Tüm alıştırma soruları

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir

f

fonksiyonu

f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 4x

olarak verilmiştir.

Buna göre, $g(x) = f(x^2 - 3x)$ fonksiyonunun azalan olduğu aralıklardaki pozitif tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

g(x) fonksiyonunun azalan olduğu aralıklardaki pozitif tam sayıların toplamı 9'dur.

g(x) fonksiyonunun türevi sıfırdan küçük veya eşitlendiğinde elde edilen eşitsizliğin çözüm kümesindeki pozitif tam sayılar 2, 3 ve 4 olup toplamları 9 değerini vermektedir.

Adım Adım Çözüm

1

g(x)

fonksiyonunun türevi için zincir kuralını uygulayın.

g'(x) = f'(x^2 - 3x) \cdot (2x - 3)

Bileşke fonksiyonların türevi alınırken dıştaki fonksiyonun türevi ile içteki fonksiyonun türevi çarpılır.

2

f'(x)

fonksiyonunu bulun ve türev denkleminde yerine yazın.

f'(x) = x - 4 \implies f'(x^2 - 3x) = x^2 - 3x - 4

ve

g'(x) = (x^2 - 3x - 4)(2x - 3)

Türevin işaret incelemesini yapabilmek için fonksiyonun açık ifadesine ulaşmamız gerekir.

3

g'(x)

ifadesini çarpanlarına ayırıp köklerini belirleyin.

g'(x) = (x-4)(x+1)(2x-3) = 0 \implies x_1 = -1, x_2 = 1.5, x_3 = 4

İşaret tablosu oluşturabilmek için türevi sıfır yapan kritik noktalar (kökler) bulunur.

4

g'(x) \leq 0

eşitsizliği için işaret tablosu oluşturarak fonksiyonun azalan olduğu aralıkları belirleyin.

Azalan olduğu aralıklar:

(-\infty, -1]

ve

[1.5, 4]

Bir fonksiyonun türevinin negatif veya sıfır olduğu aralıklar, fonksiyonun azalan olduğu aralıklardır.

5

Belirlenen aralıklarda yer alan pozitif tam sayıları bulun ve toplayın.

Pozitif tam sayılar:

2, 3, 4

ve toplamları

2 + 3 + 4 = 9

(-\infty, -1]

aralığında pozitif tam sayı yoktur.

[1.5, 4]

aralığındaki pozitif tam sayılar ise

2, 3

ve

4

'tür.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları belirlemek için türevinin işareti incelenir. Türevin negatif veya sıfır olduğu aralıklarda fonksiyon azalandır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 402Soru →

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı $f(x) = 2x + 1$ fonksiyonunun $[1, 4]$ kapalı aralığı $3$ eş alt aralığa bölünüyor. Bu bölüntüye karşılık gelen Riemann alt toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Riemann alt toplamı 15 olarak bulunur.

Verilen

[1, 4]

aralığı

3

eş parçaya bölündüğünde aralık genişliği

\Delta x = 1

olur. Fonksiyon artan olduğu için Riemann alt toplamında her alt aralığın sol ucundaki değerler (

f(1)=3, f(2)=5, f(3)=7

) yükseklik olarak alınır. Dikdörtgenlerin alanları toplamından Riemann alt toplamı

3+5+7=15

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Alt aralık genişliğini ve alt aralıkları belirleme

Genişlik

\Delta x = 1

ve aralıklar

[1, 2]

,

[2, 3]

,

[3, 4]

Riemann toplamı hesaplanırken aralığın eş parçalara bölünmesi gerekir.

2

Fonksiyonun artanlık/azalanlık durumuna göre alt toplam için temsilci noktaları seçme

Sol uç noktalar seçilir:

x = 1, 2, 3

f(x) = 2x + 1

artan olduğundan her alt aralıktaki en küçük değer sol uçta alınır.

3

Seçilen noktalardaki fonksiyon değerlerini hesaplama

f(1) = 3

,

f(2) = 5

,

f(3) = 7

Riemann dikdörtgenlerinin yüksekliklerini bulmak için.

4

Riemann alt toplamı formülünü uygulayarak sonucu hesaplama

1 \cdot 3 + 1 \cdot 5 + 1 \cdot 7 = 15

Dikdörtgenlerin alanları toplamı Riemann alt toplamını verir.

Anahtar Kavram

Riemann alt toplamı, artan fonksiyonlarda alt aralıkların sol uç noktalarındaki değerler kullanılarak hesaplanır.

Soru 403Soru →

f(x) = \frac{x^3}{3} - 9x^2 + 45x + 4

fonksiyonu veriliyor.

Buna göre, $g(x) = f(x^2 - 2x)$ fonksiyonunun azalan olduğu aralıklardaki pozitif tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

Verilen fonksiyonun azalan olduğu aralıklardaki pozitif tam sayıların toplamı 13'tür.

Zincir kuralı yardımıyla g'(x) fonksiyonunun türevi alınıp çarpanlarına ayrıldığında kökler -3, -1, 1, 3, 5 olarak bulunur. İşaret tablosunda g'(x)'in negatif olduğu bölgelerdeki pozitif tam sayılar 1, 3, 4, 5'tir ve toplamları 13 yapar.

Adım Adım Çözüm

1

f(x) fonksiyonunun türevini alıp çarpanlarına ayırın.

f'(x) = x^2 - 18x + 45 = (x - 3)(x - 15)

Bileşke fonksiyonun türevinde kullanmak üzere f' fonksiyonunun kuralını elde etmek.

2

Zincir kuralını uygulayarak g'(x) türevini yazın.

g'(x) = (2x - 2) \cdot f'(x^2 - 2x)

g(x) fonksiyonunun artanlık ve azalanlık durumunu incelemek için türev fonksiyonunu bulmak.

3

f' fonksiyonunda x yerine x^2 - 2x yazarak g'(x) ifadesini tamamen çarpanlarına ayır��n.

g'(x) = 2(x - 1)(x^2 - 2x - 3)(x^2 - 2x - 15) = 2(x - 1)(x - 3)(x + 1)(x - 5)(x + 3)

Türev fonksiyonunun köklerini bulmak için ifadeyi doğrusal çarpanlarına ayırmak.

4

g'(x) = 0 denkleminin köklerini bulun ve küçükten büyüğe sıralayın.

Kökler:

-3, -1, 1, 3, 5

İşaret tablosundaki sınır noktalarını belirlemek.

5

g'(x) için işaret tablosu oluşturarak azalanlık (

g'(x) \leq 0

) aralıklarını belirleyin.

Azalan aralıklar:

(-\infty, -3] \cup [-1, 1] \cup [3, 5]

Türevin negatif veya sıfır olduğu bölgeler fonksiyonun azalan olduğu bölgelerdir.

6

Belirlenen aralıklardaki pozitif tam sayıları toplayın.

1 + 3 + 4 + 5 = 13

Soruda istenen pozitif tam sayıların toplamını bulmak.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun azalan olduğu aralıklar, türevinin sıfırdan küçük veya eşit olduğu aralıklardır. Bileşke fonksiyonların türevi alınırken zincir kuralı uygulanmalıdır.

Soru 404Soru →

Türevlenebilir $f$ ve $g$ fonksiyonları için

g(x) = x^2 - 2x + 2

eşitliği verilmektedir.

f(2) = 2

f'(2) = 3

olduğuna göre, $h(x) = (f \circ f)(x) + (f \circ g)(x)$ biçiminde tanımlanan $h$ fonksiyonunun $x = 2$ noktasındaki türevinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Soruda istenen türev değeri 15'tir.

Bileşke fonksiyonun türev kuralı zincir kuralına dayanır.

h'(x) = f'(f(x)) \cdot f'(x) + f'(g(x)) \cdot g'(x)

ifadesinde verilen değerler yerine yazıldığında doğru sonuç 15 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

h(x)

fonksiyonunun türev ifadesini bileşke fonksiyonun türev kuralını kullanarak yazmak

h'(x) = f'(f(x)) \cdot f'(x) + f'(g(x)) \cdot g'(x)

Bileşke fonksiyonların türevi alınırken zincir kuralı uygulanır.

2

g(x)

fonksiyonunun

x = 2

noktasındaki değerini ve türevini bulmak

g(2) = 2

ve

g'(2) = 2

Türev ifadesinde

g(2)

ve

g'(2)

değerlerine ihtiyaç duyulmaktadır.

3

Elde edilen değerleri

h'(2)

ifadesinde yerine yazıp sonucu hesaplamak

h'(2) = 3 \cdot 3 + 3 \cdot 2 = 15

Verilen

f(2) = 2

,

f'(2) = 3

değerleri ve hesaplanan

g(2) = 2

,

g'(2) = 2

değerleri kullanılarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyonun Türevi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 405Soru →

Dik koordinat düzleminde,

f(x) = \frac{1}{4}x^2 + 6

g(x) = -\frac{1}{4}x^2 + 4

fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir.

$f$ fonksiyonunun grafiğine üzerindeki bir $A$ noktasından çizilen teğet doğrusu ile $g$ fonksiyonunun grafiğine üzerindeki bir $B$ noktasından çizilen teğet doğrusu dik kesişmektedir.

Bu teğet doğruları $y$ ekseni üzerindeki bir $P$ noktasında kesi��tiğine göre, $P$ noktasının ordinatı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Kesişim noktasının ordinat�� 5'tir.

Soruda verilen fonksiyonların türevleri alınıp teğet eğimleri çarpımı

-1

'e eşitlendiğinde

ab=4

elde edilir. Teğetlerin

y

eksenini kestikleri noktaların ordinatları eşitlenirse

a^2+b^2=8

denklemine ulaşılır. Buradan

a^2=4

bulunur ve kesişim noktasının ordinatı 5 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Teğet noktalarını değişkenler cinsinden yazma

A\left(a, \frac{1}{4}a^2+6\right)

ve

B\left(b, -\frac{1}{4}b^2+4\right)

Teğet noktalarının koordinatlarını belirlemek i��in genel formüller yazılır.

2

Türev yardımıyla teğet eğimlerini hesaplama

m_1 = \frac{a}{2}

ve

m_2 = -\frac{b}{2}

Teğet doğrusunun eğimi, değme noktasındaki türev değerine eşittir.

3

Doğruların diklik şartını uygulama

ab = 4

Dik kesişen doğruların eğimleri çarpımı

-1

olmalıdır.

4

Kesişim noktasının y ekseni üzerinde olma şartını kullanma

a^2 + b^2 = 8

Teğetlerin

y

eksenini kestikleri noktaların ordinatları birbirine eşit olmalıdır.

5

Elde edilen denklem sisteminden teğet noktalarının apsislerinin karelerini bulma

a^2 = 4

ve

b^2 = 4

a^2+b^2=8

ve

a^2b^2=16

eşitlikleri çözüldüğünde tam kare ifade elde edilir.

6

Kesişim noktasının ordinatını bulma

5

a^2=4

değeri teğet doğrusunun

y

eksenini kestiği noktanın ordinat ifadesinde yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu, dik kesişen doğruların eğimleri ilişkisi ve analitik geometri uygulamaları.

Soru 406Soru →

Tanımlı olduğu kümede

f(x) = \sqrt{3x+1}

fonksiyonu veriliyor.
Buna göre,

\lim_{h \to 0} \frac{f(5+4h) - f(5-4h)}{h}

limitinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Limitin değeri 3 olarak bulunur.

Verilen limit ifadesi türevin limit tanımına göre düzenlendiğinde

8f'(5)

değerine karşılık gelir.

f(x) = \sqrt{3x+1}

fonksiyonunun türevi alınıp

x = 5

yazıldığında elde edilen

f'(5) = \frac{3}{8}

değeri limit ifadesinde yerine yazılırsa limitin değeri 3 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Limit ifadesini türev tanımına benzetmek.

\lim_{h \to 0} \frac{f(5+4h) - f(5-4h)}{h} = 8f'(5)

Türevin limit tanımı gereği

\lim_{h \to 0} \frac{f(x+ah) - f(x-bh)}{h} = (a+b)f'(x)

eşitliği geçerlidir. Burada

a=4

ve

b=4

olduğundan limit

8f'(5)

değerine eşittir.

2

Fonksiyonun türevini hesaplamak.

f'(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x+1}}

g(x) = \sqrt{u(x)}

ise

g'(x) = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}

kuralı uygulanır.

3

x = 5

noktasındaki türev değerini bulmak.

f'(5) = \frac{3}{8}

Türev fonksiyonunda

x

yerine

5

yazıldığında

f'(5) = \frac{3}{2\sqrt{3\cdot 5+1}} = \frac{3}{2\sqrt{16}} = \frac{3}{8}

elde edilir.

4

Limit değerini hesaplamak.

8 \cdot \frac{3}{8} = 3

İlk adımda elde edilen

8f'(5)

ifadesinde

f'(5)

değeri yerine konur.

Anahtar Kavram

Türevin limit tanımı kullanılarak bir noktalı değişim oranının türev değeriyle ilişkilendirilmesi

Soru 407Soru →

$f(x) = x^2 + 5x + 1$ fonksiyonunun grafiğine üzerindeki $x = -1$ apsisli noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o nokmadaki türev değerine eşit olduğundan doğru cevap 3'tür.

Verilen

f(x) = x^2 + 5x + 1

fonksiyonunun türevi alındığında

f'(x) = 2x + 5

elde edilir. Teğet doğrusunun eğimi, eğrinin teğet noktasındaki türevine eşit olduğundan,

x = -1

apsisli noktadaki teğetin eğimi

m = f'(-1)

olur. Buradan

m = 2(-1) + 5 = 3

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Fonksiyonun türevi alınır.

f'(x) = 2x + 5

Bir fonksiyonun grafiğine herhangi bir noktadan çizilen teğetin eğimini bulmak için öncelikle fonksiyonun türev kuralı elde edilmelidir.

2

Türev fonksiyonunda

x

yerine

-1

yazılır.

f'(-1) = 2(-1) + 5 = 3

Teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun teğet noktasının apsisindeki türev değeridir. Bu nedenle türevde

x = -1

yazılır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki birinci türevinin değerine eşittir.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 408Soru →

$k$ bir gerçel sayı olmak üzere, $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ kümesi üzerinde tanımlı $f$ fonksiyonu

f(x) = \begin{cases} \frac{|x^2 - 1|}{x - 1} + 3x, & x < 1 \\ \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 1} + k, & x > 1 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

$\lim_{x \to 1} f(x)$ limiti var olduğuna göre, $k$ değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

k = 2

Limitin varlığı için kritik nokta olan

x = 1

civarında sağdan ve soldan limitlerin eşitliği ilkesi kullanılmış, mutlak değer ve çarpanlara ayırma işlemleriyle belirsizlikler giderilerek

k

parametresi

2

olarak bulunmuştur.

Adım Adım Çözüm

1

Sol limit değerinin hesaplanması

\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1

x < 1

için

x^2 < 1

olup

x^2 - 1 < 0

elde edilir. Bu nedenle

|x^2 - 1| = -(x^2 - 1) = -(x - 1)(x + 1)

olarak dışarı çıkar. Pay ve paydadaki

(x - 1)

terimleri sadeleştiğinde geriye

-(x + 1) + 3x

kalır.

x \to 1^-

için limit değeri

-(1 + 1) + 3(1) = 1

olur.

2

Sağ limit değerinin hesaplanması

\lim_{x \to 1^+} f(x) = k - 1

x > 1

için rasyonel ifadedeki pay kısmı

x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)

şeklinde çarpanlarına ayrılır. Pay ve paydadaki

(x - 1)

terimleri sadeleştiğinde geriye

x - 2 + k

kalır.

x \to 1^+

için limit değeri

1 - 2 + k = k - 1

olur.

3

Limitin varlık şartının uygulanması

k = 2

x = 1

noktasında limitin var olması için sağdan ve soldan limitlerin birbirine eşit olması gerekir. Buradan

1 = k - 1

eşitliği kurularak

k = 2

bulunur.

Anahtar Kavram

Parçalı fonksiyonların kritik noktalardaki limitinin varlığı için sağdan ve soldan limitlerin eşit olması gerekir. Mutlak değerli ifadelerin limiti hesaplanırken limit noktasının civarındaki işaret analizi kritik önem taşır.

Soru 409Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir

f

ve

g

fonksiyonları için

f(x) = (x^2 - 3x) \cdot g(x) + \frac{g(x)}{x^2 + 1}

eşitliği sağlanmaktadır.

g(0) = 5

ve

g'(0) = 10

olduğuna göre,

f'(0)

değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -5

Cevap

Türev kuralları uygulanıp bilinen değerler yerine yazıldığında

f'(0)

değeri

-5

olarak bulunur.

Verilen fonksiyonun türevi toplam kuralı gereği iki ayrı parçada hesaplanır. İlk parçada çarpım kuralı, ikinci parçada bölüm kuralı uygulanır. Elde edilen türev ifadesinde

x=0

yazılarak verilen

g(0)=5

ve

g'(0)=10

değerleri yerine konduğunda sonuç

-5

çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Türev fonksiyonunu çarpım ve bölüm kurallarına göre açma

f'(x) = \left[(2x-3) \cdot g(x) + (x^2-3x) \cdot g'(x)\right] + \frac{g'(x) \cdot (x^2+1) - g(x) \cdot 2x}{(x^2+1)^2}

Toplam durumundaki fonksiyonun türevi alınırken ilk terime çarpım kuralı, ikinci terime ise bölüm kuralı uygulanır.

2

Türev fonksiyonunda

x = 0

yazma

f'(0) = \left[(-3) \cdot g(0) + 0\right] + \frac{g'(0) \cdot 1 - g(0) \cdot 0}{1^2}

Bizden istenen

x=0

noktasındaki türev değerini bulmak için fonksiyonda

x

yerine

0

yazılır.

3

Verilen değerleri yerine koyarak aritmetik işlemleri tamamlama

f'(0) = -3 \cdot 5 + 10 = -15 + 10 = -5

g(0) = 5

ve

g'(0) = 10

değerleri yerleştirilerek sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Çarpım ve Bölüm Türev Kurallarının Uygulanması

Soru 410Soru →

Bir kenarı duvar olan dikdörtgen biçimindeki bir bahçenin diğer üç kenarı toplam $40\text{ metre}$ tel örgüyle çevrilecektir. Buna göre, bu bahçenin alanı en çok kaç metrekare olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 200

Cevap

Bahçenin alanı en çok

200\text{ metrekare}

olabilir.

Bahçenin duvara dik kenarları

x

metre olarak seçildiğinde, tel ile çevrilecek diğer kenar

40 - 2x

metre olur. Alan fonksiyonu

A(x) = 40x - 2x^2

şeklindedir. Bu fonksiyonun maksimum değerini bulmak için türevi alınarak sıfıra eşitlenir:

A'(x) = 40 - 4x = 0 \Rightarrow x = 10

elde edilir. Bu değer fonksiyon yerine konulduğunda alan en fazla

A(10) = 10 \cdot (40 - 20) = 200\text{ metrekare}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Bahçenin kenar uzunluklarını tek bir değişken cinsinden ifade edin.

Bahçenin duvara dik olan kenarları

x

metre ise, diğer kenar

40 - 2x

metre olur.

Toplam tel uzunluğu

40\text{ metre}

olduğundan tel ile çevrilen üç kenarın toplamı

2x + y = 40

eşitliğini sağlamalıdır.

2

Alan fonksiyonunu yazın.

A(x) = x \cdot (40 - 2x) = 40x - 2x^2

Dikdörtgenin alanı, komşu iki kenarının çarpımına eşittir.

3

Alan fonksiyonunun türevini alıp sıfıra eşitleyerek kritik noktayı bulun.

A'(x) = 40 - 4x = 0 \Rightarrow x = 10

Bir fonksiyonun yerel ekstremum (maksimum/minimum) noktalarında türevi sıfırdır.

4

Maksimum alan değerini hesaplayın.

A(10) = 10 \cdot 20 = 200

x = 10

değeri için alan fonksiyonu en büyük değerine ulaşır.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum değerlerin bulunması

Alternatif Yöntem

Alan fonksiyonu

A(x) = -2x^2 + 40x

ikinci dereceden bir fonksiyondur (parabol). Parabollerin en büyük veya en küçük değeri tepe noktasında (

r = -b/(2a)

) oluşur. Burada

r = -40 / (2 \cdot (-2)) = 10

olur. Maksimum alan ise

A(10) = -2(10)^2 + 40(10) = 200\text{ m}^2

olarak hesaplanır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 411Soru →

$f: [1, 4] \rightarrow \mathbb{R}$ olmak üzere,

f(x) = x^2 - 4x + 6

fonksiyonu veriliyor. $[1, 4]$ kapalı aralığı $3$ eşit alt aralığa bölünerek elde edilen bölüntüye göre, $f$ fonksiyonunun bu aralıktaki Riemann alt toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Riemann alt toplamı 7'dir.

Verilen fonksiyon

[1, 2]

aralığında azalan,

[2, 4]

aralığında ise artandır. Bu nedenle

[1, 2]

alt aralığında minimum değer

f(2) = 2

,

[2, 3]

alt aralığında minimum değer

f(2) = 2

ve

[3, 4]

alt aralığında minimum değer

f(3) = 3

olur. Genişlik olan 1 ile bu değerler çarpılıp toplandığında Riemann alt toplamı

1 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 = 7

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Aralık genişliğini bulma

\Delta x = 1

[1, 4]

aralığının 3 eşit parçaya bölünmesi nedeniyle aralık uzunluğu olan 3 değeri 3'e bölünür.

2

Her alt aralıktaki minimum değerleri belirleme

[1, 2]

aralığı için minimum değer 2,

[2, 3]

aralığı için minimum değer 2,

[3, 4]

aralığı için minimum değer 3'tür.

Fonksiyonun tepe noktası

x=2

olduğundan, bu noktada en küçük değerini alır. Parabolün tepe noktasının solunda azalan, sağında artan olması incelenir.

3

Riemann alt toplamını hesaplama

7

Her bir alt aralık için elde edilen minimum değerler alt aralık genişliği olan 1 ile çarpılıp toplanır.

Anahtar Kavram

Riemann alt toplamı hesaplanırken, tanım aralığının alt aralıklarında sürekli fonksiyonun aldığı mutlak minimum değerler ile alt aralık genişlikleri çarpılır ve bu değerler toplanır.

Soru 412Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı

f(x) = x^3 - 3x^2 + 5x + c

fonksiyonunun grafiğine çizilen teğet doğruları arasında eğimi en küçük olan doğrunun denklemi

y = 2x - 3

olarak veriliyor.

Buna göre, $c$ gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -4

Cevap

İstenen c gerçel sayısı -4 olarak bulunur.

Fonksiyonun türevi

f'(x) = 3x^2 - 6x + 5

olarak elde edilir. Bu ifadenin en küçük değeri, tepe noktası apsisi olan

x = 1

noktasında gerçekleşir. Teğet noktası

(1, f(1))

olup, bu nokta aynı zamanda

y = 2x - 3

teğet doğrusu üzerinde bulunduğundan ordinatı

y = 2(1) - 3 = -1

olur. Grafiğin de bu noktadan geçmesi gerektiğinden

f(1) = -1

eşitliği kurulur ve

3 + c = -1

den

c = -4

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Fonksiyonun türevini alarak herhangi bir

x

noktasındaki teğetinin eğimini veren fonksiyonu bulun.

f'(x) = 3x^2 - 6x + 5

Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki birinci türevinin değerine eşittir.

2

Teğet eğiminin en küçük olduğu noktayı bulmak için

f'(x)

parabolünün tepe noktasını hesaplayın.

r = -\frac{-6}{2 \cdot 3} = 1

f'(x) = 3x^2 - 6x + 5

kolları yukarı doğru olan bir parabol belirttiğinden, en küçük değerini tepe noktasında (

x = r

) alır.

3

Eğimi en küçük olan teğet doğrusunun değme noktasının apsisi

x = 1

olduğuna göre, bu noktadaki teğet eğimini bulun.

m = f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 5 = 2

Bu eğim değeri, verilen

y = 2x - 3

teğet doğrusunun eğimiyle (yani 2 ile) de uyuşmaktadır.

4

Değme noktasının

y

koordinatını bulmak için

x = 1

değerini teğet doğrusunun denkleminde yerine yazın.

y = 2(1) - 3 = -1

Teğet doğrusu ile eğri, değme noktasında çakışırlar; bu nedenle değme noktası olan

(1, -1)

her iki denklemi de sağlar.

5

(1, -1)

noktası

f(x)

eğrisi üzerinde olduğundan, bu noktayı fonksiyon denkleminde yerine yazarak

c

değerini çözün.

f(1) = -1 \implies 1^3 - 3(1)^2 + 5(1) + c = -1 \implies 3 + c = -1 \implies c = -4

Fonksiyonun kuralını sağlayan değme noktası yardımıyla bilinmeyen

c

sabiti bulunur.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun grafiğine çizilen teğetin eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir. Eğim fonksiyonunun minimum değeri parabolün tepe noktası yardımıyla bulunur.

Soru 413Soru →

Baş katsayısı 1 olan ikinci dereceden bir $f(x)$ polinom fonksiyonu için $f(1) = 4$ eşitliği sağlanmaktadır.

\lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} = 7

olduğuna göre, $f(3)$ değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

İkinci dereceden polinom fonksiyonunun katsayıları belirlendikten sonra

f(3)

değeri hesaplandığında doğru cevap 18 olarak bulunur.

Türevin limit tanımı gereğince

\lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h}

limitinin değeri

f'(2)

ye eşittir.

f(x) = x^2 + ax + b

polinomunun türevi

f'(x) = 2x + a

olup

f'(2) = 4 + a = 7

denklemi çözüldüğünde

a = 3

bulunur.

f(1) = 4 \implies 1 + a + b = 4 \implies b = 0

elde edilir. Buradan fonksiyon

f(x) = x^2 + 3x

olur ve

f(3) = 3^2 + 3(3) = 18

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Polinom fonksiyonunun genel formunu yazarak verilen noktayı yerine koyma

a + b = 3

Baş katsayısı 1 olan ikinci dereceden

f(x) = x^2 + ax + b

polinomunda

f(1) = 4

bilgisini uygulamak amacıyla.

2

Limit ifadesini türevin limit tanımı ile eşleştirme

f'(2) = 7

\lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h}

limitinin

f

fonksiyonunun

x = 2

noktasındaki anlık değişim oranı olan türev değerini ifade ettiğini belirlemek amacıyla.

3

Türev fonksiyonunu bulup bilinen türev değerini yerine yazarak

a

katsayısını çözme

a = 3

f'(x) = 2x + a

olduğundan

f'(2) = 4 + a = 7

eşitliğini çözmek amacıyla.

4

Bulunan

a

katsayısını kullanarak

b

katsayısını belirleme

b = 0

a + b = 3

denkleminde

a = 3

değerini yerine yazarak

b

sabitini bulmak amacıyla.

5

Belirlenen fonksiyon kuralında

x = 3

yazarak istenen değeri hesaplama

f(3) = 18

f(x) = x^2 + 3x

kuralında

x = 3

değerini hesaplayarak sonuca ulaşmak amacıyla.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun bir noktadaki anlık değişim oranı, o noktadaki türevine eşittir ve bu değer türevin limit tanımı olan

\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}

limitinin hesaplanmasıyla bulunur.

Soru 414Soru →

Dik koordinat düzleminde,

f(x) = x^2 - ax + 2

g(x) = x^3 - 3x^2 + bx + 1

fonksiyonları veriliyor.

f

fonksiyonunun grafiğine

x = 1

apsisli noktasından çizilen teğet doğrusu ile

g

fonksiyonunun grafiğine

x = 2

apsisli noktasından çizilen normal doğrusu çakışıktır.

Buna göre, $a \cdot b$ çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Aranan

a \cdot b

çarpımının değeri 3 olarak bulunur.

Verilen iki doğrunun çakışık olması, eğimlerinin ve y-eksenini kestikleri noktaların aynı olmasını gerektirir. Eğimlerin eşitliğinden

2 - a = -1/b

elde edilir. y-kesim noktalarının eşitliğinden ise

2b - 3 + 2/b = 1

denklemi çözülerek

b=1

bulunur. Bu değer eğim eşitliğinde yerine yazıldığında

a=3

bulunur ve çarpımları 3 olur.

Adım Adım Çözüm

1

f(x)

fonksiyonunun

x = 1

noktasındaki teğet denklemini elde etmek.

y = (2 - a)x + 1

doğrusu.

Teğet doğrusunun denklemi

y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)

formülü kullanılarak bulunur.

2

g(x)

fonksiyonunun

x = 2

noktasındaki normal denklemini elde etmek.

y = -\frac{1}{b}x + \left(2b - 3 + \frac{2}{b}\right)

doğrusu.

Normal doğrusunun eğimi, teğet doğrusunun eğiminin çarpmaya göre tersinin ters işaretlisidir (

m_n = -1 / m_t

).

3

Doğruların çakışık olması şartını kullanarak denklem sistemini çözmek.

a = 3

ve

b = 1

değerleri.

İki doğrunun çakışık olmas�� için eğimleri ve sabit terimleri (y-kesim noktaları) eşit olmalıdır.

4

a \cdot b

çarpımını hesaplamak.

3

Soru kökünde istenen ifade

a \cdot b

çarpımıdır.

Anahtar Kavram

Bir eğrinin teğet ve normal doğrularının denklemlerinin türev yardımıyla bulunması ve doğruların analitik incelenmesi.

Alternatif Yöntem

Teğet ve normal doğrularının çakışık olması, aslında her iki doğrunun da aynı doğruyu temsil ettiği anlamına gelir. Bu doğrunun

y = mx + n

formundaki gösterimi düşünüldüğünde,

f'(1) = m

ve

-1/g'(2) = m

eşitliği kurulabilir. Aynı zamanda, doğrunun üzerindeki teğet noktası

(1, f(1))

ve normal noktası

(2, g(2))

bu doğrunun denklemini sağlamalıdır. Buradan hareketle eğim formülünden

m = \frac{g(2) - f(1)}{2 - 1}

yazılarak da çözüme ulaşılabilir.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 415Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir

f

ve

g

fonksiyonları,

x \neq -1

olmak üzere,

f(x) = (x^2 + 2) \cdot g(x)

g(x) = \frac{x^2 \cdot f(x) - 8}{x + 1}

eşitliklerini sağlamaktadır.

Buna göre, $f'(1)$ değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -152

Cevap

f'(1) değeri -152 olarak bulunur.

Verilen iki fonksiyonel denklemde x = 1 yazarak f(1) ve g(1) değerleri bulunur. Ardından her iki denklemin türevi alınarak x = 1 için türev değerleri arasında bir sistem kurulur. Bu sistemi çözdüğümüzde aranan türev değeri -152 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

x = 1 için f(1) ve g(1) değerlerini hesaplama

f(1) = 24 ve g(1) = 8

Verilen eşitliklerde x yerine 1 yazıldığında f(1) = 3g(1) ve g(1) = (f(1) - 8)/2 denklemleri elde edilir. Bu denklemlerin ortak çözümünden g(1) = 8 ve f(1) = 24 bulunur.

2

f(x) fonksiyonunun t��revini alıp x = 1 yazma

f'(1) = 16 + 3g'(1)

f(x) = (x^2 + 2) * g(x) ifadesine çarpım kuralı uygulanır: f'(x) = 2x * g(x) + (x^2 + 2) * g'(x). x = 1 yazılıp g(1) = 8 değeri yerine konduğunda f'(1) = 16 + 3g'(1) ilişkisine ulaşılır.

3

g(x) fonksiyonunun türevini alıp x = 1 yazma

g'(1) = 20 + f'(1)/2

g(x) = (x^2 * f(x) - 8) / (x + 1) ifadesine bölüm ve çarpım kuralları uygulanır: g'(x) = [(2x * f(x) + x^2 * f'(x)) * (x + 1) - (x^2 * f(x) - 8)] / (x + 1)^2. x = 1 ve f(1) = 24 yazıldığında g'(1) = [(48 + f'(1)) * 2 - 16] / 4 = 20 + f'(1)/2 ilişkisi bulunur.

4

Oluşan denklem sistemini çözme

f'(1) = -152

f'(1) = 16 + 3 * g'(1) denkleminde g'(1) yerine (20 + f'(1)/2) yazılarak f'(1) = 76 + 1.5 * f'(1) elde edilir. Buradan f'(1) = -152 bulunur.

Anahtar Kavram

Çarpım ve bölüm türev kurallarının fonksiyonel denklem sistemlerinde uygulanması.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 416Soru →

f: [1, 3] \rightarrow \mathbb{R}

olmak üzere,

f(x) = 3^x

fonksiyonu tanımlanıyor.

[1, 3]

kapalı aralığı

n

adet eş alt aralığa bölünerek bu fonksiyonun Riemann üst toplamı ile Riemann alt toplamı hesaplanıyor.

Hesaplanan Riemann üst toplamı ile Riemann alt toplamı arasındaki fark

3

olduğuna göre, alt aralık sayısı olan

n

değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Riemann üst toplamı ile Riemann alt toplamı arasındaki farkın 3 olması için alt aralık sayısı (

n

) 16 olmalıdır.

Tanımlanan

f(x) = 3^x

fonksiyonu artan olduğundan, her bir alt aralıktaki maksimum ve minimum değerler sırasıyla sağ ve sol uç noktalarda alınır. Riemann üst ve alt toplamları farkı, aralık uç değerlerinin farkı ile alt aralık genişliğinin çarpımına eşittir:

(2/n) * (27 - 3) = 48/n

. Bu farkın 3 olması için n = 16 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Fonksiyonun artanlık durumunu belirleme

f(x) = 3^x

fonksiyonunun türevi

f'(x) = 3^x \ln 3 > 0

olduğundan fonksiyon

[1, 3]

aralüğında sürekli ve kesinlikle artandır.

Artan fonksiyonlarda Riemann alt toplamının sol uç noktalarla, üst toplamının ise sağ uç noktalarla oluşturulacağını saptamak için.

2

Üst ve alt toplam farkını formüle etme

Genel olarak,

[a, b]

aralığında tanımlı artan bir

f

fonksiyonunun

n

eş parçaya bölünmesiyle oluşan Riemann üst toplamı (

Ü_n

) ve alt toplamı (

A_n

) arasındaki fark:

Ü_n - A_n = \frac{b-a}{n} (f(b) - f(a))

şeklinde ifade edilir. Burada

a = 1

,

b = 3

ve

\Delta x = \frac{2}{n}

'dir.

f(1) = 3

ve

f(3) = 27

değerleri yerine yazıldığında:

Ü_n - A_n = \frac{2}{n} (27 - 3) = \frac{48}{n}

elde edilir.

Teleskobik toplam sadeleştirmesiyle fark ifadesini

n

cinsinden yazmak için.

3

Bölüntü sayısı olan n değerini hesaplama

Verilen fark değeri 3 olduğundan:

\frac{48}{n} = 3 \implies 3n = 48 \implies n = 16

bulunur.

Riemann toplamları arasındaki farkın 3'e eşit olması koşulunu sağlayan alt aralık sayısını bulmak için.

Anahtar Kavram

Artan bir fonksiyonun Riemann üst ve alt toplamları arasındaki farkın hesaplanması

Soru 417Soru →

y

değişkeni

t

değişkenine,

t

değişkeni ise

x

bağımsız değişkenine bağlı olarak

y = t^2 - t

t = x^2 - 3x

eşitlikleriyle tanımlanmaktadır.

Buna göre, $x = 4$ için $\frac{dy}{dx}$ türevinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 35

Cevap

35

Zincir kuralına göre

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}

eşitliği geçerlidir.

x = 4

için

t = 4

olur.

\frac{dy}{dt} = 2t - 1

türevinde

t = 4

yazıldığında

7

elde edilir.

\frac{dt}{dx} = 2x - 3

türevinde

x = 4

yazıldığında

5

elde edilir. Bu iki değer çarpıldığında

7 \cdot 5 = 35

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Zincir kuralı bağıntısını kurma

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}

y

değişkeni

t

'ye,

t

ise

x

'e bağlı olduğundan

y

'nin

x

'e göre türevi zincir kuralı ile hesaplanır.

2

x = 4

için

t

değerini belirleme

t = 4

\frac{dy}{dt}

türevinde

t

yerine yazılacak değeri bulmak gerekir.

3

\frac{dy}{dt}

türevini bulup

t = 4

değerini yerine yazma

\frac{dy}{dt}\Big|_{t=4} = 7

y = t^2 - t

fonksiyonunun türevi alınıp noktadaki değeri hesaplanır.

4

\frac{dt}{dx}

türevini bulup

x = 4

değerini yerine yazma

\frac{dt}{dx}\Big|_{x=4} = 5

t = x^2 - 3x

fonksiyonunun türevi alınıp noktadaki değeri hesaplanır.

5

Türev değerlerini çarparak sonucu bulma

35

Zincir kuralı gereği elde edilen türev değerleri çarpılır.

Anahtar Kavram

Zincir kuralı yardımıyla bileşke fonksiyonun türevini hesaplama.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak,

t = x^2 - 3x

ifadesi

y = t^2 - t

denkleminde yerine yazılarak

y

doğrudan

x

cinsinden ifade edilebilir:

y = (x^2 - 3x)^2 - (x^2 - 3x)

. Ardından bu ifadenin

x

'e göre türevi alınır:

\frac{dy}{dx} = 2(x^2 - 3x)(2x - 3) - (2x - 3)

.

x = 4

yazıldığında,

2(16 - 12)(8 - 3) - (8 - 3) = 2(4)(5) - 5 = 40 - 5 = 35

elde edilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 418Soru →

Dik koordinat düzleminde,

f(x) = x^3 - ax^2 + 4x

eğrisinin

x = 1

apsisli noktasındaki teğet doğrusu ile

g(x) = x^2 - bx + c

parabolünün

x = 2

apsisli noktasındaki normal doğrusu çakışıktır.

Buna göre, $a + b + c$ toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 17

Cevap

a + b + c toplamının değeri 17'dir.

Verilen f(x) fonksiyonunun x = 1 noktasındaki teğet doğrusu ile g(x) parabolünün x = 2 noktasındaki normal doğrusunun çakışık (aynı doğru) olması, bu iki doğrunun eğimlerinin eşit olmasını ve her iki noktanın da bu doğru üzerinde bulunmasını gerektirir. Buradan elde edilen denklemler çözüldüğünde a = 3, b = 5 ve c = 9 değerlerine ulaşılır. Bu değerlerin toplamı ise 17'dir.

Adım Adım Çözüm

1

f(x) fonksiyonunun x = 1 noktasındaki teğet doğrusunun eğimini ve denklemini a cinsinden bulma.

f'(1) = 7 - 2a (eğim) ve teğet noktası P(1, 5-a). Teğet doğrusu: y - (5-a) = (7-2a)(x-1)

Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.

2

g(x) parabolünün x = 2 noktasındaki normal doğrusunun eğimini b cinsinden ve normal noktasını b ile c cinsinden bulma.

g'(2) = 4 - b (teğet eğimi), normal doğrusunun eğimi m_N = -1/(4-b) ve normal noktası Q(2, 4-2b+c).

Teğet doğrusu ile normal doğrusu birbirine dik olduğundan eğimleri çarpımı -1'dir.

3

Doğruların çakışık olması şartını kullanarak a, b ve c bilinmeyenlerini çözme.

Eğimlerin eşitliğinden 7 - 2a = -1/(4-b) elde edilir. Ortak eğimin 1 olması durumunda a = 3, b = 5 bulunur. Ortak doğru denklemi y = x + 1 olur. Q(2, g(2)) noktası bu doğru üzerinde olduğundan g(2) = 3 olmalıdır. Buradan c = 9 bulunur.

Çakışık doğruların eğimleri ve geçtikleri noktalar aynı olmalıdır.

4

a, b ve c değerlerinin toplamını hesaplama.

a + b + c = 3 + 5 + 9 = 17

Soruda istenen toplam değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun grafiğine üzerindeki bir noktadan çizilen teğet ve normal doğrularının denklemleri ile bu doğruların eğimleri arasındaki ilişki (m_teget * m_normal = -1).

Soru 419Soru →

Dik koordinat düzleminde,

[0, 4]

kapalı aralığında tanımlı

f(x) = |x^2 - 4x + 3|

fonksiyonu veriliyor.

[0, 4]

aralığı 4 eş alt aralığa bölünerek bir

P

bölüntüsü oluşturuluyor.

$f$ fonksiyonunun bu bölüntüye göre hesaplanan Riemann üst toplamı $U$ , Riemann alt toplamı $L$ ve $[0, 4]$ aralığındaki belirli integralinin değeri $I$ olduğuna göre, $U - L + I$ ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Riemann üst toplamı ile belirli integralin toplamından Riemann alt toplamı çıkarıldığında elde edilen sonuç 12'dir.

Fonksiyonun her alt aralıktaki maksimum değerleri kullanılarak hesaplanan Riemann üst toplamı

U = 8

, minimum değerleri kullanılarak hesaplanan Riemann alt toplamı

L = 0

ve fonksiyonun sınırlandırdığı toplam alanı veren belirli integral değeri

I = 4

olduğundan,

U - L + I = 8 - 0 + 4 = 12

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Aralık genişliğini belirleme

\Delta x = \frac{4 - 0}{4} = 1

Alt aralıkların uzunluklarını ve sınırlarını bulmak için bölüntü sayısı kullanılır.

2

Fonksiyonun her alt aralıktaki uç ve yerel ekstremum değerlerini analiz etme

[0, 1]

aralığında

\min = 0

,

\max = 3

;

[1, 2]

aralığında

\min = 0

,

\max = 1

;

[2, 3]

aralığında

\min = 0

,

\max = 1

;

[3, 4]

aralığında

\min = 0

,

\max = 3

.

Riemann alt ve üst toplamlarını bulmak için her alt aralıktaki mutlak minimum ve mutlak maksimum değerleri belirlemek gerekir.

3

Riemann alt ve ��st toplamlarını hesaplama

L = 0

ve

U = 8

Alt aralıkların genişlikleri ile elde edilen minimum ve maksimum değerler çarpılıp toplanır.

4

Mutlak değerli fonksiyonun belirli integralini parçalı olarak hesaplama

I = \int_{0}^{4} |x^2 - 4x + 3| \, dx = 4

İntegral alanı, mutlak değerin işaret değiştirdiği

x=1

ve

x=3

noktalarında parçalanarak hesaplanır.

5

Sonucu bulma

U - L + I = 8 - 0 + 4 = 12

Bulunan tüm değerler sorudaki cebirsel ifadede yerine konur.

Anahtar Kavram

Monoton olmayan fonksiyonlarda alt aralıkların uç değerleri ve yerel ekstremum noktaları göz önüne alınarak Riemann alt ve üst toplamlarının hesaplanması, belirli integral ile ilişkilendirilmesi.

Soru 420Soru →

Sürekli bir

f

fonksiyonu için,

\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 8

olduğuna göre,

\int_{1}^{4} (2f(x) - 3) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

��ntegralin değeri 7'dir.

Belirli integralin doğrusal özellikleri kullanılarak integral parçalandığında, ifade

2\int_{1}^{4} f(x) \, dx - \int_{1}^{4} 3 \, dx

haline gelir. Birinci integralin değeri 8 olup 2 ile çarpıldığında 16 elde edilir. İkinci integral ise sabit fonksiyonun integrali olup değeri

3 \times (4 - 1) = 9

dur. Bu iki değerin farkı

16 - 9 = 7

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

İntegral ifadesini lineerlik (doğrusallık) özelliği yardımıyla parçalamak ve sabit katsayıyı dışarı almak.

\int_{1}^{4} (2f(x) - 3) \, dx = 2\int_{1}^{4} f(x) \, dx - \int_{1}^{4} 3 \, dx

Belirli integralde toplama ve çıkarma işlemleri ayrı integral parçaları olarak yazılabilir, sabit çarpanlar ise integralin dışına alınabilir.

2

Sabit fonksiyon olan 3'ün

[1, 4]

aralığındaki belirli integralini hesaplamak.

\int_{1}^{4} 3 \, dx = 3 \cdot (4 - 1) = 9

Sabit bir

c

sayısının

[a, b]

aralığındaki integral değeri

c \cdot (b - a)

formülü ile hesaplanır.

3

Verilen integral değerini yerine yazıp aritmetik işlemleri tamamlamak.

2 \cdot 8 - 9 = 7

\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 8

olarak soru kökünde verilmiştir.

Anahtar Kavram

Belirli integralin lineerlik özellikleri ve sabit fonksiyonun belirli integrali.

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar