Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 1241Soru →
x2−4x+4x−5<0\frac{x^2 - 4x + 4}{x - 5} < 0

eşitsizliğini sağlayan farklı pozitif tam sayı değerlerinin sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Eşitsizliği sağlayan farklı pozitif tam sayı değerlerinin sayısı 3'tür.
İfadenin pay kısmı (x−2)2(x-2)^2 şeklinde yazıldığında x=2x = 2 çift katlı kök olur. Paydanın kökü ise x=5x = 5'tir. İşaret tablosu yapıldığında, en sağdan pozitif işaretle başlanır, x=5x = 5 kökünde işaret negatif olur ve x=2x = 2 çift katlı kökünde işaret değişmeden negatif kalır. Eşitsizlik sıfırdan kesin küçük (<0< 0) arandığı için sıfır yapan x=2x = 2 değeri çözüm kümesinden atılır. Dolayısıyla çözüm kümesi (−∞,5)∖{2}(-\infty, 5) \setminus \{2\} olur. Bu aralıktaki pozitif tam sayılar 1, 3 ve 4 olmak üzere toplamda 3 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlikteki pay kısmını çarpanlarına ayırın.
x2−4x+4=(x−2)2x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 elde edilir.
Eşitsizliğin köklerini ve bu köklerin katlılık durumunu belirlemek için ifadeleri çarpanlarına ayırmamız gerekir.
2
Pay ve paydanın köklerini bulun.
Payın kökü: (x−2)2=0⇒x=2(x-2)^2 = 0 \Rightarrow x = 2 (çift katlı kök). Paydanın kökü: x−5=0⇒x=5x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5 (tek katlı kök).
İşaret tablosu oluşturabilmek için eşitsizliği sıfır veya tanımsız yapan tüm kritik noktaları bulmalıyız.
3
İşaret tablosunu oluşturun ve eşitsizliğin işaretini inceleyin.
Baş katsayılar pozitif olduğu için tablonun en sağından ++ ile başlanır. x=5x = 5 tek katlı kökünden geçerken işaret −- olur. x=2x = 2 çift katlı kökünden geçerken işaret de��işmez ve −- olarak kalır.
Çift katlı köklerde işaretin değişmediği kuralı uygulanarak ifadenin hangi aralıklarda negatif olduğu belirlenir.
4
Çözüm kümesini yazın ve pozitif tam sayıları belirleyin.
Eşitsizlik <0< 0 (kesin küçük) olduğu için sıfıra eşit olan x=2x = 2 değeri ve paydayı sıfır yapan x=5x = 5 değeri çözüm kümesine alınmaz. Çözüm kümesi: (−∞,5)∖{2}(-\infty, 5) \setminus \{2\} olur. Bu aralıktaki pozitif tam sayılar: 1,3,41, 3, 4 olmak üzere 3 tanedir.
Bulunan işaret aralığından, eşitsizlik kesin küçüktür şeklinde verildiği için köklerin ve tanımsızlık noktalarının çıkarılması gerekir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden rasyonel eşitsizliklerde çift katlı köklerin ve payda köklerinin işaret tablosundaki davranışları ve çözüm kümesine dahil edilme durumları.
Soru 1242Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−2x−15f(x) = x^2 - 2x - 15 fonksiyonunun grafiği aa birim sağa ve bb birim yukarı ötelendiğinde g(x)g(x) fonksiyonunun grafiği elde edilmektedir.

y=g(x)y = g(x) parabolünün tepe noktası y=−3xy = -3x doğrusu üzerinde olup, bu parabol yy eksenini (0,4)(0, 4) noktasında kesmektedir.

aa ve bb pozitif gerçek sayılar olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Doğru cevap 7 değeridir.
Doğru seçenekte verilen 7 değeri; tepe noktasının koordinatları ötelenip verilen doğru denkleminde yerine yazıldığında ve y-eksenini kesim noktası koşuluyla birleştirildiğinde elde edilen a = 3 ve b = 4 pozitif değerlerinin toplamıdır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x) fonksiyonunun tepe noktasını bulalım.
f(x)=x2−2x−15f(x) = x^2 - 2x - 15 parabolünün tepe noktasının apsisi r=−−22=1r = -\frac{-2}{2} = 1 ve ordinatı k=f(1)=12−2(1)−15=−16k = f(1) = 1^2 - 2(1) - 15 = -16 olur. Tepe noktası Tf(1,−16)T_f(1, -16) olarak bulunur.
Öteleme dönüşümünü uygulamak için orijinal parabolün tepe noktasını belirlememiz gerekir.
2
g(x) fonksiyonunun tepe noktasını öteleme miktarlarına bağlı olarak ifade edelim.
Grafik aa birim sağa ve bb birim yukarı ötelendiğinden, yeni tepe noktası Tg(1+a,−16+b)T_g(1+a, -16+b) olur.
Yatayda sağa öteleme apsisi artırırken, dikeyde yukarı öteleme ordinatı artırır.
3
Yeni tepe noktasının doğru üzerindeki konumunu kullanarak a ve b arasındaki ilişkiyi bulalım.
TgT_g noktası y=−3xy = -3x doğrusu üzerinde olduğundan koordinatları denklemi sağlar: −16+b=−3(1+a)⇒b=13−3a-16+b = -3(1+a) \Rightarrow b = 13 - 3a elde edilir.
Bir noktan��n bir doğru üzerinde olması, koordinatlarının doğrunun denklemini sağlamasını gerektirir.
4
g(x) fonksiyonunun y-eksenini kestiği nokta bilgisini kullanarak denklemi kuralım.
g(x)=f(x−a)+b=(x−a)2−2(x−a)−15+bg(x) = f(x-a) + b = (x-a)^2 - 2(x-a) - 15 + b şeklindedir. Parabol y-eksenini (0,4)(0,4) noktasında kestiği için g(0)=4g(0) = 4 olur: a2+2a−15+b=4⇒a2+2a+b=19a^2 + 2a - 15 + b = 4 \Rightarrow a^2 + 2a + b = 19.
y-eksenini kesim noktasını bulmak için x = 0 yazılır.
5
Elde edilen iki denklemi ortak çözerek a ve b değerlerini hesaplayalım.
b=13−3ab = 13 - 3a ifadesini a2+2a+b=19a^2 + 2a + b = 19 denkleminde yerine yazarsak: a2+2a+13−3a=19⇒a2−a−6=0⇒(a−3)(a+2)=0a^2 + 2a + 13 - 3a = 19 \Rightarrow a^2 - a - 6 = 0 \Rightarrow (a-3)(a+2) = 0 olur. aa pozitif bir gerçek sayı olduğundan a=3a = 3'tür. Buradan b=13−3(3)=4b = 13 - 3(3) = 4 bulunur.
İki bilinmeyenli denklem sistemini yerine koyma yöntemiyle çözmek için.
6
İstenen a + b toplamını bulalım.
a+b=3+4=7a + b = 3 + 4 = 7 olarak bulunur.
Soruda bizden a ve b değerlerinin toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun grafiği sağa ötelendiğinde tanım kümesindeki değişkenlerden öteleme miktarı çıkarılır (f(x-a)), yukarı ötelendiğinde ise fonksiyonun değerine öteleme miktarı eklenir (f(x)+b).
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1243Soru →
Koordinat düzleminde grafiği orijine göre simetrik olan bir ff fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
f(−x)+3f(x)=4x3−2xf(-x) + 3f(x) = 4x^3 - 2x
eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, f(1)f(1) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

İstenen f(1) değeri 1 olarak bulunur.
Grafiği orijine göre simetrik olan ff fonksiyonu bir tek fonksiyondur. Tek fonksiyonların tanımı gereği her xx gerçel sayısı için f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) eşitliği sağlanır. Verilen denklemde x=1x = 1 yazıldığında f(−1)+3f(1)=4(1)3−2(1)=2f(-1) + 3f(1) = 4(1)^3 - 2(1) = 2 eşitliği elde edilir. Bu eşitlikte tek fonksiyon özelliğinden ötürü f(−1)f(-1) yerine −f(1)-f(1) yazıldığında −f(1)+3f(1)=2-f(1) + 3f(1) = 2 elde edilir. Buradan 2f(1)=22f(1) = 2 ve f(1)=1f(1) = 1 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Grafiği orijine göre simetrik olan fonksiyonun simetri özelliğini belirleyin.
f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)
Koordinat düzleminde grafiği orijine göre simetrik olan fonksiyonlar tek fonksiyondur.
2
Verilen denklemde x=1x = 1 yazarak bir eşitlik elde edin.
f(−1)+3f(1)=4(1)3−2(1)=2f(-1) + 3f(1) = 4(1)^3 - 2(1) = 2
f(1)f(1) değerine ulaşabilmek için bilinmeyenleri içeren sayısal bir denklem kurmamız gerekir.
3
f(−1)=−f(1)f(-1) = -f(1) eşitliğini kullanarak denklemdeki bilinmeyen sayısını bire indirin ve denklemi çözün.
−f(1)+3f(1)=2  ⟹  2f(1)=2  ⟹  f(1)=1-f(1) + 3f(1) = 2 \implies 2f(1) = 2 \implies f(1) = 1
Tek fonksiyon kuralını uygulayarak tek bilinmeyenli doğrusal bir denklem elde eder ve çözüme ulaşırız.

Anahtar Kavram

Grafiği orijine göre simetrik olan tek fonksiyonlarda her xx gerçel sayısı için f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) özelliğinin sağlanması.
Soru 1244Soru →

Ölçüsü −23450′′-23450'' olan negatif yönlü bir açının esas ölçüsü a∘ b′ c′′a^\circ\ b'\ c'' olarak ifade edilmektedir. Buna göre, a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 392

Cevap

Esas ölçünün derece, dakika ve saniye bileşenlerinin toplamı 392'dir.
Verilen saniye cinsinden negatif açının mutlak değeri derece, dakika ve saniyeye dönüştürüldüğünde 6∘30′50′′6^\circ 30' 50'' elde edilir. Bu açının esas ölçüsünü bulmak için 360∘360^\circ değerinden bu açı çıkarılır. 360∘360^\circ açısı 359∘59′60′′359^\circ 59' 60'' biçiminde yazılarak çıkarma işlemi gerçekleştirildiğinde esas ölçü 353∘29′10′′353^\circ 29' 10'' olarak bulunur. Bileşenlerin toplamı ise 353+29+10=392353 + 29 + 10 = 392 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Negatif açının mutlak değerini derece, dakika ve saniyeye çevirme
−23450′′=−(6∘30′50′′)-23450'' = -(6^\circ 30' 50'')
Saniyeyi dereceye çevirmek için 3600'e, kalan saniyeyi dakikaya çevirmek için 60'a böleriz.
2
Açının esas ölçüsünü hesaplama
353∘29′10′′353^\circ 29' 10''
Negatif açının esas ölçüsünü bulmak için açıya 360∘360^\circ (veya 359∘59′60′′359^\circ 59' 60'') ekleriz.
3
Bileşenlerin toplamını hesaplama
392
Soruda istenen a+b+ca + b + c toplamını elde etmek için 353353, 2929 ve 1010 değerlerini toplarız.

Anahtar Kavram

Negatif yönlü açıların esas ölçüsü ve derece-dakika-saniye dönüşümleri

Alternatif Yöntem

Saniye cinsinden verilen −23450′′-23450'' açısının üzerine saniye cinsinden 360∘360^\circ değeri olan 1296000′′1296000'' eklenerek doğrudan esas ölçünün saniye cinsinden değeri (1272550′′1272550'') bulunabilir. Ardından bu değer sırasıyla 3600 ve 60 sayılarına bölünerek derece, dakika ve saniye cinsine dönüştürülür.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1245Soru →

Aşağıda verilen xx, yy ve zz değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Trigonometrik değerlerin küçükten büyüğe sıralanışı z<y<xz < y < x şeklindedir.
Pozitif olan x değeri en büyüktür. Negatif olan y ve z değerlerinden mutlak değerce daha büyük olan z en küçük değerdir, dolayısıyla doğru sıralama z < y < x şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
xx değerinin esas ölçüsünü bularak dar açı cinsinden ifade edin.
760∘760^\circ açısının esas ölçüsü, 760∘=2⋅360∘+40∘760^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 40^\circ eşitliğinden 40∘40^\circ olarak bulunur. Dolayısıyla x=sin⁡(40∘)x = \sin(40^\circ) olur. Bu değer birinci bölgede olduğundan pozitiftir.
Bölgelere göre indirgeme yapabilmek için öncelikle açıların esas ölçülerini bulmamız gerekir.
2
yy değerinin esas ölçüsünü bularak dar açı cinsinden ifade edin.
y=cos⁡(−13π5)=cos⁡(13π5)y = \cos\left(-\frac{13\pi}{5}\right) = \cos\left(\frac{13\pi}{5}\right) olur. 13π5=2π+3π5\frac{13\pi}{5} = 2\pi + \frac{3\pi}{5} olduğundan esas ölçü 3π5\frac{3\pi}{5} radyandır. Derece cinsinden 3⋅180∘5=108∘\frac{3 \cdot 180^\circ}{5} = 108^\circ olur. İkinci bölgede kosinüs negatif olduğundan y=cos⁡(108∘)=−cos⁡(72∘)y = \cos(108^\circ) = -\cos(72^\circ) olarak elde edilir.
Kosinüsün çift fonksiyon olma özelliğini ve ikinci bölgedeki işaret durumunu kullanırız.
3
zz değerinin esas ölçüsünü bularak dar açı cinsinden ifade edin.
17π6=2π+5π6\frac{17\pi}{6} = 2\pi + \frac{5\pi}{6} olduğundan esas ölçü 5π6\frac{5\pi}{6} radyandır. Derece cinsinden 5⋅180∘6=150∘\frac{5 \cdot 180^\circ}{6} = 150^\circ olur. İkinci bölgede kotanjant negatif olduğundan z=cot⁡(150∘)=−cot⁡(30∘)=−3z = \cot(150^\circ) = -\cot(30^\circ) = -\sqrt{3} olarak elde edilir.
Kotanjant fonksiyonunun ikinci bölgedeki işaretini ve indirgeme kuralını kullanırız.
4
Elde edilen ifadeleri işaretlerine ve mutlak değer büyüklüklerine göre sıralayın.
x=sin⁡(40∘)>0x = \sin(40^\circ) > 0, y=−cos⁡(72∘)<0y = -\cos(72^\circ) < 0 ve z=−3≈−1,73<0z = -\sqrt{3} \approx -1,73 < 0 bulunur. Negatif değerler karşılaştırıldığında, cos⁡(72∘)<1<3\cos(72^\circ) < 1 < \sqrt{3} olduğundan −3<−cos⁡(72∘)-\sqrt{3} < -\cos(72^\circ) olur. Buradan z<y<xz < y < x sıralamasına ulaşılır.
Pozitif sayılar negatif sayılardan büyüktür. Negatif sayılarda ise mutlak değerce daha büyük olan sayı daha küçüktür.

Anahtar Kavram

Trigonometrik oranların esas ölçülerinin bulunması, bölgelere göre işaret analizi ve indirgeme formüllerinin uygulanması.
Soru 1246Soru →

Bir kenarı düz bir nehir kıyısı boyunca uzanan dikdörtgen biçimindeki bir bahçe, nehre dik olan iki iç bölme çiti yardımıyla üç eş dikdörtgensel bölgeye ayrılacaktır. Bahçenin nehir kıyısındaki kenarında çit kullanılmayacaktır. Bahçenin dış sınırları (nehir kıyısı hariç) ve içindeki iki bölme için toplam 160160 metre çit kullanıldığına göre, bu bahçenin toplam alanı en fazla kaç metrekare olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1600

Cevap

Bahçenin alabileceği en büyük alan 1600 metrekaredir.
Bahçenin alanı A(x)=x(160−4x)=−4x2+160xA(x) = x(160 - 4x) = -4x^2 + 160x parabolü ile modellenir. Bu parabol en büyük değerini tepe noktasının ordinatında alır. Tepe noktasının koordinatları (20,1600)(20, 1600) olduğundan maksimum alan 1600 metrekaredir.

Adım Adım Çözüm

1
Nehre dik olan çit parçalarının sayısını belirleme
Nehre dik toplam 44 çit parçası vardır ve her birinin uzunluğu xx metredir. Toplam uzunlukları 4x4x olur.
Bahçenin iki yan sınırı ve içini bölen iki çit de nehre diktir.
2
Nehre paralel olan kenarı xx cinsinden ifade etme
Nehre paralel kenar y=160−4xy = 160 - 4x olarak bulunur.
Toplam kullanılan çit uzunluğu 160160 metredir.
3
Alan fonksiyonunu oluşturma
Alan fonksiyonu A(x)=−4x2+160xA(x) = -4x^2 + 160x biçiminde ikinci dereceden bir fonksiyondur.
Dikdörtgenin alanı, dik komşu iki kenarın çarpımıdır.
4
Fonksiyonun en büyük değerini almasını sağlayan xx değerini bulma
Tepe noktasının apsisi r=20r = 20 olarak bulunur.
Kolları aşağı doğru olan parabolün en büyük değeri tepe noktasındadır.
5
Maksimum alan değerini hesaplama
En büyük alan A(20)=1600A(20) = 1600 metrekaredir.
Bulunan tepe noktası apsisi alan fonksiyonunda yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Parabolün tepe noktası ordinatı (k=f(r)k = f(r)) yardımıyla en büyük değerinin bulunması.
Soru 1247Soru →

Bir ABCABC üçgeninde, [AD][AD] doğru parçası AA açısının açıortayıdır. ABDABD üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı R1=3R_1 = \sqrt{3} birim, ACDACD üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı R2=23R_2 = 2\sqrt{3} birim ve AD=23AD = 2\sqrt{3} birimdir. Buna g��re, ABCABC üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

3
Sinüs Teoremi iki farklı alt üçgende (ABDABD ve ACDACD) uygulanarak önce üçgenin iç açıları (B=90∘B = 90^\circ, C=30∘C = 30^\circ ve A=60∘A = 60^\circ) belirlenir. Ardından açıortay özelliği ve Sinüs Teoremi kullanılarak BCBC kenar uzunluğu 333\sqrt{3} olarak hesaplanır. Son adımda, ana üçgende Sinüs Teoremi uygulanarak çevrel çemberin yarıçapı R=3R = 3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
ABDABD üçgeninde Sinüs Teoremi uygulanarak BB açısı bulunur.
sin⁡B=1  ⟹  m(B^)=90∘\sin B = 1 \implies m(\widehat{B}) = 90^\circ
ABDABD üçgeninde ADsin⁡B=2R1\frac{AD}{\sin B} = 2R_1 eşitliğinden sin⁡B=2323=1\sin B = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 1 elde edilir.
2
ACDACD üçgeninde Sinüs Teoremi uygulanarak CC açısı bulunur.
sin⁡C=12  ⟹  m(C^)=30∘\sin C = \frac{1}{2} \implies m(\widehat{C}) = 30^\circ
ACDACD üçgeninde ADsin⁡C=2R2\frac{AD}{\sin C} = 2R_2 eşitliğinden sin⁡C=2343=12\sin C = \frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{2} elde edilir. BB açısı dik açı olduğundan CC açısı dar açı olmalıd��r, dolayısıyla m(C^)=30∘m(\widehat{C}) = 30^\circ olur.
3
ABCABC üçgeninin iç açılar toplamından AA açısı bulunur.
m(BAC^)=60∘m(\widehat{BAC}) = 60^\circ
ABCABC üçgeninde iç açılar toplamı 180∘180^\circ olduğundan, m(BAC^)=180∘−(90∘+30∘)=60∘m(\widehat{BAC}) = 180^\circ - (90^\circ + 30^\circ) = 60^\circ bulunur.
4
ADAD açıortay olduğundan ve Sinüs Teoremi yardımıyla BDBD ve CDCD uzunlukları bulunur.
BC=33BC = 3\sqrt{3} birim
ADAD açıortay olduğu için m(BAD^)=m(CAD^)=30∘m(\widehat{BAD}) = m(\widehat{CAD}) = 30^\circ olur. ABDABD üçgeninde BDsin⁡30∘=2R1  ⟹  BD=23⋅12=3\frac{BD}{\sin 30^\circ} = 2R_1 \implies BD = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3} ve ACDACD üçgeninde CDsin⁡30∘=2R2  ⟹  CD=43⋅12=23\frac{CD}{\sin 30^\circ} = 2R_2 \implies CD = 4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{3} elde edilir. Buradan BC=BD+CD=33BC = BD + CD = 3\sqrt{3} birim bulunur.
5
ABCABC üçgeninde Sinüs Teoremi uygulanarak çevrel çemberin yarıçapı RR bulunur.
R=3R = 3 birim
ABCABC üçgeninde BCsin⁡A=2R  ⟹  33sin⁡60∘=2R  ⟹  3332=2R  ⟹  6=2R  ⟹  R=3\frac{BC}{\sin A} = 2R \implies \frac{3\sqrt{3}}{\sin 60^\circ} = 2R \implies \frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R \implies 6 = 2R \implies R = 3 elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir üçgende bir kenarın uzunluğunun, o kenarın karşısındaki açının sinüs değerine oranı çevrel çemberin çapına (2R2R) eşittir.
Soru 1248Soru →

Analitik düzlemin birinci bölgesinde yer alan ve köşeleri; orijin O(0,0)O(0,0) noktası, merkezil birim çember üzerindeki bir PP noktası ve PP noktasının xx-ekseni üzerindeki dik izdüşümü olan HH noktası olan bir OPHOPH dik üçgeni oluşturuluyor. Bu dik üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapı 010{}1 birim olduğuna göre, PP noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1.2

Cevap

P noktasının koordinatları toplamı 1,2'dir.
Birim çember üzerindeki P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta, \sin\theta) noktasından oluşturulan OPHOPH dik üçgeninin kenarları cos⁡θ\cos\theta, sin⁡θ\sin\theta ve 11 birimdir. Dik üçgenin iç teğet çember yarıçap formülü r=a+b−c2r = \frac{a+b-c}{2} kullanılarak 01=sin⁡θ+cos⁡θ−120{}1 = \frac{\sin\theta + \cos\theta - 1}{2} bağıntısından koordinatlar toplamı 121{}2 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
P ve H noktalarının koordinatlarını trigonometrik fonksiyonlar cinsinden ifade etme
P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta, \sin\theta) ve H(cos⁡θ,0)H(\cos\theta, 0)
Birim çember üzerindeki her nokta, başlangıç doğrusuyla yaptığı θ\theta açısı cinsinden (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta) olarak yazılır.
2
OPH dik üçgeninin kenar uzunluklarını belirleme
Dik kenarlar cos⁡θ\cos\theta ve sin⁡θ\sin\theta, hipotenüs 11
O(0,0)O(0,0) ile HH arasındaki uzaklık cos⁡θ\cos\theta, PP ile HH arasındaki uzaklık sin⁡θ\sin\theta ve PP birim çember üzerinde olduğundan OP=1OP = 1'dir.
3
İç teğet çemberin yarıçapı ile kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi kurma
r=sin⁡θ+cos⁡θ−12r = \frac{\sin\theta + \cos\theta - 1}{2}
Bir dik üçgende iç teğet çemberin yarıçapı, dik kenarların toplamından hipotenüsün çıkarılıp ikiye bölünmesiyle bulunur.
4
Verilen yarıçap değerini denklemde yerine yazarak çözme
cos⁡θ+sin⁡θ=12\cos\theta + \sin\theta = 1{}2
01=sin⁡θ+cos⁡θ−12⇒02=sin⁡θ+cos⁡θ−1⇒sin⁡θ+cos⁡θ=120{}1 = \frac{\sin\theta + \cos\theta - 1}{2} \Rightarrow 0{}2 = \sin\theta + \cos\theta - 1 \Rightarrow \sin\theta + \cos\theta = 1{}2 elde edilir.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki noktaların koordinatlarının trigonometrik fonksiyonlarla ilişkisi ve dik üçgen geometrisi yardımıyla analizi.

Alternatif Yöntem

İç teğet çemberin yarıçapı r=AlanYarıc¸evrer = \frac{\text{Alan}}{\text{Yarıçevre}} formülünden de bulunabilir. Alan A=sin⁡θcos⁡θ2A = \frac{\sin\theta \cos\theta}{2} ve yarıçevre s=sin⁡θ+cos⁡θ+12s = \frac{\sin\theta + \cos\theta + 1}{2} olup, r=sin⁡θcos⁡θsin⁡θ+cos⁡θ+1r = \frac{\sin\theta \cos\theta}{\sin\theta + \cos\theta + 1} yazılır. sin⁡θ+cos⁡θ=u\sin\theta + \cos\theta = u dönüşümüyle, sin⁡θcos⁡θ=u2−12\sin\theta \cos\theta = \frac{u^2 - 1}{2} elde edilir. Formülde yerine yazıldığında r=u2−12(u+1)=u−12r = \frac{u^2 - 1}{2(u + 1)} = \frac{u - 1}{2} sadeleşmesi elde edilir ve buradan u=12u = 1{}2 bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1249Soru →

x∈(5π6,π)x \in \left(\frac{5\pi}{6}, \pi\right) olmak üzere,

a=cos⁡(2x)cos⁡(x)+sin⁡(x)a = \frac{\cos(2x)}{\cos(x) + \sin(x)}
b=2tan⁡(x)cos⁡(x)csc⁡(x)b = \frac{2\tan(x)\cos(x)}{\csc(x)}
c=1−tan⁡2(x)sec⁡2(x)c = \frac{1 - \tan^2(x)}{\sec^2(x)}

ifadeleri tanımlanıyor. Buna göre; aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

a, b ve c değerlerinin küçükten büyüğe doğru sıralanışı a < b < c şeklindedir.
Sadeleştirilmiş ifadelerin verilen aralıktaki değerleri incelendiğinde; a negatif, b sıfır ile bir bölü iki aralığında pozitif, c ise bir bölü iki ile bir aralığında pozitif değerler alır. Bu durumda en küçük değer a, ortanca değer b ve en büyük değer c olur.

Adım Adım Çözüm

1
a ifadesini özdeşlikler yardımıyla sadeleştirme
a=cos⁡(x)−sin⁡(x)a = \cos(x) - \sin(x)
cos⁡(2x)=cos⁡2(x)−sin⁡2(x)=(cos⁡(x)−sin⁡(x))(cos⁡(x)+sin⁡(x))\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = (\cos(x) - \sin(x))(\cos(x) + \sin(x)) iki kare farkı özdeşliği pay kısmında yerine yazılır ve payda ile sadeleştirilir.
2
b ifadesini özdeşlikler yardımıyla sadeleştirme
b=2sin⁡2(x)b = 2\sin^2(x)
tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} ve csc⁡(x)=1sin⁡(x)\csc(x) = \frac{1}{\sin(x)} eşitlikleri yerine yazılarak ifade sadeleştirilir.
3
c ifadesini özdeşlikler yardımıyla sadeleştirme
c=cos⁡(2x)c = \cos(2x)
sec⁡2(x)=1cos⁡2(x)\sec^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} ve tan⁡2(x)=sin⁡2(x)cos⁡2(x)\tan^2(x) = \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} özdeşlikleri kullanılarak ifade sadeleştirilir.
4
Açı aralığına göre her bir ifadenin işaretini ve alabileceği değer aralığını belirleme
a<0a < 0, 0<b<120 < b < \frac{1}{2}, 12<c<1\frac{1}{2} < c < 1
x∈(5π6,π)x \in \left(\frac{5\pi}{6}, \pi\right) aralığı ikinci bölgededir. İkinci bölgede kosinüs negatif, sinüs pozitiftir. Bu nedenle a=cos⁡(x)−sin⁡(x)a = \cos(x) - \sin(x) ifadesi negatiftir. sin⁡(x)∈(0,12)\sin(x) \in \left(0, \frac{1}{2}\right) olduğundan b=2sin⁡2(x)∈(0,12)b = 2\sin^2(x) \in \left(0, \frac{1}{2}\right) olur. 2x∈(5π3,2π)2x \in \left(\frac{5\pi}{3}, 2\pi\right) aralığı dördüncü bölgededir ve kosinüs pozitiftir, böylece c=cos⁡(2x)∈(12,1)c = \cos(2x) \in \left(\frac{1}{2}, 1\right) olur.
5
Değer aralıklarını karşılaştırarak sıralamayı yapma
a<b<ca < b < c
aa negatif, bb ve cc pozitif olup bb değeri 1/21/2 değerinden küçük, cc değeri ise 1/21/2 değerinden büyük olduğu için sıralama bu şekilde elde edilir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonlarda özdeşlikler yardımıyla sadeleştirme yapma ve bölgelere göre işaret/değer sıralaması gerçekleştirme.
Soru 1250Soru →
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı
(x+3)⋅(x−2)2(x2−9)⋅(x−1)≥0 \frac{(x + 3) \cdot (x - 2)^2}{(x^2 - 9) \cdot (x - 1)} \geq 0
eşitsizliğini sağlayan en küçük üç farklı pozitif tam sayının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Eşitsizliği sağlayan en küçük üç farklı pozitif tam sayının toplamı 11'dir.
Eşitsizliğin çözüm kümesi incelendiğinde, x=1x = 1 ve x=3x = 3 noktalarının paydayı sıfır yaptığı için hariç tutulduğu görülür. Çift katlı kök olan x=2x = 2 noktası ise ifadeyi sıfıra eşitlediği için çözüm kümesine dahildir. Bu doğrultuda çözüm kümesindeki en küçük pozitif tam sayılar sırasıyla 22, 44 ve 55 değerleridir. Bu sayıların toplamı ise 1111 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlikteki ifadelerin köklerini bulalım ve paydayı sıfır yapan değerleri belirleyelim.
Payın kökleri: x=−3x = -3 ve x=2x = 2 (çift katlı kök).
Paydanın kökleri: x=−3x = -3, x=3x = 3 ve x=1x = 1.
Eşitsizlik tablosu yapabilmek için sınır değerleri ve tanımsızlık noktalarını belirlememiz gerekir.
2
Köklerin katlarını ve sistemdeki durumlarını analiz edelim.
x=−3x = -3 kökü hem pay hem de paydada birer kez bulunduğu için çift katlı kök gibi davranır fakat paydayı sıfır yaptığı için tanımsızlık noktasıdır.
x=2x = 2 kökü pay kısmında (x−2)2(x-2)^2 ifadesinden geldiği için çift katlı köktür.
x=1x = 1 ve x=3x = 3 kökleri tek katlı payda kökleridir.
Çift katlı köklerde işaretin değişmeyeceğini ve payda köklerinin çöz��m kümesine dahil edilemeyeceğini belirlemek için bu analiz gereklidir.
3
İşaret tablosunu oluşturup bölgelerin işaretlerini inceleyelim.
En yüksek dereceli terimlerin işaretleri çarpımı pozitif olduğu için tabloya en sağdan (+) ile başlanır:
- (3,∞)(3, \infty) aralığında +
- (2,3)(2, 3) aralığında -
- (1,2)(1, 2) aralığında -
- (−3,1)(-3, 1) aralığında +
- (−∞,−3)(-\infty, -3) aralığında +
Eşitsizliğin sıfırdan büyük veya eşit olduğu aralıkları bulmak amacıyla işaret tablosu oluşturulur.
4
Eşitsizliği sağlayan çözüm kümesini yazalım.
Çözüm Kümesi: (−∞,−3)∪(−3,1)∪{2}∪(3,∞)(-\infty, -3) \cup (-3, 1) \cup \{2\} \cup (3, \infty)
Eşitsizlikte ≥0\geq 0 koşulu arandığından pozitif aralıklar ve payı sıfır yapan dahil edilebilir kökler birleştirilir.
5
Çözüm kümesindeki en küçük üç farklı pozitif tam sayıyı bulup toplayalım.
Pozitif tam sayılar 1,2,3,4,5,…1, 2, 3, 4, 5, \dots şeklindedir.
- 11 ve 33 değerleri paydayı sıfır yaptığından çözüm kümesinde yer almaz.
- 22 değeri çözüm kümesindedir.
- 44 ve 55 değerleri (3,∞)(3, \infty) aralığından dolayı çözüm kümesindedir.
En küçük üç farklı pozitif tam sayı 2,42, 4 ve 55 olup toplamları 2+4+5=112 + 4 + 5 = 11 olur.
Soru kökünde istenen toplam değerine ulaşmak için en küçük pozitif tam sayı çözümleri toplanır.

Anahtar Kavram

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1251Soru →
Bir matematik öğretmeni, öğrencilerinden aşağıdaki trigonometrik değerleri küçükten büyüğe do��ru sıralamalarını istemiştir:
a=sin⁡(110∘)a = \sin(110^\circ)
b=cos⁡(200∘)b = \cos(200^\circ)
c=tan⁡(250∘)c = \tan(250^\circ)
Buna göre, bu değerlerin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: b<a<cb < a < c

Cevap

b<a<cb < a < c
Verilen açıların bölgeleri ve trigonometrik fonksiyonların bu bölgelerdeki işaretleri incelendiğinde; ikinci bölgedeki 110∘110^\circ açısının sinüsü pozitif, üçüncü bölgedeki 200∘200^\circ açısının kosinüsü negatif, üçüncü bölgedeki 250∘250^\circ açısının tanjantı ise pozitif bir değer alır. Ayrıca 250∘250^\circ açısının tanjantı olan tan⁡(70∘)\tan(70^\circ) değeri 1'den büyüktür. Bu durumda negatif olan değer en küçük, 1'den büyük olan tanjant değeri ise en büyük olmalıdır. Dolayısıyla en küçükten en büyüğe doğru sıralama b<a<cb < a < c şeklinde olur.

Adım Adım Çözüm

1
Açıların bulundukları bölgeleri belirleyin.
110∘110^\circ açısı II. bölgede, 200∘200^\circ ve 250∘250^\circ açıları III. bölgededir.
Trigonometrik oranların işaretlerini doğru tespit edebilmek için açıların hangi bölgelerde yer aldığını bilmemiz gerekir.
2
Fonksiyonların bu bölgelerdeki işaretlerini bulun.
a=sin⁡(110∘)>0a = \sin(110^\circ) > 0 (II. bölgede sinüs pozitiftir), b=cos⁡(200∘)<0b = \cos(200^\circ) < 0 (III. bölgede kosinüs negatiftir), c=tan⁡(250∘)>0c = \tan(250^\circ) > 0 (III. bölgede tanjant pozitiftir).
Pozitif ve negatif değerleri birbirinden ayırarak sıralamanın genel yapısını oluşturmak için işaretleri belirleriz.
3
Pozitif olan aa ve cc değerlerini indirgeme formülleriyle I. bölgeye taşıyarak karşılaştırın.
a=sin⁡(110∘)=sin⁡(180∘−70∘)=sin⁡(70∘)a = \sin(110^\circ) = \sin(180^\circ - 70^\circ) = \sin(70^\circ) ve c=tan⁡(250∘)=tan⁡(180∘+70∘)=tan⁡(70∘)c = \tan(250^\circ) = \tan(180^\circ + 70^\circ) = \tan(70^\circ) olur. tan⁡(70∘)>tan⁡(45∘)=1\tan(70^\circ) > \tan(45^\circ) = 1 iken sin⁡(70∘)<1\sin(70^\circ) < 1 olduğundan a<ca < c elde edilir.
Aynı işarete sahip iki değerin büyüklük ilişkisini netleştirmek için I. bölgedeki değer aralıklarını karşılaştırırız.
4
Elde edilen tüm sonuçları birleştirerek sıralamayı tamamlayın.
b<0b < 0 ve 0<a<1<c0 < a < 1 < c olduğundan doğru sıralama b<a<cb < a < c şeklindedir.
Negatif olan en küçük terim ile pozitif olan terimlerin kendi arasındaki büyüklük ilişkisini bir araya getirerek nihai sıralamaya ulaşırız.

Anahtar Kavram

Trigonometrik değerlerin bölgelere göre işaretlerinin belirlenmesi ve I. bölgeye indirgenerek sıralanması.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 1252Soru →

Dik koordinat düzleminde, bir köprünün kemerini temsil eden f(x)=−12x2+4xf(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 4x parabolü ve bu kemerin tepe noktası ile orijini birleştiren lineer bir destek kirişi (doğru parçası) modellenmiştir. Bu köprüye, kemer ile destek kirişi arasına yy-eksenine paralel olacak şekilde düşey destek kolonları yerleştirilecektir.

Buna göre, yerleştirilecek düşey destek kolonunun uzunluğu en fazla olduğunda, bu kolonun destek kirişi üzerindeki ucunun parabolün tepe noktasına olan uzaklığı kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 252\sqrt{5}

Cevap

Kolonun uzunluğunun en fazla olduğu durumda, kolonun destek kirişi ��zerindeki ucunun parabolün tepe noktasına olan uzaklığı 252\sqrt{5} birimdir.
Düşey destek kolonunun uzunluğu parabol ile doğru arasındaki fark olan g(x)=−12x2+2xg(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 2x fonksiyonu ile ifade edilir. Bu fonksiyonun maksimum değeri x=2x = 2 noktasında gerçekleşir. Kolonun destek kirişi (y=2xy = 2x) üzerindeki ucu bu apsis değerinde (2,4)(2, 4) noktasıdır. Bu noktanın parabolün tepe noktası olan T(4,8)T(4, 8) noktasına olan uzaklığı ise (4−2)2+(8−4)2=25\sqrt{(4-2)^2 + (8-4)^2} = 2\sqrt{5} birimdir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün tepe noktasının koordinatlarını bulma.
Tepe noktası T(4,8)T(4, 8) olarak bulunur.
f(x)=−12x2+4xf(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 4x parabolünde tepe noktasının apsisi r=−b2a=−42⋅(−1/2)=4r = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1/2)} = 4 ve ordinatı k=f(4)=−12(4)2+4(4)=8k = f(4) = -\frac{1}{2}(4)^2 + 4(4) = 8 olur.
2
Orijin (0,0)(0,0) ile tepe noktası T(4,8)T(4,8) arasından geçen doğrunun denklemini bulma.
Doğru denklemi y=2xy = 2x olarak bulunur.
Orijinden geçen doğruların genel denklemi y=mxy = mx şeklindedir. Eğimi m=8−04−0=2m = \frac{8 - 0}{4 - 0} = 2 olduğundan denklem y=2xy = 2x olur.
3
Düşey destek kolonunun uzunluğunu veren fonksiyonu tanımlama.
Kolon uzunluğu fonksiyonu g(x)=−12x2+2xg(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 2x olarak elde edilir.
0≤x≤40 \le x \le 4 aralığında parabol doğrunun üst kısmında yer aldığından, düşey kolonun uzunluğu parabolün ordinatı ile doğrunun ordinatı arasındaki farka eşittir: g(x)=f(x)−2x=−12x2+4x−2xg(x) = f(x) - 2x = -\frac{1}{2}x^2 + 4x - 2x.
4
Düşey kolonun uzunluğunu maksimum yapan apsis değerini bulma.
Maksimum kolon uzunluğu x=2x = 2 apsisinde elde edilir.
g(x)=−12x2+2xg(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 2x ikinci dereceden fonksiyonunun (parabolünün) kolları aşağı doğru olup en büyük değerini tepe noktasında alır. Tepe noktasının apsisi rg=−22⋅(−1/2)=2r_g = -\frac{2}{2 \cdot (-1/2)} = 2 olur.
5
Maksimum uzunluktaki kolonun destek kirişi üzerindeki ucunun koordinatlarını belirleme.
Uç noktanın koordinatları (2,4)(2, 4) olur.
Destek kirişi y=2xy = 2x doğrusu üzerinde olduğundan, x=2x = 2 için y değeri 2⋅2=42 \cdot 2 = 4 olarak bulunur.
6
Destek kirişi üzerindeki ucun tepe noktasına olan uzaklığını hesaplama.
Uzaklık 252\sqrt{5} birim olarak hesaplanır.
İki nokta arasındaki uzaklık formülünden, (2,4)(2, 4) noktasının T(4,8)T(4, 8) noktasına uzaklığı (4−2)2+(8−4)2=4+16=20=25\sqrt{(4-2)^2 + (8-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} birimdir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden fonksiyonların en büyük ve en küçük değerlerini tepe noktası (r,kr, k) yardımıyla bulma ve koordinat geometrisi uygulamaları.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 1253Soru →
Her xx gerçel sayısı için f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) eşitliğini sağlayan ff fonksiyonu
f(x)=(a−2)x3+(a+1)x2+(b−3)x+bf(x) = (a - 2)x^3 + (a + 1)x^2 + (b - 3)x + b
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, f(1)f(1) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

6 değeri doğru cevaptır.
Verilen fonksiyon her xx gerçel sayısı için f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) eşitliğini sağladığından bir çift fonksiyondur. Bu durumda tek dereceli terimlerin katsayıları sıfır olmalıdır. Dolayısıyla x3x^3 teriminin katsayısı olan a−2=0a-2 = 0 ve xx teriminin katsayısı olan b−3=0b-3 = 0 eşitliklerinden a=2a = 2 ve b=3b = 3 bulunur. Bu değerler fonksiyonda yerine yazıldığında f(x)=3x2+3f(x) = 3x^2 + 3 elde edilir. Son olarak f(1)=3(1)2+3=6f(1) = 3(1)^2 + 3 = 6 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Tek dereceli terimlerin belirlenmesi ve katsayılarının sıfıra eşitlenmesi
a−2=0⇒a=2a - 2 = 0 \Rightarrow a = 2 ve b−3=0⇒b=3b - 3 = 0 \Rightarrow b = 3 elde edilir.
Her xx gerçel sayısı için f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) eşitli��i, fonksiyonun çift fonksiyon olduğunu gösterir. Çift fonksiyonların kurallarında tek dereceli terimlerin katsayıları sıfır olmalıdır.
2
Bulunan değerlerin fonksiyon kuralında yerine yazılması
f(x)=3x2+3f(x) = 3x^2 + 3 fonksiyonu elde edilir.
a=2a = 2 ve b=3b = 3 değerleri f(x)f(x) ifadesinde yerine yazılarak fonksiyon sadeleştirilir.
3
f(1)f(1) değerinin hesaplanması
f(1)=3(1)2+3=6f(1) = 3(1)^2 + 3 = 6 bulunur.
İstenen fonksiyon değerini bulmak için fonksiyonda xx yerine 11 yazılır.

Anahtar Kavram

Çift fonksiyonlarda tek dereceli terimlerin katsayılarının sıfır olması ve fonksiyon değerinin hesaplanması.
Soru 1254Soru →

Bir ABCABC üçgeninin kenar uzunlukları ∣AB∣=6 birim|AB| = 6\text{ birim}, ∣AC∣=5 birim|AC| = 5\text{ birim} ve ∣BC∣=4 birim|BC| = 4\text{ birim} dir. Buna göre, AA köşesindeki iç açının kosinüsü olan cos⁡(BAC^)\cos(\widehat{BAC}) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.75

Cevap

A açısının kosinüs değeri 0,75'tir.
Kosinüs teoremi doğrudan uygulandığında, açının karşısındaki kenar olan 4 birimin karesi, diğer kenarların kareleri toplamından bu kenarların çarpımının iki katının kosinüs değeriyle çarpımının çıkarılmasına eşittir. Bu denklem çözüldüğünde kosinüs değeri 0,75 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kosinüs teoremi formülünde verilen kenar uzunluklarını yerleştirmek
42=52+62−2⋅5⋅6⋅cos⁡(BAC^)4^2 = 5^2 + 6^2 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \cos(\widehat{BAC})
Açının karşısındaki kenarın karesi, komşu kenarların kareleri toplamı ile bu kenarların çarpımının iki katının aradaki açının kosinüsüyle çarpımının farkına eşittir.
2
Üslü ifadeleri hesaplamak ve denklemi sadeleştirmek
16=61−60⋅cos⁡(BAC^)16 = 61 - 60 \cdot \cos(\widehat{BAC})
Sayısal işlemleri yaparak denklemi çözülebilir hale getirmek.
3
Bilinmeyen kosinüs ifadesini yalnız bırakmak
cos⁡(BAC^)=0,75\cos(\widehat{BAC}) = 0,75
Denklemi çözerek cos⁡(BAC^)\cos(\widehat{BAC}) değerini elde etmek.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi
Soru 1255Soru →
x2−2x−8≤0x^2 - 2x - 8 \leq 0

eşitsizliğini sağlayan xx tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Eşitsizliği sağlayan xx tam sayı değerlerinin toplamı 77'dir.
İfade çarpanlarına ayrıldığında (x−4)(x+2)≤0(x-4)(x+2) \leq 0 elde edilir. Kökler −2-2 ve 44'tür. Başkatsayı pozitif olduğundan işaret tablosu en sağdan ++ ile başlar ve köklerde işaret değiştirir. İfadenin sıfırdan küçük veya eşit olduğu bölge [−2,4][-2, 4] kapalı aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayıların toplamı 77 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliği oluşturan ikinci dereceden ifadenin köklerini bulun.
x2−2x−8=0  ⟹  (x−4)(x+2)=0  ⟹  x=4x^2 - 2x - 8 = 0 \implies (x - 4)(x + 2) = 0 \implies x = 4 ve x=−2x = -2
Eşitsizliğin sınır noktalarını belirlemek ve işaret tablosunu oluşturabilmek için köklerin bulunması gerekir.
2
İşaret tablosu oluşturarak eşitsizliğin çözüm kümesini bulun.
Çözüm kümesi [−2,4][-2, 4] kapalı aralığıdır.
İfadenin başkatsayısı (11) pozitif olduğundan en sağdaki aralık ++ işareti ile başlar. Her kökte işaret değiştirilir (++, −-, ++). Sıfırdan küçük veya eşit (≤0\leq 0) koşulunu sağlayan aralık [−2,4][-2, 4] kapalı aral��ğıdır.
3
Çözüm kümesindeki tam sayıların toplamını hesaplayın.
−2+(−1)+0+1+2+3+4=7-2 + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 7
İstenen tam sayıların toplamını bulmak için aralıktaki tüm tam sayılar toplanır.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin işaret tablosu yardımıyla çözülmesi
Soru 1256Soru →
Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−2x−8f(x) = x^2 - 2x - 8 fonksiyonunun grafiği olan parabolün koordinat eksenlerini kestiği noktalar AA, BB ve CC (CC noktası yy-ekseni üzerindedir) olarak adlandırılıyor. Köşeleri bu AA, BB ve CC noktaları olan ABCABC üçgeninin diklik merkezi HH noktası olduğuna göre, HH noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

Diklik merkezinin koordinatları toplamı -1'dir.
Parabolün eksenleri kestiği noktalar A(-2, 0), B(4, 0) ve C(0, -8) olarak bulunur. AB kenarı x-ekseni üzerinde olduğu için C köşesinden çizilen yükseklik y-eksenidir. Dolayısıyla diklik merkezi y-ekseni üzerinde, yani apsisi 0 olan bir H(0, y) noktasıdır. BC doğrusunun eğimi 2 olduğundan, A köşesinden inen yüksekliğin eğimi -1/2'dir. A(-2, 0) noktasından geçen ve eğimi -1/2 olan doğrunun denklemi y = -1/2(x+2) olup, bu doğrunun y-eksenini kestiği nokta H(0, -1) olur. Koordinatları toplamı ise -1'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün eksenleri kestiği noktaları belirleme
A(-2, 0), B(4, 0) ve C(0, -8)
x-eksenini kestiği noktaları bulmak için y = 0 yazılarak x^2 - 2x - 8 = 0 denkleminin kökleri x = -2 ve x = 4 bulunur. y-eksenini kestiği noktayı bulmak için x = 0 yazılarak y = -8 bulunur.
2
Diklik merkezinin apsisini bulma
H noktasının apsisi x = 0'dır.
A ve B noktaları x-ekseni üzerinde olduğundan, ABC üçgeninin AB kenarı x-ekseni üzerindedir. C(0, -8) noktasından AB kenarına inen yükseklik y-ekseni üzerindedir. Diklik merkezi yüksekliklerin kesim noktası olduğundan y-ekseni üzerinde olmalıdır, bu yüzden apsisi 0'dır.
3
A noktasından BC kenarına inen yüksekliğin denklemini bulma ve ordinatı belirleme
Yüksekliğin denklemi y = -1/2(x + 2) ve H noktasının ordinatı y = -1'dir.
B(4, 0) ve C(0, -8) noktalarından geçen BC doğrusunun eğimi m_BC = (0 - (-8)) / (4 - 0) = 2'dir. A(-2, 0) noktasından inen yükseklik BC doğrusuna dik olduğundan eğimi m = -1/2'dir. Bu yüksekliğin denklemi y - 0 = -1/2(x - (-2)) olur. H noktasının apsisi 0 olduğundan denklemde x = 0 yazılarak ordinat y = -1 bulunur.
4
Koordinatlar toplamını hesaplama
0 + (-1) = -1
Bulunan H(0, -1) noktasının koordinatları toplanır.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktaların koordinatlarını bulma ve koordinat düzleminde diklik merkezi özelliklerini uygulama.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 1257Soru →

aa bir tam sayı olmak üzere,

x2−(a2−3a)x−3a3≤0x^2 - (a^2 - 3a)x - 3a^3 \le 0

eşitsizliğini sağlayan 1919 farklı xx tam sayısı olduğuna göre, aa'nın alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

Eşitsizliği sağlayan farklı aa tam sayı değerlerinin toplamı −3-3'tür.
Verilen ikinci dereceden eşitsizlik (x−a2)(x+3a)≤0(x - a^2)(x + 3a) \le 0 olarak çarpanlarına ayrılır. Kökler a2a^2 ve −3a-3a'dır. a2>−3aa^2 > -3a durumu için çözüm kümesi [−3a,a2][-3a, a^2] kapalı aralığı olur ve bu aralıktaki tam sayı sayısı a2+3a+1=19  ⟹  a2+3a−18=0a^2 + 3a + 1 = 19 \implies a^2 + 3a - 18 = 0 denklemiyle belirlenir. Bu denklemin kökleri a=3a = 3 ve a=−6a = -6'dır. Diğer aralık durumlarından 19 elemanlı bir çözüm gelmediğinden, aa'nın alabileceği değerler toplamı −3-3 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliğin sol tarafındaki ikinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayırırız.
(x−a2)(x+3a)≤0(x - a^2)(x + 3a) \le 0
Çarpımları −3a3-3a^3 ve toplamları −(a2−3a)-(a^2 - 3a) olan iki sayı a2a^2 ve −3a-3a'dır.
2
Eşitsizliğin köklerini bulup büyüklük karşılaştırması yaparız.
Kökler x1=a2x_1 = a^2 ve x2=−3ax_2 = -3a'dır. a2−(−3a)=a(a+3)a^2 - (-3a) = a(a+3) ifadesinin işaretine göre iki ana durum incelenir.
Çözüm aralığının sınırlarını doğru belirlemek için hangi kökün daha küçük olduğunu tespit etmemiz gerekir.
3
a>0a > 0 veya a<−3a < -3 durumunu inceleriz.
a2>−3aa^2 > -3a olur. Çözüm kümesi [−3a,a2][-3a, a^2] aralığıdır. Aralıktaki tam sayı adedi a2−(−3a)+1=19  ⟹  a2+3a−18=0  ⟹  a=3a^2 - (-3a) + 1 = 19 \implies a^2 + 3a - 18 = 0 \implies a = 3 veya a=−6a = -6 bulunur. Her iki değer de koşulu sağlar.
Sınırlar tam sayı olduğundan kapalı aralıktaki tam sayı sayısı formülü uygulanarak aa değerleri belirlenir.
4
−3<a<0-3 < a < 0 durumunu inceleriz.
a2<−3aa^2 < -3a olur. Bu aralıktaki a=−1a = -1 ve a=−2a = -2 tam sayıları için çözüm aralığı sadece 3 tam sayı içerir, dolayısıyla bu durumdan çözüm gelmez.
Tüm olası tam sayı parametre değerlerinin kontrol edilmesi gerekir.
5
a=0a = 0 ve a=−3a = -3 durumlarını inceleriz.
Çift katlı kök oluşur ve çözüm kümesi tek elemanlıdır (sırasıyla {0}\{0\} ve {9}\{9\}), dolayısıyla 19 tam sayı çözümünü vermez.
Köklerin eşit olduğu sınır durumlarındaki çözüm kümesi boyutunu analiz etmek gerekir.
6
Bulunan geçerli aa değerlerini toplarız.
3+(−6)=−33 + (-6) = -3
Soruda aa'nın alabileceği farklı değerlerin toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden parametrik eşitsizliklerin çarpanlara ayrılması, köklerin büyüklük ilişkisine göre işaret tablosu oluşturulması ve kapalı aralıktaki tam sayı adedinin hesaplanması.
Soru 1258Soru →

a=sin⁡(200∘)a = \sin(200^\circ)
b=cos⁡(290∘)b = \cos(290^\circ)
c=tan⁡(130∘)c = \tan(130^\circ)

Yukarıda verilen trigonometrik değerlerin küçükten büyüğe doğru doğru sıralanışını oluşturunuz.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Tanjant 130 derece < Sinüs 200 derece < Kosinüs 290 derece
Tanjant 130 derece ikinci bölgede negatif olup −1-1'den küçüktür. Sinüs 200 derece üçüncü bölgede negatif olup −1-1 ile 00 arasındadır. Kosinüs 290 derece dördüncü bölgede pozitif bir değer alır. Bu durumda en küçük değer tanjant 130 derece, ortanca değer sinüs 200 derece, en büyük değer ise kosinüs 290 derecedir.

Adım Adım Çözüm

1
Açıların birim çember üzerindeki bölgelerini ve trigonometrik fonksiyonların bu bölgelerdeki işaretlerini belirleme
200∘200^\circ açısı ü��üncü bölgede olup sinüs değeri negatiftir (a<0a < 0).
290∘290^\circ açısı dördüncü bölgede olup kosinüs değeri pozitiftir (b>0b > 0).
130∘130^\circ açısı ikinci bölgede olup tanjant değeri negatiftir (c<0c < 0).
Sıralama yaparken ilk adım olarak değerlerin pozitif veya negatif olduğunu belirlemek karşılaştırmayı kolaylaştırır.
2
Negatif olan sinüs ve tanjant değerlerini kendi aralarında karşılaştırma
a=sin⁡(200∘)=−sin⁡(20∘)a = \sin(200^\circ) = -\sin(20^\circ) değer aralığı (−1,0)(-1, 0) arasındadır.
c=tan⁡(130∘)=−tan⁡(50∘)c = \tan(130^\circ) = -\tan(50^\circ) değerinde, tan⁡(50∘)>tan⁡(45∘)=1\tan(50^\circ) > \tan(45^\circ) = 1 olduğu için c<−1c < -1 olur.
Aynı işarete sahip iki değerin büyüklük ilişkisini belirlemek için mutlak değerce kıyaslama yapılarak negatif işaretin etkisi incelenir.
3
Tüm değerleri birleştirerek küçükten büyüğe sıralama yapma
c<−1c < -1 ve −1<a<0-1 < a < 0 ve b>0b > 0 olduğundan doğru sıralama c<a<bc < a < b şeklindedir.
Elde edilen tüm eşitsizlikler birleştirilerek nihai sıralamaya ulaşılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaretleri ve değer aralıkları yardımıyla sıralanması

Alternatif Yöntem

Tüm açılar birim çember üzerinde çizilip eksenler üzerindeki izdüşümleri veya tanjant ekseni üzerindeki kesim noktaları görsel olarak kıyaslanarak da sıralama yapılabilir.
Tahmini Süre:50s
Soru 1259Soru →
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere,
a=1−2sin⁡(x)cos⁡(x)a = \sqrt{1 - 2\sin(x)\cos(x)}
b=cos⁡4(x)−sin⁡4(x)sin⁡(x)−cos⁡(x)b = \frac{\cos^4(x) - \sin^4(x)}{\sin(x) - \cos(x)}
c=tan⁡(x)−cot⁡(x)sec⁡(x)csc⁡(x)c = \frac{\tan(x) - \cot(x)}{\sec(x)\csc(x)}

ifadeleri tanımlanıyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: b<c<ab < c < a

Cevap

b<c<ab < c < a
Verilen tanım aralığında aa ifadesi sin⁡(x)−cos⁡(x)>1\sin(x) - \cos(x) > 1 olarak pozitif çıkar, bb ifadesi −(sin⁡(x)+cos⁡(x))<0-(\sin(x) + \cos(x)) < 0 olarak negatif çıkar, cc ifadesi ise sin⁡2(x)−cos⁡2(x)∈(0,1)\sin^2(x) - \cos^2(x) \in (0, 1) olarak pozitif fakat 11'den küçük çıkar. Bu durumda b<c<ab < c < a sıralaması elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
aa ifadesini özdeşlikler yardımıyla sadeleştirelim.
a=sin⁡(x)−cos⁡(x)a = \sin(x) - \cos(x) ve a∈(1,2)a \in (1, \sqrt{2})
1−2sin⁡(x)cos⁡(x)=sin⁡2(x)+cos⁡2(x)−2sin⁡(x)cos⁡(x)=(sin⁡(x)−cos⁡(x))21 - 2\sin(x)\cos(x) = \sin^2(x) + \cos^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) = (\sin(x) - \cos(x))^2 olur. Kareköklü ifade dışarıya mutlak değerle çıkar: a=∣sin⁡(x)−cos⁡(x)∣a = |\sin(x) - \cos(x)|. Verilen x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığında (ikinci bölge) sin⁡(x)>0\sin(x) > 0 ve cos⁡(x)<0\cos(x) < 0 olduğundan sin⁡(x)−cos⁡(x)>0\sin(x) - \cos(x) > 0 olur. Bu yüzden mutlak değer dışına aynen çıkar. Bu aralıkta sin⁡(x)>−cos⁡(x)>0\sin(x) > -\cos(x) > 0 olduğundan sin⁡(x)−cos⁡(x)>1\sin(x) - \cos(x) > 1 olur.
2
bb ifadesini sadeleştirelim.
b=−(sin⁡(x)+cos⁡(x))b = -(\sin(x) + \cos(x)) ve b∈(−1,0)b \in (-1, 0)
cos⁡4(x)−sin⁡4(x)=(cos⁡2(x)−sin⁡2(x))(cos⁡2(x)+sin⁡2(x))=(cos⁡(x)−sin⁡(x))(cos⁡(x)+sin⁡(x))\cos^4(x) - \sin^4(x) = (\cos^2(x) - \sin^2(x))(\cos^2(x) + \sin^2(x)) = (\cos(x) - \sin(x))(\cos(x) + \sin(x)) olur. Paydadaki sin⁡(x)−cos⁡(x)\sin(x) - \cos(x) ile sadeleştiğinde başa eksi gelir: b=−(sin⁡(x)+cos⁡(x))b = -(\sin(x) + \cos(x)). İkinci bölgenin ilk yarısında sin⁡(x)>∣cos⁡(x)∣\sin(x) > |\cos(x)| olduğundan sin⁡(x)+cos⁡(x)>0\sin(x) + \cos(x) > 0 olur, dolayısıyla b<0b < 0 elde edilir.
3
cc ifadesini sadeleştirelim.
c=sin⁡2(x)−cos⁡2(x)c = \sin^2(x) - \cos^2(x) ve c∈(0,1)c \in (0, 1)
Pay kısmında tan⁡(x)−cot⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)−cos⁡(x)sin⁡(x)=sin⁡2(x)−cos⁡2(x)sin⁡(x)cos⁡(x)\tan(x) - \cot(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} - \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \frac{\sin^2(x) - \cos^2(x)}{\sin(x)\cos(x)} yazılır. Paydadaki sec⁡(x)csc⁡(x)=1sin⁡(x)cos⁡(x)\sec(x)\csc(x) = \frac{1}{\sin(x)\cos(x)} ile bölündüğünde paydalar sadeleşir ve c=sin⁡2(x)−cos⁡2(x)c = \sin^2(x) - \cos^2(x) kalır. sin⁡(x)>∣cos⁡(x)∣\sin(x) > |\cos(x)| olduğundan sin⁡2(x)>cos⁡2(x)\sin^2(x) > \cos^2(x) olur ve c>0c > 0 bulunur. Değeri 11'den küçüktür.
4
Elde edilen değerleri karşılaştırarak sıralayalım.
b<c<ab < c < a
b<0b < 0, 0<c<10 < c < 1 ve a>1a > 1 olduğundan, doğru sıralama b<c<ab < c < a şeklindedir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik özdeşlikler kullanılarak karmaşık ifadelerin sadeleştirilmesi ve belirli bir aralıkta trigonometrik değerlerin işaret ve büyüklük analizine göre sıralanması.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 1260Soru →
(x2−4x)⋅(x−5)2(x−2)⋅(5−x)≥0 \frac{(x^2 - 4x) \cdot (x - 5)^2}{(x - 2) \cdot (5 - x)} \geq 0 eşitsizliğini sağlayan tüm xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Bu eşitsizliğini sağlayan tüm x tam sayılarının toplamı 5'tir.
Doğru çözüm, ifadenin çarpanlarına ayrılarak sadeleştirilmesi ve payda köklerinin (x = 2 ve x = 5) hariç tutulmasıyla [0,2)∪[4,5)[0, 2) \cup [4, 5) çözüm kümesinin elde edilmesidir. Bu aralıktaki tam sayılar olan 0, 1 ve 4 toplandığında 5 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Tanımsızlık yapan noktaları ve çarpanları belirleme
Payda kökleri x=2x = 2 ve x=5x = 5 olduğundan x≠2x \neq 2 ve x≠5x \neq 5 olmalıdır. Pay kısmı ise x(x−4)(x−5)2x(x - 4)(x - 5)^2 şeklindedir.
Rasyonel ifadelerde paydayı sıfır yapan değerler tanımsızlığa yol açar.
2
İfadeleri sadeleştirerek eşitsizliği düzenleme
(x−5)25−x=−(x−5)\frac{(x - 5)^2}{5 - x} = -(x - 5) sadeleştirmesiyle yeni eşitsizlik x(x−4)(5−x)x−2≥0\frac{x(x - 4)(5 - x)}{x - 2} \geq 0 olur.
Ortak çarpanları sadeleştirerek eşitsizlik tablosunu daha kolay incelemek için.
3
Kökleri bulma ve işaret tablosunu oluşturma
Kökler x=0x = 0, x=2x = 2, x=4x = 4, x=5x = 5 olup işaret tablosunda en sağdan −- ile başlanarak sırasıyla −,+,−,+,−-, +, -, +, - işaretleri yerleştirilir. Çözüm kümesi [0,2)∪[4,5)[0, 2) \cup [4, 5) olarak belirlenir.
Çarpım ve bölüm durumundaki eşitsizliklerin işaret değişimi kök noktalarında gerçekleşir.
4
Çözüm kümesindeki tam sayıları bulup toplama
Tam sayılar: 00, 11 ve 44. Toplam: 0+1+4=50 + 1 + 4 = 5 bulunur.
Soruda istenen sağlayan tüm tam sayı değerlerinin toplamını hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler
ÖncekiSayfa 63 / 437Sonraki