Examkin

Tüm alıştırma soruları

852 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 81Soru →
aa bir gerçek sayı olmak üzere,
f(x)=−x2+6x+af(x) = -x^2 + 6x + a
fonksiyonunun [0,4][0, 4] kapalı aralığındaki en büyük değeri 1414 olduğuna göre, bu fonksiyonun aynı aralıktaki en küçük değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Fonksiyonun [0,4][0, 4] kapal�� aralığındaki en küçük değeri 5'tir.
Tepe noktası x=3x=3 aralığın içindedir ve parabol kolları aşağı doğru olduğu için en büyük değer buradadır. Buradan a=5a=5 bulunur. Uç noktalardan tepe noktasına en uzak olanı x=0x=0 olup en küçük değer f(0)=5f(0)=5'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Tepe noktasının koordinatlarını bulma
r=3r = 3
Parabolün maksimum ya da minimum değerleri tepe noktasında veya aralık uçlarında gerçekleşebilir. Tepe noktasının apsisi r=−b2ar = -\frac{b}{2a} formülü ile hesaplanır.
2
Bilinmeyen aa katsayısını hesaplama
a=5a = 5 ve f(x)=−x2+6x+5f(x) = -x^2 + 6x + 5
r=3r = 3 apsisi [0,4][0, 4] aralığına dahildir. Kolları aşağı doğru olan bu parabolün en büyük değeri tepe noktasının ordinatıdır. f(3)=14f(3) = 14 eşitliği çözülerek aa bulunur.
3
Uç noktaları test etme
f(0)=5f(0) = 5 ve f(4)=13f(4) = 13
Tepe noktası en büyük değeri verdiğinden, en küçük değer aralığın uç noktalarından birinde yer alır. Uç noktaların görüntüleri hesaplanarak karşılaştır��lır.

Anahtar Kavram

Parabolün belirli bir aralıktaki ekstremum değerleri bulunurken tepe noktası ve uç noktalar kontrol edilir.
Soru 82Soru →

Simetri ekseni x=2x = 2 doğrusu olan f(x)=x2−ax+a+3f(x) = x^2 - ax + a + 3 parabolünün tepe noktasının ordinatı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Parabolün tepe noktasının ordinatı 3'tür.
Parabolün simetri ekseni tepe noktasının apsis değerine (r) eşittir. Simetri ekseni x=2x = 2 olarak verildiğinden r=2r = 2 olur. r=−b2a=a2=2r = -\frac{b}{2a} = \frac{a}{2} = 2 eşitliğinden a=4a = 4 bulunur. Fonksiyon denkleminde aa yerine yazıldığında f(x)=x2−4x+7f(x) = x^2 - 4x + 7 elde edilir. Tepe noktasının ordinatı k=f(2)k = f(2) olduğundan, f(2)=22−4(2)+7=3f(2) = 2^2 - 4(2) + 7 = 3 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün simetri ekseni formülü yardımıyla a parametresini bulmak
a=4a = 4
Simetri ekseni x=r=2x = r = 2 doğrusudur. r=−b2ar = -\frac{b}{2a} formülü kullanılarak r=a2=2r = \frac{a}{2} = 2 eşitliğinden a=4a = 4 elde edilir.
2
Bulunan a değerini fonksiyonda yerine yazarak parabol denklemini elde etmek
f(x)=x2−4x+7f(x) = x^2 - 4x + 7
Tepe noktasının ordinatını hesaplayabilmek için öncelikle fonksiyonun kuralı tam olarak belirlenmelidir.
3
Tepe noktasının ordinatı olan k=f(r)=f(2)k = f(r) = f(2) değerini hesaplamak
k=3k = 3
Tepe noktasının apsisi fonksiyonda yerine yazıldığında elde edilen değer tepe noktasının ordinatını verir.

Anahtar Kavram

Parabolün simetri ekseni x=r=−b2ax = r = -\frac{b}{2a} doğrusudur. Tepe noktası T(r,k)T(r, k) koordinatlarına sahip olup ordinat değeri k=f(r)k = f(r) formülüyle hesaplanır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 83Soru →

40 cm uzunluğundaki bir tel iki parçaya ayrılıyor. Bu parçalardan biriyle bir kare, diğeriyle ise bir kenar uzunluğu 4 cm olan bir dikdörtgen yapılıyor.

Buna göre, elde edilen kare ve dikdörtgenin alanları toplamının alabileceği en küçük değer kaç cm2\text{cm}^2'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

Karenin ve dikdörtgenin alanları toplamının alabileceği en küçük değer 48 olur.
Kare ve dikdörtgenin alanları toplamını veren T(x)=x216−2x+64T(x) = \frac{x^2}{16} - 2x + 64 fonksiyonu kolları yukarı doğru olan bir parabol belirtir. Bu fonksiyonun en küçük değeri tepe noktasının ordinatıdır. Tepe noktasının apsisi r=16r = 16 olup bu değer fonksiyonda yerine yazıldığında en küçük alan 48 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kare için kullanılan tel parçasına xx cm diyelim. Bu durumda karenin bir kenar uzunluğu x4\frac{x}{4} cm ve alanı Akare=(x4)2=x216A_{\text{kare}} = \left(\frac{x}{4}\right)^2 = \frac{x^2}{16} cm2\text{cm}^2 olur.
Karenin alanı: x216\frac{x^2}{16}
Telden kare yapıldığında çevre uzunluğu telin boyuna eşit olur, alan ise kenar uzunluğunun karesidir.
2
Kalan 40−x40-x cm uzunluğundaki tel parçası ile bir kenarı 4 cm olan bir dikdörtgen oluşturulur. Dikdörtgenin diğer kenar uzunluğuna bb dersek çevre uzunluğu 2(4+b)=40−x  ⟹  8+2b=40−x  ⟹  b=16−x22(4 + b) = 40 - x \implies 8 + 2b = 40 - x \implies b = 16 - \frac{x}{2} cm olur. Dikdörtgenin alanı ise Adikdo¨rtgen=4⋅(16−x2)=64−2xA_{\text{dikdörtgen}} = 4 \cdot \left(16 - \frac{x}{2}\right) = 64 - 2x cm2\text{cm}^2 olarak bulunur.
Dikdörtgenin alanı: 64−2x64 - 2x
Çevre formülünden bilinmeyen kenar uzunluğu ��ekilerek alan formülünde yerine yazılır.
3
Toplam alan fonksiyonunu T(x)=Akare+Adikdo¨rtgen=x216−2x+64T(x) = A_{\text{kare}} + A_{\text{dikdörtgen}} = \frac{x^2}{16} - 2x + 64 olarak yazalım. Bu fonksiyonun en küçük değerini bulmak için tepe noktasının apsisini (rr) hesaplayalım: r=−−22⋅116=16r = -\frac{-2}{2 \cdot \frac{1}{16}} = 16 bulunur.
Tepe noktası apsisi r=16r = 16
Kollar yukarı doğru olan bir parabol en küçük değerini tepe noktasında alır.
4
Bulduğumuz r=16r = 16 değerini toplam alan fonksiyonunda yerine yazarak en küçük alanı hesaplayalım: T(16)=16216−2(16)+64=16−32+64=48T(16) = \frac{16^2}{16} - 2(16) + 64 = 16 - 32 + 64 = 48 cm2\text{cm}^2 bulunur.
En küçük alan: 48
Fonksiyonun alabileceği en küçük değer, tepe noktasının ordinatı olan k=T(r)k = T(r) değeridir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir fonksiyonun (parabolün) kapalı veya açık bir aralıkta alabileceği en küçük (minimum) değeri bulma.

Alternatif Yöntem

Türevin limit tanımı ve türev kuralları biliniyorsa, toplam alan fonksiyonu olan T(x)=x216−2x+64T(x) = \frac{x^2}{16} - 2x + 64 fonksiyonunun birinci türevi sıfıra eşitlenerek yerel ekstremum (minimum) noktası bulunabilir: T′(x)=2x16−2=0  ⟹  x8=2  ⟹  x=16T'(x) = \frac{2x}{16} - 2 = 0 \implies \frac{x}{8} = 2 \implies x = 16 olur. Bu değer fonksiyonda yerine yazıldığında minimum alan T(16)=48T(16) = 48 olarak hesaplanır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 84Soru →

Analitik düzlemde, f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3 fonksiyonunun grafiği olan parabol üzerindeki bir noktanın, A(2,32)A\left(2, \frac{3}{2}\right) noktasına olan uzaklığı en az kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1.5

Cevap

Parabol üzerindeki bir noktanın belirtilen noktaya uzaklığı en az 1,5 birimdir.
Parabol üzerindeki genel bir noktanın koordinatları arasındaki bağıntı kullanılarak yazılan uzaklık fonksiyonu g(y)=y2−2y+3,25g(y) = y^2 - 2y + 3,25 şeklinde ikinci dereceden bir fonksiyona dönüşür. Bu fonksiyonun tepe noktası y=1y=1 değerindedir ve parabolün alabileceği y≥−1y \ge -1 değerleri aralığındadır. Dolayısıyla, en küçük uzaklık y=1y=1 için hesaplanan 1,51,5 birim değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol üzerindeki genel noktanın koordinatları arasındaki ilişkiyi belirlemek.
y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 denklesinden (x−2)2=y+1(x-2)^2 = y+1 elde edilir. Parabolün en küçük y değeri −1-1 olduğundan y≥−1y \ge -1 olmalıdır.
Uzaklık formülünü tek değişkene indirgemek için iki koordinat arasındaki ilişkiyi kurmak gerekir.
2
Uzaklık karesi denklemini kurmak.
d2=(x−2)2+(y−1,5)2=y+1+y2−3y+2,25=y2−2y+3,25d^2 = (x-2)^2 + (y - 1,5)^2 = y + 1 + y^2 - 3y + 2,25 = y^2 - 2y + 3,25
xx değişkenini yok ederek uzaklık ifadesini yy değişkenine bağlı ikinci dereceden bir fonksiyon olarak yazmak.
3
Elde edilen ikinci dereceden fonksiyonun en küçük değerini tepe noktası yardımıyla bulmak.
y=1y = 1 için d2=2,25d^2 = 2,25 minimum değerini alır.
y2−2y+3,25y^2 - 2y + 3,25 parabolik fonksiyonunun tepe noktası y=1y = 1 konumundadır ve bu değer y≥−1y \ge -1 tanım kümesine dahildir.
4
Kareköklü ifadeyi hesaplayarak en kısa uzaklığı bulmak.
d=2,25=1,5d = \sqrt{2,25} = 1,5 birim.
Uzaklığın karesinden uzaklığın kendisine geçiş yapmak.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir fonksiyonun (parabolün) sınırlı bir aralıkta alabileceği en büyük veya en küçük değeri, tepe noktasının konumu ve sınır değerleri incelenerek bulunur.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 85Soru →
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı
f(x)=x2−4x−3f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 3}
fonksiyonu veriliyor.
Buna göre,
f(x−2)⋅f(x+1)≤0f(x - 2) \cdot f(x + 1) \leq 0
eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

Eşitsizliği sağlayan xx tam sayılarının toplamı −1-1 olarak bulunur.
Yapılan fonksiyon dönüşümleri ve işaret tablosu analizi sonucunda, paydanın tanımsızlık noktaları hariç tutulup eşitsizliği negatif yapan tüm tam sayıların toplanmasıyla doğru cevaba ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x−2)f(x - 2) ve f(x+1)f(x + 1) fonksiyonlarının kurallarını belirleyin.
f(x−2)=(x−2)2−4x−2−3=x2−4xx−5=x(x−4)x−5f(x-2) = \frac{(x-2)^2-4}{x-2-3} = \frac{x^2-4x}{x-5} = \frac{x(x-4)}{x-5} ve f(x+1)=(x+1)2−4x+1−3=x2+2x−3x−2=(x+3)(x−1)x−2f(x+1) = \frac{(x+1)^2-4}{x+1-3} = \frac{x^2+2x-3}{x-2} = \frac{(x+3)(x-1)}{x-2}
Eşitsizlikte yer alan fonksiyonların xx cinsinden açık kurallarını bulmak için.
2
Eşitsizlikteki iki ifadeyi çarparak tek bir rasyonel eşitsizlik elde edin.
x(x−4)(x+3)(x−1)(x−5)(x−2)≤0\frac{x(x-4)(x+3)(x-1)}{(x-5)(x-2)} \leq 0
Çarpım ve bölüm durumundaki eşitsizliklerin işaret incelemesini tek bir tablo üzerinde yapabilmek için.
3
Pay ve paydanın köklerini bularak işaret tablosunu oluşturun.
Pay��n kökleri: −3,0,1,4-3, 0, 1, 4. Paydanın kökleri: 2,52, 5. Köklerin sıralaması: −3<0<1<2<4<5-3 < 0 < 1 < 2 < 4 < 5. İşaret tablosunda en sağ aralık (+)(+) ile başlar ve her tek katlı kökte işaret değişir: (5,∞)→(+)(5, \infty) \rightarrow (+), (4,5)→(−)(4, 5) \rightarrow (-), (2,4]→(+)(2, 4] \rightarrow (+), (1,2)→(−)(1, 2) \rightarrow (-), [0,1]→(+)[0, 1] \rightarrow (+), [−3,0]→(−)[-3, 0] \rightarrow (-), (−∞,−3]→(+)(-\infty, -3] \rightarrow (+).
Eşitsizliği sıfırdan küçük veya eşit yapan aralıkları doğru bir şekilde tespit etmek için.
4
Çözüm kümesindeki tam sayılar�� listeleyin ve toplayın.
Çözüm kümesi [−3,0]∪[1,2)∪[4,5)[-3, 0] \cup [1, 2) \cup [4, 5) aralıklarından oluşur. Bu aralıklardaki tam sayılar: −3,−2,−1,0,1,4-3, -2, -1, 0, 1, 4. Bu sayıların toplam�� ise (−3)+(−2)+(−1)+0+1+4=−1(-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 4 = -1 olur.
Bizden istenen sağlayan tam sayı değerlerinin toplamına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Çarpım ve bölüm durumundaki rasyonel eşitsizliklerde payda köklerinin çözüm kümesine dahil edilmemesi, fonksiyon ötelemelerinde köklerin doğru kaydırılması ve işaret tablosu analizi.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 86Soru →

Bir kenarı örülü duvar olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin diğer üç kenarı 40 metre uzunluğundaki bir tel örgüyle çevrilmiştir. Bu bahçenin alanının alabileceği en büyük değer kaç metrekaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 200

Cevap

Bahçenin alanının alabileceği en büyük değer 200 metrekaredir.
Bahçenin alanı A(x)=−2x2+40xA(x) = -2x^2 + 40x parabolüyle modellenir. En büyük alan, bu parabolün tepe noktasının ordinat değeri olan kk değeridir ve bu değer 200 metrekaredir.

Adım Adım Çözüm

1
Bahçenin kenar uzunluklarını xx değişkeni cinsinden belirlemek
Duvara dik kenarlar xx metre, duvara paralel kenar 40−2x40 - 2x metre olur.
Çevreyi oluşturan telin toplam uzunluğu 40 metredir ve bahçenin bir kenarı duvardır.
2
Bahçenin alanını veren ikinci dereceden fonksiyonu yazmak
A(x)=−2x2+40xA(x) = -2x^2 + 40x
Dikdörtgenin alanı, farklı iki kenar uzunluğunun çarpımı ile hesaplanır.
3
Alanı en büyük yapan xx değerini bulmak için parabolün tepe noktasının apsisini hesaplamak
r=10r = 10
Kolları aşağı doğru olan paraboller en büyük değerlerini tepe noktasında alır.
4
Maksimum alanı bulmak için tepe noktasının apsisini fonksiyon yerine yazıp sonucu hesaplamak
200
A(10)=200A(10) = 200 değeri alan fonksiyonunun alabileceği en büyük değerdir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir fonksiyonun (parabolün) tepe noktasının koordinatlarını kullanarak maksimum değerini hesaplama.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 87Soru →

Bir oyuncak üreticisi, ürettiği bir oyuncağın adet satış fiyatını xx TL olarak belirlediğinde, haftalık satış miktarının 180−3x180 - 3x adet olacağını öngörmektedir. Bu oyunca��ın bir adedinin üretim maliyeti 2020 TL'dir. Üretici, yaptığı bir anlaşma gereği haftada en az 7575 adet oyuncak satmak zorundadır. Buna göre, üreticinin bu oyuncak satışından elde edebileceği haftalık maksimum kâr kaç TL'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1125

Cevap

Üreticinin elde edebileceği haftalık maksimum kâr 1125 TL'dir.
Satış miktarının en az 75 adet olması şartı, satış fiyatı olan xx değerinin en fazla 35 TL olabileceğini gösterir (x≤35x \leq 35). Kâr fonksiyonu olan K(x)=(x−20)(180−3x)K(x) = (x - 20)(180 - 3x) parabolünün tepe noktası x=40x = 40 olup bu değer izin verilen x≤35x \leq 35 aralığının dışındadır. Kolları aşağıya doğru olan parabol, tepe noktasına kadar sürekli artan bir grafik çizer. Bu nedenle xx değeri 35'e yaklaştıkça kâr artar ve maksimum kâr x=35x = 35 değerinde 1125 TL olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Satış miktarı kısıtlamasına göre satış fiyatının alabileceği değerler aralığını belirlemek.
Tanım kümesi [20,35][20, 35] aralığı olarak bulunur.
Haftalık satış miktarının en az 75 olması gerektiği (180−3x≥75180 - 3x \geq 75) belirtilmiştir ve kâr elde etmek için satış fiyatı birim maliyet olan 20 TL'den az olamaz.
2
Haftalık kârı veren ikinci dereceden fonksiyonu (parabolü) oluşturmak.
K(x)=−3x2+240x−3600K(x) = -3x^2 + 240x - 3600
Kâr, birim kâr (x−20x - 20) ile satış miktarının (180−3x180 - 3x) çarpımına eşittir.
3
Oluşan parabolün tepe noktasının apsisini (rr) bulmak.
r=40r = 40
İkinci dereceden fonksiyonların en büyük/en küçük değer analizi tepe noktası koordinatları yardımıyla yapılır.
4
Tepe noktasının tanım kümesi ile olan ilişkisini incelemek ve maksimum kârı verecek xx değerini belirlemek.
Maksimum kâr x=35x = 35 noktasında oluşur.
r=40r = 40 değeri [20,35][20, 35] tanım aralığının dışındadır. Kolları aşağı doğru olan bu parabol, tepe noktasına kadar (x<40x < 40 için) artan olduğundan, [20,35][20, 35] aralığındaki en büyük değerini aralığın en sağındaki sınır değeri olan 3535 noktasında alır.
5
Belirlenen satış fiyatı değerini kâr fonksiyonunda yerine yazıp hesaplama yapmak.
11251125 TL
K(35)=(35−20)×(180−3×35)=15×75=1125K(35) = (35 - 20) \times (180 - 3 \times 35) = 15 \times 75 = 1125 işleminin sonucudur.

Anahtar Kavram

Sınırlı bir aralıkta tanımlı ikinci dereceden bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulurken, tepe noktasının bu aralıkta olup olmadığı kontrol edilmelidir. Eğer tepe noktası aralığın dışındaysa, maksimum veya minimum değerler aralığın uç noktalarında gerçekleşir.
Soru 88Soru →
(x2−x−6)⋅(x−4)2x2−1≤0 \frac{(x^2 - x - 6) \cdot (x - 4)^2}{x^2 - 1} \leq 0

eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Eşitsizliği sağlayan xx tam sayılarının toplamı 7'dir.
İşaret tablosu incelendiğinde ifadenin sıfırdan küçük veya eşit olduğu bölgeler [−2,−1)[-2, -1), (1,3](1, 3] aralıkları ve ifadenin sıfıra eşit olduğu x=4x = 4 noktasıdır. Bu kümedeki tam sayılar −2,2,3-2, 2, 3 ve 44 olup toplamları 77'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay ve paydadaki ifadelerin köklerini bulalım.
Payın kökleri: x2−x−6=(x−3)(x+2)=0  ⟹  x=3x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) = 0 \implies x = 3 ve x=−2x = -2. (x−4)2=0  ⟹  x=4(x - 4)^2 = 0 \implies x = 4 (çift katlı kök). Paydanın kökleri: x2−1=0  ⟹  x=1x^2 - 1 = 0 \implies x = 1 ve x=−1x = -1.
Eşitsizlik işaret tablosunun sınırlarını belirlemek için tüm çarpanların kökleri hesaplanmalıdır.
2
Bulunan kökleri küçükten büyüğe sıralayarak işaret tablosunu hazırlayalım.
Köklerin sıralaması: −2<−1<1<3<4-2 < -1 < 1 < 3 < 4. Burada x=4x = 4 çift katlı köktür. x=−1x = -1 ve x=1x = 1 paydanın kökleri olduğundan tanımsızlık noktalarıdır ve çözüm kümesine dahil edilemezler.
İşaret değişimlerini doğru takip edebilmek için kökleri sayı doğrusundaki sırasına göre yerleştirmeliyiz.
3
Tablonun en sağındaki bölgenin işaretini belirleyelim ve sola doğru dolduralım.
x>4x > 4 için ifadedeki tüm çarpanların başkatsayıları pozitif olduğundan tablonun en sağı ++ ile başlar. x=4x = 4 çift katlı kök olduğundan işaret değişmez (++). Sırasıyla diğer tek katlı köklerden geçerken işaret değiştirilir: (3,4)(3, 4) aralığı ++, (1,3](1, 3] aralığı −-, (−1,1)(-1, 1) aralığı ++, [−2,−1)[-2, -1) aralığı −-, (−∞,−2)(-\infty, -2) aralığı ++. Payda kökleri tanımsız olduğundan açık aralık, payın kökleri ise küçük eşitlik durumundan dolayı kapalı aralık olarak alınır.
Fonksiyonun farklı aralıklardaki işaretini belirleyerek eşitsizliğin yönünü sağlayan bölgeleri buluruz.
4
Eşitsizliği sağlayan (sıfırdan küçük veya eşit) aralıkları yazalım ve buradaki tam sayıları bulalım.
Çözüm kümesi: [−2,−1)∪(1,3]∪{4}[-2, -1) \cup (1, 3] \cup \{4\}. Bu kümedeki tam sayılar: −2,2,3,4-2, 2, 3, 4.
Eşitsizliğin sıfırdan küçük veya sıfıra eşit olduğu bölgelerdeki tam sayı çözümlerini listelemeliyiz.
5
Tam sayıların toplamını hesaplayalım.
(−2)+2+3+4=7(-2) + 2 + 3 + 4 = 7
Soru bizden eşitsizliği sağlayan tam sayıların toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizliklerin Çözüm Kümesi ve İşaret Tablosu
Soru 89Soru →
Bir gözlem balonunun yerden yüksekliği (metre cinsinden), zamana (dakika cinsinden) bağlı olarak
f(t)=−t2+6t+16f(t) = -t^2 + 6t + 16
fonksiyonuyla modellenmektedir.

Buna göre, bu balonun [4,7][4, 7] zaman aralığında (4. ve 7. dakikalar dahil) ulaştığı en büyük yükseklik ile en küçük yükseklik değerleri aras��ndaki fark kaç metredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

En büyük ve en küçük yükseklik değerleri arasındaki fark 15 metredir.
Balonun [4,7][4, 7] zaman aralığında ulaştığı en büyük değer sol sınır olan t=4t=4 anında 24 metre, en küçük değer ise sağ sınır olan t=7t=7 anında 9 metredir. Bu iki değer arasındaki fark 15 metredir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün tepe noktasının apsisini bulmak için r=−b2ar = -\frac{b}{2a} formülü uygulanır.
r=3r = 3 elde edilir.
Parabolün artanlık ve azalanlık seyrinin değiştiği tepe noktasını tespit etmek.
2
Tepe noktasının verilen [4,7][4, 7] kapalı aralığına göre konumu değerlendirilir.
r=3r = 3 değeri [4,7][4, 7] aralığının dışındadır ve solundadır.
Maksimum ve minimum değerlerin aralıkta nerede oluşacağını belirlemek.
3
Fonksiyonun [4,7][4, 7] aralığındaki uç noktalarındaki değerleri hesaplanır.
f(4)=24f(4) = 24 ve f(7)=9f(7) = 9 olarak bulunur.
Fonksiyon bu aralıkta azalan olduğundan, en büyük değer sol sınırda, en küçük değer sağ sınırda elde edilir.
4
Uç değerler arasındaki fark alınır.
24−9=1524 - 9 = 15 bulunur.
En büyük ve en küçük değerler arasındaki farkı hesaplamak.

Anahtar Kavram

Bir parabolün kapalı bir aral��ktaki en büyük ve en küçük değerleri bulunurken, tepe noktasının bu aralıkta olup olmadığı kontrol edilir. Tepe noktası aralığın dışındaysa, en büyük ve en küçük değerler aralığın uç noktalarında oluşur.
Soru 90Soru →
x2−2xy+y2−3x+3y=4x+2y=5\begin{aligned} x^2 - 2xy + y^2 - 3x + 3y &= 4 \\ x + 2y &= 5 \end{aligned}

denklem sistemini sağlayan (x,y)(x, y) gerçel sayı ikilileri için x+yx + y toplamının alabileceği tam sayı değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Denklem sistemini sağlayan (x,y)(x, y) gerçel sayı ikilileri için x+yx + y toplamının alabileceği tam sayı değeri 3'tür.
Sistemdeki birinci denklem (x−y−4)(x−y+1)=0(x-y-4)(x-y+1)=0 olarak çarpanlarına ayrılır. Bu doğrusal çarpanlar ikinci denklem olan x+2y=5x+2y=5 ile ayrı ayrı ortak çözüldüğünde koordinatları tam sayı olan tek çözüm (1,2)(1, 2) ikilisi olur ve bu ikilinin koordinatları toplamı 3'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci denklemi (x−y)(x-y) ifadesine bağlı olarak düzenleyelim.
(x−y)2−3(x−y)−4=0(x-y)^2 - 3(x-y) - 4 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemde u=x−yu = x-y dönüşümü yapılırsa u2−3u−4=0u^2 - 3u - 4 = 0 olur. Çarpanlarına ayırdığımızda (u−4)(u+1)=0(u-4)(u+1) = 0 elde edilir. Buradan x−y=4x-y = 4 veya x−y=−1x-y = -1 bulunur.
İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak xx ve yy arasındaki doğrusal ilişkileri tespit etmek için.
2
Elde edilen doğrusal ilişkileri x+2y=5x + 2y = 5 denklemi ile ortak çözelim.
Birinci durum: x−y=4⇒x=y+4x - y = 4 \Rightarrow x = y + 4. İkinci denklemde yerine yazarsak (y+4)+2y=5⇒3y=1⇒y=1/3(y+4) + 2y = 5 \Rightarrow 3y = 1 \Rightarrow y = 1/3 ve x=13/3x = 13/3 olur.
İkinci durum: x−y=−1⇒x=y−1x - y = -1 \Rightarrow x = y - 1. İkinci denklemde yerine yazarsak (y−1)+2y=5⇒3y=6⇒y=2(y-1) + 2y = 5 \Rightarrow 3y = 6 \Rightarrow y = 2 ve x=1x = 1 olur.
Sistemin gerçel sayı çözümlerini (x,y)(x, y) ikilileri olarak elde etmek için.
3
Her iki durum için x+yx + y toplamlarını hesaplayalım ve tam sayı olan değeri belirleyelim.
Birinci durumdan: x+y=13/3+1/3=14/3x + y = 13/3 + 1/3 = 14/3
İkinci durumdan: x+y=1+2=3x + y = 1 + 2 = 3 elde edilir. Bu değerlerden tam sayı olanı 3'tür.
Soruda istenen koşulu sağlayan tam sayı değerini belirlemek için.

Anahtar Kavram

İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri
Soru 91Soru →
(9−x2)(x2−2x−8)x2−6x+9≥0 \frac{(9 - x^2)(x^2 - 2x - 8)}{x^2 - 6x + 9} \geq 0 eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

Eşitsizliği sağlayan x tam sayılarının toplamı -1'dir.
Verilen eşitsizlik çarpanlarına ayrıldığında ifadenin kritik noktaları −3-3, −2-2, 33 ve 44 olarak bulunur. Paydadaki (x−3)2(x-3)^2 teriminin kökü olan 33 değeri, paydaki (3−x)(3-x) çarpanı ile sadeleştiğinde paydada tek katlı kök olarak kalır ve işareti değiştirir. Yapılan işaret tablosuna göre ifadenin sıfıra eşit veya büyük olduğu bölgeler [−3,−2][-3, -2] ile (3,4](3, 4] aralıklarıdır. Bu aralıklardaki tam sayılar sırasıyla −3-3, −2-2 ve 44 olup toplamları −1-1 değerine ulaşır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlikte yer alan tüm polinom ifadelerini çarpanlarına ayırın.
Pay: −(x−3)(x+3)(x−4)(x+2)-(x - 3)(x + 3)(x - 4)(x + 2), Payda: (x−3)2(x - 3)^2
Eşitsizliğin köklerini ve kritik noktalarını belirlemek amacıyla tüm çarpanları görünür hale getiririz.
2
Pay ve paydanın köklerini bularak bunların katlılık durumlarını analiz edin.
Kökler: x=−3x = -3 (tek katlı), x=−2x = -2 (tek katlı), x=3x = 3 (pay ve paydada ortak, sadeleşme sonrası tek katlı tanımsızlık noktası), x=4x = 4 (tek katlı).
Sadeleşen çarpanların kök karakterini (tek/çift katlı) değiştirebileceğini dikkate alarak doğru kök analizini gerçekleştirmek gerekir.
3
İşaret tablosu hazırlayarak eşitsizliğin sıfırdan büyük veya eşit olduğu aralıkları belirleyin.
Tabloda sağdan sola sırasıyla (−)(-), (+)(+), (−)(-), (+)(+), (−)(-) işaretleri yer alır. Çözüm kümesi: [−3,−2]∪(3,4][-3, -2] \cup (3, 4]
İfadenin pozitif veya sıfır olduğu bölgeleri saptamak için işaret incelemesi tablosu kullanılır.
4
Çözüm kümesinde yer alan tam sayıları belirleyip toplayın.
Çözüm kümesindeki tam sayılar: −3-3, −2-2 ve 44. Toplamları: −3−2+4=−1-3 - 2 + 4 = -1
Soruda bizden istenen, eşitsizliği sa��layan tam sayıların toplam değeridir.

Anahtar Kavram

Rasyonel eşitsizliklerde sadeleşen köklerin katlılık durumunun doğru belirlenmesi ve payda köklerinin çözüm kümesine dahil edilmemesi.
Soru 92Soru →
x−212−3x≥0\frac{x - 2}{12 - 3x} \geq 0

eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı 5'tir.
Çözüm kümesi [2,4)[2, 4) yarı açık aralığıdır. Bu aralıkta yer alan tam sayılar yalnızca 22 ve 33 değerleridir. Bu sayıların toplamı 2+3=52 + 3 = 5 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlikteki pay ve paydanın köklerini belirleme.
Payın kökü x=2x = 2 ve paydanın kökü x=4x = 4 olarak bulunur.
Eşitsizliğin işaret değiştirme noktalarını saptamak için payı ve paydayı sıfır yapan değerler hesaplanır.
2
İşaret tablosunun genel işaretini belirleme ve tabloyu oluşturma.
Sistemin genel işareti negatiftir. İşaret tablosu en sağdan eksi ile başlar ve sola doğru −-, ++, −- şeklinde ilerler.
Payın baş katsayısı +1+1 (pozitif) ve paydanın baş katsayısı −3-3 (negatif) olduğundan, bölümleri negatif bir işaret üretir.
3
Eşitsizliği sağlayan çözüm aralığını belirleme.
Çözüm kümesi [2,4)[2, 4) yarı açık aralığıdır.
İfadenin sıfırdan büyük veya eşit olması istendiği için pozitif bölge alınır. Paydanın kökü (x=4x=4) tanımsızlık yarattığı için açık parantezle dışarıda tutulurken, payın kökü (x=2x=2) köşeli parantezle dahil edilir.
4
Aralıktaki tam sayı değerlerini belirleyip toplama.
Aralıktaki tam sayılar 22 ve 33 olup, toplamları 2+3=52 + 3 = 5 bulunur.
Soru kökünde eşitsizliği sağlayan tam sayı değerlerinin toplamı sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Bölüm durumundaki eşitsizliklerde işaret tablosunun kurulması ve paydanın kökünün çözüm kümesine dahil edilmemesi.
Soru 93Soru →
f(x)=(x2−4x−12)⋅(x−1)3 f(x) = (x^2 - 4x - 12) \cdot (x - 1)^3

olmak üzere,

f(x−3)⋅(x2−9)f(x+1)⋅(x2−4x+4)≤0 \frac{f(x-3) \cdot (x^2 - 9)}{f(x+1) \cdot (x^2 - 4x + 4)} \leq 0

eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 38

Cevap

Eşitsizliği sağlayan x tam sayılarının toplamı 38'dir.
Eşitsizlik tablosu oluşturulurken pay ve payda kökleri doğru bir şekilde tespit edilip, çift katlı köklerde işaretin korunacağı ve payda köklerinin tanımsızlık nedeniyle çözüm kümesine dahil edilmeyeceği göz önünde bulundurulduğunda, negatif veya sıfır olan bölgelerin (0,1]∪[3,4]∪(5,9](0, 1] \cup [3, 4] \cup (5, 9] olduğu görülür. Bu aralıklardaki tam sayıların toplamı 38'dir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x) fonksiyonunun çarpanlara ayrılması
f(x)=(x−6)(x+2)(x−1)3f(x) = (x-6)(x+2)(x-1)^3
f(x−3)f(x-3) ve f(x+1)f(x+1) ifadelerinin çarpanlarını doğrudan elde edebilmek için temel fonksiyonu çarpanlarına ayırırız.
2
f(x-3) ve f(x+1) ifadelerinin oluşturulması
f(x−3)=(x−9)(x−1)(x−4)3f(x-3) = (x-9)(x-1)(x-4)^3 ve f(x+1)=(x−5)(x+3)x3f(x+1) = (x-5)(x+3)x^3
Ana fonksiyondaki xx değişkeninin yerine sırasıyla (x−3)(x-3) ve (x+1)(x+1) yazarak ötelenmiş fonksiyonları buluruz.
3
Eşitsizlik ifadesinin çarpanlar cinsinden düzenlenmesi
E(x)=(x−9)(x−1)(x−4)3⋅(x−3)(x+3)(x−5)(x+3)x3⋅(x−2)2≤0 E(x) = \frac{(x-9)(x-1)(x-4)^3 \cdot (x-3)(x+3)}{(x-5)(x+3)x^3 \cdot (x-2)^2} \leq 0
Eşitsizliğin tüm pay ve payda çarpanlarını bir araya getirerek kök analizi yapmaya hazır hale getiririz.
4
Köklerin ve katlarının belirlenmesi
Kökler küçükten büyüğe: −3,0,1,2,3,4,5,9-3, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 9. Köklerin katları: x=−3x = -3 (çift katl��, tanımsız), x=0x = 0 (tek katlı, tanımsız), x=1x = 1 (tek katlı, tanımlı), x=2x = 2 (çift katlı, tanımsız), x=3x = 3 (tek katlı, tanımlı), x=4x = 4 (tek katlı, tanımlı), x=5x = 5 (tek katlı, tanımsız), x=9x = 9 (tek katlı, tanımlı).
Payda kökleri tanımsızlık yarattığı için çözüm kümesine alınamaz. x=−3x = -3 hem pay hem paydada yer aldığından sadeleşir fakat paydayı sıfır yaptığı için tanımsızdır. x=2x = 2 ise çift katlı payda köküdür.
5
İşaret tablosunun oluşturulması ve aralıkların belirlenmesi
İşaret tablosu en sağda ++ ile başlar. İşaretler sırasıyla: x>9x > 9 için ++, (5,9](5, 9] için −-, [4,5)[4, 5) için ++, [3,4][3, 4] için −-, (2,3](2, 3] için ++, [1,2)[1, 2) için ++, (0,1](0, 1] için −-, (−3,0)(-3, 0) için ++, x<−3x < -3 için ++. Eşitsizliği sağlayan aralıklar: (0,1]∪[3,4]∪(5,9](0, 1] \cup [3, 4] \cup (5, 9] olarak bulunur.
En büyük dereceli terimlerin katsayıları çarpımı pozitif olduğu için tabloya ++ ile başlanır. Tek katlı köklerde işaret değiştirilir, çift katlı köklerde (x=2x = 2 ve sadeleşen x=−3x = -3) işaret değiştirilmez.
6
Tam sayı çözümlerinin belirlenmesi ve toplamın hesaplanması
xx tam sayıları: 11 (ilk aralıktan); 3,43, 4 (ikinci aralıktan); 6,7,8,96, 7, 8, 9 (üçüncü aralıktan). Toplam: 1+3+4+6+7+8+9=381 + 3 + 4 + 6 + 7 + 8 + 9 = 38.
Aralıklardaki dahil olan sınır değerleri ve aralarındaki tam sayılar belirlenerek toplanır.

Anahtar Kavram

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizliklerde Kök Analizi, Çift Katlı Kökler ve Tanımsızlık Koşulları

Alternatif Yöntem

Grafiksel yorumlama yöntemiyle, f(x)f(x) fonksiyonunun kabataslak grafiği çizilerek veya köklerin xx eksenini kestiği yerlerdeki işaret durumları kontrol edilerek f(x−3)f(x-3) ve f(x+1)f(x+1) fonksiyonlarının davranışları doğrudan incelenebilir. Ancak cebirsel olarak çarpanlara ayırma yöntemi hata payını en aza indiren en güvenli yöntemdir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 94Soru →

Bir dikdörtgenin komşu iki kenarının uzunlukları sırasıyla x cmx\text{ cm} ve (12−x) cm(12 - x)\text{ cm} olarak verilmiştir.

Buna göre, bu dikdörtgenin alanının alabileceği en büyük değer kaç santimetrekaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

En büyük alan değeri 36 santimetrekaredir.
Dikdörtgenin alanı A(x)=−x2+12xA(x) = -x^2 + 12x fonksiyonu ile ifade edilir. Bu fonksiyon başkatsayısı negatif olan bir parabol belirttiği için en büyük değerini tepe noktasında alır. Tepe noktasının apsisi r=−122⋅(−1)=6r = -\frac{12}{2 \cdot (-1)} = 6 ve bu noktadaki alan değeri A(6)=36A(6) = 36 olarak bulunur. Dolayısıyla doğru cevap 36'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Dikdörtgenin alan fonksiyonunu oluşturun.
A(x)=x⋅(12−x)=−x2+12xA(x) = x \cdot (12 - x) = -x^2 + 12x
Dikdörtgenin alanı, komşu iki kenarının uzunluklarının çarpımına eşittir.
2
Parabolün tepe noktasının apsisini (rr) bulun.
r=−b2a=−122⋅(−1)=6r = -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{2 \cdot (-1)} = 6
Kolları aşağı doğru olan bir parabol en büyük değerini tepe noktasında alır.
3
Tepe noktasının ordinatını (kk) hesaplayarak maksimum alanı bulun.
k=A(6)=−(6)2+12⋅6=−36+72=36k = A(6) = -(6)^2 + 12 \cdot 6 = -36 + 72 = 36
Bulunan x=6x = 6 değeri alan fonksiyonunda yerine yazılarak en büyük alan hesaplanır.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir fonksiyonun (parabolün) tepe noktasının ordinatı (kk), fonksiyonun alabileceği en büyük veya en küçük değeri verir.

Alternatif Yöntem

Türev yardımıyla da bu problemi çözebiliriz. Alan fonksiyonu olan A(x)=−x2+12xA(x) = -x^2 + 12x ifadesinin türevi alınarak sıfıra eşitlenir: A′(x)=−2x+12=0  ⟹  x=6A'(x) = -2x + 12 = 0 \implies x = 6 olur. Bu değer fonksiyonda yerine yazıldığında en büyük alan A(6)=36A(6) = 36 olarak elde edilir.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 95Soru →

Analitik düzlemde, y=12−x2y = 12 - x^2 parabolü ile xx ekseni arasında kalan bölgede; bir kenarı xx ekseni üzerinde, di��er iki köşesi ise bu parabol üzerinde olacak şekilde bir dikdörtgen çiziliyor.

Buna göre, çizilebilecek bu dikdörtgenin çevresi en çok kaç birim olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 26

Cevap

Çizilebilecek dikdörtgenin çevresi en çok 26 birimdir.
Parabolün altında kalan dikdörtgenin çevre uzunluğu C(x)=−2x2+4x+24C(x) = -2x^2 + 4x + 24 fonksiyonu ile modellenir. Bu fonksiyonun tepe noktasının apsisi r=1r = 1 olup, en büyük çevre değeri C(1)=26C(1) = 26 birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün altında kalan dikdörtgenin köşelerini değişkenler cinsinden tanımlama.
Dikdörtgenin parabol üzerindeki köşeleri P(x,12−x2)P(x, 12 - x^2) ve Q(−x,12−x2)Q(-x, 12 - x^2), xx ekseni üzerindeki köşeleri ise P′(x,0)P'(x, 0) ve Q′(−x,0)Q'(-x, 0) olarak belirlenir.
Dikdörtgenin kenar uzunluklarını belirlemek için köşe koordinatlarının yazılması gerekir.
2
Kenar uzunluklarını belirleme ve çevre fonksiyonunu oluşturma.
Yatay kenar 2x2x birim, dikey kenar 12−x212 - x^2 birimdir. Çevre fonksiyonu C(x)=2(2x+12−x2)=−2x2+4x+24C(x) = 2(2x + 12 - x^2) = -2x^2 + 4x + 24 olarak elde edilir.
Dikdörtgenin çevresini xx deği��kenine bağlı ikinci dereceden bir fonksiyon olarak modellemek için.
3
Çevre fonksiyonunun tepe noktasının apsisini (en büyük değeri veren xx değerini) bulma.
r=−b2a=−42(−2)=1r = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(-2)} = 1 bulunur.
Kollar aşağı doğru olan bir parabol en büyük değerini tepe noktasında alır.
4
Maksimum çevre değerini hesaplama.
x=1x = 1 için C(1)=−2(1)2+4(1)+24=26C(1) = -2(1)^2 + 4(1) + 24 = 26 birim elde edilir.
Maksimum çevre uzunluğuna ulaşmak için xx yerine tepe noktasının apsis değerini yazmak gerekir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden fonksiyonların en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için tepe noktasının koordinatlarının kullanılması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 96Soru →

Ölçüsü −1600∘-1600^\circ olan yönlü bir açının esas ölçüsü kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 200

Cevap

Ölçüsü −1600∘-1600^\circ olan yönlü açının esas ölçüsü 200∘200^\circ dir.
−1600∘-1600^\circ açısının esas ölçüsünü bulmak için açıya 360∘360^\circ nin katları eklenerek [0∘,360∘)[0^\circ, 360^\circ) aralığında bir değer elde edilmelidir. En küçük pozitif açıyı elde etmek için açının üzerine 5×360∘=1800∘5 \times 360^\circ = 1800^\circ eklenir: −1600∘+1800∘=200∘-1600^\circ + 1800^\circ = 200^\circ bulunur. Bu değer aralık şartını sağladığından doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Açının mutlak değerini 360∘360^\circ ye bölerek kalan açıyı bulun.
1600=4×360+1601600 = 4 \times 360 + 160 olduğundan kalan 160∘160^\circ dir. Açı negatif yönlü olduğu için bu değer −160∘-160^\circ olarak ifade edilir.
Yönlü açılarda esas ölçü bulunurken açının 360∘360^\circ ye bölümünden kalan incelenir.
2
Elde edilen negatif açıyı pozitif esas ölçü aralığı olan [0∘,360∘)[0^\circ, 360^\circ) içerisine taşımak için üzerine 360∘360^\circ ekleyin.
−160∘+360∘=200∘-160^\circ + 360^\circ = 200^\circ bulunur.
Esas ölçü negatif bir değer olamayacağından negatif yönlü açının kalanı 360∘360^\circ ile toplanarak pozitif değere dönüştürülür.

Anahtar Kavram

Negatif Yönlü Açıların Esas Ölçüsü
Soru 97Soru →
(x2−5x+4)(x+2)(x−2)2(x−2)(x−3)2≤0 \frac{(x^2 - 5x + 4)(x + 2)(x - 2)^2}{(x - 2)(x - 3)^2} \leq 0 eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Eşitsizliği sağlayan xx tam sayılarının toplamı 2'dir.
Eşitsizliğin çözüm kümesi [−2,1]∪(2,3)∪(3,4][-2, 1] \cup (2, 3) \cup (3, 4] olarak bulunur. Bu aralıkta yer alan tam sayılar −2,−1,0,1-2, -1, 0, 1 ve 44 olduğundan, toplamları 22 yapmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Tanımsızlık oluşturan payda köklerini belirleme
Paydadaki x−2=0  ⟹  x=2x - 2 = 0 \implies x = 2 ve (x−3)2=0  ⟹  x=3(x - 3)^2 = 0 \implies x = 3 değerleri çözüm kümesinden hariç tutulmalıdır.
Rasyonel ifadelerde paydayı sıfır yapan değerler ifadeyi tanımsız kıldığından hiçbir koşulda çözüm kümesine dahil edilemez.
2
İfadeyi sadeleştirme ve çarpanlarına ayırma
x≠2x \neq 2 ve x≠3x \neq 3 için, eşitsizlik (x−4)(x−1)(x+2)(x−2)2(x−2)(x−3)2≤0  ⟹  (x−4)(x−1)(x+2)(x−2)(x−3)2≤0\frac{(x - 4)(x - 1)(x + 2)(x - 2)^2}{(x - 2)(x - 3)^2} \leq 0 \implies \frac{(x - 4)(x - 1)(x + 2)(x - 2)}{(x - 3)^2} \leq 0 şekline dönüşür.
Eşitsizlik tablosunu daha kolay oluşturmak amacıyla pay ve paydadaki ortak terimler sadeleştirilir.
3
İşaret tablosunu oluşturma
Kökler: x=−2x = -2 (tek katlı), x=1x = 1 (tek katlı), x=2x = 2 (tek katlı), x=3x = 3 (çift katlı, payda kökü), x=4x = 4 (tek katlı). İşaret dizilimi en sağdan ++ ile başlar: (4,∞)(4, \infty) için ++, (3,4)(3, 4) için −-, (2,3)(2, 3) için −-, (1,2)(1, 2) için ++, (−2,1)(-2, 1) için −-, (−∞,−2)(-\infty, -2) için ++.
Çarpım ve bölüm durumundaki eşitsizliklerin işaret tablosu oluşturulurken baş katsayıların çarpımının işaretiyle en sağdan başlanır ve her tek katlı kökte işaret değiştirilir, çift katlı köklerde ise işaret değişmez.
4
Çözüm kümesini yazma ve tam sayıları toplama
Eşitsizliği sağlayan aralıklar [−2,1]∪(2,3)∪(3,4][-2, 1] \cup (2, 3) \cup (3, 4] olup bu aralıktaki tam sayılar −2,−1,0,1,4-2, -1, 0, 1, 4 değerleridir. Toplamları: (−2)+(−1)+0+1+4=2(-2) + (-1) + 0 + 1 + 4 = 2 olur.
Negatif ve sıfıra eşit olan aralıklardan payda kökleri (22 ve 33) çıkarılarak sağlayan tam sayılar bulunur ve toplanır.

Anahtar Kavram

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizliklerin Çözümü
Soru 98Soru →
Analitik düzlemde,
y=x2−6x+5y = x^2 - 6x + 5
parabol��nün y=2x−7y = 2x - 7 doğrusuna en yakın noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Parabolün doğruya en yakın noktasının koordinatları toplamı 1'dir.
Parabolün doğruya en yakın noktasını bulmak için aralarındaki dikey uzaklığı veren x2−8x+12x^2 - 8x + 12 fonksiyonunun minimum noktası olan tepe noktası bulunur. Bu fonksiyonun tepe noktası apsisi r=4r = 4 olup parabol üzerindeki karşılık gelen nokta (4,−3)(4, -3)'tür. Bu koordinatların toplamı ise 1'e eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol üzerindeki genel bir noktanın koordinatlarını tanımlama.
Nokta A(x,x2−6x+5)A(x, x^2 - 6x + 5) şeklinde yazılır.
Parabol üzerindeki her nokta parabol denklemini sağlamak zorundadır.
2
Parabol ile doğru arasındaki düşey uzaklığı temsil eden fonksiyonu kurma ve minimum yapan apsis değerini hesaplama.
Uzaklık fonksiyonu d(x)=x2−8x+12d(x) = x^2 - 8x + 12 elde edilir. Bu fonksiyonun tepe noktası apsisi r=−−82(1)=4r = -\frac{-8}{2(1)} = 4 olarak bulunur.
Bir parabol ile doğru arasındaki en kısa mesafe, aralarındaki dikey uzaklığı minimum yapan noktada (yani aralarındaki fark fonksiyonunun tepe noktasında) gerçekleşir.
3
Bulunan apsis değerini kullanarak en yakın noktanın ordinatını hesaplama.
Ordinat y=42−6(4)+5=−3y = 4^2 - 6(4) + 5 = -3 olarak bulunur.
En yakın nokta parabolün üzerinde olduğundan, parabol denkleminde x=4x = 4 yazılarak ordinat değeri elde edilir.
4
Elde edilen koordinatların toplamını bulma.
Toplam 4+(−3)=14 + (-3) = 1 bulunur.
Soru kökünde bizden en yakın noktanın koordinatlarının toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Parabolün bir doğruya en yakın noktasını, aralarındaki düşey uzaklığı veren ikinci dereceden fonksiyonun en küçük değerini (tepe noktasını) bularak hesaplama.
Soru 99Soru →

Birim çember üzerinde apsisi 060{}6 olan ve koordinat düzleminin dördüncü bölgesinde yer alan bir noktanın ordinatı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -0.8

Cevap

Birim çember üzerinde apsisi 060{}6 olan ve dördüncü bölgede yer alan noktanın ordinatı −08-0{}8 olarak bulunur.
Birim çemberin x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 bağıntısından ve noktanın dördüncü bölgede bulunmasından dolayı ordinat değeri negatif olmalıdır. Apsis 060{}6 iken (06)2+y2=1(0{}6)^2 + y^2 = 1 eşitliğinden y2=064y^2 = 0{}64 ve dördüncü bölgede y<0y < 0 olduğundan y=−08y = -0{}8 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Birim çemberin temel denklemini yazma
x2+y2=1x^2 + y^2 = 1
Birim çember üzerindeki her noktanın koordinatları bu denklemi sağlamalıdır.
2
Verilen apsis değerini yerine yazarak ordinatın mutlak değerini bulma
y2=064  ⟹  ∣y∣=08y^2 = 0{}64 \implies |y| = 0{}8
x=06x = 0{}6 değeri denklemde yerine yazılır: (06)2+y2=1  ⟹  036+y2=1  ⟹  y2=064(0{}6)^2 + y^2 = 1 \implies 0{}36 + y^2 = 1 \implies y^2 = 0{}64 olur.
3
Bölge bilgisini kullanarak ordinatın işaretini belirleme ve sonucu bulma
y=−08y = -0{}8
Koordinat düzleminin dördüncü bölgesinde apsis (xx) pozitif, ordinat (yy) negatiftir. Bu nedenle yy değeri negatif olmalıdır.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki noktaların koordinatları x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 denklemini sağlar ve bölgelere göre koordinat işaretleri değişir.
Tahmini Süre:45s
Soru 100Soru →
x−6x+3≤0 \frac{x - 6}{x + 3} \leq 0 eşitsizliğini sağlayan en küçük ve en büyük xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Eşitsizliği sağlayan en küçük ve en büyük tam sayı değerlerinin toplamı 4'tür.
Eşitsizliğin çözüm kümesi (−3,6](-3, 6] yarı açık aralığıdır. Bu aralıkta yer alan en küçük tam sayı −2-2, en büyük tam sayı ise 66 olup, bu iki değerin toplamı 4'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliğin pay ve paydasındaki ifadelerin kökleri belirlenir.
Payın kökü x=6x = 6, paydanın kökü x=−3x = -3 olarak bulunur.
Kritik noktaları belirleyerek işaret tablosu oluşturmak için kökleri bulmamız gerekir.
2
İşaret tablosu yapılarak eşitsizliğin çözüm kümesi bulunur.
Çözüm kümesi (−3,6](-3, 6] aralığı olarak elde edilir.
Paydayı sıfır yapan x=−3x = -3 değeri tanımsızlık oluşturduğu için açık bırakılır, payı sıfır yapan x=6x = 6 değeri ise dahil edilir.
3
Ç��züm aralığındaki en küçük ve en büyük tam sayı değerleri toplanır.
En küçük tam sayı −2-2, en büyük tam sayı 66 olup toplamları −2+6=4-2 + 6 = 4 bulunur.
Soru kökündeki toplam ifadesine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Bölüm durumundaki eşitsizliklerde paydanın kökünün hiçbir zaman çözüm kümesine dahil edilmemesi.
ÖncekiSayfa 5 / 43Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin