Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 1641Soru →

Bir ABCABC üçgeninde ∣AB∣=8 birim|AB| = 8\text{ birim}, ∣AC∣=5 birim|AC| = 5\text{ birim} ve ∣BC∣=7 birim|BC| = 7\text{ birim}'dir. BABA kenarı AA köşesi yönünde uzatılarak bir DD noktası alınıyor. ∣AD∣=3 birim|AD| = 3\text{ birim} olduğuna göre, ∣CD∣|CD| uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

7
Kosinüs teoremi yardımıyla öncelikle dar açının kosinüsü yarım bulunarak 6060 derece elde edilir. Doğrusallık nedeniyle geniş açı 120120 derece olur. İkinci üçgende kosinüs teoremi uygulandığında, geniş açının kosinüsünün negatif işareti formüldeki eksi ile çarpılarak artıya dönüşür ve kenar uzunluğunun karesi 49, kendisi ise 7 birim olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC üçgeninde BCBC kenarını gören açının kosinüsünü bulmak için kosinüs teoremini yazın.
∣BC∣2=∣AB∣2+∣AC∣2−2⋅∣AB∣⋅∣AC∣⋅cos⁡(BAC^)  ⟹  72=82+52−2⋅8⋅5⋅cos⁡(BAC^)|BC|^2 = |AB|^2 + |AC|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |AC| \cdot \cos(\widehat{BAC}) \implies 7^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos(\widehat{BAC})
AA açısının trigonometrik oranını elde etmek için.
2
Elde edilen denklemi çözerek cos⁡(BAC^)\cos(\widehat{BAC}) değerini hesaplayın ve açının ölçüsünü bulun.
49=64+25−80⋅cos⁡(BAC^)  ⟹  80⋅cos⁡(BAC^)=40  ⟹  cos⁡(BAC^)=12  ⟹  m(BAC^)=60∘49 = 64 + 25 - 80 \cdot \cos(\widehat{BAC}) \implies 80 \cdot \cos(\widehat{BAC}) = 40 \implies \cos(\widehat{BAC}) = \frac{1}{2} \implies m(\widehat{BAC}) = 60^\circ
Komşu bütünler açıyı belirlemek üzere temel dar açıyı bulmak için.
3
B,A,DB, A, D noktalarının doğrusallığını kullanarak komşu bütünler olan DAC^\widehat{DAC} açısının ölçüsünü hesaplayın.
m(DAC^)=180∘−m(BAC^)=180∘−60∘=120∘m(\widehat{DAC}) = 180^\circ - m(\widehat{BAC}) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ
DACDAC üçgeninde kosinüs teoremini uygulayabilmek için aradaki açıyı bulmak.
4
DACDAC üçgeninde CDCD kenarına göre kosinüs teoremini uygulayın.
∣CD∣2=∣AD∣2+∣AC∣2−2⋅∣AD∣⋅∣AC∣⋅cos⁡(DAC^)  ⟹  ∣CD∣2=32+52−2⋅3⋅5⋅cos⁡(120∘)|CD|^2 = |AD|^2 + |AC|^2 - 2 \cdot |AD| \cdot |AC| \cdot \cos(\widehat{DAC}) \implies |CD|^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(120^\circ)
İstenen ∣CD∣|CD| uzunluğunu formülize etmek için.
5
İkinci bölgedeki kosinüs değerini yerine yazarak ∣CD∣|CD| değerini hesaplayın.
cos⁡(120∘)=−12\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} olduğundan, ∣CD∣2=9+25−30⋅(−12)=34+15=49  ⟹  ∣CD∣=7 birim|CD|^2 = 9 + 25 - 30 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 34 + 15 = 49 \implies |CD| = 7\text{ birim}
Kosinüsün işaretini doğru kullanarak nihai uzunluğu hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi yardımıyla üçgenlerde bilinmeyen kenar ve açıların ardışık hesaplanması
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1642Soru →

Koordinat düzleminde, ff fonksiyonunun grafiği ordinat eksenine göre, gg fonksiyonunun grafiği ise orijine göre simetriktir.

Her xx gerçel sayısı için bu fonksiyonlar
f(x)−3⋅f(−x)+x2⋅g(−x)=x3−4x2−8f(x) - 3 \cdot f(-x) + x^2 \cdot g(-x) = x^3 - 4x^2 - 8
eqitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, g(2)g(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -2

Cevap

Fonksiyonların simetri özellikleri kullanılarak elde edilen f(2)+2g(2)=8f(2) + 2g(2) = 8 ve f(2)−2g(2)=16f(2) - 2g(2) = 16 denklem sistemi çözüldüğünde g(2)=−2g(2) = -2 bulunur.
Fonksiyonların simetri özellikleri kullanılarak elde edilen f(2)+2g(2)=8f(2) + 2g(2) = 8 ve f(2)−2g(2)=16f(2) - 2g(2) = 16 denklem sistemi çözüldüğünde g(2)=−2g(2) = -2 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Simetri özelliklerini tanımlama
f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) ve g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x)
ff fonksiyonunun ordinat eksenine göre simetrik olması onun çift, gg fonksiyonunun orijine göre simetrik olması ise tek fonksiyon olduğunu gösterir.
2
Verilen eşitliği basitleştirme
−2f(x)−x2g(x)=x3−4x2−8-2f(x) - x^2 g(x) = x^3 - 4x^2 - 8
f(−x)f(-x) yerine f(x)f(x) ve g(−x)g(-x) yerine −g(x)-g(x) yazarak ifadeyi düzenleriz.
3
x=2x = 2 yazarak birinci denklemi bulma
f(2)+2g(2)=8f(2) + 2g(2) = 8
x=2x=2 değeri denklemde yerine konur ve gerekli sadeleştirmeler yapılır.
4
x=−2x = -2 yazarak ikinci denklemi bulma
f(2)−2g(2)=16f(2) - 2g(2) = 16
x=−2x=-2 değeri denklemde yerine konur, f(−2)=f(2)f(-2)=f(2) ve g(−2)=−g(2)g(-2)=-g(2) eşitlikleri kullanılarak sadeleştirilir.
5
Denklem sistemini çözme
g(2)=−2g(2) = -2
Elde edilen iki denklem taraf tarafa çıkarılarak g(2)g(2) değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

Tek ve çift fonksiyonların cebirsel tanımları ve simetri özellikleri
Soru 1643Soru →
log⁡2(x2−∣x∣)⋅log⁡∣x∣(x2+∣x∣)=log⁡2(x4−x2)\log_2(x^2 - |x|) \cdot \log_{|x|}(x^2 + |x|) = \log_2(x^4 - x^2) denkleminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi boş kümedir.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen denklemin tanımlı olduğu gerçel sayılar kümesinde hiçbir çözümü yoktur, dolayısıyla çözüm kümesi boş kümedir.
Denklem logaritmik tanım aralığı olan ∣x∣>1|x| > 1 üzerinde analiz edildiğinde cebirsel olarak sadeleşerek log⁡∣x∣(∣x∣−1)⋅log⁡∣x∣(∣x∣+1)=1\log_{|x|}(|x|-1) \cdot \log_{|x|}(|x|+1) = 1 halini alır. Bu denklem ise ∣x∣∈(1,2]|x| \in (1, 2] için negatif veya sıfır değerler ürettiğinden, ∣x∣>2|x| > 2 için ise logaritmanın konkavlık özellikleri ve AM-GM eşitsizliği gereği çarpım daima 1'den küçük kaldığından hiçbir gerçel sayı tarafından sağlanamaz. Dolayısıyla çözüm kümesi boş kümedir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonlarının tanım kümelerini belirleyin.
log⁡2(x2−∣x∣)\log_2(x^2 - |x|) için x2−∣x∣>0  ⟹  ∣x∣>1x^2 - |x| > 0 \implies |x| > 1. log⁡∣x∣(x2+∣x∣)\log_{|x|}(x^2 + |x|) için taban ∣x∣>0,∣x∣≠1|x| > 0, |x| \neq 1 ve argüman x2+∣x∣>0x^2 + |x| > 0 (her x≠0x \neq 0 için doğrudur). log⁡2(x4−x2)\log_2(x^4 - x^2) için x4−x2>0  ⟹  x2(x2−1)>0  ⟹  ∣x∣>1x^4 - x^2 > 0 \implies x^2(x^2 - 1) > 0 \implies |x| > 1. Ortak tanım kümesi ∣x∣>1|x| > 1 aralığıdır.
Logaritmik denklemlerde elde edilen köklerin geçerliliğini kontrol etmek için öncelikle en geniş tanım kümesi belirlenmelidir.
2
Denklemin sağ tarafındaki argümanı çarpanlarına ayırın ve logaritma özelliklerini uygulayın.
x4−x2=x2(x2−1)=∣x∣2(∣x∣2−1)=(∣x∣2−∣x∣)(∣x∣2+∣x∣)=(x2−∣x∣)(x2+∣x∣)x^4 - x^2 = x^2(x^2 - 1) = |x|^2(|x|^2 - 1) = (|x|^2 - |x|)(|x|^2 + |x|) = (x^2 - |x|)(x^2 + |x|) yazılabilir. Buradan sağ taraf log⁡2(x4−x2)=log⁡2(x2−∣x∣)+log⁡2(x2+∣x∣)\log_2(x^4 - x^2) = \log_2(x^2 - |x|) + \log_2(x^2 + |x|) haline gelir.
Çarpım durumundaki argümanı toplam biçiminde yazarak sol taraftaki terimlerle ortak çarpanlar elde etmek amaçlanır.
3
a=∣x∣>1a = |x| > 1 değişken değiştirmesi yapın ve taban değiştirme kuralını uygulayın.
Denklem log⁡2(a2−a)⋅log⁡a(a2+a)=log⁡2(a2−a)+log⁡2(a2+a)\log_2(a^2 - a) \cdot \log_a(a^2 + a) = \log_2(a^2 - a) + \log_2(a^2 + a) olur. log⁡2(a2+a)=log⁡a(a2+a)⋅log⁡2a\log_2(a^2 + a) = \log_a(a^2 + a) \cdot \log_2 a ve log⁡2(a2−a)=log⁡a(a2−a)⋅log⁡2a\log_2(a^2 - a) = \log_a(a^2 - a) \cdot \log_2 a dönüşümleri yapıldığında, a>1a > 1 için log⁡2a≠0\log_2 a \neq 0 olduğundan her iki taraf log⁡2a\log_2 a ile bölünebilir. Sadeleşmiş denklem: log⁡a(a2−a)⋅log⁡a(a2+a)=log⁡a(a2−a)+log⁡a(a2+a)\log_a(a^2 - a) \cdot \log_a(a^2 + a) = \log_a(a^2 - a) + \log_a(a^2 + a) olur.
Değişken değiştirme ve taban değiştirme kuralları ile denklemi daha basit bir cebirsel forma indirgemek gerekir.
4
Elde edilen denklemi çarpanlarına ayırarak sadeleştirin.
log⁡a(a2−a)=1+log⁡a(a−1)\log_a(a^2 - a) = 1 + \log_a(a-1) ve log⁡a(a2+a)=1+log⁡a(a+1)\log_a(a^2 + a) = 1 + \log_a(a+1) yazılırsa, denklem (1+log⁡a(a−1))(1+log⁡a(a+1))=(1+log⁡a(a−1))+(1+log⁡a(a+1))(1 + \log_a(a-1))(1 + \log_a(a+1)) = (1 + \log_a(a-1)) + (1 + \log_a(a+1)) şeklini alır. Bu ifade düzenlendiğinde log⁡a(a−1)⋅log⁡a(a+1)=1\log_a(a-1) \cdot \log_a(a+1) = 1 elde edilir.
Logaritmanın çarpım özelliğini tersten kullanarak denklemi en yalın çarpım formuna getirmek amaçlanır.
5
a>1a > 1 için elde edilen log⁡a(a−1)⋅log⁡a(a+1)=1\log_a(a-1) \cdot \log_a(a+1) = 1 denkleminin çözümlerini inceleyin.
1) a∈(1,2)a \in (1, 2) için a−1<1  ⟹  log⁡a(a−1)<0a-1 < 1 \implies \log_a(a-1) < 0 ve a+1>2>a  ⟹  log⁡a(a+1)>1a+1 > 2 > a \implies \log_a(a+1) > 1. Çarpım negatif olacağından 1 olamaz. 2) a=2a = 2 için log⁡21⋅log⁡23=0≠1\log_2 1 \cdot \log_2 3 = 0 \neq 1. 3) a>2a > 2 için doğal logaritma tabanında ln⁡(a−1)ln⁡(a+1)(ln⁡a)2=1\frac{\ln(a-1)\ln(a+1)}{(\ln a)^2} = 1 durumu incelenir. ln⁡t\ln t fonksiyonunun kesin konkavlığından dolayı ln⁡(a−1)+ln⁡(a+1)2<ln⁡a\frac{\ln(a-1) + \ln(a+1)}{2} < \ln a ve AM-GM eşitsizliğinden ln⁡(a−1)ln⁡(a+1)≤ln⁡(a−1)+ln⁡(a+1)2\sqrt{\ln(a-1)\ln(a+1)} \le \frac{\ln(a-1) + \ln(a+1)}{2} yazılır. Buradan ln⁡(a−1)ln⁡(a+1)<(ln⁡a)2\ln(a-1)\ln(a+1) < (\ln a)^2 elde edilir ki bu da çarpımın her zaman 1'den küçük olduğunu gösterir. Sonuç olarak denklemin gerçel kökü yoktur.
Sınır durumları ve logaritma fonksiyonlarının analitik özellikleri yardımıyla denklemin çözüm kümesinin boş küme olduğu gösterilir.

Anahtar Kavram

Değişken değiştirme, taban değiştirme kuralları ve logaritma tanım kümesi sınırlandırmaları altında üstel/logaritmik denklemlerin çözümü ve analitik incelenmesi.
Soru 1644Soru →
f(x)=log⁡x−1(−x2+11x−24x2−2x−3)f(x) = \log_{x-1}\left(\frac{-x^2 + 11x - 24}{x^2 - 2x - 3}\right)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

En geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 22'dir.
Doğru seçenekteki değer, tabanın pozitif ve 1'den farklı olması (x>1x > 1 ve x≠2x \neq 2) ile logaritma içindeki ifadenin pozitif olması (x∈(−1,8)x \in (-1, 8) ve x≠3x \neq 3) koşullarının ortak kesişiminden elde edilen 4, 5, 6 ve 7 tam sayılarının toplamıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Taban koşullarının belirlenmesi
x>1x > 1 ve x≠2x \neq 2
Logaritma tanımı gereği taban sıfırdan büyük ve 1'den farklı olmalıdır: x−1>0  ⟹  x>1x-1 > 0 \implies x > 1 ve x−1≠1  ⟹  x≠2x-1 \neq 1 \implies x \neq 2.
2
Argüman (logaritma içi) ifadesinin sadeleştirilmesi ve tanımsızlık noktalarının belirlenmesi
x≠−1x \neq -1, x≠3x \neq 3 ve x≠8x \neq 8
Argüman ifadesi −(x−3)(x−8)(x−3)(x+1)\frac{-(x-3)(x-8)}{(x-3)(x+1)} olarak çarpanlarına ayrılır. İfadenin tanımlı olması için payda sıfır olmamalıdır (x≠−1x \neq -1 ve x≠3x \neq 3). Ayrıca sınır değerlerin incelenmesi için payı sıfır yapan x=8x = 8 noktası belirlenir.
3
Argümanın işaret tablosunun oluşturulması ve eşitsizlik çözümü
x∈(−1,8)∖{3}x \in (-1, 8) \setminus \{3\}
Payda ve paydaki ortak çarpan (x−3)(x-3) sadeleştirildiğinde, x≠3x \neq 3 koşuluyla argüman 8−xx+1>0\frac{8-x}{x+1} > 0 eşitsizliğine indirgenir. İşaret tablosu yapıldığında bu eşitsizlik (−1,8)(-1, 8) aralığında sağlanır. Tanımsızlık noktası olan 33 bu aralıktan çıkarılmalıdır.
4
Taban ve argüman koşullarının kesiştirilmesi ve tam sayı değerlerinin bulunması
Tanım kümesi: (1,8)∖{2,3}(1, 8) \setminus \{2, 3\}, Toplam: 22
Taban koşulu olan x∈(1,∞)∖{2}x \in (1, \infty) \setminus \{2\} ile argüman koşulu olan x∈(−1,8)∖{3}x \in (-1, 8) \setminus \{3\} kesiştirildiğinde en geniş tanım kümesi (1,8)∖{2,3}(1, 8) \setminus \{2, 3\} olarak elde edilir. Bu kümedeki tam sayılar 4, 5, 6, 7 olup toplamları 4+5+6+7=224+5+6+7=22 bulunur.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının pozitif ve 1'den farklı, logaritması alınan ifadenin ise pozitif olması gerekir.
Soru 1645Soru →
(x−2)2(x+1)x−3≤0\frac{(x - 2)^2(x + 1)}{x - 3} \le 0
x2−4x+3≤0x^2 - 4x + 3 \le 0

olduğuna göre, bu eşitsizlik sisteminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [1,3)[1, 3)

Cevap

[1,3)[1, 3) yarı açık aralığı
Birinci eşitsizliğin çözüm kümesi, çift katlı kök özelliği ve payda tanımsızlığı dikkate alınarak [−1,3)[-1, 3) olarak bulunur. İkinci eşitsizliğin çözüm kümesi ise [1,3][1, 3] olarak elde edilir. İki aralığın kesişimi alındığında [1,3)[1, 3) yarı açık aralığı doğru cevap olur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizliğin köklerini belirleme ve işaret tablosunu oluşturma.
Payın kökleri x=2x = 2 (çift katlı) ve x=−1x = -1 (tek katlı). Paydanın kökü x=3x = 3 (tek katlı). İşaret tablosu en sağdan ++ ile başlar; 33 kökünde −- olur, 22 çift katlı kökünde değişmeyip −- kalır, −1-1 kökünde ++ olur.
Rasyonel eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak amacıyla işaret tablosunu doğru şekilde hazırlamak gerekir.
2
Birinci eşitsizliğin çözüm kümesini yazma.
İfadenin sıfırdan küçük veya eşit olduğu aralık [−1,3)[-1, 3) olarak bulunur. Paydayı sıfır yapan x=3x = 3 değeri çözüm kümesine dahil edilmez.
Eşitlik durumlarında payın kökleri dahil edilirken paydayı sıfır yapan kökler tanımsızlık nedeniyle hariç tutulur.
3
İkinci eşitsizliğin köklerini bulma ve çözüm kümesini yazma.
x2−4x+3≤0  ⟹  (x−1)(x−3)≤0x^2 - 4x + 3 \le 0 \implies (x - 1)(x - 3) \le 0 olduğundan kökler 11 ve 33'tür. Çözüm kümesi [1,3][1, 3] kapalı aralığıdır.
İkinci dereceden eşitsizliğin köklerini çarpanlara ayırma yöntemiyle bulup çözüm aralığını belirlemek gerekir.
4
İki eşitsizliğin çözüm kümelerinin kesişimini alma.
[−1,3)∩[1,3]=[1,3)[-1, 3) \cap [1, 3] = [1, 3) aralığı elde edilir.
Eşitsizlik sisteminin genel çözüm kümesi, sistemi oluşturan tüm eşitsizliklerin ortak sağlandığı bölgedir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik sistemlerinin çözümünde her bir eşitsizliğin çözüm kümesi ayrı ayrı bulunup kesiştirilir. İşaret tablosu oluşturulurken çift katlı köklere ve paydayı sıfır yapan tanımsızlık değerlerine dikkat edilmelidir.
Soru 1646Soru →
log⁡x−1(2x2−10x+13)=2\log_{x-1}(2x^2 - 10x + 13) = 2

denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

6
Verilen logaritmik denklem üstel forma dönüştürüldüğünde 2x2−10x+13=(x−1)22x^2 - 10x + 13 = (x-1)^2 eşitliği elde edilir. Bu eşitlik düzenlendiğinde x2−8x+12=0x^2 - 8x + 12 = 0 denklemine ve buradan da x=2x = 2 veya x=6x = 6 kök adaylarına ulaşılır. Logaritmanın tanımı gereği taban olan x−1x-1 ifadesi pozitif ve 1'den farklı olmalıdır. x=2x = 2 için taban 2−1=12 - 1 = 1 olduğundan bu değer tanımsızlığa yol açar ve çözüm kümesine dahil edilemez. Dolayısıyla denklemi sağlayan tek gerçel sayı 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma tanımından yararlanarak denklemi üstel forma dönüştürürüz.
2x2−10x+13=(x−1)22x^2 - 10x + 13 = (x-1)^2
log⁡a(b)=c  ⟺  b=ac\log_a(b) = c \iff b = a^c özelliğini uygulamak için.
2
Eşitliğin sağ tarafındaki tam kareyi açıp denklemi düzenleriz.
2x2−10x+13=x2−2x+1  ⟹  x2−8x+12=02x^2 - 10x + 13 = x^2 - 2x + 1 \implies x^2 - 8x + 12 = 0
İkinci dereceden denklemi standart forma getirmek için.
3
Elde edilen ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak kök adaylarını buluruz.
(x−2)(x−6)=0  ⟹  x1=2 veya x2=6(x-2)(x-6) = 0 \implies x_1 = 2 \text{ veya } x_2 = 6
Denklemi sağlayan kök adaylarını belirlemek için.
4
Bulunan köklerin logaritmanın tanım kümesi şartlarını sağlayıp sağlamadığını kontrol ederiz.
Taban olan x−1x-1 ifadesi için: x>1x > 1 ve x−1≠1  ⟹  x≠2x-1 \neq 1 \implies x \neq 2 olmalıdır. Bu durumda x=2x=2 elenir ve geriye yalnızca x=6x=6 kalır.
Logaritmanın tabanının pozitif ve 1'den farklı olması gerektiği kuralını uygulamak için.

Anahtar Kavram

Üstel ve logaritmik denklemlerin çözüm kümesi ve logaritma tanım kümesi kuralları.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1647Soru →
log⁡13(x−2)≥−1\log_{\frac{1}{3}}(x - 2) \geq -1

eşitsizliğini sağlayan kaç farklı xx tam sayısı vardır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Eşitsizliği sağlayan tam sayı değerlerinin sayısı 3'tür.
Logaritma tabanı 1/31/3 (0<1/3<10 < 1/3 < 1) olduğundan, eşitsizlik çözülürken yön değiştirir ve x−2≤3  ⟹  x≤5x - 2 \leq 3 \implies x \leq 5 elde edilir. Diğer yandan logaritma tanım kümesinden x−2>0  ⟹  x>2x - 2 > 0 \implies x > 2 olması gerekir. Bu iki şart birleştirildiğinde çözüm kümesi 2<x≤52 < x \leq 5 olur ve bu aralıktaki tam sayılar 3,4,53, 4, 5 olmak üzere 3 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olması için gerekli olan tanım kümesi koşulunu belirleyin.
x−2>0  ⟹  x>2x - 2 > 0 \implies x > 2 olmalıdır.
Logaritmanın içi sıfırdan büyük olmalıdır.
2
Logaritmik eşitsizliği tabanın durumuna göre çözün.
Taban 13\frac{1}{3} basit kesir (0<13<10 < \frac{1}{3} < 1) olduğundan eşitsizlik yön değiştirir: x−2≤(13)−1  ⟹  x−2≤3  ⟹  x≤5x - 2 \leq \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} \implies x - 2 \leq 3 \implies x \leq 5 olur.
Logaritma tabanı 0 ile 1 arasında ise eşitsizlik çözülürken yön değiştirir.
3
Tanım kümesi koşulu ile eşitsizlik çözümünü kesiştirin.
2<x≤52 < x \leq 5 aralığı elde edilir.
Çözüm kümesindeki x değerleri hem eşitsizliği sağlamalı hem de logaritmayı tanımlı kılmalıdır.
4
Bu aralıkta yer alan xx tam sayılarını listeleyin ve sayısını bulun.
xx tam sayıları 3,4,53, 4, 5 olup toplamda 3 tanedir.
Belirlenen yarı açık aralıktaki tam sayı değerleri sayılır.

Anahtar Kavram

Basit kesir tabanlı logaritmik eşitsizliklerde eşitsizlik yönünün değiştirilmesi ve logaritma tanım kümesinin (f(x)>0f(x) > 0) çözüm kümesine dahil edilmesi.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 1648Soru →

Aşağıda verilen aa, bb, cc ve dd trigonometrik değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Doğru sıralama d < b < c < a şeklindedir.
Kotanjantın negatif olması dd değerini en küçük yapar. Diğer pozitif terimlerin birinci bölgeye indirgenmiş halleri b=sin⁡(20∘)b = \sin(20^\circ), c=tan⁡(40∘)c = \tan(40^\circ) ve a=sin⁡(80∘)a = \sin(80^\circ) şeklindedir. Birinci bölgede sinüsün tanjanttan küçük olması ve yarım açı analizinden sin⁡(80∘)>tan⁡(40∘)\sin(80^\circ) > \tan(40^\circ) gelmesi nedeniyle doğru sıralama d<b<c<ad < b < c < a olur.

Adım Adım Çözüm

1
Trigonometrik ifadelerin bölgelerini belirleyip işaret analizi yapma.
d=cot⁡(310∘)<0d = \cot(310^\circ) < 0 (IV. bölge), b=cos⁡(290∘)>0b = \cos(290^\circ) > 0 (IV. bölge), c=tan⁡(220∘)>0c = \tan(220^\circ) > 0 (III. bölge) ve a=sin⁡(100∘)>0a = \sin(100^\circ) > 0 (II. bölge) bulunur.
Negatif olan dd değerinin en küçük terim olduğunu saptamak için.
2
Pozitif değerleri I. bölgedeki dar açılara indirgeme.
b=sin⁡(20∘)b = \sin(20^\circ), c=tan⁡(40∘)c = \tan(40^\circ) ve a=sin⁡(80∘)a = \sin(80^\circ) değerleri elde edilir.
Birinci bölgede bilinen sıralama kurallarını ve trigonometrik özdeşlikleri uygulayabilmek için.
3
b=sin⁡(20∘)b = \sin(20^\circ) ile c=tan⁡(40∘)c = \tan(40^\circ) değerlerini karşılaştırma.
0<x<90∘0 < x < 90^\circ için sin⁡x<tan⁡x\sin x < \tan x olduğundan sin⁡(20∘)<tan⁡(20∘)\sin(20^\circ) < \tan(20^\circ)'dir. Tanjant fonksiyonu birinci bölgede artan olduğundan tan⁡(20∘)<tan⁡(40∘)\tan(20^\circ) < \tan(40^\circ) olur. Buradan b<cb < c elde edilir.
Sinüs ve tanjant fonksiyonlarının birinci bölgedeki davranışlarını kıyaslamak için.
4
c=tan⁡(40∘)c = \tan(40^\circ) ile a=sin⁡(80∘)a = \sin(80^\circ) değerlerini karşılaştırma.
sin⁡(80∘)=2sin⁡(40∘)cos⁡(40∘)\sin(80^\circ) = 2 \sin(40^\circ) \cos(40^\circ) yarım açı açılımı ile tan⁡(40∘)=sin⁡(40∘)cos⁡(40∘)\tan(40^\circ) = \frac{\sin(40^\circ)}{\cos(40^\circ)} kıyaslanır. İki ifade oranlandığında sin⁡(80∘)tan⁡(40∘)=2cos⁡2(40∘)\frac{\sin(80^\circ)}{\tan(40^\circ)} = 2 \cos^2(40^\circ) elde edilir. 40∘<45∘40^\circ < 45^\circ olduğundan cos⁡(40∘)>cos⁡(45∘)=22\cos(40^\circ) > \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} ve dolayısıyla cos⁡2(40∘)>12\cos^2(40^\circ) > \frac{1}{2} olur. Buradan 2cos⁡2(40∘)>12\cos^2(40^\circ) > 1 yani a>ca > c elde edilir.
Yarım açı formülü yardımıyla iki pozitif değer arasındaki kesin büyüklük ilişkisini kurmak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik değerlerin bölgelere göre işaretleri, indirgeme formülleri ve birinci bölgedeki büyüklük ilişkileri.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1649Soru →
log⁡53⋅log⁡32+log⁡52,5\log_{5} 3 \cdot \log_{3} 2 + \log_{5} 2,5

işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

1
Verilen işlemde taban değiştirme kuralı uygulanarak birinci kısım log⁡52\log_{5} 2 olarak bulunur. Ardından aynı tabandaki logaritmaların toplama kuralı gereği içler çarpılır ve log⁡5(2⋅2,5)=log⁡55\log_{5} (2 \cdot 2,5) = \log_{5} 5 elde edilir. Bu ifade de 1'e eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Çarpım durumundaki logaritmik ifadeleri taban değiştirme özelliğine göre sadeleştirin.
log⁡53⋅log⁡32=log⁡52\log_{5} 3 \cdot \log_{3} 2 = \log_{5} 2
log⁡ab⋅log⁡bc=log⁡ac\log_{a} b \cdot \log_{b} c = \log_{a} c taban değiştirme kuralı gereğince tabanlar birbirini götürür.
2
Elde edilen ifadeyi diğer terimle toplayın.
log⁡52+log⁡52,5=log⁡5(2⋅2,5)\log_{5} 2 + \log_{5} 2,5 = \log_{5} (2 \cdot 2,5)
Aynı tabandaki logaritma toplamı, içlerin çarpımına eşittir: log⁡ax+log⁡ay=log⁡a(x⋅y)\log_{a} x + \log_{a} y = \log_{a} (x \cdot y)
3
Çarpım sonucunu bulup logaritma değerini hesaplayın.
log⁡55=1\log_{5} 5 = 1
log⁡aa=1\log_{a} a = 1 kuralı gereği taban ile iç eşit olduğunda logaritmanın değeri 1 olur.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunda taban değiştirme (zincir kuralı) ve toplama özelliklerinin uygulanması.
Soru 1650Soru →
x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,
sin⁡(2x)1+cos⁡(2x)=512\frac{\sin(2x)}{1 + \cos(2x)} = \frac{5}{12}

olduğuna göre, cos⁡x\cos x değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −1213-\frac{12}{13}

Cevap

Negatif on iki bölü on üç
Verilen ifade yarım açı formülleriyle sadeleştirildiğinde tan⁡x=512\tan x = \frac{5}{12} bulunur. xx açısı üçüncü bölgede yer aldığı için kosinüsün işareti negatiftir. Karşı dik kenarı 5, komşu dik kenarı 12 olan dik üçgenden komşu/hipotenüs oranı yardımıyla cos⁡x=−1213\cos x = -\frac{12}{13} elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen kesirli ifadeyi yarım açı formülleri kullanarak sadeleştirin.
2sin⁡xcos⁡x1+(2cos⁡2x−1)=2sin⁡xcos⁡x2cos⁡2x=tan⁡x=512\frac{2\sin x \cos x}{1 + (2\cos^2 x - 1)} = \frac{2\sin x \cos x}{2\cos^2 x} = \tan x = \frac{5}{12}
Payda kısmındaki 1 sayısını sadeleştirmek için cos⁡(2x)=2cos⁡2x−1\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1 formülü, pay kısmında ise sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x formülü kullanılmıştır.
2
Açının bulunduğu bölgeye göre trigonometrik değerlerin işaretlerini belirleyin.
x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olduğundan açımız ��çüncü bölgededir. Bu bölgede sin⁡x<0\sin x < 0 ve cos⁡x<0\cos x < 0 değerlerini alır.
Birim çember üzerindeki bölgelerde trigonometrik fonksiyonların işaretlerinin doğru tespit edilmesi gerekmektedir.
3
Dik üçgen yardımıyla cos⁡x\cos x değerini hesaplayın.
cos⁡x=−1213\cos x = -\frac{12}{13}
tan⁡x=512\tan x = \frac{5}{12} oranına uygun çizilen dik üçgende karşı kenar 5, komşu kenar 12 ve hipotenüs 13'tür. Üçüncü bölgede kosinüs negatif olduğundan sonuç eksi işaretli olmalıdır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik yarım açı formüllerinin uygulanması ve bölgelere göre işaret analizi
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 1651Soru →
Genel terimi
an=n2−6n+kn+4a_n = \frac{n^2 - 6n + k}{n + 4}
olan bir (an)(a_n) gerçel sayı dizisinin en küçük terimi a3a_3 olduğuna göre, kk tam sayısı en az kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Dizinin en küçük teriminin a_3 olması için k tam sayısı en az 2 olmalıdır.
k = 2 değeri için dizinin terimleri a_2 = a_3 = -1 değerine ulaşır ve bu değer dizinin en küçük terimidir. Daha küçük k değerleri için a_2 terimi a_3'ten daha küçük olacağından en küçük terim a_3 olamaz.

Adım Adım Çözüm

1
En küçük terim olma koşulunun belirlenmesi
a_3 \leq a_2 ve a_3 \leq a_4
Dizinin en küçük terimi a_3 ise, bu terim sağındaki ve solundaki komşu terimlerden küçük veya eşit olmalıdır.
2
Terimlerin k cinsinden ifadelerinin yaz��lması
a_2 = \frac{k - 8}{6}, a_3 = \frac{k - 9}{7}, a_4 = \frac{k - 8}{8}
Dizinin genel teriminde n yerine sırasıyla 2, 3 ve 4 değerleri yazılır.
3
a3≤a2es\citsizlig˘ininc\co¨zu¨lmesia_3 \leq a_2 eşitsizliğinin çözülmesi
k≥2k \geq 2
\frac{k - 9}{7} \leq \frac{k - 8}{6} eşitsizliğinde paydalar eşitlenerek k yalnız bırakılır.
4
a3≤a4es\citsizlig˘ininc\co¨zu¨lmesia_3 \leq a_4 eşitsizliğinin çözülmesi
k≤16k \leq 16
\frac{k - 9}{7} \leq \frac{k - 8}{8} eşitsizliğinde paydalar eşitlenerek k yalnız bırakılır.
5
Eşitsizliklerin birleştirilmesi ve en küçük k tam sayısının bulunması
2 \leq k \leq 16 aralığından k = 2 elde edilir.
k'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri alt sınırdan 2 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Bir dizinin en küçük veya en büyük terimini bulmak için, dizinin tanım kümesi pozitif tam sayılar olduğundan komşu terimlerin kıyaslanması yöntemi kullanılır.
Soru 1652Soru →
tan⁡(12arccos⁡(−35))\tan\left(\frac{1}{2} \arccos\left(-\frac{3}{5}\right)\right)

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

İfadenin doğru değeri 22 olmalıdır.
Verilen ifade θ=arccos⁡(−35)\theta = \arccos\left(-\frac{3}{5}\right) olarak tanımlandığında, arccos⁡\arccos fonksiyonunun değer kümesi [0,π][0, \pi] olduğundan θ\theta açısı ikinci bölgededir ve cos⁡(θ)=−35\cos(\theta) = -\frac{3}{5} olur. Bu açının yarısı olan θ2\frac{\theta}{2} ise birinci bölgede yer alır ve tanjant değeri pozitif olmalıdır. Yarım açı formülü tan⁡2(θ2)=1−cos⁡(θ)1+cos⁡(θ)=1−(−3/5)1+(−3/5)=4\tan^2\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - \cos(\theta)}{1 + \cos(\theta)} = \frac{1 - (-3/5)}{1 + (-3/5)} = 4 şeklinde işletildiğinde, karekök alındıktan sonra bölge gereği pozitif olan 22 değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Ters kosinüs fonksiyonunun açısını bir değişkene atayarak değer aralığını belirlemek.
θ=arccos⁡(−35)\theta = \arccos\left(-\frac{3}{5}\right) olsun. arccos⁡\arccos fonksiyonunun değer kümesi [0,π][0, \pi] olduğundan, cos⁡(θ)=−35\cos(\theta) = -\frac{3}{5} eşitliğini sağlayan θ\theta açısı ikinci bölgededir (θ∈(π2,π)\theta \in (\frac{\pi}{2}, \pi)).
Ters trigonometrik fonksiyonların temel değer aralıklarına göre açının hangi bölgede olduğunu tespit etmek, işlem yönünü belirlemek için ilk adımdır.
2
Yarım açının bulunduğu bölgeyi ve trigonometrik işaretini analiz etmek.
θ\theta açısı (π2,π)(\frac{\pi}{2}, \pi) aralığında olduğundan, yarım açı olan θ2\frac{\theta}{2} açısı (π4,π2)(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}) aralığında, yani birinci bölgede yer alır. Birinci bölgedeki tüm açılar için tanjant değeri pozitif olduğundan tan⁡(θ2)>0\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) > 0 olmalıdır.
Yarım açının tanjant değerinin işaretini doğru saptamak, karekök dışına çıkacak değerin artı veya eksi olacağını belirler.
3
Yarım açı formülü kullanarak tanjant değerini hesaplamak.
tan⁡2(θ2)=1−cos⁡(θ)1+cos⁡(θ)\tan^2\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - \cos(\theta)}{1 + \cos(\theta)} formülünden yararlanılarak, tan⁡2(θ2)=1−(−35)1+(−35)=8/52/5=4\tan^2\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - (-\frac{3}{5})}{1 + (-\frac{3}{5})} = \frac{8/5}{2/5} = 4 elde edilir. tan⁡(θ2)>0\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) > 0 olduğu için tan⁡(θ2)=2\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = 2 bulunur.
Yarım açının tanjant karesini bulup, bölge analizinden elde edilen pozitif kökü seçerek nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Ters kosinüs fonksiyonunun değer kümesi [0,π][0, \pi] aralığı ile sınırlıdır. Negatif girdiler için bu açı ikinci bölgededir. İkinci bölgedeki bir açının yarısı birinci bölgeye düşer ve birinci bölgede tanjant pozitiftir.

Alternatif Yöntem

Bütünler açı yardımıyla dik üçgen çizerek çözmek için: θ=arccos⁡(−35)\theta = \arccos\left(-\frac{3}{5}\right) ise cos⁡(θ)=−35\cos(\theta) = -\frac{3}{5} ve θ\theta bir geniş açıdır. Bu açının bütünleri α=π−θ\alpha = \pi - \theta olsun, böylece cos⁡(α)=35\cos(\alpha) = \frac{3}{5} olur. Kenarları 3-4-5 olan bir dik üçgen çizelim (komşu kenar 3, karşı kenar 4). Komşu kenarı hipotenüs uzunluğu kadar (5 birim) dışarıya doğru uzatarak yeni bir dik üçgen oluşturduğumuzda, oluşan yeni açının tanjantı tan⁡(α2)=43+5=12\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{4}{3+5} = \frac{1}{2} olur. θ2=π2−α2\frac{\theta}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2} olduğundan, tan⁡(θ2)=tan⁡(π2−α2)=cot⁡(α2)=1tan⁡(α/2)=2\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}\right) = \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1}{\tan(\alpha/2)} = 2 bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1653Soru →
an=n2−11n+ka_n = \sqrt{n^2 - 11n + k}

ifadesi bir gerçel sayı dizisinin genel terimi olduğuna göre, kk tam sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

k tam sayısının alabileceği en küçük değer 30'dur.
Dizinin genel teriminin gerçel sayı belirtmesi için kök içindeki ifadenin tüm pozitif tam sayılar (n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+) için sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir. Buradan elde edilen k≥11n−n2k \geq 11n - n^2 eşitsizliğinde, 11n−n211n - n^2 ifadesinin pozitif tam sayılarda alabileceği en büyük değer tepe noktası r=5.5r = 5.5 civarındaki n=5n=5 ve n=6n=6 değerleri için 30'dur. Dolayısıyla k≥30k \geq 30 olmalıdır ve kk'nın alabileceği en küçük değer 30'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin tanım kümesi kuralını uygulamak.
ana_n ifadesinin bir gerçel sayı dizisinin genel terimi olabilmesi için tüm n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ (pozitif tam sayılar) değerleri için tanımlı olması gerekir.
Bir dizinin terimleri a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \dots şeklinde pozitif tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı fonksiyonlardır.
2
Kareköklü ifadenin reel sayılarda tanımlılık şartını belirlemek.
Kökün içindeki ifade negatif olmamalıdır: Her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için n2−11n+k≥0n^2 - 11n + k \geq 0 sağlanmalıdır.
Çift dereceli köklü ifadelerin gerçel sayı belirtmesi için kök içinin sıfırdan büyük veya eşit olması şarttır.
3
Eşitsizliği kk parametresi cinsinden düzenlemek.
Her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için k≥11n−n2k \geq 11n - n^2 elde edilir.
Parametrenin alabileceği değer aralığını bulmak için bilinmeyen terimleri karşı tarafa toplarız.
4
f(n)=11n−n2f(n) = 11n - n^2 ifadesinin pozitif tam sayılardaki maksimum değerini bulmak.
f(n)f(n) parabolünün tepe noktası r=5.5r = 5.5 apsisli noktadadır. nn tam sayı olması gerektiğinden, tepe noktasına en yakın tam sayılar olan n=5n=5 veya n=6n=6 için en büyük değer elde edilir: f(5)=f(6)=11(5)−52=30f(5) = f(6) = 11(5) - 5^2 = 30.
Karesel bir ifadenin en büyük değeri tepe noktasında veya tepe noktasına en yakın tam sayı değerlerinde elde edilir.
5
kk için alt sınırı belirlemek ve en küçük tam sayı değerini bulmak.
k≥30k \geq 30 olmalıdır. Dolayısıyla kk'nın alabileceği en küçük tam sayı değeri 30'dur.
Her nn pozitif tam sayısı için eşitsizliğin sağlanabilmesi, kk değerinin bu kümedeki maksimum değerden küçük olmamasına bağlıdır.

Anahtar Kavram

Dizi genel teriminin tanımlı olması için indis değişkeninin pozitif tam sayılar kümesinde yer alması ve bu kümedeki sınır koşullarının incelenmesi.
Soru 1654Soru →

Bir ABCABC üçgeninde DD noktası [BC][BC] kenarı üzerindedir.

∣AB∣=∣AC∣=7 birim|AB| = |AC| = 7\text{ birim}
∣AD∣=3 birim|AD| = 3\text{ birim}
∣BD∣=5 birim|BD| = 5\text{ birim}

olduğuna göre, ∣CD∣|CD| uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

CD uzunluğu 8 birimdir.
Ardışık iki üçgende Kosinüs Teoremi uygulanıp, bütünler açıların kosinüslerinin zıt işaretli olduğu bilgisi doğru bir şekilde kullanıldığında ∣CD∣|CD| uzunluğu 88 birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
ABDABD üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulanarak ADB^\widehat{ADB} açısının kosinüs değeri hesaplanır.
∣AB∣2=∣AD∣2+∣BD∣2−2⋅∣AD∣⋅∣BD∣⋅cos⁡(ADB^)|AB|^2 = |AD|^2 + |BD|^2 - 2 \cdot |AD| \cdot |BD| \cdot \cos(\widehat{ADB})
72=32+52−2⋅3⋅5⋅cos⁡(ADB^)7^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(\widehat{ADB})
49=9+25−30cos⁡(ADB^)49 = 9 + 25 - 30 \cos(\widehat{ADB})
15=−30cos⁡(ADB^)  ⟹  cos⁡(ADB^)=−1215 = -30 \cos(\widehat{ADB}) \implies \cos(\widehat{ADB}) = -\frac{1}{2}
ABDABD üçgeninin tüm kenar uzunlukları bilindiği için ADB^\widehat{ADB} açısının kosinüs değeri doğrudan belirlenebilir.
2
BB, DD ve CC noktaları doğrusal olduğundan, bütünler açılar kuralı kullanılarak ADC^\widehat{ADC} açısının kosinüs değeri bulunur.
cos⁡(ADC^)=cos⁡(180∘−ADB^)=−cos⁡(ADB^)=−(−12)=12\cos(\widehat{ADC}) = \cos(180^\circ - \widehat{ADB}) = -\cos(\widehat{ADB}) = -\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}
ADCADC üçgeninde işlem yapabilmek için bu üçgendeki ADC^\widehat{ADC} açısının kosinüs değeri gereklidir.
3
ADCADC üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulanarak ∣CD∣=x|CD| = x uzunluğu hesaplanır.
∣AC∣2=∣AD∣2+∣CD∣2−2⋅∣AD∣⋅∣CD∣⋅cos⁡(ADC^)|AC|^2 = |AD|^2 + |CD|^2 - 2 \cdot |AD| \cdot |CD| \cdot \cos(\widehat{ADC})
72=32+x2−2⋅3⋅x⋅127^2 = 3^2 + x^2 - 2 \cdot 3 \cdot x \cdot \frac{1}{2}
49=9+x2−3x49 = 9 + x^2 - 3x
x2−3x−40=0x^2 - 3x - 40 = 0
(x−8)(x+5)=0(x - 8)(x + 5) = 0
x=8 veya x=−5x = 8 \text{ veya } x = -5
Uzunluk negatif olamayacağı için x=8x = 8 değeri çözüm olarak kabul edilir.

Anahtar Kavram

Bir üçgende kenarlar arasındaki bağıntıyı kurmak için Kosinüs Teoremi kullanılır. Doğrusal bir çizgi üzerindeki komşu iki açının kosinüsleri birbirinin zıt işaretlisidir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1655Soru →
sin⁡(3x)sin⁡(x)+cos⁡(3x)cos⁡(x)=1\frac{\sin(3x)}{\sin(x)} + \frac{\cos(3x)}{\cos(x)} = 1

denkleminin (0,2π)(0, 2\pi) açık aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı kπk\pi radyandır.

Buna göre, kk değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Denklemin verilen aralıktaki gerçel köklerinin toplamı 4\pi radyan olup, k değeri 4 olarak bulunur.
Verilen denklem payda eşitleme ve trigonometrik özdeşlikler yardımıyla sadeleştirildiğinde cos(2x) = 1/4 denklemine indirgenir. Paydayı sıfır yapan sin(2x) = 0 değerleri elendikten sonra, cos(2x) = 1/4 denkleminin (0, 2π) aralığındaki 4 farklı kökü simetri yardımıyla toplandığında 4π elde edilir. Bu nedenle k değeri 4 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemin tanımlı olduğu kümeyi ve paydaları sıfır yapan değerleri belirleyin.
sin(x) ≠ 0 ve cos(x) ≠ 0 olmalıdır. Bu durum sin(2x) ≠ 0 olmasını gerektirir. Dolayısıyla x ≠ π/2, x ≠ π ve x ≠ 3π/2 olmalıdır.
Tanımsızlığa yol açan x değerleri çözüm kümesinden dışlanmalıdır.
2
Sol taraftaki rasyonel ifadeyi payda eşitleyerek sadeleştirin.
Payda eşitleme sonucunda sol taraf [sin(3x)cos(x) + cos(3x)sin(x)] / [sin(x)cos(x)] haline gelir. Toplam formülünden pay sin(4x), yarım açı formülünden payda (1/2)sin(2x) olur. Denklem 2sin(4x) / sin(2x) = 1 biçimine dönüşür. sin(4x) = 2sin(2x)cos(2x) açılımı yapılıp sin(2x) ≠ 0 koşulu altında sadeleştirme uygulandığında 4cos(2x) = 1 elde edilir.
Trigonometrik toplam ve yarım açı formülleri kullanılarak denklem en sade biçimine getirilir.
3
cos(2x) = 1/4 denkleminin (0, 2π) aralığındaki köklerini bulun.
2x = u değişken değiştirmesi yapıldığında u ∈ (0, 4π) olur. cos(u) = 1/4 denkleminin bu aralıkta 4 kökü vardır: u₁ = θ, u₂ = 2π - θ, u₃ = 2π + θ, u₄ = 4π - θ (burada θ ∈ (0, π/2) ve cos(θ) = 1/4). Buradan x değerleri sırasıyla x₁ = θ/2, x₂ = π - θ/2, x₃ = π + θ/2, x₄ = 2π - θ/2 olarak bulunur. Bu değerlerin hiçbiri dışlanan değerlerle çakışmaz.
cos(2x) = 1/4 denklemini sağlayan açıların simetrik konumları belirlenir.
4
Kökleri toplayıp k değerini elde edin.
Köklerin toplamı (θ/2) + (π - θ/2) + (π + θ/2) + (2π - θ/2) = 4π radyandır. Buradan k = 4 bulunur.
Tüm geçerli köklerin toplamı alınarak kπ ifadesine eşitlenir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerde payda sınırlamalarının kontrolü ve simetri yoluyla kökler toplamının bulunması
Soru 1656Soru →
f(x)=log⁡6−x(x2−4xx2−7x+10)+x+3f(x) = \log_{6-x}\left(\frac{x^2 - 4x}{x^2 - 7x + 10}\right) + \sqrt{x+3}

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki farklı tam sayı değerlerinin toplamı kaçt��r?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

En geniş tanım kümesindeki farklı tam sayı değerlerinin toplamı -3'tür.
Kareköklü ifadenin tanımlı olması için x≥−3x \geq -3, logaritma tabanı için x<6x < 6 ve x≠5x \neq 5 olmalıdır. Rasyonel ifadenin pozitif olduğu aralıklar işaret tablosuyla (−∞,0)∪(2,4)∪(5,∞)(-\infty, 0) \cup (2, 4) \cup (5, \infty) olarak bulunur. Tüm bu aralıkların kesişiminden en geniş tanım kümesi [−3,0)∪(2,4)∪(5,6)[-3, 0) \cup (2, 4) \cup (5, 6) elde edilir. Bu kümedeki tam sayılar −3,−2,−1-3, -2, -1 ve 33 olup toplamları −3-3 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Kareköklü ifadenin tanımlı olma aralığını bulma
x≥−3x \geq -3
Çift dereceden köklü ifadelerin tanımlı olması için kök içi sıfırdan büyük veya eşit olmalıdır.
2
Logaritma tabanının tanımlı olma şartlarını belirleme
x<6x < 6 ve x≠5x \neq 5
Logaritma tabanının pozitif ve 1'den farklı olması gerekir: 6−x>06 - x > 0 ve 6−x≠16 - x \neq 1.
3
Logaritma argümanının pozitif olma şartını belirleme
x∈(−∞,0)∪(2,4)∪(5,∞)x \in (-\infty, 0) \cup (2, 4) \cup (5, \infty)
Logaritmanın tanımlı olması için içerideki rasyonel ifadenin pozitif olması gerekir. x(x−4)(x−2)(x−5)>0\frac{x(x-4)}{(x-2)(x-5)} > 0 eşitsizliğinin kökleri 0,2,4,50, 2, 4, 5 olup işaret tablosunda sağdan sola doğru +,−,+,−,++ , - , + , - , + şeklinde dizilir.
4
Eşitsizliklerin kesişimini alma ve tam sayı değerlerini toplama
Tam sayılar: −3,−2,−1,3-3, -2, -1, 3. Toplam: −3-3
Bulunan tüm şartlar (x≥−3x \geq -3, x<6x < 6, x≠5x \neq 5 ve rasyonel ifadenin pozitif olduğu bölgeler) kesiştirilerek en geniş tanım kümesi [−3,0)∪(2,4)∪(5,6)[-3, 0) \cup (2, 4) \cup (5, 6) olarak elde edilir. Bu kümedeki tam sayılar toplanır.

Anahtar Kavram

Bir logaritma fonksiyonunun tanımlı olması için tabanının pozitif ve 1'den farklı, argümanının ise pozitif olması gerekir. Eşitsizlik sistemlerinin çözümünde her bir şartın ortak kesişim kümesi alınır.
Soru 1657Soru →
xlog⁡2x−3=16x^{\log_2 x - 3} = 16 denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16.5

Cevap

Denklemi sağlayan x gerçel sayılarının toplamı 16,5'tir.
Verilen denklemin her iki tarafının 2 tabanında logaritması alındığında denklem (log⁡2x−3)⋅log⁡2x=4(\log_2 x - 3) \cdot \log_2 x = 4 biçimine dönüşür. Buradan log⁡2x=u\log_2 x = u dönüşümüyle u2−3u−4=0u^2 - 3u - 4 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri u=4u = 4 ve u=−1u = -1'dir. Bu değerlere karşılık gelen xx kökleri ise sırasıyla 1616 ve 0,50,5 olup toplamları 16,516,5'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemin her iki tarafının 2 tabanında logaritmasını almak.
log⁡2(xlog⁡2x−3)=log⁡216⇒(log⁡2x−3)⋅log⁡2x=4\log_2\left(x^{\log_2 x - 3}\right) = \log_2 16 \Rightarrow (\log_2 x - 3) \cdot \log_2 x = 4
Üstel değişkeni logaritma yardımıyla tabana indirgemek için.
2
log⁡2x=u\log_2 x = u dönüşümü uygulayarak denklemi ikinci dereceden bir denklem olarak yazmak ve çözmek.
u(u−3)=4⇒u2−3u−4=0⇒(u−4)(u+1)=0⇒u1=4 ve u2=−1u(u - 3) = 4 \Rightarrow u^2 - 3u - 4 = 0 \Rightarrow (u - 4)(u + 1) = 0 \Rightarrow u_1 = 4 \text{ ve } u_2 = -1
İkinci dereceden denklemin kök bulma yöntemlerini kullanabilmek için.
3
uu değerlerinden xx değerlerine geçiş yapmak ve bulunan kökleri toplamak.
log⁡2x=4⇒x1=24=16\log_2 x = 4 \Rightarrow x_1 = 2^4 = 16 ve log⁡2x=−1⇒x2=2−1=0,5\log_2 x = -1 \Rightarrow x_2 = 2^{-1} = 0,5. Kökler toplamı: 16+0,5=16,516 + 0,5 = 16,5
Logaritma tanımını uygulayarak orijinal değişkenin değerlerini bulmak ve soruda istenen toplam işlemini gerçekleştirmek için.

Anahtar Kavram

Üstel ifadelerin üssünde logaritma barındıran denklemleri her iki tarafın logaritmasını alarak ve değişken değiştirerek çözme yöntemi.
Soru 1658Soru →
f(x)=log⁡x−2(x2−12x+325−x)f(x) = \log_{x-2}\left(\frac{x^2 - 12x + 32}{5 - x}\right)

kuralı ile verilen f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesinde bulunan tüm tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

Logaritma tanım kuralları uygulandığında fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayılar 6 ve 7'dir, toplamları ise 13'tür.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olması için taban sıfırdan büyük ve 1'den farklı, içi ise sıfırdan büyük olmalıdır. Bu şartlar kesiştirildiğinde elde edilen (2,4)∖{3}∪(5,8)(2, 4) \setminus \{3\} \cup (5, 8) tanım kümesindeki tam sayılar sadece 66 ve 77'dir. Bu sayıların toplamı 1313 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Taban şartlarının belirlenmesi
x−2>0⇒x>2x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2 ve x−2≠1⇒x≠3x - 2 \neq 1 \Rightarrow x \neq 3
Logaritma tanımı gereği taban sıfırdan büyük ve birden farklı olmalıdır.
2
Logaritmanın içinin pozitif olma şartının belirlenmesi
x2−12x+325−x>0⇒(x−4)(x−8)5−x>0\frac{x^2 - 12x + 32}{5 - x} > 0 \Rightarrow \frac{(x-4)(x-8)}{5-x} > 0
Logaritma tanımı gereği logaritması alınan ifade sıfırdan büyük olmalıdır.
3
Rasyonel eşitsizliğin işaret tablosunun yapılması
İşaret tablosu için kökler x=4x = 4, x=5x = 5 ve x=8x = 8 olarak bulunur. En büyük dereceli terimlerin işaretleri oranı negatif olduğundan tablo en sağda eksi (-) ile başlar: (8,∞)(8, \infty) aralığında (−)(-), (5,8)(5, 8) aralığında (+)(+), (4,5)(4, 5) aralığında (−)(-) ve (−∞,4)(-\infty, 4) aralığında (+)(+) olur. Dolayısıyla eşitsizliğin çözüm kümesi (−∞,4)∪(5,8)(-\infty, 4) \cup (5, 8) aralığıdır.
Rasyonel ifadenin sıfırdan büyük olduğu x aralıklarını belirlemek için işaret tablosu oluşturulur.
4
Elde edilen tüm şartların kesiştirilmesi
x>2x > 2, x≠3x \neq 3 ve x∈(−∞,4)∪(5,8)x \in (-\infty, 4) \cup (5, 8) şartlarının kesişimi alındığında en geniş tanım kümesi (2,4)∖{3}∪(5,8)(2, 4) \setminus \{3\} \cup (5, 8) olarak bulunur.
Logaritmanın hem taban hem de iç şartlarını aynı anda sağlayan en geniş tanım kümesini bulmak için aralıklar kesiştirilir.
5
Tanım kümesindeki tam sayıların belirlenmesi ve toplanması
(2,4)∖{3}(2, 4) \setminus \{3\} aralığında hiçbir tam sayı yoktur. (5,8)(5, 8) aralığındaki tam sayılar ise 66 ve 77'dir. Toplamları: 6+7=136 + 7 = 13 olur.
Tanım kümesinde yer alan tam sayıların toplamını bulmak amacıyla değerler belirlenir.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının sıfırdan büyük ve birden farklı, içinin ise sıfırdan büyük olması gerekir. Bu şartlar altındaki eşitsizlik sisteminin ortak çözüm kümesi en geniş tanım kümesini verir.
Soru 1659Soru →
Bir ABCABC üçgeninde, tan⁡A\tan A ve tan⁡B\tan B değerleri
x2−5x+3=0x^2 - 5x + 3 = 0
denkleminin kökleridir.

Buna göre, tan⁡C\tan C değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 52\frac{5}{2}

Cevap

Tanjant değeri beş b��lü iki olan seçenektir.
Üçgenin iç açılar toplamından tan⁡C=−tan⁡(A+B)\tan C = -\tan(A+B) yazılır. Verilen denklemin kökleri tan⁡A\tan A ve tan⁡B\tan B olduğundan, kökler toplamı 55, kökler çarpımı ise 33 olur. Tanjant toplam formülünden tan⁡(A+B)=51−3=−52\tan(A+B) = \frac{5}{1-3} = -\frac{5}{2} bulunur. Buradan tan⁡C=−(−52)=52\tan C = -(-\frac{5}{2}) = \frac{5}{2} elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgenin iç açılarının toplamı bağıntısını kullanarak CC açısını AA ve BB türünden ifade etme
C=180∘−(A+B)C = 180^\circ - (A+B) ve buradan tan⁡C=tan⁡(180∘−(A+B))=−tan⁡(A+B)\tan C = \tan(180^\circ - (A+B)) = -\tan(A+B)
ABCABC üçgeninde A+B+C=180∘A+B+C = 180^\circ olduğundan iki açının toplamının bütünleri olan açının tanjantı, toplamın tanjantının ters işaretlisine eşittir.
2
Kökler toplamı ve çarpımı formüllerini (Vieta formülleri) uygulama
tan⁡A+tan⁡B=5\tan A + \tan B = 5 ve tan⁡A⋅tan⁡B=3\tan A \cdot \tan B = 3
tan⁡A\tan A ve tan⁡B\tan B değerleri x2−5x+3=0x^2 - 5x + 3 = 0 denkleminin kökleri olduğundan kökler toplamı −b/a-b/a ve kökler çarpımı c/ac/a bağıntıları kullanılır.
3
Tanjant toplam formülünü kullanarak tan⁡(A+B)\tan(A+B) değerini hesaplama
tan⁡(A+B)=51−3=−52\tan(A+B) = \frac{5}{1-3} = -\frac{5}{2}
tan⁡(A+B)=tan⁡A+tan⁡B1−tan⁡A⋅tan⁡B\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \cdot \tan B} formülü kullanılır.
4
tan⁡C\tan C değerini bulma
tan⁡C=−(−52)=52\tan C = -\left(-\frac{5}{2}\right) = \frac{5}{2}
İlk adımda elde edilen tan⁡C=−tan⁡(A+B)\tan C = -\tan(A+B) bağıntısında tan⁡(A+B)\tan(A+B) değeri yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Bir üçgenin iç açılarının toplamı ve tanjant toplam formülünün ikinci dereceden denklemlerin kök katsayı ilişkileriyle birlikte uygulanması
Soru 1660Soru →
(an)(a_n) genel terimi
an=n+82n−ka_n = \frac{n + 8}{2n - k}
olan bir gerçel sayı dizisidir.

Buna göre, kk pozitif tam sayısının alabileceği en küçük iki farklı değerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

En küçük iki farklı değerin toplamı olan 4 sayısı
Dizinin her pozitif tam sayı için tanımlı olması gerektiğinden, paydayı sıfır yapan n=k2n = \frac{k}{2} değeri pozitif bir tam sayı olmamalıdır. Bu nedenle kk çift sayı olamaz. kk pozitif tek tam sayı olmalıdır ve en küçük iki değer 1 ile 3 olup toplamları 4'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin tanım kümesini kontrol etme.
ana_n ifadesinin bir dizi belirtebilmesi için tüm n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ değerleri için tanımlı olması gerekir. Bu da paydanın hiçbir pozitif tam sayı değeri için sıfır olmaması demektir.
Diziler, tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan fonksiyonlardır.
2
Paydayı sıfır yapan değeri bulma.
2n−k=0  ⟹  n=k22n - k = 0 \implies n = \frac{k}{2}
Diziyi tanımsız yapan nn indis değerini kk cinsinden ifade etmek gerekir.
3
Tanımsızlık değerinin pozitif tam sayılar kümesinde bulunmamasını sağlama.
n=k2n = \frac{k}{2} değerinin bir pozitif tam sayı olmaması gerekir. Dolayısıyla kk sayısı çift bir pozitif tam sayı olamaz. Buradan kk sayısının pozitif tek tam sayı olması gerektiği anlaşılır.
kk çift bir tam sayı olursa n=k2n = \frac{k}{2} bir pozitif tam sayı olur ve dizinin ilgili terimi tanımsız kalır.
4
En küçük iki tek pozitif tam sayıyı belirleyip toplama.
kk sayısının alabileceği en küçük iki değer 11 ve 33'tür. Bu değerlerin toplamı 1+3=41 + 3 = 4 olur.
kk pozitif tam sayısı için en küçük tek sayılar seçilerek toplama işlemi tamamlanır.

Anahtar Kavram

Dizi kavramında genel terimin her pozitif tam sayı (n≥1n \ge 1) için tanımlı olması kuralı.
ÖncekiSayfa 83 / 437Sonraki