-)

,

(-\infty, -3) \rightarrow (+)

şeklindedir.

Eşitsizliğin sıfırdan küçük veya sıfıra eşit olduğu bölgeleri tespit etmek için.

5

İşaret tablosunu ve payda kısıtlamalarını birleştirerek çözüm kümesini oluşturun.

Çözüm kümesi:

S = (-3, 2) \setminus \{-1\}

Tablodaki negatif ve sıfır yapan bölgeler alınır (

(-3, 2]

); ancak payda kökleri olan

x = -1

ve

x = 2

bu kümeden çıkarılır.

6

Çözüm kümesindeki tam sayıların toplamını hesaplayın.

x \in \{-2, 0, 1\} \implies (-2) + 0 + 1 = -1

Soruda istenen sonucu elde etmek için.

Anahtar Kavram

Rasyonel eşitsizliklerin çözümünde ortak çarpanların sadeleştirilmesi durumunda payda köklerinin tanımsızlık oluşturması nedeniyle çözüm kümesinden çıkarılması ve çift katlı köklerin işaret tablosundaki etkisi.

Soru 1195Soru →

$x \in \left(\frac{5\pi}{6}, \pi\right)$ olmak üzere,

a = \cos(x - \pi)

b = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)

c = \cot\left(x - \frac{\pi}{2}\right)

ifadeleri veriliyor.

Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

b < c < a

b < a < c

c < b < a

a < c < b

a < b < c

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $b < c < a$

Cevap

b < c < a

Verilen ifadeler sadeleştirildiğinde

b

değerinin negatif,

a

ve

c

değerlerinin ise pozitif olduğu görülür. İkinci bölgenin son kısmında yer alan açılar için kosinüs değerinin mutlak değeri tanjant değerinin mutlak değerinden büyük olduğundan, pozitif halleri karşılaştırıldığında

a

değeri

c

değerinden daha büyük olur. Bu durum en küçük değerin

b

, en büyük değerin ise

a

olmasını gerektirir.

Adım Adım Çözüm

1

İfadeleri trigonometrik indirgeme formüllerini kullanarak sadeleştirin.

a = \cos(x - \pi) = \cos(\pi - x) = -\cos x

b = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos x

c = \cot\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = -\cot\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = -\tan x

Değerleri aynı açı cinsinden yazarak karşılaştırmayı kolaylaştırmak.

2

x \in \left(\frac{5\pi}{6}, \pi\right)

aralığına göre trigonometrik fonksiyonların işaretlerini belirleyin.

İkinci bölgede olduğumuz için:

\sin x > 0

\cos x < 0

\tan x < 0

Buna göre:

b = \cos x < 0

(negatif)

a = -\cos x > 0

(pozitif)

c = -\tan x > 0

(pozitif)

Sıralamadaki temel işaret farklılıklarını tespit etmek.

3

a

ve

c

pozitif değerlerini karşılaştırmak için farklarını inceleyin.

a - c = -\cos x - (-\tan x) = \tan x - \cos x = \frac{\sin x - \cos^2 x}{\cos x}

olarak yazılır.

x \in \left(\frac{5\pi}{6}, \pi\right)

aralığında

0 < \sin x < \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}

olur.

Pay kısmını

\sin x

cinsinden yazarsak:

\sin x - \cos^2 x = \sin^2 x + \sin x - 1

\sin x = t

dönüşümüyle,

t \in \left(0, \frac{1}{2}\right)

için

t^2 + t - 1 < \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{4} < 0

olur. Yani pay negatiftir.

Payda olan

\cos x

de ikinci bölgede negatif olduğundan, iki negatifin oranı pozitiftir:

a - c > 0 \implies a > c

.

Aynı işaretli iki ifadenin büyüklük ilişkisini kesin olarak saptamak.

4

Elde edilen tüm sonuçları birleştirerek sıralamayı oluşturun.

b < 0

ve

a > c > 0

olduğundan, doğru sıralama

b < c < a

şeklindedir.

Sorunun nihai cevabına ulaşmak.

Anahtar Kavram

Trigonometrik ifadelerin bölgelere göre indirgenmesi ve sıralanması

Soru 1196Soru →

(x - 3)^2 \cdot (8 - x) > 0

eşitsizliğini sağlayan kaç farklı pozitif tam sayı değeri vardır?

4

5

6

7

8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Eşitsizliği sağlayan pozitif tam sayı değerlerinin sayısı 6'dır.

Eşitsizliği sağlayan pozitif tam sayıların sayısı 6'dır.

(x-3)^2

ifadesi

x \neq 3

için her zaman pozitif olduğundan,

(x-3)^2 \cdot (8-x) > 0

eşitsizliğinin sağlanması için

8-x > 0

yani

x < 8

olmalıdır. Ancak

x=3

için ifade sıfır olduğundan bu değer çözüm kümesinden çıkarılır. Buradan çözüm kümesi

(-\infty, 8) \setminus \{3\}

olarak bulunur. Bu aralıktaki pozitif tam sayılar

\{1, 2, 4, 5, 6, 7\}

olup toplamda 6 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1

Eşitsizliği oluşturan çarpanların köklerini bulalım.

(x - 3)^2 = 0 \implies x = 3

(çift katlı kök)

8 - x = 0 \implies x = 8

(tek katlı kök)

İşaret tablosu oluşturmak için eşitsizliğin sınır değerlerini (köklerini) belirlememiz gerekir.

2

İşaret tablosunu oluşturup en sağdaki bölgenin işaretini belirleyelim.

En büyük dereceli terimlerin katsayıları çarpımı:

(+)^2 \cdot (-) = (-)

olduğundan tabloya en sağdan (8'in sağından) eksi (

-

) işareti ile başlanır.

Eşitsizliğin hangi aralıklarda hangi işaretleri alacağını saptamak için baş katsayının işaretini belirlemeliyiz.

3

Köklerden geçerek işaret tablosunu tamamlayalım.

8 tek katlı kökünden geçerken işaret değişir ve artı (

+

) olur. 3 çift katlı kökünden geçerken işaret değişmez, artı (

+

) olarak kalır.

Çift katlı köklerde işaretin değişmediği kuralını uygulayarak tüm bölgelerin işaretini buluruz.

4

Eşitsizliği sağlayan çözüm kümesini ve bu kümedeki pozitif tam sayıları belirleyelim.

Eşitsizlikte sıfırdan büyük (

> 0

) bölgeler istendiği için artı (

+

) olan bölgeler alınır. Ancak

x = 3

değeri ifadeyi sıfır yaptığı ve eşitsizlikte eşitlik bulunmadığı için çözüm kümesine dahil edilmez. Çözüm kümesi:

(-\infty, 8) \setminus \{3\}

olur. Bu aralıktaki pozitif tam sayılar:

1, 2, 4, 5, 6, 7

olmak üzere 6 tanedir.

Soruda istenen koşulu sağlayan pozitif tam sayıların sayısını bulmak için doğru çözüm kümesini analiz ederiz.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden ve yüksek dereceden eşitsizliklerin çözümünde işaret tablosu oluşturma ve çift katlı köklerin incelenmesi.

Tahmini Süre:45s

Soru 1197Soru →

\frac{(x-3)^3 \cdot (x^2 - 2x - 8)}{(x^2 - 9) \cdot (x^2 - 4x + 4)} \leq 0

eşitsizliğini sağlayan tüm

x

pozitif tam sayılarının toplamı kaçtır?

7

8

5

9

10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Eşitsizliği sağlayan pozitif tam sayı değerleri 1 ve 4 olup, bu değerlerin toplamı 5'tir.

Eşitsizliğin tablosu yapıldığında negatif veya sıfıra eşit olmasını sağlayan aralıklar

(-\infty, -3) \cup [-2, 2) \cup (2, 3) \cup (3, 4]

olarak bulunur. Bu aralıklardaki pozitif tam sayılar sadece 1 ve 4 değerleridir. Bu iki değerin toplamı 5 olmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Eşitsizlikteki tüm ifadeleri çarpanlarına ayırarak pay ve paydanın köklerini belirleyin.

Payın kökleri:

(x-3)^3 = 0 \implies x = 3

(katlılığı 3),

x^2 - 2x - 8 = 0 \implies (x-4)(x+2) = 0 \implies x = 4

ve

x = -2

olur. Paydanın kökleri:

x^2 - 9 = 0 \implies (x-3)(x+3) = 0 \implies x = 3

ve

x = -3

,

x^2 - 4x + 4 = 0 \implies (x-2)^2 = 0 \implies x = 2

(katlılığı 2) olur.

Eşitsizlik tablosu oluşturmak için sınır değerlerini (kökleri) ve bunların katlılık derecelerini belirlemek gerekir.

2

Köklerin net katlılık derecelerini analiz edin ve paydayı sıfır yapan değerleri çözüm kümesinden hariç tutun.

x = -3

paydanın tek katlı köküdür (hariç tutulur).

x = -2

payın tek katlı köküdür (dahil edilebilir).

x = 2

paydanın çift katlı köküdür (hariç tutulur).

x = 3

hem payın (katlılığı 3) hem de paydanın (katlılığı 1) köküdür. Net katlılığı

3 - 1 = 2

olup çift katlı köktür. Paydada yer aldığı için çözüm kümesinden hariç tutulur.

x = 4

payın tek katlı köküdür (dahil edilebilir).

Çift katlı köklerde işaretin değişmeyeceğini belirlemek ve paydayı sıfır yapan değerlerin tanımsızlık yaratacağını garanti etmek için bu analiz gereklidir.

3

Kökleri küçükten büyüğe sıralayarak işaret tablosunu oluşturun ve en sağdaki aralığın işaretini belirleyerek sola doğru ilerleyin.

Köklerin sıralaması:

-3 < -2 < 2 < 3 < 4

. En sağdaki aralık olan

(4, \infty)

için işaret belirlenir: İfadelerdeki en yüksek dereceli terimlerin katsayıları çarpımı pozitif olduğu için tablo sağdan "+" ile başlar.

x = 4

(tek katlı)

\implies

işaret "-" olur.

x = 3

(çift katlı)

\implies

işaret değişmez, "-" kalır.

x = 2

(çift katlı)

\implies

işaret değişmez, "-" kalır.

x = -2

(tek katlı)

\implies

işaret "+" olur.

x = -3

(tek katlı)

\implies

işaret "-" olur. İşaret dağılımı:

(-\infty, -3) \rightarrow (-)

,

(-3, -2] \rightarrow (+)

,

[-2, 2) \rightarrow (-)

,

(2, 3) \rightarrow (-)

,

(3, 4] \rightarrow (-)

,

[4, \infty) \rightarrow (+)

.

Eşitsizliğin

\leq 0

olduğu bölgeleri tespit etmek için işaret tablosu gereklidir.

4

Eşitsizliği sağlayan (

\leq 0

olan) aralıklardaki pozitif tam sayıları belirleyin ve toplamını bulun.

Eşitsizliğin sağlandığı aralıklar:

(-\infty, -3) \cup [-2, 2) \cup (2, 3) \cup (3, 4]

şeklindedir. Bu aralıklardaki pozitif tam sayılar:

[-2, 2)

aralığında sadece

1

vardır (2 tanımsızlık yaptığı için hariç tutulur).

(2, 3)

aralığında pozitif tam sayı yoktur.

(3, 4]

aralığında sadece

4

vardır (3 tanımsızlık yaptığı için hariç tutulur). Eşitsizliği sağlayan pozitif tam sayılar kümesi

\{1, 4\}

olup toplamları

1 + 4 = 5

olarak bulunur.

Soru bizden eşitsizliği sağlayan pozitif tam sayıların toplamını istediği için bu son hesaplama yapılır.

Anahtar Kavram

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizliklerin Çözüm Kümeleri

Soru 1198Soru →

Bir kenar uzunluğu 6 birim olan bir küpün köşeleri $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , $F$ , $G$ , $H$ olarak adlandırılmıştır. Bu küpte $ABCD$ taban yüzeyi, $EFGH$ ise bu yüzeyin üzerindeki tavan yüzeyidir ( $E$ köşesi $A$ 'nın, $F$ köşesi $B$ 'nin, $G$ köşesi $C$ 'nin ve $H$ köşesi $D$ 'nin üzerindedir).

Küpün $ADHE$ yan yüzeyi üzerinde bir $P$ noktası; $AE$ ayrıtına 3 birim, $AD$ ayrıtına 2 birim uzaklıkta olacak şekilde belirleniyor.
Küpün $CDHG$ yan yüzeyi üzerinde bir $Q$ noktası; $CG$ ayrıtına 2 birim, $CD$ ayrıtına 3 birim uzaklıkta olacak şekilde belirleniyor.

Buna göre, $49 \cdot \cos(\widehat{PBQ})$ değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

İstenen

49 \cdot \cos(\widehat{PBQ})

ifadesinin değeri 36'dır.

Küp üzerinde koordinatlar doğru yerleştirildiğinde kenar uzunlukları

BP=7

,

BQ=7

ve

PQ=\sqrt{26}

olarak bulunur.

PBQ

üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulandığında

\cos(\widehat{PBQ}) = 36/49

elde edilir. Bu değer 49 ile çarpıldığında sonuç 36 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Küpü 3 boyutlu kartezyen koordinat sistemine yerleştirme

B

köşesi başlangıç noktası

(0,0,0)

olarak seçilir. Bu durumda

BA

doğrusu

x

ekseni,

BC

doğrusu

y

ekseni ve

BF

doğrusu

z

ekseni üzerindedir. Böylece küpün köşeleri

A(6,0,0)

,

C(0,6,0)

,

D(6,6,0)

,

E(6,0,6)

,

F(0,0,6)

,

G(0,6,6)

ve

H(6,6,6)

olur.

Noktaların konumlarını ve aralarındaki uzaklıkları analitik olarak kolayca hesaplayabilmek için

2

P

ve

Q

noktalarının koordinatlarını belirleme

P

noktası

x=6

düzleminde (

ADHE

yüzeyi) yer alır.

AE

doğrusuna (

x=6, y=0

) uzaklığı 3 birim olduğundan

y

-koordinatı 3'tür.

AD

doğrusuna (

x=6, z=0

) uzaklığı 2 birim olduğundan

z

-koordinatı 2'dir. Buradan

P(6,3,2)

bulunur. Benzer şekilde,

Q

noktası

y=6

düzleminde (

CDHG

yüzeyi) yer alır.

CG

doğrusuna (

x=0, y=6

) uzaklığı 2 birim olduğundan

x

-koordinatı 2'dir.

CD

doğrusuna (

y=6, z=0

) uzaklığı 3 birim olduğundan

z

-koordinatı 3'tür. Buradan

Q(2,6,3)

bulunur.

Verilen sözel uzaklık tanımlarını koordinat değerlerine dönüştürerek noktaların yerlerini kesinleştirmek için

3

BP

,

BQ

ve

PQ

doğru parçalarının uzunluklarını hesaplama

İki nokta arasındaki uzaklık formülü uygulanır:

BP = \sqrt{(6-0)^2 + (3-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{36+9+4} = \sqrt{49} = 7

birim.

BQ = \sqrt{(2-0)^2 + (6-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{4+36+9} = \sqrt{49} = 7

birim.

PQ = \sqrt{(6-2)^2 + (3-6)^2 + (2-3)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16+9+1} = \sqrt{26}

birim.

Kosinüs Teoremi'ni uygulayabilmek için üçgenin üç kenar uzunluğunu elde etmek amacıyla

4

PBQ

üçgeninde Kosinüs Teoremi'ni uygulama

PQ^2 = BP^2 + BQ^2 - 2 \cdot BP \cdot BQ \cdot \cos(\widehat{PBQ})

(\sqrt{26})^2 = 7^2 + 7^2 - 2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot \cos(\widehat{PBQ})

26 = 49 + 49 - 98 \cdot \cos(\widehat{PBQ})

26 = 98 - 98 \cdot \cos(\widehat{PBQ})

98 \cdot \cos(\widehat{PBQ}) = 72 \implies \cos(\widehat{PBQ}) = \frac{72}{98} = \frac{36}{49}

Açının kosinüs değerini kenar uzunlukları arasındaki bağıntı yardımıyla bulmak için

5

İstenen nihai değeri hesaplama

49 \cdot \cos(\widehat{PBQ}) = 49 \cdot \frac{36}{49} = 36

elde edilir.

Soruda yöneltilen özel ifadenin değerini hesaplamak için

Anahtar Kavram

Üç boyutlu uzayda Kosinüs Teoremi ve iki nokta arasındaki uzaklık formülü

Soru 1199Soru →

x^2 - xy - 2y^2 = 0

x^2 - xy + y^2 - 2x + 4y = 12

denklem sistemini sağlayan ve koordinatları rasyonel sayılar olan $(x, y)$ gerçek sayı ikilileri için $x + y$ toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Denklem sistemini sağlayan rasyonel koordinatlı gerçek sayı ikilileri için

x + y

toplamının alabileceği en büyük değer 6'dır.

İlk denklem çarpanlarına ayrıldığında

x = 2y

veya

x = -y

elde edilir. Bu iki durum ikinci denklemde yerine yazıldığında, yalnızca

x = 2y

durumu rasyonel koordinatlara sahip

(4, 2)

ve

(-4, -2)

çözümlerini verir. Diğer durum irrasyonel koordinatlı çözümler üretir. Rasyonel çözümlerin koordinatları toplamı sırasıyla

6

ve

-6

olup, bu değerlerin en büyüğü

6

'dır.

Adım Adım Çözüm

1

İlk denklemi çarpanlarına ayırma

x^2 - xy - 2y^2 = 0 \implies (x - 2y)(x + y) = 0 \implies x = 2y

veya

x = -y

Değişkenler arasındaki doğrusal ilişkileri belirleyerek sistemi indirgemek

2

x = 2y

durumunu ikinci denklemde yerine yazıp çözme

3y^2 = 12 \implies y^2 = 4 \implies y = \pm 2

. Buradan

(4, 2)

ve

(-4, -2)

rasyonel çözümleri elde edilir.

Birinci koldan gelen rasyonel koordinatlı adayları belirlemek

3

x = -y

durumunu ikinci denklemde yerine yazıp çözme

3y^2 + 6y - 12 = 0 \implies y^2 + 2y - 4 = 0 \implies y = -1 \pm \sqrt{5}

(irrasyonel)

İkinci koldan gelen çözümlerin koordinatlarının rasyonel olup olmadığını kontrol etmek

4

Rasyonel çözümler için koordinat toplamlarını karşılaştırma

4 + 2 = 6

ve

-4 + (-2) = -6 \implies

En büyük değer

6

olur.

İstenen en büyük toplam değerini belirlemek

Anahtar Kavram

İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinde değişken değiştirme, çarpanlara ayırma yöntemi ve rasyonel/irrasyonel kök analizi

Soru 1200Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde, $m(\widehat{BAC}) = 60^\circ$ , $|AB| = 5\text{ birim}$ ve $|AC| = 8\text{ birim}$ dir.

Buna göre, $|BC|$ uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

BC uzunluğu 7 birimdir.

Kosinüs teoremi doğrudan uygulanarak

8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ

işleminden

|BC|^2 = 49

elde edilir. Buradan

|BC| = 7

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Kosinüs teoremi formülünü belirleme

|BC|^2 = |AC|^2 + |AB|^2 - 2|AC||AB|\cos(\widehat{BAC})

Bir üçgende iki kenar ve aralarındaki açı bilindiğinde üçüncü kenarı bulmak için kosinüs teoremi uygulanır.

2

Bilinen değerleri formüle yerleştirme

|BC|^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos(60^\circ)

Verilen

|AC| = 8

,

|AB| = 5

ve

m(\widehat{BAC}) = 60^\circ

değerlerini formülde yerine koymak gerekir.

3

Hesaplamayı gerçekleştirme

|BC|^2 = 64 + 25 - 40 = 49 \Rightarrow |BC| = 7

\cos(60^\circ) = 0.5

değeri kullanılarak cebirsel işlemler yapılır ve karekök alınarak kenar uzunluğu bulunur.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram