Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 2021Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)={ax2+bx,x<12,x=1∣x2−5x+c∣,x>1f(x) = \begin{cases} a x^2 + b x, & x < 1 \\ 2, & x = 1 \\ |x^2 - 5x + c|, & x > 1 \end{cases}
fonksiyonu x=1x = 1 noktasında türevlenebilirdir.

Buna göre, c<4c < 4 olmak üzere, a−b+ca - b + c ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

2
Doğru yanıt 2 değeridir. x = 1 noktasında süreklilikten a + b = 2 ve c = 2 bulunur. x = 1'in sağ komşuluğunda mutlak değerin içi negatif olduğundan fonksiyon f(x) = -x^2 + 5x - 2 olarak dışarı çıkar ve sağ türev 3 olur. Sol türev 2a + b olduğuna göre 2a + b = 3 eşitliğinden a = 1 ve b = 1 elde edilir. Böylece a - b + c = 2 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun x = 1 noktasındaki sürekliliğini inceleyin.
Süreklilik şartı gereği sol limit, sağ limit ve fonksiyonun o noktadaki değeri eşit olmalıdır: lim⁡x→1−f(x)=lim⁡x→1+f(x)=f(1)=2\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = 2. Buradan a+b=2a + b = 2 ve ∣c−4∣=2|c - 4| = 2 denklemleri elde edilir.
Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilir olması için o noktada sürekli olması zorunludur.
2
c parametresinin değerini belirleyin.
∣c−4∣=2|c - 4| = 2 denkleminden c−4=2  ⟹  c=6c - 4 = 2 \implies c = 6 veya c−4=−2  ⟹  c=2c - 4 = -2 \implies c = 2 bulunur. Soruda verilen c<4c < 4 koşulu nedeniyle c=2c = 2 olarak seçilir.
Mutlak değerli denklemin çözüm kümesindeki elemanlardan verilen tanım aralığına uygun olanı seçilmelidir.
3
Sağ ve sol türevleri hesaplayarak birbirine eşitleyin.
Sol türev: f−′(1)=2a+bf'_{-}(1) = 2a + b. Sağ türev için c=2c = 2 yazıldığında x2−5x+2x^2 - 5x + 2 ifadesi x=1x = 1 noktasında negatif olduğundan mutlak değer dışına önüne eksi alarak çıkar: f(x)=−x2+5x−2f(x) = -x^2 + 5x - 2. Buradan sağ türev f+′(1)=−2(1)+5=3f'_{+}(1) = -2(1) + 5 = 3 olur. Türevlenebilirlik için 2a+b=32a + b = 3 olmalıdır.
Sürekli bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilmesi için o noktadaki sağ ve sol türevlerinin var ve birbirine eşit olması gerekir.
4
Elde edilen denklem sistemini çözün ve istenen ifadeyi hesaplayın.
a+b=2a + b = 2 ve 2a+b=32a + b = 3 denklemlerinden a=1a = 1 ve b=1b = 1 bulunur. Buradan a−b+c=1−1+2=2a - b + c = 1 - 1 + 2 = 2 elde edilir.
Bilinmeyen parametreler bulunduktan sonra soruda sorulan cebirsel ifadenin değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilir olması için o noktada sürekli olması ve o noktadaki sağ ve sol türevlerinin birbirine eşit olması gerekir.
Soru 2022Soru →

Her xx gerçel sayısı için türevlenebilir bir ff fonksiyonunun kuralı f(x)=x3−ax2+3xf(x) = x^3 - ax^2 + 3x biçimindedir.

lim⁡h→0f(2+3h)−f(2−h)2h=14\lim_{h \to 0} \frac{f(2+3h) - f(2-h)}{2h} = 14

olduğuna g��re, aa sabitinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

a sabitinin değeri 2'dir.
Limit tanımı gereği lim⁡h→0f(2+3h)−f(2−h)2h=2f′(2)\lim_{h \to 0} \frac{f(2+3h) - f(2-h)}{2h} = 2f'(2) olur. Buradan 2f′(2)=14  ⟹  f′(2)=72f'(2) = 14 \implies f'(2) = 7 elde edilir. Fonksiyonun türevi alınıp x=2x = 2 yazıldığında f′(2)=15−4a=7f'(2) = 15 - 4a = 7 denklemi elde edilir. Bu denklem çözüldüğünde a=2a = 2 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Limit ifadesini türevin limit tanımına dönüştürmek
Limit ifadesinin değeri 2f′(2)2f'(2) olarak bulunur.
Türevin limit tanımını uygulayabilmek için limiti uygun katsayılarla parçalara ayırdık.
2
Verilen limit değerini kullanarak f′(2)f'(2) türev değerini bulmak
f′(2)=7f'(2) = 7
2f′(2)=142f'(2) = 14 denklemini çözerek x=2x = 2 noktasındaki türev değerini elde ettik.
3
Fonksiyonun türevini alıp x=2x = 2 yazarak aa değerini hesaplamak
a=2a = 2
f′(2)=15−4af'(2) = 15 - 4a ifadesini 77 değerine eşitleyerek aa parametresini bulduk.

Anahtar Kavram

Türevin limit tanımı yardımıyla türev değerinin belirlenmesi ve polinom fonksiyonun türevi.
Soru 2023Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu
f(x)=x2−3x+2 f(x) = x^2 - 3x + 2
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre,
lim⁡x→2f(x2−2)−f(2)x−2 \lim_{x \to 2} \frac{f(x^2 - 2) - f(2)}{x - 2}
limitinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

4 değeri doğru cevaptır.
Limit ifadesini türevin limit tanımına uygun hâle getirmek için payı ve paydayı (x2−2)−2=x2−4(x^2 - 2) - 2 = x^2 - 4 terimini elde edecek şekilde düzenleriz. Bunun için ifadeyi x2−4x−2\frac{x^2 - 4}{x - 2} ile çarparız. Bu durumda limit, f′(2)⋅lim⁡x→2(x+2)=f′(2)⋅4f'(2) \cdot \lim_{x \to 2}(x+2) = f'(2) \cdot 4 olur. f′(x)=2x−3f'(x) = 2x - 3 olduğundan f′(2)=1f'(2) = 1 olur ve limitin değeri 44 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Limit ifadesini türevin limit tanımına benzetmek için uygun çarpanı belirleme.
lim⁡x→2f(x2−2)−f(2)x−2=lim⁡x→2[f(x2−2)−f(2)x2−4⋅x2−4x−2]\lim_{x \to 2} \frac{f(x^2 - 2) - f(2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \left[ \frac{f(x^2 - 2) - f(2)}{x^2 - 4} \cdot \frac{x^2 - 4}{x - 2} \right] ifadesi elde edilir.
Türevin limit tanımı olan lim⁡u→af(u)−f(a)u−a=f′(a)\lim_{u \to a} \frac{f(u) - f(a)}{u - a} = f'(a) yapısını oluşturmak için.
2
Değişken değiştirme ve sadeleştirme işlemlerini yapma.
u=x2−2u = x^2 - 2 dönüşümü yapıldığında x→2x \to 2 iken u→2u \to 2 olur. Diğer yandan x2−4x−2=x+2\frac{x^2 - 4}{x - 2} = x + 2 olur.
Belirsizliği gidermek ve türev limit tanımını doğrudan uygulamak için.
3
Limit değerini f′(2)f'(2) cinsinden yazma.
Limit ifadesi lim⁡u→2f(u)−f(2)u−2⋅lim⁡x→2(x+2)=f′(2)⋅4\lim_{u \to 2} \frac{f(u) - f(2)}{u - 2} \cdot \lim_{x \to 2} (x+2) = f'(2) \cdot 4 şekline gelir.
Dönüştürülmüş limitleri hesaplamak için.
4
f′(2)f'(2) değerini hesaplayarak sonucu bulma.
f′(x)=2x−3f'(x) = 2x - 3 olduğundan f′(2)=1f'(2) = 1 olur. Buradan limit değeri 1⋅4=41 \cdot 4 = 4 bulunur.
Fonksiyonun türev kuralını uygulayarak sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Türevin limit tanımı ve değişken dönüşümü yardımıyla limit hesaplama.

Alternatif Yöntem

Limit ifadesine L'Hôpital kuralı uygulanarak payın ve paydanın xx değişkenine göre türevi alınabilir. Payın türevi f′(x2−2)⋅2xf'(x^2 - 2) \cdot 2x, paydanın türevi ise 11'dir. x=2x = 2 için limit f′(2)⋅41=4⋅f′(2)\frac{f'(2) \cdot 4}{1} = 4 \cdot f'(2) olur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2024Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−4x+5f(x) = x^2 - 4x + 5 parabolünün x=3x = 3 apsisli noktasındaki teğet doğrusunun xx eksenini kestiği noktanın apsisi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Teğet doğrusunun xx eksenini kestiği noktanın apsisi 2'dir.
Parabolün x=3x = 3 apsisli noktasındaki teğetinin eğimi f′(3)=2f'(3) = 2 olup teğet noktası (3,2)(3, 2)'dir. Teğet doğrusunun denklemi y=2x−4y = 2x - 4 olarak elde edilir. Bu doğrunun xx eksenini kestiği noktayı bulmak için y=0y = 0 yazıldığında x=2x = 2 değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet noktasının y-koordinatını bulmak
y=2y = 2 (f(3)=2f(3) = 2)
Teğet noktasının koordinatlarını belirlemek gerekir.
2
Fonksiyonun türevini almak
f′(x)=2x−4f'(x) = 2x - 4
Teğet doğrusunun eğimini bulmak için türev fonksiyonu gereklidir.
3
Türevde x=3x = 3 yazarak teğet eğimini hesaplamak
m=2m = 2
Bir noktadaki teğetin eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir.
4
Teğet doğrusunun denklemini oluşturmak
y=2x−4y = 2x - 4
Noktası ve eğimi bilinen doğru denklemi formülü (y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1)) uygulanır.
5
Teğet doğrusunun xx eksenini kestiği noktayı bulmak
x=2x = 2
Bir doğrunun xx eksenini kestiği noktada ordinat değeri sıfırdır (y=0y = 0).

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu gereğince bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.
Soru 2025Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi

f′(x)=(x−3)2(x+2)(x−4)f'(x) = (x-3)^2(x+2)(x-4)

olarak verilmiştir. Buna göre, ff fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralığın uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

f fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralığın uzunluğu 6 birimdir.
Türev fonksiyonunun işaret tablosunda, x=3x = 3 çift katlı kökünde işaret değişimi olmaması nedeniyle türevin negatif veya sıfır olduğu en geniş aralık [−2,4][-2, 4] kapalı aralığıdır. Bu aralığın uzunluğu da 4−(−2)=64 - (-2) = 6 birim olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Türev fonksiyonunun köklerinin belirlenmesi
x=−2x = -2 (tek katlı), x=3x = 3 (çift katlı) ve x=4x = 4 (tek katlı) kökleri elde edilir.
f′(x)=0f'(x) = 0 eşitliğini sağlayan kritik noktalar bulunarak işaret değişim sınırları belirlenir.
2
Türevin işaret tablosunun oluşturulması
x∈(4,∞)x \in (4, \infty) için f′(x)>0f'(x) > 0, x∈(3,4)x \in (3, 4) için f′(x)<0f'(x) < 0, x∈(−2,3)x \in (-2, 3) için f′(x)<0f'(x) < 0 ve x∈(−∞,−2)x \in (-\infty, -2) için f′(x)>0f'(x) > 0 bulunur.
x=3x = 3 çift katlı kökünde işaretin korunacağı göz önünde bulundurularak işaret tablosu doldurulur.
3
En geniş azalanlık aralığının tespit edilmesi
Azalan olduğu en geniş aralık [−2,4][-2, 4] olarak belirlenir.
f′(x)≤0f'(x) \leq 0 koşulunu sağlayan aralıklar sürekli fonksiyonlarda uç noktaları da kapsayacak şekilde birleştirilir.
4
Aralık uzunluğunun hesaplanması
4−(−2)=64 - (-2) = 6
Belirlenen aralığın uç noktaları arasındaki fark hesaplanarak uzunluk elde edilir.

Anahtar Kavram

Sürekli bir fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralık, türevinin sıfırdan küçük veya eşit olduğu yerlerin birleşimiyle elde edilir. Çift katlı köklerde türev işaret değiştirmez.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2026Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir f(x)=x3−3x2+2f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 ve g(x)=x2+5g(x) = \sqrt{x^2 + 5} fonksiyonları veriliyor.

h(x)=(f∘g)(2x)h(x) = (f \circ g)(2x)

olduğuna göre, h′(1)h'(1) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Doğru cevap 12'dir.
Doğru cevap 12'dir. Zincir kuralı uygulandığında h′(1)=f′(g(2))⋅g′(2)⋅2h'(1) = f'(g(2)) \cdot g'(2) \cdot 2 elde edilir. İlgili fonksiyonların değerleri hesaplandığında g(2)=3g(2) = 3, g′(2)=23g'(2) = \frac{2}{3} ve f′(3)=9f'(3) = 9 bulunur. Bu değerlerin çarpımı 9⋅23⋅2=129 \cdot \frac{2}{3} \cdot 2 = 12 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türevi için zincir kuralını uygulayın.
h′(x)=f′(g(2x))⋅g′(2x)⋅2h'(x) = f'(g(2x)) \cdot g'(2x) \cdot 2
Zincir kuralı gereği, dıştaki fonksiyonun türevi alınırken içteki ifadelerin türevleri sırasıyla çarpım olarak eklenir.
2
g(2)g(2) ve g′(2)g'(2) değerlerini hesaplayın.
g(2)=3g(2) = 3 ve g′(2)=23g'(2) = \frac{2}{3}
g(x)=x2+5g(x) = \sqrt{x^2+5} fonksiyonunda x=2x=2 yazılır ve fonksiyonun türevi alınarak türevinde de x=2x=2 yazılır.
3
f′(3)f'(3) değerini hesaplayın.
f′(3)=9f'(3) = 9
f(x)=x3−3x2+2f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 fonksiyonunun türevi olan f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x ifadesinde x=g(2)=3x = g(2) = 3 yazılır.
4
Elde edilen değerleri yerine koyarak sonucu hesaplayın.
h′(1)=12h'(1) = 12
h′(1)=f′(g(2))⋅g′(2)⋅2=9⋅23⋅2=12h'(1) = f'(g(2)) \cdot g'(2) \cdot 2 = 9 \cdot \frac{2}{3} \cdot 2 = 12 elde edilir.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı
Soru 2027Soru →
Tüm gerçel sayılarda türevlenebilen ff ve gg fonksiyonları arasında
f(x2−2x)=(x2+1)⋅g(2−x)f(x^2 - 2x) = (x^2 + 1) \cdot g(2 - x)
ilişkisi bulunmaktadır.
g(0)=5g(0) = 5 ve g′(0)=2g'(0) = 2 olduğuna göre,
h(x)=f(x2−2x)g(x2−4)h(x) = \frac{f(x^2 - 2x)}{g(x^2 - 4)}
fonksiyonunun x=2x = 2 noktasındaki türevinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -6

Cevap

-6
Doğru cevap olan -6 değeri; sırasıyla çarpım, bölüm ve zincir türev kurallarının doğru şekilde uygulanması, x = 2 noktasındaki iç türevlerin hesaba katılması ve elde edilen değerlerin yerlerine yazılmasıyla bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
f(x2−2x)=(x2+1)⋅g(2−x)f(x^2 - 2x) = (x^2 + 1) \cdot g(2 - x) eşitliğinde her iki tarafın xx'e göre türevi alınır.
f′(x2−2x)⋅(2x−2)=2x⋅g(2−x)−(x2+1)⋅g′(2−x)f'(x^2 - 2x) \cdot (2x - 2) = 2x \cdot g(2-x) - (x^2 + 1) \cdot g'(2-x)
Eşitliğin her iki tarafının türevi birbirine eşittir; sol tarafta zincir kuralı, sağ tarafta ise çarpım ve zincir kuralları uygulanır.
2
Elde edilen türev eşitliğinde x=2x = 2 yazılarak f′(0)f'(0) değeri bulunur.
2⋅f′(0)=4⋅g(0)−5⋅g′(0)  ⟹  2⋅f′(0)=4(5)−5(2)  ⟹  f′(0)=52 \cdot f'(0) = 4 \cdot g(0) - 5 \cdot g'(0) \implies 2 \cdot f'(0) = 4(5) - 5(2) \implies f'(0) = 5
x=2x = 2 değeri, f′f' fonksiyonunun içini 00 yapar ve bilinen g(0)g(0) ile g′(0)g'(0) değerlerini kullanmamızı sağlar.
3
Orijinal eşitlikte x=2x = 2 yazılarak f(0)f(0) değeri bulunur.
f(0)=(22+1)⋅g(0)  ⟹  f(0)=5⋅5=25f(0) = (2^2 + 1) \cdot g(0) \implies f(0) = 5 \cdot 5 = 25
h′(2)h'(2) ifadesinin hesaplanması sırasında f(0)f(0) değerine ihtiyaç duyulacaktır.
4
h(x)=f(x2−2x)g(x2−4)h(x) = \frac{f(x^2 - 2x)}{g(x^2 - 4)} fonksiyonunun bölümün türevi kuralı kullanılarak türevi alınır ve x=2x = 2 yazılır.
h′(x)=[f′(x2−2x)⋅(2x−2)]⋅g(x2−4)−f(x2−2x)⋅[g′(x2−4)⋅2x][g(x2−4)]2h'(x) = \frac{[f'(x^2 - 2x) \cdot (2x - 2)] \cdot g(x^2 - 4) - f(x^2 - 2x) \cdot [g'(x^2 - 4) \cdot 2x]}{[g(x^2 - 4)]^2} ve buradan h′(2)=2f′(0)⋅g(0)−f(0)⋅4g′(0)[g(0)]2h'(2) = \frac{2 f'(0) \cdot g(0) - f(0) \cdot 4 g'(0)}{[g(0)]^2} elde edilir.
Bölüm durumundaki bir fonksiyonun türevini almak için b��lümün türevi ve zincir kuralı kuralları birleştirilir.
5
Bulunan f(0)=25f(0) = 25, f′(0)=5f'(0) = 5, g(0)=5g(0) = 5 ve g′(0)=2g'(0) = 2 değerleri h′(2)h'(2) ifadesinde yerine yazılır.
h′(2)=2(5)⋅5−25⋅4(2)52=50−20025=−6h'(2) = \frac{2(5) \cdot 5 - 25 \cdot 4(2)}{5^2} = \frac{50 - 200}{25} = -6
Gerekli tüm değerler yerine konularak aritmetik işlem tamamlanır ve sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Temel Türev Alma Kuralları (Bölüm, Çarpım ve Zincir Kuralları)
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 2028Soru →

f:R∖{2}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{2\} \rightarrow \mathbb{R} olmak üzere,

f(x)=x3−2x2x−2f(x) = \frac{x^3 - 2x^2}{x - 2}

fonksiyonunun yerel minimum noktasının apsisi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0

Cevap

Yerel minimum noktasının apsisi 0'dır.
Fonksiyon x≠2x \neq 2 için sadeleştirildiğinde f(x)=x2f(x) = x^2 halini alır. Bu fonksiyonun birinci türevi f′(x)=2xf'(x) = 2x olur. Türevin kökü x=0x = 0 olup, bu noktada türevin işareti negatiften pozitife geçtiği için x=0x = 0 apsisli nokta fonksiyonun yerel minimum noktasıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun tanım kümesini inceleyelim ve sadeleştirme yapalım.
x≠2x \neq 2 için f(x)=x2(x−2)x−2=x2f(x) = \frac{x^2(x - 2)}{x - 2} = x^2 olur.
İşlemleri kolaylaştırmak ve türev almayı sadeleştirmek amacıyla ortak çarpan parantezine alarak sadeleştirme yaparız.
2
Sadeleştirilmiş fonksiyonun türevini alalım.
f′(x)=2xf'(x) = 2x (x≠2x \neq 2)
Ekstremum noktalarını bulmak için fonksiyonun birinci türevini incelememiz gerekir.
3
Türevin köklerini bulup işaret tablosunu inceleyelim.
f′(x)=2x=0⇒x=0f'(x) = 2x = 0 \Rightarrow x = 0 bulunur. İşaret tablosunda x<0x < 0 için f′(x)<0f'(x) < 0 ve x>0x > 0 için f′(x)>0f'(x) > 0 olur.
Türevin işaret değiştirdiği noktaları ve bu noktalardaki artanlık-azalanlık durumunu belirlemek için.
4
Türevin işaret değişimine göre yerel minimum noktasını belirleyelim.
x=0x = 0 noktasında türevin işareti negatiften pozitife değiştiği için bu nokta bir yerel minimum noktasıdır. Dolay��sıyla yerel minimum noktasının apsisi 0'dır.
Bir fonksiyonun türevinin işaretinin negatiften pozitife döndüğü tanımlı noktalar yerel minimum noktalarıdır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun tanımlı olduğu aralıkta yerel minimum noktası, birinci türevinin işaretinin negatiften pozitife döndüğü noktadır. Rasyonel fonksiyonlarda tanımsız olunan noktalar ekstremum noktası olamaz.
Soru 2029Soru →

aa ve bb gerçel sayılar olmak üzere, ff fonksiyonu x<2x < 2 için

f(x)=∣x2−2x∣x−2+af(x) = \frac{|x^2 - 2x|}{x - 2} + a

ve x≥2x \ge 2 için

f(x)=2x−bf(x) = 2x - b

biçiminde tanımlanıyor.

ff fonksiyonunun x=2x = 2 noktasında limiti olduğuna göre, a+ba + b toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

6
Doğru seçenekteki 6 değeri, sol limit ve sağ limitin birbirine eşitlenmesiyle bulunur. x→2−x \to 2^- yaklaşımında x<2x < 2 olduğundan x2−2x<0x^2 - 2x < 0 olur ve mutlak değer dışına önüne eksi alarak çıkar. Sadeleştirme yapıldığında sol limit −2+a-2 + a olur. x→2+x \to 2^+ yaklaşımında ise limit 4−b4 - b bulunur. Eşitlikten a+b=6a + b = 6 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
x=2x = 2 noktasındaki sol limiti bulmak için x<2x < 2 durumunu inceleme ve mutlak değerin işaretini belirleme.
x→2−x \to 2^- için x<2x < 2 olduğundan x2−2x=x(x−2)<0x^2 - 2x = x(x-2) < 0 olur. Bu durumda ∣x2−2x∣=−(x2−2x)|x^2 - 2x| = -(x^2 - 2x) olarak dışarı çıkar.
Kritik noktaya soldan yaklaşırken mutlak değerin içinin işaretine göre ifadeyi sadeleştirmek gerekir.
2
Sol limit değerini hesaplama.
lim⁡x→2−f(x)=lim⁡x→2−(−x(x−2)x−2+a)=lim⁡x→2−(−x+a)=−2+a\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \left(\frac{-x(x-2)}{x-2} + a\right) = \lim_{x \to 2^-} (-x + a) = -2 + a
Belirsizliğe neden olan x−2x-2 çarpanlarını sadeleştirdikten sonra xx yerine 2 yazarak sol limiti buluruz.
3
x=2x = 2 noktasındaki sağ limiti bulmak için x≥2x \ge 2 durumunu inceleme.
lim⁡x→2+f(x)=lim⁡x→2+(2x−b)=2(2)−b=4−b\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (2x - b) = 2(2) - b = 4 - b
Sağdan yaklaşırken x≥2x \ge 2 aralığı için tanımlı olan 2x−b2x - b kuralı kullanılır.
4
Limitin var olması için sağ ve sol limitleri birbirine eşitleme.
−2+a=4−b  ⟹  a+b=6-2 + a = 4 - b \implies a + b = 6
Bir noktada limitin var olması için o noktadaki sağ ve sol limitlerin eşit olması şarttır.

Anahtar Kavram

Par��alı ve mutlak değer içeren fonksiyonların limitinin bulunması, kritik noktalarda sağdan ve soldan limit incelemesi yapılması.
Soru 2030Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 eğrisi üzerindeki A(a,f(a))A(a, f(a)) noktasından çizilen teğet doğrusu, bu eğriyi başka bir BB noktasında kesmektedir. BB noktasından eğriye çizilen teğet doğrusunun eğimi 99 ve a>1a > 1 olduğuna göre, AA noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Apsisi a=2a = 2 olan AA noktasının koordinatları toplamı 22'dir.
Koşulları sağlayan teğet noktası A(2,0)A(2, 0) olarak bulunur ve koordinatları toplamı 22 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevi alınır.
f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x elde edilir.
Eğri üzerindeki herhangi bir noktadan çizilen teğetin eğimini bulmak için türev fonksiyonu gereklidir.
2
A(a,f(a))A(a, f(a)) noktasındaki teğet doğrusunun eğriyi kestiği diğer nokta B(b,f(b))B(b, f(b)) olarak belirlenir ve kökler toplamı ilişkisi kurulur.
2a+b=3  ⟹  b=3−2a2a + b = 3 \implies b = 3 - 2a bulunur.
Kübik bir fonksiyona teğet olan doğru ile fonksiyonun kesişim noktalarının apsisleri toplamı, x3−3x2+⋯=0x^3 - 3x^2 + \dots = 0 denkleminden 2a+b=32a + b = 3 olur (aa teğet noktası olduğundan çift katlı köktür).
3
B(b,f(b))B(b, f(b)) noktasındaki teğet eğimi kullanılarak bb değerleri hesaplanır.
f′(b)=9  ⟹  3b2−6b=9  ⟹  b2−2b−3=0  ⟹  b=3f'(b) = 9 \implies 3b^2 - 6b = 9 \implies b^2 - 2b - 3 = 0 \implies b = 3 veya b=−1b = -1 bulunur.
BB noktasından çizilen teğetin eğimi 99 olarak verilmiştir.
4
a>1a > 1 koşulu kullanılarak uygun aa değeri seçilir.
b=3  ⟹  a=0b = 3 \implies a = 0 (koşulu sağlamaz), b=−1  ⟹  a=2b = -1 \implies a = 2 (koşulu sağlar) olarak bulunur.
Soruda teğet noktasının apsisi aa'nın 11'den büyük olduğu belirtilmiştir.
5
AA noktasının koordinatları belirlenir ve toplamı hesaplanır.
A(2,f(2))=A(2,0)A(2, f(2)) = A(2, 0) noktası ve koordinatlar toplamı 2+0=22 + 0 = 2 bulunur.
AA noktasının ordinatı f(2)=23−3(22)+4=0f(2) = 2^3 - 3(2^2) + 4 = 0 şeklindedir.

Anahtar Kavram

Bir kübik eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğriyle ikinci kesim noktası ve teğet eğimi ilişkisi.
Soru 2031Soru →
f(x)=ax2−5x+3f(x) = ax^2 - 5x + 3 fonksiyonu için f′(3)=7f'(3) = 7 eşitliği sağlandığına göre, aa parametresinin değerini bulunuz.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

a parametresinin değeri 2'dir.
f(x) = ax^2 - 5x + 3 fonksiyonunun türevi f'(x) = 2ax - 5 olarak bulunur. x = 3 için f'(3) = 6a - 5 elde edilir. Bu değer 7'ye eşitlendiğinde 6a - 5 = 7 denklemi elde edilir ve buradan a = 2 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevini bulunuz.
f′(x)=2ax−5f'(x) = 2ax - 5
Temel türev alma kuralları gereği, xnx^n ifadesinin türevi n⋅xn−1n \cdot x^{n-1}'dir. Sabit sayının türevi ise sıfırdır.
2
Türev fonksiyonunda x yerine 3 yazarak f'(3) ifadesini oluşturunuz.
f′(3)=6a−5f'(3) = 6a - 5
x=3x = 3 noktasındaki türev değeri soruda verildiği için bu noktayı türev denkleminde yerine koyarız.
3
Elde edilen ifadeyi verilen türev değerine eşitleyerek a'yı çözünüz.
a=2a = 2
f′(3)=7f'(3) = 7 olduğu verildiğinden 6a−5=76a - 5 = 7 denklemi çözülür.

Anahtar Kavram

Temel türev alma kuralları ve türevde değer bulma
Soru 2032Soru →
aa bir gerçel sayı olmak üzere,
f(x)=x3−3ax2+3(a2−1)x+2f(x) = x^3 - 3ax^2 + 3(a^2 - 1)x + 2
fonksiyonunun yerel ekstremum noktaları y=−2x+8y = -2x + 8 doğrusu üzerindedir.
Buna göre, aa değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

2
Doğru olan 2 değeri, ekstremum noktalarının koordinatlarının y=−2x+8y = -2x + 8 doğrusu üzerinde yer almasını sağlayan tek gerçel parametre değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevi alınarak yerel ekstremum noktalarının apsislerini veren denklem oluşturulur.
f′(x)=3x2−6ax+3(a2−1)=0f'(x) = 3x^2 - 6ax + 3(a^2 - 1) = 0 denklemi elde edilir. Bu denklem 3(x−(a−1))(x−(a+1))=03(x - (a - 1))(x - (a + 1)) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır ve kökleri x1=a−1x_1 = a - 1 ve x2=a+1x_2 = a + 1 olarak bulunur.
Türevin işaret değiştirdiği kritik noktalar yerel ekstremum noktalarının apsislerini verir.
2
Yerel ekstremum noktalarının ordinatlarını bulmak için apsis değerleri fonksiyonda yerine yazılır.
f(x)=(x−a)3−3(x−a)+a3−3a+2f(x) = (x-a)^3 - 3(x-a) + a^3 - 3a + 2 özdeşliği yardımıyla; f(a−1)=a3−3a+4f(a-1) = a^3 - 3a + 4 ve f(a+1)=a3−3af(a+1) = a^3 - 3a değerleri hesaplanır. Böylece yerel ekstremum noktaları A(a−1,a3−3a+4)A(a-1, a^3-3a+4) ve B(a+1,a3−3a)B(a+1, a^3-3a) olur.
Bir noktanın ordinatını bulmak için apsis değeri fonksiyon denkleminde yerine yazılmalıdır.
3
Bulunan ekstremum noktalarının y=−2x+8y = -2x + 8 doğrusu üzerinde olması şartı uygulanır.
B(a+1,a3−3a)B(a+1, a^3-3a) noktası doğru denkleminde yerine yazıldığında a3−3a=−2(a+1)+8  ⟹  a3−a−6=0a^3 - 3a = -2(a + 1) + 8 \implies a^3 - a - 6 = 0 denklemi elde edilir. Aynı işlem AA noktası için yapıldığında da aynı denklem bulunur.
Doğru üzerindeki her nokta, doğrunun denklemini sağlamak zorundadır.
4
Elde edilen a3−a−6=0a^3 - a - 6 = 0 kübik denkleminin gerçel kökleri belirlenir.
a=2a = 2 değeri denklemi sağlar (23−2−6=02^3 - 2 - 6 = 0). Denklem çarpanlarına ayrıldığında (a−2)(a2+2a+3)=0(a - 2)(a^2 + 2a + 3) = 0 elde edilir. İkinci çarpanın diskriminantı Δ=4−12=−8<0\Delta = 4 - 12 = -8 < 0 olduğundan gerçel kökü yoktur. Dolayısıyla tek gerçel çözüm a=2a = 2'dir.
aa değerinin gerçel sayı olması istendiği için sadece gerçel kökler kabul edilir.

Anahtar Kavram

Yerel ekstremum noktalarının türev yardımıyla bulunması ve koordinat geometrisiyle ilişkilendirilmesi

Alternatif Yöntem

Ekstremum noktalarının apsisleri toplamı olan x1+x2=2ax_1 + x_2 = 2a ve orta noktanın ordinatı olan yorta=a3−3a+2y_{orta} = a^3 - 3a + 2 kullanılarak, orta noktanın doğrunun üzerinde olması gerektiği bilgisinden de doğrudan a3−3a+2=−2a+8a^3 - 3a + 2 = -2a + 8 denklemi kurulabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 2033Soru →
x∈(0,2π)x \in (0, 2\pi) olmak üzere,
cos⁡(2x)−3sin⁡(x)−1=0\cos(2x) - \sqrt{3}\sin(x) - 1 = 0
denklemini sağlayan farklı xx gerçel sayılarının toplamı kaç radyandır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4π4\pi

Cevap

Denklemin farklı gerçel köklerinin toplamı 4π4\pi radyandır.
Denklemde cos(2x) yerine yarım açı formülüyle 1 - 2sin²(x) yazılıp sadeleştirme yapıldığında, -sin(x)(2sin(x) + √3) = 0 elde edilir. (0, 2π) açık aralığında sin(x) = 0 eşitliğini sadece x = π değeri sağlar. sin(x) = -√3/2 eşitliğini ise sinüsün negatif olduğu üçüncü ve dördüncü bölgelerdeki x = 4π/3 ve x = 5π/3 değerleri sağlar. Bu köklerin toplamı π + 4π/3 + 5π/3 = 4π radyandır.

Adım Adım Çözüm

1
Trigonometrik özdeşlik kullanarak denklemi tek bir fonksiyon cinsinden yazma
cos⁡(2x)=1−2sin⁡2(x)\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) özdeşliği denklemde yerine yazıldığında 1−2sin⁡2(x)−3sin⁡(x)−1=01 - 2\sin^2(x) - \sqrt{3}\sin(x) - 1 = 0 yani −2sin⁡2(x)−3sin⁡(x)=0-2\sin^2(x) - \sqrt{3}\sin(x) = 0 elde edilir.
Denklemi çözebilmek için farklı trigonometrik fonksiyonları tek bir değişken cinsine indirgemek gerekir.
2
Elde edilen denklemi çarpanlarına ayırma
−sin⁡(x)(2sin⁡(x)+3)=0-\sin(x)(2\sin(x) + \sqrt{3}) = 0 elde edilir. Buradan denklemin kökleri için sin⁡(x)=0\sin(x) = 0 veya sin⁡(x)=−32\sin(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2} olmalıdır.
Çarpım durumundaki ifadelerin sıfıra eşit olması, çarpanlardan en az birinin sıfır olmasını gerektirir.
3
Verilen (0,2π)(0, 2\pi) aralığındaki kökleri bulma
sin⁡(x)=0\sin(x) = 0 için x=πx = \pi'dir (0 ve 2π2\pi açık aralığa dahil değildir).
sin⁡(x)=−32\sin(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2} için ise üçüncü ve dördüncü bölgedeki açılar olan x=4π3x = \frac{4\pi}{3} ve x=5π3x = \frac{5\pi}{3} kökleri elde edilir.
Belirtilen sınırlı aralıktaki tüm olası kökleri belirlemek gerekir.
4
Köklerin toplamını hesaplama
π+4π3+5π3=π+3π=4π\pi + \frac{4\pi}{3} + \frac{5\pi}{3} = \pi + 3\pi = 4\pi bulunur.
Soruda istenen toplam değerine ulaşmak için tüm kökler toplanır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemleri yarım açı formülleri kullanarak çarpanlara ayırma yöntemiyle çözme
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2034Soru →

Gerçel say��lar kümesinde tanımlı bir ff fonksiyonu için ∣f∣|f| fonksiyonu x=x0x = x_0 noktasında türevlenebilir ise ff fonksiyonu bu noktada sürekli olmak zorundadır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen ifade yanlıştır. Bir fonksiyonun mutlak değerinin bir noktada türevlenebilir olması, fonksiyonun o noktada sürekli olmasını gerektirmez.
Verilen ifade yanlıştır. Karşıt örnek olarak seçilen f(x)=sgn(x)f(x) = \text{sgn}(x) benzeri bir fonksiyonun mutlak değeri sabit fonksiyon olup her yerde türevlenebilirken, fonksiyonun kendisi sıçrama noktasında sürekli değildir.

Adım Adım Çözüm

1
Türevlenebilme ve süreklilik arasındaki genel ilişkiyi hatırlayalım.
Bir fonksiyon bir noktada türevlenebilirse o noktada süreklidir. Ancak mutlak değer fonksiyonunun türevlenebilirliği ile orijinal fonksiyonun sürekliliği arasındaki ilişki doğrudan bu kurala uymayabilir.
Önermenin doğruluğunu test etmek için genel kuralları ve istisnaları belirlemek gerekir.
2
Önermeyi çürütecek bir karşıt örnek (karşı örnek) oluşturalım.
f(x)={1,x≥0−1,x<0f(x) = \begin{cases} 1, & x \ge 0 \\ -1, & x < 0 \end{cases} parçalı fonksiyonunu ele alalım.
Genel bir önermenin yanlış olduğunu göstermenin en doğrudan yolu tek bir karşı örnek sunmaktır.
3
Oluşturulan karşıt örneğin mutlak değerinin türevlenebilirliğini inceleyelim.
∣f(x)∣=1|f(x)| = 1 olur. Bu sabit fonksiyon her xx gerçel sayısı için türevlidir ve türevi sıfırdır ((∣f∣)′(0)=0(|f|)'(0) = 0).
Karşıt örneğin hipotez şartını (∣f∣|f|'in türevlenebilirliği) sağladığını doğrulamak gerekir.
4
Oluşturulan karşıt örneğin x=0x = 0 noktasındaki sürekliliğini inceleyelim.
lim⁡x→0+f(x)=1\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 ve lim⁡x→0−f(x)=−1\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1 olduğundan, limit mevcut değildir ve dolayısıyla fonksiyon x=0x = 0 noktasında sürekli değildir.
Karşıt örneğin hüküm kısmını (ff'in sürekliliği) sağlamadığını göstererek önermenin yanlış olduğunu kanıtlarız.

Anahtar Kavram

Türevlenebilme ve süreklilik ilişkisi, özellikle mutlak değer fonksiyonu altında süreksiz fonksiyonların türevlenebilir fonksiyonlara dönüşebilmesi.

Alternatif Yöntem

Süreksiz bir fonksiyonun mutlak değerinin türevlenebilir olmasını geometrik olarak grafiklerin simetrisi (x eksenine göre yansıma) üzerinden de düşünebiliriz. y=−1y = -1 ve y=1y = 1 doğrularının mutlak değeri tek bir sürekli y=1y = 1 doğrusuna dönüşür.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2035Soru →
f(x)=∫(6x2−4x) dxf(x) = \int (6x^2 - 4x) \, dx

ve f(1)=3f(1) = 3 olduğuna göre, f(0)f(0) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Fonksiyonun integral sabiti hesaba katılarak elde edilen f(0) değeri 3'tür.
Verilen integral ifadesi hesaplandığında f(x)=2x3−2x2+Cf(x) = 2x^3 - 2x^2 + C elde edilir. f(1)=3f(1) = 3 koşulu sağlandığında 2(1)3−2(1)2+C=3  ⟹  C=32(1)^3 - 2(1)^2 + C = 3 \implies C = 3 olur. Buradan f(0)=Cf(0) = C olduğundan doğru yanıt 3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Belirsiz integral alma kurallarını uygulayarak fonksiyonu bulmak.
f(x)=2x3−2x2+Cf(x) = 2x^3 - 2x^2 + C
Belirsiz integral alındığında fonksiyonun genel ifadesi bir C sabitiyle birlikte elde edilir.
2
Verilen f(1)=3f(1) = 3 bilgisini kullanarak C sabitini hesaplamak.
C=3C = 3
Fonksiyonda x yerine 1 yazıldığında elde edilen değer 3'e eşitlenerek integral sabiti belirlenir.
3
Bulunan C değeriyle f(0)f(0) değerini hesaplamak.
f(0)=3f(0) = 3
x yerine 0 yazıldığında x'li terimler sıfırlanır ve geriye sadece C sabiti kalır.

Anahtar Kavram

Belirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları
Soru 2036Soru →
Her xx gerçel sayısı için türevlenebilir olan ff fonksiyonu
f(x)=x3+3x2+(m−2)x+1f(x) = x^3 + 3x^2 + (m-2)x + 1
biçiminde tanımlanıyor.

ff fonksiyonu daima artan olduğuna göre, mm gerçel sayısının değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [5,∞)[5, \infty)

Cevap

m gerçel sayısının değer aralığı 5 kapalı, sonsuz açık aralığıdır.
Verilen fonksiyonun daima artan olması için türevi olan ikinci dereceden ifadenin her yerde sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir. Başkatsayısı pozitif olan bu ifadenin her yerde negatif olmayan değerler alması için diskriminantı sıfırdan küçük veya eşit olmalıdır. Yapılan hesaplamalar sonucunda diskriminantın sıfırdan küçük veya eşit olmasını sağlayan aralığın 5 kapalı, sonsuz açık aralığı olduğu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
f(x) fonksiyonunun türevinin alınması
f′(x)=3x2+6x+m−2f'(x) = 3x^2 + 6x + m - 2
Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları belirlemek için birinci türevi incelenir. Fonksiyonun her xx gerçel sayısı için daima artan olması, birinci türevinin daima sıfırdan büyük veya eşit olması (f′(x)≥0f'(x) \geq 0) anlamına gelir.
2
Türev fonksiyonunun daima sıfırdan büyük veya eşit olma koşulunun diskriminant (delta) yardımıyla analiz edilmesi
Δ≤0\Delta \leq 0 olmalıdır.
f′(x)=3x2+6x+(m−2)f'(x) = 3x^2 + 6x + (m-2) ikinci dereceden bir ifadedir. Başkatsayısı pozitif (3>03 > 0) olduğundan, bu ifadenin her xx gerçel sayısı için negatif olmaması (f′(x)≥0f'(x) \geq 0) ancak ve ancak diskriminantının sıfırdan küçük veya eşit olması ile mümkündür. Δ=0\Delta = 0 durumunda oluşan çift katlı kök, türevin işaretini değiştirmediği için fonksiyonun artanlığını bozmaz.
3
Diskriminant eşitsizliğinin çözülerek m parametresinin aralığının bulunması
m≥5m \geq 5 yani [5,∞)[5, \infty)
f′(x)=3x2+6x+(m−2)f'(x) = 3x^2 + 6x + (m-2) ifadesinde Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac formülü uygulanır:
Δ=62−4⋅3⋅(m−2)≤0\Delta = 6^2 - 4 \cdot 3 \cdot (m-2) \leq 0
36−12(m−2)≤036 - 12(m-2) \leq 0
Her iki taraf 12 ile sadeleştirilirse:
3−(m−2)≤0  ⟹  3−m+2≤0  ⟹  5≤m3 - (m-2) \leq 0 \implies 3 - m + 2 \leq 0 \implies 5 \leq m elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun daima artan olması için türevinin her noktada sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir. İkinci dereceden türev fonksiyonlarında bu durum diskriminantın sıfırdan küçük veya eşit olması koşuluna bağlıdır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2037Soru →

Tanımlı olduğu aralıkta sürekli olan f(x)=x+1f(x) = x + 1 fonksiyonunun [1,3][1, 3] aralığındaki grafiği verilmiştir. Bu aralık, eşit uzunlukta iki alt aralığa bölünüyor. Buna göre, ff fonksiyonunun bu bölüntüye karşılık gelen Riemann alt toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Riemann alt toplamının değeri 5'tir.
Doğru cevap 5'tir. Eşit uzunluktaki iki alt aralık [1,2][1, 2] ve [2,3][2, 3] olup genişlikleri 1'dir. f(x)=x+1f(x) = x + 1 fonksiyonu artan olduğundan Riemann alt toplamı için sol uç noktalar kullanılır: f(1)⋅1+f(2)⋅1=2⋅1+3⋅1=5f(1) \cdot 1 + f(2) \cdot 1 = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 5.

Adım Adım Çözüm

1
Aralık genişliğinin hesaplanması
Δx=1\Delta x = 1
[1,3][1, 3] aralığı 2 eşit alt aralığa bölündüğünde alt aralıklar [1,2][1, 2] ve [2,3][2, 3] olur. Genişlik Δx=3−12=1\Delta x = \frac{3-1}{2} = 1 birimdir.
2
Fonksiyon değerlerinin belirlenmesi
f(1)=2f(1) = 2 ve f(2)=3f(2) = 3
Riemann alt toplamı için her bir alt aralıktaki en küçük fonksiyon değerleri (artan fonksiyon olduğu için sol uç noktalar) seçilir.
3
Riemann alt toplamının hesaplanması
2⋅1+3⋅1=52 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 5
Belirlenen fonksiyon değerleri ile alt aralık genişliği çarpılıp toplanır.

Anahtar Kavram

Riemann alt toplamı hesaplanırken, fonksiyonun her bir alt aralıktaki en küçük değerleri ile alt aralık genişlikleri çarpılıp toplanır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2038Soru →
f(x)=x3−3x2−9x+5f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5 fonksiyonunun yerel maksimum noktasının apsisi kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

Yerel maksimum noktasının apsisi -1 değeridir.
Fonksiyonun türevi olan f′(x)=3(x−3)(x+1)f'(x) = 3(x-3)(x+1) ifadesinin işaret tablosunda, x=−1x = -1 noktasında türevin işareti artıdan eksiye geçmektedir. Bu durum, fonksiyonun bu noktada artanlıktan azalanlığa geçtiğini ve dolayısıyla yerel maksimum değerine ulaştığını gösterir. Bu nedenle doğru cevap -1 olan seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun birinci türevi alınır.
f′(x)=3x2−6x−9f'(x) = 3x^2 - 6x - 9
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının yerini bulmak amacıyla türevin işaret değiştirdiği noktaları belirlemek için türev fonksiyonu hesaplanır.
2
Türevin köklerini bulmak için türev ifadesi sıfıra eşitlenir.
3x2−6x−9=0  ⟹  3(x2−2x−3)=0  ⟹  3(x−3)(x+1)=03x^2 - 6x - 9 = 0 \implies 3(x^2 - 2x - 3) = 0 \implies 3(x - 3)(x + 1) = 0 denkleminden kökler x=−1x = -1 ve x=3x = 3 olarak bulunur.
Türevi sıfır yapan kritik noktalar, yerel ekstremum noktası olmaya aday noktalardır.
3
Türevin işaret tablosu oluşturulur.
x<−1x < -1 için f′(x)>0f'(x) > 0, −1<x<3-1 < x < 3 için f′(x)<0f'(x) < 0 ve x>3x > 3 için f′(x)>0f'(x) > 0 olur.
Türevin işaret değişimi incelenerek hangi kritik noktanın yerel maksimum veya yerel minimum olduğu saptanır.
4
İşaret tablosuna göre yerel maksimum noktası belirlenir.
x=−1x = -1 apsisli noktada türevin işareti pozitiften negatife (++'dan −-'ye) geçtiği için fonksiyon bu noktada yerel maksimuma ulaşır.
Türevin işaretinin artıdan eksiye geçtiği nokta fonksiyonun yerel maksimum noktasıdır.

Anahtar Kavram

Polinom fonksiyonların yerel ekstremum noktalarını bulmak için birinci türevin sıfır olduğu yerlerde işaret değişimi incelenir. Türevin işaretinin pozitiften negatife geçtiği nokta yerel maksimum noktasıdır.
Tahmini Süre:50s
Soru 2039Soru →
aa ve bb gerçel sayılar olmak üzere,
lim⁡x→2x2+a−3x2−2x=b\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^2 + a} - 3}{x^2 - 2x} = b
eşitliği sağlandığına göre, a⋅b=56a \cdot b = \frac{5}{6}'dır.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

İfade yanlıştır. Doğru çarpım değeri a⋅b=53a \cdot b = \frac{5}{3} olmalıdır.
Limitin sıfırdan farklı bir bb gerçel sayısına eşit olması için payın da sıfır olması gerektiğinden a=5a = 5 bulunur. Eşlenik çarpımı yapılarak belirsizlik çözüldüğünde b=13b = \frac{1}{3} elde edilir. Dolayısıyla a⋅b=53a \cdot b = \frac{5}{3} olmalıdır. Bu nedenle önerme yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Paydanın limitini inceleyerek belirsizlik türünü tespit etmek.
x→2x \to 2 için payda olan x2−2xx^2 - 2x ifadesinin limiti 22−2(2)=02^2 - 2(2) = 0 olur. Limitin bir gerçel sayıya eşit olması için payın limiti de sıfır olmalı ve 0/00/0 belirsizliği oluşmalıdır.
Payda sıfıra yaklaşırken pay sıfırdan farklı bir sayıya yaklaşırsa limit tanımsız olur.
2
Payın limitini sıfıra eşitleyerek aa parametresini bulmak.
lim⁡x→2(x2+a−3)=0  ⟹  4+a−3=0  ⟹  4+a=9  ⟹  a=5\lim_{x \to 2} (\sqrt{x^2 + a} - 3) = 0 \implies \sqrt{4 + a} - 3 = 0 \implies 4 + a = 9 \implies a = 5 bulunur.
Kareköklü ifade x=2x = 2 noktasında tanımlı ve sürekli olduğundan limiti doğrudan fonksiyon değerine eşittir.
3
aa değerini yerine yazıp limit belirsizliğini eşlenik yardımıyla çözmek ve bb değerini bulmak.
lim⁡x→2x2+5−3x2−2x=lim⁡x→2(x2+5−3)(x2+5+3)x(x−2)(x2+5+3)=lim⁡x→2x2−4x(x−2)(x2+5+3)=lim⁡x→2(x−2)(x+2)x(x−2)(x2+5+3)=lim⁡x→2x+2x(x2+5+3)=2+22(9+3)=412=13\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^2 + 5} - 3}{x^2 - 2x} = \lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt{x^2 + 5} - 3)(\sqrt{x^2 + 5} + 3)}{x(x - 2)(\sqrt{x^2 + 5} + 3)} = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x(x - 2)(\sqrt{x^2 + 5} + 3)} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x(x - 2)(\sqrt{x^2 + 5} + 3)} = \lim_{x \to 2} \frac{x + 2}{x(\sqrt{x^2 + 5} + 3)} = \frac{2 + 2}{2(\sqrt{9} + 3)} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} elde edilir. Buradan b=13b = \frac{1}{3} bulunur.
0/00/0 belirsizliğini gidermek için payı eşleniğiyle çarparak belirsizliğe neden olan (x−2)(x - 2) çarpanı sadeleştirilir.
4
a⋅ba \cdot b çarpımını hesaplayarak ifadenin doğruluğunu kontrol etmek.
a⋅b=5⋅13=53a \cdot b = 5 \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{3} olarak bulunur. İfadede verilen 56\frac{5}{6} değeri yanlış olduğundan önerme yanlıştır.
Elde edilen gerçek limit değeri ile ifadedeki değer uyuşmamaktadır.

Anahtar Kavram

Sıfır bölü sıfır belirsizliğinde eşlenik çarpımı ile belirsizliğin giderilmesi ve parametre hesabı
Soru 2040Soru →
Gerçel sayılar kümesinde tanıml��
f(x)={∣x2−4x+3∣x−3,x<3x2−2x−a,x≥3f(x) = \begin{cases} \frac{|x^2 - 4x + 3|}{x - 3}, & x < 3 \\ x^2 - 2x - a, & x \ge 3 \end{cases}
fonksiyonunun x=3x = 3 noktasında limitinin var olması için aa gerçel sayısının değeri 55 olmalıdır.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen fonksiyonun x=3x = 3 noktasında limitinin var olması için aa gerçel sayısının değeri 55 olmalıdır ifadesi doğrudur.
Verilen parçalı fonksiyonun kritik noktası olan x=3x = 3 noktasındaki soldan ve sağdan limitlerinin eşitlenmesi sonucunda a=5a = 5 değeri elde edilir. Bu nedenle önerme doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
x=3x = 3 noktasındaki soldan limitin hesaplanması için mutlak değerli ifadenin işaretinin incelenmesi
x<3x < 3 için x2−4x+3<0x^2 - 4x + 3 < 0 olduğundan ∣x2−4x+3∣=−(x−3)(x−1)|x^2 - 4x + 3| = -(x-3)(x-1) olur.
Soldan yaklaşırken xx değerleri 3'ten küçük olduğu için çarpanların işaretlerini belirleyerek mutlak değer dışına nasıl çıkacağını bulmak gerekir.
2
Soldan limit değerinin bulunması
lim⁡x→3−f(x)=lim⁡x→3−−(x−3)(x−1)x−3=lim⁡x→3−−(x−1)=−2\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} \frac{-(x-3)(x-1)}{x-3} = \lim_{x \to 3^-} -(x-1) = -2
Pay ve paydadaki (x−3)(x-3) sadeleştirilerek belirsizlik giderilir ve limit değeri hesaplanır.
3
Sağdan limitin hesaplanması ve limitlerin eşitlenmesi
lim⁡x→3+f(x)=3−a\lim_{x \to 3^+} f(x) = 3 - a ve soldan limit ile eşitlenirse 3−a=−2  ⟹  a=53 - a = -2 \implies a = 5 bulunur.
Bir noktada limitin var olması için sağdan ve soldan limitlerin birbirine eşit olması zorunludur.

Anahtar Kavram

Parçalı ve mutlak değerli fonksiyonların kritik noktalarındaki limit incelemesinde sağdan ve soldan limitlerin eşitliği ile mutlak değerin işaret analizinin yapılması.
ÖncekiSayfa 102 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin