Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 1901Soru →

f(x)=x3+2xf(x) = x^3 + 2x ve g(x)=3x−1g(x) = 3x - 1 fonksiyonları tanımlanıyor. Buna göre, (f∘g)′(1)(f \circ g)'(1) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 42

Cevap

Bileşke fonksiyonun türevinin x=1x = 1 noktasındaki değeri 42'dir.
Bileşke fonksiyonun türevi alınırken zincir kuralı uyarınca içteki fonksiyonun türevi olan g′(1)=3g'(1) = 3 çarpanı ile dıştaki türev değeri olan f′(g(1))=14f'(g(1)) = 14 çarpılır ve sonuç 42 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyon türevi için zincir kuralı formülünü belirleme
(f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)
İki fonksiyonun bileşkesinin türevi alınırken zincir kuralı uygulanır.
2
g(x)g(x) fonksiyonunun x=1x = 1 noktasındaki değerini ve türevini hesaplama
g(1)=2g(1) = 2 ve g′(1)=3g'(1) = 3
g(x)=3x−1g(x) = 3x - 1 lineer fonksiyonunda x=1x = 1 yazılır ve fonksiyonun türevi alınarak türev değeri bulunur.
3
f′(x)f'(x) fonksiyonunu bulma ve x=g(1)=2x = g(1) = 2 noktasındaki değerini hesaplama
f′(2)=14f'(2) = 14
f(x)=x3+2xf(x) = x^3 + 2x türevi f′(x)=3x2+2f'(x) = 3x^2 + 2 olup, x=2x = 2 için bu değer 1414'tür.
4
Elde edilen değerleri zincir kuralında yerine koyarak sonuca ula��ma
(f∘g)′(1)=14⋅3=42(f \circ g)'(1) = 14 \cdot 3 = 42
Zincir kuralı gereği dıştaki türev değeri ile içteki türev değeri çarpılır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevi alınırken zincir kuralı uygulanır: (f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x).
Soru 1902Soru →
Gerçel katsayılı ikinci dereceden bir f(x)f(x) fonksiyonunun grafiği (1,−4)(1, -4) noktasından geçmektedir.
lim⁡x→3f(x)x+1−2=16\lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{\sqrt{x+1} - 2} = 16
olduğuna göre,
lim⁡x→−1f(x2−2)x3+2x2+2x+1\lim_{x \to -1} \frac{f(x^2 - 2)}{x^3 + 2x^2 + 2x + 1}
limitinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Limit değeri 8 olarak bulunur.
Verilen ilk limit denkleminden f(3)=0f(3) = 0 olduğu tespit edilip limitin eşlenik yardımıyla çözülmesiyle 3a+b=43a+b=4 denklemine ulaşılır. Parabolün geçtiği nokta kullanılarak a+b=2a+b=2 bulunur ve f(x)=(x−3)(x+1)f(x) = (x-3)(x+1) fonksiyonu elde edilir. İkinci limit ifadesinde pay ve payda çarpanlarına ayrılıp belirsizlik oluşturan x+1x+1 terimleri sadeleştirildikten sonra limit değeri 8 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Paydanın limitini kontrol ederek f(3)f(3) değerini belirlemek.
lim⁡x→3(x+1−2)=0\lim_{x \to 3} (\sqrt{x+1} - 2) = 0 olduğundan, limitin gerçel bir sayıya eşit olabilmesi için payın limiti de sıfır olmalıdır, yani f(3)=0f(3) = 0 bulunur. Bu durumda f(x)f(x) fonksiyonu f(x)=(x−3)(ax+b)f(x) = (x-3)(ax+b) formunda yazılabilir.
Payda sıfıra yaklaşırken limitin gerçel bir sayı çıkması ancak payın da sıfıra yaklaşarak 0/00/0 belirsizliği oluşturması ile mümkündür.
2
Limit ifadesinde f(x)f(x) yerine yazılıp belirsizlik giderilerek ilk denklemi elde etmek.
lim⁡x→3(x−3)(ax+b)x+1−2=lim⁡x→3(x−3)(ax+b)(x+1+2)x−3=lim⁡x→3(ax+b)(x+1+2)=4(3a+b)\lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(ax+b)}{\sqrt{x+1} - 2} = \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(ax+b)(\sqrt{x+1} + 2)}{x-3} = \lim_{x \to 3} (ax+b)(\sqrt{x+1} + 2) = 4(3a+b) olur. Buradan 4(3a+b)=16  ⟹  3a+b=44(3a+b) = 16 \implies 3a+b = 4 elde edilir.
Paydadaki köklü ifadenin eşleniğiyle pay ve paydayı çarparak belirsizliğe neden olan x−3x-3 çarpanını sadeleştirmek gerekir.
3
f(x)f(x) parabolünün (1,−4)(1, -4) noktasından geçmesi özelliğini kullanarak ikinci denklemi oluşturmak.
f(1)=(1−3)(a+b)=−4  ⟹  −2(a+b)=−4  ⟹  a+b=2f(1) = (1-3)(a+b) = -4 \implies -2(a+b) = -4 \implies a+b = 2 elde edilir.
Fonksiyonun geçtiği nokta, fonksiyonun denklemini sağlamak zorundadır.
4
Elde edilen denklem sistemini çözerek f(x)f(x) fonksiyonunu bulmak.
3a+b=43a+b = 4 ve a+b=2a+b = 2 denklemleri ortak çözüldüğünde a=1a = 1 ve b=1b = 1 bulunur. Buradan f(x)=(x−3)(x+1)f(x) = (x-3)(x+1) olarak elde edilir.
İki bilinmeyenli iki denklemi taraf tarafa çıkararak bilinmeyen katsayıları hesaplamak mümkündür.
5
f(x2−2)f(x^2 - 2) ifadesini ve limit paydasını çarpanlarına ayırmak.
f(x2−2)=(x2−2−3)(x2−2+1)=(x2−5)(x2−1)=(x2−5)(x−1)(x+1)f(x^2 - 2) = (x^2 - 2 - 3)(x^2 - 2 + 1) = (x^2 - 5)(x^2 - 1) = (x^2 - 5)(x-1)(x+1) elde edilir. Payda ise x3+2x2+2x+1=(x3+1)+2x(x+1)=(x+1)(x2−x+1)+2x(x+1)=(x+1)(x2+x+1)x^3 + 2x^2 + 2x + 1 = (x^3 + 1) + 2x(x+1) = (x+1)(x^2 - x + 1) + 2x(x+1) = (x+1)(x^2 + x + 1) olarak çarpanlarına ayrılır.
x→−1x \to -1 iken limit ifadesinde oluşan 0/00/0 belirsizliğini gidermek amacıyla pay ve payda ortak çarpanlarına ayrılır.
6
Ortak çarpanları sadeleştirerek limiti hesaplamak.
lim⁡x→−1(x2−5)(x−1)(x+1)(x+1)(x2+x+1)=lim⁡x→−1(x2−5)(x−1)x2+x+1=((−1)2−5)(−1−1)(−1)2+(−1)+1=(−4)(−2)1=8\lim_{x \to -1} \frac{(x^2 - 5)(x-1)(x+1)}{(x+1)(x^2 + x + 1)} = \lim_{x \to -1} \frac{(x^2 - 5)(x-1)}{x^2 + x + 1} = \frac{((-1)^2 - 5)(-1-1)}{(-1)^2 + (-1) + 1} = \frac{(-4)(-2)}{1} = 8 bulunur.
Pay ve paydadaki sıfır yapan x+1x+1 terimleri sadeleşince belirsizlik giderilir ve doğrudan limit noktası yerine yazılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Limitlerde 0/0 Belirsizliği ve Sadeleştirme Yöntemi
Soru 1903Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir gg fonksiyonu

g(x)=x2−4x+1g(x) = x^2 - 4x + 1

biçiminde tanımlanıyor. Her x∈R−{0}x \in \mathbb{R} - \{0\} için ff fonksiyonu

f(x)=lim⁡t→xt3g(x)−x3g(t)t2−x2f(x) = \lim_{t \to x} \frac{t^3 g(x) - x^3 g(t)}{t^2 - x^2}

olarak veriliyor. Buna göre,

lim⁡h→0f(2+3h)−f(2−h)h2+2h\lim_{h \to 0} \frac{f(2 + 3h) - f(2 - h)}{h^2 + 2h}

limitinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -17

Cevap

İstenen limit değeri -17 olarak bulunur.
Türevin limit tanımı kullanılarak f(x) fonksiyonu g(x) ve g'(x) cinsinden elde edilmiş, ardından istenen limit ifadesi f'(2) cinsinden yazılarak doğru sonuca ulaşılmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x) fonksiyonunun tanımındaki limiti t -> x yaklaşımı altında düzenlemek.
f(x) = 1.5*x*g(x) - 0.5*x^2*g'(x)
Limit tanımındaki belirsizliği gidermek ve ifadeyi g(x) ile g'(x) cinsinden yazabilmek için.
2
g(x) ve g'(x) fonksiyonlarını yerine yazarak f(x) ve f'(x) fonksiyonlarını elde etmek.
f'(2) = -8.5
f(x) fonksiyonunun x = 2 noktasındaki türev değerine ulaşmak için.
3
İstenen limit ifadesini f'(2) türev değeri cinsinden ifade etmek.
Limit = 2*f'(2)
h -> 0 limitindeki belirsizliği türevin limit tanımı yardımıyla çözmek için.
4
Bulunan türev değerini limit ifadesinde yerine yazarak sonucu hesaplamak.
-17
Soruda istenen limitin nihai nümerik değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Anlık Değişim Oranı ve Türevin Limit Tanımı
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 1904Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi, her x∈Rx \in \mathbb{R} için
f′(x)=(x−8)(x−3)2f'(x) = (x-8)(x-3)^2
eşitliğini sağlamaktadır.
Buna göre,
g(x)=f(x2−2x)g(x) = f(x^2 - 2x)
fonksiyonunun azalan olduğu en geniş sınırlı aralık [a,b][a, b] olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

5
Bileşke fonksiyonun türevi zincir kuralı ile alınıp çarpanlarına ayrıldığında g′(x)=2(x−1)(x−4)(x+2)(x−3)2(x+1)2g'(x) = 2(x-1)(x-4)(x+2)(x-3)^2(x+1)^2 fonksiyonu elde edilir. Bu ifadenin kökleri küçükten büyüğe sıralanıp işaret tablosu yapıldığında çift katlı kökler olan −1-1 ve 33 noktalarında işaret değişimi yaşanmaz. Türevin sıfırdan küçük veya eşit olduğu bölgeler incelendiğinde azalanlığın geçerli olduğu sınırlı en geniş aralığın [1,4][1, 4] olduğu görülür. Buradan sınır değerlerin toplamı 1+4=51+4=5 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türev kuralını (zincir kuralı) uygulama
g′(x)=f′(x2−2x)⋅(x2−2x)′=f′(x2−2x)⋅(2x−2)g'(x) = f'(x^2 - 2x) \cdot (x^2 - 2x)' = f'(x^2 - 2x) \cdot (2x - 2)
g(x)=f(u(x))g(x) = f(u(x)) biçimindeki bir bileşke fonksiyonun türevi g′(x)=f′(u(x))⋅u′(x)g'(x) = f'(u(x)) \cdot u'(x) kuralı ile hesaplanır.
2
f′(x)f'(x) ifadesinde değişken dönüşümü yaparak g′(x)g'(x) fonksiyonunu açıkça yazma
g′(x)=2(x−1)⋅(x2−2x−8)⋅(x2−2x−3)2g'(x) = 2(x - 1) \cdot (x^2 - 2x - 8) \cdot (x^2 - 2x - 3)^2
f′(x)=(x−8)(x−3)2f'(x) = (x-8)(x-3)^2 olarak verildiği için, girdiyi x2−2xx^2-2x yaparak türev çarpanlarına ulaşılır.
3
g′(x)=0g'(x) = 0 denkleminin tüm gerçel köklerini ve bu köklerin katlılık durumlarını bulma
Kökler: x=1x = 1 (tek katlı), x=4x = 4 (tek katlı), x=−2x = -2 (tek katlı), x=3x = 3 (çift katlı), x=−1x = -1 (çift katlı)
x−1=0⇒x=1x-1=0 \Rightarrow x=1, x2−2x−8=(x−4)(x+2)=0⇒x=4,−2x^2-2x-8=(x-4)(x+2)=0 \Rightarrow x=4, -2 ve (x2−2x−3)2=((x−3)(x+1))2=0⇒x=3,−1(x^2-2x-3)^2 = ((x-3)(x+1))^2=0 \Rightarrow x=3, -1 (çift katlı) elde edilir.
4
Kökleri küçükten büyüğe sıralayarak işaret tablosunu oluşturma ve fonksiyonun azalan olduğu bölgeleri belirleme
İşaret tablosu: (−∞,−2)(-\infty, -2) için −-, (−2,−1)(-2, -1) için ++, (−1,1)(-1, 1) için ++, (1,3)(1, 3) için −-, (3,4)(3, 4) için −-, (4,∞)(4, \infty) için ++. Azalan aralıklar: (−∞,−2](-\infty, -2] ve [1,4][1, 4]
En sağdaki aralıkta (x>4x > 4) türev pozitif işaretlidir. Çift katlı köklerde (x=3x = 3 ve x=−1x = -1) işaret yön değiştirmezken tek katlı köklerde yön değiştirir. Süreklilikten dolayı [1,3][1, 3] ve [3,4][3, 4] aralıkları birleştirilerek [1,4][1, 4] elde edilir.
5
Bulunan azalan aralıklardan sınırlı olan en geniş aralığı seçip aralığın uç değerlerinin toplamın�� hesaplama
[a,b]=[1,4][a, b] = [1, 4] olup buradan a=1a = 1, b=4b = 4 ve a+b=5a + b = 5 bulunur.
(−∞,−2](-\infty, -2] aralığı sınırsız bir aralık olduğundan, soruda istenen en geniş sınırlı aralık koşulunu yalnızca [1,4][1, 4] aralığı sağlar.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların türevi kullanılarak artanlık ve azalanlık incelemesi yapılması, türevin köklerinin katlılık durumlarına göre işaret tablosunun oluşturulması.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 1905Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)={∣x−2∣x−2+a,x<22x−5,x≥2f(x) = \begin{cases} \frac{|x - 2|}{x - 2} + a, & x < 2 \\ 2x - 5, & x \ge 2 \end{cases}
fonksiyonunun x=2x = 2 noktasında limitinin var olması için aa gerçel sayısının değeri 00 olmalıdır ifadesi doğru mudur?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

İfade doğrudur. Fonksiyonun x=2x = 2 noktasında limitinin var olması için sağ ve sol limitleri birbirine eşit olmalıdır. Sağ limit −1-1 ve sol limit −1+a-1 + a olduğundan a=0a = 0 olmalıdır.
Fonksiyonun x=2x = 2 kritik noktasındaki sağ limiti −1-1 ve soldan limiti mutlak değer işaret analiziyle −1+a-1 + a olarak bulunur. Limitin varlığı için bu iki değer eşitlenmelidir: −1+a=−1  ⟹  a=0-1 + a = -1 \implies a = 0 bulunur. Bu nedenle önerme doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
x=2x = 2 noktasındaki sağdan limiti hesaplayın.
lim⁡x→2+f(x)=lim⁡x→2+(2x−5)=2(2)−5=−1\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (2x - 5) = 2(2) - 5 = -1
x>2x > 2 için fonksiyon f(x)=2x−5f(x) = 2x - 5 kuralıyla tanımlıdır.
2
x=2x = 2 noktasındaki soldan limiti hesaplayın.
x<2x < 2 için x−2<0x - 2 < 0 olduğundan ∣x−2∣=−(x−2)|x - 2| = -(x - 2) olur. Buradan lim⁡x→2−f(x)=lim⁡x→2−(−(x−2)x−2+a)=−1+a\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \left(\frac{-(x - 2)}{x - 2} + a\right) = -1 + a elde edilir.
x<2x < 2 için fonksiyon f(x)=∣x−2∣x−2+af(x) = \frac{|x - 2|}{x - 2} + a kuralıyla tanımlıdır ve mutlak değerin içi negatiftir.
3
Sağ ve sol limitleri eşitleyerek aa değerini bulun.
−1+a=−1  ⟹  a=0-1 + a = -1 \implies a = 0
Bir noktada limitin var olması için o noktadaki sağ ve sol limitlerin eşit olması gerekir.

Anahtar Kavram

Parçalı ve mutlak değer içeren fonksiyonların sınır noktalarındaki limitinin varlığı için sağdan ve soldan limitlerin eşit olması gerekir.
Soru 1906Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için
f(g(x))=x2+2x+1f(g(x)) = x^2 + 2x + 1
g(f(x))=2x2+1g(f(x)) = 2x^2 + 1
eşitlikleri sağlanmaktadır.

f(2)=2f(2) = 2 ve f′(2)=4f'(2) = 4 olduğuna göre, f′(9)f'(9) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Doğru cevap 3'tür.
Bileşke fonksiyonların türevleri zincir kuralı uyarınca alınmalıdır. İkinci denklemin türevi olan g'(f(x)) * f'(x) = 4x eşitliğinde verilen f'(2) = 4 değeri yerine koyulduğunda g'(2) = 2 bulunur. İlk denklemin türevi olan f'(g(x)) * g'(x) = 2x + 2 eşitliğinde g(2) = 9 ve g'(2) = 2 değerleri kullanıldığında f'(9) * 2 = 6 elde edilir ve buradan f'(9) = 3 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
g(f(x)) = 2x^2 + 1 eşitliğinde x = 2 yazarak g(2) değerini bulmak.
g(2) = 9
İlk eşitlikte f'(g(2)) terimini elde etmek ve g(2) değerinin neye eşit olduğunu saptamak.
2
f(g(x)) = x^2 + 2x + 1 eşitliğinin türevini alıp x = 2 yazmak.
f'(9) * g'(2) = 6
İstenen f'(9) terimini içeren bir türev denklemi oluşturmak.
3
g(f(x)) = 2x^2 + 1 eşitliğinin türevini alıp x = 2 yazmak.
g'(2) * f'(2) = 8
Bilinmeyen g'(2) değerini bulmamızı sağlayacak ikinci bir türev denklemi elde etmek.
4
f'(2) = 4 değerini g'(2) * f'(2) = 8 denkleminde yerine yazıp g'(2) değerini çözmek.
g'(2) = 2
f'(9) değerine ulaşmak için zincir kuralından gelen içteki fonksiyonun türev değerini hesaplamak.
5
g'(2) = 2 değerini f'(9) * g'(2) = 6 denkleminde yerine yazıp f'(9) değerini bulmak.
f'(9) = 3
Soruda bizden istenen nihai türev değerini hesaplamak.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevinde zincir kuralının uygulanması ve fonksiyon değerlerinin yerine yazılması.
Soru 1907Soru →
x∈[0,π]x \in [0, \pi] olmak üzere,
2sin⁡2(x)−sin⁡(2x)−cos⁡(2x)=02\sin^2(x) - \sin(2x) - \cos(2x) = 0
denkleminin farklı gerçel köklerinin sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Denklemin verilen aralıkta 2 farklı gerçel kökü vardır.
Denklemin düzenlenmesiyle elde edilen 3tan⁡2(x)−2tan⁡(x)−1=03\tan^2(x) - 2\tan(x) - 1 = 0 denkleminin kökleri tan⁡(x)=1\tan(x) = 1 ve tan⁡(x)=−1/3\tan(x) = -1/3 şeklindedir. [0,π][0, \pi] aralığında tan⁡(x)=1\tan(x) = 1 için bir kök, tan⁡(x)=−1/3\tan(x) = -1/3 için ikinci bölgede bir kök olmak üzere tam 2 adet kök mevcuttur.

Adım Adım Çözüm

1
Trigonometrik denklemdeki çift katlı açıl�� terimleri yarım açı formülleri kullanarak tek açı cinsinden yazın.
2sin⁡2(x)−2sin⁡(x)cos⁡(x)−(1−2sin⁡2(x))=02\sin^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) - (1 - 2\sin^2(x)) = 0 elde edilir. Düzenlendiğinde denklem 4sin⁡2(x)−2sin⁡(x)cos⁡(x)−1=04\sin^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) - 1 = 0 biçimini alır.
Farklı açılardaki trigonometrik ifadeleri ortak bir açıya indirgemek denklemin çözümünü mümkün kılar.
2
Denklemdeki sabit terim olan 11 yerine sin⁡2(x)+cos⁡2(x)\sin^2(x) + \cos^2(x) temel özdeşliğini yazın.
4sin⁡2(x)−2sin⁡(x)cos⁡(x)−(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))=0⇒3sin⁡2(x)−2sin⁡(x)cos⁡(x)−cos⁡2(x)=04\sin^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) - (\sin^2(x) + \cos^2(x)) = 0 \Rightarrow 3\sin^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) - \cos^2(x) = 0 elde edilir.
Denklemi ikinci dereceden homojen bir forma getirerek çarpanlara ayırma yöntemini uygulamak.
3
Elde edilen homojen denklemin her iki tarafını da cos⁡2(x)\cos^2(x) ile bölerek denklemi tanjant cinsinden yazın (burada cos⁡(x)=0\cos(x) = 0 denklemi sağlamadığı için bölme işlemi tanımlıdır).
3tan⁡2(x)−2tan⁡(x)−1=03\tan^2(x) - 2\tan(x) - 1 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklem çarpanlarına ayrıldığında (3tan⁡(x)+1)(tan⁡(x)−1)=0(3\tan(x) + 1)(\tan(x) - 1) = 0 olur.
Homojen denklemleri çözmek için en standart yöntem tanjant fonksiyonuna dönüştürmektir.
4
Elde edilen tan⁡(x)=1\tan(x) = 1 ve tan⁡(x)=−13\tan(x) = -\frac{1}{3} denklemlerinin [0,π][0, \pi] aralığındaki köklerini bulun.
tan⁡(x)=1\tan(x) = 1 için birinci bölgedeki kök x=π4x = \frac{\pi}{4} olur. tan⁡(x)=−13\tan(x) = -\frac{1}{3} için ikinci bölgedeki kök x=π−arctan⁡(13)x = \pi - \arctan\left(\frac{1}{3}\right) olur. Toplam kök sayısı 2'dir.
Verilen kapalı aralıkta tanjant fonksiyonunun işaretlerine göre köklerin bulunması ve sayılması.

Anahtar Kavram

Yarım açı formülleri ve homojen trigonometrik denklemlerin çözümü

Alternatif Yöntem

Denklem 3sin⁡2(x)−2sin⁡(x)cos⁡(x)−cos⁡2(x)=03\sin^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) - \cos^2(x) = 0 olarak elde edildikten sonra doğrudan (3sin⁡(x)+cos⁡(x))(sin⁡(x)−cos⁡(x))=0(3\sin(x) + \cos(x))(\sin(x) - \cos(x)) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılabilir. Buradan her bir parantez sıfıra eşitlenerek kök sayılarına ulaşılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1908Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için
g(x)=f(x3−12x)g(x) = f(x^3 - 12x)
eşitliği sağlanmaktadır.

ff fonksiyonunun türevi f′(x)=x2−256f'(x) = x^2 - 256 olduğuna göre, gg fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralıklardaki pozitif tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

g fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralıklardaki pozitif tam sayıların toplamı 9'dur.
g(x) fonksiyonunun türevi alındığında g′(x)=3(x−4)(x+4)(x−2)3(x+2)3g'(x) = 3(x-4)(x+4)(x-2)^3(x+2)^3 elde edilir. Kökler −4,−2,2,4-4, -2, 2, 4 olup tamamı tek katlı köktür. İşaret tablosu yapıldığında fonksiyonun azalan olduğu (g′(x)≤0g'(x) \le 0) en geniş aralıklar [−4,−2][-4, -2] ve [2,4][2, 4] olarak bulunur. Bu aralıklardaki pozitif tam sayılar 2, 3 ve 4'tür. Toplamları ise 9'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türevini zincir kuralı kullanarak hesaplama.
g′(x)=f′(x3−12x)⋅(3x2−12)g'(x) = f'(x^3 - 12x) \cdot (3x^2 - 12)
g(x) fonksiyonunun artan veya azalan olduğu aralıkları bulmak için türevinin işaretini incelememiz gerekir.
2
f′(x)f'(x) fonksiyonunda xx yerine x3−12xx^3 - 12x yazarak bileşke ifadenin değerini bulma.
f′(x3−12x)=(x3−12x)2−256f'(x^3 - 12x) = (x^3 - 12x)^2 - 256
Zincir kuralında yerine koyarak g′(x)g'(x)'in çarpanlarını elde etmek.
3
g′(x)g'(x) türev fonksiyonunu çarpanlarına ayırma ve kökleri bulma.
g′(x)=3(x2−4)[(x3−12x)2−162]=3(x−2)(x+2)(x3−12x−16)(x3−12x+16)g'(x) = 3(x^2 - 4)[(x^3 - 12x)^2 - 16^2] = 3(x-2)(x+2)(x^3 - 12x - 16)(x^3 - 12x + 16)
İşaret tablosu oluşturabilmek i��in fonksiyonun tüm köklerini ve katlılık derecelerini bulmamız gerekir.
4
Kübik ifadeleri çarpanlarına ayırma.
x3−12x−16=(x−4)(x+2)2x^3 - 12x - 16 = (x-4)(x+2)^2 ve x3−12x+16=(x+4)(x−2)2x^3 - 12x + 16 = (x+4)(x-2)^2
Kübik polinomların köklerini bulmak için rasyonel kök testini uygulayarak çarpanlarına ayırırız.
5
Tüm çarpanları birleştirerek köklerin katlılık durumlarını (tek veya çift katlı kök) belirleme.
g′(x)=3(x−4)(x+4)(x−2)3(x+2)3g'(x) = 3(x-4)(x+4)(x-2)^3(x+2)^3
x=2x = 2 ve x=−2x = -2 kökleri hem kübik ifadelerden hem de zincir kuralından geldiği için toplamda 3'er adet (tek katlı) kök olurlar.
6
g′(x)g'(x) için işaret tablosu oluşturma ve g′(x)≤0g'(x) \le 0 olan azalanlık aralıklarını belirleme.
Azalanlık aralıkları: [−4,−2]∪[2,4][-4, -2] \cup [2, 4]
g′(x)g'(x)'in kökleri −4,−2,2,4-4, -2, 2, 4 olup hepsi tek katlı köktür. En sağdan pozitif işaretle başlanarak işaret tablosu oluşturulur.
7
Belirlenen aralıklardaki pozitif tam sayıları bulup toplama.
Pozitif tam sayılar: 2,3,42, 3, 4. Toplamları: 2+3+4=92 + 3 + 4 = 9.
Soru bizden azalanlık aralığındaki pozitif tam sayıların toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun azalan olduğu aralıklar, türevinin sıfırdan küçük veya eşit olduğu (f′(x)≤0f'(x) \le 0) aralıklardır. Bileşke fonksiyonların türevi alınırken zincir kuralı uygulanmalı ve köklerin katlılık dereceleri işaret tablosunda doğru incelenmelidir.
Soru 1909Soru →
aa ve bb pozitif gerçel sayılar olmak üzere,
lim⁡x→0a−cos⁡4(x)−bx2=12\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{a - \cos^4(x)} - b}{x^2} = \frac{1}{2}
eşitliği veriliyor.

Buna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Doğru cevap 7 olan seçenektir.
Doğru seçenekte belirtilen 7 değeri doğrudur. Paydanın limiti sıfır olduğundan limitin gerçek sayı belirtmesi için pay sıfıra yaklaşmalı ve a−1=b\sqrt{a-1}=b olmalıdır. Buradan a=b2+1a = b^2+1 bulunur. Eşlenikle çarpım ve 1−cos⁡4(x)=sin⁡2(x)(1+cos⁡2(x))1 - \cos^4(x) = \sin^2(x)(1+\cos^2(x)) özdeşliği kullanıldığında limit 1b\frac{1}{b} olarak bulunur. Bu limit 12\frac{1}{2}'ye eşitlendiğinde b=2b=2 ve a=5a=5 elde edilir, toplamları ise 7 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Paydanın limitini inceleyerek belirsizlik durumunu tespit etme.
x→0x \to 0 iken payda sıfıra gitmektedir (x2→0x^2 \to 0). Limit değeri bir gerçek sayıya eşit olduğundan, payın limiti de sıfır olmalıdır: lim⁡x→0(a−cos⁡4(x)−b)=0\lim_{x \to 0} (\sqrt{a - \cos^4(x)} - b) = 0.
Payda sıfıra yaklaşırken limitin gerçel sayı çıkması ancak 0/00/0 belirsizliğinin oluşmasıyla mümkündür.
2
Payın limitini alarak aa ve bb parametreleri arasındaki ilişkiyi bulma.
x→0x \to 0 için cos⁡(x)→1\cos(x) \to 1 olduğundan, a−1−b=0  ⟹  a−1=b  ⟹  a−1=b2  ⟹  a=b2+1\sqrt{a - 1} - b = 0 \implies \sqrt{a - 1} = b \implies a - 1 = b^2 \implies a = b^2 + 1 (aa ve bb pozitif olduğundan).
Belirsizlik koşulundan yararlanarak parametreler arasında cebirsel bir ilişki kurmak.
3
Bulunan ilişkiyi limitte yerine yazarak payı eşleniğiyle çarpma.
lim⁡x→0b2+1−cos⁡4(x)−bx2=lim⁡x→0(b2+1−cos⁡4(x))−b2x2(b2+1−cos⁡4(x)+b)=lim⁡x→01−cos⁡4(x)x2(b2+1−cos⁡4(x)+b)\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{b^2 + 1 - \cos^4(x)} - b}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{(b^2 + 1 - \cos^4(x)) - b^2}{x^2(\sqrt{b^2 + 1 - \cos^4(x)} + b)} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos^4(x)}{x^2(\sqrt{b^2 + 1 - \cos^4(x)} + b)} olur.
Pay kısmındaki kareköklü ifadeyi rasyonalize ederek belirsizliği çözebilecek çarpanı ortaya çıkarmak.
4
Paydaki trigonometrik ifadeyi sadeleştirme.
1−cos⁡4(x)=(1−cos⁡2(x))(1+cos⁡2(x))=sin⁡2(x)(1+cos⁡2(x))1 - \cos^4(x) = (1 - \cos^2(x))(1 + \cos^2(x)) = \sin^2(x)(1 + \cos^2(x)) olarak yazılır. Limit ifadesi: lim⁡x→0(sin⁡(x)x)2⋅1+cos⁡2(x)b2+1−cos⁡4(x)+b\lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^2 \cdot \frac{1 + \cos^2(x)}{\sqrt{b^2 + 1 - \cos^4(x)} + b} şeklini alır.
İki kare farkı özdeşliği ve temel trigonometrik özdeşlik yardımıyla belirsizlik çarpanını ayrıştırmak.
5
Limiti hesaplayıp bb değerini bulma.
lim⁡x→0sin⁡(x)x=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 olduğu için limit: 12⋅1+1b2+b=22b=1b1^2 \cdot \frac{1 + 1}{\sqrt{b^2} + b} = \frac{2}{2b} = \frac{1}{b} (b>0b>0 olduğundan b2=b\sqrt{b^2}=b olur). Limitin değeri 12\frac{1}{2} olduğundan 1b=12  ⟹  b=2\frac{1}{b} = \frac{1}{2} \implies b = 2 bulunur.
Sadeleştirmeler sonrası belirsizlik giderildiği için xx yerine 0 yazıp limit değerini bb türünden bulmak.
6
aa parametresini ve istenen toplamı hesaplama.
a=b2+1=22+1=5a = b^2 + 1 = 2^2 + 1 = 5 olur. Buradan a+b=5+2=7a + b = 5 + 2 = 7 elde edilir.
bb değerini yerine koyarak aa değerine ulaşmak ve toplamı bulmak.

Anahtar Kavram

0/0 belirsizliği durumunda eşlenik yardımıyla ve trigonometrik özdeşlikler kullanılarak belirsizliğin giderilmesi ve parametre hesabı.
Soru 1910Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları her xx gerçel sayısı için
f(g(2x−1)+x2)=3x3−2x2+5x+1f(g(2x - 1) + x^2) = 3x^3 - 2x^2 + 5x + 1
eşitliğini sağlamaktadır.

g(1)=5g(1) = 5 ve g′(1)=32g'(1) = \frac{3}{2} olduğuna göre, f′(6)f'(6) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İstenen f'(6) değeri 2'dir.
Bileşke fonksiyonun türev kuralı (zincir kuralı) doğru bir şekilde uygulanıp içteki fonksiyonların türevleri (özellikle g(2x-1) türevi alınırken gelen 2 çarpanı) hesaba katıldığında ve verilen değerler x = 1 için yerine yazıldığında doğru sonuç elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının x değişkenine göre türevi alınır.
f'(g(2x - 1) + x^2) * (2 * g'(2x - 1) + 2x) = 9x^2 - 4x + 5
Bileşke fonksiyonun türevinde zincir kuralını uygulamak ve türev ilişkisini kurmak için.
2
f' ifadesinin parantez içini 6 yapmak için x = 1 seçilir.
x = 1 için g(2x - 1) + x^2 = g(1) + 1 = 5 + 1 = 6 elde edilir.
Soruda g(1) = 5 değeri verildiğinden, ifadenin içini 6 yapan uygun x değerini bulmak için.
3
x = 1, g(1) = 5 ve g'(1) = 3/2 değerleri türev denklemine yazılarak f'(6) hesaplanır.
f'(6) * 5 = 10 ise f'(6) = 2 bulunur.
Türev denklemindeki tüm bilinenleri yerine yazarak bilinmeyen f'(6) değerini yalnız bırakmak için.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevi alınırken zincir kuralı uygulanır ve içteki fonksiyonun türevi ile çarpılır. f(u(x)) türevi f'(u(x)) * u'(x) şeklindedir.
Soru 1911Soru →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x)=2x2+5xf(x) = 2x^2 + 5x fonksiyonu veriliyor.

Buna göre,
lim⁡x→1f(x)−f(1)x−1 \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1}
limitinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Limit ifadesinin değeri 9'dur.
Verilen limit ifadesi, ff fonksiyonunun x=1x = 1 noktasındaki anlık değişim oranı olan f′(1)f'(1) değerinin tanımıdır. f(x)=2x2+5xf(x) = 2x^2 + 5x fonksiyonunun türevi f′(x)=4x+5f'(x) = 4x + 5 olduğundan, x=1x = 1 için türev değeri 4⋅1+5=94 \cdot 1 + 5 = 9 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Limit ifadesinin türev tanımıyla ilişkisini belirleme
Limit ifadesi f′(1)f'(1) değerine eşittir.
Türevin limit tanımına göre lim⁡x→af(x)−f(a)x−a=f′(a)\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(a) eşitliği sağlanır. Burada a=1a = 1 alınmıştır.
2
f(x)=2x2+5xf(x) = 2x^2 + 5x fonksiyonunun türevini bulma
f′(x)=4x+5f'(x) = 4x + 5
Polinom fonksiyonların türev kuralı (d/dx(xn)=nxn−1d/dx(x^n) = n x^{n-1}) kullanılmıştır.
3
Türev fonksiyonunda x=1x = 1 yazarak limit değerini hesaplama
9
f′(1)=4(1)+5=9f'(1) = 4(1) + 5 = 9 işlemi gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

Türevin limit tanımı kullanılarak bir noktadaki anlık değişim oranının (türevinin) hesaplanması.

Alternatif Yöntem

Limit ifadesinde fonksiyon değerlerini doğrudan yerine yazarak da sonuca ulaşabiliriz: f(1)=7f(1) = 7 olduğundan limit lim⁡x→12x2+5x−7x−1\lim_{x \to 1} \frac{2x^2 + 5x - 7}{x - 1} olur. Bu ifadeyi çarpanlarına ayırdığımızda lim⁡x→1(2x+7)(x−1)x−1=lim⁡x→1(2x+7)=9\lim_{x \to 1} \frac{(2x + 7)(x - 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (2x + 7) = 9 elde edilir.
Tahmini Süre:45s
Soru 1912Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi olan f′f' fonksiyonu yalnızca (−3,5)(-3, 5) açık aralığında pozitif değerler almaktadır.

Buna göre, g(x)=f(x2−4x)g(x) = f(x^2 - 4x) fonksiyonunun artan olduğu sınırlı aralıklarda yer alan farklı tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Sınırlı artanlık aralıklarında yer alan tam sayıların toplamı 15'tir.
Fonksiyonun artan olduğu sınırlı aralıklar [1,2][1, 2] ve [3,5][3, 5] aralıklarıdır. Bu aralıklardaki tam sayılar sırasıyla {1, 2} ve {3, 4, 5} olup toplamları 15'tir.

Adım Adım Çözüm

1
g(x)=f(x2−4x)g(x) = f(x^2 - 4x) fonksiyonunun türevi alınır.
g′(x)=2(x−2)⋅f′(x2−4x)g'(x) = 2(x - 2) \cdot f'(x^2 - 4x)
Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları bulmak için birinci türevinin işaretini incelemek gerekir.
2
f′(x2−4x)f'(x^2 - 4x) ifadesinin pozitif olduğu xx değerleri belirlenir.
x∈(−1,1)∪(3,5)x \in (-1, 1) \cup (3, 5) için f′(x2−4x)>0f'(x^2 - 4x) > 0 ve diğer durumlarda f′(x2−4x)≤0f'(x^2 - 4x) \le 0 olur.
f′(u)f'(u) fonksiyonu yalnızca u∈(−3,5)u \in (-3, 5) için pozitif olduğundan −3<x2−4x<5-3 < x^2 - 4x < 5 eşitsizlik sistemi çözülür.
3
g′(x)=2(x−2)⋅f′(x2−4x)≥0g'(x) = 2(x - 2) \cdot f'(x^2 - 4x) \ge 0 eşitsizliği için işaret tablosu oluşturulur.
İşaret tablosu incelendiğinde g′(x)≥0g'(x) \ge 0 olan aralıklar (−∞,−1]∪[1,2]∪[3,5](-\infty, -1] \cup [1, 2] \cup [3, 5] olarak bulunur.
Çarpanların işaret de��işimleri x=−1,1,2,3,5x = -1, 1, 2, 3, 5 noktalarında gerçekleşir.
4
Sınırlı artanlık aralıklarındaki tam sayılar belirlenip toplanır.
[1,2][1, 2] aralığından 1,21, 2 ve [3,5][3, 5] aralığından 3,4,53, 4, 5 sayıları alınarak toplam 1+2+3+4+5=151+2+3+4+5=15 bulunur.
Soru sınırlı aralıkları istediğinden (−∞,−1](-\infty, -1] aralığı dahil edilmez.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyon türevi yardımıyla artan ve azalan aralıkların bulunması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1913Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu
f(x)={bx2+3,x≤−2∣x2−4∣x+2+ax−1,x>−2f(x) = \begin{cases} bx^2 + 3, & x \le -2 \\ \frac{|x^2 - 4|}{x + 2} + ax - 1, & x > -2 \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.

ff fonksiyonunun x=−2x = -2 noktasında limiti vardır. Ayrıca ff fonksiyonunun x=−2x = -2 noktasındaki limiti, x=1x = 1 noktasındaki limitinden 99 fazladır.

Buna göre, b−ab - a farkı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

3
Fonksiyonun soldan ve sağdan limitleri eşitlenerek a ile b arasında a + 2b = 0 ilişkisi kurulur. İkinci koşuldan yola çıkarak a = -2 ve b = 1 değerlerine ulaşılır. Buradan istenen fark 3 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
x=−2x = -2 noktasındaki sağ ve sol limitler belirlenir.
Sol limit lim⁡x→−2−f(x)=4b+3\lim_{x \to -2^-} f(x) = 4b + 3 ve sağ limit lim⁡x→−2+f(x)=3−2a\lim_{x \to -2^+} f(x) = 3 - 2a olarak bulunur.
Fonksiyonun bu noktada limitinin olması için sağ ve sol limitlerin birbirine eşit olması gerekir.
2
Sağ ve sol limitler birbirine eşitlenerek aa ve bb arasındaki ilk denklem elde edilir.
4b+3=3−2a  ⟹  a+2b=04b + 3 = 3 - 2a \implies a + 2b = 0 denklemi bulunur.
Limit varlığı için sağdan limit soldan limite eşit olmalıdır. Sağ limit hesaplanırken x→−2+x \to -2^+ için x>−2x > -2 olduğundan x2−4<0x^2 - 4 < 0 olur ve mutlak değer dışına işaret değiştirerek çıkar.
3
x=1x = 1 noktasındaki limit değeri hesaplanır.
1>−21 > -2 olduğundan ikinci parça kullanılır ve lim⁡x→1f(x)=a\lim_{x \to 1} f(x) = a elde edilir.
İstenen limit noktası olan 1 değeri kritik nokta değildir ve ikinci parçanın tanım kümesindedir.
4
İkinci koşul kullanılarak aa ve bb değerleri bulunur.
3−2a=a+9  ⟹  a=−23 - 2a = a + 9 \implies a = -2 ve a+2b=0  ⟹  b=1a + 2b = 0 \implies b = 1 elde edilir.
Soruda verilen −2-2 noktasındaki limitin 11 noktasındaki limitten 99 fazla olduğu bilgisi denklemleştirilerek çözülür.
5
b−ab - a farkı hesaplanır.
b−a=1−(−2)=3b - a = 1 - (-2) = 3 olarak bulunur.
Bizden istenen ifade b−ab - a farkıdır.

Anahtar Kavram

Parçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti
Soru 1914Soru →
tan⁡x+tan⁡y=3\tan x + \tan y = 3
cot⁡x+cot⁡y=32\cot x + \cot y = \frac{3}{2}

olduğuna göre, tan⁡(x+y)\tan(x+y) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3; - 3

Cevap

tan⁡(x+y)\tan(x+y) ifadesinin değeri −3-3 olarak bulunur.
Kotanjant toplamı ifadesi ortak paydada yazıldığında tan⁡x+tan⁡ytan⁡x⋅tan⁡y=32\frac{\tan x + \tan y}{\tan x \cdot \tan y} = \frac{3}{2} elde edilir. tan⁡x+tan⁡y=3\tan x + \tan y = 3 eşitliği kullanılarak tan⁡x⋅tan⁡y=2\tan x \cdot \tan y = 2 olarak bulunur. Tanjant toplam formülü uygulandığında ise 31−2=−3\frac{3}{1 - 2} = -3 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Kotanjant fonksiyonlarının tanjant fonksiyonu cinsinden eşitini yazarak paydaları eşitleyelim.
1tan⁡x+1tan⁡y=tan⁡x+tan⁡ytan⁡x⋅tan⁡y=32\frac{1}{\tan x} + \frac{1}{\tan y} = \frac{\tan x + \tan y}{\tan x \cdot \tan y} = \frac{3}{2}
Kotanjant ve tanjant arasındaki cot⁡θ=1tan⁡θ\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} ilişkisini kullanarak tüm terimleri tanjant cinsinden ifade etmek için.
2
Elde edilen denklemde pay kısmındaki tan⁡x+tan⁡y\tan x + \tan y toplamı yerine 33 yazarak tan⁡x⋅tan⁡y\tan x \cdot \tan y çarpımını bulalım.
3tan⁡x⋅tan⁡y=32  ⟹  tan⁡x⋅tan⁡y=2\frac{3}{\tan x \cdot \tan y} = \frac{3}{2} \implies \tan x \cdot \tan y = 2
Tanjant toplam formülünün paydasında yer alan çarpım terimini hesaplamak için.
3
Tanjant toplam formülünü uygulayarak tan⁡(x+y)\tan(x+y) değerini hesaplayalım.
tan⁡(x+y)=tan⁡x+tan⁡y1−tan⁡x⋅tan⁡y=31−2=−3\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \cdot \tan y} = \frac{3}{1 - 2} = -3
Tanjant toplam formülü olan tan⁡(a+b)=tan⁡a+tan⁡b1−tan⁡a⋅tan⁡b\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \cdot \tan b} eşitliğini kullanmak için.

Anahtar Kavram

Tanjant toplam formülü ve temel trigonometrik özdeşlikler
Soru 1915Soru →
lim⁡x→−1x2−x−2x2−1\lim_{x \to -1} \frac{x^2 - x - 2}{x^2 - 1}

ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32\frac{3}{2}

Cevap

Limit değeri 32\frac{3}{2}'dir.
İfadedeki belirsizlik giderildikten sonra elde edilen x−2x−1\frac{x-2}{x-1} kesrinde limit noktasının yerine yazılmasıyla 32\frac{3}{2} değeri elde edilir. Bu nedenle doğru değer 32\frac{3}{2}'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Limit noktası olan x=−1x = -1 değeri fonksiyonda doğrudan yerine yazılarak belirsizlik durumu kontrol edilir.
Pay için (−1)2−(−1)−2=1+1−2=0(-1)^2 - (-1) - 2 = 1 + 1 - 2 = 0 ve payda için (−1)2−1=1−1=0(-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0 elde edilir. Bu durum 00\frac{0}{0} belirsizliğidir.
Limit hesaplamalarında öncelikle doğrudan değer yazarak belirsizlik olup olmadığı tespit edilmelidir.
2
Pay ve paydadaki ifadeler çarpanlarına ayrılarak belirsizliğe yol açan ortak çarpan belirlenir.
Pay ifadesi x2−x−2=(x−2)(x+1)x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) ve payda ifadesi x2−1=(x−1)(x+1)x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) olarak çarpanlarına ayrılır.
Belirsizliği gidermek için pay ve paydayı sıfır yapan ortak terimleri saptamak gerekir.
3
Sıfır değerini üreten ortak (x+1)(x + 1) çarpanları sadeleştirilir ve kalan ifadenin limiti hesaplanır.
lim⁡x→−1(x−2)(x+1)(x−1)(x+1)=lim⁡x→−1x−2x−1=−1−2−1−1=−3−2=32\lim_{x \to -1} \frac{(x - 2)(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \lim_{x \to -1} \frac{x - 2}{x - 1} = \frac{-1 - 2}{-1 - 1} = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2} olarak bulunur.
Belirsizliğe yol açan ortak çarpan sadeleştikten sonra fonksiyon o noktada tanımlı hale gelir ve limit doğrudan yerine yazma yöntemiyle hesaplanabilir.

Anahtar Kavram

0/0 belirsizliği durumunda rasyonel ifadeler çarpanlarına ayrılır, belirsizliğe neden olan ortak çarpanlar sadeleştirilir ve kalan ifadeden limit değeri hesaplanır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 1916Soru →
f(x)=x3−3x2+3x+1f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x + 1

fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0

Cevap

Verilen fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının sayısı sıfırdır.
Fonksiyonun türevi f′(x)=3(x−1)2f'(x) = 3(x-1)^2 olarak bulunur. x=1x=1 türevin çift katlı köküdür ve bu noktanın sağında da solunda da türevin işareti pozitif (+) kalır. Fonksiyon daima artan olup hiçbir noktada ekstremum değerine ulaşmaz. Bu nedenle yerel ekstremum noktalarının sayısı sıfırdır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun birinci türevi alınır.
f′(x)=3x2−6x+3f'(x) = 3x^2 - 6x + 3
Yerel ekstremum noktalarının varlığını ve sayısını belirlemek için öncelikle birinci türev fonksiyonu elde edilmelidir.
2
Elde edilen türev fonksiyonu çarpanlarına ayrılır ve sıfıra eşitlenerek kökleri bulunur.
3(x2−2x+1)=3(x−1)2=0⇒x=13(x^2 - 2x + 1) = 3(x-1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1 (çift katlı kök)
Türev fonksiyonunun işaret tablosunun hazırlanabilmesi için kökler ve bu köklerin katlılık durumları belirlenmelidir.
3
Türev fonksiyonunun işaret tablosu oluşturularak işaret değişimi incelenir.
x=1x = 1 noktasının solunda ve sağında f′(x)>0f'(x) > 0 olduğu için türev işaret değiştirmez. Fonksiyon daima artandır.
Bir noktanın yerel ekstremum noktası olabilmesi için türevin o noktada işaret değiştirmesi (artanlıktan azalanlığa ya da azalanlıktan artanlığa geçmesi) zorunludur.
4
Ekstremum noktalarının toplam sayısı belirlenir.
Türev hiçbir noktada işaret değiştirmediği için fonksiyonun yerel ekstremum noktası yoktur (sayısı 0'dır).
Çift katlı köklerde işaret değişimi gerçekleşmediği için bu noktalar yerel ekstremum oluşturmaz.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarında birinci türevi işaret değiştirmelidir. Çift katlı köklerde işaret değişimi olmadığından bu noktalar ekstremum noktası olamaz.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 1917Soru →
lim⁡x→3x2−2x−3x2−9\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 9} ifadesinin değeri 23\frac{2}{3}'tür.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

İfade doğrudur. Belirsizlik giderildikten sonra limitin değeri 23\frac{2}{3} olarak bulunur.
Verilen limit işleminde oluşan 0/00/0 belirsizliği, pay ve payda çarpanlarına ayrılıp (x−3)(x-3) ifadeleri sadeleştirilerek giderildiğinde limit değeri 23\frac{2}{3} bulunur. Bu nedenle ifade doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Limit noktası olan x=3x = 3 değerini fonksiyonda yerine yazarak belirsizlik durumunu kontrol edin.
32−2(3)−332−9=9−6−39−9=00\frac{3^2 - 2(3) - 3}{3^2 - 9} = \frac{9 - 6 - 3}{9 - 9} = \frac{0}{0} belirsizliği elde edilir.
Doğrudan yerine koyma yöntemi uygulandığında pay ve payda sıfır olduğu için limitin 0/00/0 belirsizliği durumunda olduğu tespit edilir.
2
Pay ve paydadaki ifadeleri çarpanlarına ayırarak belirsizliğe neden olan ortak çarpanı belirleyin.
Pay: x2−2x−3=(x−3)(x+1)x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) ve Payda: x2−9=(x−3)(x+3)x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) olarak çarpanlarına ayrılır.
x→3x \to 3 için hem payı hem de paydayı sıfır yapan çarpan (x−3)(x - 3) ifadesidir. Bu çarpanı sadeleştirmek için çarpanlara ayırma yapılır.
3
Pay ve paydadaki ortak (x−3)(x - 3) çarpanlarını sadeleştirin ve sadeleşmiş ifadeyi yazın.
(x−3)(x+1)(x−3)(x+3)=x+1x+3\frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{x + 1}{x + 3}
Belirsizliğe yol açan ortak çarpan sadeleştirilerek limitin hesaplanabilir bir forma getirilmesi amaçlanır.
4
Sadeleşmiş ifadede xx yerine 33 yazarak limit değerini hesaplayın.
lim⁡x→3x+1x+3=3+13+3=46=23\lim_{x \to 3} \frac{x + 1}{x + 3} = \frac{3 + 1}{3 + 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}
Belirsizlik ortadan kalktığı için artık doğrudan yerine koyma yöntemiyle limit değeri bulunabilir.

Anahtar Kavram

Limitlerde 0/0 Belirsizliği ve Sadeleştirme Yöntemi
Soru 1918Soru →
x∈[0,π]x \in [0, \pi] olmak üzere,
sin⁡(2x)−3cos⁡(2x)=3\sin(2x) - \sqrt{3}\cos(2x) = \sqrt{3}
denkleminin farklı gerçel köklerinin toplamı kaç radyandır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5π6\frac{5\pi}{6}

Cevap

Farklı gerçel köklerin toplamı \frac{5\pi}{6} radyandır.
Denklemin [0,π][0, \pi] aralığındaki farklı gerçel kökleri x=π3x = \frac{\pi}{3} ve x=π2x = \frac{\pi}{2} olarak bulunur. Bu iki kökün toplamı olan 5π6\frac{5\pi}{6} değerini içeren seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemdeki çift açı formüllerini kullanarak ifadeyi çarpanlarına ayırma formatına getirelim.
sin⁡(2x)=2sin⁡(x)cos⁡(x)\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) ve cos⁡(2x)=2cos⁡2(x)−1\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 özdeşliklerini denklemde yerine yazalım:
2sin⁡(x)cos⁡(x)−3(2cos⁡2(x)−1)=32\sin(x)\cos(x) - \sqrt{3}(2\cos^2(x) - 1) = \sqrt{3}
2sin⁡(x)cos⁡(x)−23cos⁡2(x)+3=32\sin(x)\cos(x) - 2\sqrt{3}\cos^2(x) + \sqrt{3} = \sqrt{3}
2sin⁡(x)cos⁡(x)−23cos⁡2(x)=02\sin(x)\cos(x) - 2\sqrt{3}\cos^2(x) = 0
Trigonometrik denklemleri çözmek için ortak çarpan parantezine alarak çarpanlarına ayırmak en temel yöntemlerden biridir.
2
Elde edilen denklemi ortak çarpan parantezine alalım.
2cos⁡(x)(sin⁡(x)−3cos⁡(x))=02\cos(x)(\sin(x) - \sqrt{3}\cos(x)) = 0
Çarpımın sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfıra eşit olması gerekir.
3
Çarpanları ayrı ayrı sıfıra eşitleyerek kökleri bulalım.
1) 2cos⁡(x)=0  ⟹  cos⁡(x)=02\cos(x) = 0 \implies \cos(x) = 0. [0,π][0, \pi] aralığında bu eşitliği sağlayan tek değer x=π2x = \frac{\pi}{2}'dir.

2) sin⁡(x)−3cos⁡(x)=0  ⟹  sin⁡(x)=3cos⁡(x)\sin(x) - \sqrt{3}\cos(x) = 0 \implies \sin(x) = \sqrt{3}\cos(x). Her iki tarafı cos⁡(x)\cos(x)'e bölersek (çünkü cos⁡(x)=0\cos(x) = 0 durumunu ayrı inceledik) tan⁡(x)=3\tan(x) = \sqrt{3} elde ederiz. [0,π][0, \pi] aralığında bu eşitliği sağlayan tek değer x=π3x = \frac{\pi}{3}'tür.
Belirtilen [0,π][0, \pi] tanım aralığındaki tüm gerçel kökleri eksiksiz belirlemek gerekir.
4
Bulunan farklı gerçel köklerin toplamını hesaplayalım.
Ko¨kler toplamı=π3+π2=2π+3π6=5π6\text{Kökler toplamı} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi + 3\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}
Soruda bizden istenen kökler toplamı değerini bulmak.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerin çarpanlara ayırma ve yarım açı formülleri yardımıyla çözülmesi
Soru 1919Soru →
f(x)=(x2+2x)3f(x) = (x^2 + 2x)^3

olduğuna göre, f′(1)f'(1) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 108

Cevap

Doğru cevap 108'dir.
Bileşke fonksiyon türevi alınırken zincir kuralı uygulanır. f(x)=(x2+2x)3f(x) = (x^2 + 2x)^3 fonksiyonunun türevi f′(x)=3(x2+2x)2⋅(2x+2)f'(x) = 3(x^2 + 2x)^2 \cdot (2x + 2) şeklindedir. Burada x=1x = 1 yazıldığında f′(1)=3⋅(1+2)2⋅(2+2)=3⋅9⋅4=108f'(1) = 3 \cdot (1 + 2)^2 \cdot (2 + 2) = 3 \cdot 9 \cdot 4 = 108 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyon türev kuralını uygulayarak fonksiyonun türevini alın.
f′(x)=3(x2+2x)2⋅(2x+2)f'(x) = 3(x^2 + 2x)^2 \cdot (2x + 2)
Zincir kuralı gereğince dıştaki fonksiyonun türevi alınırken içteki ifadenin türevi ile çarpılması gerekir.
2
Türev fonksiyonunda xx yerine 11 yazın.
f′(1)=3(12+2⋅1)2⋅(2⋅1+2)f'(1) = 3(1^2 + 2 \cdot 1)^2 \cdot (2 \cdot 1 + 2)
f′(1)f'(1) değerini bulmak için türev fonksiyonundaki xx değişkenlerinin yerine 11 koyulmalıdır.
3
İşlemleri tamamlayarak nihai sonucu hesaplayın.
108
3⋅9⋅4=1083 \cdot 9 \cdot 4 = 108 çarpımı yapılır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevinde zincir kuralı uygulanır: [g(x)n]′=n⋅g(x)n−1⋅g′(x)[g(x)^n]' = n \cdot g(x)^{n-1} \cdot g'(x)
Soru 1920Soru →

ff gerçel sayılar kümesinde türevlenebilir bir fonksiyon olmak üzere,

h(x)=f(x2+x)h(x) = f(x^2 + x)

eşitliği veriliyor.

f′(2)=5f'(2) = 5 olduğuna göre, h′(1)h'(1) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

15 değeri doğrudur.
Bileşke fonksiyon türev kuralına göre, h(x)=f(g(x))h(x) = f(g(x)) ise h′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) olur. Burada g(x)=x2+xg(x) = x^2 + x olarak seçildiğinde g′(x)=2x+1g'(x) = 2x + 1 olur. Dolayısıyla h′(x)=f′(x2+x)⋅(2x+1)h'(x) = f'(x^2 + x) \cdot (2x + 1) elde edilir. x=1x = 1 için h′(1)=f′(2)⋅3h'(1) = f'(2) \cdot 3 olur. Bize f′(2)=5f'(2) = 5 olarak verildiğinden, h′(1)=5⋅3=15h'(1) = 5 \cdot 3 = 15 bulunur. Bu nedenle 15 cevabı doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının x değişkenine göre türevi alınır.
h′(x)=f′(x2+x)⋅(x2+x)′h'(x) = f'(x^2 + x) \cdot (x^2 + x)' yani h′(x)=f′(x2+x)⋅(2x+1)h'(x) = f'(x^2 + x) \cdot (2x + 1) elde edilir.
Bileşke fonksiyonun türev kuralı (zincir kuralı) gereği, dıştaki fonksiyonun türevi alındıktan sonra içteki fonksiyonun türevi ile çarpılması gerekir.
2
Elde edilen türev denkleminde x yerine 1 yazılır.
h′(1)=f′(12+1)⋅(2⋅1+1)h'(1) = f'(1^2 + 1) \cdot (2 \cdot 1 + 1) yani h′(1)=f′(2)⋅3h'(1) = f'(2) \cdot 3 elde edilir.
Bizden istenen h′(1)h'(1) değerini hesaplamak için denklemde x=1x = 1 noktası değerlendirilir.
3
Verilen f′(2)=5f'(2) = 5 değeri yerine yazılarak çarpma işlemi tamamlanır.
h′(1)=5⋅3=15h'(1) = 5 \cdot 3 = 15 bulunur.
Soruda verilen sayısal değerler kullanılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevi alınırken, dıştaki fonksiyonun türevi içine dokunulmadan yazılır ve bu ifade içteki fonksiyonun türeviyle çarpılır.
ÖncekiSayfa 96 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin