Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 1221Soru →

Dik koordinat düzleminde, [−3,2][-3, 2] kapalı aralığında tanımlı bir ff fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Bu grafik, A(−3,0)A(-3, 0), B(0,3)B(0, 3) ve C(2,0)C(2, 0) noktalarını ardışık olarak birleştiren iki doğru parçasından oluşmaktadır.

g(x)=3−f(∣x∣)g(x) = 3 - f(|x|)
h(x)=f(1−x)h(x) = f(1-x)

biçiminde tanımlanan gg ve hh fonksiyonlarının grafiklerinin kesişim noktalarının tüm koordinatlarının (apsis ve ordinatlarının) toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 174\frac{17}{4}

Cevap

Kesişim noktalarının koordinatları toplamı olan 17/4 ifadesidir.
Doğru seçenekte belirtilen değer, g(x) = 1.5|x| ve h(x) = f(1-x) fonksiyonlarının kurallarının doğru aralıklarda yazılması ve ortak tanım kümesi olan [-1, 2] aralığındaki kesişim noktalarının apsis ve ordinat değerlerinin toplanmasıyla elde edilir. Bu noktalar (-1/2, 3/4) ve (8/5, 12/5) olup toplamları 17/4'tür.

Adım Adım Çözüm

1
g(x) fonksiyonunun kuralını ve tanım kümesini belirleme
g(x) = 3 - f(|x|) fonksiyonunda, f fonksiyonunun tanım kümesi [-3, 2] olduğundan, |x| ifadesi [0, 2] aralığında olmalıdır. Buradan g(x) fonksiyonunun tanım kümesi [-2, 2] olarak bulunur. x >= 0 için g(x) = 3 - f(x) = 3 - (3 - 1.5x) = 1.5x ve x < 0 için g(x) = 3 - f(-x) = 1.5|x| elde edilir. Yani, g(x) = 1.5|x| biçimindedir.
Kesişim noktalarını bulabilmek için öncelikle g(x) fonksiyonunun cebirsel ifadesini ve tanımlı olduğu aralığı bulmamız gerekir.
2
h(x) fonksiyonunun kuralını ve tanım kümesini belirleme
h(x) = f(1-x) fonksiyonunda, f'in tanım kümesi [-3, 2] olduğundan -3 <= 1-x <= 2 eşitsizliğinden h fonksiyonunun tanım kümesi [-1, 4] olarak bulunur. 1-x >= 0 yani x <= 1 için h(x) = -1.5(1-x) + 3 = 1.5x + 1.5 olur. 1-x < 0 yani x > 1 için h(x) = (1-x) + 3 = -x + 4 olur.
h(x) fonksiyonunun farklı aralıklardaki doğrusal denklemlerini elde etmek kesişim denklemlerini kurmamızı sağlar.
3
Ortak tanım kümesindeki kesişim noktalarını hesaplama
g ve h fonksiyonlarının ortak tanım kümesi [-2, 2] ile [-1, 4] aralıklarının kesişimi olan [-1, 2] aralığıdır. Bu aralıkta kesişimleri incelersek: 1) [-1, 0] aralığında: -1.5x = 1.5x + 1.5 => 3x = -1.5 => x = -0.5 olur. Buradan y = g(-0.5) = 0.75 elde edilir. İlk nokta P_1(-0.5, 0.75) olur. 2) [0, 1] aralığında: 1.5x = 1.5x + 1.5 => 0 = 1.5 (��özüm yoktur). 3) [1, 2] aralığında: 1.5x = -x + 4 => 2.5x = 4 => x = 1.6 olur. Buradan y = g(1.6) = 2.4 elde edilir. İkinci nokta P_2(1.6, 2.4) olur.
İki grafiğin kesiştiği noktaların apsis ve ordinat değerlerini bulmak için fonksiyon kuralları ortak çözülür.
4
Koordinatlar toplamını hesaplama
Bulunan noktaların koordinatları toplamı: (-0.5) + 0.75 + 1.6 + 2.4 = 0.25 + 4 = 4.25 = 17/4 bulunur.
Soru kökünde istenen nihai toplam değerine ulaşmak için tüm bileşenler toplanır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun mutlak değer dönüşümü y = f(|x|), y eksenine göre yansıması y = f(-x) ve yatay/dikey ötelemelerin bileşkesi altında grafiklerin analizi.
Soru 1222Soru →
x2−3xy+2y2+x−y=0x2−y2−x+y=4\begin{aligned} x^2 - 3xy + 2y^2 + x - y &= 0 \\ x^2 - y^2 - x + y &= 4 \end{aligned}

denklem sistemini sağlayan (x,y)(x, y) gerçek sayı ikilileri için x+yx + y toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Farklı x+yx+y değerlerinin toplamı 3'tür.
Sistemin ilk denkleminden (x−y)(x−2y+1)=0(x-y)(x-2y+1)=0 çarpanları elde edilir. x=yx=y eşitliği ikinci denklemde çelişkiye sebep olduğundan çözüm üretmez. x=2y−1x=2y-1 eşitliği ikinci denklemde yerine yazıldığında elde edilen 3y2−5y−2=03y^2-5y-2=0 denkleminin kökleri y=2y=2 ve y=−1/3y=-1/3 olarak bulunur. Bu değerlere karşılık gelen xx değerleriyle birlikte çözüm ikilileri (3,2)(3,2) ve (−5/3,−1/3)(-5/3, -1/3) olur. Bu ikililer için x+yx+y toplamları sırasıyla 55 ve −2-2 olup, bu değerlerin toplamı 3'tür.

Adım Adım Çözüm

1
İlk denklemi gruplandırarak çarpanlarına ayırın.
x2−3xy+2y2+x−y=0  ⟹  (x−y)(x−2y)+(x−y)=0  ⟹  (x−y)(x−2y+1)=0x^2 - 3xy + 2y^2 + x - y = 0 \implies (x-y)(x-2y) + (x-y) = 0 \implies (x-y)(x-2y+1) = 0 elde edilir.
İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemini daha basit doğrusal ilişkilere indirgemek için.
2
İlk çarpanı sıfır yapan x=yx=y durumunu ikinci denklemde inceleyin.
x2−y2−x+y=4  ⟹  y2−y2−y+y=4  ⟹  0=4x^2 - y^2 - x + y = 4 \implies y^2 - y^2 - y + y = 4 \implies 0 = 4 çelişkisi elde edilir.
x=yx=y durumundan herhangi bir gerçek sayı çözümü gelip gelmediğini kontrol etmek için.
3
İkinci çarpanı sıfır yapan x−2y+1=0  ⟹  x=2y−1x-2y+1=0 \implies x=2y-1 durumunu ikinci denklemde yerine yazarak çözün.
İkinci denklem (x−y)(x+y)−(x−y)=4  ⟹  (x−y)(x+y−1)=4(x-y)(x+y) - (x-y) = 4 \implies (x-y)(x+y-1) = 4 olarak yazılabilir. Burada x=2y−1x=2y-1 yazılırsa:
(y−1)(3y−2)=4  ⟹  3y2−5y−2=0  ⟹  (3y+1)(y−2)=0(y-1)(3y-2) = 4 \implies 3y^2 - 5y - 2 = 0 \implies (3y+1)(y-2) = 0 elde edilir.
Buradan y=2y = 2 veya y=−13y = -\frac{1}{3} bulunur.
Tek bilinmeyenli ikinci dereceden denklem elde edip yy koordinatlarını çözmek için.
4
Bulunan yy değerlerine karşılık gelen xx değerlerini ve x+yx+y toplamlarını hesaplayıp toplayın.
Eğer y=2y=2 ise x=2(2)−1=3x=2(2)-1 = 3 olur. Çözüm ikilisi (3,2)(3, 2) ve bu durumda x+y=5x+y = 5'tir.
Eğer y=−13y=-\frac{1}{3} ise x=2(−13)−1=−53x=2\left(-\frac{1}{3}\right)-1 = -\frac{5}{3} olur. Çözüm ikilisi (−53,−13)\left(-\frac{5}{3}, -\frac{1}{3}\right) ve bu durumda x+y=−2x+y = -2'dir.
Farklı x+yx+y değerlerinin toplamı: 5+(−2)=35 + (-2) = 3 bulunur.
Sistemi sağlayan tüm çözümler üzerinden istenen toplam değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemlerinin Çözümü
Soru 1223Soru →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları için aşağıdaki bilgiler verilmektedir:

* ff fonksiyonunun grafiği koordinat düzleminde K(2,3)K(2, 3) noktasına göre simetriktir.
* gg fonksiyonunun grafiği koordinat düzleminde x=1x = 1 doğrusuna göre simetriktir.
* Her xx gerçek sayısı için f(x)+g(3−x)=x2−2x+5f(x) + g(3-x) = x^2 - 2x + 5 eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, g(f(3))g(f(3)) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

İstenen g(f(3)) ifadesinin değeri 18 olarak bulunur.
Verilen simetri kurallarına göre f(x)+f(4−x)=6f(x) + f(4-x) = 6 ve g(x−1)=g(3−x)g(x-1) = g(3-x) eşitlikleri yazılır. Ana denklemde xx yerine 4−x4-x yazılıp iki denklem taraf tarafa çıkarıldığında f(x)=2x−1f(x) = 2x - 1 elde edilir. Bu kural ana denklemde yerine yazıldığında g(3−x)=x2−4x+6g(3-x) = x^2 - 4x + 6 bulunur. İstenen g(f(3))g(f(3)) değerinde f(3)=5f(3) = 5 olup, g(5)g(5) değerini hesaplamak için x=−2x = -2 yazıldığında sonuç 18 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonların simetri özelliklerini matematiksel eşitlikler olarak ifade etmek.
f(x)+f(4−x)=6f(x) + f(4-x) = 6 ve g(x−1)=g(3−x)g(x-1) = g(3-x) eşitliklerini elde etmek.
ff fonksiyonunun grafiği K(2,3)K(2,3) noktasına göre simetrik olduğundan her xx için f(2−x)+f(2+x)=2⋅3=6f(2-x) + f(2+x) = 2 \cdot 3 = 6 olur. Burada 2−x2-x yerine xx yazılırsa f(x)+f(4−x)=6f(x) + f(4-x) = 6 elde edilir. gg fonksiyonunun grafiği x=1x=1 doğrusuna göre simetrik olduğundan her xx için g(1−x)=g(1+x)g(1-x) = g(1+x) olur. Burada 1−x1-x yerine x−1x-1 yazılırsa g(x−1)=g(2−(x−1))=g(3−x)g(x-1) = g(2-(x-1)) = g(3-x) elde edilir.
2
Verilen ana denklemde xx yerine 4−x4-x yazarak yeni bir denklem elde etmek.
f(4−x)+g(x−1)=x2−6x+13f(4-x) + g(x-1) = x^2 - 6x + 13 denklemini bulmak.
f(x)+f(4−x)=6f(x) + f(4-x) = 6 ilişkisini kullanabilmek amacıyla ana denklemde değişken değiştirme yapılır. xx yerine 4−x4-x yazıldığında (4−x)2−2(4−x)+5=x2−8x+16−8+2x+5=x2−6x+13(4-x)^2 - 2(4-x) + 5 = x^2 - 8x + 16 - 8 + 2x + 5 = x^2 - 6x + 13 bulunur.
3
gg fonksiyonunun simetri özelliğini kullanarak denklemi düzenlemek ve f(x)f(x) fonksiyonunu bulmak.
f(x)=2x−1f(x) = 2x - 1 fonksiyonunu bulmak.
g(x−1)=g(3−x)g(x-1) = g(3-x) simetrisi kullanılarak ikinci denklem f(4−x)+g(3−x)=x2−6x+13f(4-x) + g(3-x) = x^2 - 6x + 13 haline getirilir. Bu denklem ilk denklem olan f(x)+g(3−x)=x2−2x+5f(x) + g(3-x) = x^2 - 2x + 5 ifadesinden çıkarıldığında f(x)−f(4−x)=4x−8f(x) - f(4-x) = 4x - 8 elde edilir. Bu eşitlik f(x)+f(4−x)=6f(x) + f(4-x) = 6 ile taraf tarafa toplanarak 2f(x)=4x−2  ⟹  f(x)=2x−12f(x) = 4x - 2 \implies f(x) = 2x - 1 bulunur.
4
f(x)f(x) fonksiyonunu yerine yazarak g(3−x)g(3-x) ifadesini elde etmek ve istenen değeri hesaplamak.
g(f(3))=18g(f(3)) = 18 değerini elde etmek.
f(x)+g(3−x)=x2−2x+5f(x) + g(3-x) = x^2 - 2x + 5 denkleminde f(x)=2x−1f(x) = 2x - 1 yazılırsa g(3−x)=x2−4x+6g(3-x) = x^2 - 4x + 6 olur. İstenen değer g(f(3))g(f(3)) olup öncelikle f(3)=2(3)−1=5f(3) = 2(3) - 1 = 5 hesaplanır. g(5)g(5) değerini bulmak için 3−x=5  ⟹  x=−23-x=5 \implies x=-2 yazılarak g(5)=(−2)2−4(−2)+6=18g(5) = (-2)^2 - 4(-2) + 6 = 18 bulunur.

Anahtar Kavram

Noktaya ve doğruya göre simetri dönüşümlerinin fonksiyon denklemleri üzerindeki cebirsel etkileri.
Soru 1224Soru →

a=sin⁡(100∘)a = \sin(100^\circ)

b=cos⁡(220∘)b = \cos(220^\circ)

c=tan⁡(315∘)c = \tan(315^\circ)

olduğuna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: c < b < a

Cevap

c < b < a
Doğru sıralama c < b < a şeklindedir. Çünkü a değeri pozitif iken, b değeri -1 ile 0 arasında negatif bir değer alır ve c değeri tam olarak -1'e eşittir. Bu durumda en küçük değer c, ardından b ve en büyük değer a olur.

Adım Adım Çözüm

1
Açılarının bölgelerini ve trigonometrik fonksiyonların bu bölgelerdeki işaretlerini belirleme.
a=sin⁡(100∘)>0a = \sin(100^\circ) > 0 (II. bölgede sinüs pozitiftir), b=cos⁡(220∘)<0b = \cos(220^\circ) < 0 (III. bölgede kosinüs negatiftir), c=tan⁡(315∘)<0c = \tan(315^\circ) < 0 (IV. bölgede tanjant negatiftir).
Sıralama yaparken ilk adım olarak değerlerin işaretlerini belirlemek karşılaştırmayı kolaylaştırır.
2
Negatif olan bb ve cc değerlerinin büyüklüklerini kıyaslama.
c=tan⁡(315∘)=−1c = \tan(315^\circ) = -1 ve b=cos⁡(220∘)=−cos⁡(40∘)b = \cos(220^\circ) = -\cos(40^\circ) olur. 0<cos⁡(40∘)<10 < \cos(40^\circ) < 1 olduğundan, −1<−cos⁡(40∘)<0-1 < -\cos(40^\circ) < 0 yani −1<b<0-1 < b < 0 elde edilir. Buradan c<bc < b bulunur.
Her iki değer de negatif olduğundan, sayı doğrusundaki konumlarına göre hangisinin daha küçük olduğunu belirlemek gerekir.
3
Tüm değerleri birleştirerek sıralamayı tamamlama.
c<b<ac < b < a
aa değeri pozitif, bb ve cc değerleri ise negatif olduğundan, en büyük değerin aa olduğu açıktır. Negatif değerler arasındaki sıralama da eklendiğinde nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaretleri ve sınır değerleri yardımıyla sıralanması
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 1225Soru →

Bir ABCABC üçgeninde ∣AB∣=3|AB| = 3 birim, ∣BC∣=5|BC| = 5 birim ve ∣AC∣=7|AC| = 7 birimdir. BCBC doğrusu üzerinde, CC noktası BB ile DD arasında kalacak şekilde bir DD noktası alınıyor.

∣AD∣=97|AD| = \sqrt{97} birim olduğuna göre, ∣CD∣|CD| uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Doğru yanıt 3 birimdir.
Kosinüs Teoremi'nin iki farklı üçgende ardışık olarak doğru işaretlerle uygulanmasıyla elde edilen ikinci dereceden denklem çözüldüğünde pozitif kök 3 birim olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC üçgeninde CC açısına göre Kosinüs Teoremi yazılır.
∣AB∣2=∣AC∣2+∣BC∣2−2⋅∣AC∣⋅∣BC∣⋅cos⁡(ACB^)|AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2 - 2 \cdot |AC| \cdot |BC| \cdot \cos(\widehat{ACB}) formülü oluşturulur.
CC açısının kosinüs değerini bularak bütünler açısının kosinüsüne geçiş yapmak.
2
Verilen uzunluklar formülde yerine koyulur.
32=72+52−2⋅7⋅5⋅cos⁡(ACB^)  ⟹  9=74−70cos⁡(ACB^)  ⟹  cos⁡(ACB^)=13143^2 = 7^2 + 5^2 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \cos(\widehat{ACB}) \implies 9 = 74 - 70 \cos(\widehat{ACB}) \implies \cos(\widehat{ACB}) = \frac{13}{14} bulunur.
CC açısının kosinüs değerini hesaplamak.
3
B,C,DB, C, D noktaları doğrusal olduğundan, ACB^\widehat{ACB} ile ACD^\widehat{ACD} açılarının bütünler olduğu belirlenir ve cos⁡(ACD^)\cos(\widehat{ACD}) değeri yazılır.
cos⁡(ACD^)=−cos⁡(ACB^)=−1314\cos(\widehat{ACD}) = -\cos(\widehat{ACB}) = -\frac{13}{14} elde edilir.
Bütünler açıların kosinüslerinin zıt işaretli olmasından faydalanarak yan taraftaki üçgende Kosinüs Teoremi'ni kullanıma hazırlamak.
4
ACDACD üçgeninde ∣CD∣=x|CD| = x kabul edilerek Kosinüs Teoremi uygulanır.
∣AD∣2=∣AC∣2+x2−2⋅∣AC∣⋅x⋅cos⁡(ACD^)  ⟹  97=49+x2−2⋅7⋅x⋅(−1314)  ⟹  97=49+x2+13x|AD|^2 = |AC|^2 + x^2 - 2 \cdot |AC| \cdot x \cdot \cos(\widehat{ACD}) \implies 97 = 49 + x^2 - 2 \cdot 7 \cdot x \cdot \left(-\frac{13}{14}\right) \implies 97 = 49 + x^2 + 13x denklemi elde edilir.
xx değişkenine bağlı ikinci dereceden bir denklem elde etmek.
5
Elde edilen x2+13x−48=0x^2 + 13x - 48 = 0 denklemi çözülür.
(x+16)(x−3)=0  ⟹  x=3(x + 16)(x - 3) = 0 \implies x = 3 veya x=−16x = -16 bulunur. Uzunluk negatif olamayacağından x=3x = 3 birimdir.
CDCD uzunluğunu kesin olarak bulmak.

Anahtar Kavram

Bütünler açıların kosinüs değerleri arasındaki zıt işaret ilişkisi ve Kosinüs Teoremi'nin ardışık olarak uygulanması.

Alternatif Yöntem

ABCABC üçgeninde BB açısına göre Kosinüs Teoremi uygulanarak cos⁡(B^)=−1/2\cos(\widehat{B}) = -1/2 bulunur. Buradan ABDABD üçgeninde ∣BD∣=5+x|BD| = 5+x yazılarak Kosinüs Teoremi tekrar uygulanır ve x=3x = 3 elde edilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 1226Soru →

Bir lunaparktaki dönme dolap daire şeklinde olup üzerindeki 12 adet kabin, saat kadranındaki sayılar gibi 1'den 12'ye kadar saat yönünde ardışık olarak dizilmiştir. Bu dönme dolap çalıştırıldığında saat yönünde (negatif yönde) dönmektedir.

Başlangıçta en tepede 12 numaralı kabin bulunmaktadır. Dönme dolap çalışmaya başlayıp toplamda −35π3-\frac{35\pi}{3} radyanlık bir dönüş gerçekleştirdiğinde, 12 numaralı kabin başlangıçtaki konumuna göre hangi numaralı kabinin yerinde bulunur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

10 numaralı kabin
Dönme dolabın saat yönünde dönmesi negatif yönlü bir hareket olduğunu gösterir. −35π3-\frac{35\pi}{3} radyanlık açının esas ölçüsü π3\frac{\pi}{3} radyan, yani 60∘60^\circ olarak bulunur. Bu da saat yönünün tersine 60∘60^\circ'lik bir harekete eş değerdir. Kabinler arası açı 30∘30^\circ olduğundan, en tepedeki 12 numaralı kabin pozitif yönde 2 kabin ilerleyerek 10 numaralı kabinin başlangıçtaki yerine ulaşır.

Adım Adım Çözüm

1
Dönme dolabın dönüş yönü ve açısı belirlenir.
Dönme dolap saat yönünde döndüğü için dönme açısı −35π3-\frac{35\pi}{3} radyandır.
Saat yönü, trigonometride negatif yön olarak kabul edilir.
2
Negatif yönlü açının esas ölçüsü hesaplanır.
−35π3-\frac{35\pi}{3} açısının esas ölçüsü π3\frac{\pi}{3} radyandır.
Negatif açının üzerine 2π2\pi'nin tam katları (bu durumda 12π12\pi) eklenerek 00 ile 2π2\pi aralığında bir pozitif açı elde edilir.
3
Bulunan esas ölçü derece cinsine çevrilir.
π3\frac{\pi}{3} radyan =60∘= 60^\circ olur.
Radyan cinsinden verilen bir açıyı dereceye çevirmek için π\pi yerine 180∘180^\circ yazılır.
4
Kabinin yeni konumu belirlenir.
En tepedeki (12 numaralı) kabin saat yönünün tersine (pozitif yönde) 60∘60^\circ döner ve 10 numaralı kabinin yerine gelir.
12 kabin eşit aralıklarla yerleştirildiği için ardışık iki kabin arası açı 30∘30^\circ'dir. 60∘60^\circ'lik pozitif yönlü (saat yönünün tersine) dönüş, kabini 2 adım geriye (12'den 11'e ve 10'a) götürür.

Anahtar Kavram

Yönlü Açılar ve Esas Ölçü Hesaplama
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1227Soru →
Grafiği yy-eksenine göre simetrik olan ff fonksiyonu her xx gerçek sayısı için
f(x)+3f(−x)=2x2+8f(x) + 3f(-x) = 2x^2 + 8
eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Doğru cevap 4 değerini içeren seçenektir.
Grafiği yy-eksenine göre simetrik olan fonksiyonlarda her xx gerçek sayısı için f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) eşitliği sağlanır. Bu özellik verilen f(x)+3f(−x)=2x2+8f(x) + 3f(-x) = 2x^2 + 8 denkleminde yerine yazılırsa 4f(x)=2x2+84f(x) = 2x^2 + 8 elde edilir. Buradan f(x)=x22+2f(x) = \frac{x^2}{2} + 2 bulunur. x=2x = 2 yazılarak f(2)=222+2=4f(2) = \frac{2^2}{2} + 2 = 4 sonucuna ulaşılır. Dolayısıyla doğru yanıt 4 değerini içeren seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Grafiğin yy-eksenine göre simetrik olmasından yararlanarak f(−x)f(-x) ifadesinin eşitini belirleyin.
f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)
yy-eksenine göre simetrik olan fonksiyonlar çift fonksiyondur ve bu fonksiyonlarda her xx gerçek sayısı için f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) eşitliği sağlanır.
2
Verilen denklemde f(−x)f(-x) yerine f(x)f(x) yazarak denklemi tek bir bilinmeyenli fonksiyon terimine dönüştürün.
f(x)+3f(x)=2x2+8⇒4f(x)=2x2+8f(x) + 3f(x) = 2x^2 + 8 \Rightarrow 4f(x) = 2x^2 + 8
Denklemi çözülebilir kılmak için f(−x)f(-x) terimini f(x)f(x) cinsinden yazıp benzer terimleri toplarız.
3
f(x)f(x) ifadesini yalnız bırakın ve x=2x = 2 değerini yerine yazarak f(2)f(2)'yi hesaplayın.
f(x)=2x2+84=x22+2⇒f(2)=222+2=2+2=4f(x) = \frac{2x^2 + 8}{4} = \frac{x^2}{2} + 2 \Rightarrow f(2) = \frac{2^2}{2} + 2 = 2 + 2 = 4
İstenen f(2)f(2) değerini elde etmek için fonksiyonda xx değişkeninin yerine 22 yazılır.

Anahtar Kavram

Grafiği y-eksenine göre simetrik olan fonksiyonlarda f(-x) = f(x) olması
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 1228Soru →

Dik koordinat düzleminde, y=f(x)y = f(x) fonksiyonunun grafiği 3 birim sola ve 2 birim yukarı ötelendiğinde y=g(x)y = g(x) fonksiyonunun grafiği elde edilmektedir.

f(x)=x2−2x+5f(x) = x^2 - 2x + 5

olduğuna göre, g(x)g(x) fonksiyonunun grafiğinin yy eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

10
Grafiğin 3 birim sola ötelenmesi x yerine x+3 yazılması anlamına gelir. 2 birim yukarı ötelenmesi ise fonksiyona 2 eklenmesini gerektirir. Bu durumda yeni fonksiyon g(x)=f(x+3)+2g(x) = f(x+3) + 2 olur. yy eksenini kestiği noktanın ordinatını bulmak için x=0x=0 yazıldığında g(0)=f(3)+2g(0) = f(3) + 2 elde edilir. f(3)=8f(3) = 8 olduğundan doğru yanıt 10 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Öteleme kurallarını kullanarak g(x) fonksiyonunu f(x) cinsinden ifade etme
g(x)=f(x+3)+2g(x) = f(x + 3) + 2
Bir fonksiyonun grafiği a birim sola ötelendiğinde x yerine x+a yazılır, b birim yukarı ötelendiğinde ise fonksiyona b eklenir.
2
g(x) fonksiyonunun y eksenini kestiği noktanın ordinatını veren g(0) ifadesini oluşturma
g(0)=f(3)+2g(0) = f(3) + 2
Grafiğin y eksenini kestiği noktayı bulmak için fonksiyonda x yerine 0 yazılır.
3
f(3) değerini hesaplayıp g(0) ifadesinde yerine yazarak sonucu bulma
f(3)=32−2(3)+5=8  ⟹  g(0)=8+2=10f(3) = 3^2 - 2(3) + 5 = 8 \implies g(0) = 8 + 2 = 10
Verilen f(x) kuralında x yerine 3 yazılarak f(3) değeri hesaplanır ve ardından dikey öteleme miktarı eklenir.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda yatay öteleme f(x+a) ve dikey öteleme f(x)+b kurallarının uygulanması.
Soru 1229Soru →
f:[4,7]→Rf: [4, 7] \rightarrow \mathbb{R} olmak üzere,
f(x)=−x2+6x+10f(x) = -x^2 + 6x + 10
fonksiyonunun tanımlı olduğu aralıktaki en büyük değeri ile en küçük değerinin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

En büyük ve en küçük değerlerin toplamı 21'dir.
Doğru cevap olan 21 değeri, fonksiyonun tepe noktasının apsisi olan 3'ün tanım aralığının solunda kaldığı ve a=−1<0a = -1 < 0 olduğu için fonksiyonun [4,7][4, 7] aralığında tamamen azalan olmasından kaynaklanır. Böylece en büyük değer sol uçta f(4)=18f(4) = 18, en küçük değer ise sağ uçta f(7)=3f(7) = 3 olarak bulunur ve toplamları 21 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün tepe noktasının apsisini (rr) hesaplama
r=−b2a=−62(−1)=3r = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2(-1)} = 3
Parabolün yönünü ve artan/azalan olduğu aralıkları belirlemek için tepe noktasının apsisi bulunur.
2
Tepe noktasının verilen [4,7][4, 7] tanım aralığında olup olmadığını kontrol etme ve fonksiyonun bu aralıktaki karakterini belirleme
3∉[4,7]3 \notin [4, 7] ve a=−1<0a = -1 < 0 olduğundan, parabolün kolları aşağı doğrudur. Dolayısıyla fonksiyon x>3x > 3 için azalandır. Bu durumda [4,7][4, 7] aralığındaki fonksiyon tamamen azalandır.
Tanım kümesi sınırlandırılmış fonksiyonlarda en büyük ve en küçük değerler uç noktalarda veya aralığa düşen tepe noktasında oluşur.
3
Aralığın uç noktalarındaki fonksiyon değerlerini hesaplama
En büyük değer sol uçta: f(4)=−(4)2+6(4)+10=−16+24+10=18f(4) = -(4)^2 + 6(4) + 10 = -16 + 24 + 10 = 18.
En küçük değer sağ uçta: f(7)=−(7)2+6(7)+10=−49+42+10=3f(7) = -(7)^2 + 6(7) + 10 = -49 + 42 + 10 = 3.
Azalan bir fonksiyonda en küçük girdi en büyük çıktıyı, en büyük girdi ise en küçük çıktıyı verir.
4
Elde edilen en büyük ve en küçük değerleri toplama
18+3=2118 + 3 = 21
Soruda istenen en büyük ve en küçük değerlerin toplamını bulmak amacıyla toplama işlemi gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

Sınırlandırılmış bir aralıkta tanımlı ikinci dereceden bir fonksiyonun (parabolün) en büyük ve en küçük değerlerini bulurken tepe noktasının aralık içinde olup olmadığının kontrol edilmesi.
Soru 1230Soru →

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı

(∣x−2∣−3)⋅(x2−9)2(x2−2x−8)⋅(25−x2)≥0 \frac{(|x - 2| - 3) \cdot (x^2 - 9)^2}{(x^2 - 2x - 8) \cdot (25 - x^2)} \geq 0

eşitsizliğini sağlayan tüm xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -2

Cevap

Eşitsizliği sağlayan tüm x tam sayılarının toplamı -2'dir.
İşaret tablosu doğru oluşturulup payda kökleri dışlandığında, eşitsizliği sağlayan tam sayılar kümesi {-4, -3, -1, 0, 1, 2, 3} olarak elde edilir. Bu sayıların toplamı -2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Payın köklerini ve bu köklerin katlarını belirleme.
∣x−2∣−3=0  ⟹  x=5|x - 2| - 3 = 0 \implies x = 5 (1. kat) ve x=−1x = -1 (1. kat). (x2−9)2=0  ⟹  x=3(x^2 - 9)^2 = 0 \implies x = 3 (2. kat, çift katlı) ve x=−3x = -3 (2. kat, çift katlı).
Çarpım durumundaki ifadelerin köklerini bulup işaret tablosuna yerleştirmek gerekir.
2
Paydanın köklerini belirleme ve tanımsızlık koşullarını yazma.
x2−2x−8=0  ⟹  (x−4)(x+2)=0  ⟹  x=4x^2 - 2x - 8 = 0 \implies (x - 4)(x + 2) = 0 \implies x = 4 (payda kökü, 1. kat) ve x=−2x = -2 (payda kökü, 1. kat). 25−x2=0  ⟹  (5−x)(5+x)=0  ⟹  x=525 - x^2 = 0 \implies (5 - x)(5 + x) = 0 \implies x = 5 (payda kökü, 1. kat) ve x=−5x = -5 (payda kökü, 1. kat). Payda kökleri (x≠4,−2,5,−5x \neq 4, -2, 5, -5) çözüm kümesinden hariç tutulmalıdır.
Rasyonel ifadelerde paydayı sıfır yapan değerler ifadeyi tanımsız yapar.
3
Köklerin net katlarını analiz etme.
x=5x = 5 kökü hem payın hem paydanın köküdür. Her ikisinde de 1. kattan olduğu için ifadenin genelinde çift katlı kök gibi davranır (işaret değiştirmez), ancak paydada da bulunduğu için çözüm kümesine alınamaz (x≠5x \neq 5). Diğer köklerin net katları tektir.
Aynı kökten hem pay hem paydada bulunması durumunda katların toplamı alınarak işaret değişimi incelenir.
4
İşaret tablosunu oluşturma.
En sağ aralık olan x>5x > 5 için ifadenin işareti negatiftir (−-). İşaret tablosu: x∈(5,∞)  ⟹  −x \in (5, \infty) \implies -, x∈(4,5)  ⟹  −x \in (4, 5) \implies -, x∈(3,4)  ⟹  +x \in (3, 4) \implies +, x∈(−1,3)  ⟹  +x \in (-1, 3) \implies +, x∈(−2,−1)  ⟹  −x \in (-2, -1) \implies -, x∈(−3,−2)  ⟹  +x \in (-3, -2) \implies +, x∈(−5,−3)  ⟹  +x \in (-5, -3) \implies +, x∈(−∞,−5)  ⟹  −x \in (-\infty, -5) \implies -.
Baş katsayıların ve mutlak değerli terimlerin işaretleri incelenerek en sağ aralığın işareti belirlenir ve köklerden geçerken işaret değiştirilir.
5
Çözüm kümesini bulma ve tam sayı değerlerinin toplamını hesaplama.
Eşitsizliğin ≥0\geq 0 olduğu çözüm kümesi: (−5,−2)∪[−1,4)(-5, -2) \cup [-1, 4) aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayılar: −4,−3,−1,0,1,2,3-4, -3, -1, 0, 1, 2, 3'tür. Toplamları ise: (−4)+(−3)+(−1)+0+1+2+3=−2(-4) + (-3) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 = -2 olur.
Eşitsizliği sağlayan aralıklardaki tam sayılar toplanarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Rasyonel eşitsizliklerde payda köklerinin hariç tutulması, çift katlı köklerde işaretin değişmemesi ve ortak köklerin kat analizi.
Soru 1231Soru →

θ\theta bir dar açı olmak üzere,

cos⁡(θ−7π2)⋅tan⁡(13π+θ)sin⁡(5π−θ)⋅cot⁡(9π2−θ)\frac{\cos\left(\theta - \frac{7\pi}{2}\right) \cdot \tan(13\pi + \theta)}{\sin(5\pi - \theta) \cdot \cot\left(\frac{9\pi}{2} - \theta\right)}

ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −1-1

Cevap

İfadenin en sade şekli −1-1 olarak bulunur.
Verilen ifadeyi sadeleştirmek için her bir trigonometrik fonksiyon ayrı ayrı indirgenir. Kosinüs çift fonksiyon olduğundan cos⁡(θ−7π/2)=cos⁡(7π/2−θ)\cos(\theta - 7\pi/2) = \cos(7\pi/2 - \theta) yazılabilir. 7π/27\pi/2 açısının esas ölçüsü 3π/23\pi/2 olup, üçüncü bölgede kosinüs negatif işaretlidir ve isim değiştirerek −sin⁡θ-\sin\theta olur. Tanjantın periyodu π\pi olduğundan tan⁡(13π+θ)=tan⁡θ\tan(13\pi + \theta) = \tan\theta olur. Paydadaki 5π5\pi açısının esas ölçüsü π\pi olup, ikinci bölgede sinüs pozitif olduğundan sin⁡(5π−θ)=sin⁡θ\sin(5\pi - \theta) = \sin\theta olur. Son olarak 9π/29\pi/2 açısının esas ölçüsü π/2\pi/2 olup, birinci bölgede kotanjant pozitif ve isim değiştirerek tan⁡θ\tan\theta olur. Değerler kesirde yerine yazıldığında pay (−sin⁡θ)⋅tan⁡θ(-\sin\theta) \cdot \tan\theta, payda ise sin⁡θ⋅tan⁡θ\sin\theta \cdot \tan\theta olur ve sadeleştirme sonucunda −1-1 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki kosinüs terimini esas ölçü ve indirgeme kuralları ile sadeleştirmek.
cos⁡(θ−7π2)=−sin⁡θ\cos\left(\theta - \frac{7\pi}{2}\right) = -\sin\theta
Kosinüs fonksiyonu çift fonksiyon olduğundan cos⁡(x)=cos⁡(−x)\cos(x) = \cos(-x) eşitliği geçerlidir. Buradan cos⁡(θ−7π2)=cos⁡(7π2−θ)\cos\left(\theta - \frac{7\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{7\pi}{2} - \theta\right) elde edilir. 7π2\frac{7\pi}{2} açısının esas ölçüsü 3π2\frac{3\pi}{2} radyandır. 3π2−θ\frac{3\pi}{2} - \theta açısı üçüncü bölgede yer alır. Üçüncü bölgede kosinüsün işareti negatif olduğundan ve 3π2\frac{3\pi}{2} referans alındığından isim değişerek −sin⁡θ-\sin\theta olur.
2
Pay kısmındaki tanjant teriminin esas ölçüsünü bularak sadeleştirmek.
tan⁡(13π+θ)=tan⁡θ\tan(13\pi + \theta) = \tan\theta
Tanjant fonksiyonunun periyodu π\pi radyandır. Dolayısıyla 13π13\pi açısının içindeki tüm π\pi katları atıldığında ifadenin değeri değişmez ve doğrudan tan⁡θ\tan\theta olarak sadeleşir.
3
Payda kısmındaki sinüs ve kotanjant terimlerini indirgeme kuralları ile sadeleştirmek.
sin⁡(5π−θ)=sin⁡θ\sin(5\pi - \theta) = \sin\theta ve cot⁡(9π2−θ)=tan⁡θ\cot\left(\frac{9\pi}{2} - \theta\right) = \tan\theta
5π5\pi açısının esas ölçüsü π\pi radyandır. π−θ\pi - \theta açısı ikinci bölgede yer alır. İkinci bölgede sinüs fonksiyonunun işareti pozitif olduğundan sin⁡(π−θ)=sin⁡θ\sin(\pi - \theta) = \sin\theta olur. 9π2\frac{9\pi}{2} açısının esas ölçüsü π2\frac{\pi}{2} radyandır. π2−θ\frac{\pi}{2} - \theta açısı birinci bölgede yer alır. Birinci bölgede tüm fonksiyonlar pozitif olup π2\frac{\pi}{2} referans alındığından isim değişerek tan⁡θ\tan\theta olur.
4
Elde edilen sadeleşmiş terimleri ana kesirde yerine yazarak sadeleştirme işlemini tamamlamak.
(−sin⁡θ)⋅tan⁡θsin⁡θ⋅tan⁡θ=−1\frac{(-\sin\theta) \cdot \tan\theta}{\sin\theta \cdot \tan\theta} = -1
Payda ve pay kısmında yer alan sin⁡θ\sin\theta ve tan⁡θ\tan\theta terimleri birbirini sadeleştirir. Geriye yalnızca pay kısmından gelen eksi işareti kalır, böylece sonuç −1-1 olur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların esas ölçüleri bulunduktan sonra, açının bölgesine göre fonksiyonun işaretinin belirlenmesi ve eksen referansına (π\pi veya π2\frac{\pi}{2}) göre isim değiştirip değiştirmeyeceğine karar verilmesi.
Soru 1232Soru →

Analitik düzlemdeki birim çember üzerinde, koordinatları P(−35,45)P\left(-\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right) olan bir PP noktası veriliyor. PP noktasını orijine birleştiren ışının, xx ekseninin pozitif yön��yle yaptığı açı α\alpha dır.

Buna göre,
cos⁡(3π2−α)⋅tan⁡(π+α)sin⁡(3π−α)\frac{\cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) \cdot \tan(\pi + \alpha)}{\sin(3\pi - \alpha)}
ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 43\frac{4}{3}

Cevap

İfadenin değeri dört bölü üçtür.
Birim çember üzerindeki P(−35,45)P\left(-\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right) noktası koordinat düzleminin 2. bölgesindedir. Burada cos⁡α=−35\cos\alpha = -\frac{3}{5} ve sin⁡α=45\sin\alpha = \frac{4}{5} olup tan⁡α=−43\tan\alpha = -\frac{4}{3} değerine ulaşılır. Soruda verilen ifadedeki terimler indirgendiğinde: cos⁡(3π2−α)=−sin⁡α\cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\sin\alpha, tan⁡(π+α)=tan⁡α\tan(\pi + \alpha) = \tan\alpha ve sin⁡(3π−α)=sin⁡α\sin(3\pi - \alpha) = \sin\alpha elde edilir. Bu değerler kesirde yerine koyulduğunda sinüs terimleri sadeleşir ve geriye −tan⁡α-\tan\alpha kalır. Tanımlanan tan⁡α=−43\tan\alpha = -\frac{4}{3} değeri yerine yazıldığında sonuç dört bölü üç olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Birim çember üzerindeki noktanın koordinatlarından trigonometrik oranları belirlemek
cos⁡α=−35\cos\alpha = -\frac{3}{5}, sin⁡α=45\sin\alpha = \frac{4}{5} ve buradan tan⁡α=sin⁡αcos⁡α=4/5−3/5=−43\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{4/5}{-3/5} = -\frac{4}{3} bulunur.
Birim çember üzerindeki bir noktanın apsisi açının kosinüsüne, ordinatı ise sinüsüne eşittir.
2
Pay ve paydadaki ifadeleri bölgelere göre indirgemek
cos⁡(3π2−α)=−sin⁡α\cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\sin\alpha, tan⁡(π+α)=tan⁡α\tan(\pi + \alpha) = \tan\alpha ve sin⁡(3π−α)=sin⁡(π−α)=sin⁡α\sin(3\pi - \alpha) = \sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha elde edilir.
3π2\frac{3\pi}{2} kullanıldığında isim değişir ve 3. bölgede kosinüs negatiftir. π\pi ve 3π3\pi kullanıldığında isim değişmez; bölgelere göre işaret tespiti yapılır.
3
İndirgenen ifadeleri yerine yazarak sadeleştirme yapmak
(−sin⁡α)⋅tan⁡αsin⁡α=−tan⁡α\frac{(-\sin\alpha) \cdot \tan\alpha}{\sin\alpha} = -\tan\alpha elde edilir.
Pay ve paydadaki sin⁡α\sin\alpha ifadeleri birbirini sadeleştirir.
4
Sayısal değeri yerine koyarak nihai sonucu hesaplamak
−tan⁡α=−(−43)=43-\tan\alpha = -\left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{3} bulunur.
İlk adımda elde edilen tan⁡α\tan\alpha değeri yerine yazılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Fonksiyonların Bölgelere Göre İndirgenmesi
Soru 1233Soru →

Bir güneş enerjisi santralinde üretilen elektrik gücü (megavat cinsinden), günün 10.0010.00 ile 16.0016.00 saatleri arasında (bu saatler dahil) geçen süre tt (saat) olmak üzere,

P(t)=−t2+18t−30P(t) = -t^2 + 18t - 30

fonksiyonu ile modellenmektedir.

Buna göre, bu santralde belirtilen saat aralığında üretilen maksimum elektrik gücü ile minimum elektrik gücü arasındaki fark kaç megavattır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

Belirtilen saat aralığında üretilen maksimum elektrik gücü ile minimum elektrik gücü arasındaki fark 48 megavattır.
Fonksiyonun tepe noktası t=9t = 9 olup [10,16][10, 16] aralığının dışındadır. t2t^2 teriminin katsayısı negatif olduğu için parabol kolları aşağı bakar ve t>9t > 9 için fonksiyon azalandır. Dolayısıyla, [10,16][10, 16] aralığındaki maksimum değer sol uçta (t=10t = 10 için 5050), minimum değer ise sağ uçta (t=16t = 16 için 22) elde edilir. Bu iki değer arasındaki fark 50−2=4850 - 2 = 48 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün tepe noktasının apsisini (rr) hesaplayın.
r=9r = 9
İkinci dereceden fonksiyonlarda en büyük veya en küçük değer genellikle tepe noktasında oluştuğundan öncelikle tepe noktasının konumu belirlenir.
2
Tepe noktasının verilen [10,16][10, 16] kapalı aralığında yer alıp almadığını kontrol edin.
9∉[10,16]9 \notin [10, 16] olduğundan, fonksiyon bu aralıkta tepe noktasında ekstremum değer alamaz. a<0a < 0 olduğu için fonksiyon bu aral��kta daima azalandır.
Sınırlandırılmış aralıklarda en büyük ve en küçük değerler araştırılırken tepe noktasının aralık içinde olup olmadığı kritik bir adımd��r.
3
Aralığın uç noktaları olan t=10t = 10 ve t=16t = 16 için fonksiyon değerlerini hesaplayarak maksimum ve minimum değerleri belirleyin.
P(10)=50P(10) = 50 (Maksimum) ve P(16)=2P(16) = 2 (Minimum)
Daima azalan bir fonksiyon sınırlı bir aralıkta en büyük değerini sol uçta, en küçük değerini ise sağ uçta alır.
4
Maksimum güç ile minimum güç değerleri arasındaki farkı hesaplayın.
50−2=4850 - 2 = 48
Soruda istenen maksimum ve minimum değerler arasındaki farkı bulmak için büyük değerden küçük değer çıkarılır.

Anahtar Kavram

Tanım kümesi [a,b][a, b] gibi kapalı bir aralıkla sınırlandırılmış ikinci dereceden bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri bulunurken, parabolün tepe noktasının (rr) bu aralıkta olup olmadığı kontrol edilir. Eğer r∉[a,b]r \notin [a, b] ise fonksiyon bu aralıkta monotondur (daima artan veya daima azalan) ve ekstremum değerlerini sadece aralığın uç noktalarında (f(a)f(a) ve f(b)f(b) değerlerinde) alabilir.
Soru 1234Soru →
(x−1)2⋅(x2−4)x2−x−2≤0 \frac{(x - 1)^2 \cdot (x^2 - 4)}{x^2 - x - 2} \le 0 eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

Eşitsizliği sağlayan xx tam sayılarının toplamı -1'dir.
Verilen rasyonel eşitsizlikte pay ve payda çarpanlarına ayrılıp sadeleştirildiğinde, x≠2x \neq 2 ve x≠−1x \neq -1 koşulları altında (x−1)2(x+2)x+1≤0\frac{(x - 1)^2(x + 2)}{x + 1} \le 0 eşitsizliği elde edilir. Bu eşitsizliğin kökleri x=−2x = -2, x=−1x = -1 ve çift katlı kök olan x=1x = 1 değerleridir. İşaret tablosu incelendiğinde, ifadenin negatif olduğu tek aralığın [−2,−1)[-2, -1) olduğu görülür. Ayrıca x=1x = 1 değeri ifadeyi sıfır yaptığı ve tanımlı olduğu için çözüm kümesine eklenir. Dolayısıyla çözüm kümesi [−2,−1)∪{1}[-2, -1) \cup \{1\} olur. Bu aralıktaki tam sayılar yalnızca −2-2 ve 11 değerleridir, toplamları ise −1-1 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Pay ve paydadaki polinom ifadelerini çarpanlarına ayırın.
Pay: (x−1)2(x−2)(x+2)(x - 1)^2(x - 2)(x + 2), Payda: (x−2)(x+1)(x - 2)(x + 1)
Eşitsizliğin köklerini bulmak ve sadeleşen terimleri belirlemek amacıyla çarpanlara ayırma yöntemi uygulanır.
2
Tanım kümesini belirlemek için paydayı sıfır yapan değerleri saptayın.
x≠2x \neq 2 ve x≠−1x \neq -1 olmalıdır.
Rasyonel ifadelerde paydayı sıfır yapan değerler ifadeyi tan��msız kılacağı için çözüm kümesine dahil edilemez.
3
Ortak terimleri sadeleştirerek kalan ifadenin köklerini ve bu köklerin katlılık durumlarını analiz edin.
Sadeleşmiş ifade: (x−1)2(x+2)x+1≤0\frac{(x - 1)^2(x + 2)}{x + 1} \le 0. Kökler: x=−2x = -2 (tek katlı), x=−1x = -1 (payda kökü, tek katlı), x=1x = 1 (çift katlı).
Sadeleşen (x−2)(x - 2) çarpanının kökü olan x=2x = 2 değeri eşitsizliği bozmaz fakat tanım kümesinden çıkarılmalıdır. Kalan köklerin katları işaret tablosundaki geçişleri belirler.
4
İşaret tablosu oluşturarak eşitsizliğin sağlandığı aralıkları bulun.
Çözüm kümesi: [−2,−1)∪{1}[-2, -1) \cup \{1\}
Eşitsizliği sıfırdan küçük veya eşit yapan xx değerlerini tespit etmek için işaret incelemesi yapılır. x=1x = 1 çift katlı kökü ifadeyi sıfır yaptığı için kümeye dahil edilir.
5
Çözüm kümesindeki tam sayıların değerlerini belirleyin ve toplayın.
Ç��züm kümesindeki tam sayılar −2-2 ve 11 olup, toplamları (−2)+1=−1(-2) + 1 = -1 bulunur.
Eşitsizliği sağlayan tam sayıların toplamına ulaşmak için küme içindeki tam sayılar toplanır.

Anahtar Kavram

Rasyonel eşitsizliklerde sadeleştirme yapıldığında payda köklerinin tanım kümesi dışı bırakılması, çift katlı köklerde işaretin değişmemesi ve eşitlik durumunda payın köklerinin çözüm kümesine dahil edilmesi.
Soru 1235Soru →

Her xx gerçel sayısı için (m−2)x2−2(m−2)x+3>0(m-2)x^2 - 2(m-2)x + 3 > 0 eşitsizliği sağlanırken, her xx gerçel sayısı için (m−6)x2−2(m−6)x+m−8<0(m-6)x^2 - 2(m-6)x + m - 8 < 0 eşitsizliğinin de sağlanması için mm'nin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı 9'dur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen önerme doğrudur. Koşulları sağlayan mm tam sayılarının toplamı gerçekten 9'dur.
Verilen önermedeki her iki eşitsizlik de başkatsayıların sıfır olma durumları dahil edilerek çözüldüğünde elde edilen m∈[2,5)m \in [2, 5) aralığındaki tam sayıların (2,3,42, 3, 4) toplamı gerçekten 9 çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizliğin daima sağlanma durumunu inceleme
m=2m=2 için 3>03>0 (doğru). m≠2m \neq 2 için m−2>0  ⟹  m>2m-2>0 \implies m>2 ve Δ1=4(m−2)2−12(m−2)<0  ⟹  4(m−2)(m−5)<0  ⟹  2<m<5\Delta_1 = 4(m-2)^2 - 12(m-2) < 0 \implies 4(m-2)(m-5) < 0 \implies 2 < m < 5. Birleşimden m∈[2,5)m \in [2, 5) elde edilir.
İkinci dereceden bir ifadenin her xx için pozitif olması, başkatsayısının pozitif ve diskriminantının negatif olmasına bağlıdır. Ayrıca başkatsayının sıfır olması durumu doğrusal terimleri yok ederek sabit bir pozitif sayı bırakıyorsa bu durum da çözüme dahil edilmelidir.
2
İkinci eşitsizliğin daima sağlanma durumunu inceleme
m=6m=6 için −2<0-2<0 (doğru). m≠6m \neq 6 için m−6<0  ⟹  m<6m-6<0 \implies m<6 ve Δ2=4(m−6)2−4(m−6)(m−8)<0  ⟹  8(m−6)<0  ⟹  m<6\Delta_2 = 4(m-6)^2 - 4(m-6)(m-8) < 0 \implies 8(m-6) < 0 \implies m < 6. Birleşimden m∈(−∞,6]m \in (-\infty, 6] elde edilir.
İkinci dereceden bir ifadenin her xx için negatif olması, başkatsayısının negatif ve diskriminantının negatif olmasına bağlıdır. Başkatsayının sıfır olması durumu da ayrıca kontrol edilmelidir.
3
İki durumun kesişimini alarak ortak mm değerlerini belirleme
m∈[2,5)∩(−∞,6]  ⟹  m∈[2,5)m \in [2, 5) \cap (-\infty, 6] \implies m \in [2, 5) aralığı elde edilir.
Her iki eşitsizliğin de aynı anda her xx gerçel sayısı için sağlanması istendiğinden elde edilen iki aralığın kesişimi alınmalıdır.
4
Aralıktaki tam sayıların toplamını bulma
m∈{2,3,4}m \in \{2, 3, 4\} olup toplamları 2+3+4=92+3+4=9 olarak bulunur.
Belirlenen aralıktaki tam sayı değerleri toplanarak önermenin doğruluğu test edilir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden eşitsizliklerin daima sağlanması (işaretinin sabit kalması) durumunda başkatsayı ve diskriminant incelemesi ile başkatsayının sıfır olma durumunun kontrolü.
Soru 1236Soru →

Aşağıda verilen aa, bb ve cc değerlerini küçükten b��yüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama a<b<ca < b < c şeklindedir.
Verilen trigonometrik ifadeler aynı cinsten yazıldığında sıralama kolayca yapılabilir. b=cos⁡(55∘)=sin⁡(35∘)b = \cos(55^\circ) = \sin(35^\circ) ve c=tan⁡(45∘)=1c = \tan(45^\circ) = 1 olduğu bilinmektedir. Birinci bölgede açısı büyüdükçe sinüs değeri artacağından sin⁡(15∘)<sin⁡(35∘)<1\sin(15^\circ) < \sin(35^\circ) < 1 sıralaması elde edilir. Bu durumda doğru sıralama a<b<ca < b < c şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
Kosinüs ifadesini sinüs cinsinden yazınız.
b=cos⁡(55∘)=sin⁡(90∘−55∘)=sin⁡(35∘)b = \cos(55^\circ) = \sin(90^\circ - 55^\circ) = \sin(35^\circ) elde edilir.
Farklı trigonometrik fonksiyonları aynı türden yazarak daha kolay karşılaştırmak için tümler açı özdeşliği kullanılır.
2
Tanjant değerini belirleyiniz.
c=tan⁡(45∘)=1c = \tan(45^\circ) = 1 elde edilir.
45∘45^\circ açısının tanjantı özel bir değerdir ve karşılaştırma için referans noktası sağlar.
3
Elde edilen tüm değerleri birbiriyle karşılaştırarak sıralayınız.
Birinci bölgede sinüs fonksiyonu artandır. Dolayısıyla 15∘<35∘15^\circ < 35^\circ olduğundan sin⁡(15∘)<sin⁡(35∘)<sin⁡(90∘)=1\sin(15^\circ) < \sin(35^\circ) < \sin(90^\circ) = 1 olur. Buradan a<b<ca < b < c sıralamasına ulaşılır.
Birinci bölgedeki dar açıların sinüs değerleri daima 11’den küçük olduğundan tan⁡(45∘)=1\tan(45^\circ) = 1 değeri en büyükt��r.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Değerlerin Sıralanması
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 1237Soru →

Dik koordinat düzleminde tanımlı f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3 fonksiyonu veriliyor.

g(x)=f(∣x∣)g(x) = f(|x|)
h(x)=−g(x−1)+2h(x) = -g(x-1) + 2

olduğuna göre, h(x)=0h(x) = 0 denklemini sağlayan tüm gerçel sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Denklemi sağlayan tüm gerçel sayıların toplamı 4'tür.
Doğru cevap olan 4 değeri, h(x) = 0 denkleminin tüm gerçel köklerinin bulunup toplanmasıyla elde edilir. h(x) fonksiyonu x = 1 doğrusuna göre simetrik olduğundan, tüm kökler bu doğruya göre simetrik çiftler oluşturur ve toplamları 4 olur.

Adım Adım Çözüm

1
g(x) fonksiyonunu oluşturma
g(x)=f(∣x∣)=∣x∣2−4∣x∣+3=x2−4∣x∣+3g(x) = f(|x|) = |x|^2 - 4|x| + 3 = x^2 - 4|x| + 3 fonksiyonu elde edilir. Bu fonksiyon y eksenine (x=0x = 0 doğrusuna) göre simetriktir.
h(x) fonksiyonunun tanımındaki g(x) bileşenini belirlemek için.
2
h(x) = 0 denklemini kurma ve sadeleştirme
−g(x−1)+2=0  ⟹  g(x−1)=2-g(x-1) + 2 = 0 \implies g(x-1) = 2 denklemi elde edilir.
h(x)'in sıfıra eşit olduğu noktaları bulmak için.
3
g(x-1) = 2 denklemini çözme
(∣x−1∣−2)2−1=2  ⟹  (∣x−1∣−2)2=3(|x-1| - 2)^2 - 1 = 2 \implies (|x-1| - 2)^2 = 3 olur. Buradan ∣x−1∣−2=3|x-1| - 2 = \sqrt{3} veya ∣x−1∣−2=−3|x-1| - 2 = -\sqrt{3} elde edilir.
Mutlak değerli denklemin köklerini bulmak için.
4
Kökleri tek tek hesaplama veya simetriyi kullanma
Birinci durumdan: ∣x−1∣=2+3  ⟹  x1=3+3|x-1| = 2 + \sqrt{3} \implies x_1 = 3 + \sqrt{3} ve x2=−1−3x_2 = -1 - \sqrt{3}. İkinci durumdan: ∣x−1∣=2−3  ⟹  x3=3−3|x-1| = 2 - \sqrt{3} \implies x_3 = 3 - \sqrt{3} ve x4=−1+3x_4 = -1 + \sqrt{3}. Tüm köklerin toplamı: (3+3)+(−1−3)+(3−3)+(−1+3)=4(3 + \sqrt{3}) + (-1 - \sqrt{3}) + (3 - \sqrt{3}) + (-1 + \sqrt{3}) = 4 bulunur.
Denklemin tüm gerçel köklerinin toplamına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda yansıma ve öteleme dönüşümlerinin simetri eksenine etkisi

Alternatif Yöntem

Denklemin köklerinin simetri ekseni olan x=1x = 1 doğrusuna göre simetrik olmasından faydalanılabilir. g(x)=f(∣x∣)g(x) = f(|x|) fonksiyonu çift fonksiyon olduğundan x=0x = 0 doğrusuna göre simetriktir. h(x)=−g(x−1)+2h(x) = -g(x-1) + 2 fonksiyonu ise bu grafiğin 1 birim sağa ötelenmesiyle elde edildiği için simetri ekseni x=1x = 1 doğrusu olur. h(x)=0h(x) = 0 denkleminin 4 farklı gerçel kökü olduğu belirlendikten sonra, kökler x=1x = 1 doğrusuna göre simetrik çiftler halinde olacağından, toplamları 2×2=42 \times 2 = 4 olarak doğrudan bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 1238Soru →

Aşağıda verilen aa, bb ve cc sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız:

a=cos⁡(2026∘)a = \cos(2026^\circ)
b=sin⁡(43π6)b = \sin\left(\frac{43\pi}{6}\right)
c=tan⁡(−17π5)c = \tan\left(-\frac{17\pi}{5}\right)

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

K��çükten büyüğe doğru sıralama c<a<bc < a < b şeklindedir.
Doğru sıralama küçükten büyüğe doğru c<a<bc < a < b şeklindedir. İndirgeme formülleri uygulandığında c=−tan⁡(72∘)<−1c = -\tan(72^\circ) < -1, a=−cos⁡(46∘)≈−0,69a = -\cos(46^\circ) \approx -0,69 ve b=−0,5b = -0,5 değerleri elde edilir. Sayı doğrusu üzerinde bu değerler soldan sağa sırasıyla cc, aa ve bb olarak sıralanır.

Adım Adım Çözüm

1
2026∘2026^\circ açısının esas ölçüsünü bulup indirgeyiniz.
2026∘=5×360∘+226∘2026^\circ = 5 \times 360^\circ + 226^\circ olduğundan esas ölçü 226∘226^\circ olur. III. bölgede kosinüs negatif olduğundan a=cos⁡(226∘)=cos⁡(180∘+46∘)=−cos⁡(46∘)a = \cos(226^\circ) = \cos(180^\circ + 46^\circ) = -\cos(46^\circ) elde edilir.
Büyük açların trigonometrik değerlerini karşılaştırmak için öncelikle esas ölçülerini bulup dar açı cinsinden ifade etmeliyiz.
2
43π6\frac{43\pi}{6} açısının esas ölçüsünü bulup indirgeyiniz.
43π6=6π+7π6=3×2π+7π6\frac{43\pi}{6} = 6\pi + \frac{7\pi}{6} = 3 \times 2\pi + \frac{7\pi}{6} olduğundan esas ölçü 7π6\frac{7\pi}{6} radyandır. III. bölgede sinüs negatif olduğundan b=sin⁡(7π6)=sin⁡(π+π6)=−sin⁡(π6)=−0,5b = \sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -0,5 elde edilir.
Radyan cinsinden verilen açıyı dar açı cinsinden yazarak değerini doğrudan bulabiliriz.
3
−17π5-\frac{17\pi}{5} açısının esas ölçüsünü bulup indirgeyiniz.
−17π5+4π=3π5-\frac{17\pi}{5} + 4\pi = \frac{3\pi}{5} (108∘108^\circ) olup esas ölçü II. bölgededir. II. bölgede tanjant negatif olduğundan c=tan⁡(108∘)=tan⁡(180∘−72∘)=−tan⁡(72∘)c = \tan(108^\circ) = \tan(180^\circ - 72^\circ) = -\tan(72^\circ) elde edilir.
Negatif radyanlı açıların üzerine 2π2\pi'nin katları eklenerek esas ölçü bulunur ve ardından dar açıya indirgenir.
4
Bulunan aa, bb ve cc değerlerini karşılaştırınız.
tan⁡(72∘)>tan⁡(45∘)=1\tan(72^\circ) > \tan(45^\circ) = 1 olduğundan c=−tan⁡(72∘)<−1c = -\tan(72^\circ) < -1 olur. cos⁡(46∘)\cos(46^\circ) değeri ise 0,50,5 ile 0,7070,707 arasındadır, bu yüzden a=−cos⁡(46∘)a = -\cos(46^\circ) değeri −0,707-0,707 ile −0,5-0,5 arasındadır. b=−0,5b = -0,5 olduğundan, sıralama c<a<bc < a < b şeklinde olur.
Negatif sayıların sıralanmasında mutlak değeri büyük olan sayı daha küçüktür.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1239Soru →
Dik koordinat düzleminde, aa ve bb gerçel sayılar olmak üzere,
f(x)=x2−2ax+a2+a+1f(x) = x^2 - 2ax + a^2 + a + 1
g(x)=−x2+2bx−b2−b+5g(x) = -x^2 + 2bx - b^2 - b + 5
parabolleri veriliyor.

f(x)f(x) parabolünün tepe noktası T1T_1, g(x)g(x) parabolünün tepe noktası T2T_2'dir.

T1T_1 ve T2T_2 noktaları y=x−1y = x - 1 doğrusuna göre simetrik olduğuna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

8 değeri doğrudur.
Doğru cevap olan 8 değeri, f(x)f(x) parabolünün tepe noktası T1(a,a+1)T_1(a, a+1) ve g(x)g(x) parabolünün tepe noktası T2(b,5−b)T_2(b, 5-b) olarak bulunduktan sonra, bu noktaların y=x−1y = x - 1 doğrusuna göre simetriklik şartları (b=4b = 4 ve a=2a = 2) uygulanarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)f(x) ve g(x)g(x) fonksiyonlarının tepe noktalarının koordinatlarını parametrelere bağlı olarak bulalım.
f(x)=(x−a)2+a+1  ⟹  T1(a,a+1)f(x) = (x-a)^2 + a + 1 \implies T_1(a, a+1)
g(x)=−(x−b)2−b+5  ⟹  T2(b,5−b)g(x) = -(x-b)^2 - b + 5 \implies T_2(b, 5-b)
Parabollerin tepe noktalarını belirlemek, simetri kurallarını uygulamak için gereklidir.
2
T1T_1 ve T2T_2 noktalarının orta noktası olan MM noktasının koordinatlarını bulalım ve y=x−1y = x - 1 doğrusunun üzerinde olduğunu kullanalım.
M(a+b2,a−b+62)M\left(\frac{a+b}{2}, \frac{a-b+6}{2}\right) noktası doğru denklemini sağlar:
a−b+62=a+b2−1  ⟹  a−b+6=a+b−2  ⟹  2b=8  ⟹  b=4\frac{a-b+6}{2} = \frac{a+b}{2} - 1 \implies a-b+6 = a+b-2 \implies 2b = 8 \implies b = 4
İki noktanın bir doğruya göre simetrik olması, bu noktaları birleştiren doğru parçasının orta noktasının simetri doğrusu üzerinde olmasını gerektirir.
3
T1T2T_1 T_2 doğru parçasının eğimini bularak simetri doğrusunun eğimiyle ilişkisini kuralım.
y=x−1y = x - 1 doğrusunun eğimi 11 olduğundan, ona dik olan T1T2T_1 T_2 doğrusunun eğimi −1-1 olmalıdır:
mT1T2=(5−b)−(a+1)b−a=4−a−bb−a=−1  ⟹  4−a−b=−b+a  ⟹  2a=4  ⟹  a=2m_{T_1 T_2} = \frac{(5-b) - (a+1)}{b-a} = \frac{4-a-b}{b-a} = -1 \implies 4-a-b = -b+a \implies 2a = 4 \implies a = 2
İki noktanın bir doğruya göre simetrik olması, bu noktaları birleştiren doğrunun simetri doğrusuna dik olmasını gerektirir.
4
Bulunan aa ve bb değerlerini çarparak sonucu elde edelim.
a⋅b=2⋅4=8a \cdot b = 2 \cdot 4 = 8
Soruda istenen a⋅ba \cdot b değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Parabolün tepe noktası koordinatları ile iki noktanın bir doğruya göre simetrik olma koşullarının (orta noktanın doğru üzerinde olması ve eğimler çarpımının -1 olması) birlikte uygulanması.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 1240Soru →

Bir KLMKLM üçgeninde LL köşesindeki iç açının ölçüsü 120∘120^\circ dir. Bu köşeyi oluşturan kenarların uzunlukları ∣KL∣=7 birim|KL| = 7\text{ birim} ve ∣LM∣=8 birim|LM| = 8\text{ birim} olduğuna göre, KMKM kenarının uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

KM kenarının uzunluğu 13 birimdir.
Kosinüs teoremi gereği, bilinmeyen kenarın karesi, bilinen kenarların kareleri toplamından bu kenarların çarpımının iki katı ile aralarındaki açının kosinüsünün çarpımının çıkarılmasına eşittir. cos⁡(120∘)=−1/2\cos(120^\circ) = -1/2 değeri yerine yazılarak yapılan hesaplamada x2=49+64−112⋅(−1/2)=169x^2 = 49 + 64 - 112 \cdot (-1/2) = 169 eşitliğinden x=13x = 13 birim bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kosinüs teoremi formülünü yazıp verilen değerleri yerleştirmek.
x2=∣KL∣2+∣LM∣2−2⋅∣KL∣⋅∣LM∣⋅cos⁡(m(KLM^))x^2 = |KL|^2 + |LM|^2 - 2 \cdot |KL| \cdot |LM| \cdot \cos(m(\widehat{KLM}))
Üçgende iki kenar ve bu kenarlar arasındaki açı bilindiğinde karşı kenarı bulmak için kosinüs teoremi uygulanır.
2
Verilen kenar uzunluklarını ve açının kosinüs değerini yerine yazmak.
x2=72+82−2⋅7⋅8⋅cos⁡(120∘)x^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos(120^\circ)
Soruda verilen ∣KL∣=7|KL| = 7, ∣LM∣=8|LM| = 8 ve açı değeri 120∘120^\circ bağıntıda yerlerine konur.
3
120∘120^\circ açısının kosinüs değerini hesaplamak.
cos⁡(120∘)=−cos⁡(60∘)=−12\cos(120^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}
120∘120^\circ açısı ikinci bölgede yer aldığı için kosinüs değeri negatiftir.
4
İşlemleri tamamlayarak bilinmeyen kenar uzunluğunu bulmak.
x2=49+64−112⋅(−12)=113+56=169⇒x=13x^2 = 49 + 64 - 112 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 113 + 56 = 169 \Rightarrow x = 13
Elde edilen denklemin karekökü alınarak uzunluk değeri pozitif olarak elde edilir.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi
Tahmini Süre:1m 30s
ÖncekiSayfa 62 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin