Examkin

Tüm alıştırma soruları

852 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 21Soru →
xx, yy ve zz 1'den farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere,
log⁡2x+log⁡4(yz)=2\log_2 x + \log_4 (yz) = 2
log⁡3y+log⁡9(xz)=2\log_3 y + \log_9 (xz) = 2
log⁡5z+log⁡25(xy)=2\log_5 z + \log_{25} (xy) = 2
denklem sistemi veriliyor.

Buna göre, log⁡1,5(yx)\log_{1,5} \left(\frac{y}{x}\right) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İstenen ifadenin değeri 4 olarak bulunur.
Verilen denklem sisteminde logaritma taban değiştirme ve kuvvet kuralları uygulanarak değişkenlerin oranları elde edilir. Buradan y/x oranı bulunarak tabanı 1,5 olan logaritma ifadesinin değeri 4 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma tabanlarını eşitleme
log⁡2(x2yz)=4\log_2(x^2 y z) = 4, log⁡3(y2xz)=4\log_3(y^2 x z) = 4 ve log⁡5(z2xy)=4\log_5(z^2 x y) = 4
log⁡a2b=12log⁡ab\log_{a^2} b = \frac{1}{2}\log_a b ve log⁡ab+log⁡ac=log⁡a(bc)\log_a b + \log_a c = \log_a(bc) özelliklerini kullanarak her denklemdeki logaritmik ifadeleri tek bir tabanda birleştirmek.
2
Logaritmik ifadeleri üslü denklemlere dönüştürme
x2yz=16x^2 y z = 16, y2xz=81y^2 x z = 81 ve z2xy=625z^2 x y = 625
log⁡ab=c  ⟺  ac=b\log_a b = c \iff a^c = b tanımını kullanarak denklemleri cebirsel olarak çözülebilir hale getirmek.
3
Denklemleri taraf tarafa çarpma
(xyz)4=304  ⟹  xyz=30(xyz)^4 = 30^4 \implies xyz = 30
Değişkenlerin çarpımını (xyzxyz) elde ederek her bir değişkeni ayrı ayrı izole edebilmek.
4
xx ve yy değişkenlerini bulma
x=815x = \frac{8}{15} ve y=2710y = \frac{27}{10}
x2yz=x(xyz)=16x^2 y z = x(xyz) = 16 ve y2xz=y(xyz)=81y^2 x z = y(xyz) = 81 eşitliklerinde xyz=30xyz = 30 değerini yerine yazmak.
5
yx\frac{y}{x} oranını ve logaritma değerini hesaplama
log⁡1,5(yx)=4\log_{1,5} \left(\frac{y}{x}\right) = 4
yx=8116=(32)4\frac{y}{x} = \frac{81}{16} = \left(\frac{3}{2}\right)^4 ve 1,5=321,5 = \frac{3}{2} eşitliklerini kullanarak istenen logaritma ifadesinin değerini bulmak.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
Soru 22Soru →

Bir (an)(a_n) dizisinde her n≥1n \geq 1 tam sayısı için

an+1=an+n+2a_{n+1} = a_n + n + 2

bağıntısı sağlanmaktadır.

a1=3a_1 = 3 olduğuna göre, a5a_5 teriminin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

Dizinin beşinci terimi olan a5a_5 değeri 21'dir.
Verilen indirgeme bağıntısında nn yerine sırasıyla 1,2,31, 2, 3 ve 44 yazıldığında elde edilen denklemler taraf tarafa toplandığında aradaki terimler sadeleşir ve a5=a1+3+4+5+6a_5 = a_1 + 3 + 4 + 5 + 6 bağıntısına ulaşılır. a1=3a_1 = 3 olduğundan, a5=3+18=21a_5 = 3 + 18 = 21 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İndirgeme bağıntısında nn yerine sırasıyla 1,2,31, 2, 3 ve 44 yazılır.
a2=a1+3a_2 = a_1 + 3, a3=a2+4a_3 = a_2 + 4, a4=a3+5a_4 = a_3 + 5 ve a5=a4+6a_5 = a_4 + 6 denklemleri elde edilir.
İlk terimden başlanarak ardışık terimler arasındaki ilişkileri kurmak amacıyla bu adımlar uygulanır.
2
Elde edilen denklemler taraf tarafa toplanarak ortak terimler sadeleştirilir.
a5=a1+3+4+5+6a_5 = a_1 + 3 + 4 + 5 + 6 eşitliği elde edilir.
Teleskopik sadeleştirme yöntemiyle aradaki terimleri tek tek hesaplamadan doğrudan a5a_5 terimine ulaşmak hedeflenir.
3
a1=3a_1 = 3 değeri denklemde yerine yazılır ve toplama işlemi tamamlanır.
a5=3+18=21a_5 = 3 + 18 = 21 bulunur.
a5a_5 teriminin nihai sayısal değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde terimler arası geçiş ve teleskopik (zincirleme) toplama yöntemi.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 23Soru →
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere,
1sin⁡2x+1cos⁡2x=16\frac{1}{\sin^2 x} + \frac{1}{\cos^2 x} = 16
olduğuna göre, cos⁡(4x)\cos(4x) ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.5

Cevap

İfadenin değeri 0.5 olarak bulunur.
Verilen rasyonel ifadenin paydaları eşitlenip düzenlendiğinde sin⁡2x⋅cos⁡2x=116\sin^2 x \cdot \cos^2 x = \frac{1}{16} elde edilir. Sinüs yarım açı formülü olan sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x bağıntısının karesi kullanılarak sin⁡2(2x)=14\sin^2(2x) = \frac{1}{4} değerine ulaşılır. Kosinüs yarım açı formülü cos⁡(4x)=1−2sin⁡2(2x)\cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x) eşitliğinde bu değer yerine yazıldığında sonuç 0.5 çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Payda eşitleme ve temel özdeşliği uygulama
sin⁡2x⋅cos⁡2x=116\sin^2 x \cdot \cos^2 x = \frac{1}{16}
Rasyonel ifadeleri birleştirmek ve sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 özdeşliğini kullanmak için paydalar eşitlenmiştir.
2
Sinüs yarım açı formülünü uygulama
sin⁡2(2x)=14\sin^2(2x) = \frac{1}{4}
sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x olduğundan, ifadenin karesi alınarak sin⁡2xcos⁡2x\sin^2 x \cos^2 x ifadesi sin⁡2(2x)\sin^2(2x) cinsinden yazılmıştır.
3
Kosinüs yarım a��ı formülünü uygulayarak sonucu hesaplama
cos⁡(4x)=0.5\cos(4x) = 0.5
cos⁡(4x)=1−2sin⁡2(2x)\cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x) formülünde bulunan değer yerine yazılarak sonuç hesaplanmıştır.

Anahtar Kavram

Sinüs ve Kosinüs Yarım Açı Formüllerinin Uygulanması
Soru 24Soru →
Genel terimi
an=log⁡n+2(n+3)a_n = \log_{n+2}(n+3)
olan bir (an)(a_n) gerçel sayı dizisi veriliyor.
Buna göre, bu dizinin ilk kk teriminin çarpımı olan
a1⋅a2⋅a3⋯ak=3a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdots a_k = 3
eşitliğini sağlayan kk pozitif tam sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

k sayısı 24 olarak bulunur.
Dizinin terimleri genel terim formülü kullanılarak yazıldığında elde edilen logaritma çarpımı, logaritmadaki zincir kuralıyla sadeleşerek tabanı 3 ve argümanı k+3 olan tek bir logaritma ifadesine dönüşür. Bu ifadenin 3'e eşitlenmesiyle k+3 = 27 denklemi elde edilir ve k = 24 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin ilk birkaç terimini yazalım.
a1=log⁡34a_1 = \log_3 4, a2=log⁡45a_2 = \log_4 5, a3=log⁡56a_3 = \log_5 6, ..., ak=log⁡k+2(k+3)a_k = \log_{k+2} (k+3)
Genel terim formülünde n yerine sırasıyla 1, 2, 3, ..., k yazarak terimleri elde ederiz.
2
Bu terimlerin çarpımını yazıp sadeleştirelim.
a1⋅a2⋯ak=log⁡34⋅log⁡45⋯log⁡k+2(k+3)=log⁡3(k+3)a_1 \cdot a_2 \cdots a_k = \log_3 4 \cdot \log_4 5 \cdots \log_{k+2} (k+3) = \log_3 (k+3)
Logaritmadaki zincir kuralı (taban değiştirme özelliği) gereğince ardışık terimlerin taban ve argümanları birbirini sadeleştirir.
3
Çarpımın sonucunu 3'e eşitleyip k değerini bulalım.
log⁡3(k+3)=3  ⟹  k+3=33  ⟹  k+3=27  ⟹  k=24\log_3 (k+3) = 3 \implies k+3 = 3^3 \implies k+3 = 27 \implies k = 24
Logaritma tanımını kullanarak üslü ifadeye çeviririz ve bilinmeyeni yalnız bırakırız.

Anahtar Kavram

Logaritmik dizilerde terimlerin çarpımı ve logaritma zincir kuralı
Soru 25Soru →
tan⁡(2x)−cot⁡(x)=0\tan(2x) - \cot(x) = 0

denkleminin (0,π)(0, \pi) açık aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı SS radyandır.

Buna göre, Sπ\frac{S}{\pi} oranı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1.5

Cevap

Köklerin toplamının π\pi radyana oranı 1,5'tir.
Denklemin kökleri sinüs ve kosinüs dönüşümleriyle tam olarak incelendiğinde, (0,π)(0, \pi) aralığında π6\frac{\pi}{6}, π2\frac{\pi}{2} ve 5π6\frac{5\pi}{6} olmak üzere 3 farklı gerçel kök bulunur. Bu köklerin toplamı 1,5π1,5\pi radyandır. Dolayısıyla bu toplamın π\pi değerine oranı 1,5'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Tanjant ve kotanjant fonksiyonlarını sinüs ve kosinüs oranları olarak yazın.
sin⁡(2x)cos⁡(2x)−cos⁡(x)sin⁡(x)=0\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} - \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = 0
Denklemi çözülebilir bir forma getirmek için temel fonksiyonlara dönüştürüyoruz.
2
Paydaları eşitleyerek ortak paydada yazın.
sin⁡(2x)sin⁡(x)−cos⁡(2x)cos⁡(x)cos⁡(2x)sin⁡(x)=0\frac{\sin(2x)\sin(x) - \cos(2x)\cos(x)}{\cos(2x)\sin(x)} = 0
Rasyonel ifadenin sıfıra eşitliğini incelemek için pay ve paydayı belirlemek gerekir.
3
Pay kısmını eksi parantezine alıp kosinüsün toplam formülünü uygulayın.
−cos⁡(2x)cos⁡(x)−sin⁡(2x)sin⁡(x)cos⁡(2x)sin⁡(x)=0  ⟹  −cos⁡(3x)cos⁡(2x)sin⁡(x)=0-\frac{\cos(2x)\cos(x) - \sin(2x)\sin(x)}{\cos(2x)\sin(x)} = 0 \implies -\frac{\cos(3x)}{\cos(2x)\sin(x)} = 0
Trigonometrik toplam formülü sayesinde payı tek bir kosinüs fonksiyonu olarak ifade edebiliriz.
4
İfadenin sıfır olması için payı sıfır yapan kökleri bulun.
cos⁡(3x)=0  ⟹  3x=π2+kπ  ⟹  x=π6+kπ3\cos(3x) = 0 \implies 3x = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}
Bir kesrin sıfır olması için payının sıfır olması gerekir.
5
(0,π)(0, \pi) aralığındaki kk tamsayı değerleri için kökleri listeleyin ve tanımlılık kontrolü yapın.
k=0  ⟹  x1=π6k=0 \implies x_1 = \frac{\pi}{6}
k=1  ⟹  x2=π2k=1 \implies x_2 = \frac{\pi}{2}
k=2  ⟹  x3=5π6k=2 \implies x_3 = \frac{5\pi}{6}
Bu değerlerin hiçbiri paydayı (yani cos⁡(2x)sin⁡(x)\cos(2x)\sin(x)) sıfır yapmaz, dolayısıyla tanımlıdır.
Bulunan aday köklerin orijinal denklemdeki fonksiyonları tanımsız yapıp yapmadığı kontrol edilmelidir.
6
Bulunan köklerin toplamını hesaplayıp π\pi değerine oranlayın.
S=π6+π2+5π6=9π6=1,5π  ⟹  Sπ=1,5S = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} + \frac{5\pi}{6} = \frac{9\pi}{6} = 1,5\pi \implies \frac{S}{\pi} = 1,5
Soru kökündeki toplam oranını bulmak.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerin çözüm kümelerini bulma ve tanımlılık kontrolü yapma.
Soru 26Soru →

(an)(a_n) terimleri gerçel sayılardan oluşan bir dizidir.

an=x⋅n2−16n+12n2+3a_n = \sqrt{\frac{x \cdot n^2 - 16n + 12}{n^2 + 3}}

olduğuna göre, xx gerçel sayısının alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

En küçük tam sayı değeri 5'tir.
Dizinin her teriminin tanımlı olması için karekökün içerisi negatif olmamalıdır. Payda daima pozitif olduğundan, pay kısmının da daima sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir. Buradan elde edilen x≥16n−12n2x \ge \frac{16n - 12}{n^2} eşitsizliğinde sağ taraftaki ifadenin pozitif tam sayılardaki en büyük değeri n=2n = 2 için 5'tir. Bu yüzden xx en az 5 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Karekök içerisindeki ifadenin tanımlılık koşulunu belirleme.
x⋅n2−16n+12≥0x \cdot n^2 - 16n + 12 \ge 0 olmalıdır.
Bir dizinin terimlerinin gerçel sayı olması için karekökün içerisi negatif olamaz ve payda sıfır olamaz (n2+3>0n^2 + 3 > 0 olduğundan payda sıfır olamaz).
2
xx parametresini nn cinsinden yalnız bırakma.
x≥16n−12n2x \ge \frac{16n - 12}{n^2}
n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ olduğundan n2>0n^2 > 0'dır, bu sayede eşitsizlik yön değiştirmeden her iki taraf n2n^2 ile bölünebilir.
3
f(n)=16n−12n2f(n) = \frac{16n - 12}{n^2} fonksiyonunun pozitif tam sayılardaki maksimum değerini bulma.
Maksimum değer n=2n = 2 için f(2)=5f(2) = 5 olur.
Dizi terimlerinin indisleri pozitif tam sayı olmak zorundadır. n=1n=1 için 4, n=2n=2 için 5, n=3n=3 için 4 değerleri elde edilir ve sonraki terimler azalarak devam eder.
4
xx için sınır değerini belirleme ve en küçük tam sayıyı bulma.
x≥5x \ge 5 şartından en küçük tam sayı değeri 5'tir.
Eşitsizliğin tüm n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ değerleri için sağlanması, xx'in bu kümedeki en büyük değerden büyük veya eşit olmasını gerektirir.

Anahtar Kavram

Bir gerçek sayı dizisinin genel teriminin tanımlı olması için tanım kümesi olan pozitif tam sayılar kümesindeki her eleman için reel sayı değerleri üretmesi gerekir. Kareköklü ifadelerde kök içi sıfırdan büyük veya eşit olmalıdır.
Soru 27Soru →
xx bir dar açı olmak üzere,
cos⁡(x−60∘)=2sin⁡(x−30∘)\cos(x - 60^\circ) = 2\sin(x - 30^\circ)
denklemini sağlayan xx açısı kaç derecedir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Denklemi sağlayan dar açı 60 derecedir.
Verilen denklemde kosinüs ve sinüs fark formülleri uygulanıp benzer terimler gruplandırıldığında tan⁡x=3\tan x = \sqrt{3} eşitliği elde edilir. Bu eşitliği sağlayan dar açı 60 derecedir.

Adım Adım Çözüm

1
Sol taraftaki terimi kosinüs fark formülü yardımıyla açmak.
cos⁡(x−60∘)=12cos⁡x+32sin⁡x\cos(x - 60^\circ) = \frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x
Kosinüs fark formülü cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b şeklindedir ve bilinen özel açı değerleri (cos⁡60∘=1/2\cos 60^\circ = 1/2, sin⁡60∘=3/2\sin 60^\circ = \sqrt{3}/2) yerine yazılmıştır.
2
Sağ taraftaki terimi sinüs fark formülü yardımıyla açmak.
sin⁡(x−30∘)=32sin⁡x−12cos⁡x\sin(x - 30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x
Sinüs fark formülü sin⁡(a−b)=sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡b\sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b şeklindedir ve bilinen özel açı değerleri (cos⁡30∘=3/2\cos 30^\circ = \sqrt{3}/2, sin⁡30∘=1/2\sin 30^\circ = 1/2) yerine yazılmıştır.
3
Elde edilen açılımları denklemde yerine koyup denklemi düzenlemek.
32cos⁡x=32sin⁡x\frac{3}{2}\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x
Açılımlar denklemde yerine yazılıp benzer terimler bir araya toplandığında denklem sadeleşir.
4
tan⁡x\tan x değerini hesaplamak.
tan⁡x=3\tan x = \sqrt{3}
tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} tanımından yararlanarak sadeleşen denklemin her iki tarafı düzenlenir.
5
Dar açı tanımına uygun çözümü belirlemek.
x=60∘x = 60^\circ
0∘<x<90∘0^\circ < x < 90^\circ aralığında tanjantı 3\sqrt{3} olan tek açı 60∘60^\circ derecedir.

Anahtar Kavram

Toplam ve fark formülleri kullanılarak trigonometrik denklemlerin çözülmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 28Soru →
Grafiği yy-eksenine göre simetrik olan bir ff fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
(x2+3)⋅f(−x)=2x4+5x2−3(x^2 + 3) \cdot f(-x) = 2x^4 + 5x^2 - 3
eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Aranan f(2)f(2) değeri 7'dir.
Grafiği yy-eksenine göre simetrik olan fonksiyonlar çift fonksiyondur ve çift fonksiyonlarda her xx gerçel sayısı için f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) eşitliği sağlanır. Bu kural verilen denklemde yerine yazıldığında, (x2+3)f(x)=2x4+5x2−3(x^2 + 3)f(x) = 2x^4 + 5x^2 - 3 elde edilir. Bu eşitlikte x=2x = 2 yazıldığında 7⋅f(2)=497 \cdot f(2) = 49 denklemi kurulur ve buradan f(2)=7f(2) = 7 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Grafiğin yy-eksenine göre simetri özelliğini kullanarak f(−x)f(-x) ifadesini f(x)f(x) cinsinden yazmak
f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)
Bir fonksiyonun grafiğinin yy-eksenine göre simetrik olması, o fonksiyonun çift fonksiyon olduğunu gösterir ve çift fonksiyonlar tanım gereği bu eşitliği sağlar.
2
Elde edilen f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) eşitliğini verilen denklemde yerine koyarak denklemi sadeleştirmek
(x2+3)⋅f(x)=2x4+5x2−3(x^2 + 3) \cdot f(x) = 2x^4 + 5x^2 - 3
Denklemdeki bilinmeyen fonksiyon ifadesini tek bir biçimde temsil ederek çözüm sürecini kolaylaştırmak.
3
Denklemde xx yerine 2 yazarak f(2)f(2) değerini hesaplamak
f(2)=7f(2) = 7
Soruda istenen f(2)f(2) değerine doğrudan ulaşmak için değişkenin yerine ilgili sayısal değeri yazıp gerekli aritmetik işlemleri yapmak.

Anahtar Kavram

Grafiği y-eksenine göre simetrik olan çift fonksiyonlarda f(-x) = f(x) özelliğinin kullanılması
Soru 29Soru →
f(x)=log⁡∣x−5∣(35+2x−x2)f(x) = \log_{|x-5|}(35 + 2x - x^2)

fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki xx tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -4

Cevap

Verilen fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki xx tam sayılarının toplamı −4-4 olur.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olması için tabandaki ∣x−5∣|x-5| ifadesinin sıfırdan büyük ve 1'den farklı olması gerekir. Bu durumda xx değeri 44, 55 ve 66 olamaz. Aynı zamanda argümandaki 35+2x−x235 + 2x - x^2 ifadesi sıfırdan büyük olmalıdır. Bu eşitsizlik çözüldüğünde −5<x<7-5 < x < 7 aralığı elde edilir. Bu aralıktaki tam sayılardan 4,5,64, 5, 6 değerleri hariç tutulup geri kalan −4,−3,−2,−1,0,1,2,3-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 sayıları toplandığında elde edilen sonuç −4-4 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Tabanın pozitif ve 1'den farklı olma şartını inceleme
x≠4x \neq 4, x≠5x \neq 5 ve x≠6x \neq 6
Logaritma tanımı gereği taban ∣x−5∣>0|x-5| > 0 ve ∣x−5∣≠1|x-5| \neq 1 olmalıdır.
2
Logaritması alınan ifadenin pozitif olma şartını inceleme
x∈(−5,7)x \in (-5, 7)
Logaritmanın argümanı pozitif olmalıdır, yani 35+2x−x2>035 + 2x - x^2 > 0 eşitsizliği sağlanmalıdır.
3
Elde edilen koşulları kesiştirip tam sayı değerlerini toplama
Toplam = −4-4
(−5,7)(-5, 7) aralığındaki tam sayılardan 4,54, 5 ve 66 değerleri hariç tutularak kalan tam sayıların toplamı alınır.

Anahtar Kavram

Bir logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının pozitif ve 1'den farklı, logaritması alınan ifadenin ise pozitif olması gerekir.
Soru 30Soru →
log⁡3(x+5)⋅log⁡12(x2−4x+4)−23−33−x≥0\log_3(x + 5) \cdot \frac{\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 4x + 4) - 2}{3 - 3^{3-x}} \geq 0 eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -9

Cevap

Eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı −9-9'dur.
Logaritmik tanım kümeleri ve payda sınırları dikkate alındığında eşitsizliğin çözüm kümesi [−4,1.5]∪(2,2.5][-4, 1.5] \cup (2, 2.5] olur. Bu kümedeki tam sayılar sadece [−4,1.5][-4, 1.5] aralığından gelen −4,−3,−2,−1,0,1-4, -3, -2, -1, 0, 1 sayılarıdır ve toplamları −9-9 değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesini belirlemek
Tanım kümesi D=(−5,∞)∖{2}D = (-5, \infty) \setminus \{2\} olarak bulunur.
log⁡3(x+5)\log_3(x+5) ifadesinin tanımlı olması için x+5>0  ⟹  x>−5x + 5 > 0 \implies x > -5 olmalıdır. log⁡12(x2−4x+4)\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 4x + 4) ifadesinin tanımlı olması için x2−4x+4>0  ⟹  (x−2)2>0  ⟹  x≠2x^2 - 4x + 4 > 0 \implies (x-2)^2 > 0 \implies x \neq 2 olmalıdır. Ayrıca paydanın sıfır olmaması gerektiğinden 3−33−x≠0  ⟹  3−x≠1  ⟹  x≠23 - 3^{3-x} \neq 0 \implies 3-x \neq 1 \implies x \neq 2 olmalıdır.
2
Çarpanların köklerini ve işaretlerini analiz etmek
Kritik noktalar ve işaret durumları belirlendi.
1) log⁡3(x+5)=0  ⟹  x=−4\log_3(x+5) = 0 \implies x = -4. İfade x>−4x > -4 için pozitif, −5<x<−4-5 < x < -4 için negatiftir.
2) log⁡12(x2−4x+4)−2=0  ⟹  (x−2)2=1/4  ⟹  x=1.5\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 4x + 4) - 2 = 0 \implies (x-2)^2 = 1/4 \implies x = 1.5 veya x=2.5x = 2.5. Logaritma tabanı 1/2<11/2 < 1 olduğundan, 1.5<x<2.51.5 < x < 2.5 (ve x≠2x \neq 2) aralığında bu çarpan pozitif, x<1.5x < 1.5 veya x>2.5x > 2.5 durumlarında negatiftir.
3) 3−33−x=0  ⟹  x=23 - 3^{3-x} = 0 \implies x = 2. Payda ifadesi x>2x > 2 için pozitif, x<2x < 2 için negatiftir.
3
İşaret tablosu oluşturmak
En geniş çözüm kümesi [−4,1.5]∪(2,2.5][-4, 1.5] \cup (2, 2.5] olarak elde edilir.
Belirlenen kökler tablolandığında:
- (−5,−4)(-5, -4) aralığında: (−)⋅(−)/(−)=(−)(-) \cdot (-) / (-) = (-)
- [−4,1.5][-4, 1.5] aralığında: (+)⋅(−)/(−)=(+)(+) \cdot (-) / (-) = (+)
- (1.5,2)(1.5, 2) aralığında: (+)⋅(+)/(−)=(−)(+) \cdot (+) / (-) = (-)
- (2,2.5](2, 2.5] aralığında: (+)⋅(+)/(+)=(+)(+) \cdot (+) / (+) = (+)
- (2.5,∞)(2.5, \infty) aralığında: (+)⋅(−)/(+)=(−)(+) \cdot (-) / (+) = (-)
Eşitsizlik sıfırdan büyük veya eşit olmasını gerektirdiğinden pozitif aralıklar seçilir.
4
Çözüm kümesindeki tam sayıları toplamak
Eşitsizliği sağlayan tam sayıların toplamı −9-9 olarak bulunur.
[−4,1.5][-4, 1.5] aralığındaki tam sayılar −4,−3,−2,−1,0,1-4, -3, -2, -1, 0, 1 şeklindedir. (2,2.5](2, 2.5] aralığında hiçbir tam sayı bulunmaz. Bu tam sayıların toplamı ise (−4)+(−3)+(−2)+(−1)+0+1=−9(-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 = -9 olur.

Anahtar Kavram

Logaritma tabanının 00 ile 11 arasında olması durumunda eşitsizliğin yön değiştirmesi, logaritma tanım kümesi şartları ve rasyonel eşitsizliklerde payda kökünün dışlanması.
Soru 31Soru →

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı bir ff fonksiyonunun grafiği A(6,8)A(6, 8) noktasından geçmektedir. g(x)=3⋅f(2x)g(x) = 3 \cdot f(2x) şeklinde tanımlanan gg fonksiyonunun grafiği üzerindeki noktalardan biri (3,k)(3, k) olduğuna göre, kk değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Yirmi dört
f(6)=8f(6) = 8 olduğu verilmiştir. g(3)=3⋅f(2⋅3)=3⋅f(6)g(3) = 3 \cdot f(2 \cdot 3) = 3 \cdot f(6) eşitliğinden 3⋅8=243 \cdot 8 = 24 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
ff fonksiyonunun grafiği üzerindeki A(6,8)A(6, 8) noktasını kullanarak f(6)f(6) değerini belirleyin.
f(6)=8f(6) = 8
Bir fonksiyonun grafiği üzerindeki her nokta, fonksiyonun denklemini sağlamak zorundadır.
2
g(x)=3⋅f(2x)g(x) = 3 \cdot f(2x) tanımından yararlanarak g(3)g(3) ifadesinin değerini ff cinsinden yazın.
g(3)=3⋅f(6)g(3) = 3 \cdot f(6)
gg fonksiyonunun grafiği (3,k)(3, k) noktasından geçtiği için g(3)=kg(3) = k eşitliği geçerlidir.
3
f(6)f(6) değerini yerine koyarak g(3)g(3) değerini hesaplayın.
k=24k = 24
g(3)=3⋅f(6)g(3) = 3 \cdot f(6) eşitliğinde f(6)=8f(6) = 8 yazıldığında g(3)=3⋅8=24g(3) = 3 \cdot 8 = 24 elde edilir.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda yatay sıkıştırma/esnetme dönüşümü f(b⋅x)f(b \cdot x) ve dikey esnetme/sıkıştırma dönüşümü a⋅f(x)a \cdot f(x) kurallarının birlikte uygulanması.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 32Soru →

Bir torbada üzerinde 11'den 1212'ye kadar olan tam sayıların yazılı olduğu 1212 kart bulunmaktadır. Bu torbadan rastgele seçilen iki farklı kartın üzerinde yazan sayıların toplamının, bu sayıların çarpımını tam bölme olasılığı 1x\frac{1}{x} olduğuna göre, xx değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

İki kartın üzerinde yazan sayıların toplamının çarpımlarını tam bölme olasılığı 122\frac{1}{22} olduğundan, xx değeri 22'dir.
Seçilebilecek tüm iki elemanlı alt kümelerin sayısı 66'dır. Koşulu sağlayan eleman çiftleri {3,6}\{3, 6\}, {4,12}\{4, 12\} ve {6,12}\{6, 12\} olup 3 tanedir. Bu durumda olasılık 366=122\frac{3}{66} = \frac{1}{22} olur ve xx değeri 22 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Tüm olası durumların sayısını kombinasyon yardımıyla hesaplamak.
Torbada 12 kart olduğundan, rastgele seçilen iki farklı kartın tüm olası durum sayısı (122)=12×112=66\binom{12}{2} = \frac{12 \times 11}{2} = 66 olur.
Olasılık hesabında örnek uzayın eleman sayısını (tüm durumları) belirlemek gerekir.
2
Toplamları çarpımlarını bölen uygun kart çiftlerini belirlemek.
Seçilen sayılar aa ve bb (a<ba < b) olsun. a⋅ba+b\frac{a \cdot b}{a+b} ifadesinin tam sayı olması istenir. Bu koşulu sağlayan çiftler {3,6}\{3, 6\}, {4,12}\{4, 12\} ve {6,12}\{6, 12\} olmak üzere 3 tanedir.
a+ba+b ve a⋅ba \cdot b arasındaki bölünebilme ilişkisini sağlayan sayı çiftlerini bulmak gerekir. Matematiksel olarak, a=d⋅xa = d \cdot x ve b=d⋅yb = d \cdot y (burada d=EBOB(a,b)d = \text{EBOB}(a, b) ve EBOB(x,y)=1\text{EBOB}(x, y) = 1) yazıldığında, x+yx+y toplamı dd sayısını tam bölmelidir. d=k(x+y)d = k(x+y) (k≥1k \geq 1) yazılarak b=k(x+y)y≤12b = k(x+y)y \leq 12 eşitsizliğini sağlayan çözümler incelenirse sadece bu 3 çift elde edilir.
3
İstenen olasılığı ve dolayısıyla xx değerini bulmak.
Olasılık 366=122\frac{3}{66} = \frac{1}{22} olarak bulunur. Bu değer 1x\frac{1}{x} ifadesine eşitlendiğinde x=22x = 22 elde edilir.
İstenen durum sayısını tüm durum sayısına bölerek basit olayların olasılığı kuralını uygulamak ve sorulan xx değişkenini çekmek.

Anahtar Kavram

Bir örnek uzayda tanımlı basit olayların olasılığı, istenen durum sayısının tüm durumların sayısına oranı ile hesaplanır.
Soru 33Soru →

Düz bir yolda kaymadan dönerek ilerleyen bir bisiklet tekerleğinin kütle merkezinin öteleme sürati 10 m/s10\text{ m/s}'dir. Tekerleğin kütlesi 1,5 kg1,5\text{ kg} olup tekerlek ince halka (I=mR2I = mR^2) olarak modellendiğine göre, tekerleğin toplam kinetik enerjisi kaç Joule'dür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 150

Cevap

Tekerleğin toplam kinetik enerjisi 150 Joule'dür.
Toplam kinetik enerji, öteleme kinetik enerjisi (Eo¨t=12mv2=75 JE_{\text{öt}} = \frac{1}{2}mv^2 = 75\text{ J}) ve dönme kinetik enerjisinin (Edo¨n=12Iω2=75 JE_{\text{dön}} = \frac{1}{2}I\omega^2 = 75\text{ J}) toplamı olan 150 Joule'dür.

Adım Adım Çözüm

1
Tekerleğin öteleme kinetik enerjisini hesaplamak.
Eo¨t=75 JE_{\text{öt}} = 75\text{ J}
Öteleme kinetik enerjisi, kütle merkezinin hızı kullanılarak Eo¨t=12mv2E_{\text{öt}} = \frac{1}{2}mv^2 formülü ile hesaplanır.
2
Tekerleğin dönme kinetik enerjisini hesaplamak.
Edo¨n=75 JE_{\text{dön}} = 75\text{ J}
Dönme kinetik enerjisi Edo¨n=12Iω2E_{\text{dön}} = \frac{1}{2}I\omega^2 olup, I=mR2I = mR^2 ve ω=v/R\omega = v/R bağıntıları yerine yazıldığında öteleme kinetik enerjisine eşit olur.
3
Toplam kinetik enerjiyi bulmak.
Etop=150 JE_{\text{top}} = 150\text{ J}
Kaymadan dönerek öteleme hareketi yapan cisimlerin toplam kinetik enerjisi, öteleme ve dönme kinetik enerjilerinin toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Dönerek öteleme hareketi yapan cisimlerin toplam kinetik enerjisi, öteleme kinetik enerjisi ile dönme kinetik enerjisinin toplamıdır.

Alternatif Yöntem

Toplam kinetik enerji, anlık dönme merkezine göre eylemsizlik momenti kullanılarak da bulunabilir. Temas noktasına göre anlık eylemsizlik momenti Ianlık=I+mR2=2mR2I_{\text{anlık}} = I + mR^2 = 2mR^2 olur. Buradan Etop=12Ianlıkω2=12(2mR2)(vR)2=mv2=1,5⋅102=150 JE_{\text{top}} = \frac{1}{2}I_{\text{anlık}}\omega^2 = \frac{1}{2}(2mR^2)\left(\frac{v}{R}\right)^2 = mv^2 = 1,5 \cdot 10^2 = 150\text{ J} bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 34Soru →
2x2−3xy+y2=0x2−xy−y2=−5\begin{aligned} 2x^2 - 3xy + y^2 &= 0 \\ x^2 - xy - y^2 &= -5 \end{aligned}

denklem sistemini sağlayan (x,y)(x, y) gerçek sayı ikilileri için x2+y2x^2 + y^2 toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Denklem sistemini sağlayan gerçek sayı ikilileri için x2+y2x^2 + y^2 toplamının alabileceği en büyük de��er 10'dur.
Sistemdeki ilk denklemin çarpanlarına ayrılmasıyla elde edilen y=xy = x ilişkisi ikinci denklemde yerine yazıldığında x2=5x^2 = 5 elde edilir. Bu durum koordinatların karesinin toplamını 5+5=105 + 5 = 10 yapar. Diğer durum olan y=2xy = 2x ilişkisinden ise x2+y2=5x^2 + y^2 = 5 değeri elde edilir. Dolayısıyla en büyük değer 10 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci denklemi çarpanlarına ayırma
(2x−y)(x−y)=0(2x - y)(x - y) = 0 denkleminden y=2xy = 2x ve y=xy = x eşitlikleri elde edilir.
İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinde homojen olan denklem çarpanlarına ayrılarak değişkenler arasında doğrusal ilişkiler kurulur.
2
Birinci durumun (y=2xy = 2x) ikinci denklemde yerine yazılması
x2−2x2−4x2=−5⇒−5x2=−5⇒x=±1x^2 - 2x^2 - 4x^2 = -5 \Rightarrow -5x^2 = -5 \Rightarrow x = \pm 1 ve buna bağlı olarak (1,2)(1, 2), (−1,−2)(-1, -2) çözümleri elde edilir.
Elde edilen birinci doğrusal ilişkiyi sistemin diğer denkleminde yerine yazarak ortak çözümleri bulmak.
3
İkinci durumun (y=xy = x) ikinci denklemde yerine yazılması
x2−x2−x2=−5⇒−x2=−5⇒x=±5x^2 - x^2 - x^2 = -5 \Rightarrow -x^2 = -5 \Rightarrow x = \pm\sqrt{5} ve buna bağlı olarak (5,5)(\sqrt{5}, \sqrt{5}), (−5,−5)(-\sqrt{5}, -\sqrt{5}) çözümleri elde edilir.
Elde edilen ikinci doğrusal ilişkiyi sistemin diğer denkleminde yerine yazarak diğer ortak çözümleri bulmak.
4
Maksimum değeri bulmak için elde edilen çözümlerin değerlendirilmesi
y=2xy = 2x durumundan gelen çözümler için x2+y2=5x^2 + y^2 = 5, y=xy = x durumundan gelen çözümler için ise x2+y2=10x^2 + y^2 = 10 bulunur. En büyük değer 10 olarak belirlenir.
Bulunan tüm gerçek sayı çözümleri için hedeflenen ifadenin değerini hesaplayıp en büyüğünü seçmek.

Anahtar Kavram

İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntemleri
Soru 35Soru →
x∈(0,π8)x \in \left(0, \frac{\pi}{8}\right) olmak üzere,
cos⁡2(2x)−sin⁡2(2x)sin⁡2xcos⁡2x=12\frac{\cos^2(2x) - \sin^2(2x)}{\sin^2 x \cos^2 x} = 12

olduğuna göre, cos⁡(8x)\cos(8x) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -0.28

Cevap

İfadenin doğru cevabı -0.28 olarak bulunur.
Verilen trigonometrik ifade yarım açı formülleri kullanılarak cos⁡(4x)=3sin⁡2(2x)\cos(4x) = 3\sin^2(2x) biçimine dönüştürülür. cos⁡(4x)=1−2sin⁡2(2x)\cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x) özdeşliği yerine yazıldığında sin⁡2(2x)=1/5\sin^2(2x) = 1/5 ve cos⁡(4x)=3/5\cos(4x) = 3/5 elde edilir. Son olarak cos⁡(8x)=2cos⁡2(4x)−1\cos(8x) = 2\cos^2(4x) - 1 formülünden doğru cevap -7/25 yani -0.28 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Pay ve paydadaki ifadeleri yarım açı formülleri cinsinden yazın.
Pay: cos⁡(4x)\cos(4x), Payda: sin⁡2(2x)4\frac{\sin^2(2x)}{4}
İfadeyi tek bir açı türüne indirgemek ve sadeleştirmek için.
2
Elde edilen ifadeleri verilen denklemde yerine koyup düzenleyin.
4cos⁡(4x)sin⁡2(2x)=12  ⟹  cos⁡(4x)=3sin⁡2(2x)\frac{4\cos(4x)}{\sin^2(2x)} = 12 \implies \cos(4x) = 3\sin^2(2x)
cos⁡(4x)\cos(4x) ve sin⁡2(2x)\sin^2(2x) arasındaki ilişkiyi bulmak için.
3
cos⁡(4x)\cos(4x) yerine kosinüsün yarım açı formülü olan 1−2sin⁡2(2x)1 - 2\sin^2(2x) yazarak sin⁡2(2x)\sin^2(2x) değerini hesaplayın.
1−2sin⁡2(2x)=3sin⁡2(2x)  ⟹  sin⁡2(2x)=151 - 2\sin^2(2x) = 3\sin^2(2x) \implies \sin^2(2x) = \frac{1}{5}
İkinci dereceden denklemi çözerek sin⁡2(2x)\sin^2(2x) değerini elde etmek için.
4
sin⁡2(2x)\sin^2(2x) değerini kullanarak cos⁡(4x)\cos(4x) değerini bulun.
cos⁡(4x)=1−2(15)=35\cos(4x) = 1 - 2\left(\frac{1}{5}\right) = \frac{3}{5}
Bir sonraki ad��mda cos⁡(8x)\cos(8x) değerini hesaplarken cos⁡(4x)\cos(4x) değerine ihtiyaç duyulduğu için.
5
Kosinüs yarım açı formülünü tekrar uygulayarak cos⁡(8x)\cos(8x) değerini hesaplayın.
cos⁡(8x)=2cos⁡2(4x)−1=2(35)2−1=−725=−0.28\cos(8x) = 2\cos^2(4x) - 1 = 2\left(\frac{3}{5}\right)^2 - 1 = -\frac{7}{25} = -0.28
Soru kökündeki istenen değeri elde etmek için.

Anahtar Kavram

Kosinüs ve sinüs fonksiyonlarının yarım açı formüllerinin uygulanması ve denklemlerin çözülmesi.

Alternatif Yöntem

cos⁡(4x)=3sin⁡2(2x)\cos(4x) = 3\sin^2(2x) eşitliğinde sin⁡2(2x)=1−cos⁡2(2x)\sin^2(2x) = 1 - \cos^2(2x) yazılarak doğrudan cos⁡(2x)\cos(2x) veya cos⁡(4x)\cos(4x) üzerinden de çözüme gidilebilir: cos⁡(4x)=3(1−cos⁡2(2x))=3(1−1+cos⁡(4x)2)\cos(4x) = 3(1 - \cos^2(2x)) = 3\left(1 - \frac{1+\cos(4x)}{2}\right) denkleminden cos⁡(4x)=3−32−32cos⁡(4x)  ⟹  52cos⁡(4x)=32  ⟹  cos⁡(4x)=35\cos(4x) = 3 - \frac{3}{2} - \frac{3}{2}\cos(4x) \implies \frac{5}{2}\cos(4x) = \frac{3}{2} \implies \cos(4x) = \frac{3}{5} bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 36Soru →
Dik koordinat düzleminde, kk bir gerçek sayı olmak üzere
f(x)=x3−3x2−6x+kf(x) = x^3 - 3x^2 - 6x + k
eğrisinin yerel ekstremum noktalarından geçen doğru, bu eğriye x=ax = a (a>0a > 0) apsisli noktasında teğet olan doğruya paraleldir.

Buna göre, aa değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Yerel ekstremum noktalarından geçen doğrunun eğimi −6-6 olduğundan, paralel teğet doğrusunun eğimi de f′(a)=−6f'(a) = -6 olmalıdır. Bu denklemin çözülmesiyle a>0a > 0 koşulunu sağlayan değer 22 olarak elde edilir.
Eğrinin yerel ekstremum noktalarından geçen doğrunun eğimi −6-6 olarak bulunur. Paralel doğruların eğimleri eşit olduğundan teğet doğrusunun eğimi olan f′(a)f'(a) değeri de −6-6'ya eşitlenir. Buradan elde edilen pozitif kök aranan sonucu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevi alınarak yerel ekstremum noktalarının apsislerini veren denklem elde edilir.
f′(x)=3x2−6x−6=0  ⟹  x2−2x−2=0f'(x) = 3x^2 - 6x - 6 = 0 \implies x^2 - 2x - 2 = 0 elde edilir. Bu denklemin kökleri x1x_1 ve x2x_2 olsun.
Yerel ekstremum noktalarında fonksiyonun birinci türevi sıfıra eşittir.
2
Ekstremum noktalarının ordinatlarını veren ifadeler, derece azaltma yöntemiyle birinci dereceden terimler cinsinden yazılır.
x2=2x+2x^2 = 2x + 2 eşitliği kullanılarak f(x)=−6x+k−2f(x) = -6x + k - 2 bulunur. Dolayısıyla ekstremum noktaları A(x1,−6x1+k−2)A(x_1, -6x_1 + k - 2) ve B(x2,−6x2+k−2)B(x_2, -6x_2 + k - 2) olur.
İki noktadan geçen doğrunun eğimini hesaplamak için ordinat değerlerini sadeleştirmek gerekir.
3
Yerel ekstremum noktalarından geçen doğrunun eğimi (m1m_1) hesaplanır.
m1=(−6x2+k−2)−(−6x1+k−2)x2−x1=−6m_1 = \frac{(-6x_2 + k - 2) - (-6x_1 + k - 2)}{x_2 - x_1} = -6 olarak bulunur.
İki noktası bilinen doğrunun eğim formülü uygulanır.
4
Eğriye x=ax = a apsisli noktasından çizilen teğetin eğimi (m2m_2) bu eğime eşitlenerek aa değeri çözülür.
f′(a)=−6  ⟹  3a2−6a−6=−6  ⟹  3a(a−2)=0f'(a) = -6 \implies 3a^2 - 6a - 6 = -6 \implies 3a(a-2) = 0 denklemi elde edilir. Buradan a=0a = 0 veya a=2a = 2 bulunur. a>0a > 0 şartından dolayı a=2a = 2'dir.
Paralel doğruların eğimleri eşittir ve teğet doğrusunun eğimi türeve eşittir.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu ve yerel ekstremum noktalarından geçen doğrunun eğiminin türev yardımıyla bulunması.
Soru 37Soru →

Radyoaktif Xenon-133 (133Xe^{133}\text{Xe}) izotopunun yarı ömrü yaklaşık 55 gündür. Başlangıçtaki aktivitesi 320 Bq320\text{ Bq} olan saf bir 133Xe^{133}\text{Xe} numunesinin aktivitesinin 10 Bq10\text{ Bq} değerine düşmesi için geçmesi gereken süre kaç gündür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

Aktivitenin 10 Bq10\text{ Bq} değerine düşmesi için geçmesi gereken süre 2525 gündür.
Aktivite her yarı ömürde yarıya iner. 320 Bq320\text{ Bq} değerinden sırasıyla 160160, 8080, 4040, 2020 ve 10 Bq10\text{ Bq} değerlerine ulaşmak için 55 kez yarılanma gerçekleşmelidir. Bir yarılanma süresi 55 gün olduğundan, toplam süre 5×5=255 \times 5 = 25 gündür.

Adım Adım Çözüm

1
Başlangıç ve son aktivite değerlerini kullanarak aktivite oranını hesaplamak.
Aktivite oranı AA0=10320=132\frac{A}{A_0} = \frac{10}{320} = \frac{1}{32} olarak bulunur.
Geçen sürenin yarı ömür cinsinden karşılığını belirlemek için aktivitenin ne oranda azaldığını bilmemiz gerekir.
2
Aktivitenin yarı ömür formülünü kullanarak geçen yarı ömür sayısını bulmak.
Aktivite 252^5 kat azaldığı için 55 yarı ömür geçmiştir (t/T1/2=5t / T_{1/2} = 5).
Her bir yarı ömür süresinde aktivite yarıya iner. 132=(12)5\frac{1}{32} = \left(\frac{1}{2}\right)^5 olduğundan 5 yarı ömürlük süre geçmelidir.
3
Geçen toplam süreyi gün cinsinden hesaplamak.
t=5×5 gu¨n=25 gu¨nt = 5 \times 5\text{ gün} = 25\text{ gün} olarak elde edilir.
Toplam süre, geçen yarı ömür sayısı ile bir yarı ömrün süresinin çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Radyoaktif çekirdeklerin aktivitesi, başlangıçtaki çekirdek sayısı ile doğru orantılıdır ve her yarı ömür süresi sonunda yarıya iner.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 38Soru →
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere,
cos⁡(4x)cos⁡(2x)−sin⁡(2x)=1.2\frac{\cos(4x)}{\cos(2x) - \sin(2x)} = 1.2

olduğuna göre, sin⁡(4x)\sin(4x) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.44

Cevap

sin(4x) ifadesinin değeri 0,44 olarak bulunur.
Soruda pay kısmında verilen cos⁡(4x)\cos(4x) terimi kosinüs yarım açı formülüyle cos⁡2(2x)−sin⁡2(2x)\cos^2(2x) - \sin^2(2x) olarak yazılıp iki kare farkı şeklinde çarpanlarına ayrıldığında paydadaki cos⁡(2x)−sin⁡(2x)\cos(2x) - \sin(2x) terimiyle sadeleşir. Kalan cos⁡(2x)+sin⁡(2x)=1.2\cos(2x) + \sin(2x) = 1.2 denkleminin karesi alındığında elde edilen 1+sin⁡(4x)=1.441 + \sin(4x) = 1.44 denkleminden aranan değer 0.440.44 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Payda bulunan cos(4x) ifadesine yarım açı ve iki kare farkı özdeşliği uygulanır.
cos⁡(4x)=(cos⁡(2x)−sin⁡(2x))(cos⁡(2x)+sin⁡(2x))\cos(4x) = (\cos(2x) - \sin(2x))(\cos(2x) + \sin(2x))
Payda ile ortak çarpanlar elde edip sadeleştirme yapabilmek amacıyla bu dönüşüm uygulanır.
2
Elde edilen çarpanlar paydadaki terimle sadeleştirilir.
cos⁡(2x)+sin⁡(2x)=1.2\cos(2x) + \sin(2x) = 1.2
Pay ve paydadaki ortak olan (cos⁡(2x)−sin⁡(2x))(\cos(2x) - \sin(2x)) terimleri sadeleşerek ifadeyi doğrusal bir forma getirir.
3
Eşitliğin her iki tarafının karesi alınır.
cos⁡2(2x)+2sin⁡(2x)cos⁡(2x)+sin⁡2(2x)=1.44\cos^2(2x) + 2\sin(2x)\cos(2x) + \sin^2(2x) = 1.44
Trigonometrik özdeşlikleri kullanarak sin(4x) terimini açığa çıkarmak için iki tarafın da karesi alınmalıdır.
4
Temel trigonometrik özdeşlikler yerine yazılır ve bilinmeyen yalnız bırakılır.
1+sin⁡(4x)=1.44  ⟹  sin⁡(4x)=0.441 + \sin(4x) = 1.44 \implies \sin(4x) = 0.44
cos⁡2(2x)+sin⁡2(2x)=1\cos^2(2x) + \sin^2(2x) = 1 ve 2sin⁡(2x)cos⁡(2x)=sin⁡(4x)2\sin(2x)\cos(2x) = \sin(4x) eşitlikleri kullanılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Kosinüs yarım açı formülü ile çarpanlara ayırma ve toplamın karesi özdeşliğinden sinüs yarım açı formülüne geçiş.
Soru 39Soru →
Genel terimi
an=2n2+2n+28n+1a_n = \frac{2n^2 + 2n + 28}{n+1}
olan (an)(a_n) dizisinin en küçük terimi kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

Dizinin en küçük terimi 13'tür.
Dizinin genel terimi an=2n+28n+1a_n = 2n + \frac{28}{n+1} biçiminde yazıldığında, ifadenin en küçük değeri n=3n=3 pozitif tam sayısı için 1313 olarak bulunur. Sürekli fonksiyonun minimum noktası tam sayı olmadığından, en yakın tam sayı değerleri kontrol edilmelidir.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terim ifadesini sadeleştirmek için payı paydaya bölün veya uygun şekilde gruplayın.
an=2n+28n+1a_n = 2n + \frac{28}{n+1}
Değişkenin etkisini daha rahat incelemek ve fonksiyonun davranışını analiz etmek için.
2
f(x)=2x+28x+1f(x) = 2x + \frac{28}{x+1} sürekli fonksiyonunun türevini alarak sıf��ra eşitleyin.
x≈2.74x \approx 2.74
Sürekli fonksiyonun minimum değerini aldığı kritik noktayı bulmak için.
3
Dizi tanımı gereği nn indisinin pozitif tam sayı olması gerektiğini göz önüne alarak, 2.742.74 değerine en yakın tam sayıları belirleyin.
n=2n = 2 ve n=3n = 3
En küçük terimin bu tam sayılardan birinde gerçekleşeceğini bilmek.
4
n=2n=2 ve n=3n=3 değerlerini genel terimde yerine koyarak terim değerlerini hesaplayın.
a2=403≈13.33a_2 = \frac{40}{3} \approx 13.33 ve a3=13a_3 = 13
Hangi tam sayı değerinin daha küçük sonuç verdiğini bulmak için.
5
Bulunan sonuçları karşılaştırarak en küçük değeri belirleyin.
En küçük terim a3=13a_3 = 13 olarak bulunur.
Karşılaştırma sonucunda 13<13.3313 < 13.33 olduğundan.

Anahtar Kavram

Dizi tanımı gereği genel terim fonksiyonunun tanım kümesinin pozitif tam sayılar kümesi olması ve bu küme üzerinde en küçük değerin bulunması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 40Soru →

Terimleri pozitif gerçek sayılar olan bir (an)(a_n) geometrik dizisinde,

a2⋅a10=36a_2 \cdot a_{10} = 36

olduğuna göre, bu dizinin 6. terimi (a6a_6) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Dizinin 6. terimi 6'dır.
Geometrik dizilerde an2=an−k⋅an+ka_n^2 = a_{n-k} \cdot a_{n+k} özelliği vardır. Burada n=6n=6 ve k=4k=4 seçilirse a62=a2⋅a10a_6^2 = a_2 \cdot a_{10} olur. a2⋅a10=36a_2 \cdot a_{10} = 36 olduğuna göre a62=36a_6^2 = 36 elde edilir. Terimleri pozitif gerçek sayılar olan bu dizide a6=6a_6 = 6 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
a2⋅a10=a62a_2 \cdot a_{10} = a_6^2 eşitliğini kurun.
a62=36a_6^2 = 36
Geometrik dizide, indisleri toplamı eşit olan terimlerin çarpımları birbirine eşittir. Burada 2+10=2⋅62 + 10 = 2 \cdot 6 olduğundan terimlerin çarpımı ortadaki terimin karesine eşittir.
2
a6a_6 değerini bulun.
a6=6a_6 = 6
a62=36a_6^2 = 36 denkleminin kökleri 66 ve −6-6'dır. Dizinin terimleri pozitif gerçek sayılar olarak tanımlandığı için pozitif olan kök alınır.

Anahtar Kavram

Bir geometrik dizide, indisleri toplamı eşit olan terimlerin çarpımları birbirine eşittir. Özel olarak, ak⋅am=ak+m22a_k \cdot a_m = a_{\frac{k+m}{2}}^2 bağıntısı vardır.
ÖncekiSayfa 2 / 43Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin