Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 1761Soru →
x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,
a=sin⁡x⋅tan⁡xb=cos⁡x⋅cot⁡xc=sin⁡x⋅cos⁡x\begin{aligned} a &= \sin x \cdot \tan x \\ b &= \cos x \cdot \cot x \\ c &= \sin x \cdot \cos x \end{aligned}
ifadeleri veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama a<b<ca < b < c şeklindedir.
Verilen aralıkta sin⁡x\sin x ve cos⁡x\cos x negatif iken tan⁡x>1\tan x > 1 ve 0<cot⁡x<10 < \cot x < 1 olmaktadır. Bu durumda cc ifadesi iki negatifin çarpımından pozitif olur ve en büyüktür. aa ve bb değerleri negatif olup, a−ba - b farkının negatif çıkmasından ötürü a<ba < b sıralaması elde edilir. Dolayısıyla doğru sıralama en küçükten en büyüğe a<b<ca < b < c şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) aralığına göre trigonometrik fonksiyonların bölgelerdeki işaret ve büyüklüklerini belirlemek.
Bu aralıkta açı koordinat düzleminin 3. bölgesindedir. Dolayısıyla sin⁡x<0\sin x < 0, cos⁡x<0\cos x < 0, tan⁡x>0\tan x > 0 ve cot⁡x>0\cot x > 0 olur. Ayrıca bu alt aralıkta sin⁡x<cos⁡x<0\sin x < \cos x < 0 ve 0<cot⁡x<1<tan⁡x0 < \cot x < 1 < \tan x koşulları sağlanır.
Trigonometrik ifadelerin çarpımlarının yönünü ve işaretlerini tayin edebilmek için temel aralık özelliklerini belirlemek gerekir.
2
aa, bb ve cc değerlerinin işaretlerini incelemek.
a=sin⁡x⋅tan⁡xa = \sin x \cdot \tan x ifadesi negatif bir say�� ile 1'den büyük pozitif bir sayının çarpımı olduğundan negatiftir (a<0a < 0). b=cos⁡x⋅cot⁡xb = \cos x \cdot \cot x ifadesi negatif bir sayı ile 0 ile 1 arasındaki pozitif bir sayının çarpımı oldu��undan negatiftir (b<0b < 0). c=sin⁡x⋅cos⁡xc = \sin x \cdot \cos x ifadesi iki negatif sayının çarpımı olduğundan pozitiftir (c>0c > 0).
Pozitif olan cc değerinin en büyük olduğunu doğrudan görebilmek ve negatif olan aa ile bb değerlerini kendi arasında karşılaştırmak üzere gruplamak.
3
aa ve bb negatif sayılarının büyüklüklerini karşılaştırmak için a−ba - b farkını incelemek.
a−b=sin⁡2xcos⁡x−cos⁡2xsin⁡x=sin⁡3x−cos⁡3xsin⁡xcos⁡xa - b = \frac{\sin^2 x}{\cos x} - \frac{\cos^2 x}{\sin x} = \frac{\sin^3 x - \cos^3 x}{\sin x \cos x} ifadesinde, sin⁡x<cos⁡x<0\sin x < \cos x < 0 olduğundan pay kısmı sin⁡3x−cos⁡3x<0\sin^3 x - \cos^3 x < 0 olur. Payda ise sin⁡xcos⁡x>0\sin x \cos x > 0 olur. Dolayısıyla a−b<0a - b < 0 yani a<ba < b elde edilir.
Matematiksel olarak iki negatif ifadenin hangisinin daha küçük olduğunu fark yöntemiyle kesinleştirmek.

Anahtar Kavram

Bölgelere göre trigonometrik fonksiyonların işaretleri ve değer aralıklarının karşılaştırılması
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1762Soru →
α\alpha ve β\beta birer dar açı olmak üzere,
tan⁡α=2\tan \alpha = 2
cos⁡β=35\cos \beta = \frac{3}{5}
olduğuna göre, sin⁡(α+β)\sin(\alpha + \beta) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 255\frac{2\sqrt{5}}{5}

Cevap

255\frac{2\sqrt{5}}{5}
Sinüs toplam formülü olan sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta kullanıldığında, tan⁡α=2\tan \alpha = 2 ve cos⁡β=3/5\cos \beta = 3/5 değerlerinden elde edilen sin⁡α=2/5\sin \alpha = 2/\sqrt{5}, cos⁡α=1/5\cos \alpha = 1/\sqrt{5} ve sin⁡β=4/5\sin \beta = 4/5 değerleri yerine yazılarak 255\frac{2\sqrt{5}}{5} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen trigonometrik değerlerden yola çıkarak dar açıların diğer trigonometrik oranlarını bulalım.
tan⁡α=2  ⟹  sin⁡α=25\tan \alpha = 2 \implies \sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}} ve cos⁡α=15\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}} elde edilir. cos⁡β=35  ⟹  sin⁡β=45\cos \beta = \frac{3}{5} \implies \sin \beta = \frac{4}{5} (3-4-5 dik üçgeninden) elde edilir.
Toplam formülünde kullanabilmek için her iki açının da sinüs ve kosinüs değerlerine ihtiyacımız vardır.
2
Sinüs toplam formülünü yazalım ve bulduğumuz değerleri yerine koyalım.
sin⁡(α+β)=sin⁡α⋅cos⁡β+cos⁡α⋅sin⁡β\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta formülünde değerleri yerine yazarsak:
sin⁡(α+β)=(25)⋅(35)+(15)⋅(45)\sin(\alpha + \beta) = \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right) \cdot \left(\frac{3}{5}\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \cdot \left(\frac{4}{5}\right) olur.
İki açının toplamının sinüsünü bulmak için toplam formülü uygulanmalıdır.
3
Rasyonel ifadelerde çarpma ve toplama işlemlerini gerçekleştirelim.
sin⁡(α+β)=655+455=1055=25\sin(\alpha + \beta) = \frac{6}{5\sqrt{5}} + \frac{4}{5\sqrt{5}} = \frac{10}{5\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} elde edilir.
Ortak paydada toplama işlemi yapılarak ifade sadeleştirilir.
4
Elde edilen sonucu paydasını rasyonel yaparak düzenleyelim.
25=255\frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} bulunur.
Seçeneklerdeki köklü ifade formatına uymak için payda 5\sqrt{5} ile genişletilir.

Anahtar Kavram

İki açının toplamının sinüsü, bu açıların sinüs ve kosinüs değerlerinin çarpımlarının toplamına eşittir: sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta.
Soru 1763Soru →

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

S18−S15=105S_{18} - S_{15} = 105
S10=120S_{10} = 120

eşitlikleri veriliyor.
Buna göre, bu dizinin ardışık bazı terimlerinin toplamını gösteren
ak+ak+1+ak+2+ak+3=80a_k + a_{k+1} + a_{k+2} + a_{k+3} = 80

eşitliğini sağlayan kk pozitif tam sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Eşitliği sağlayan k pozitif tam sayısı 8'dir.
Verilen S18−S15=105S_{18} - S_{15} = 105 eşitliğinden ardışık üç terimin toplamı 3a17=105  ⟹  a17=353a_{17} = 105 \implies a_{17} = 35 bulunur. İlk nn terim toplamı formülü kullanılarak S10=5(2a1+9d)=120  ⟹  2a1+9d=24S_{10} = 5(2a_1 + 9d) = 120 \implies 2a_1 + 9d = 24 elde edilir. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde dizinin ilk terimi a1=3a_1 = 3 ve ortak farkı d=2d = 2 bulunur. Ardışık 4 terimin toplamı olan ak+ak+1+ak+2+ak+3=4a1+(4k+2)d=80a_k + a_{k+1} + a_{k+2} + a_{k+3} = 4a_1 + (4k + 2)d = 80 eşitliğinde bulunan değerler yerine yazıldığında 8k+16=80  ⟹  k=88k + 16 = 80 \implies k = 8 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
S18−S15S_{18} - S_{15} farkını dizi terimleri cinsinden yazıp a17a_{17} terimini bulmak.
a16+a17+a18=105  ⟹  3a17=105  ⟹  a17=35a_{16} + a_{17} + a_{18} = 105 \implies 3a_{17} = 105 \implies a_{17} = 35. Buradan a1+16d=35a_1 + 16d = 35 denklemi elde edilir.
Bir dizinin ilk 18 teriminin toplamından ilk 15 teriminin toplamı çıkarıldığında geriye son 3 terim (16., 17. ve 18. terimler) kalır. Aritmetik dizilerde ardışık üç terimin toplamı, ortadaki terimin 3 katına eşittir.
2
S10=120S_{10} = 120 bilgisini ilk nn terim toplamı formülünü kullanarak yazmak.
S10=5(2a1+9d)=120  ⟹  2a1+9d=24S_{10} = 5(2a_1 + 9d) = 120 \implies 2a_1 + 9d = 24 denklemi elde edilir.
Aritmetik dizilerde ilk nn terim toplamı Sn=n2[2a1+(n−1)d]S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d] formülü ile hesaplanır.
3
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek dizinin ilk terimi (a1a_1) ve ortak farkını (dd) bulmak.
d=2d = 2 ve a1=3a_1 = 3 olarak bulunur.
a1+16d=35a_1 + 16d = 35 denklemi 2 ile genişletilerek 2a1+32d=702a_1 + 32d = 70 elde edilir. Bu denklemden 2a1+9d=242a_1 + 9d = 24 çıkarılırsa 23d=46  ⟹  d=223d = 46 \implies d = 2 bulunur. dd değeri ilk denklemde yerine yazıldığında a1=3a_1 = 3 elde edilir.
4
ak+ak+1+ak+2+ak+3=80a_k + a_{k+1} + a_{k+2} + a_{k+3} = 80 eşitliğini a1a_1 ve dd cinsinden yazıp kk değerini hesaplamak.
8k+16=80  ⟹  8k=64  ⟹  k=88k + 16 = 80 \implies 8k = 64 \implies k = 8 bulunur.
Verilen toplam ak+ak+1+ak+2+ak+3=4a1+(4k+2)da_k + a_{k+1} + a_{k+2} + a_{k+3} = 4a_1 + (4k + 2)d olarak ifade edilebilir. a1=3a_1 = 3 ve d=2d = 2 değerleri yerleştirildiğinde 4(3)+(4k+2)(2)=12+8k+4=8k+16=804(3) + (4k + 2)(2) = 12 + 8k + 4 = 8k + 16 = 80 eşitliğinden kk değeri 8 olarak çözülür.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde ilk n terim toplamı formülü ve terimler arası ilişkiler
Soru 1764Soru →

Grafiği dik koordinat düzleminin düşey eksenine göre simetrik olan bir ff fonksiyonu, P(1,4)P(1, 4) noktasından geçmektedir.

g(x)=f(x−3)+2g(x) = f(x - 3) + 2

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi gg fonksiyonunun grafiği üzerindeki noktalardan biridir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (2, 6)

Cevap

Koordinatları (2, 6) olan nokta
Düşey eksene göre simetrik olan f fonksiyonu çift fonksiyondur, bu yüzden f(1) = 4 ise f(-1) = 4 olur. g(x) = f(x-3) + 2 fonksiyonunda x = 2 değeri yazıldığında g(2) = f(-1) + 2 = 6 elde edilir. Bu durum, koordinatları (2, 6) olan noktanın g fonksiyonunun grafiği üzerinde olduğunu kesinleştirir.

Adım Adım Çözüm

1
f fonksiyonunun simetri özelliğini belirleme
Her x gerçel sayısı için f(-x) = f(x) eşitliği sağlanır.
Düşey eksene (y-eksenine) göre simetri çift fonksiyonların temel tanımıdır.
2
Verilen noktayı kullanarak f(-1) değerini bulma
f(-1) = f(1) = 4 elde edilir.
g(x) fonksiyonunda f(-1) değerine ihtiyaç duyulacaktır.
3
g(x) fonksiyonunun tanımından yararlanarak bir nokta belirleme
g(2) = f(2-3) + 2 = f(-1) + 2 = 4 + 2 = 6 bulunur.
Böylece g fonksiyonunun grafiği üzerinde yer alan (2, 6) noktası elde edilmiş olur.

Anahtar Kavram

Çift fonksiyonların y-eksenine göre simetrik olması ve fonksiyon grafiklerinde öteleme dönüşümleri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1765Soru →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu;

* x<2x < 2 için f(x)=4−x2f(x) = 4 - x^2
* x≥2x \geq 2 için f(x)=2x−3f(x) = 2x - 3

biçiminde tanımlanıyor. Buna göre,

lim⁡x→1+f(x+1)\lim_{x \to 1^+} f(x + 1)

limitinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Doğru cevap 1 değeridir.
Limit değişkeni t=x+1t = x + 1 olarak seçildiğinde, xx değeri 1'e sağdan yaklaşırken tt değeri 2'ye sağdan yaklaşır. Bu durumda fonksiyonun x≥2x \geq 2 için tanımlı olan 2x−32x - 3 parçası kullanılır. t=2t = 2 değeri bu parçada yerine yazıldığında limit değeri 1 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Limit değişkenini dönüştürmek için t=x+1t = x + 1 tanımı yapılır.
x→1+x \to 1^+ iken t→2+t \to 2^+ olur.
xx değeri 1'e sağdan (1'den büyük değerlerle) yaklaşırken, x+1x + 1 değeri de 2'ye sağdan yaklaşır.
2
Yeni limit ifadesi yazılır ve fonksiyondaki uygun parça seçilir.
lim⁡t→2+f(t)\lim_{t \to 2^+} f(t) limitinde t≥2t \geq 2 parçası kullanılır.
t→2+t \to 2^+ ifadesi tt değerlerinin 2'den büyük olduğunu belirttiği için x≥2x \geq 2 koşulunu sağlayan parça seçilmelidir.
3
Seçilen fonksiyonda limit değeri hesaplanır.
lim⁡t→2+(2t−3)=2(2)−3=1\lim_{t \to 2^+} (2t - 3) = 2(2) - 3 = 1 bulunur.
2t−32t - 3 doğrusal fonksiyonunun t=2t = 2 noktasındaki limiti, doğrudan bu noktadaki fonksiyon değerine eşittir.

Anahtar Kavram

Sağdan limit ve limit değerinin değişken dönüşümü yardımıyla hesaplanması.
Soru 1766Soru →

Bir (an)(a_n) gerçel sayı dizisinde, a1=1a_1 = 1 ve her n≥1n \geq 1 tam sayısı için

n⋅an+1−(n+2)⋅an=2n \cdot a_{n+1} - (n+2) \cdot a_n = 2

bağıntısı sağlanmaktadır.

Buna göre, a30a_{30} teriminin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 929

Cevap

Doğru cevap 929'dur.
Verilen bağıntı her iki tarafı n(n+1)(n+2)n(n+1)(n+2) ifadesine bölünerek teleskobik bir fark bağıntısına dönüştürülür. bn=ann(n+1)b_n = \frac{a_n}{n(n+1)} dönüşümüyle elde edilen bn+1−bn=1n(n+1)−1(n+1)(n+2)b_{n+1} - b_n = \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} eşitliği n=1n=1 ile n=29n=29 arasında toplandığında aradaki terimler sadeleşir. Başlangıç koşulu a1=1a_1 = 1 kullanılarak genel terim an=n(n+1)−1a_n = n(n+1) - 1 olarak elde edilir. Buradan a30=30⋅31−1=929a_{30} = 30 \cdot 31 - 1 = 929 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen bağıntıyı n(n+1)(n+2)n(n+1)(n+2) ile bölerek teleskobik biçime hazırlamak
an+1(n+1)(n+2)−ann(n+1)=2n(n+1)(n+2)\frac{a_{n+1}}{(n+1)(n+2)} - \frac{a_n}{n(n+1)} = \frac{2}{n(n+1)(n+2)}
Ardışık terimler arasında ortak paydalar oluşturarak sadeleştirme yapmak
2
bn=ann(n+1)b_n = \frac{a_n}{n(n+1)} dönüşümü tanımlamak
bn+1−bn=2n(n+1)(n+2)b_{n+1} - b_n = \frac{2}{n(n+1)(n+2)}
Bağıntıyı birinci dereceden doğrusal bir indirgemeli dizi biçimine indirgemek
3
Rasyonel ifadeyi basit kesirlerin farkı olarak yazmak
bn+1−bn=1n(n+1)−1(n+1)(n+2)b_{n+1} - b_n = \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)}
Teleskobik toplam yöntemiyle sadeleşebilecek bir yapı elde etmek
4
n=1n=1 ile n=29n=29 arasındaki terimler için taraf tarafa toplama yapmak
b30−b1=12−130⋅31b_{30} - b_1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{30 \cdot 31}
Ara terimlerin birbirini götürmesini (teleskobik sadeleşme) sağlamak
5
b1=12b_1 = \frac{1}{2} başlangıç değerini kullanarak b30b_{30} terimini bulmak
b30=1−130⋅31b_{30} = 1 - \frac{1}{30 \cdot 31}
a1=1a_1 = 1 olduğu için b1=a11⋅2=12b_1 = \frac{a_1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{2} elde edilir ve yerine yazılır
6
b30b_{30} tanımından yararlanarak a30a_{30} değerini hesaplamak
a30=929a_{30} = 929
b30=a3030⋅31b_{30} = \frac{a_{30}}{30 \cdot 31} bağıntısında paydaları eşitleyip sadeleştirerek sonuca ulaşmak

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde uygun bir çarpan/bölen (bütünleştirici faktör) kullanarak teleskobik toplam oluşturma
Soru 1767Soru →
3⋅cos⁡50∘+sin⁡50∘cos⁡20∘\frac{\sqrt{3} \cdot \cos 50^\circ + \sin 50^\circ}{\cos 20^\circ}

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Verilen trigonometrik ifadenin değeri 2'dir.
Verilen ifadede 3\sqrt{3} katsayısı yerine tan⁡60∘=sin⁡60∘cos⁡60∘\tan 60^\circ = \frac{\sin 60^\circ}{\cos 60^\circ} yazılarak payda eşitlendiğinde pay kısmı sinüsün toplam formülü olan sin⁡(60∘+50∘)=sin⁡110∘\sin(60^\circ + 50^\circ) = \sin 110^\circ ifadesine dönüşür. Payda kısmındaki cos⁡60∘=12\cos 60^\circ = \frac{1}{2} değeri yukarı çarpım olarak geçer ve pay 2sin⁡110∘2 \sin 110^\circ olur. İkinci bölgede açılar dönüştürüldüğünde sin⁡110∘=cos⁡20∘\sin 110^\circ = \cos 20^\circ olduğundan payda yer alan cos⁡20∘\cos 20^\circ ile sadeleşir ve sonuç 2 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
3\sqrt{3} katsayısını tanjant cinsinden ifade etme
3=tan⁡60∘=sin⁡60∘cos⁡60∘\sqrt{3} = \tan 60^\circ = \frac{\sin 60^\circ}{\cos 60^\circ}
Toplam-fark formüllerini uygulayabilmek için katsayıyı trigonometrik orana çeviririz.
2
Pay kısmında payda eşitleme yapma
sin⁡60∘⋅cos⁡50∘+cos⁡60∘⋅sin⁡50∘cos⁡60∘\frac{\sin 60^\circ \cdot \cos 50^\circ + \cos 60^\circ \cdot \sin 50^\circ}{\cos 60^\circ}
Toplama işlemini ortak paydada birleştirerek pay kısmında sinüs toplam formülünün yapısını oluştururuz.
3
Sinüs toplam formülünü uygulama ve cos⁡60∘\cos 60^\circ değerini yerine yazma
Pay sin⁡110∘\sin 110^\circ, paydadaki cos⁡60∘=12\cos 60^\circ = \frac{1}{2} yukarı çarpım olarak geçtiğinde pay ifadesi 2sin⁡110∘2 \sin 110^\circ olur.
sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b özdeşliğini kullanırız.
4
Açı indirgemesi yapma ve sonucu bulma
sin⁡110∘=cos⁡20∘\sin 110^\circ = \cos 20^\circ olduğundan ifade 2cos⁡20∘cos⁡20∘=2\frac{2 \cos 20^\circ}{\cos 20^\circ} = 2 olur.
Pay ve paydadaki ifadeleri sadeleştirmek için açıyı birbirini 90∘90^\circ ye tamamlayacak şekilde dar açıya dönüştürürüz.

Anahtar Kavram

Sinüs toplam formülü ve 3=tan⁡60∘\sqrt{3} = \tan 60^\circ dönüşümü yardımıyla trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesi.
Soru 1768Soru →
Her nn pozitif tam sayısı için genel terimi
an=3n+1(n+1)!a_n = \frac{3^{n+1}}{(n+1)!}
olan (an)(a_n) dizisi tanımlanıyor.

Buna göre, ak+1ak=15\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{1}{5} eşitliğini sağlayan kk pozitif tam sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

Eşitliği sağlayan kk pozitif tam sayısı 13'tür.
Ardışık terimlerin oranı alındığında üslü ifadeler ve faktöriyel çarpanları sadeleşerek 3k+2\frac{3}{k+2} sonucuna ulaşılır. Bu ifadenin 15\frac{1}{5}'e eşitlenmesiyle k+2=15k+2 = 15 ve k=13k = 13 pozitif tam sayısı elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
aka_k ve ak+1a_{k+1} terimlerinin ifadelerini genel terim formülünü kullanarak yazarız.
ak=3k+1(k+1)!a_k = \frac{3^{k+1}}{(k+1)!} ve ak+1=3k+2(k+2)!a_{k+1} = \frac{3^{k+2}}{(k+2)!}
Ardışık iki terim arasındaki oranı hesaplayabilmek için bu terimlerin açık biçimlerini belirlememiz gerekir.
2
Elde edilen terimleri oranlayarak sadeleştirme işlemlerini uygularız.
ak+1ak=3k+2\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{3}{k+2}
Üslü sayılarda bölme kuralı (3k+2/3k+1=33^{k+2} / 3^{k+1} = 3) ve faktöriyel açılım özelliği ((k+2)!=(k+2)⋅(k+1)!(k+2)! = (k+2) \cdot (k+1)!) yardımıyla pay ve paydadaki ortak çarpanlar sadeleştirilir.
3
Sadeleşmiş oran�� 15\frac{1}{5} değerine eşitleyerek birinci dereceden denklemi çözeriz.
k=13k = 13
3k+2=15\frac{3}{k+2} = \frac{1}{5} denkleminde içler dışlar çarpımı yapıldığında k+2=15k+2 = 15 ve buradan k=13k = 13 elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir dizinin genel teriminde değişken yerine indis yazarak terimleri belirleme ve faktöriyel içeren ifadeleri sadeleştirme.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 1769Soru →

Bir geometrik dizinin ilk terimi a1=2a_1 = 2 ve beşinci terimi a5=162a_5 = 162 olduğuna göre, bu dizinin üçüncü terimi (a3a_3) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

Dizinin üçüncü terimi 18'dir.
Geometrik dizilerde her terimin karesi, kendisine eşit uzaklıkta bulunan iki terimin çarpımına eşittir. Buradan a32=a1⋅a5=324a_3^2 = a_1 \cdot a_5 = 324 bulunur. a3=a1⋅r2a_3 = a_1 \cdot r^2 olduğundan ve a1=2a_1 = 2 pozitif, r2r^2 negatif olamayacağından üçüncü terim 18 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Geometrik dizinin terimleri arasındaki geometrik ortalama özelliğini uygulayın.
a32=a1⋅a5a_3^2 = a_1 \cdot a_5 eşitliği kurulur.
Bir geometrik dizide herhangi bir terim, kendisine eşit uzaklıktaki iki terimin geometrik ortalamasına eşittir.
2
Verilen terim değerlerini denklemde yerine yazarak a32a_3^2 değerini hesaplayın.
a32=2⋅162=324a_3^2 = 2 \cdot 162 = 324 elde edilir.
Bilinmeyen terimin karesini bulmak için sayısal değerler çarpılır.
3
Karekök alıp terimin işaretini belirleyin.
a3=18a_3 = 18 bulunur.
a3=a1⋅r2a_3 = a_1 \cdot r^2 eşitliğinde a1=2>0a_1 = 2 > 0 ve r2≥0r^2 \ge 0 olduğundan a3a_3 pozitif olmalıdır, bu yüzden −18-18 değeri elenir.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerde an2=an−k⋅an+ka_n^2 = a_{n-k} \cdot a_{n+k} özelliği ve terimlerin işaret analizi.
Soru 1770Soru →
x+y=5π6x + y = \frac{5\pi}{6} olmak üzere,
(sin⁡x−cos⁡y)2+(cos⁡x−sin⁡y)2(\sin x - \cos y)^2 + (\cos x - \sin y)^2

ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

İfadenin doğru değeri 1'dir.
Parantez kareler açılıp sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 özdeşliği uygulandığında ifade 2−2(sin⁡xcos⁡y+cos⁡xsin⁡y)2 - 2(\sin x \cos y + \cos x \sin y) şekline gelir. Bu ifade, sinüs toplam formülüyle 2−2sin⁡(x+y)2 - 2\sin(x+y) olarak yazılabilir. x+y=150∘x+y = 150^\circ için sin⁡(150∘)=1/2\sin(150^\circ) = 1/2 olduğundan doğru sonuç 2−2⋅(1/2)=12 - 2 \cdot (1/2) = 1 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen parantez kare ifadelerini açarak toplayalım.
(sin⁡2x−2sin⁡xcos⁡y+cos⁡2y)+(cos⁡2x−2cos⁡xsin⁡y+sin⁡2y)(\sin^2 x - 2\sin x \cos y + \cos^2 y) + (\cos^2 x - 2\cos x \sin y + \sin^2 y)
Trigonometrik özdeşlikleri ve toplam formüllerini uygulayabilmek için öncelikle parantezleri açmamız gerekir.
2
Terimleri gruplandırarak aynı açıya ait temel trigonometrik özdeşliği (sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1) uygulayalım.
(sin⁡2x+cos⁡2x)+(sin⁡2y+cos⁡2y)−2(sin⁡xcos⁡y+cos⁡xsin⁡y)=2−2(sin⁡xcos⁡y+cos⁡xsin⁡y)(\sin^2 x + \cos^2 x) + (\sin^2 y + \cos^2 y) - 2(\sin x \cos y + \cos x \sin y) = 2 - 2(\sin x \cos y + \cos x \sin y)
İfadeyi basitleştirmek için sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 ve sin⁡2y+cos⁡2y=1\sin^2 y + \cos^2 y = 1 eşitliklerini kullanırız.
3
Parantez içindeki ifadeye sinüs toplam formülünü uygulayalım.
2−2sin⁡(x+y)2 - 2\sin(x+y)
sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b toplam formülünü kullanarak terimleri tek bir trigonometrik fonksiyon altında birleştiririz.
4
Soruda verilen x+y=5π6x + y = \frac{5\pi}{6} değerini yerine yazıp sonucu hesaplayalım.
sin⁡(5π6)=sin⁡(150∘)=sin⁡(180∘−30∘)=sin⁡(30∘)=12\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} olduğundan, sonuç 2−2⋅12=2−1=12 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 2 - 1 = 1 bulunur.
Bilinen açı değerini sadeleşmiş ifadede yerine koyarak sayısal sonuca ulaşırız.

Anahtar Kavram

Toplam ve fark formülleri yardımıyla trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesi ve ikinci bölgedeki açıların indirgenmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1771Soru →

Terimleri pozitif gerçek sayılardan oluşan artan bir (an)(a_n) geometrik dizisi için,

log⁡2(a1)+log⁡2(a9)=10\log_2(a_1) + \log_2(a_9) = 10
a3+a7=136a_3 + a_7 = 136

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre,

a62−a42a5−a3\frac{a_6^2 - a_4^2}{a_5 - a_3}

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 160

Cevap

160 değeri doğru cevaptır.
Dizinin artan olduğu koşulundan yola çıkılarak a3=8a_3 = 8 ve a7=128a_7 = 128 bulunur. Buradan ortak çarpan r=2r = 2 ve beşinci terim a5=32a_5 = 32 elde edilir. İstenen ifadede terimlerin değerleri yerine yazıldığında veya cebirsel sadeleştirme yapıldığında sonuç 160 çıkar.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma özelliğini kullanarak birinci ve dokuzuncu terimlerin çarpımını bulalım.
a1⋅a9=210=1024a_1 \cdot a_9 = 2^{10} = 1024
log⁡2(a1)+log⁡2(a9)=log⁡2(a1⋅a9)=10\log_2(a_1) + \log_2(a_9) = \log_2(a_1 \cdot a_9) = 10 özelliğinden dolayı.
2
Geometrik dizinin terimleri arasındaki simetri özelliğini kullanarak beşinci terimi ve üçüncü ile yedinci terimlerin çarpımını bulalım.
a5=32a_5 = 32 ve a3⋅a7=1024a_3 \cdot a_7 = 1024
a1⋅a9=a3⋅a7=a52=1024a_1 \cdot a_9 = a_3 \cdot a_7 = a_5^2 = 1024 eşitliği geometrik dizinin tanımından gelir.
3
Toplamları ve çarpımları bilinen üçüncü ve yedinci terimleri elde edelim.
a3=8a_3 = 8 ve a7=128a_7 = 128
x2−136x+1024=0  ⟹  (x−8)(x−128)=0x^2 - 136x + 1024 = 0 \implies (x - 8)(x - 128) = 0 denkleminin kökleri incelenir. Dizi artan olduğundan a3<a7a_3 < a_7 olmalıdır.
4
Dizinin ortak çarpanı olan rr değerini hesaplayalım.
r=2r = 2
a7=a3⋅r4  ⟹  128=8⋅r4  ⟹  r4=16a_7 = a_3 \cdot r^4 \implies 128 = 8 \cdot r^4 \implies r^4 = 16 olur. Pozitif terimli artan dizi için r=2r = 2 bulunur.
5
İstenen ifadeyi sadeleştirerek veya terimlerin değerlerini yerine yazarak hesaplayalım.
160
a4=16a_4 = 16, a5=32a_5 = 32, a6=64a_6 = 64 değerleri yerine yazıldığında 642−16232−8=4096−25624=160\frac{64^2 - 16^2}{32 - 8} = \frac{4096 - 256}{24} = 160 elde edilir. (Alternatif olarak ifade a5(r2+1)a_5(r^2+1) şeklinde sadeleştirilebilir, buradan da 32⋅5=16032 \cdot 5 = 160 bulunur.)

Anahtar Kavram

Geometrik dizide indisler toplamı eşit olan terimlerin çarpımlarının eşit olması (ap⋅aq=ar⋅asa_p \cdot a_q = a_r \cdot a_s burada p+q=r+sp+q = r+s) ve terimler arası cebirsel sadeleştirmeler.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 1772Soru →
Bir (an)(a_n) dizisinde a1=4a_1 = 4 ve her n≥1n \geq 1 tam sayısı için
an+1=an+3n−2a_{n+1} = a_n + 3n - 2
indirgeme bağıntısı verilmiştir.

Buna göre, a20a_{20} teriminin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 536

Cevap

Dizinin yirminci terimi 536'dır.
Verilen indirgeme bağıntısında terimler an+1−an=3n−2a_{n+1} - a_n = 3n - 2 şeklinde düzenlenip 11'den 1919'a kadar olan nn değerleri için yazılıp toplandığında, sol tarafta a1a_1 dışındaki ara terimler birbirini götürür. Sağ taraftaki aritmetik toplam 532532 olarak hesaplanır ve başlangıç değeri olan a1=4a_1 = 4 eklendiğinde doğru sonuç 536 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İndirgeme bağıntısını düzenleme ve taraf tarafa toplama hazırlığı
an+1−an=3n−2a_{n+1} - a_n = 3n - 2 bağıntısında nn yerine 11 ile 1919 arasındaki tam sayıları yazarız.
Teleskobik (birbirini götüren) toplam elde etmek için.
2
Taraf tarafa toplama işlemini gerçekleştirme
a20−a1=∑n=119(3n−2)a_{20} - a_1 = \sum_{n=1}^{19} (3n - 2)
Dizinin terimlerinin birbirini sadeleştirmesiyle doğrudan a20a_{20} ve a1a_1 terimlerine ulaşmak için.
3
Toplam formülünü kullanarak sağ tarafı hesaplama
3⋅19⋅202−38=570−38=5323 \cdot \frac{19 \cdot 20}{2} - 38 = 570 - 38 = 532
Ardışık sayıların toplamı ve sabit terim toplamı kurallarını uygulamak için.
4
a1a_1 değerini yerine yazarak a20a_{20} terimini bulma
a20−4=532  ⟹  a20=536a_{20} - 4 = 532 \implies a_{20} = 536
Verilen başlangıç koşulunu kullanarak bilinmeyen terimi yalnız bırakmak için.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde teleskobik toplam yöntemi
Soru 1773Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu

f(x)={ax+5,x<1x2−a,x≥1f(x) = \begin{cases} ax + 5, & x < 1 \\ x^2 - a, & x \geq 1 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

ff fonksiyonunun x=1x = 1 noktasında limiti var olduğuna göre, lim⁡x→1f(x)\lim_{x \to 1} f(x) limitinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Limitin değeri 3'tür.
Fonksiyonun x=1x = 1 noktasında limitinin bulunması için sağdan ve soldan limitlerinin eşit olması gerekir. lim⁡x→1−f(x)=a+5\lim_{x \to 1^-} f(x) = a + 5 ve lim⁡x→1+f(x)=1−a\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1 - a ifadeleri eşitlendiğinde a=−2a = -2 elde edilir. Bu aa değeri limit ifadesinde yerine yazıldığında limit değeri 3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Soldan ve sağdan limitleri aa cinsinden bulunuz.
Soldan limit a+5a + 5, sağdan limit 1−a1 - a olarak elde edilir.
Limitin var olması için kritik nokta olan x=1x = 1 noktasındaki sağ ve sol limitlerin eşit olması gerekir.
2
Soldan ve sağdan limitleri eşitleyerek aa parametresini hesaplayınız.
a+5=1−a  ⟹  2a=−4  ⟹  a=−2a + 5 = 1 - a \implies 2a = -4 \implies a = -2
x=1x = 1 noktasında limitin varlığı bu eşitliği gerektirir.
3
Bulunan aa değerini kullanarak limit değerini hesaplayınız.
Limit değeri 3 olur.
a=−2a = -2 değeri parçalı fonksiyon kurallarında yerine yazıldığında, soldan limit −2+5=3-2 + 5 = 3 ve sağdan limit 1−(−2)=31 - (-2) = 3 değerini verir.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı fonksiyonların kritik noktadaki limitinin var olması için bu noktadaki sağdan ve soldan limitlerinin birbirine eşit olması gerekir.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 1774Soru →
1'den farklı aa ve bb pozitif gerçel sayıları için,
log⁡a(a2b3)⋅log⁡b(a4b)=24\log_a(a^2 b^3) \cdot \log_b(a^4 b) = 24
olduğuna göre, log⁡ab\log_a b ifadesinin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 103\frac{10}{3}

Cevap

Deg˘erlerintoplamı103′tu¨r.Değerlerin toplamı \frac{10}{3}'tür.
Denklemin doğru çözümüyle elde edilen köklerin toplamı \frac{10}{3}'tür. Logaritmanın özelliklerini ve taban değiştirme kuralını uygulayarak log⁡ab=x\log_a b = x dönüşümü yaptığımızda 3x2−10x+8=03x^2 - 10x + 8 = 0 ikinci dereceden denklemi elde edilir. Bu denklemin kökler toplamı \frac{10}{3} olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadelerdeki logaritmaların içindeki çarpımları toplam şeklinde yazalım.
log⁡a(a2b3)=log⁡a(a2)+log⁡a(b3)=2+3log⁡ab\log_a(a^2 b^3) = \log_a(a^2) + \log_a(b^3) = 2 + 3\log_a b
log⁡b(a4b)=log⁡b(a4)+log⁡b(b)=4log⁡ba+1\log_b(a^4 b) = \log_b(a^4) + \log_b(b) = 4\log_b a + 1
Logaritmanın log⁡x(y⋅z)=log⁡xy+log⁡xz\log_x(y \cdot z) = \log_x y + \log_x z ve log⁡x(yk)=klog⁡xy\log_x(y^k) = k\log_x y özelliklerini uygulamak için.
2
Taban değiştirme kuralını uygulayarak log⁡ba\log_b a ifadesini log⁡ab\log_a b cinsinden yazalım ve değişken dönüştürmesi yapalım.
log⁡ba=1log⁡ab\log_b a = \frac{1}{\log_a b} kuralından dolayı log⁡ab=x\log_a b = x dersek, log⁡ba=1x\log_b a = \frac{1}{x} olur. Bu durumda ifadeler sırasıyla 2+3x2 + 3x ve 4x+1\frac{4}{x} + 1 halini alır.
Denklemi tek bir bilinmeyen cinsinden yazıp çözülebilir bir yapıya dönüştürmek için.
3
İfadelerin çarpımını verilen 24 sayısına eşitleyelim ve parantezleri dağıtıp düzenleyelim.
(2+3x)(4x+1)=24  ⟹  2+8x+3x+12=24  ⟹  3x+8x+14=24  ⟹  3x+8x−10=0(2 + 3x)\left(\frac{4}{x} + 1\right) = 24 \implies 2 + \frac{8}{x} + 3x + 12 = 24 \implies 3x + \frac{8}{x} + 14 = 24 \implies 3x + \frac{8}{x} - 10 = 0
Çarpım işlemini gerçekleştirerek ikinci dereceden bir rasyonel denklem elde etmek için.
4
Elde edilen denklemin paydalarını eşitleyip ikinci dereceden denklem haline getirelim ve çözelim.
3x2−10x+8=0  ⟹  (3x−4)(x−2)=0  ⟹  x1=433x^2 - 10x + 8 = 0 \implies (3x - 4)(x - 2) = 0 \implies x_1 = \frac{4}{3} ve x2=2x_2 = 2
Bilinmeyen olan x=log⁡abx = \log_a b değerlerini bulmak için.
5
Alınabilecek değerlerin toplamını bulalım.
x1+x2=43+2=103x_1 + x_2 = \frac{4}{3} + 2 = \frac{10}{3}
Soruda bizden istenen log⁡ab\log_a b değerlerinin toplamını elde etmek için.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
Soru 1775Soru →
Bir ABCABC üçgeninde,
∣AB∣=6 birim|AB| = 6\text{ birim}
∣AC∣=4 birim|AC| = 4\text{ birim}
m(ABC^)=θm(\widehat{ABC}) = \theta
m(ACB^)=90∘+θm(\widehat{ACB}) = 90^\circ + \theta
olduğuna göre, cot⁡θ\cot\theta değeri kaçt��r?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32\frac{3}{2}

Cevap

32\frac{3}{2}
Sinüs Teoremi gereği 4sin⁡θ=6sin⁡(90∘+θ)\frac{4}{\sin\theta} = \frac{6}{\sin(90^\circ + \theta)} yazılır. İkinci bölgede sinüsün işareti pozitif olduğundan sin⁡(90∘+θ)=cos⁡θ\sin(90^\circ + \theta) = \cos\theta olur. Buradan 4sin⁡θ=6cos⁡θ\frac{4}{\sin\theta} = \frac{6}{\cos\theta} elde edilir ve içler dışlar çarpımıyla cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ=32\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{3}{2} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC üçgeninde Sinüs Teoremi bağıntısını yazın.
∣AC∣sin⁡(ABC^)=∣AB∣sin⁡(ACB^)  ⟹  4sin⁡θ=6sin⁡(90∘+θ)\frac{|AC|}{\sin(\widehat{ABC})} = \frac{|AB|}{\sin(\widehat{ACB})} \implies \frac{4}{\sin\theta} = \frac{6}{\sin(90^\circ + \theta)}
Bir üçgende kenar uzunlukları, karşılarındaki açıların sinüs değerleriyle doğru orantılıdır.
2
sin⁡(90∘+θ)\sin(90^\circ + \theta) ifadesine trigonometrik indirgeme uygulayın.
90∘+θ90^\circ + \theta açısı ikinci bölgededir. İkinci bölgede sinüs fonksiyonu pozitif işaretlidir ve açı 90∘90^\circ cinsinden yazıldığı için fonksiyon isim değiştirerek kosinüse dönüşür: sin⁡(90∘+θ)=cos⁡θ\sin(90^\circ + \theta) = \cos\theta
Eşitliği sadeleştirmek ve tek bir trigonometrik fonksiyona indirgemek için.
3
Elde edilen denklemi çözerek cot⁡θ\cot\theta değerini bulun.
4sin⁡θ=6cos⁡θ  ⟹  4cos⁡θ=6sin⁡θ  ⟹  cos⁡θsin⁡θ=64  ⟹  cot⁡θ=32\frac{4}{\sin\theta} = \frac{6}{\cos\theta} \implies 4\cos\theta = 6\sin\theta \implies \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{6}{4} \implies \cot\theta = \frac{3}{2}
Kosinüsün sinüse oranı kotanjant fonksiyonunu tanımlar.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi ve Trigonometrik İndirgeme

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, ABCABC üçgeninde CC köşesinden [AB][AB] kenarına dikme indirilerek de dik üçgen yardımıyla çözüm yapılabilir, ancak Sinüs Teoremi doğrudan ve en hızlı çözümü sunar.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 1776Soru →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
(x2−x−6)(x−2)x2−4≤0\frac{(x^2 - x - 6)(x - 2)}{x^2 - 4} \leq 0
eşitsizliği veriliyor.

Buna göre, bu eşitsizliği sağlayan xx pozitif tam sayılar��nın toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Eşitsizliği sağlayan pozitif tam sayıların toplamı 4'tür.
Eşitsizlik çarpanlarına ayrılıp sadeleştirildiğinde x≤3x \leq 3 elde edilir. Ancak paydadaki çarpanlar nedeniyle xx değeri 2 ve -2 olamaz. Bu kısıtlamalar altındaki pozitif tam sayı çözümleri sadece 1 ve 3'tür. Bu iki sayının toplamı ise 4'tür.

Adım Adım Çözüm

1
İfadenin pay ve paydasındaki terimleri çarpanlarına ayırın.
Pay: (x−3)(x+2)(x−2)(x-3)(x+2)(x-2), Payda: (x−2)(x+2)(x-2)(x+2)
Eşitsizliğin köklerini belirlemek ve sadeleşebilecek terimleri görmek için çarpanlara ayırma yapılır.
2
Tanım kümesini belirleyin ve paydayı sıfır yapan değerleri hariç tutun.
x−2≠0  ⟹  x≠2x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2 ve x+2≠0  ⟹  x≠−2x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2
Rasyonel ifadelerde paydayı sıfır yapan değerler ifadeyi tanımsız kılacağından çözüm kümesine dahil edilemez.
3
Ortak çarpanları sadeleştirerek eşitsizliği en sade haline getirin.
x≠2x \neq 2 ve x≠−2x \neq -2 koşulu altında eşitsizlik x−3≤0x - 3 \leq 0 haline gelir.
Eşitsizliğin çözümünü kolaylaştırmak amacıyla tanım kümesi kısıtlamaları saklı kalmak üzere sadeleştirme yapılır.
4
Eşitsizliğin çözüm kümesini yazın.
x≤3x \leq 3 ve x≠2,x≠−2  ⟹  x \neq 2, x \neq -2 \implies Çözüm Kümesi = (−∞,3]∖{−2,2}(-\infty, 3] \setminus \{-2, 2\}
Sadeleştirilmiş eşitsizlikten elde edilen aralık ile başlangıçtaki tanımsızlık koşulları birleştirilerek nihai çözüm kümesi elde edilir.
5
Çözüm kümesindeki pozitif tam sayıları belirleyin ve toplayın.
Pozitif tam sayılar: 1 ve 3. Toplam: 1+3=41 + 3 = 4.
Kümelerdeki pozitif tam sayılar (1,2,31, 2, 3) arasından tanımsızlık yapan 2 değeri çıkarılarak kalan değerler toplanır.

Anahtar Kavram

Rasyonel ikinci dereceden eşitsizliklerde sadeleştirme yapılırken paydanın köklerinin çözüm kümesine dahil edilmemesi kuralı.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 1777Soru →
f(x)={4−x,x<3x2−5,x≥3f(x) = \begin{cases} 4 - x, & x < 3 \\ x^2 - 5, & x \geq 3 \end{cases}

biçiminde tanımlanan ff fonksiyonu için,

lim⁡x→1+f(4−x)\lim_{x \to 1^+} f(4 - x)

limitinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Limit değeri 1'dir.
Limit değişkeni 11 değerine sağdan yaklaşırken x>1x > 1 olur. Buradan −x<−1-x < -1 ve 4−x<34 - x < 3 bulunur. Yani, limit 33 değerine soldan yaklaşmaktadır. Fonksiyonun 33 değerinden küçük sayılar için kuralı 4−x4 - x olduğundan, limit değeri 4−3=14 - 3 = 1 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Limit değişkeninin yaklaşım yönünü belirleme
x→1+x \to 1^+ iken x>1x > 1 olur. Eşitsizliği −1-1 ile çarparsak −x<−1-x < -1 elde edilir. Her iki tarafa 44 eklediğimizde 4−x<34 - x < 3 elde edilir. Bu durum, 4−x4 - x ifadesinin 33 değerine soldan yaklaştığını (4−x→3−4 - x \to 3^-) gösterir.
Bileşke ve dönüşüm içeren limitlerde içteki ifadenin limit noktasına hangi yönden yaklaştığını doğru tespit etmek gerekir.
2
Fonksiyonun parçalı tanımından uygun kuralı seçme
t=4−xt = 4 - x dönüşümü yapıldığında limit lim⁡t→3−f(t)\lim_{t \to 3^-} f(t) haline gelir. Tanıma göre t<3t < 3 için fonksiyon kuralı f(t)=4−tf(t) = 4 - t biçimindedir.
Soldan yaklaşımda (t→3−t \to 3^-) değişken değerleri 33 noktasından küçük olduğundan t<3t < 3 aralığına ait fonksiyon parçası seçilmelidir.
3
Limit değerini hesaplama
lim⁡t→3−(4−t)=4−3=1\lim_{t \to 3^-} (4 - t) = 4 - 3 = 1 bulunur.
Seçilen sürekli fonksiyonda tt yerine limit değeri olan 33 yazılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Sağdan ve soldan limit kavramı ile değişken dönüşümü yardımıyla limit hesaplama
Soru 1778Soru →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
log⁡12(x−2)−log⁡12(10−x)x2−12x+32≥0\frac{\log_{\frac{1}{2}}(x-2) - \log_{\frac{1}{2}}(10-x)}{x^2 - 12x + 32} \geq 0
eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

16
Eşitsizliği sağlayan tam sayılar 3, 6 ve 7 olup, bunların toplamı olan 16 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesinin belirlenmesi
x > 2 ve x < 10, dolayısıyla tanım kümesi (2, 10) aralığıdır.
Logaritma fonksiyonlarının tanımlı olabilmesi için içlerindeki ifadelerin pozitif olması gerekir.
2
Pay ve paydanın köklerinin bulunması
Payın kökü x = 6, paydanın kökleri x = 4 ve x = 8 olarak bulunur.
Eşitsizlik tablosunu oluşturmak için pay ve paydayı sıfır yapan kritik noktalar belirlenir.
3
İşaret tablosunun oluşturulması ve incelenmesi
Çözüm kümesi (2, 4) birleşim [6, 8) aralığı olarak elde edilir.
Taban basit kesir olduğundan payın işareti x = 6 noktasında yön değiştirir. Bölümün işareti tablodaki aralıklarda incelenir.
4
Tam sayı çözümlerinin toplanması
3 + 6 + 7 = 16
Çözüm kümesindeki tam sayılar 3, 6 ve 7'dir.

Anahtar Kavram

Logaritmik eşitsizliklerde tanım kümesi analizi, basit kesir tabanında yön değiştirme kuralı ve rasyonel eşitsizlik tablosu oluşturulması.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 1779Soru →

x,yx, y ve kk birer tam sayı olmak üzere, genel terimi

an=x⋅n2+y⋅n+12n2−k⋅n+6a_n = \frac{x \cdot n^2 + y \cdot n + 12}{n^2 - k \cdot n + 6}

olan (an)(a_n) ifadesi sabit bir dizidir.

n2−k⋅n+6=0n^2 - k \cdot n + 6 = 0

denkleminin kökleri birer tam sayı olduğuna göre, x+y+kx + y + k toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

İfadenin alabileceği farklı değerlerin toplamı 16'dır.
Doğru yanıt, sabit dizi tanımından hareketle katsayılar oranını kurup x=2x = 2 ve y=−2ky = -2k eşitliklerini elde eden, ardından paydanın pozitif tam sayılarda sıfır olmaması gerektiği bilgisini kullanarak kökleri pozitif tam sayılar olan durumları eleyen ve geriye kalan negatif köklü durumlardan toplamı 16 bulan seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Sabit dizi tanımını kullanarak pay ve paydadaki aynı dereceli terimlerin katsayıları oranını eşitleyin.
x=2x = 2 ve y=−2ky = -2k olarak bulunur.
Sabit dizilerde genel terimin değeri nn değişkeninden bağımsız olmalıdır. Bu nedenle, rasyonel ifadelerde pay ve paydanın katsayıları orantılı olmak zorundad��r.
2
x+y+kx + y + k ifadesini tek bir değişken cinsinden ifade edin.
x+y+k=2−2k+k=2−kx + y + k = 2 - 2k + k = 2 - k elde edilir.
Değişken sayısını azaltarak çözümü tek bir bilinmeyen olan kk parametresine indirgemek.
3
n2−k⋅n+6=0n^2 - k \cdot n + 6 = 0 denkleminin köklerinin tam sayı olma koşulunu analiz edin.
Kökler çarpımı n1⋅n2=6n_1 \cdot n_2 = 6 olmalıdır. Buradan kökler toplamı kk için olası tam sayı değerleri 7,5,−7,−57, 5, -7, -5 olarak bulunur.
Köklerin birer tam sayı olması, çarpımlarının 6 sayısının tam sayı bölenleri olmasını gerektirir.
4
Dizilerin pozitif tam sayılar kümesinde (Z+\mathbb{Z}^+) tanımlı olması kuralını uygulayarak tanımsızlık yaratan kk değerlerini eleyin.
k=5k = 5 ve k=7k = 7 değerleri elenir; geriye yalnızca k=−5k = -5 ve k=−7k = -7 kalır.
k=5k = 5 için paydanın kökleri 22 ve 33, k=7k = 7 için paydanın kökleri 11 ve 66 olur. Bu pozitif tam sayı değerlerinde dizinin terimleri tanımsız kalacağı için bu durumlar bir dizi belirtmez. k=−5k = -5 ve k=−7k = -7 için ise kökler negatif tam sayılar olduğundan dizide tanımsızlık oluşmaz.
5
Geçerli kk değerleri için 2−k2 - k ifadesinin alacağı değerleri hesaplayıp toplayın.
k=−5  ⟹  2−(−5)=7k = -5 \implies 2 - (-5) = 7 ve k=−7  ⟹  2−(−7)=9k = -7 \implies 2 - (-7) = 9 bulunur. Toplamları ise 7+9=167 + 9 = 16'dır.
Soruda istenen x+y+kx + y + k toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamını bulmak.

Anahtar Kavram

Dizilerin tanım kümesi gereği pozitif tam sayılarda her teriminin tanımlı olma zorunluluğu ve rasyonel sabit dizilerde katsayı ilişkisi
Soru 1780Soru →
sin⁡(2x)−cos⁡(x)=2sin⁡(x)−1\sin(2x) - \cos(x) = 2\sin(x) - 1 denkleminin [0,3π2][0, \frac{3\pi}{2}] kapalı aralığındaki farklı gerçel köklerinin sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Denklemin verilen kapalı aralıktaki farklı gerçel köklerinin sayısı 3'tür.
Denklemin yarım açı dönüşümü yapılıp çarpanlarına ayrılmasıyla sin⁡(x)=12\sin(x) = \frac{1}{2} ve cos⁡(x)=1\cos(x) = 1 denklemlerine ulaşılır. Bu denklemlerin [0,3π2][0, \frac{3\pi}{2}] aralığındaki çözümleri x=0x = 0, x=π6x = \frac{\pi}{6} ve x=5π6x = \frac{5\pi}{6} olmak üzere 3 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1
Sinüs yarım açı formülünü uygulayın.
2sin⁡(x)cos⁡(x)−cos⁡(x)−2sin⁡(x)+1=02\sin(x)\cos(x) - \cos(x) - 2\sin(x) + 1 = 0
Denklemi tek bir açı türüne indirgemek için yarım açı dönüşümü yapıl��r.
2
Denklemi çarpanlarına ayırın.
(2sin⁡(x)−1)(cos⁡(x)−1)=0(2\sin(x) - 1)(\cos(x) - 1) = 0
Gruplandırma yöntemi kullanılarak ortak terim olan (cos⁡(x)−1)(\cos(x) - 1) parantezine alınır.
3
Çarpanları ayrı ayrı sıfıra eşitleyin.
sin⁡(x)=12\sin(x) = \frac{1}{2} veya cos⁡(x)=1\cos(x) = 1
Çarpımın sonucunun sıfır olması için her bir çarpanın sıfır olma durumları incelenir.
4
Belirlenen aralıktaki kökleri yazın.
x=0x = 0 ve x=π6,5π6x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}
[0,3π2][0, \frac{3\pi}{2}] aralığındaki trigonometrik değerler tespit edilir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemleri yarım açı formülleri ve çarpanlara ayırma yöntemleriyle çözme.
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 89 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin