Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 1161Soru →

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı

f(x)=x2−x−6 f(x) = x^2 - x - 6
g(x)=x2−4x+3 g(x) = x^2 - 4x + 3

fonksiyonları veriliyor. Buna göre,

f(x)⋅g(x−2)g(x)⋅f(x+1)≤0 \frac{f(x) \cdot g(x - 2)}{g(x) \cdot f(x + 1)} \leq 0

eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplam�� 7'dir.
Verilen fonksiyonlar çarpanlarına ayrılıp ötelenmiş halleriyle eşitsizlikte yerlerine konduğunda pay kısmında (x−3)2(x+2)(x−5)(x-3)^2(x+2)(x-5), payda kısmında ise (x−3)(x−1)(x−2)(x+3)(x-3)(x-1)(x-2)(x+3) çarpanları elde edilir. x≠3x \neq 3 koşuluyla sadeleştirme yapıldığında eşitsizlik, kökleri −3-3, −2-2, 11, 22, 33, 55 olan tek katlı kök sistemine dönüşür. İşaret tablosu oluşturulduğunda sıfıra eşitlik ve payda tanımsızlığı dikkate alınarak çözüm kümesi (−3,−2]∪(1,2)∪(3,5](-3, -2] \cup (1, 2) \cup (3, 5] olarak bulunur. Bu aralıktaki tam sayıların (−2,4,5-2, 4, 5) toplamı 7'dir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)f(x) ve g(x)g(x) fonksiyonlarını çarpanlarına ayırın.
f(x)=(x−3)(x+2)f(x) = (x - 3)(x + 2) ve g(x)=(x−3)(x−1)g(x) = (x - 3)(x - 1) şeklinde elde edilir.
Eşitsizlik sisteminin köklerini bulabilmek için fonksiyonların çarpan formunu bilmemiz gerekir.
2
Ötelenmiş f(x+1)f(x + 1) ve g(x−2)g(x - 2) fonksiyonlarını bulun.
f(x+1)=(x+1−3)(x+1+2)=(x−2)(x+3)f(x + 1) = (x + 1 - 3)(x + 1 + 2) = (x - 2)(x + 3) ve g(x−2)=(x−2−3)(x−2−1)=(x−5)(x−3)g(x - 2) = (x - 2 - 3)(x - 2 - 1) = (x - 5)(x - 3) olarak hesaplanır.
Eşitsizlikteki diğer çarpanları belirlemek için öteleme dönüşümlerini uygulamalıyız.
3
Eşitsizlikteki tüm fonksiyonları çarpanlarına ayrılmış biçimde yerine yazın.
(x−3)(x+2)⋅(x−5)(x−3)(x−3)(x−1)⋅(x−2)(x+3)≤0 \frac{(x - 3)(x + 2) \cdot (x - 5)(x - 3)}{(x - 3)(x - 1) \cdot (x - 2)(x + 3)} \leq 0 ifadesi elde edilir.
Eşitsizlik ifadesini en yalın çarpanlar cinsinden görerek kök analizine hazırlık yapılır.
4
Ortak çarpanları analiz edin ve tanımsızlık koşulunu belirleyin.
x≠3x \neq 3 olmak üzere, pay kısmındaki (x−3)2(x-3)^2 ifadesi ile paydadaki (x−3)(x-3) sadeleşir ve pay kısmında (x−3)1(x-3)^1 kalır. Eşitsizlik (x−3)(x+2)(x−5)(x−1)(x−2)(x+3)≤0(x≠3) \frac{(x - 3)(x + 2)(x - 5)}{(x - 1)(x - 2)(x + 3)} \leq 0 \quad (x \neq 3) haline gelir. Kökler sırasıyla −3-3, −2-2, 11, 22, 33 ve 55'tir.
Paydadan gelen köklerin tanımsızlık yaratacağını ve sadeleşen kökün katlılık durumunu değiştirdiğini belirlemek kritiktir.
5
İşaret tablosu hazırlayarak sağlayan aralıkları bulun.
x>5x > 5 için ifadenin işareti (+) ile başlar ve her kökten geçildiğinde işaret değişir. İşaret sıralaması sağdan sola sırasıyla +, -, +, -, +, -, + şeklindedir. Negatif ve sıfıra eşit bölgeler taranır: (−3,−2]∪(1,2)∪(3,5](-3, -2] \cup (1, 2) \cup (3, 5].
Eşitsizliğin yönüne (küçük veya eşit sıfır) göre hangi aralıkların çözüm kümesine dahil edileceğini belirlemek için işaret tablosu kullanılır.
6
Çözüm aralıklarındaki tam sayıları belirleyin ve toplayın.
(−3,−2](-3, -2] aralığından −2-2, (1,2)(1, 2) aralığından tam sayı gelmez, (3,5](3, 5] aralığından ise 44 ve 55 gelir. Toplam: −2+4+5=7-2 + 4 + 5 = 7 olur.
Eşitsizliği sağlayan tam sayıların toplamını bulmak sorunun nihai hedefidir.

Anahtar Kavram

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizliklerin Çözümü, Sadeleştirme Kuralları ve Tanımsızlık Koşulu
Soru 1162Soru →

Analitik düzlemde, bir kontrol merkezi orijin noktasında (O(0,0)O(0,0)) bulunmaktadır. Bir araştırma dronu, bu düzlemde 2x+y=52x + y = 5 doğrusu boyunca doğrusal bir rota izleyerek hareket etmektedir. Sinyal kalitesinin korunması amacıyla dronun yalnızca x∈[3,6]x \in [3, 6] kapalı aralığında kaldığı bölgede veri toplamasına izin verilmiştir. Buna göre, dronun veri topladığı süre boyunca kontrol merkezine olan uzaklığının karesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Dronun veri toplama merkezine olan uzaklığının karesinin alabileceği en küçük değer 10'dur.
Dronun koordinatları P(x,5−2x)P(x, 5-2x) şeklindedir. Orijine olan uzaklığının karesi f(x)=5x2−20x+25f(x) = 5x^2 - 20x + 25 parabolüdür. Bu parabolün tepe noktası x=2x = 2 olup, tanımlı [3,6][3, 6] aralığının solundadır. Dolayısıyla fonksiyon [3,6][3, 6] aralığında daima artandır ve en küçük değerini sol sınır olan x=3x = 3 noktasında alır. Buradan en küçük değer 32+(−1)2=103^2 + (-1)^2 = 10 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Dronun rota denklemi kullanılarak yy koordinatı xx cinsinden ifade edilir.
y=5−2xy = 5 - 2x
Uzaklık formülünü tek bir değişkene bağlı olarak yazabilmek için.
2
Uzaklığın karesini veren iki değişkenli formül, tek değişkene bağlı bir parabol fonksiyonuna dönüştürülür.
f(x)=x2+(5−2x)2=5x2−20x+25f(x) = x^2 + (5 - 2x)^2 = 5x^2 - 20x + 25
Orijine olan uzaklığın karesi x2+y2x^2 + y^2 olduğundan, yy yerine elde edilen ifade yazılır.
3
Oluşan parabolün tepe noktasının koordinatı (rr) hesaplanır.
r=−−202⋅5=2r = -\frac{-20}{2 \cdot 5} = 2
Fonksiyonun en küçük değerini alabileceği yerel minimum noktasını (tepe noktasını) tespit etmek için.
4
Tepe noktasının tanımlı aralık olan [3,6][3, 6] ile ilişkisi ve fonksiyonun bu aralıktaki artanlık/azalanlık durumu belirlenir.
r=2∉[3,6]r = 2 \notin [3, 6] olup fonksiyon x≥2x \geq 2 için sürekli artandır.
Kapalı aralıkta en küçük değer aranırken tepe noktasının aralığın içinde olup olmadığı kontrol edilmelidir.
5
Aralığın sol ucu olan x=3x = 3 değeri fonksiyonda yerine yazılarak en küçük değer hesaplanır.
f(3)=5(3)2−20(3)+25=10f(3) = 5(3)^2 - 20(3) + 25 = 10
Fonksiyon [3,6][3, 6] aralığında artan olduğundan en küçük değer aralığın başlangıç noktasında gerçekleşir.

Anahtar Kavram

Bir parabolün belirli bir kapalı aralıktaki en büyük ve en küçük değerlerini bulurken tepe noktasının bu aralıkta olup olmadığının kontrol edilmesi gerekir.
Soru 1163Soru →

Bir matematik öğretmeni, trigonometrik indirgeme formülleri ve esas ��lçü kavramlarını pekiştirmek amacıyla tahtaya aşağıdaki xx, yy ve zz değerlerini yazmıştır:

x=sin⁡(25π6)x = \sin\left(\frac{25\pi}{6}\right)
y=cos⁡(−16π3)y = \cos\left(-\frac{16\pi}{3}\right)
z=tan⁡(29π4)z = \tan\left(\frac{29\pi}{4}\right)

Buna göre; xx, yy ve zz sayılarını en küçükten en büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

y<x<zy < x < z (en küçük yy, sonra xx, en büyük zz)
Verilen ifadelerin esas ölçüleri ve bölgelere göre indirgenmiş değerleri hesaplandığında y=−12y = -\frac{1}{2} ile en küçük, x=12x = \frac{1}{2} ile ortanca ve z=1z = 1 ile en büyük değer olur.

Adım Adım Çözüm

1
xx sayısının esas ölçüsünü bulma ve değerini hesaplama
x=12x = \frac{1}{2}
25π6\frac{25\pi}{6} açısının esas ölçüsü, payın paydanın iki katına bölünmesiyle (25'in 12'ye bölümünden kalan 1) π6\frac{\pi}{6} radyandır. Birinci bölgede sinüs pozitif olup sin⁡(π6)=sin⁡(30∘)=12\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} elde edilir.
2
yy sayısının esas ölçüsünü bulma ve değerini hesaplama
y=−12y = -\frac{1}{2}
−16π3-\frac{16\pi}{3} negatif açısına esas ölçüyü bulmak için 2π2\pi'nin en küçük pozitif katı olan 6π6\pi eklenir: −16π3+6π=2π3-\frac{16\pi}{3} + 6\pi = \frac{2\pi}{3} radyan olur. İkinci bölgede kosinüs negatif değer alır. İndirgeme formülüyle cos⁡(2π3)=cos⁡(120∘)=cos⁡(180∘−60∘)=−cos⁡(60∘)=−12\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2} bulunur.
3
zz sayısının esas ölçüsünü bulma ve değerini hesaplama
z=1z = 1
29π4\frac{29\pi}{4} açısının esas ölçüsü, payın paydanın iki katına bölünmesiyle (29'un 8'e bölümünden kalan 5) 5π4\frac{5\pi}{4} radyandır. Üçüncü bölgede tanjant pozitif değer alır. İndirgeme formülüyle tan⁡(5π4)=tan⁡(225∘)=tan⁡(180∘+45∘)=tan⁡(45∘)=1\tan\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \tan(225^\circ) = \tan(180^\circ + 45^\circ) = \tan(45^\circ) = 1 elde edilir.
4
Elde edilen değerleri sayı doğrusu üzerindeki büyüklüklerine göre sıralama
y<x<zy < x < z
−12<12<1-\frac{1}{2} < \frac{1}{2} < 1 olduğundan doğru sıralama y<x<zy < x < z şeklindedir.

Anahtar Kavram

Radyan cinsinden verilen açıların esas ölçülerinin bulunması ve bölgelere göre trigonometrik fonksiyon değerlerinin indirgeme formülleriyle hesaplanması.
Soru 1164Soru →
(x2−2x−8)⋅∣x−3∣x2−3x≤0 \frac{(x^2 - 2x - 8) \cdot |x - 3|}{x^2 - 3x} \leq 0 eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının çarpımı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Eşitsizliği sağlayan tam sayıların çarpımı 8'dir.
Eşitsizliği sağlayan tam sayılar −2-2, −1-1 ve 44'tür. Paydayı sıfır yapan 00 ve 33 değerleri çözüm kümesinden çıkarılmıştır. Bu tam sayıların çarpımı (−2)⋅(−1)⋅4=8(-2) \cdot (-1) \cdot 4 = 8 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Pay ve paydanın köklerini belirleme
Payın kökleri x=−2,3,4x = -2, 3, 4; paydanın kökleri ise x=0,3x = 0, 3 olarak tespit edilir.
Eşitsizlik işaret tablosu oluşturmak için ifadedeki tüm kritik noktaların belirlenmesi gerekir.
2
Köklerin katlarını ve dahil edilme koşullarını analiz etme
x=−2x = -2 ve x=4x = 4 çözüme dahil edilirken, payda kökleri olan x=0x = 0 ve x=3x = 3 dahil edilmez. x=3x = 3 noktasında ifadenin işareti yön değiştirir.
Paydayı sıfır yapan değerler ifadeyi tanımsız kılar. x=3x=3 hem pay hem de paydada yer alıp toplamda tek katlı kök etkisi gösterdiğinden bu noktada işaret değişmelidir.
3
İşaret tablosu yardımıyla çözüm aralıklarını bulma
İşaret analizi sonucunda ifadenin negatif veya sıfır olduğu çözüm kümesi [−2,0)∪(3,4][-2, 0) \cup (3, 4] olarak elde edilir.
Kritik noktalara göre oluşturulan işaret tablosunda, en sağdan (+) ile başlayarak her kökte işaret değiştirilir ve (-) olan bölgeler taranır.
4
Sağlayan tam sayıların çarpımını hesaplama
Sağlayan tam sayılar −2,−1,4-2, -1, 4 olup çarpımları 88 bulunur.
Çözüm kümesindeki tam sayıların tespit edilip çarpılması istenmektedir.

Anahtar Kavram

Çarpım ve bölüm durumundaki rasyonel eşitsizliklerde payda köklerinin elenmesi, mutlak değerli terimlerin işarete etkisi ve işaret tablosunun oluşturulması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1165Soru →

Analitik düzlemde, başlangıç kenarı OxOx ekseninin pozitif kısmı olan α\alpha ve β\beta yönlü açılarının bitiş kenarları sırasıyla koordinat düzleminin III. ve IV. bölgelerindedir.

α\alpha açısının esas ölçüsü 11π8\frac{11\pi}{8} radyan olup, α−β\alpha - \beta açısının esas ölçüsü 315∘45′12′′315^\circ 45' 12'' dir.

Buna göre, β\beta açısının esas ölçüsü aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 291∘44′48′′291^\circ 44' 48''

Cevap

291∘44′48′′291^\circ 44' 48''
Doğru olan 291∘44′48′′291^\circ 44' 48'' değeri, α\alpha açısının derece ve dakika karşılığı olan 247∘30′00′′247^\circ 30' 00'' değerinden, verilen α−β\alpha - \beta farkı çıkarılıp elde edilen negatif değerin üzerine 360∘360^\circ eklenmesiyle elde edilir. Bu açı IV. bölgede yer alır.

Adım Adım Çözüm

1
α\alpha açısının radyan cinsinden verilen esas ölçüsünü dereceye dönüştürme.
α=11×180∘8=247.5∘\alpha = \frac{11 \times 180^\circ}{8} = 247.5^\circ
İşlemlerin derece, dakika ve saniye cinsinden yapılabilmesi için birim dönüşümü gereklidir.
2
Ondalık dereceyi derece ve dakika cinsinden ifade etme.
247.5∘=247∘30′00′′247.5^\circ = 247^\circ 30' 00''
0.5∘=0.5×60′=30′0.5^\circ = 0.5 \times 60' = 30' olduğundan ondalık kısım dakikaya çevrilir.
3
α−β\alpha - \beta farkının esas ölçü denklemini kurarak β\beta açısını yalnız bırakma.
β≡247∘30′00′′−315∘45′12′′+360∘(mod360∘)⇒β=607∘30′00′′−315∘45′12′′\beta \equiv 247^\circ 30' 00'' - 315^\circ 45' 12'' + 360^\circ \pmod{360^\circ} \Rightarrow \beta = 607^\circ 30' 00'' - 315^\circ 45' 12''
Negatif yönlü açıyı pozitif bir esas ölçüye dönüştürmek için açıya 360∘360^\circ eklenir.
4
Derece, dakika ve saniye çıkarma işlemini gerçekleştirme.
607∘30′00′′=606∘89′60′′607^\circ 30' 00'' = 606^\circ 89' 60'' yazılır. Çıkarma sonucunda 291∘44′48′′291^\circ 44' 48'' elde edilir.
Saniye ve dakika hanelerinde çıkarma yapılabilmesi için soldaki basamaklardan borç alınarak 1∘=60′1^\circ = 60' ve 1′=60′′1' = 60'' dönüşümleri uygulanır. Elde edilen 291∘44′48′′291^\circ 44' 48'' açısı IV. bölgede yer aldığından bölge şartı da sağlanır.

Anahtar Kavram

Derece, dakika, saniye birimleri arasındaki dönüşümler ve yönlü açılarda esas ölçü hesabı
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 1166Soru →

Bir kimyasal reaksiyonun hızı (gr/sn cinsinden), ortam sıcaklığı TT (°C) olmak üzere, 5≤T≤95 \leq T \leq 9 kapalı aralığında

V(T)=−T2+8T+12V(T) = -T^2 + 8T + 12

fonksiyonu ile modellenmektedir.

Buna göre, bu reaksiyonun belirtilen sıcaklık aralığındaki en yüksek hızı kaç gr/sn'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 27

Cevap

Reaksiyonun belirtilen aralıktaki en yüksek hızı 27 gr/sn'dir.
Verilen reaksiyon hızı fonksiyonu V(T) = -T^2 + 8T + 12 bir parabol belirtir. Bu parabolün kolları aşağı doğrudur (a = -1 < 0). Tepe noktasının apsisi r = -8 / (2 * -1) = 4 olarak bulunur. Ancak sıcaklık aralığı [5, 9] olarak tanımlanmıştır ve r = 4 bu aralığa dahil değildir. Parabol, r = 4 noktasının sağındaki tüm T değerleri için azalan bir grafik çizer. Dolayısıyla [5, 9] aralığında fonksiyon tamamen azalandır ve en büyük değerini aralığın en solundaki T = 5 değerinde alır. T = 5 için V(5) = -25 + 40 + 12 = 27 gr/sn elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün tepe noktasının apsisini (r) hesaplayın.
r = 4
Tepe noktasının verilen aralıkta olup olmadığını kontrol etmek amacıyla apsis değeri r = -b/(2a) formülüyle bulunur.
2
Tepe noktasının apsisi olan 4 değerinin [5, 9] aralığında olup olmadığını kontrol edin.
4 sayısı [5, 9] aralığının dışındadır.
Tepe noktası aralığın dışındaysa, fonksiyon bu aralıkta daima artan veya daima azalandır. Bu durumda en büyük ve en küçük değerler aralığın uç noktalarında bulunur.
3
Aralığın uç noktaları olan T = 5 ve T = 9 değerlerini fonksiyon denkleminde yerine yazın.
T = 5 için V(5) = -25 + 40 + 12 = 27; T = 9 için V(9) = -81 + 72 + 12 = 3
Uç noktalardaki hız değerlerini karşılaştırarak maksimum hızı belirlemek için.
4
Elde edilen sonuçları karşılaştırarak en büyük değeri belirleyin.
27 > 3 olduğundan, maksimum hız 27 gr/sn'dir.
Fonksiyon T = 4'ten büyük değerler için azalan olduğundan, aralığın sol ucunda en büyük değerine ulaşır.

Anahtar Kavram

Bir parabolün sınırlı bir kapalı aralıktaki en büyük veya en küçük değeri bulunurken tepe noktasının apsisi kontrol edilir. Eğer tepe noktası aralığın dışındaysa, en büyük ve en küçük değerler aralığın uç noktalarında aranır.
Soru 1167Soru →
a=sin⁡(70∘)a = \sin(70^\circ)
b=cos⁡(70∘)b = \cos(70^\circ)
c=tan⁡(70∘)c = \tan(70^\circ)

olduğuna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: b<a<cb < a < c

Cevap

b < a < c sıralaması doğrudur.
Verilen açının birinci bölgede (0∘<70∘<90∘0^\circ < 70^\circ < 90^\circ) olduğu görülür. Birinci bölgede 45∘45^\circ'den büyük açıların tanjant değeri daima 11'den büyüktür, dolayısıyla c=tan⁡(70∘)>1c = \tan(70^\circ) > 1 olur. Sinüs değeri ise 11'den küçük olacağından en büyük değer tanjanttır (a<ca < c). Ayrıca birinci bölgede açılar 45∘45^\circ ile 90∘90^\circ arasındayken sinüs değeri kosinüs değerinden büyüktür. Yani sin⁡(70∘)>cos⁡(70∘)\sin(70^\circ) > \cos(70^\circ) olup b<ab < a elde edilir. Bu iki bilgi birleştirildiğinde b<a<cb < a < c sıralaması bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Tanjant değerinin sınırını belirleme
c=tan⁡(70∘)>tan⁡(45∘)=1c = \tan(70^\circ) > \tan(45^\circ) = 1
Birinci bölgede tanjant fonksiyonu artandır ve 45∘45^\circ üzerindeki açılar için tanjant değeri 11'den büyüktür.
2
Sinüs değerinin sınırını belirleme ve tanjant ile karşılaştırma
a=sin⁡(70∘)<1<ca = \sin(70^\circ) < 1 < c
Sinüs fonksiyonu tüm reel sayılar için en fazla 11 değerini alabilir. Bu nedenle a<ca < c olur.
3
Sinüs ve kosinüs değerlerini karşılaştırma
b=cos⁡(70∘)=sin⁡(20∘)b = \cos(70^\circ) = \sin(20^\circ) ve sin⁡(20∘)<sin⁡(70∘)\sin(20^\circ) < \sin(70^\circ) olduğundan b<ab < a olur.
Birinci bölgede sinüs fonksiyonu artan olduğundan sin⁡(20∘)<sin⁡(70∘)\sin(20^\circ) < \sin(70^\circ) olur veya 45∘45^\circ ile 90∘90^\circ arasındaki açılar için sin⁡(x)>cos⁡(x)\sin(x) > \cos(x) özelliği geçerlidir.
4
Tüm adımları birleştirerek nihai sıralamayı elde etme
b<a<cb < a < c
Önceki adımlarda elde edilen b<ab < a ve a<ca < c eşitsizlikleri birleştirildiğinde doğru sıralama bulunmuş olur.

Anahtar Kavram

Birinci bölgedeki trigonometrik fonksiyon değerlerinin sıralanması
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 1168Soru →
x2−5x−6<0x^2 - 5x - 6 < 0
x2−4>0x^2 - 4 > 0

eşitsizlik sisteminin çöz��m kümesi (a,b)(a, b) açık aralığı olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi (2,6)(2, 6) açık aralığıdır. Buradan a=2a = 2 ve b=6b = 6 elde edilir. Bu iki değerin toplamı 2+6=82 + 6 = 8 olur.
Eşitsizlik sistemini oluşturan eşitsizliklerin ayrı ayrı çözüm kümeleri bulunup kesiştirildiğinde çözüm kümesinin (2,6)(2, 6) olduğu görülür. Bu aralığın sınırları a=2a = 2 ve b=6b = 6 olduğundan toplamları 8'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizliği sağlayan aralığı bulun.
x2−5x−6<0  ⟹  (x−6)(x+1)<0  ⟹  x∈(−1,6)x^2 - 5x - 6 < 0 \implies (x-6)(x+1) < 0 \implies x \in (-1, 6)
İkinci dereceden ifadenin başkatsayısı pozitif olduğundan, ifade kökler arasında negatif değerler alır.
2
İkinci eşitsizliği sağlayan aralığı bulun.
x2−4>0  ⟹  (x−2)(x+2)>0  ⟹  x∈(−∞,−2)∪(2,∞)x^2 - 4 > 0 \implies (x-2)(x+2) > 0 \implies x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)
İkinci dereceden ifadenin başkatsayısı pozitif olduğundan, ifade köklerin dışında pozitif değerler alır.
3
İki aralığın kesişimini alarak ortak çözüm kümesini bulun.
(−1,6)∩((−∞,−2)∪(2,∞))=(2,6)(-1, 6) \cap ((-\infty, -2) \cup (2, \infty)) = (2, 6)
Sistemin çözümü, her iki eşitsizliğin de aynı anda sağlandığı ortak bölgedir.
4
aa ve bb değerlerini tespit edip toplayın.
a=2a = 2, b=6b = 6 ve buradan a+b=8a + b = 8
Çözüm kümesi (a,b)(a, b) şeklinde tanımlandığı için aralığın alt sınırı aa, üst sınırı ise bb olur.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik sistemlerinin çözüm kümelerinin kesişim yöntemiyle bulunması.
Soru 1169Soru →

Dik koordinat düzleminde, merkezil birim çember ve bu çembere A(1,0)A(1, 0) noktasında teğet olan x=1x = 1 doğrusu verilmiştir. Başlangıç kenarı pozitif xx-ekseni olan ve ölçüsü α\alpha radyan olan bir yönlü açının biti�� kenarının birim çemberi kestiği nokta PP, bitiş kenarını taşıyan doğrunun x=1x = 1 doğrusunu kestiği nokta ise TT noktasıdır.

α∈(π,3π2)\alpha \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere, PP noktasının xx-eksenine olan uzaklığı ile TT noktasının orijine olan uzaklığının çarpımı 33\frac{\sqrt{3}}{3} birimdir.

Buna göre, sin⁡α\sin\alpha değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -0.5

Cevap

İstenen sinüs değeri -0.5'tir.
Üçüncü bölgedeki açının sinüs değeri negatif olup, uzaklıklar çarpımından elde edilen tanjant değerinin 1/kök(3) olmasını sağlayan 210 derecelik açının sinüsü -0.5'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Birim çember üzerindeki P noktasının ve x=1x = 1 teğet doğrusu üzerindeki T noktasının koordinatlarını belirleme.
P(cos⁡α,sin⁡α)P(\cos\alpha, \sin\alpha) ve T(1,tan⁡α)T(1, \tan\alpha)
Uzaklıkları trigonometrik oranlar cinsinden yazabilmek için.
2
Noktaların eksenlere ve orijine olan uzaklıklarını mutlak değer dışına çıkarma.
d1=−sin⁡αd_1 = -\sin\alpha ve d2=−1cos⁡αd_2 = -\frac{1}{\cos\alpha}
Üçüncü bölgede sin⁡α<0\sin\alpha < 0 ve cos⁡α<0\cos\alpha < 0 olduğundan uzaklıkların pozitif değer alması sağlanır.
3
Uzaklıkların çarpımını eşitleyerek tan⁡α\tan\alpha değerini ve açıyı bulma.
tan⁡α=33  ⟹  α=210∘\tan\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3} \implies \alpha = 210^\circ (veya 7π6\frac{7\pi}{6} radyan)
Verilen çarpım ilişkisinden tan⁡α\tan\alpha oranına ulaşmak için.
4
Belirlenen açının sinüs değerini hesaplama.
sin⁡(210∘)=−0.5\sin(210^\circ) = -0.5
Soruda istenen nihai trigonometrik değeri elde etmek için.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki koordinatlar ile trigonometrik fonksiyonların bölgelerdeki işaretleri arasındaki ilişki
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1170Soru →
x2−xy=0x^2 - xy = 0
x2+y=12x^2 + y = 12
denklem sisteminin gerçek sayılardaki çözüm kümesi kaç elemanlıdır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Denklem sisteminin gerçek sayılardaki çözüm kümesi 3 elemanlıdır.
Denklem sisteminin birinci denkleminden x=0x = 0 veya x=yx = y bağıntıları bulunur. Bu bağıntılar ikinci denklemde yerine yazıldığında sırasıyla (0,12)(0, 12), (−4,−4)(-4, -4) ve (3,3)(3, 3) olmak üzere 3 farklı gerçek sayı ikilisi elde edilir. Bu nedenle çözüm kümesi 3 elemanlıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci denklemi ortak çarpan parantezine alarak çarpanlarına ayırın.
x(x−y)=0x(x - y) = 0 elde edilir. Buradan x=0x = 0 veya x=yx = y olmalıdır.
Değişkenler arasındaki ilişkileri belirleyip ikinci denklemde yerine koyabilmek için.
2
x=0x = 0 durumunu ikinci denklemde yerine yazarak y değerini hesaplayın.
02+y=12⇒y=120^2 + y = 12 \Rightarrow y = 12 elde edilir. Bu durumdan (0,12)(0, 12) çözüm ikilisi bulunur.
x değişkeninin sıfır olduğu durumu sağlayan çözüm ikilisini bulmak için.
3
x=yx = y durumunu ikinci denklemde yerine yazarak tek değişkenli bir denklem oluşturun.
x2+x=12⇒x2+x−12=0x^2 + x = 12 \Rightarrow x^2 + x - 12 = 0 denklemi elde edilir.
Değişkenlerin birbirine eşit olduğu durumdaki çözümlere ulaşmak için.
4
Elde edilen ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak çözün.
(x+4)(x−3)=0(x + 4)(x - 3) = 0 olur. Buradan x=−4x = -4 veya x=3x = 3 bulunur. x=yx = y olduğundan (−4,−4)(-4, -4) ve (3,3)(3, 3) çözüm ikilileri elde edilir.
İkinci dereceden denklemin köklerini bulmak için.
5
Bulunan tüm çözüm ikililerini bir araya getirerek çözüm kümesini oluşturun ve eleman sayısını belirleyin.
Çözüm kümesi {(0,12),(−4,−4),(3,3)}\{(0, 12), (-4, -4), (3, 3)\} olup 3 elemana sahiptir.
Sistemi sağlayan tüm gerçek sayı ikililerinin toplam sayısını belirlemek için.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin yerine koyma ve çarpanlara ayırma yöntemleriyle çözülmesi.
Soru 1171Soru →

Dik koordinat düzleminde f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

g(x)=∣f(−∣x∣)−1∣g(x) = |f(-|x|) - 1|

biçiminde tanımlanan gg fonksiyonu için,

g(x)=12g(x) = \frac{1}{2} denkleminin farklı gerçel köklerinin sayısı AA,

g(x)=1g(x) = 1 denkleminin farklı gerçel köklerinin sayısı BB

olduuna göre, A+BA + B toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

Doğru cevap 13 olan seçenektir.
Doğru cevap 13'tür. g(x)=1/2g(x) = 1/2 denkleminin 8 farklı kökü, g(x)=1g(x) = 1 denkleminin ise 5 farklı kökü vardır. Bu kök sayıları fonksiyonun grafiği çizilip y=1/2y = 1/2 ve y=1y = 1 doğrularıyla olan kesişim noktaları sayılarak belirlenir.

Adım Adım Çözüm

1
h(x)=f(−∣x∣)h(x) = f(-|x|) fonksiyonunun simetri özelliğini belirleme.
h(x)h(x) fonksiyonu çift fonksiyondur. x≥0x \ge 0 için h(x)=f(−x)=−x3+3xh(x) = f(-x) = -x^3 + 3x olur.
Değişkenin mutlak değeri alındığı için fonksiyon y-eksenine göre simetrik hale gelir.
2
x≥0x \ge 0 için h(x)−1h(x) - 1 fonksiyonunun grafiğini analiz etme.
y(x)=−x3+3x−1y(x) = -x^3 + 3x - 1 fonksiyonunun x=0x=0 için değeri −1-1, x=1x=1 için yerel maksimum değeri 11'dir. x→∞x \to \infty için −∞-\infty'a gider. Bu aralıkta fonksiyonun biri (0,1)(0, 1) diğeri (1,∞)(1, \infty) aralığında olmak üzere iki pozitif kökü vardır.
Grafiğin x-eksenini kestiği noktaları ve tepe noktalarını bulmak için türev ve fonksiyon değerleri incelenir.
3
g(x)=∣h(x)−1∣g(x) = |h(x) - 1| dönüşümünü uygulayarak grafiğin genel şeklini çıkarma.
g(x)g(x) çift fonksiyonu, x-ekseninin altında kalan kısımların yukarı katlanmasıyla oluşur. x≥0x \ge 0 için grafik (0,1)(0, 1) noktasından başlayıp azalarak sıfıra iner, sonra (1,1)(1, 1) tepe noktasına çıkıp tekrar sıfıra iner ve ardından artarak sonsuza gider.
Dışarıdaki mutlak değer, negatif y değerlerini pozitif yaparak grafiği x-eksenine göre yans��tır.
4
g(x)=1/2g(x) = 1/2 denkleminin kök sayısını belirleme.
y=1/2y = 1/2 yatay doğrusu, g(x)g(x) grafiğinin dalgalanan kollarını x≥0x \ge 0 için 4 noktada keser. Çift fonksiyon simetrisinden dolayı toplam kök sayısı A=8A = 8 olur.
0<1/2<10 < 1/2 < 1 seviyesindeki bir yatay doğru, grafiğin her bir artan ve azalan kolunu tam olarak bir kez keser.
5
g(x)=1g(x) = 1 denkleminin kök sayısını belirleme.
y=1y = 1 doğrusu yerel maksimum noktaları olan x=−1,0,1x = -1, 0, 1 noktalarında grafiğe teğettir. Ayrıca dış kollarda x=±3x = \pm\sqrt{3} noktalarında kesişir. Buradan kök sayısı B=5B = 5 bulunur. Sonuç olarak A+B=8+5=13A + B = 8 + 5 = 13 elde edilir.
y=1y = 1 seviyesi hem yerel maksimum değerlerine eşit olduğundan teğet noktalarını hem de dış kollardaki kesişim noktalarını verir.

Anahtar Kavram

Fonksiyonların mutlak değer ve simetri dönüşümleri altında grafik analizinin yapılması ve yatay doğrularla kesişim sayıları yardımıyla denklem kök sayılarının bulunması.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 1172Soru →

Dik koordinat düzleminde, birim çember üzerinde ve ikinci bölgede bulunan bir PP noktasının ordinatı 32\frac{\sqrt{3}}{2}'dir. Buna göre, PP noktasının apsisi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -0.5

Cevap

P noktasının apsisi -0.5'tir.
Birim çember denklemi olan x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 eşitliğinde y=32y = \frac{\sqrt{3}}{2} yazıldığında x2=14x^2 = \frac{1}{4} elde edilir. Nokta ikinci bölgede olduğundan apsis değeri negatif olmalıdır, bu nedenle apsis x=−0.5x = -0.5 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Birim çember denklemini kurmak
x2+y2=1x^2 + y^2 = 1
Birim çember üzerindeki tüm noktaların koordinatları bu denklemi sağlamak zorundadır.
2
Verilen ordinat değerini kullanarak apsisin mutlak değerini bulmak
x2=14  ⟹  ∣x∣=0.5x^2 = \frac{1}{4} \implies |x| = 0.5
y=32y = \frac{\sqrt{3}}{2} değeri denklemde yerine yazıldığında x2+34=1x^2 + \frac{3}{4} = 1 elde edilir.
3
Bölge bilgisini değerlendirerek apsisin işaretini belirlemek
x=−0.5x = -0.5
İkinci bölgede apsis (x-koordinatı) negatif işaretli olduğundan pozitif kök elenir ve negatif değer alınır.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatlarının x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 denklemini sağlaması ve koordinatların bölgelere göre işaretleri.
Soru 1173Soru →

Bir koordinat düzleminde, y=x2−x+ay = x^2 - x + a kuralıyla verilen parabol ile y=x+2y = x + 2 denklemli doğrunun yalnızca bir ortak noktası olduğu bilinmektedir. Buna göre, aa gerçek sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Parabol ile doğrunun teğet olması için ortak çözüm denkleminin diskriminantı sıfıra eşit olmalıdır. Buradan a=3a = 3 elde edilir.
Parabol ile doğrunun birbirine teğet olması, ortak kesişim noktalarının yalnızca bir tane olması anlamına gelir. Denklemlerin ortak çözümü yapıldığında x2−2x+a−2=0x^2 - 2x + a - 2 = 0 ikinci dereceden denklemi elde edilir. Bu denklemin tek bir gerçek kökünün (çift katlı kök) olması için diskriminant sıfır olmalıdır. Δ=(−2)2−4(a−2)=12−4a=0\Delta = (-2)^2 - 4(a-2) = 12 - 4a = 0 eşitliğinden a=3a = 3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol ve doğrunun denklemlerini birbirine eşitleyerek ortak çözüm denklemini oluşturun.
x2−x+a=x+2⇒x2−2x+a−2=0x^2 - x + a = x + 2 \Rightarrow x^2 - 2x + a - 2 = 0 denklemi elde edilir.
Parabol ile doğrunun kesişim noktalarını bulmak için ortak çözüm yapılmalıdır.
2
Oluşan ikinci dereceden denklemin diskriminantını (Δ\Delta) hesaplayın.
Δ=(−2)2−4⋅1⋅(a−2)=12−4a\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a - 2) = 12 - 4a olarak bulunur.
İkinci dereceden bir denklemin köklerinin varlığı ve sayısı diskriminant ile belirlenir.
3
Doğru ile parabol birbirine teğet olduğu için diskriminantı sıfıra eşitleyin ve aa değerini bulun.
12−4a=0⇒4a=12⇒a=312 - 4a = 0 \Rightarrow 4a = 12 \Rightarrow a = 3 elde edilir.
Doğru ile parabolün birbirine teğet olması, ortak çözüm denkleminin çakışık (çift katlı) iki kökünün olması, yani diskriminantının sıfıra eşit olması anlamına gelir.

Anahtar Kavram

Parabol ile Doğrunun Birbirine Göre Durumları
Soru 1174Soru →

Analitik düzlemde, kolları yukarı doğru olan y=x2+ax+by = x^2 + ax + b parabolü y=2x−3y = 2x - 3 ve y=−4x−12y = -4x - 12 doğrularının her ikisine de teğettir. Bu parabolün tepe noktası TT, teğet doğrularının kesişim noktası KK olduğuna göre, TT ve KK noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 172\frac{\sqrt{17}}{2}

Cevap

Tepe noktası TT ve teğet doğrularının kesişim noktası KK arasındaki uzaklık 172\frac{\sqrt{17}}{2} birimdir.
Parabolün her iki doğruya teğet olması Δ=0\Delta = 0 şartını gerektirir. Bu şartlardan elde edilen sistem çözüldüğünde parabol denklemi y=x2+2x−3y = x^2 + 2x - 3 bulunur. Parabolün tepe noktası T(−1,−4)T(-1, -4) ve doğruların kesişim noktası K(−32,−6)K\left(-\frac{3}{2}, -6\right) olarak saptanır. İki nokta arasındaki uzaklık formülüyle uzaklık 172\frac{\sqrt{17}}{2} olarak doğru hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün birinci doğruya teğet olma koşulunu diskriminant yardımıyla yazalım.
y=x2+ax+by = x^2 + ax + b parabolü ile y=2x−3y = 2x - 3 doğrusunun ortak çözüm denklemi x2+(a−2)x+(b+3)=0x^2 + (a-2)x + (b+3) = 0 olur. Teğetlik durumunda bu denklemin diskriminantı sıfır olmalıdır: Δ1=(a−2)2−4(b+3)=0  ⟹  a2−4a−4b−8=0\Delta_1 = (a-2)^2 - 4(b+3) = 0 \implies a^2 - 4a - 4b - 8 = 0.
Bir doğru ve bir parabolün teğet olması, ortak çözüm denkleminin çakışık iki köke (yani diskriminantının sıfıra) sahip olmasını gerektirir.
2
Parabolün ikinci doğruya teğet olma koşulunu diskriminant yardımıyla yazalım.
y=x2+ax+by = x^2 + ax + b parabolü ile y=−4x−12y = -4x - 12 doğrusunun ortak çözüm denklemi x2+(a+4)x+(b+12)=0x^2 + (a+4)x + (b+12) = 0 olur. Teğetlik durumunda bu denklemin diskriminantı sıfır olmalıdır: Δ2=(a+4)2−4(b+12)=0  ⟹  a2+8a−4b−32=0\Delta_2 = (a+4)^2 - 4(b+12) = 0 \implies a^2 + 8a - 4b - 32 = 0.
İkinci doğrunun da parabole teğet olması nedeniyle ortak çözüm denkleminin diskriminantı sıfır olmal��dır.
3
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek aa ve bb parametrelerini bulalım.
İkinci denklemden birinci denklemi çıkardığımızda: (a2+8a−4b−32)−(a2−4a−4b−8)=0  ⟹  12a−24=0  ⟹  a=2(a^2 + 8a - 4b - 32) - (a^2 - 4a - 4b - 8) = 0 \implies 12a - 24 = 0 \implies a = 2 bulunur. a=2a = 2 değerini birinci denklemde yerine yazarsak: 4−8−4b−8=0  ⟹  4b=−12  ⟹  b=−34 - 8 - 4b - 8 = 0 \implies 4b = -12 \implies b = -3 elde edilir. Parabol denklemi y=x2+2x−3y = x^2 + 2x - 3 olur.
İki denklemdeki ortak terimleri yok etmek ve parabolün katsayılarını belirlemek için denklem sistemi çözülür.
4
Bulunan parabolün tepe noktası T(r,k)T(r, k) koordinatlarını hesaplayalım.
r=−22⋅1=−1r = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1 ve k=f(−1)=(−1)2+2(−1)−3=−4k = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = -4 olduğundan tepe noktası T(−1,−4)T(-1, -4) olarak bulunur.
Parabolün tepe noktasının apsis formülü r=−b2ar = -\frac{b}{2a} ve ordinatı k=f(r)k = f(r) bağıntısı ile hesaplanır.
5
Teğet doğrularının kesişim noktası olan KK noktasının koordinatlarını bulalım.
2x−3=−4x−12  ⟹  6x=−9  ⟹  x=−322x - 3 = -4x - 12 \implies 6x = -9 \implies x = -\frac{3}{2} olur. Herhangi bir doğru denkleminde yerine yazarsak y=2(−32)−3=−6y = 2\left(-\frac{3}{2}\right) - 3 = -6 bulunur. Böylece kesişim noktası K(−32,−6)K\left(-\frac{3}{2}, -6\right) olur.
İki doğrunun kesişim noktası, doğruların denklemlerinin ortak çözümüyle elde edilir.
6
T(−1,−4)T(-1, -4) ve K(−32,−6)K\left(-\frac{3}{2}, -6\right) noktaları arasındaki uzaklığı hesaplayalım.
∣TK∣=(−1−(−32))2+(−4−(−6))2=(12)2+22=14+4=174=172|TK| = \sqrt{\left(-1 - \left(-\frac{3}{2}\right)\right)^2 + (-4 - (-6))^2} = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 2^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 4} = \sqrt{\frac{17}{4}} = \frac{\sqrt{17}}{2} birim bulunur.
Analitik düzlemde iki nokta arasındaki uzaklık formülü kullanılarak TT ve KK arasındaki mesafe bulunur.

Anahtar Kavram

Parabol ile doğrunun birbirine göre durumlarında teğetlik şartı (ortak çözümün diskriminantının sıfıra eşit olması) ve tepe noktası ile doğruların kesişim noktasının analitik incelenmesi.
Soru 1175Soru →

a=sin⁡(70∘)a = \sin(70^\circ)
b=cos⁡(160∘)b = \cos(160^\circ)
c=tan⁡(200∘)c = \tan(200^\circ)
olduğuna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: b<c<ab < c < a

Cevap

Doğru sıralama b < c < a şeklindedir.
Negatif olan kosinüs değeri en küçük değerdir. Pozitif olan değerlerden tanjant değeri sinüs değerinden daha küçük olduğu için doğru sıralama b < c < a olur.

Adım Adım Çözüm

1
Trigonometrik değerlerin bulundukları bölgelere göre işaretlerini belirleme.
a=sin⁡(70∘)>0a = \sin(70^\circ) > 0 (1. bölge, pozitif),
b=cos⁡(160∘)<0b = \cos(160^\circ) < 0 (2. bölge, negatif),
c=tan⁡(200∘)>0c = \tan(200^\circ) > 0 (3. bölge, pozitif).
Genel büyüklük ve işaret ilişkisini kurmak için.
2
Pozitif olan a ve c değerlerini dar açıya indirgeyerek karşılaştırma.
a=sin⁡(70∘)=cos⁡(20∘)≈094a = \sin(70^\circ) = \cos(20^\circ) \approx 0{}94,
c=tan⁡(200∘)=tan⁡(20∘)≈036c = \tan(200^\circ) = \tan(20^\circ) \approx 0{}36.
Buradan c<ac < a elde edilir.
Pozitif değerlerin kendi arasındaki sıralamasını belirlemek için.
3
Negatif ve pozitif değerleri birleştirerek nihai sıralamayı elde etme.
Negatif olan bb en küçük değerdir. Pozitif değerler arasında c<ac < a olduğundan sıralama b<c<ab < c < a olur.
Tüm değerleri küçükten büyüğe sıralamak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaretleri ve dar açı cinsinden sıralanması.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 1176Soru →

Tanımlı olduğu xx gerçel sayı değerleri için,

f(x)=sin⁡(5π2−x)−cos⁡(x−1260∘)sin⁡(11π−x)⋅tan⁡(810∘+x)f(x) = \frac{\sin\left(\frac{5\pi}{2} - x\right) - \cos(x - 1260^\circ)}{\sin(11\pi - x) \cdot \tan(810^\circ + x)}

ifadesi veriliyor.

Buna göre, f(x)f(x) ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −2-2

Cevap

−2-2
İfadedeki pay kısmında yer alan terimler indirgendiğinde 2cos⁡(x)2\cos(x), payda kısmında yer alan çarpım durumundaki terimler indirgenip sadeleştirildiğinde −cos⁡(x)-\cos(x) elde edilir. Bu iki değer birbirine oranlandığında değişkenler sadeleşir ve sonuç −2-2 olarak bulunur. Dolayısıyla doğru cevap −2-2 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Payda yer alan sin⁡(5π2−x)\sin\left(\frac{5\pi}{2} - x\right) ifadesini indirgeyiniz.
sin⁡(5π2−x)=sin⁡(π2−x)=cos⁡(x)\sin\left(\frac{5\pi}{2} - x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos(x)
5π2\frac{5\pi}{2} açısının esas ölçüsü π2\frac{\pi}{2}'dir. Birinci bölgede sinüs fonksiyonu pozitif işaretlidir ve π2\frac{\pi}{2} açısına göre indirgeme yapıldığından fonksiyon isim değiştirerek kosinüse dönüşür.
2
Payda yer alan cos⁡(x−1260∘)\cos(x - 1260^\circ) ifadesini indirgeyiniz.
cos⁡(x−1260∘)=cos⁡(1260∘−x)=cos⁡(180∘−x)=−cos⁡(x)\cos(x - 1260^\circ) = \cos(1260^\circ - x) = \cos(180^\circ - x) = -\cos(x)
Kosinüs çift fonksiyon olduğundan cos⁡(x−1260∘)=cos⁡(1260∘−x)\cos(x - 1260^\circ) = \cos(1260^\circ - x) olur. 1260∘1260^\circ açısının esas ölçüsü 1260∘−3⋅360∘=180∘1260^\circ - 3 \cdot 360^\circ = 180^\circ olarak bulunur. İkinci bölgede kosinüs negatif işaretlidir ve isim değiştirmez.
3
Pay kısmının toplam değerini hesaplayınız.
Pay=cos⁡(x)−(−cos⁡(x))=2cos⁡(x)\text{Pay} = \cos(x) - (-\cos(x)) = 2\cos(x)
Bulunan sadeleşmiş terimler pay kısmındaki çıkarma işleminde yerine yazılarak ifade düzenlenir.
4
Paydadaki sin⁡(11π−x)\sin(11\pi - x) ve tan⁡(810∘+x)\tan(810^\circ + x) ifadelerini ayrı ayrı indirgeyiniz.
sin⁡(11π−x)=sin⁡(π−x)=sin⁡(x)\sin(11\pi - x) = \sin(\pi - x) = \sin(x) ve tan⁡(810∘+x)=tan⁡(90∘+x)=−cot⁡(x)\tan(810^\circ + x) = \tan(90^\circ + x) = -\cot(x)
11π11\pi açısının esas ölçüsü π\pi'dir. İkinci bölgede sinüs pozitif olup isim değiştirmez. 810∘810^\circ açısının esas ölçüsü 90∘90^\circ'dir. İkinci bölgede tanjant negatif işaretlidir ve 90∘90^\circ açısına göre indirgendiğinden ismi kotanjanta dönüşür.
5
Payda kısmını çarpım olarak hesaplayınız ve tüm ifadeyi oranlayınız.
Payda=sin⁡(x)⋅(−cot⁡(x))=sin⁡(x)⋅(−cos⁡(x)sin⁡(x))=−cos⁡(x)\text{Payda} = \sin(x) \cdot (-\cot(x)) = \sin(x) \cdot \left(-\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\right) = -\cos(x). Buradan f(x)=2cos⁡(x)−cos⁡(x)=−2f(x) = \frac{2\cos(x)}{-\cos(x)} = -2 bulunur.
Kotanjantın cos⁡(x)sin⁡(x)\frac{\cos(x)}{\sin(x)} eşitliği kullanılarak payda basitleştirilir, ardından pay paydaya bölünerek en sade biçim elde edilir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Fonksiyonların Bölgelere Göre İndirgenmesi
Soru 1177Soru →

Analitik düzlemde, başlangıç kenarı OxOx ekseninin pozitif kısmı olan ve ölçüsü −43π6-\frac{43\pi}{6} radyan olan yönlü açının bitiş kenarı, koordinat düzleminin ikinci bölgesindedir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur.
Verilen negatif yönlü açının esas ölçüsü 5π6\frac{5\pi}{6} radyan yani 150∘150^\circ olarak bulunur. 150∘150^\circ açısının bitiş kenarı ikinci bölgede olduğundan ifade doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Negatif yönlü açının esas ölçüsünü bulmak için açıya 2π2\pi'nin en küçük pozitif katını ekleyelim.
−43π6+8π=−43π+48π6=5π6-\frac{43\pi}{6} + 8\pi = \frac{-43\pi + 48\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} radyan
Esas ölçünün [0,2π)[0, 2\pi) aralğında olması gerektiğinden negatif açılara uygun 2π2\pi katı eklenir.
2
Elde edilen radyan cinsinden esas ölçüy�� derece birimine dönüştürelim.
5π6 radyan=5×180∘6=150∘\frac{5\pi}{6} \text{ radyan} = \frac{5 \times 180^\circ}{6} = 150^\circ
Derece birimi, koordinat düzlemindeki bölgelerin sınırlarını (0∘,90∘,180∘,270∘,360∘0^\circ, 90^\circ, 180^\circ, 270^\circ, 360^\circ) görselleştirmeyi kolaylaştırır.
3
Açının koordinat düzleminde hangi bölgeye karşılık geldiğini belirleyelim.
90∘<150∘<180∘90^\circ < 150^\circ < 180^\circ olduğundan açı ikinci bölgededir.
İkinci bölge 90∘90^\circ ile 180∘180^\circ arasındaki açıları kapsar.

Anahtar Kavram

Yönlü açılar, esas ölçü bulma ve koordinat düzlemindeki bölgeler.
Soru 1178Soru →
aa bir gerçel sayı olmak üzere, [0,2][0, 2] kapalı aralığında tanımlı
f(x)=−x2+2ax+a2−4af(x) = -x^2 + 2ax + a^2 - 4a
fonksiyonunun alabileceği en büyük değer 55'tir.

Buna göre, aa'nın alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

2
Parabolün kolları aşağı doğru olduğundan, tepe noktası aralığın dışında kaldığında fonksiyon monoton (sürekli artan veya azalan) davranır. Tepe noktasının konumu a<0a < 0 olduğunda fonksiyon azalan olup en büyük değerini x=0x = 0 noktasında alır; buradan a=−1a = -1 bulunur. Tepe noktasının konumu a>2a > 2 olduğunda ise fonksiyon artan olup en büyük değerini x=2x = 2 noktasında alır; buradan da a=3a = 3 elde edilir. Bu iki geçerli değerin toplamı 2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Tepe noktasının apsisini (rr) bulunuz.
r=−b2a=−2a2(−1)=ar = -\frac{b}{2a} = -\frac{2a}{2(-1)} = a
Parabolün kapalı aralıktaki en büyük değerini bulmak için tepe noktasının aralığa göre konumunu incelemeliyiz.
2
Tepe noktasının aralığın solunda olduğu durumu (a<0a < 0) inceleyiniz.
f(0)=5  ⟹  a2−4a=5  ⟹  a2−4a−5=0  ⟹  a=−1f(0) = 5 \implies a^2 - 4a = 5 \implies a^2 - 4a - 5 = 0 \implies a = -1 veya a=5a = 5. Koşuldan ötürü a=−1a = -1 alınır.
a<0a < 0 iken fonksiyon [0,2][0, 2] aralığında azalandır, en büyük değer sol uç nokta olan x=0x = 0 için gerçekleşir.
3
Tepe noktasının aralığın içinde olduğu durumu (0≤a≤20 \le a \le 2) inceleyiniz.
f(a)=5  ⟹  2a2−4a−5=0  ⟹  a=1±142f(a) = 5 \implies 2a^2 - 4a - 5 = 0 \implies a = 1 \pm \frac{\sqrt{14}}{2}. Kökler [0,2][0, 2] aralığının dışındadır, çözüm yoktur.
Tepe noktası aralığın içindeyken en büyük değer parabolün tepe noktasında (x=ax = a) oluşur.
4
Tepe noktasının aralığın sağında olduğu durumu (a>2a > 2) inceleyiniz.
f(2)=5  ⟹  a2−4=5  ⟹  a2=9  ⟹  a=3f(2) = 5 \implies a^2 - 4 = 5 \implies a^2 = 9 \implies a = 3 veya a=−3a = -3. Koşuldan ötürü a=3a = 3 alınır.
a>2a > 2 iken fonksiyon [0,2][0, 2] aralığında artandır, en büyük değer sağ uç nokta olan x=2x = 2 için gerçekleşir.
5
Bulunan geçerli aa değerlerini toplayınız.
(−1)+3=2(-1) + 3 = 2
Soruda istenen, aa'nın alabileceği farklı değerlerin toplamıdır.

Anahtar Kavram

Parabolün kapalı bir aralıktaki en büyük ve en küçük değerlerini bulurken tepe noktasının aralığa göre konumunun incelenmesi
Soru 1179Soru →

Şekildeki ABCDABCD kirişler dörtgeninde [AC][AC] köşegendir.

∣AB∣=4 birim|AB| = 4\text{ birim},
∣BC∣=1 birim|BC| = 1\text{ birim},
∣CD∣=4 birim|CD| = 4\text{ birim} ve
∣DA∣=5 birim|DA| = 5\text{ birim}

olduğuna göre, ∣AC∣|AC| uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21\sqrt{21}

Cevap

Köşegen uzunluğu 21\sqrt{21} birimdir.
Kirişler dörtgeninde karşılıklı açılar bütünler olduğundan m(ADC^)=αm(\widehat{ADC}) = \alpha iken m(ABC^)=180∘−αm(\widehat{ABC}) = 180^\circ - \alpha olur. Kosinüs Teoremi her iki üçgene uygulandığında sırasıyla ∣AC∣2=41−40cos⁡α|AC|^2 = 41 - 40\cos\alpha ve ∣AC∣2=17+8cos⁡α|AC|^2 = 17 + 8\cos\alpha (çünkü cos⁡(180∘−α)=−cos⁡α\cos(180^\circ-\alpha) = -\cos\alpha) denklemleri elde edilir. Bu iki denklem eşitlendiğinde 48cos⁡α=2448\cos\alpha = 24 ve buradan cos⁡α=1/2\cos\alpha = 1/2 bulunur. Bulunan değer yerine yerleştirildiğinde köşegen uzunluğunun karesi 2121 birimkare, kendisi ise kök 21 birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kirişler dörtgeninin özelliğini kullanarak karşılıklı açıları tanımlamak.
m(ADC^)=αm(\widehat{ADC}) = \alpha olsun. Kirişler dörtgeninde karşılıklı açılar bütünler olduğundan m(ABC^)=180∘−αm(\widehat{ABC}) = 180^\circ - \alpha olur.
Karşılıklı açıların toplamının 180∘180^\circ olması, trigonometrik indirgemede birbirini bütünleyen açıların kosinüs değerlerinin zıt işaretli olmasını sağlar.
2
ADCADC üçgeninde Kosinüs Teoremi'ni uygulamak.
∣AC∣2=52+42−2⋅5⋅4⋅cos⁡α=41−40cos⁡α|AC|^2 = 5^2 + 4^2 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \cos\alpha = 41 - 40\cos\alpha
Köşegen uzunluğunu α\alpha açısı cinsinden ifade etmek için kenar uzunlukları 55 ve 44 olan ��çgende teorem uygulanır.
3
ABCABC üçgeninde Kosinüs Teoremi'ni uygulamak ve bütünler açı indirgemesini yapmak.
∣AC∣2=42+12−2⋅4⋅1⋅cos⁡(180∘−α)=17−8(−cos⁡α)=17+8cos⁡α|AC|^2 = 4^2 + 1^2 - 2 \cdot 4 \cdot 1 \cdot \cos(180^\circ - \alpha) = 17 - 8(-\cos\alpha) = 17 + 8\cos\alpha
İkinci bölgedeki bir açının kosinüsünün zıt işaretlisine e��it olmasından dolayı, cos⁡(180∘−α)=−cos⁡α\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha eşitliği kullanılır.
4
Elde edilen iki farklı ∣AC∣2|AC|^2 ifadesini birbirine eşitleyerek cos⁡α\cos\alpha değerini bulmak.
41−40cos⁡α=17+8cos⁡α⇒24=48cos⁡α⇒cos⁡α=1241 - 40\cos\alpha = 17 + 8\cos\alpha \Rightarrow 24 = 48\cos\alpha \Rightarrow \cos\alpha = \frac{1}{2}
Aynı köşegen uzunluğunun iki farklı ifadesi eşitlenerek bilinmeyen açının kosinüsüne ulaşılır.
5
Bulunan kosinüs değerini denklemlerden birinde yerine yazıp köşegen uzunluğunu hesaplamak.
∣AC∣2=41−40⋅(12)=41−20=21⇒∣AC∣=21|AC|^2 = 41 - 40 \cdot \left(\frac{1}{2}\right) = 41 - 20 = 21 \Rightarrow |AC| = \sqrt{21}
Köşegen uzunluğunun karesi olan 2121 değerinin karekökü alınarak nihai sonuca varılır.

Anahtar Kavram

Kirişler dörtgeninde karşılıklı açıların bütünler olması özelliğinin Kosinüs Teoremi ve trigonometrik indirgeme kuralları ile birleştirilmesi.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 1180Soru →

θ∈(5π4,4π3)\theta \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{4\pi}{3}\right) olmak üzere,

x=sin⁡3θ−cos⁡3θ1+sin⁡θcos⁡θx = \frac{\sin^3\theta - \cos^3\theta}{1 + \sin\theta\cos\theta}
y=1−sec⁡2θ1−csc⁡2θy = \frac{1 - \sec^2\theta}{1 - \csc^2\theta}
z=sin⁡θ1+cos⁡θ+1+cos⁡θsin⁡θz = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} + \frac{1 + \cos\theta}{\sin\theta}

ifadeleri tanımlanıyor.

Buna göre; xx, yy ve zz değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama z < x < y şeklindedir.
İfadelerin sadeleşmiş biçimleri sırasıyla x=sin⁡θ−cos⁡θx = \sin\theta - \cos\theta, y=tan⁡4θy = \tan^4\theta ve z=2csc⁡θz = 2\csc\theta olarak bulunur. Verilen θ\theta aralığında zz değeri −2-2 değerinden küçük negatif bir sayı, xx değeri −1-1 ile 00 arasında negatif bir sayı ve yy değeri 11 değerinden büyük pozitif bir sayı olduğundan doğru sıralama z<x<yz < x < y şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
xx ifadesini çarpanlara ayırma özdeşliklerini kullanarak sadeleştirin.
x=sin⁡θ−cos⁡θx = \sin\theta - \cos\theta
Pay kısmındaki sin⁡3θ−cos⁡3θ\sin^3\theta - \cos^3\theta ifadesi küp farkı açılımı ile (sin⁡θ−cos⁡θ)(sin⁡2θ+sin⁡θcos⁡θ+cos⁡2θ)(\sin\theta - \cos\theta)(\sin^2\theta + \sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta) olarak yazılır. sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 olduğu için bu ifade (sin⁡θ−cos⁡θ)(1+sin⁡θcos⁡θ)(\sin\theta - \cos\theta)(1 + \sin\theta\cos\theta) olur. Payda ile sadeleştiğinde geriye sin⁡θ−cos⁡θ\sin\theta - \cos\theta kalır.
2
yy ifadesini temel trigonometrik özdeşlikler yardımıyla basitleştirin.
y=tan⁡4θy = \tan^4\theta
1−sec⁡2θ=−tan⁡2θ1 - \sec^2\theta = -\tan^2\theta ve 1−csc⁡2θ=−cot⁡2θ1 - \csc^2\theta = -\cot^2\theta özdeşlikleri yerlerine yazıldığında, y=−tan⁡2θ−cot⁡2θ=tan⁡2θcot⁡2θ=tan⁡4θy = \frac{-\tan^2\theta}{-\cot^2\theta} = \frac{\tan^2\theta}{\cot^2\theta} = \tan^4\theta elde edilir.
3
zz ifadesinde paydaları eşitleyerek sadeleştirme yapın.
z=2sin⁡θ=2csc⁡θz = \frac{2}{\sin\theta} = 2\csc\theta
Paydalar eşlendiğinde pay kısmında sin⁡2θ+(1+cos⁡θ)2=sin⁡2θ+1+2cos⁡θ+cos⁡2θ\sin^2\theta + (1 + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + 1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta ifadesi oluşur. sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 olduğundan pay kısmı 2+2cos⁡θ=2(1+cos⁡θ)2 + 2\cos\theta = 2(1 + \cos\theta) haline gelir. Paydadaki 1+cos⁡θ1 + \cos\theta çarpanı ile sadeleştiğinde geriye 2sin⁡θ\frac{2}{\sin\theta} kalır.
4
θ∈(5π4,4π3)\theta \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{4\pi}{3}\right) aralığına göre elde edilen ifadelerin değer sınırlarını karşılaştırın.
z<x<yz < x < y
Bu aralık birim çemberin üçüncü bölgesindedir. Burada sin⁡θ<cos⁡θ<0\sin\theta < \cos\theta < 0 olduğundan, x=sin⁡θ−cos⁡θ<0x = \sin\theta - \cos\theta < 0 olur. sin⁡θ∈(−32,−22)\sin\theta \in \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) olduğu için z=2sin⁡θ<−2z = \frac{2}{\sin\theta} < -2 bulunur. Üçüncü bölgede tan⁡θ>1\tan\theta > 1 olduğundan, y=tan⁡4θ>1y = \tan^4\theta > 1 olur. Bu durumda negatif ve mutlak değerce en büyük olan zz en küçük, negatif olan xx ortanca, pozitif olan yy ise en büyüktür.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Bölgelere Göre Sıralama Analizi
Tahmini Süre:3m 0s
ÖncekiSayfa 59 / 437Sonraki