Tüm alıştırma soruları

Soru 581Soru →

$A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ kümesi üzerinde tanımlı tüm bire bir ve örten $f: A \rightarrow A$ fonksiyonları arasından rastgele bir $f$ fonksiyonu seçiliyor.

Seçilen bu fonksiyonun, her $x \in A$ için
$(f \circ f)(x) = x$
koşulunu sağlama olasılığı en sade biçimde $\frac{a}{b}$ kesri ile ifade ediliyor.

Buna göre, $a + b$ toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 73

Cevap

En sade haldeki olasılık değerinin pay ve paydasının toplamı olan 73 sayısıdır.

Bire bir ve örten bir fonksiyonun kendi tersine eşit olması için elemanlarının ya kendilerine gitmesi ya da ikişerli yer değiştirmesi gerekir. Bu koşulu sağlayan durumların sayısı

1 + \binom{5}{2} + \binom{5}{1} \cdot \frac{\binom{4}{2}}{2!} = 26

adettir. Tüm bire bir ve örten fonksiyonların sayısı

5! = 120

olduğundan olasılık

\frac{26}{120} = \frac{13}{60}

olarak elde edilir. En sade biçimdeki pay ve paydanın toplamı ise

13 + 60 = 73

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Örnek uzayın eleman sayısını hesaplama

s(E) = 120

A

kümesinden

A

kümesine tanımlanabilecek tüm bire bir ve örten fonksiyonların sayısı

5!

ile hesaplanır.

2

İstenen durumları sağlayan fonksiyon sayısını belirleme

26 farklı fonksiyon

(f \circ f)(x) = x

koşulu, fonksiyonun kendi tersine eşit olması anlamına gelir. Bu durum elemanların ya kendileriyle eşleşmesini ya da ikili gruplar halinde karşılıklı eşleşmesini gerektirir. 5 elemanlı bir kümede bu durumların sayısı

1 + \binom{5}{2} + \binom{5}{1} \cdot \frac{\binom{4}{2}}{2!} = 1 + 10 + 15 = 26

olarak bulunur.

3

Olasılığı hesaplama ve sadeleştirme

Olasılık =

\frac{13}{60}

İstenen durum sayısının tüm durumların sayısına oranı

\frac{26}{120} = \frac{13}{60}

olarak elde edilir.

4

Pay ve payda toplamını bulma

73

a = 13

ve

b = 60

değerleri toplanarak istenen sonuç olan

13 + 60 = 73

elde edilir.

Anahtar Kavram

Bire bir ve örten fonksiyonların döngü yapıları kullanılarak permütasyon ve kombinasyon yardımıyla basit olayların olasılığının hesaplanması.

Soru 582Soru →

Ayrıt uzunlukları 2 birim olan bir küp, yüzeylerine paralel düzlemlerle kesilerek 8 adet birim küpe ayrılıyor. Elde edilen bu birim küplerden rastgele seçilen iki farklı birim küpün ortak bir yüze sahip olması olasılığı en sade haliyle $\frac{a}{b}$ olduğuna göre, $a+b$ toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Seçilen iki birim küpün ortak bir yüze sahip olma olasılığı en sade haliyle 3/7 olduğundan, pay ve paydanın toplamı olan a+b değeri 10'dur.

Toplam 8 birim küpten seçilebilecek tüm ikililerin sayısı 28'dir. Ortak bir yüze sahip olan küp ikililerinin sayısı ise her bir ayrıt doğrultusunda 4'er tane olmak üzere toplam 12'dir. Olasılık 12/28 = 3/7 olup en sade haliyle pay ve payda toplamı 10 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam küp sayısını ve bu küplerden rastgele seçilebilecek 2 farklı küpten oluşan ikililerin toplam sayısını bulun.

8 birim küpten 2 farklı küp seçmenin toplam sayısı

\binom{8}{2} = 28

'dir.

Bu sayı, olasılık hesabındaki örnek uzayımızın eleman sayısıdır.

2

Seçilen iki birim küpün ortak bir yüze sahip (yan yana bitişik) olduğu durumların sayısını bulun.

Küpün üç doğrultusunun (x, y ve z eksenleri) her birinde 4'er adet bitişik çift olmak üzere toplam

4 + 4 + 4 = 12

durum vardır.

Ortak bir yüze sahip olmak için iki birim küpün aralarında bir yüz paylaşacak şekilde bitişik konumda olması gerekir.

3

İstenen olayın olasılığını hesaplayın ve en sade kesir biçiminde yazın.

P(A) = \frac{12}{28} = \frac{3}{7}

elde edilir.

Olasılık, istenen durum sayısının örnek uzayın eleman sayısına bölünmesiyle bulunur.

4

Kesrin payı (

a

) ve paydasını (

b

) belirleyip bunları toplayın.

a = 3

,

b = 7

ve buradan

a + b = 10

olur.

Olasılık

\frac{a}{b}

formunda en sade biçimde ifade edildiği için pay ve payda doğrudan toplanır.

Anahtar Kavram

Basit Olayların Olasılığı ve Kombinasyon ile Sayma

Soru 583Soru →

Sürekli bir

f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}

fonksiyonu için

\int_{-2}^{4} f(x) \, dx = 18

\int_{1}^{3} f(2x-2) \, dx = 8

eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,

\int_{-2}^{0} f(x) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İstenen belirli integralin değeri 2 olarak bulunur.

Değişken değiştirme yöntemiyle integral sınırları güncellenerek

\int_{0}^{4} f(x) \, dx = 16

değeri elde edilir. Ardından toplam aralık

[ -2, 4 ]

parçalanarak

[ -2, 0 ]

aralığındaki integral değeri 2 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

\int_{1}^{3} f(2x-2) \, dx = 8

integralinde

u = 2x-2

dönüşümü uygulayalım.

\int_{0}^{4} f(u) \, du = 16

elde edilir.

u = 2x-2

ise her iki tarafın diferansiyeli alındığında

du = 2 \, dx

yani

dx = \frac{du}{2}

olur. Sınırlar güncellendiğinde; alt sınır için

x = 1 \implies u = 0

, üst sınır için

x = 3 \implies u = 4

bulunur. Buradan integral

\int_{0}^{4} f(u) \frac{du}{2} = 8 \implies \int_{0}^{4} f(u) \, du = 16

şeklinde yazılır. Belirli integralde değişken ismi sonucu değiştirmeyeceği için bu ifade

\int_{0}^{4} f(x) \, dx = 16

demektir.

2

Birinci denklemdeki

\int_{-2}^{4} f(x) \, dx

integraline sınır parçalama özelliğini uygulayalım.

\int_{-2}^{4} f(x) \, dx = \int_{-2}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{4} f(x) \, dx

eşitliği elde edilir.

Belirli integralde integral sınırları

[a, b]

aralığındaki bir

c

noktasına göre parçalanabilir. Burada

[-2, 4]

aralığı

0

noktası kullanılarak parçalanmıştır.

3

Elde edilen değerleri denklemde yerine yazarak sonuca ulaşalım.

\int_{-2}^{0} f(x) \, dx = 2

bulunur.

\int_{-2}^{4} f(x) \, dx = 18

ve

\int_{0}^{4} f(x) \, dx = 16

değerleri denklemde yerine yazıldığında,

18 = \int_{-2}^{0} f(x) \, dx + 16 \implies \int_{-2}^{0} f(x) \, dx = 2

elde edilir.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların doğru biçimde güncellenmesi ve belirli integralin aralık bölme özelliği.

Soru 584Soru →

Dik koordinat düzleminde, $f(x) = x^3 - ax^2 + 3$ eğrisine $x = 1$ apsisli noktasından çizilen teğet doğrusu orijinden geçmektedir.

Buna göre, $a$ değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

-1

Fonksiyonun

x = 1

noktasındaki teğetinin eğimi

f'(1)

değerine eşittir. Bu teğet doğrusu orijinden

(0,0)

geçtiği için teğet noktası

(1, f(1))

ile orijin arasındaki eğim formülü yazıldığında eğim

\\frac{f(1) - 0}{1 - 0} = f(1)

olur. Dolayısıyla

f'(1) = f(1)

eşitliği elde edilir.

f(1) = 4-a

ve

f'(1) = 3-2a

değerleri bu eşitlikte yerine konulduğunda

3-2a = 4-a

denklemi elde edilir ve buradan

a = -1

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun orijinden geçmesi şartını belirlemek.

f'(1) = f(1)

Orijinden ve

(1, f(1))

noktasından geçen doğrunun eğimi

\\frac{f(1) - 0}{1 - 0} = f(1)

olup bu değer teğet doğrusunun eğimi olan

f'(1)

türev değerine eşit olmalıdır.

2

Fonksiyonun

x = 1

noktasındaki değerini bulmak.

f(1) = 4 - a

f(x) = x^3 - ax^2 + 3

fonksiyonunda

x

yerine

1

yazılır.

3

Türev fonksiyonunu bulup

x = 1

noktasındaki türev (eğim) değerini hesaplamak.

f'(1) = 3 - 2a

f'(x) = 3x^2 - 2ax

türevinde

x

yerine

1

yazılır.

4

Elde edilen ifadeleri eşitleyerek

a

bilinmeyenini çözmek.

a = -1

3 - 2a = 4 - a \\implies a = -1

denklemi düzenlenerek

a = -1

bulunur.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyona üzerindeki

(x_0, f(x_0))

noktasından çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevi olan

f'(x_0)

değerine eşittir.

Soru 585Soru →

Düşey kesiti şekildeki gibi olan, yatayla $37^\circ$ lik açı yapan ve sağa doğru yükselen sürtünmeli eğik düzleme sahip bir kama verilmiştir. Kama, yatay düzlemde sola doğru sabit $a$ ivmesiyle hızlandırılmaktadır. Kamanın eğik yüzeyinde bulunan $m = 2\text{ kg}$ kütleli cisim ile yüzey arasındaki statik sürtünme katsayısı $\mu_s = 0,5$ 'tir. Cismin eğik düzlem üzerinde kaymadan kama ile birlikte hareket edebilmesi için kamanın ivmesi $a$ 'nın alabileceği en büyük değer kaç $\text{m/s}^2$ olmalıdır? ( $g = 10\text{ m/s}^2$ ; $\sin 37^\circ = 0,6$ ; $\cos 37^\circ = 0,8$ )

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Cismin eğik düzlem üzerinde yukarı doğru kaymadan kama ile birlikte hareket edebileceği maksimum ivme

20\text{ m/s}^2

'dir.

Cismin eğik düzlem üzerinde yukarı doğru kaymaya başlamadan hemen önceki sınır durumunda, statik sürtünme kuvveti maksimum değerine (

f_s = \mu_s N

) ulaşır ve eğik düzlem boyunca aşağı yönlüdür. Yatay ve düşey doğrultulardaki net kuvvet denklemleri çözüldüğünde ivmenin en büyük değeri

20\text{ m/s}^2

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Serbest cisim diyagramını çizerek cisme etki eden kuvvetleri belirleyin.

Cisme etki eden kuvvetler: aşağı yönlü yerçekimi kuvveti (

mg

), eğik düzleme dik normal kuvvet (

N

) ve maksimum ivme sınırında eğik düzlemden aşağı yönlü statik sürtünme kuvveti (

f_s = \mu_s N

).

Cismin hareket sınırlarını belirlemek ve Newton'ın hareket yasalarını uygulamak için üzerindeki net kuvvetlerin yönlerini tayin etmek gerekir.

2

Kuvvetleri yatay ve düşey doğrultularda bileşenlerine ayırarak denklemleri kurun.

Yatay doğrultuda net kuvvet:

N \sin 37^\circ + f_s \cos 37^\circ = ma

. Düşey doğrultuda net kuvvet:

N \cos 37^\circ - f_s \sin 37^\circ = mg

.

Cisim düşeyde dengede olup yatayda sola doğru

a

ivmesiyle hareket etmektedir.

3

f_s = 0,5 N

ve trigonometrik değerleri yerine yazarak denklemleri çözün.

N(0,6 + 0,5 \times 0,8) = ma \implies N = ma

ve

N(0,8 - 0,5 \times 0,6) = mg \implies 0,5 N = mg

elde edilir. Buradan

0,5 ma = mg \implies a = 2g = 20\text{ m/s}^2

bulunur.

İki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek kütleden bağımsız olan maksimum ivme değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

İvmeli referans sistemlerinde sürtünmeli eğik düzlem üzerindeki cisimlerin hareket analizi ve Newton'ın ikinci yasası.

Soru 586Soru →

1'den farklı

a

,

b

ve

c

pozitif gerçel sayıları için,

\log_a(b \cdot c) = 2

\log_b(a \cdot c) = 5

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, $\log_c(a \cdot b)$ ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

İfadenin değeri 1'dir.

Taban değiştirme kuralı yardımıyla tüm logaritmik ifadeler ortak bir tabana çevrildiğinde elde edilen doğrusal denklem sistemi çözülerek değişkenler arasındaki oranlar bulunur. Bu oranlar istenen ifadede yerine yazıldığında sadeleşme gerçekleşir ve sonuç 1 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Logaritmanın çarpım özelliğini kullanarak

\log_a(b \cdot c) = 2

ve

\log_b(a \cdot c) = 5

ifadelerini açın.

\log_a b + \log_a c = 2

ve

\log_b a + \log_b c = 5

denklemleri elde edilir.

Çarpımın logaritmasını toplam şeklinde yazarak değişkenleri ayırmak için.

2

Taban değiştirme kuralını uygulayarak tüm ifadeleri doğal logaritma (ln) tabanına dönüştürün ve

\ln a = x

,

\ln b = y

,

\ln c = z

değişkenlerini tanımlayın.

y + z = 2x

ve

x + z = 5y

denklem sistemi elde edilir.

Farklı tabanlardaki logaritmik ifadeleri ortak bir tabanda birleştirip doğrusal denklem sistemine dönüştürmek için.

3

İkinci denklemden

z

'yi çekip birinci denklemde yerine yazarak

x

ve

y

arasındaki ilişkiyi bulun.

z = 5y - x \implies y + (5y - x) = 2x \implies 6y = 3x \implies x = 2y

bulunur. Buradan

z = 3y

elde edilir.

Denklem sistemini çözerek tüm değişkenleri tek bir değişken cinsinden ifade etmek için.

4

İstenen

\log_c(a \cdot b)

ifadesini ln tabanına dönüştürün ve bulduğunuz

x = 2y

ile

z = 3y

değerlerini yerine yazın.

\log_c(a \cdot b) = \frac{\ln a + \ln b}{\ln c} = \frac{x + y}{z} = \frac{2y + y}{3y} = 1

bulunur.

Aranan ifadenin sayısal değerini hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun çarpım ve taban değiştirme özellikleri

Soru 587Soru →

Bir teknoloji mağazasında satılan telefonların $\%60$ 'ı A markası, geri kalanı ise B markasıdır. Bu mağazadan satın alınan telefonların garanti süresi içinde arızalanma durumları incelenmiş ve şu sonuçlar elde edilmiştir:

* A markası telefonların arızalanma olasılığı, B markası telefonların arızalanma olasılığının 2 katıdır.
* Mağazadan rastgele seçilen bir telefonun garanti süresi içinde arızalanmadığı bilindiğine göre, bu telefonun A markası olma olasılığı $\%50$ 'dir.

Buna göre, B markası bir telefonun garanti süresi içinde arızalanma olasılığı yüzde kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

B markası bir telefonun garanti süresi içinde arızalanma olasılığı %25'tir.

B markasının arızalanma olasılığı

p

seçildiğinde, A markasının arızalanma olasılığı

2p

olur. Arızasız telefonların toplam olasılığı

1 - 1,6p

ve arızasız A marka telefon olasılığı

0,60(1-2p)

olarak bulunur. Koşullu olasılık formülünden

\frac{0,60(1-2p)}{1-1,6p} = \frac{1}{2}

denklemi çözüldüğünde

p = 0,25

yani %25 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

A ve B marka telefonların oranlarını ve arızalanma olasılıklarını değişkenler cinsinden yazın.

A marka oranı:

P(A) = 0,60

, B marka oranı:

P(B) = 0,40

. B markasının ar��zalanma olasılığı

P(\text{Arızalı} | B) = p

ise A markasının arızalanma olasılığı

P(\text{Arızalı} | A) = 2p

olur.

Problemi cebirsel olarak ifade edebilmek için.

2

Telefonların arızalanmama olasılıklarını belirleyin.

P(\text{Arızasız} | B) = 1 - p

ve

P(\text{Arızasız} | A) = 1 - 2p

olur.

Koşul arızalanmama durumu üzerinden verildiği için.

3

Rastgele seçilen bir telefonun arızasız olma toplam olasılığını (

P(\text{Arızasız})

) hesaplayın.

P(\text{Arızasız}) = P(A) \cdot P(\text{Arızasız} | A) + P(B) \cdot P(\text{Arızasız} | B) = 0,60(1 - 2p) + 0,40(1 - p) = 1 - 1,6p

olur.

Koşullu olasılığın paydasını oluşturmak için.

4

Arızasız olduğu bilinen telefonun A markası olma koşullu olasılığını yazıp verilen değere eşitleyin.

P(A | \text{Arızasız}) = \frac{P(A \cap \text{Arızasız})}{P(\text{Arızasız})} = \frac{0,60(1-2p)}{1 - 1,6p} = 0,50 \Rightarrow 0,60(1-2p) = 0,50(1-1,6p) \Rightarrow 0,6 - 1,2p = 0,5 - 0,8p \Rightarrow 0,1 = 0,4p \Rightarrow p = 0,25

yani

\%25

bulunur.

B markasının arızalanma olasılığı olan

p

'yi bulmak için.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık ve Bayes Teoremi uygulamaları

Soru 588Soru →

Terimleri gerçel sayılardan oluşan bir

(a_n)

aritmetik dizisinde,

a_2 + a_{10} = 16

a_5 \cdot a_7 = 60

eşitlikleri sağlanmaktadır. Buna göre,

a_1 \cdot a_{11}

çarpımının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -36

Cevap

Dizinin birinci terimi ile on birinci teriminin çarpımı -36'dır.

Dizinin terimlerinin indis simetrisi kullanılarak 6. terim

a_6 = 8

ve ortak farkın karesi

r^2 = 4

olarak elde edilir. İstenen

a_1 \cdot a_{11}

çarpım ifadesi de 6. terime göre simetrik yazılıp iki kare farkı uygulandığında

a_6^2 - 25r^2

ifadesine ulaşılır. Değerler yerine yazıldığında sonuç

-36

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

a_2 + a_{10} = 16

toplamı üzerinden dizinin 6. terimini (

a_6

) belirlemek.

a_6 = 8

Aritmetik dizilerde indisler toplamı eşit olan terimlerin toplamları da eşittir.

2 + 10 = 6 + 6

olduğundan

a_2 + a_{10} = 2a_6

eşitliği geçerlidir.

2

a_5 \cdot a_7 = 60

çarpım eşitliğinden yararlanarak dizinin ortak farkının karesini (

r^2

) bulmak.

r^2 = 4

a_5 = a_6 - r

ve

a_7 = a_6 + r

olarak yazıldığında, çarpımları iki kare farkı oluşturur:

(a_6 - r)(a_6 + r) = a_6^2 - r^2

. Değerler yerine konduğunda

8^2 - r^2 = 60 \implies 64 - r^2 = 60

elde edilir.

3

İstenen

a_1 \cdot a_{11}

çarpım ifadesini

a_6

ve

r

cinsinden yazmak.

a_1 \cdot a_{11} = a_6^2 - 25r^2

a_1 = a_6 - 5r

ve

a_{11} = a_6 + 5r

ifadelerinin çarpımı iki kare farkı özdeşliği gereği

a_6^2 - (5r)^2 = a_6^2 - 25r^2

sonucunu verir.

4

Elde edilen

a_6 = 8

ve

r^2 = 4

değerlerini son ifadede yerine yazıp hesaplama yapmak.

-36

a_1 \cdot a_{11} = 8^2 - 25 \cdot 4 = 64 - 100 = -36

olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde terimlerin indis özelliklerine göre simetrik olarak ifade edilmesi ve iki kare farkı özdeşliği uygulamaları.

Alternatif Yöntem

Tüm terimleri birinci terim

a_1

ve ortak fark

r

cinsinden yazıp iki bilinmeyenli denklem sistemi kurarak da çözüme ulaşılabilir. Ancak bu yöntem daha fazla işlem adımı ve zaman gerektirir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 589Soru →

Bir torbada $4$ kırmızı ve $6$ beyaz top bulunmaktadır. Torbadan rastgele bir top çekiliyor. Çekilen bu top torbaya geri konulmayıp, yerine diğer renkten $2$ top torbaya ekleniyor. Daha sonra torbadan rastgele ikinci bir top çekiliyor.

İkinci çekilen topun kırmızı olduğu bilindiğine göre, ilk çekilen topun beyaz olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.75

Cevap

İlk çekilen topun beyaz olma olasılığı 0,75'tir.

İkinci çekilen topun kırmızı olduğu bilindiğinden, örnek uzay sadece ikinci topun kırmızı geldiği durumlara kısıtlanır. İlk topun beyaz ve ikinci topun kırmızı gelme olasılığının (36/110), ikinci topun kırmızı gelme toplam olasılığına (48/110) oranı bize koşullu olasılığı 3/4 = 0,75 olarak verir.

Adım Adım Çözüm

1

İlk çekimde kırmızı top gelme durumunu ve sonrasındaki torba içeriğini analiz etme.

İlk çekimde kırmızı gelme olasılığı

P(K_1) = \frac{4}{10}

'dur. Kırmızı top geri atılmayıp yerine

2

beyaz top konulduğunda torbada

3

kırmızı,

8

beyaz top kalır. Bu durumda ikinci çekimde kırmızı gelme olasılığı

P(K_2|K_1) = \frac{3}{11}

olur. İkisinin birlikte gerçekleşme olasılığı

P(K_1 \cap K_2) = \frac{4}{10} \times \frac{3}{11} = \frac{12}{110}

'dur.

Bayes teoreminde kullanılacak olan ilk durumun kesişim olasılığını bulmak.

2

İlk çekimde beyaz top gelme durumunu ve sonrasındaki torba içeriğini analiz etme.

İlk çekimde beyaz gelme olasılığı

P(B_1) = \frac{6}{10}

'dur. Beyaz top geri atılmayıp yerine

2

kırmızı top konulduğunda torbada

6

kırmızı,

5

beyaz top kalır. Bu durumda ikinci çekimde kırmızı gelme olasılığı

P(K_2|B_1) = \frac{6}{11}

olur. İkisinin birlikte gerçekleşme olasılığı

P(B_1 \cap K_2) = \frac{6}{10} \times \frac{6}{11} = \frac{36}{110}

'dur.

Bayes teoreminde kullanılacak olan ikinci durumun kesişim olasılığını bulmak.

3

İkinci çekilen topun kırmızı olma toplam olasılığını hesaplama.

P(K_2) = P(K_1 \cap K_2) + P(B_1 \cap K_2) = \frac{12}{110} + \frac{36}{110} = \frac{48}{110}

'dur.

Koşullu olasılık formülünün paydasını (kısıtlanmış örnek uzayın olasılığını) bulmak.

4

İkinci topun kırmızı olduğu bilindiğine göre ilk topun beyaz olma olasılığını hesaplama.

P(B_1|K_2) = \frac{P(B_1 \cap K_2)}{P(K_2)} = \frac{36/110}{48/110} = \frac{36}{48} = \frac{3}{4} = 0,75

'tir.

Koşullu olasılık tanımını uygulayarak istenen nihai sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık ve Bayes Teoremi

Soru 590Soru →

Bir teknoloji ��irketi, yeni piyasaya sürdüğü bir akıllı cihazın haftalık satış adetlerini incelemektedir. Cihazın satışa sunulduğu ilk hafta belirli sayıda satış yapılmış ve sonraki her hafta satılan cihaz sayısı bir önceki haftaya göre sabit bir oranda artarak geometrik bir dizi oluşturmuştur. Bu cihazın ilk 4 haftada satılan toplam adedi, ilk 2 haftada satılan toplam adedinin 10 katıdır. Cihazın 5. haftadaki satış adedi, ilk haftadaki satış adedinden 2400 fazla olduğuna göre, bu cihaz ilk hafta kaç adet satılmıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Cihazın ilk hafta satılan adedi 30'dur.

Cihazın haftalık satışları geometrik bir dizi oluşturduğu için ilk 4 haftalık toplam satışın ilk 2 haftalık toplam satışa oranı kullanılarak ortak çarpan

r = 3

olarak belirlenir. Daha sonra, 5. hafta ile 1. hafta arasındaki fark denkleminde ortak çarpan yerine yazıldığında ilk hafta satılan cihaz sayısı

a_1 = 30

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Geometrik dizinin genel terim ve ilk

n

terim toplamı formüllerini tanımlamak.

S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}

ve

a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

Problemi çözmek için haftalık toplam satışları ve belirli bir haftadaki satışı matematiksel olarak ifade etmek gerekir.

2

İlk 4 haftalık toplam satışın ilk 2 haftalık toplam satış��n 10 katı olduğu bilgisini denkleme dökmek.

a_1 \cdot \frac{r^4 - 1}{r - 1} = 10 \cdot a_1 \cdot \frac{r^2 - 1}{r - 1}

Ortak çarpan

r

değerini belirleyebilmek için toplam terim formüllerini oranlamak gerekir.

3

Elde edilen denklemi sadeleştirip iki kare farkı özdeşliği kullanarak ortak çarpanı çözmek.

r^2 + 1 = 10 \Rightarrow r^2 = 9 \Rightarrow r = 3

a_1

ve

r-1

terimleri sadeleştirildikten sonra

r^4-1

ifadesi

(r^2-1)(r^2+1)

şeklinde açılarak

r

değeri kolayca bulunur.

4

5. hafta satışı ile 1. hafta satışı arasındaki farkı kullanarak ilk terimi veren denklemi kurmak.

a_5 - a_1 = 2400 \Rightarrow a_1(r^4 - 1) = 2400

İlk hafta satılan cihaz miktarını (

a_1

) bulmak için verilen fark bilgisinden yararlanılır.

5

r = 3

değerini yerine yazarak ilk terimi hesaplamak.

80 \cdot a_1 = 2400 \Rightarrow a_1 = 30

Bulunan ortak çarpan denklemde yerine yazılarak bilinmeyen ilk terim elde edilir.

Anahtar Kavram

Geometrik dizi toplamı ve terimleri arasındaki ilişki ile gerçek hayat problemlerinin modellenmesi.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 591Soru →

Bir yazılımcı, geliştirdiği bir güvenlik sistemi için $1, 1, 1, 2, 2, 3, 3$ rakamlarının tamamını kullanarak 7 haneli bir şifre oluşturacaktır. Sistem güvenliği açısından şifrede bulunan aynı rakamların hiçbirinin yan yana gelmemesi gerekmektedir. Buna göre, bu yazılımcı belirtilen koşula uygun kaç farklı şifre oluşturabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 38

Cevap

Koşullara uygun oluşturulabilecek farklı şifre sayısı 38'dir.

Şifredeki hiçbir aynı rakamın yan yana gelmemesi koşulu için önce

1

rakamları dışındaki

2, 2, 3, 3

rakamları sıralanıp, oluşan boşluklara

1

rakamları yerleştirilerek

1

'lerin yan yana gelmediği tüm durumlar (60 durum) bulunur. Daha sonra bu durumlar arasından yan yana gelen

2

'ler ve

3

'ler içerme-dışarma prensibiyle elenerek doğru sonuç olan 38'e ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

1

dışındaki

2, 2, 3, 3

rakamlarının tekrarlı permütasyon sayısını hesaplama

6 farklı sıralama elde edilir.

Önce

1

dışındaki elemanları yerleştirerek boşluklar elde etmek.

2

1

rakamlarının yan yana gelmeyeceği şekilde boşluklara yerleştirilme sayısını hesaplama

Toplam

6 \times \binom{5}{3} = 60

durum elde edilir.

Hiçbir

1

rakamının yan yana gelmediği şifre sayısını belirlemek.

3

Aynı olan diğer rakamların (

2

veya

3

) yan yana geldiği istenmeyen durumları hesaplama

İki

2

'nin yan yana geldiği durum sayısı

12

, iki

3

'ün yan yana geldiği durum sayısı da

12

'dir.

İçerme-dışarma prensibini uygulamak üzere tekli istenmeyen durum kümelerini bulmak.

4

Hem iki

2

'nin hem de iki

3

'ün aynı anda yan yana geldiği durum sayısını hesaplama

2 durum elde edilir.

İçerme-dışarma prensibindeki kesişim kümesini bulmak.

5

İstenmeyen durumların toplam sayısını bulup tüm durumlardan çıkarma

60 - (12 + 12 - 2) = 38

olarak bulunur.

Koşulları tam olarak sağlayan şifre sayısına ulaşmak.

Anahtar Kavram

Tekrarlı permütasyon problemlerinde boşluk (gap) yöntemi ve içerme-dışarma prensibinin entegrasyonu.

Soru 592Soru →

Yatay bir düzlem üzerinde durmakta olan $5\text{ kg}$ kütleli bir bloğa, yatayla $37^\circ$ lik açı yapacak şekilde yukarı doğru yönelmiş $50\text{ N}$ büyüklüğünde sabit bir $F$ kuvveti uygulanmaktadır. Blok ile zemin arasındaki sürtünme katsayısı $0,5$ olduğuna göre, bloğun ivmesinin büyüklüğü kaç $\text{m/s}^2$ olur?
( $g = 10\text{ m/s}^2$ ; $\sin 37^\circ = 0,6$ ; $\cos 37^\circ = 0,8$ alınız.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Bloğun ivmesinin büyüklüğü

6\text{ m/s}^2

olarak bulunur.

Kuvvetin yatay bileşeni (

40\text{ N}

) sürtünme kuvvetinden (

10\text{ N}

) büyüktür ve net kuvvet yatayda

30\text{ N}

olur. Newton'ın İkinci Yasası uygulandığında ivme

6\text{ m/s}^2

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Uygulanan kuvvetin yatay ve düşey bileşenleri hesaplanır.

F_x = 40\text{ N}

ve

F_y = 30\text{ N}

Kuvvet yatayla açı yaptığı için hareketi sağlayan yatay bileşen ile yüzeye olan dik baskıyı azaltan düşey bileşen belirlenmelidir.

2

Yüzeyin cisme uyguladığı normal (tepki) kuvveti hesaplanır.

N = 20\text{ N}

Uygulanan kuvvetin düşey bileşeni yukarı yönlü olduğundan, cismin ağırlığının oluşturduğu baskıyı azaltır:

N = mg - F_y

.

3

Cisme etki eden sürtünme kuvveti hesaplanır.

f_s = 10\text{ N}

Sürtünme kuvveti, sürtünme katsayısı ile normal kuvvetin çarpımına eşittir:

f_s = \mu \cdot N

.

4

Cisme etki eden net yatay kuvvet ve cismin ivmesi hesaplanır.

F_{net} = 30\text{ N}

ve

a = 6\text{ m/s}^2

Net yatay kuvvet, uygulanan kuvvetin yatay bileşeni ile sürtünme kuvvetinin farkıdır. İvme ise Newton'ın İkinci Yasası gereği

a = F_{net}/m

formülüyle bulunur.

Anahtar Kavram

Newton'ın İkinci Hareket Yasası ve Sürtünme Kuvveti Analizi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 593Soru →

Bir bisiklet firması, müşterilerine kendi bisikletlerini tasarlayabilmeleri için internet sitesinde bir modül sunmaktadır. Bu modülde bir bisiklet tasarımı oluşturmak isteyen bir müşteri sırasıyla;
- $3$ farklı kadro tipi ( $K_1, K_2, K_3$ ),
- $4$ farklı gidon tipi ( $G_1, G_2, G_3, G_4$ ),
- $3$ farklı sele tipi ( $S_1, S_2, S_3$ )
arasından seçim yapacaktır. Ancak üretimdeki teknik kısıtlamalardan dolayı;
- $K_1$ kadro tipi seçildiğinde $G_3$ gidon tipi,
- $S_1$ sele tipi seçildiğinde $G_4$ gidon tipi
kullanılamamaktadır.

Buna göre, bir müşteri bu kısıtlamalara uygun olarak kaç farklı bisiklet tasarımı yapabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Teknik kısıtlamalara uygun olarak yapılabilecek toplam bisiklet tasarımı sayısı 30'dur.

Kısıtlamasız tüm durumların sayısı olan 36'dan, kısıtlamaları ihlal eden ve kesişimleri boş olan iki ayrık durum grubunun (3 ve 3 olmak üzere toplam 6 durum) çıkarılmasıyla doğru cevap 30 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Kısıtlama olmadan yapılabilecek tüm tasarımların sayısını hesaplama

3 \times 4 \times 3 = 36

Çarpma yoluyla sayma kuralı uyarınca, ardışık yapılan bağımsız seçimlerin seçenek sayıları çarpılır.

2

K_1

kadro ve

G_3

gidon kombinasyonunun kullanıldığı geçersiz durumları bulma

1 \times 1 \times 3 = 3

Kadro

K_1

ve gidon

G_3

olarak seçildiğinde, sele için 3 farklı seçenek (

S_1, S_2, S_3

) kullanılabilir.

3

S_1

sele ve

G_4

gidon kombinasyonunun kullanıldığı geçersiz durumları bulma

3 \times 1 \times 1 = 3

Sele

S_1

ve gidon

G_4

olarak seçildiğinde, kadro için 3 farklı seçenek (

K_1, K_2, K_3

) kullanılabilir.

4

Geçersiz durumların ortak elemanı (kesişimi) olup olmadığını kontrol etme ve toplam geçersiz durumları bulma

3 + 3 = 6

Bir bisiklet tasarımında yalnızca bir gidon seçilebildiği için, bir tasarımda aynı anda hem

G_3

hem de

G_4

bulunamaz. Bu nedenle iki geçersiz durum kümesi ayrıktır ve eleman sayıları toplanır.

5

Geçerli tasarımların sayısını bulma

36 - 6 = 30

Tüm olası durumlardan geçersiz durumların çıkarılması (tümleyen yöntemi) ile sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Çarpma ve Toplama Yoluyla Sayma İlkeleri ile Tüm Durumlardan İstenmeyen Durumların Çıkarılması

Soru 594Soru →

Dik koordinat düzleminde, $a$ bir gerçel sayı olmak üzere,

f(x) = x^2 - 2ax + a^2 - 3a + 2

parabolünün tepe noktası olan $T$ noktası analitik düzlemin dördüncü bölgesindedir.

Bu parabolün simetri ekseni ile $y = x$ doğrusunun kesişim noktası $P$ olmak üzere, $T$ ve $P$ noktaları arasındaki uzaklık $6$ birimdir.

Buna göre, $a$ değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

a = 2

Tepe noktası

T(a, -3a+2)

dördüncü bölgede olduğu için

a > 2/3

olmalıdır. Simetri ekseni olan

x = a

doğrusu ile

y = x

doğrusunun kesişim noktası

P(a, a)

olur. İki nokta arasındaki uzaklık

|4a - 2| = 6

denklemini verir. Buradan

a = 2

değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Parabolün tepe noktasının koordinatlarını bulmak.

T(a, -3a + 2)

Parabolün tepe noktasının apsisi

r = -\frac{b}{2a_{coeff}} = -\frac{-2a}{2} = a

formülüyle bulunur. Ordinatı ise

k = f(a) = a^2 - 2a^2 + a^2 - 3a + 2 = -3a + 2

olarak elde edilir.

2

Simetri eksenini belirlemek ve kesişim noktasını bulmak.

P(a, a)

Parabolün simetri ekseni

x = r

doğrusudur, yani

x = a

doğrusudur. Bu doğrunun

y = x

doğrusuyla kesişim noktası

P(a, a)

olur.

3

T ve P noktaları arasındaki uzaklık denklemini yazmak.

|4a - 2| = 6

Apsisleri aynı olan iki nokta arasındaki uzaklık, ordinatlarının farkının mutlak değeridir:

|a - (-3a + 2)| = |4a - 2| = 6

.

4

Dördüncü bölge koşulunu uygulayarak a değerini belirlemek.

a = 2

T(a, -3a + 2)

dördüncü bölgede olduğundan apsisi pozitif (

a > 0

), ordinatı negatif (

-3a + 2 < 0 \implies a > 2/3

) olmalıdır.

|4a - 2| = 6

denkleminin çözümlerinden

a = 2

bu koşulu sağlar,

a = -1

ise sağlamaz.

Anahtar Kavram

Parabolün tepe noktası koordinatları, simetri ekseni ve analitik düzlemde iki nokta arasındaki uzaklık ilişkisi

Soru 595Soru →

Dik koordinat düzleminde,

f(x) = x^3 - 3x^2 - 6x + 2

eğrisinin teğetlerinden eğimi en küçük olan teğet doğrusunun

y

eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Eğriye çizilen teğetler arasında eğimi en küçük olan doğrunun y eksenini kestiği noktanın ordinatı 3'tür.

Verilen fonksiyonun türevi

f'(x) = 3x^2 - 6x - 6

olarak bulunur. Bu fonksiyon teğetlerin eğimini temsil eden kolları yukarı doğru bir paraboldür ve minimum değerini tepe noktasında yani

x = 1

noktasında alır.

x = 1

için teğet noktası

(1, -6)

ve bu noktadaki teğet doğrusunun eğimi

m = -9

olur. Denklemi yazıldığında

y - (-6) = -9(x - 1) \implies y = -9x + 3

doğrusu elde edilir. Bu doğrunun

y

eksenini kestiği noktanın ordinatı ise 3 olur.

Adım Adım Çözüm

1

Eğrinin teğetlerinin eğimini veren türev fonksiyonunu bulun.

f'(x) = 3x^2 - 6x - 6

Bir fonksiyonun grafiğine üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki birinci türevinin değerine eşittir.

2

Türev fonksiyonunun minimum değerini aldığı x apsis değerini tepe noktası formülüyle belirleyin.

x = 1

f'(x)

fonksiyonu kolları yukarı doğru olan bir parabol belirttiği için minimum değerini tepe noktasında (

r = -b / 2a

) alır.

3

Teğet noktasının koordinatlarını ve teğet doğrusunun eğimini hesaplayın.

Teğet noktası

(1, -6)

ve teğet doğrusunun eğimi

m = -9

Teğet noktasının y koordinatı orijinal fonksiyonda

x = 1

yazılarak, eğim ise türev fonksiyonunda

x = 1

yazılarak bulunur.

4

Teğet doğrusunun denklemini oluşturun ve y eksenini kestiği ordinat değerini bulun.

Doğru denklemi

y = -9x + 3

ve y eksenini kestiği ordinat

3

Noktası ve eğimi bilinen doğru denklemi formülü kullanılarak teğet denklemi elde edilir. Bu denklemde

x = 0

yazıldığında doğrunun y eksenini kestiği noktanın ordinatı bulunur.

Anahtar Kavram

Bir eğrinin üzerindeki bir noktadaki teğetinin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevidir. ��kinci dereceden türev fonksiyonunun en küçük değerini aldığı nokta tepe noktası yardımıyla bulunarak minimum eğimli teğet doğrusu belirlenir.

Soru 596Soru →

Bir torbada $1$ 'den $6$ 'ya kadar numaralandırılmış $6$ kırmızı ve $1$ 'den $6$ 'ya kadar numaralandırılmış $6$ mavi top bulunmaktadır. Bu torbadan aynı anda rastgele iki top çekiliyor.

Çekilen topların renklerinin farklı veya üzerindeki sayıların toplamının $7$ olma olasılığı en sade biçimde $\frac{a}{b}$ kesri olarak yazıldığında $a + b$ toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

Renklerin farklı veya üzerindeki sayıların toplamının

7

olma olasılığı en sade biçimde

\frac{7}{11}

olup, pay ile paydanın toplamı

18

'dir.

Toplam

12

top arasından rastgele

2

top

\binom{12}{2} = 66

farklı şekilde çekilebilir. Çekilen topların farklı renkte olduğu

36

durum, üzerindeki sayıların toplamının

7

olduğu

12

durum vardır. Hem farklı renkte hem de toplamları

7

olan

6

ortak durum bulunduğundan, istenen koşulu sağlayan toplam durum sayısı

36 + 12 - 6 = 42

olur. Olasılık değeri ise

\frac{42}{66} = \frac{7}{11}

olarak elde edilir. En sade biçimdeki bu kesir için pay (

7

) ile paydanın (

11

) toplamı

18

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Torbada bulunan toplam top sayısını ve bu toplardan aynı anda çekilebilecek tüm iki top kombinasyonlarının sayısını hesaplama.

Toplam top sayısı

6 + 6 = 12

'dir. Bu 12 toptan 2 tanesi

\binom{12}{2} = \frac{12 \times 11}{2} = 66

farklı şekilde çekilebilir.

İstenen olayın olasılığını hesaplamak için örnek uzayın (tüm olası durumların) eleman sayısını belirlemek gerekir.

2

Çekilen topların farklı renkte olma durumunun (A olayı) eleman sayısını bulma.

6

kırmızı toptan

1

tane ve

6

mavi toptan

1

tane seçilmelidir. Bu durumun eleman sayısı

s(A) = \binom{6}{1} \times \binom{6}{1} = 6 \times 6 = 36

olarak bulunur.

Farklı renklerdeki iki topun çekilme sayısın�� belirlemek için çarpma yoluyla sayma kuralı uygulanır.

3

Çekilen topların üzerindeki sayıların toplamının

7

olma durumunun (B olayı) eleman sayısını bulma.

Toplamları

7

olan sayı çiftleri

\{1, 6\}

,

\{2, 5\}

ve

\{3, 4\}

'tür. Her bir çift için seçilebilecek top kombinasyonları şunlardır: İkisi de kırmızı (1 durum), ikisi de mavi (1 durum) ya da biri kırmızı diğeri mavi (2 durum). Dolayısıyla her çift için

4

durum vardır ve toplam durum sayısı

s(B) = 3 \times 4 = 12

olur.

Üzerindeki sayıların toplamı

7

olan tüm top çifti kombinasyonlarını eksiksiz belirlemek gerekir.

4

Hem renkleri farklı hem de sayıların toplamı

7

olan ortak durumların (

A \cap B

olayı) eleman sayısını bulma.

Toplamları

7

olan 3 sayı çiftinin her biri için renklerin farklı olduğu

2

durum vardır (örneğin

1_R, 6_B

ve

1_B, 6_R

). Dolayısıyla ortak durumların sayısı

s(A \cap B) = 3 \times 2 = 6

olur.

Kesişim kümesinin eleman sayısını belirleyerek, hem renklerin farklı hem de toplamın

7

olduğu durumların iki kez sayılmasını önlemek gerekir.

5

Birleşim kümesinin eleman sayısını hesaplama ve olasılık değerini en sade rasyonel biçimde ifade etme.

s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) = 36 + 12 - 6 = 42

bulunur. Olasılık değeri ise

P(A \cup B) = \frac{42}{66} = \frac{7}{11}

olur.

Renklerin farklı veya toplamın

7

olması olayının olasılığını bulmak için birleşim formülü uygulanır.

6

En sade haldeki pay ve paydanın toplamını bulma.

En sade haldeki kesir

\frac{7}{11}

olduğundan

a = 7

ve

b = 11

olur. Buradan

a + b = 7 + 11 = 18

elde edilir.

Soruda istenen

a + b

değerine ulaşmak için pay ve paydayı toplamak gerekir.

Anahtar Kavram

Basit Olayların Olasılığı ve Kümelerde Birleşim Kuralı

Soru 597Soru →

Bir

f

fonksiyonunun gerçel sayılar kümesinde sürekli olduğu bilinmektedir.

\int_{-1}^{3} f(x) \, dx = 8

ve

\int_{1}^{3} \big(f(x) - f(2-x)\big) \, dx = 10

olduğuna göre,

\int_{-1}^{1} f(x) \, dx

integralinin sonucu kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

İstenen belirli integralin değeri -1 olarak bulunur.

Verilen birinci integral aralık bölme özelliğiyle

\int_{-1}^{3} f(x) \, dx = \int_{-1}^{1} f(x) \, dx + \int_{1}^{3} f(x) \, dx = 8

şeklinde yazılır. İkinci integralde bulunan

\int_{1}^{3} f(2-x) \, dx

terimi,

u = 2-x

dönüşümü yapıldığında sınırların ters dönmesi ve

du = -dx

eşitliğindeki eksinin sınırları düzeltmesiyle

\int_{-1}^{1} f(x) \, dx

integraline eşit olur. Bu iki bağıntı ortak çözüldüğünde istenen integralin sonucu -1 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Belirli integralin aralık bölme özelliğini kullanarak sınırları

[-1, 1]

ve

[1, 3]

olarak ayıralım.

A = \int_{-1}^{1} f(x) \, dx

ve

B = \int_{1}^{3} f(x) \, dx

olmak üzere

A + B = 8

denklemi elde edilir.

İntegrali verilen diğer sınırlarla ilişkilendirmek ve istenen

[-1, 1]

aralığını ortaya çıkarmak için parçalama yapılır.

2

İkinci denklemdeki integralde lineerlik özelliğini kullanalım ve değişken değiştirme uygulayalım.

B - \int_{1}^{3} f(2-x) \, dx = 10

olur. Burada

u = 2-x

dönüşümüyle integral

\int_{-1}^{1} f(x) \, dx = A

biçimine gelir ve

B - A = 10

denklemi bulunur.

Parantez içindeki

2-x

ifadesini sadeleştirmek ve sınırları

[-1, 1]

aralığına taşımak amacıyla değişken değiştirilir.

3

Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözelim.

A + B = 8

ve

B - A = 10

denklemlerinden

A = -1

olarak hesaplanır.

Ortak çözüm yapılarak doğrudan aranan integralin sayısal değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde aralık bölme ve değişken değiştirme yöntemiyle sınırların güncellenmesi.

Soru 598Soru →

Bir $(a_n)$ geometrik dizisinin terimleri pozitif gerçek sayılardır ve bu dizi artandır. Dizinin terimleri arasında,

a_4 \cdot a_8 = 1600

\frac{1}{a_5} + \frac{1}{a_7} = \frac{1}{16}

bağıntıları bulunmaktadır. Buna göre, bu dizinin üçüncü terimi ( $a_3$ ) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Dizinin üçüncü terimi 5'tir.

Dizi terimlerinin indis ilişkisinden

a_5 \cdot a_7 = 1600

bulunur. Rasyonel denklemde payda eşitlendiğinde

a_5 + a_7 = 100

elde edilir. Bu iki eşitlikten, dizinin artan olduğu da dikkate alınarak

a_5 = 20

ve

a_7 = 80

olarak bulunur. Buradan ortak çarpan

r = 2

ve üçüncü terim

a_3 = 5

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Terimlerin indis ilişkisini kullanarak

a_5 \cdot a_7

çarpımını bulma.

a_5 \cdot a_7 = 1600

Geometrik dizilerde

i+j=k+l

ise

a_i \cdot a_j = a_k \cdot a_l

özelliğinden dolayı

4+8 = 5+7 = 12

olup

a_5 \cdot a_7 = a_4 \cdot a_8 = 1600

olur.

2

Verilen rasyonel denklemi düzenleyerek terimlerin toplam��nı bulma.

a_5 + a_7 = 100

Payda eşitleme yapıldığında

\frac{a_5 + a_7}{a_5 \cdot a_7} = \frac{1}{16}

elde edilir. Çarpım yerine

1600

yazıldığında toplam

100

olarak bulunur.

3

Toplamları ve çarpımları bilinen terimleri bulmak için ikinci dereceden denklem çözme.

a_5 = 20

ve

a_7 = 80

Kökleri

a_5

ve

a_7

olan denklem

x^2 - 100x + 1600 = 0

şeklindedir. Çarpanlara ayırma ile

(x-20)(x-80) = 0

elde edilir. Dizi artan olduğundan

a_5 = 20

ve

a_7 = 80

olmalıdır.

4

Dizinin ortak çarpanını (

r

) bulma.

r = 2

a_7 = a_5 \cdot r^2

eşitliğinden

80 = 20 \cdot r^2 \implies r^2 = 4

ve terimler pozitif olduğu için

r = 2

bulunur.

5

Dizinin üçüncü terimini (

a_3

) hesaplama.

a_3 = 5

a_5 = a_3 \cdot r^2

eşitliğinde değerler yerine yazıldığında

20 = a_3 \cdot 4 \implies a_3 = 5

elde edilir.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerde terimlerin indis özellikleri ve terimler arası ilişkiler.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 599Soru →

Eğim açısı $53^\circ$ olan sürtünmeli bir eğik düzlem üzerinde bulunan $4\text{ kg}$ kütleli bir blok, eğik düzlem yüzeyine paralel doğrultuda uygulanan $F$ büyüklüğündeki bir kuvvet yardımıyla dengede tutulmaktadır. Blok ile eğik düzlem yüzeyi arasındaki statik sürtünme katsayısı $\mu_s = 0,5$ olduğuna göre, bloğun hareketsiz kalmasını sağlayan $F$ kuvvetinin alabileceği en büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark kaç $\text{N}$ 'dur?

( $g = 10\text{ m/s}^2$ ; $\sin 53^\circ = 0,8$ ; $\cos 53^\circ = 0,6$ alınız.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Bloğun dengede kalmasını sağlayan kuvvet değerleri arasındaki fark 24 N'dur.

Dengede kalma durumunda statik sürtünme kuvveti, cismin aşağı kayma eğiliminde yukarı yönde, yukarı kayma eğiliminde ise aşağı yönde etki eder. Bu iki sınır durum arasındaki kuvvet farkı, maksimum statik sürtünme kuvvetinin iki katına (

2 \cdot f_{s,\max}

) eşittir. Buradan fark

2 \cdot 12 = 24\text{ N}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Bloğun ağırlık kuvvetini (

G = mg

) ve bu kuvvetin eğik düzleme paralel (

G_{\parallel}

) ve dik (

G_{\perp}

) bileşenlerini hesaplayın.

G = 4 \cdot 10 = 40\text{ N}

,

G_{\parallel} = G \cdot \sin 53^\circ = 40 \cdot 0,8 = 32\text{ N}

,

G_{\perp} = G \cdot \cos 53^\circ = 40 \cdot 0,6 = 24\text{ N}

.

Eğik düzlem üzerindeki kuvvet analizini gerçekleştirebilmek amacıyla ağırlık kuvvetini yüzeye paralel ve dik bileşenlerine ayırırız.

2

Eğik düzlemin bloğa uyguladığı tepki kuvvetini (

N

) ve ardından maksimum statik sürtünme kuvvetini (

f_{s,\max}

) hesaplayın.

N = G_{\perp} = 24\text{ N}

,

f_{s,\max} = \mu_s \cdot N = 0,5 \cdot 24 = 12\text{ N}

.

Statik sürtünme kuvvetinin alabileceği en büyük değer, bloğun kaymaya başlayacağı kritik sınırları belirler.

3

Blok için minimum ve maksimum dengede tutma kuvvetlerini belirleyin.

Minimum kuvvet (

F_{\min}

) durumunda blok aşağı kaymak ister, sürtünme yukarı yönlüdür:

F_{\min} + f_{s,\max} = G_{\parallel} \implies F_{\min} + 12 = 32 \implies F_{\min} = 20\text{ N}

. Maksimum kuvvet (

F_{\max}

) durumunda blok yukarı kaymak ister, sürtünme aşağı yönlüdür:

F_{\max} = G_{\parallel} + f_{s,\max} \implies F_{\max} = 32 + 12 = 44\text{ N}

.

Statik sürtünme kuvveti hareketi veya hareket eğilimini engelleyecek yönde oluştuğundan, cismin sınır hareket eğilimlerine göre iki farklı denge durumu ortaya çıkar.

4

Maksimum ve minimum kuvvetler arasındaki farkı bulun.

F_{\max} - F_{\min} = 44 - 20 = 24\text{ N}

.

Soruda istenen farkı bulmak için iki sınır değeri birbirinden çıkarırız.

Anahtar Kavram

Newton'ın Hareket Yasaları ve Statik Sürtünme Kuvveti Dengesi

Soru 600Soru →

27^{\frac{1}{\log_2 3}} + 16^{\frac{1}{\log_3 2}} - 5^{\frac{2}{\log_2 5}}

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 85

Cevap

Verilen logaritmik ifadenin sadeleştirilmiş değeri 85 olarak bulunur.

İfadedeki terimler tek tek taban değiştirme kuralı (

\frac{1}{\log_a b} = \log_b a

) kullanılarak düzenlenmiştir. Düzenlenen terimler sırasıyla

3^{\log_3 8}

,

2^{\log_2 81}

ve

5^{\log_5 4}

haline getirilmiş, ardından

a^{\log_a b} = b

kuralıyla

8 + 81 - 4 = 85

sonucuna ulaşılmıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Taban değiştirme kuralı yardımıyla paydadaki logaritmalı terimleri pay kısmına geçirin.

\frac{1}{\log_2 3} = \log_3 2

,

\frac{1}{\log_3 2} = \log_2 3

ve

\frac{1}{\log_2 5} = \log_5 2

\frac{1}{\log_a b} = \log_b a

özelliği gereği taban ve argüman yer değiştirir.

2

Elde edilen ifadeleri yerlerine yazarak üslü tabanları logaritma tabanları cinsinden kuvvet olarak ifade edin.

(3^3)^{\log_3 2} + (2^4)^{\log_2 3} - 5^{2\log_5 2}

27 = 3^3

ve

16 = 2^4

yazarak sadeleşmeyi kolaylaştırmak hedeflenir.

3

Kuvvetlerin çarp��mı özelliğini ve

k \cdot \log_a b = \log_a b^k

özelliğini kullanarak ifadeleri sadeleştirin.

3^{\log_3 8} + 2^{\log_2 81} - 5^{\log_5 4}

(x^m)^n = x^{m \cdot n}

ve logaritma katsayı kuralı uygulanmıştır.

4

a^{\log_a b} = b

özelliğini kullanarak her bir terimin değerini hesaplayın ve işlemi tamamlayın.

8 + 81 - 4 = 85

Logaritmik üslerin temel sadeleşme kuralı uygulanarak tam sayı değerleri elde edilmiştir.

Anahtar Kavram

Logaritmada taban değiştirme ve üslü sayı özellikleri ile ilişkilendirilmesi

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak,

a^{\log_b c} = c^{\log_b a}

özelliği doğrudan kullanılabilir:
-

27^{\log_3 2} = 2^{\log_3 27} = 2^3 = 8

-

16^{\log_2 3} = 3^{\log_2 16} = 3^4 = 81

-

5^{2\log_5 2} = 5^{\log_5 4} = 4^{\log_5 5} = 4^1 = 4

Buradan

8 + 81 - 4 = 85

elde edilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm