Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 2001Soru →
Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için
h(x)=f(x)⋅g(x)h(x) = f(x) \cdot g(x)
k(x)=f(x)g(x)k(x) = \frac{f(x)}{g(x)}
eşitlikleri sağlanmaktadır.
f(1)=2f(1) = 2 ve g(1)=1g(1) = 1 olmak üzere, hh ve kk fonksiyonlarının türevleri sırasıyla
h′(x)=10xh'(x) = 10x
k′(x)=2[g(x)]2k'(x) = \frac{2}{[g(x)]^2}
biçiminde verilmiştir.

Buna göre, f′(1)+g′(1)f'(1) + g'(1) toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Çarpım ve böl��m türev kuralları uygulanarak elde edilen denklem sisteminin çözümünden f'(1) + g'(1) toplamı 8 olarak bulunur.
Çarpım türev kuralından f′(1)+2g′(1)=10f'(1) + 2g'(1) = 10 ve bölüm türev kuralından f′(1)−2g′(1)=2f'(1) - 2g'(1) = 2 denklemleri elde edilir. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde f′(1)=6f'(1) = 6 ve g′(1)=2g'(1) = 2 bulunur. Toplamları 8 yapmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Çarpım türevi kuralını uygulayarak h'(1) değerini bulunuz.
f′(1)+2g′(1)=10f'(1) + 2g'(1) = 10 denklemi elde edilir.
h(x)=f(x)⋅g(x)h(x) = f(x) \cdot g(x) olduğundan çarpım türevi h′(x)=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x)h'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) şeklindedir. x=1x = 1 için h′(1)=f′(1)⋅g(1)+f(1)⋅g′(1)h'(1) = f'(1) \cdot g(1) + f(1) \cdot g'(1) olur. Verilen f(1)=2f(1) = 2, g(1)=1g(1) = 1 ve h′(1)=10h'(1) = 10 değerleri yerine yazıldığında bu eşitliğe ulaşılır.
2
Bölüm türevi kuralını uygulayarak k'(1) değerini bulunuz.
f′(1)−2g′(1)=2f'(1) - 2g'(1) = 2 denklemi elde edilir.
k(x)=f(x)g(x)k(x) = \frac{f(x)}{g(x)} olduğundan bölüm türevi k′(x)=f′(x)⋅g(x)−f(x)⋅g′(x)[g(x)]2k'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2} şeklindedir. Bize verilen k′(x)=2[g(x)]2k'(x) = \frac{2}{[g(x)]^2} ifadesinden payların eşit olması gerektiği görülür. Buradan f′(x)⋅g(x)−f(x)⋅g′(x)=2f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x) = 2 elde edilir. x=1x = 1 için bilinen değerler yazıldığında denklem kurulur.
3
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini ortak çözünüz.
f′(1)=6f'(1) = 6 ve g′(1)=2g'(1) = 2 olarak bulunur.
f′(1)+2g′(1)=10f'(1) + 2g'(1) = 10 ve f′(1)−2g′(1)=2f'(1) - 2g'(1) = 2 denklemleri taraf tarafa toplandığında 2f′(1)=12  ⟹  f′(1)=62f'(1) = 12 \implies f'(1) = 6 bulunur. Bu değer ilk denklemde yerine yazıldığında 6+2g′(1)=10  ⟹  2g′(1)=4  ⟹  g′(1)=26 + 2g'(1) = 10 \implies 2g'(1) = 4 \implies g'(1) = 2 elde edilir.
4
İstenen toplam değerini hesaplayınız.
f′(1)+g′(1)=6+2=8f'(1) + g'(1) = 6 + 2 = 8 bulunur.
Soru bizden f′(1)f'(1) ve g′(1)g'(1) değerlerinin toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Türev kurallarından çarpımın ve bölümün türevi kurallarının cebirsel olarak uygulanması ve ortak denklem çözümü.
Soru 2002Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−2x+af(x) = x^2 - 2x + a
g(x)=−x2+4x+bg(x) = -x^2 + 4x + b
fonksiyonlarının grafikleri olan paraboller verilmiştir.

f(x)f(x) parabolünün tepe noktasından g(x)g(x) parabolüne çizilen te��et doğruları birbirine diktir.

Buna göre, aa ile bb gerçel sayıları arasındaki bağıntı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a−b=214a - b = \frac{21}{4}

Cevap

a−b=214a - b = \frac{21}{4} bağıntısıdır.
a−b=214a - b = \frac{21}{4} bağıntısı doğrudur çünkü f(x)f(x) parabolünün tepe noktası T(1,a−1)T(1, a-1) olarak belirlendikten sonra bu noktadan geçen teğet doğrularının eğimleri çarpımı −1-1 olarak alındığında elde edilen kökler toplamı ve çarpımı ilişkisi bizi doğrudan bu sonuca ulaştırmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x2−2x+af(x) = x^2 - 2x + a parabolünün tepe noktasının koordinatlarını bulunuz.
Parabolün tepe noktasının apsisi r=−−22(1)=1r = -\frac{-2}{2(1)} = 1 ve ordinatı k=f(1)=12−2(1)+a=a−1k = f(1) = 1^2 - 2(1) + a = a - 1 olur. Dolayısıyla tepe noktası T(1,a−1)T(1, a - 1) noktasıdır.
g(x)g(x) fonksiyonuna bu noktadan teğetler çizileceği için başlangıç noktamız tepe noktasıdır.
2
g(x)=−x2+4x+bg(x) = -x^2 + 4x + b parabolüne üzerindeki bir P(t,g(t))P(t, g(t)) noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemini yazınız.
g′(x)=−2x+4g'(x) = -2x + 4 olduğundan teğetin eğimi m=−2t+4m = -2t + 4 olur. Teğet doğrusunun denklemi y−(−t2+4t+b)=(−2t+4)(x−t)y - (-t^2 + 4t + b) = (-2t + 4)(x - t) olarak bulunur.
Teğet doğrusunun genel denklemini kurmak için türevden yararlanılır.
3
Teğet doğrusunun T(1,a−1)T(1, a - 1) noktasından geçmesi koşulunu uygulayarak tt değişkenine bağlı ikinci dereceden denklemi elde ediniz.
(a−1)−(−t2+4t+b)=(−2t+4)(1−t)(a - 1) - (-t^2 + 4t + b) = (-2t + 4)(1 - t) ifadesi düzenlendiğinde t2−2t+(5−a+b)=0t^2 - 2t + (5 - a + b) = 0 denklemi elde edilir.
TT noktası teğet doğrusu üzerinde olduğundan koordinatları doğru denklemini sağlamak zorundadır.
4
Teğet doğrularının birbirine dik olması koşulunu (m1⋅m2=−1m_1 \cdot m_2 = -1) uygulayarak aa ve bb arasındaki ilişkiyi belirleyiniz.
m1⋅m2=(−2t1+4)(−2t2+4)=4t1t2−8(t1+t2)+16=−1m_1 \cdot m_2 = (-2t_1 + 4)(-2t_2 + 4) = 4t_1 t_2 - 8(t_1 + t_2) + 16 = -1 olur. Bir önceki adımda elde edilen denklemden kökler toplamı t1+t2=2t_1 + t_2 = 2 ve kökler çarpımı t1t2=5−a+bt_1 t_2 = 5 - a + b değerleri yerine yazılırsa: 4(5−a+b)−8(2)+16=−1  ⟹  20−4a+4b=−1  ⟹  4a−4b=21  ⟹  a−b=2144(5 - a + b) - 8(2) + 16 = -1 \implies 20 - 4a + 4b = -1 \implies 4a - 4b = 21 \implies a - b = \frac{21}{4} bağıntısı bulunur.
Birbirine dik doğruların eğimleri çarpımı −1-1'dir ve bu durum kök-katsayı ilişkileriyle çözülebilir.

Anahtar Kavram

Bir eğriye dışındaki bir noktadan çizilen teğet doğrularının denklemlerinin oluşturulması ve bu doğruların birbirine dik olması durumunda eğimler çarpımının -1'e eşitlenmesi.
Soru 2003Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi
f′(x)=x2−5x+4f'(x) = x^2 - 5x + 4
olarak verilmiştir.

Buna göre, g(x)=f(x2)g(x) = f(x^2) fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralıklardan biri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [0,1][0, 1]

Cevap

Fonksiyonun artan olduğu en geniş aralıklardan biri [0, 1] aralığıdır.
Doğru seçenekte sunulan [0, 1] aralığı, g′(x)=2x(x2−4)(x2−1)≥0g'(x) = 2x(x^2-4)(x^2-1) \ge 0 eşitsizliğinin çözüm kümesinde yer alan artanlık aralıklarından biridir. Yapılan türev analizi ve işaret tablosu sonucunda bu aralıkta türevin pozitif veya sıfır olduğu doğrulanmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türevini almak için zincir kuralını uygulayınız.
g′(x)=2x⋅f′(x2)g'(x) = 2x \cdot f'(x^2)
g(x)=f(x2)g(x) = f(x^2) fonksiyonunun türevi zincir kuralı gereği dıştaki fonksiyonun türevi ile içinin türevinin çarpımına eşittir.
2
f′(x)f'(x) fonksiyonunda xx yerine x2x^2 yazarak f′(x2)f'(x^2) ifadesini bulunuz ve çarpanlarına ayırınız.
f′(x2)=(x2)2−5(x2)+4=(x2−4)(x2−1)=(x−2)(x+2)(x−1)(x+1)f'(x^2) = (x^2)^2 - 5(x^2) + 4 = (x^2-4)(x^2-1) = (x-2)(x+2)(x-1)(x+1)
g′(x)g'(x) ifadesini tamamen çarpanlarına ayrılmış biçimde yazıp kökleri bulmak için.
3
g′(x)=0g'(x) = 0 denkleminin köklerini bulup işaret tablosunu oluşturunuz.
Kökler küçükten büyüğe: −2,−1,0,1,2-2, -1, 0, 1, 2 olup işaret tablosunda en sağ aralık (x>2x > 2) pozitif (+) ile başlar ve her tek katlı kökte işaret değişir.
Türevin işaretini belirleyerek fonksiyonun artan (g′(x)≥0g'(x) \ge 0) ve azalan (g′(x)≤0g'(x) \le 0) olduğu aralıkları tespit etmek için.
4
g′(x)≥0g'(x) \ge 0 olan aralıkları belirleyiniz.
Fonksiyonun artan olduğu aralıklar [−2,−1]∪[0,1]∪[2,∞)[-2, -1] \cup [0, 1] \cup [2, \infty) olarak bulunur.
Türevin sıfırdan büyük veya eşit olduğu aralıklar fonksiyonun artan olduğu aralıklardır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların türevi yardımıyla artanlık ve azalanlık aralıklarının belirlenmesi.
Soru 2004Soru →

x>0x > 0 olmak üzere, f(x)=x3−3x2+4xf(x) = x^3 - 3x^2 + 4\sqrt{x} fonksiyonunun x=4x = 4 noktasındaki türevinin değerini bulunuz.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

Türev fonksiyonunda x=4x = 4 değeri yerine yazıldığında elde edilen sonuç 25'tir.
Fonksiyonun türevi f′(x)=3x2−6x+2xf'(x) = 3x^2 - 6x + \frac{2}{\sqrt{x}} olarak bulunur. Bu fonksiyonda x=4x = 4 yazıldığında f′(4)=3(16)−6(4)+1=25f'(4) = 3(16) - 6(4) + 1 = 25 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Türev alma kurallarını uygulayarak fonksiyonun genel türevini bulunuz.
f′(x)=3x2−6x+2xf'(x) = 3x^2 - 6x + \frac{2}{\sqrt{x}}
Polinom terimler için (xn)′=n⋅xn−1(x^n)' = n \cdot x^{n-1} kuralı ve köklü terim için (x)′=12x(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}} kuralı uygulanmı��tır.
2
Elde edilen türev fonksiyonunda xx yerine 44 yazarak değeri hesaplayınız.
f′(4)=25f'(4) = 25
f′(4)=3(42)−6(4)+24=48−24+1=25f'(4) = 3(4^2) - 6(4) + \frac{2}{\sqrt{4}} = 48 - 24 + 1 = 25 işlemiyle sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Temel türev alma kuralları kullanılarak polinom ve köklü ifadelerin türevinin hesaplanması.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 2005Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x)=x2+ax+bx2+1f(x) = \frac{x^2 + ax + b}{x^2 + 1}

fonksiyonunun mutlak maksimum noktası (1,2)(1, 2)'dir.

Buna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

İstenen çarpım değeri 22 olarak bulunur.
Doğru yanıt olan 22 değeri, fonksiyonun (1,2)(1, 2) noktasını sağlamasıyla elde edilen a+b=3a+b=3 denklemi ile bu noktada türevin sıfır olmasından gelen b=1b=1 bilgisinin birleştirilmesiyle bulunur. Buradan a=2a=2 ve a⋅b=2a \cdot b = 2 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
f(1)=2f(1) = 2 eşitliğini kurarak aa ve bb arasındaki ilk denklemi elde etmek.
a+b=3a + b = 3
(1,2)(1, 2) noktası fonksiyon grafiği üzerinde yer aldığı için fonksiyon denklemini sağlamak zorundadır.
2
f(x)f(x) fonksiyonunun türevini alıp x=1x = 1 noktasında sıfıra eşitlemek.
f′(1)=0f'(1) = 0 ve buradan b=1b = 1
(1,2)(1, 2) noktası bir yerel ekstremum noktasıdır ve fonksiyon tüm gerçel sayılarda türevlenebilir olduğundan bu noktada türev sıfır olmalıdır.
3
a+b=3a + b = 3 denkleminde b=1b = 1 değerini yerine yazarak aa değerini bulmak.
a=2a = 2
İki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek bilinmeyen katsayıları tamamlamak.
4
aa ve bb değerlerini çarparak istenen sonucu hesaplamak.
a⋅b=2a \cdot b = 2
Soru kökündeki çarpım ifadesini tamamlamak.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun yerel ve mutlak ekstremum noktalarında türevin sıfır olması ve fonksiyonun değerinin bulunması.
Soru 2006Soru →
f(x)=13x3−4x2+16x−5f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x^2 + 16x - 5 fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0

Cevap

Fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının sayısı 0'dır.
Verilen fonksiyonun türevi alındığında f′(x)=(x−4)2f'(x) = (x-4)^2 elde edilir. Bu ifadenin kökü olan x=4x = 4 bir çift katlı köktür. Çift katlı köklerin sağında ve solunda türevin işareti değişmeyip pozitif kalmaya devam ettiği için fonksiyon bu noktada artışını sürdürür. Dolayısıyla, fonksiyonun yerel ekstremum noktası yoktur ve sayısı sıfırdır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun birinci türevini alalım.
f′(x)=x2−8x+16f'(x) = x^2 - 8x + 16
Yerel ekstremum noktalarını belirlemek için öncelikle fonksiyonun türevinin işaret incelemesini yapmalıyız.
2
Türevi sıfıra eşitleyerek kritik noktaları bulalım.
x2−8x+16=0  ⟹  (x−4)2=0  ⟹  x=4x^2 - 8x + 16 = 0 \implies (x - 4)^2 = 0 \implies x = 4 (çift katlı kök)
Türevin sıfır olduğu noktalar yerel ekstremum noktası olmaya aday kritik noktalardır.
3
Türevin işaret tablosunu inceleyelim.
x=4x = 4 noktasının solunda ve sağında f′(x)>0f'(x) > 0 olduğundan türev işaret değiştirmez. Fonksiyon daima artandır.
Bir kritik noktanın yerel ekstremum noktası olabilmesi için türevin o noktada işaret değiştirmesi gerekir. Çift katlı köklerde işaret değişmediğinden x=4x = 4 noktası bir ekstremum noktası değildir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun türevinin sıfır oldu��u bir noktada yerel ekstremum olabilmesi için türevin o noktada işaret değiştirmesi gerekir. Çift katlı köklerde türevin işareti değişmediği için yerel ekstremum noktası oluşmaz.
Soru 2007Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları tanımlanmıştır. y=g(x)y = g(x) fonksiyonunun grafiğine x=−2x = -2 apsisli noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi y=2x+7y = 2x + 7 olarak verilmektedir.

f(x)=g(x2−3x)f(x) = g(x^2 - 3x)
h(x)=f(x2−f(x))h(x) = f(x^2 - f(x))

olduğuna göre, h′(2)h'(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -4

Cevap

-4
Doğru cevap olan −4-4 değeri, y=g(x)y = g(x) fonksiyonuna çizilen teğet doğrusunun eğiminden g′(−2)=2g'(-2) = 2 ve temas noktasından g(−2)=3g(-2) = 3 değerleri elde edildikten sonra, f(x)f(x) ve h(x)h(x) fonksiyonlarının türevlerinin zincir kuralına uygun şekilde alınması ve elde edilen değerlerin yerine konulmasıyla bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet doğrusunun denkleminden g(−2)g(-2) ve g′(−2)g'(-2) değerlerini elde etme.
g(−2)=3g(-2) = 3 ve g′(−2)=2g'(-2) = 2
y=g(x)y = g(x) fonksiyonuna x=−2x = -2 apsisli noktasından çizilen teğet doğrusu y=2x+7y = 2x + 7 olduğundan, bu noktanın ordinatı doğrunun denklemini sağlar: g(−2)=2(−2)+7=3g(-2) = 2(-2) + 7 = 3. Teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşit olduğundan g′(−2)=2g'(-2) = 2 bulunur.
2
f(x)f(x) fonksiyonunun türevini alarak f(2)f(2), f′(2)f'(2) ve f′(1)f'(1) değerlerini hesaplama.
f(2)=3f(2) = 3, f′(2)=2f'(2) = 2 ve f′(1)=−2f'(1) = -2
f(x)=g(x2−3x)f(x) = g(x^2 - 3x) için x=2x = 2 yazıldığında f(2)=g(22−3(2))=g(−2)=3f(2) = g(2^2 - 3(2)) = g(-2) = 3 olur. Bileşke fonksiyonun türev kuralına göre f′(x)=g′(x2−3x)⋅(2x−3)f'(x) = g'(x^2 - 3x) \cdot (2x - 3) elde edilir. x=2x = 2 için f′(2)=g′(−2)⋅(2(2)−3)=2⋅1=2f'(2) = g'(-2) \cdot (2(2) - 3) = 2 \cdot 1 = 2 ve x=1x = 1 için f′(1)=g′(−2)⋅(2(1)−3)=2⋅(−1)=−2f'(1) = g'(-2) \cdot (2(1) - 3) = 2 \cdot (-1) = -2 hesaplanır.
3
h(x)=f(x2−f(x))h(x) = f(x^2 - f(x)) fonksiyonunun türevini alıp x=2x = 2 değerini yerine yazma.
h′(2)=−4h'(2) = -4
h(x)=f(x2−f(x))h(x) = f(x^2 - f(x)) ifadesinde zincir kuralı uygulanırsa, türev h′(x)=f′(x2−f(x))⋅(2x−f′(x))h'(x) = f'(x^2 - f(x)) \cdot (2x - f'(x)) olarak bulunur. x=2x = 2 yazıldığında h′(2)=f′(4−f(2))⋅(4−f′(2))h'(2) = f'(4 - f(2)) \cdot (4 - f'(2)) elde edilir. Önceki adımlarda bulunan değerler yerine yazıldığında h′(2)=f′(4−3)⋅(4−2)=f′(1)⋅2=−2⋅2=−4h'(2) = f'(4 - 3) \cdot (4 - 2) = f'(1) \cdot 2 = -2 \cdot 2 = -4 sonucuna ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı

Alternatif Yöntem

Zincir kuralını daha net görmek için değişken değiştirmesi yapılabilir. Örneğin, u=x2−f(x)u = x^2 - f(x) denilirse h(x)=f(u)h(x) = f(u) olur. Buradan türev alındığında h′(x)=dfdu⋅dudx=f′(u)⋅(2x−f′(x))h'(x) = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx} = f'(u) \cdot (2x - f'(x)) elde edilir. Benzer şekilde f(x)=g(t)f(x) = g(t) ve t=x2−3xt = x^2 - 3x tanımlamaları ile türev adımları daha izole ve hatasız bir şekilde sürdürülebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 2008Soru →
x−y=π4x - y = \frac{\pi}{4} olmak üzere, tan⁡x=3\tan x = 3 olduğuna göre, cot⁡y\cot y değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İstenen cot y değeri 2'dir.
Verilen x−y=π4x - y = \frac{\pi}{4} eşitliğinden yararlanarak tan⁡(x−y)=1\tan(x - y) = 1 olduğu bulunur. Tanjant fark formülü açılıp tan⁡x=3\tan x = 3 değeri yerine yazıldığında tan⁡y=12\tan y = \frac{1}{2} elde edilir. Kotanjant, tanjantın çarpmaya göre tersi olduğundan cot⁡y=2\cot y = 2 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
x−y=π4x - y = \frac{\pi}{4} eşitliğinin her iki tarafının tanjantını alarak tanjant fark formülünü uygulayınız.
tan⁡(x−y)=tan⁡(π4)=1\tan(x - y) = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 elde edilir.
xx ve yy açıları arasındaki ilişkiyi tanjant değerlerine aktarabilmek için.
2
Tanjant fark formülü olan tan⁡(x−y)=tan⁡x−tan⁡y1+tan⁡x⋅tan⁡y\tan(x - y) = \frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x \cdot \tan y} ifadesinde bilinen değerleri yerine yazınız.
1=3−tan⁡y1+3tan⁡y1 = \frac{3 - \tan y}{1 + 3\tan y} denklemi elde edilir.
Verilen tan⁡x=3\tan x = 3 değerini kullanarak tan⁡y\tan y değerini bulmak için.
3
Elde edilen denklemi içler dışlar çarpımı yaparak tan⁡y\tan y için çözünüz.
1+3tan⁡y=3−tan⁡y  ⟹  4tan⁡y=2  ⟹  tan⁡y=121 + 3\tan y = 3 - \tan y \implies 4\tan y = 2 \implies \tan y = \frac{1}{2} bulunur.
tan⁡y\tan y değerini belirlemek için.
4
cot⁡y=1tan⁡y\cot y = \frac{1}{\tan y} özdeşliğini kullanarak cot⁡y\cot y değerini hesaplayınız.
cot⁡y=11/2=2\cot y = \frac{1}{1/2} = 2 bulunur.
Soruda istenen kotanjant değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Tanjant fark formülü ve tanjant ile kotanjant arasındaki çarpmaya göre terslik ilişkisi.
Soru 2009Soru →

Türevlenebilir bir gg fonksiyonu için g(2)=3g(2) = 3 ve f(x)=x2−3x+4f(x) = x^2 - 3x + 4 olmak üzere,

lim⁡x→2f(x)g(x)−6x−2=11 \lim_{x \to 2} \frac{f(x)g(x) - 6}{x - 2} = 11

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre,

lim⁡h→0g(2+3h)−g(2−5h)h \lim_{h \to 0} \frac{g(2 + 3h) - g(2 - 5h)}{h}

limitinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

Verilen limit ifadesinin türev tanımıyla ilişkisi kurularak çarpımın türevi yardımıyla g′(2)=4g'(2) = 4 bulunur. İstenen limit düzenlendiğinde 8g′(2)8g'(2) değerine eşit olduğundan sonuç 32'dir.
Limit tanımı gereği, lim⁡x→2f(x)g(x)−f(2)g(2)x−2\lim_{x \to 2} \frac{f(x)g(x) - f(2)g(2)}{x - 2} ifadesi (f⋅g)′(2)(f \cdot g)'(2) türev değerini verir. Buradan elde edilen denklem çözülerek g′(2)=4g'(2) = 4 bulunur. İstenen limit ifadesi h→0h \to 0 için 8g′(2)8g'(2) olarak sadeleşir. 8⋅48 \cdot 4 işlemiyle doğru cevap 3232 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
f(2)f(2) değerini hesaplama ve limitin türev tanımıyla ilişkisini kurma
f(2)=22−3(2)+4=2f(2) = 2^2 - 3(2) + 4 = 2 olup f(2)g(2)=2⋅3=6f(2)g(2) = 2 \cdot 3 = 6 elde edilir. Bu durumda verilen limit, h(x)=f(x)g(x)h(x) = f(x)g(x) çarpım fonksiyonunun x=2x = 2 noktasındaki türev tanımıdır:

h′(2)=lim⁡x→2f(x)g(x)−f(2)g(2)x−2=11 h'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{f(x)g(x) - f(2)g(2)}{x - 2} = 11
Verilen limitin 0/00/0 belirsizliği içerdiğini görmek ve limit tanımını çarpım fonksiyonunun türevi cinsinden yazmak için.
2
Çarpımın türevi kuralını uygulayarak g′(2)g'(2) değerini elde etme
h′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) olduğundan h′(2)=f′(2)g(2)+f(2)g′(2)=11h'(2) = f'(2)g(2) + f(2)g'(2) = 11 olur.

f′(x)=2x−3  ⟹  f′(2)=1f'(x) = 2x - 3 \implies f'(2) = 1 değerini yerine yazarsak:

1⋅3+2⋅g′(2)=11  ⟹  2g′(2)=8  ⟹  g′(2)=4 1 \cdot 3 + 2 \cdot g'(2) = 11 \implies 2g'(2) = 8 \implies g'(2) = 4 bulunur.
g′(2)g'(2) değerine ulaşmak için ��arpımın türevi formülünden yararlanmak gerekir.
3
İstenen limit ifadesini düzenleme
lim⁡h→0g(2+3h)−g(2−5h)h=lim⁡h→0g(2+3h)−g(2)−(g(2−5h)−g(2))h \lim_{h \to 0} \frac{g(2 + 3h) - g(2 - 5h)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{g(2 + 3h) - g(2) - (g(2 - 5h) - g(2))}{h}

=3⋅lim⁡h→0g(2+3h)−g(2)3h−(−5)⋅lim⁡h→0g(2−5h)−g(2)−5h = 3 \cdot \lim_{h \to 0} \frac{g(2 + 3h) - g(2)}{3h} - (-5) \cdot \lim_{h \to 0} \frac{g(2 - 5h) - g(2)}{-5h}

=3g′(2)+5g′(2)=8g′(2) = 3g'(2) + 5g'(2) = 8g'(2)
Limit ifadesini türevin limit tanımına benzeterek sadeleştirmek için.
4
Nihai sonucu hesaplama
8g′(2)=8⋅4=328g'(2) = 8 \cdot 4 = 32 elde edilir.
Elde edilen g′(2)g'(2) değerini yerine yazarak nihai sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Türevin limit tanımı ve çarpım fonksiyonunun türevi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2010Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi
f′(x)=3x2−2x+4f'(x) = 3x^2 - 2x + 4
olarak verilmiştir.

f(1)=5f(1) = 5 olduğuna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

İntegral sabiti doğru hesaplandığında elde edilen fonksiyon yardımıyla aranan değer 13 olarak bulunur.
Verilen türev fonksiyonunun belirsiz integrali alındığında f(x)=x3−x2+4x+Cf(x) = x^3 - x^2 + 4x + C ifadesine ulaşılır. f(1)=5f(1) = 5 başlangıç koşulu yerine yazıldığında 1−1+4+C=51 - 1 + 4 + C = 5 denklemi elde edilir ve buradan C=1C = 1 bulunur. Fonksiyonun kuralı f(x)=x3−x2+4x+1f(x) = x^3 - x^2 + 4x + 1 olarak belirlenir. Bu fonksiyonda x=2x = 2 yazıldığında sonuç 8−4+8+1=138 - 4 + 8 + 1 = 13 olmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Türevi verilen fonksiyonun belirsiz integralini alarak fonksiyonun genel kuralını yazın.
f(x)=∫(3x2−2x+4) dx=x3−x2+4x+Cf(x) = \int (3x^2 - 2x + 4) \, dx = x^3 - x^2 + 4x + C (burada CC bir gerçel sayı olan integral sabitidir)
Türevi bilinen bir fonksiyonun kendisini elde etmek için belirsiz integral kuralları uygulanır.
2
f(1)=5f(1) = 5 başlangıç koşulunu kullanarak integral sabiti olan CC değerini hesaplayın.
f(1)=13−12+4(1)+C=5  ⟹  4+C=5  ⟹  C=1f(1) = 1^3 - 1^2 + 4(1) + C = 5 \implies 4 + C = 5 \implies C = 1
İntegral sabitinin tek bir değere sahip olması için verilen özel nokta denklemde yerine yazılır.
3
Belirlenen f(x)=x3−x2+4x+1f(x) = x^3 - x^2 + 4x + 1 fonksiyonunda x=2x = 2 yazarak sonucu bulun.
f(2)=23−22+4(2)+1=8−4+8+1=13f(2) = 2^3 - 2^2 + 4(2) + 1 = 8 - 4 + 8 + 1 = 13
Fonksiyonun kuralı tamamen bulunduktan sonra istenen girdi değeri yerine yazılarak sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Türevi verilen bir fonksiyonun belirsiz integral alma kuralları kullanılarak elde edilmesi ve başlangıç koşulu yardımıyla integral sabitinin bulunması.
Soru 2011Soru →
f(x)=x2−x+4f(x) = x^2 - x + 4 eğrisinin x=3x = 3 apsisli noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Verilen fonksiyonun belirtilen noktadaki teğetinin eğimi 5'tir.
Teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun teğet noktasındaki birinci türev değeridir. f′(x)=2x−1f'(x) = 2x - 1 olup, x=3x = 3 için bu değer f′(3)=5f'(3) = 5 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Türev fonksiyonunun bulunması
f′(x)=2x−1f'(x) = 2x - 1
Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, o noktadaki birinci türev değerine eşittir.
2
Türev fonksiyonunda x = 3 değerinin yerine yazılması
f′(3)=2(3)−1=5f'(3) = 2(3) - 1 = 5
Teğet noktasının apsisi 3 olduğu için türevde x yerine 3 yazılarak teğet doğrusunun eğimi (m) elde edilir.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumuna göre bir fonksiyonun grafiğine üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o nokmadaki türevine eşittir.
Tahmini Süre:45s
Soru 2012Soru →
x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi] olmak üzere,
cos⁡(2x)−5sin⁡(x)−3=0\cos(2x) - 5\sin(x) - 3 = 0
denklemini sağlayan farklı xx gerçel sayılarının toplamı kaç radyandır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3π3\pi

Cevap

3π3\pi (Kökler toplamı 3π3\pi radyandır)
Denklemde yarım açı formülü uygulanıp düzenleme yapıldığında 2sin⁡2(x)+5sin⁡(x)+2=02\sin^2(x) + 5\sin(x) + 2 = 0 denklemine ulaşıl��r. Bu denklem çarpanlarına (2sin⁡(x)+1)(sin⁡(x)+2)=0(2\sin(x) + 1)(\sin(x) + 2) = 0 şeklinde ayrılır. Sinüs fonksiyonunun değer kümesi [−1,1][-1, 1] olduğundan, sin⁡(x)=−2\sin(x) = -2 eşitliğini sağlayan bir gerçel sayı yoktur. Buradan sin⁡(x)=−1/2\sin(x) = -1/2 elde edilir. Bu eşitliği [0,2π][0, 2\pi] aralığında sağlayan açılar 7π6\frac{7\pi}{6} ve 11π6\frac{11\pi}{6} radyan olup, bu değerlerin toplamı 3π3\pi radyandır.

Adım Adım Çözüm

1
Yarım açı formülü kullanılarak denklemdeki tüm trigonometrik ifadeler aynı türden yazılır.
cos⁡(2x)=1−2sin⁡2(x)\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) dönüşümü yapılarak denklem 1−2sin⁡2(x)−5sin⁡(x)−3=01 - 2\sin^2(x) - 5\sin(x) - 3 = 0 hâline getirilir.
Denklemi çözebilmek için tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden ifade etmek gerekir.
2
Denklem düzenlenerek ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem formuna dönüştürülür ve çarpanlarına ayrılır.
2sin⁡2(x)+5sin⁡(x)+2=0  ⟹  (2sin⁡(x)+1)(sin⁡(x)+2)=02\sin^2(x) + 5\sin(x) + 2 = 0 \implies (2\sin(x) + 1)(\sin(x) + 2) = 0 elde edilir.
İkinci dereceden denklemin köklerini bulmak için çarpanlara ayırma yöntemi uygulanır.
3
Her bir çarpan sıfıra eşitlenerek olası sin⁡(x)\sin(x) değerleri belirlenir ve fonksiyonun değer kümesi sınırlarına göre kontrol edilir.
sin⁡(x)=−2\sin(x) = -2 için reel kök yoktur (−1≤sin⁡(x)≤1-1 \leq \sin(x) \leq 1 olduğundan). sin⁡(x)=−12\sin(x) = -\frac{1}{2} denkleminin ise gerçel kökleri vardır.
Sinüs fonksiyonunun değer aralığı dışındaki değerler için reel kök oluşmayacağını belirlemek gerekir.
4
[0,2π][0, 2\pi] aralığında sin⁡(x)=−12\sin(x) = -\frac{1}{2} denklemini sağlayan kökler bulunur ve bu köklerin toplamı hesaplanır.
Kökler x1=7π6x_1 = \frac{7\pi}{6} ve x2=11π6x_2 = \frac{11\pi}{6} olup, toplamları 7π6+11π6=3π\frac{7\pi}{6} + \frac{11\pi}{6} = 3\pi radyandır.
İstenen aralıktaki tüm kökleri bulup toplam değerine ulaşmak hedeflenir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Denklemler
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2013Soru →
f(x)=(x2−3)(x+1)f(x) = (x^2 - 3)(x + 1)

fonksiyonu veriliyor.

Buna göre, f′(2)f'(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

13
Çarpım türevi kuralı kullanılarak türev fonksiyonu f′(x)=2x(x+1)+(x2−3)f'(x) = 2x(x+1) + (x^2-3) olarak elde edilir. Bu fonksiyonda x=2x = 2 yazıldığında f′(2)=13f'(2) = 13 sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Çarpımın türevi kuralı uygulanır.
f′(x)=(x2−3)′⋅(x+1)+(x2−3)⋅(x+1)′f'(x) = (x^2 - 3)' \cdot (x + 1) + (x^2 - 3) \cdot (x + 1)'
Çarpım durumundaki iki fonksiyonun türevi [u(x)⋅v(x)]′=u′(x)⋅v(x)+u(x)⋅v′(x)[u(x) \cdot v(x)]' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) kuralı ile bulunur.
2
Parantez içindeki ifadelerin türevleri alınır.
f′(x)=2x(x+1)+(x2−3)⋅1f'(x) = 2x(x + 1) + (x^2 - 3) \cdot 1
(x2−3)′=2x(x^2 - 3)' = 2x ve (x+1)′=1(x + 1)' = 1 olduğu için temel türev alma kuralları uygulanır.
3
Türev fonksiyonunda xx yerine 22 yazılır.
f′(2)=2(2)(2+1)+(22−3)=4(3)+1=13f'(2) = 2(2)(2 + 1) + (2^2 - 3) = 4(3) + 1 = 13
İstenen x=2x = 2 noktasındaki türev değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

Çarpım durumundaki fonksiyonların türevini çarpım kuralı ile hesaplama
Soru 2014Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için her xx gerçel sayısı için g(x)≠0g(x) \neq 0’dır.

h(x)=f(x)⋅g(x)h(x) = f(x) \cdot g(x)

k(x)=f(x)g(x)k(x) = \frac{f(x)}{g(x)}

olmak üzere, her xx gerçel sayısı için

h′(x)+[g(x)]2⋅k′(x)=12x2+4h'(x) + [g(x)]^2 \cdot k'(x) = 12x^2 + 4
h′(x)−[g(x)]2⋅k′(x)=8xh'(x) - [g(x)]^2 \cdot k'(x) = 8x

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, f′(2)⋅g(2)−f(2)⋅g′(2)f'(2) \cdot g(2) - f(2) \cdot g'(2) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

İstenen f′(2)⋅g(2)−f(2)⋅g′(2)f'(2) \cdot g(2) - f(2) \cdot g'(2) ifadesinin değeri 18'dir.
Verilen fonksiyonların çarpım ve bölüm türevleri alındığında cebirsel düzenlemeler ile f′(x)g(x)=6x2+2f'(x)g(x) = 6x^2 + 2 ve f(x)g′(x)=4xf(x)g'(x) = 4x eşitliklerine ulaşılır. x=2x=2 için bu ifadeler sırasıyla 26 ve 8 değerlerini alır. İstenen fark hesaplandığında 18 cevabına ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Çarpım ve bölüm türevi kurallarını kullanarak h′(x)h'(x) ve k′(x)k'(x) türevlerini yazın.
h′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) ve k′(x)=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)[g(x)]2k'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}
Soruda verilen fonksiyon bileşenlerinin türevlerini cebirsel olarak ifade etmek için bu kurallar gereklidir.
2
k′(x)k'(x) ifadesini [g(x)]2[g(x)]^2 ile çarparak sadeleştirin.
[g(x)]2⋅k′(x)=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)[g(x)]^2 \cdot k'(x) = f'(x)g(x) - f(x)g'(x)
Bölüm türevinin paydasındaki [g(x)]2[g(x)]^2 terimini sadeleştirmek için bu işlem uygulanır.
3
Verilen iki denklemi taraf tarafa toplayarak f′(x)g(x)f'(x)g(x) ifadesini yalnız bırakın.
2f′(x)g(x)=12x2+4  ⟹  f′(x)g(x)=6x2+22f'(x)g(x) = 12x^2 + 4 \implies f'(x)g(x) = 6x^2 + 2
Toplama işlemiyle −f(x)g′(x)-f(x)g'(x) ve +f(x)g′(x)+f(x)g'(x) terimleri birbirini sıfırlar.
4
Verilen iki denklemi taraf tarafa çıkararak f(x)g′(x)f(x)g'(x) ifadesini yalnız bırakın.
2f(x)g′(x)=8x  ⟹  f(x)g′(x)=4x2f(x)g'(x) = 8x \implies f(x)g'(x) = 4x
Çıkarma işlemiyle f′(x)g(x)f'(x)g(x) terimleri birbirini sıfırlar.
5
x=2x = 2 yazarak elde edilen değerlerin farkını hesaplayın.
f′(2)g(2)−f(2)g′(2)=26−8=18f'(2)g(2) - f(2)g'(2) = 26 - 8 = 18
x=2x=2 için f′(2)g(2)=26f'(2)g(2) = 26 ve f(2)g′(2)=8f(2)g'(2) = 8 değerleri bulunur ve farkları alınır.

Anahtar Kavram

Çarpım ve bölüm türevi kurallarının cebirsel denklem sistemlerinde uygulanması
Soru 2015Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−2x−3f(x) = x^2 - 2x - 3 parabolüne üzerindeki olmayan P(0,−7)P(0, -7) noktasından çizilen teğet doğrularının parabolü kestiği (teğet değme) noktalar AA ve BB olarak adlandırılıyor.

Buna göre; köşeleri PP, AA ve BB noktaları olan PABPAB üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Köşeleri P(0,−7)P(0, -7), A(2,−3)A(2, -3) ve B(−2,5)B(-2, 5) olan PABPAB üçgeninin alanı 1616 birimkaredir.
Parabole dışındaki P(0,−7)P(0, -7) noktasından çizilen teğetlerin değme noktaları A(2,−3)A(2, -3) ve B(−2,5)B(-2, 5) olarak bulunur. Köşeleri PP, AA ve BB olan üçgenin alanı koordinat metodu ile 1616 birimkare olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün türevini alarak teğet noktasındaki eğimi ifade etme.
f′(x)=2x−2f'(x) = 2x - 2 olduğundan, tt apsisli teğet noktasındaki teğet doğrusunun eğimi m=2t−2m = 2t - 2 olur.
Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.
2
Teğet doğrusunun denklemini yazma ve dışındaki P(0,−7)P(0, -7) noktasını bu denklemde yerine yazarak teğet noktalarının apsislerini bulma.
−7−(t2−2t−3)=(2t−2)(0−t)  ⟹  t2=4  ⟹  t=2-7 - (t^2 - 2t - 3) = (2t - 2)(0 - t) \implies t^2 = 4 \implies t = 2 ve t=−2t = -2 elde edilir.
Teğet doğrusu P(0,−7)P(0, -7) noktasından geçtiği için bu noktanın koordinatları teğet doğrusunun denklemini sağlamak zorundadır.
3
Teğet noktaları AA ve BB'nin koordinatlarını belirleme.
t=2t = 2 için A(2,−3)A(2, -3) ve t=−2t = -2 için B(−2,5)B(-2, 5) noktaları elde edilir.
Teğet noktalarının ordinatlarını bulmak için apsis değerleri parabol denkleminde yerine yazılır.
4
Köşe koordinatları bilinen PABPAB üçgeninin alanını hesaplama.
Alan(PAB)=12∣2(12)−(−2)(−4)∣=16\text{Alan}(PAB) = \frac{1}{2} |2(12) - (-2)(-4)| = 16 birimkare bulunur.
Köşeleri P(0,−7)P(0, -7), A(2,−3)A(2, -3) ve B(−2,5)B(-2, 5) olan üçgenin alanı, koordinat düzleminde determinant yöntemi veya vektörel alan formülüyle hesaplanabilir.

Anahtar Kavram

Parabole dışındaki bir noktadan çizilen teğet doğrularının denklemlerinin bulunması ve analitik düzlemde köşe koordinatları bilinen üçgenin alan hesabı.
Soru 2016Soru →

Dik koordinat düzleminde,

f(x)=4xf(x) = \frac{4}{x}

eğrisine üzerindeki x=2x = 2 apsisli noktasından çizilen normal doğrusunun eğimi kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Eğrinin x=2x = 2 noktasındaki normal doğrusunun eğimi 11'dir.
Fonksiyonun türevi f′(x)=−4x2f'(x) = -\frac{4}{x^2} olarak bulunur. x=2x = 2 apsisli noktadaki teğetin eğimi mt=f′(2)=−1m_t = f'(2) = -1'dir. Teğet ve normal doğruları birbirine dik olduğundan eğimleri çarpımı −1-1 olmalıdır. Buradan normalin eğimi mn=1m_n = 1 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevini alın.
f′(x)=−4x2f'(x) = -\frac{4}{x^2}
Bir eğrinin üzerindeki bir noktadaki teğetinin eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir.
2
Teğet noktasının apsisi olan x=2x = 2 değerini türev fonksiyonunda yerine yazarak teğet doğrusunun eğimini (mtm_t) hesaplayın.
mt=f′(2)=−422=−1m_t = f'(2) = -\frac{4}{2^2} = -1
Teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun teğet noktasındaki türev değeridir.
3
Teğet doğrusu ile normal doğrusu birbirine dik olduğu için eğimleri çarpımının −1-1 olması kuralını kullanarak normal doğrusunun eğimini (mnm_n) bulun.
mt⋅mn=−1  ⟹  −1⋅mn=−1  ⟹  mn=1m_t \cdot m_n = -1 \implies -1 \cdot m_n = -1 \implies m_n = 1
Dik doğruların eğimleri çarpımı −1-1'dir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun grafiğine üzerindeki bir noktadan çizilen normal doğrusunun eğimi, o noktadaki teğet doğrusunun eğiminin çarpmaya göre tersinin ters işaretlisidir.
Soru 2017Soru →

Gerçel say��lar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi olan f′f' fonksiyonunun grafiği, xx-eksenini yalnızca x=−2x = -2 ve x=3x = 3 noktalarında kesen kolları yukarı doğru bir paraboldür.

g(x)=f(x2−2x)g(x) = f(x^2 - 2x)

biçiminde tanımlanan gg fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralıklardan biri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [−1,1][-1, 1]

Cevap

Bileşke fonksiyonun türevi olan g′(x)=2(x−1)f′(x2−2x)g'(x) = 2(x-1)f'(x^2-2x) ifadesinin işaret tablosu oluşturulduğunda, fonksiyonun artan olduğu aralıklardan biri [−1,1][-1, 1] kapalı aralığıdır.
Bileşke fonksiyonun türevi olan g′(x)=2(x−1)f′(x2−2x)g'(x) = 2(x-1)f'(x^2-2x) ifadesinin işaret tablosu incelendiğinde; x=−1x = -1, x=1x = 1 ve x=3x = 3 noktaları kritik noktalardır. Bu tablonun pozitif işaretli olduğu en geniş aralıklardan biri [−1,1][-1, 1] kapalı aralığıdır. Dolayısıyla fonksiyon bu aralıkta artandır.

Adım Adım Çözüm

1
g(x)g(x) fonksiyonunun türevi zincir kuralı kullanılarak alınır.
g′(x)=(2x−2)⋅f′(x2−2x)g'(x) = (2x - 2) \cdot f'(x^2 - 2x)
Bileşke fonksiyonun artanlık ve azalanlık durumunu incelemek için türev fonksiyonu elde edilmelidir.
2
Türevi sıfır yapan kritik noktalar (kökler) bulunur.
x=1x = 1, x=−1x = -1 ve x=3x = 3
2(x−1)=0⇒x=12(x-1) = 0 \Rightarrow x = 1 olur. Grafik kolları yukarı doğru olan ve xx-eksenini sadece −2-2 ve 33 noktalarında kesen bir parabol olduğundan, f′(u)=0⇒u=−2f'(u) = 0 \Rightarrow u = -2 veya u=3u = 3 olmalıdır. Buradan x2−2x=−2⇒x2−2x+2=0x^2 - 2x = -2 \Rightarrow x^2 - 2x + 2 = 0 denkleminin gerçel kökü yoktur (Δ<0\Delta < 0). Diğer taraftan x2−2x=3⇒x2−2x−3=0⇒(x−3)(x+1)=0x^2 - 2x = 3 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+1) = 0 denkleminden x=−1x = -1 ve x=3x = 3 kökleri bulunur.
3
g′(x)g'(x) için işaret tablosu hazırlanır.
x<−1x < -1 için g′(x)<0g'(x) < 0, −1<x<1-1 < x < 1 için g′(x)>0g'(x) > 0, 1<x<31 < x < 3 için g′(x)<0g'(x) < 0 ve x>3x > 3 için g′(x)>0g'(x) > 0 bulunur.
f′(t)f'(t) fonksiyonu, kolları yukarı doğru olan ve kökleri −2-2 ile 33 olan bir parabol olduğundan t>3t > 3 için pozitif, −2<t<3-2 < t < 3 için negatiftir. Buradan x>3x > 3 için x2−2x>3⇒f′(x2−2x)>0x^2-2x > 3 \Rightarrow f'(x^2-2x) > 0 ve 2(x−1)>02(x-1) > 0 olup türev pozitiftir. Diğer aralıklar da benzer şekilde çarpanların işaretleri incelenerek doldurulur.
4
Türevin pozitif veya sıfır oldu��u aralıklar artan aralıklar olarak belirlenir.
gg fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralıklar [−1,1][-1, 1] ve [3,∞)[3, \infty) olarak tespit edilir.
Bir fonksiyon türevinin pozitif olduğu aralıklarda artandır. Seçeneklerde verilen aralıklardan [−1,1][-1, 1] bu aralıklardan biridir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların türevi yardımıyla artan ve azalan oldukları aralıkların bulunması.
Soru 2018Soru →
aa ve bb gerçel sayılar olmak üzere,
lim⁡x→0acos⁡x+b−2x2=1\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{a\cos x + b} - 2}{x^2} = 1
eşitliği sağlanmaktad��r.

Buna göre, b−ab - a farkı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

İstenen b−ab - a farkının değeri 2020 olarak bulunur.
Limit ifadesinde 0/00/0 belirsizliği kullanılarak a+b=4a + b = 4 bulunur. Payın eşleniği ile genişletilmesi ve lim⁡x→0cos⁡x−1x2=−12\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} = -\frac{1}{2} limitinin uygulanmasıyla limit değeri −a8-\frac{a}{8} olarak hesaplanır. Limit 1'e eşit olduğundan a=−8a = -8 ve b=12b = 12 elde edilir. Bu değerlerle fark 12−(−8)=2012 - (-8) = 20 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Paydanın sıfıra yaklaşması ve limitin bir gerçel sayı olması durumunu inceleme.
x→0x \to 0 iken payda sıfıra gittiğinden, limitin var olabilmesi için payın da sıfıra gitmesi gerekir. Buradan acos⁡(0)+b−2=0  ⟹  a+b=2  ⟹  a+b=4\sqrt{a\cos(0) + b} - 2 = 0 \implies \sqrt{a + b} = 2 \implies a + b = 4 elde edilir.
Belirsizlik durumu (0/00/0) oluşmadığı sürece paydanın sıfır olduğu durumda limit bir gerçel sayı olamaz.
2
Köklü ifadedeki belirsizliği gidermek için payı eşleniği ile çarpıp bölme.
lim⁡x→0(acos⁡x+b−2)(acos⁡x+b+2)x2(acos⁡x+b+2)=lim⁡x→0acos⁡x+b−4x2(acos⁡x+b+2)\lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{a\cos x + b} - 2)(\sqrt{a\cos x + b} + 2)}{x^2(\sqrt{a\cos x + b} + 2)} = \lim_{x \to 0} \frac{a\cos x + b - 4}{x^2(\sqrt{a\cos x + b} + 2)}
a+b=4  ⟹  b−4=−aa + b = 4 \implies b - 4 = -a eşitliği kullanılarak pay kısmı a(cos⁡x−1)a(\cos x - 1) olarak yazılır.
Kareköklü limitlerde 0/00/0 belirsizliğini gidermek için eşlenik ile çarpma yöntemi uygulanır.
3
Trigonometrik limit özelliklerini kullanarak limit değerini hesaplama.
lim⁡x→0a(cos⁡x−1)x2(acos⁡x+b+2)=lim⁡x→0cos⁡x−1x2⋅lim⁡x→0aacos⁡x+b+2\lim_{x \to 0} \frac{a(\cos x - 1)}{x^2(\sqrt{a\cos x + b} + 2)} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{a}{\sqrt{a\cos x + b} + 2}
lim⁡x→0cos⁡x−1x2=−12\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} = -\frac{1}{2} ve paydadaki köklü kısım 2+2=42 + 2 = 4 değerine gittiğinden limit:
−12⋅a4=−a8-\frac{1}{2} \cdot \frac{a}{4} = -\frac{a}{8} olarak bulunur.
Yarım açı formülleri veya temel limit kuralları ile belirsizlik çözülür.
4
Limit değerini 1'e eşitleyerek a ve b parametrelerini çözüp istenen farkı bulma.
−a8=1  ⟹  a=−8-\frac{a}{8} = 1 \implies a = -8 bulunur. Buradan a+b=4  ⟹  −8+b=4  ⟹  b=12a + b = 4 \implies -8 + b = 4 \implies b = 12 elde edilir. Sonuç olarak b−a=12−(−8)=20b - a = 12 - (-8) = 20 bulunur.
Bulunan limit ifadesi verilen gerçek limit değerine eşitlenerek parametreler elde edilir.

Anahtar Kavram

0/0 belirsizliği durumlarında eşlenik çarpımı ve trigonometrik limit yardımıyla belirsizliğin giderilmesi.
Soru 2019Soru →
x∈[0,π]x \in [0, \pi] olmak üzere,
sin⁡(2x)−2cos⁡(x)=0\sin(2x) - \sqrt{2}\cos(x) = 0
denkleminin farklı gerçel köklerinin sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Denkleminin [0,π][0, \pi] aralığındaki farklı gerçel köklerinin sayısı 3'tür.
Verilen denklem yarım açı formülü yardımıyla çarpanlarına ayrıldığında kosinüsü sıfır veya sinüsü kök iki bölü iki olan değerler aranır. [0,π][0, \pi] aralğında bu şartları sağlayan üç farklı gerçel sayı değeri mevcuttur.

Adım Adım Çözüm

1
Yarım açı formülü kullanılarak denklem düzenlenir.
2sin⁡(x)cos⁡(x)−2cos⁡(x)=02\sin(x)\cos(x) - \sqrt{2}\cos(x) = 0
sin⁡(2x)=2sin⁡(x)cos⁡(x)\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) yarım açı özdeşliğini denklemde yerine koyarak ortak çarpan parantezine alabilmek için.
2
Denklem ortak çarpan parantezine alınır.
cos⁡(x)(2sin⁡(x)−2)=0\cos(x)(2\sin(x) - \sqrt{2}) = 0
Çarpım durumundaki ifadenin sıfıra eşit olması için çarpanların ayrı ayrı sıfıra eşitlenmesi gerekir.
3
Her bir çarpan sıfıra eşitlenerek kökler bulunur.
cos⁡(x)=0⇒x=π2\cos(x) = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} ve sin⁡(x)=22⇒x=π4\sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} veya x=3π4x = \frac{3\pi}{4}
[0,π][0, \pi] aralığındaki kosinüsü sıfır ve sinüsü 22\frac{\sqrt{2}}{2} olan değerleri belirlemek için.
4
Köklerin aralıkta olup olmadığı kontrol edilir ve toplam kök sayısı bulunur.
x1=π4,x2=π2,x3=3π4x_1 = \frac{\pi}{4}, x_2 = \frac{\pi}{2}, x_3 = \frac{3\pi}{4} olmak üzere 3 farklı gerçel kök vardır.
Bulunan tüm köklerin verilen [0,π][0, \pi] aralığına ait ve birbirinden farklı olduğunu doğrulamak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerin yarım açı formülleri ve çarpanlara ayırma yöntemiyle çözülmesi ve belirli bir aralıktaki kök sayısının belirlenmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2020Soru →
∫(3x2−4x+1) dx\int (3x^2 - 4x + 1) \, dx

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x3−2x2+x+Cx^3 - 2x^2 + x + C

Cevap

x3−2x2+x+Cx^3 - 2x^2 + x + C
Verilen integral ifadesindeki terimler tek tek entegre edildiğinde 3x23x^2 terimi x3x^3 ifadesine, −4x-4x terimi −2x2-2x^2 ifadesine ve 11 sabit terimi de xx ifadesine dönüşür. Belirsiz integralin tanımı gereği sonucun sonuna mutlaka bir integral sabiti (+C+C) eklenmelidir. Bu işlemler sonucunda doğru ifade x3−2x2+x+Cx^3 - 2x^2 + x + C olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Belirsiz integralin terim terim ayrılabilme özelliğini uygulayın.
∫3x2 dx−∫4x dx+∫1 dx\int 3x^2 \, dx - \int 4x \, dx + \int 1 \, dx
Toplam ve fark durumundaki ifadelerin integrali, her bir terimin ayrı ayrı integrallerinin toplamına veya farkına eşittir.
2
Her bir terim için polinom integral alma kuralını (üssü 1 artırıp yeni üsse bölme) uygulayın.
3⋅x33−4⋅x22+1⋅x3 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 1 \cdot x
n≠−1n \neq -1 olmak üzere ∫xn dx=xn+1n+1\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} temel integral alma kuralıdır.
3
Katsayıları sadeleştirin ve ifadenin sonuna integral sabiti olan CC'yi ekleyin.
x3−2x2+x+Cx^3 - 2x^2 + x + C
Belirsiz integralde türevi sıfır olan sabit sayıları temsil etmesi amacıyla sonuca her zaman CC sabit sayısı eklenir.

Anahtar Kavram

Polinom tipindeki ifadelerin belirsiz integrali ve integral sabiti
ÖncekiSayfa 101 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin