Tüm alıştırma soruları

Soru 121Soru →

Birim çember üzerinde, üçüncü bölgede yer alan bir $P(a, b)$ noktası, başlangıç kenarı pozitif $x$ -ekseni olan $\theta$ yönlü açısının bitiş kenarı üzerindedir.

\theta \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)

olmak üzere, $\tan\theta - \cot\theta = 1{}5$ eşitliği sağlandığına göre, $a \cdot b$ çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.4

Cevap

P(a, b) noktasının koordinatları çarpımı olan a ve b değerlerinin çarpımı 0,4 olarak elde edilir.

Birim çember tanımına göre çember üzerindeki her

P(a,b)

noktası için

a^2+b^2=1

ilişkisi geçerlidir. Ayrıca bu koordinatlar

a=\cos\theta

ve

b=\sin\theta

değerlerine karşılık gelir. Verilen denklemin çözümünden elde edilen

\tan\theta = 2

değeri, koordinatlar arasında

b = 2a

bağıntısını kurmamızı sağlar. Üçüncü bölgede her iki koordinat da negatif olduğundan

a = -1/\sqrt{5}

ve

b = -2/\sqrt{5}

bulunur. Bu iki değerin çarpımı ise

0,4

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen denklemde

\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}

özdeşliğini yerine yazarak denklemi tek bir değişken cinsinden düzenleyin.

\tan\theta - \frac{1}{\tan\theta} = \frac{3}{2}

eşitliğinin her iki tarafı

2\tan\theta

ile çarpılarak payda eşitlendiğinde

2\tan^2\theta - 3\tan\theta - 2 = 0

ikinci dereceden denklemi elde edilir.

Tanjant ve kotanjant fonksiyonları arasındaki çarpmaya göre tersi olma ilişkisini kullanarak denklemi çözülebilir bir forma getirmek.

2

Elde edilen ikinci dereceden denklemin çarpanlarına ayırarak

\tan\theta

değerini belirleyin.

2\tan^2\theta - 3\tan\theta - 2 = 0 \implies (2\tan\theta + 1)(\tan\theta - 2) = 0

denkleminin kökleri

\tan\theta = -0{}5

ve

\tan\theta = 2

olarak bulunur.

\theta \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)

aralığı üçüncü bölgeyi temsil ettiğinden bu bölgede tanjant fonksiyonu pozitif değer alır. Dolayısıyla

\tan\theta = 2

olmalıdır.

İkinci dereceden denklemi çözmek ve açının bulunduğu bölgeyi göz önüne alarak doğru işarete sahip kökü belirlemek.

3

Birim çember tanımını kullanarak koordinatlar arasındaki ilişkiyi kurun ve koordinatları hesaplayın.

Birim çember üzerindeki bir

P(a, b)

noktası için

a = \cos\theta

ve

b = \sin\theta

yazılabilir. Buradan

\tan\theta = \frac{b}{a} = 2 \implies b = 2a

elde edilir. Birim çember denklemi olan

a^2 + b^2 = 1

eşitliğinde yerine yazıldığında

a^2 + (2a)^2 = 1 \implies 5a^2 = 1 \implies a^2 = \frac{1}{5}

bulunur. Üçüncü bölgede apsis değeri negatif olduğundan

a = -\frac{1}{\sqrt{5}}

ve buna bağlı olarak ordinat değeri

b = 2a = -\frac{2}{\sqrt{5}}

bulunur.

Birim çember üzerindeki noktaların koordinatlarının kareleri toplamının 1 olması kuralını ve bölgeye göre koordinatların işaretlerini uygulamak.

4

Bulunan

a

ve

b

koordinat değerlerini birbiriyle çarpın.

a \cdot b = \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \cdot \left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right) = \frac{2}{5} = 0{}4

bulunur.

Soruda istenen

a \cdot b

çarpım değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki noktaların trigonometrik koordinat gösterimleri ile bölgelere göre trigonometrik fonksiyonların işaretlerinin belirlenmesi.

Soru 122Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde, $|AB| = 5\text{ birim}$ , $|AC| = 3\text{ birim}$ ve $m(\widehat{BAC}) = 120^\circ$ olduğuna göre, $|BC|$ uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

BC kenarının uzunluğu 7 birimdir.

Kosinüs teoremi denkleminde

120^\circ

'lik açının kosinüsü

-1/2

olarak yerine yazıldığında, iki negatif işaret birbirini artıya dönüştürür ve

|BC|^2 = 49

elde edilir. Karekökü alındığında kenar uzunluğu 7 birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Kosinüs teoremi formülünü kurma

|BC|^2 = |AB|^2 + |AC|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |AC| \cdot \cos(\widehat{BAC})

İki kenar uzunluğu ve aralarındaki açı verilen bir üçgende karşı kenarı bulmak için kosinüs teoremi uygulanır.

2

Değerleri formüle yerleştirme ve trigonometrik değeri belirleme

|BC|^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot (-1/2)

|AB|=5

,

|AC|=3

,

m(\widehat{BAC})=120^\circ

ve

\cos(120^\circ) = -1/2

değerleri yerine yazılır.

3

İşlemleri tamamlayarak uzunluğu hesaplama

|BC|^2 = 25 + 9 + 15 = 49 \implies |BC| = 7

Negatif işaretlerin çarpımından artı işareti elde edilir ve karekök alınarak sonuç bulunur.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 123Soru →

\frac{(x^2 - 6x + 8)(x - 5)^2}{x^2 - 9x + 20} \leq 0

\frac{x^2 - 2x - 15}{x + 1} \leq 0

eşitsizlik sistemini sağlayan

x

tam sayılarının toplam�� kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Eşitsizlik sistemini sağlayan

x

tam sayılarının toplamı 5'tir.

Eşitsizlik sisteminin ortak çözüm kümesi

[2, 4) \cup (4, 5)

aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayılar 2 ve 3 olup, toplamları 5'tir.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci eşitsizli��in pay ve paydasındaki ifadeleri çarpanlarına ayıralım.

Pay:

(x-2)(x-4)(x-5)^2

, Payda:

(x-4)(x-5)

olur. Eşitsizlik

\frac{(x-2)(x-4)(x-5)^2}{(x-4)(x-5)} \leq 0

halini alır. Tanımlılık için payda sıfırdan farklı olmalıdır, yani

x \neq 4

ve

x \neq 5

olmalıdır.

Eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi bulunurken öncelikle ifadelerin en sade hali elde edilmeli ve tanımsızlık oluşturan noktalar belirlenmelidir.

2

Birinci eşitsizliği sadeleştirerek çözüm kümesini bulalım.

x \neq 4

ve

x \neq 5

koşulu altında, ortak olan

(x-4)

ve bir adet

(x-5)

çarpanları sadeleşir. Eşitsizlik

(x-2)(x-5) \leq 0

biçimine dönüşür. Buradan çözüm aralığı

[2, 5]

olarak bulunur.

4

ve

5

değerleri hariç tutulduğunda birinci eşitsizliğin çözüm kümesi

Ç_1 = [2, 5) \setminus \{4\}

olur.

Sadeleşen çarpanlar ifadenin işaretini değiştirmese de tanımsızlık sınırlarını belirler.

3

İkinci eşitsizliği çarpanlarına ayıralım ve işaret tablosunu oluşturalım.

Pay çarpanlarına ayrıldığında

(x-5)(x+3)

elde edilir. Eşitsizlik

\frac{(x-5)(x+3)}{x+1} \leq 0

olur. Kökler

x = -3

,

x = -1

(payda kökü, tanımsız) ve

x = 5

şeklindedir. İşaret tablosu yapıldığında negatif olan aralıklar

Ç_2 = (-\infty, -3] \cup (-1, 5]

olarak bulunur.

Rasyonel eşitsizliklerin çözümünde pay ve paydanın kökleri bulunarak işaret tablosu oluşturulur.

4

İki eşitsizliğin çözüm kümelerinin kesişimini alalım.

Ç_1 \cap Ç_2 = [2, 5) \setminus \{4\}

kesişim kümesi elde edilir.

Eşitsizlik sistemlerinde her iki eşitsizliği de aynı anda sağlayan ortak bölge çözüm kümesini oluşturur.

5

Kesişim kümesindeki tam sayıları bulup toplayalım.

[2, 4) \cup (4, 5)

aralığındaki tam sayılar yalnızca

2

ve

3

'tür. Toplamları

2 + 3 = 5

olur.

4

değeri paydayı sıfır yaptığı için,

5

değeri ise birinci eşitsizlikte açık uçlu sınır olduğu için çözüm kümesine dahil edilmez.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik sistemlerinin çözüm kümelerinin bulunması ve rasyonel ifadelerde sadeleştirme yaparken payda köklerinin hariç tutulması.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 124Soru →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı $f$ ve $g$ fonksiyonları için aşağıdaki bilgiler verilmektedir:

* $f$ fonksiyonunun grafiği koordinat düzleminde $K(2, 3)$ noktasına göre simetriktir.
* $g$ fonksiyonunun grafiği koordinat düzleminde $x = 1$ doğrusuna göre simetriktir.
* Her $x$ gerçek sayısı için $f(x) + g(3-x) = x^2 - 2x + 5$ eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, $g(f(3))$ değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

İstenen g(f(3)) ifadesinin değeri 18 olarak bulunur.

Verilen simetri kurallarına göre

f(x) + f(4-x) = 6

ve

g(x-1) = g(3-x)

eşitlikleri yazılır. Ana denklemde

x

yerine

4-x

yazılıp iki denklem taraf tarafa çıkarıldığında

f(x) = 2x - 1

elde edilir. Bu kural ana denklemde yerine yazıldığında

g(3-x) = x^2 - 4x + 6

bulunur. İstenen

g(f(3))

değerinde

f(3) = 5

olup,

g(5)

değerini hesaplamak için

x = -2

yazıldığında sonuç 18 olur.

Adım Adım Çözüm

1

Fonksiyonların simetri özelliklerini matematiksel eşitlikler olarak ifade etmek.

f(x) + f(4-x) = 6

ve

g(x-1) = g(3-x)

eşitliklerini elde etmek.

f

fonksiyonunun grafiği

K(2,3)

noktasına göre simetrik olduğundan her

x

için

f(2-x) + f(2+x) = 2 \cdot 3 = 6

olur. Burada

2-x

yerine

x

yazılırsa

f(x) + f(4-x) = 6

elde edilir.

g

fonksiyonunun grafiği

x=1

doğrusuna göre simetrik olduğundan her

x

için

g(1-x) = g(1+x)

olur. Burada

1-x

yerine

x-1

yazılırsa

g(x-1) = g(2-(x-1)) = g(3-x)

elde edilir.

2

Verilen ana denklemde

x

yerine

4-x

yazarak yeni bir denklem elde etmek.

f(4-x) + g(x-1) = x^2 - 6x + 13

denklemini bulmak.

f(x) + f(4-x) = 6

ilişkisini kullanabilmek amacıyla ana denklemde değişken değiştirme yapılır.

x

yerine

4-x

yazıldığında

(4-x)^2 - 2(4-x) + 5 = x^2 - 8x + 16 - 8 + 2x + 5 = x^2 - 6x + 13

bulunur.

3

g

fonksiyonunun simetri özelliğini kullanarak denklemi düzenlemek ve

f(x)

fonksiyonunu bulmak.

f(x) = 2x - 1

fonksiyonunu bulmak.

g(x-1) = g(3-x)

simetrisi kullanılarak ikinci denklem

f(4-x) + g(3-x) = x^2 - 6x + 13

haline getirilir. Bu denklem ilk denklem olan

f(x) + g(3-x) = x^2 - 2x + 5

ifadesinden çıkarıldığında

f(x) - f(4-x) = 4x - 8

elde edilir. Bu eşitlik

f(x) + f(4-x) = 6

ile taraf tarafa toplanarak

2f(x) = 4x - 2 \implies f(x) = 2x - 1

bulunur.

4

f(x)

fonksiyonunu yerine yazarak

g(3-x)

ifadesini elde etmek ve istenen değeri hesaplamak.

g(f(3)) = 18

değerini elde etmek.

f(x) + g(3-x) = x^2 - 2x + 5

denkleminde

f(x) = 2x - 1

yazılırsa

g(3-x) = x^2 - 4x + 6

olur. İstenen değer

g(f(3))

olup öncelikle

f(3) = 2(3) - 1 = 5

hesaplanır.

g(5)

değerini bulmak için

3-x=5 \implies x=-2

yazılarak

g(5) = (-2)^2 - 4(-2) + 6 = 18

bulunur.

Anahtar Kavram

Noktaya ve doğruya göre simetri dönüşümlerinin fonksiyon denklemleri üzerindeki cebirsel etkileri.

Soru 125Soru →

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı

\frac{(|x - 2| - 3) \cdot (x^2 - 9)^2}{(x^2 - 2x - 8) \cdot (25 - x^2)} \geq 0

eşitsizliğini sağlayan tüm

x

tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -2

Cevap

Eşitsizliği sağlayan tüm x tam sayılarının toplamı -2'dir.

İşaret tablosu doğru oluşturulup payda kökleri dışlandığında, eşitsizliği sağlayan tam sayılar kümesi {-4, -3, -1, 0, 1, 2, 3} olarak elde edilir. Bu sayıların toplamı -2'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Payın köklerini ve bu köklerin katlarını belirleme.

|x - 2| - 3 = 0 \implies x = 5

(1. kat) ve

x = -1

(1. kat).

(x^2 - 9)^2 = 0 \implies x = 3

(2. kat, çift katlı) ve

x = -3

(2. kat, çift katlı).

Çarpım durumundaki ifadelerin köklerini bulup işaret tablosuna yerleştirmek gerekir.

2

Paydanın köklerini belirleme ve tanımsızlık koşullarını yazma.

x^2 - 2x - 8 = 0 \implies (x - 4)(x + 2) = 0 \implies x = 4

(payda kökü, 1. kat) ve

x = -2

(payda kökü, 1. kat).

25 - x^2 = 0 \implies (5 - x)(5 + x) = 0 \implies x = 5

(payda kökü, 1. kat) ve

x = -5

(payda kökü, 1. kat). Payda kökleri (

x \neq 4, -2, 5, -5

) çözüm kümesinden hariç tutulmalıdır.

Rasyonel ifadelerde paydayı sıfır yapan değerler ifadeyi tanımsız yapar.

3

Köklerin net katlarını analiz etme.

x = 5

kökü hem payın hem paydanın köküdür. Her ikisinde de 1. kattan olduğu için ifadenin genelinde çift katlı kök gibi davranır (işaret değiştirmez), ancak paydada da bulunduğu için çözüm kümesine alınamaz (

x \neq 5

). Diğer köklerin net katları tektir.

Aynı kökten hem pay hem paydada bulunması durumunda katların toplamı alınarak işaret değişimi incelenir.

4

İşaret tablosunu oluşturma.

En sağ aralık olan

x > 5

için ifadenin işareti negatiftir (

-

). İşaret tablosu:

x \in (5, \infty) \implies -

,

x \in (4, 5) \implies -

,

x \in (3, 4) \implies +

,

x \in (-1, 3) \implies +

,

x \in (-2, -1) \implies -

,

x \in (-3, -2) \implies +

,

x \in (-5, -3) \implies +

,

x \in (-\infty, -5) \implies -

.

Baş katsayıların ve mutlak değerli terimlerin işaretleri incelenerek en sağ aralığın işareti belirlenir ve köklerden geçerken işaret değiştirilir.

5

Çözüm kümesini bulma ve tam sayı değerlerinin toplamını hesaplama.

Eşitsizliğin

\geq 0

olduğu çözüm kümesi:

(-5, -2) \cup [-1, 4)

aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayılar:

-4, -3, -1, 0, 1, 2, 3

'tür. Toplamları ise:

(-4) + (-3) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 = -2

olur.

Eşitsizliği sağlayan aralıklardaki tam sayılar toplanarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Rasyonel eşitsizliklerde payda köklerinin hariç tutulması, çift katlı köklerde işaretin değişmemesi ve ortak köklerin kat analizi.

Soru 126Soru →

Bir güneş enerjisi santralinde üretilen elektrik gücü (megavat cinsinden), günün $10.00$ ile $16.00$ saatleri arasında (bu saatler dahil) geçen süre $t$ (saat) olmak üzere,

P(t) = -t^2 + 18t - 30

fonksiyonu ile modellenmektedir.

Buna göre, bu santralde belirtilen saat aralığında üretilen maksimum elektrik gücü ile minimum elektrik gücü arasındaki fark kaç megavattır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

Belirtilen saat aralığında üretilen maksimum elektrik gücü ile minimum elektrik gücü arasındaki fark 48 megavattır.

Fonksiyonun tepe noktası

t = 9

olup

[10, 16]

aralığının dışındadır.

t^2

teriminin katsayısı negatif olduğu için parabol kolları aşağı bakar ve

t > 9

için fonksiyon azalandır. Dolayısıyla,

[10, 16]

aralığındaki maksimum değer sol uçta (

t = 10

için

50

), minimum değer ise sağ uçta (

t = 16

için

2

) elde edilir. Bu iki değer arasındaki fark

50 - 2 = 48

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Parabolün tepe noktasının apsisini (

r

) hesaplayın.

r = 9

İkinci dereceden fonksiyonlarda en büyük veya en küçük değer genellikle tepe noktasında oluştuğundan öncelikle tepe noktasının konumu belirlenir.

2

Tepe noktasının verilen

[10, 16]

kapalı aralığında yer alıp almadığını kontrol edin.

9 \notin [10, 16]

olduğundan, fonksiyon bu aralıkta tepe noktasında ekstremum değer alamaz.

a < 0

olduğu için fonksiyon bu aral��kta daima azalandır.

Sınırlandırılmış aralıklarda en büyük ve en küçük değerler araştırılırken tepe noktasının aralık içinde olup olmadığı kritik bir adımd��r.

3

Aralığın uç noktaları olan

t = 10

ve

t = 16

için fonksiyon değerlerini hesaplayarak maksimum ve minimum değerleri belirleyin.

P(10) = 50

(Maksimum) ve

P(16) = 2

(Minimum)

Daima azalan bir fonksiyon sınırlı bir aralıkta en büyük değerini sol uçta, en küçük değerini ise sağ uçta alır.

4

Maksimum güç ile minimum güç değerleri arasındaki farkı hesaplayın.

50 - 2 = 48

Soruda istenen maksimum ve minimum değerler arasındaki farkı bulmak için büyük değerden küçük değer çıkarılır.

Anahtar Kavram

Tanım kümesi

[a, b]

gibi kapalı bir aralıkla sınırlandırılmış ikinci dereceden bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri bulunurken, parabolün tepe noktasının (

r

) bu aralıkta olup olmadığı kontrol edilir. Eğer

r \notin [a, b]

ise fonksiyon bu aralıkta monotondur (daima artan veya daima azalan) ve ekstremum değerlerini sadece aralığın uç noktalarında (

f(a)

ve

f(b)

değerlerinde) alabilir.

Soru 127Soru →

\frac{(x - 1)^2 \cdot (x^2 - 4)}{x^2 - x - 2} \le 0

eşitsizliğini sağlayan

x

tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

Eşitsizliği sağlayan

x

tam sayılarının toplamı -1'dir.

Verilen rasyonel eşitsizlikte pay ve payda çarpanlarına ayrılıp sadeleştirildiğinde,

x \neq 2

ve

x \neq -1

koşulları altında

\frac{(x - 1)^2(x + 2)}{x + 1} \le 0

eşitsizliği elde edilir. Bu eşitsizliğin kökleri

x = -2

,

x = -1

ve çift katlı kök olan

x = 1

değerleridir. İşaret tablosu incelendiğinde, ifadenin negatif olduğu tek aralığın

[-2, -1)

olduğu görülür. Ayrıca

x = 1

değeri ifadeyi sıfır yaptığı ve tanımlı olduğu için çözüm kümesine eklenir. Dolayısıyla çözüm kümesi

[-2, -1) \cup \{1\}

olur. Bu aralıktaki tam sayılar yalnızca

-2

ve

1

değerleridir, toplamları ise

-1

yapar.

Adım Adım Çözüm

1

Pay ve paydadaki polinom ifadelerini çarpanlarına ayırın.

Pay:

(x - 1)^2(x - 2)(x + 2)

, Payda:

(x - 2)(x + 1)

Eşitsizliğin köklerini bulmak ve sadeleşen terimleri belirlemek amacıyla çarpanlara ayırma yöntemi uygulanır.

2

Tanım kümesini belirlemek için paydayı sıfır yapan değerleri saptayın.

x \neq 2

ve

x \neq -1

olmalıdır.

Rasyonel ifadelerde paydayı sıfır yapan değerler ifadeyi tan��msız kılacağı için çözüm kümesine dahil edilemez.

3

Ortak terimleri sadeleştirerek kalan ifadenin köklerini ve bu köklerin katlılık durumlarını analiz edin.

Sadeleşmiş ifade:

\frac{(x - 1)^2(x + 2)}{x + 1} \le 0

. Kökler:

x = -2

(tek katlı),

x = -1

(payda kökü, tek katlı),

x = 1

(çift katlı).

Sadeleşen

(x - 2)

çarpanının kökü olan

x = 2

değeri eşitsizliği bozmaz fakat tanım kümesinden çıkarılmalıdır. Kalan köklerin katları işaret tablosundaki geçişleri belirler.

4

İşaret tablosu oluşturarak eşitsizliğin sağlandığı aralıkları bulun.

Çözüm kümesi:

[-2, -1) \cup \{1\}

Eşitsizliği sıfırdan küçük veya eşit yapan

x

değerlerini tespit etmek için işaret incelemesi yapılır.

x = 1

çift katlı kökü ifadeyi sıfır yaptığı için kümeye dahil edilir.

5

Çözüm kümesindeki tam sayıların değerlerini belirleyin ve toplayın.

Ç��züm kümesindeki tam sayılar

-2

ve

1

olup, toplamları

(-2) + 1 = -1

bulunur.

Eşitsizliği sağlayan tam sayıların toplamına ulaşmak için küme içindeki tam sayılar toplanır.

Anahtar Kavram

Rasyonel eşitsizliklerde sadeleştirme yapıldığında payda köklerinin tanım kümesi dışı bırakılması, çift katlı köklerde işaretin değişmemesi ve eşitlik durumunda payın köklerinin çözüm kümesine dahil edilmesi.

Soru 128Soru →

Koordinat düzleminde grafiği orijine göre simetrik olan bir

f

fonksiyonu, her

x

gerçel sayısı için

f(-x) + 3f(x) = 4x^3 - 2x

eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, $f(1)$ değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

İstenen f(1) değeri 1 olarak bulunur.

Grafiği orijine göre simetrik olan

f

fonksiyonu bir tek fonksiyondur. Tek fonksiyonların tanımı gereği her

x

gerçel sayısı için

f(-x) = -f(x)

eşitliği sağlanır. Verilen denklemde

x = 1

yazıldığında

f(-1) + 3f(1) = 4(1)^3 - 2(1) = 2

eşitliği elde edilir. Bu eşitlikte tek fonksiyon özelliğinden ötürü

f(-1)

yerine

-f(1)

yazıldığında

-f(1) + 3f(1) = 2

elde edilir. Buradan

2f(1) = 2

ve

f(1) = 1

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Grafiği orijine göre simetrik olan fonksiyonun simetri özelliğini belirleyin.

f(-x) = -f(x)

Koordinat düzleminde grafiği orijine göre simetrik olan fonksiyonlar tek fonksiyondur.

2

Verilen denklemde

x = 1

yazarak bir eşitlik elde edin.

f(-1) + 3f(1) = 4(1)^3 - 2(1) = 2

f(1)

değerine ulaşabilmek için bilinmeyenleri içeren sayısal bir denklem kurmamız gerekir.

3

f(-1) = -f(1)

eşitliğini kullanarak denklemdeki bilinmeyen sayısını bire indirin ve denklemi çözün.

-f(1) + 3f(1) = 2 \implies 2f(1) = 2 \implies f(1) = 1

Tek fonksiyon kuralını uygulayarak tek bilinmeyenli doğrusal bir denklem elde eder ve çözüme ulaşırız.

Anahtar Kavram

Grafiği orijine göre simetrik olan tek fonksiyonlarda her

x

gerçel sayısı için

f(-x) = -f(x)

özelliğinin sağlanması.

Soru 129Soru →

Ölçüsü $-23450''$ olan negatif yönlü bir açının esas ölçüsü $a^\circ\ b'\ c''$ olarak ifade edilmektedir. Buna göre, $a + b + c$ toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 392

Cevap

Esas ölçünün derece, dakika ve saniye bileşenlerinin toplamı 392'dir.

Verilen saniye cinsinden negatif açının mutlak değeri derece, dakika ve saniyeye dönüştürüldüğünde

6^\circ 30' 50''

elde edilir. Bu açının esas ölçüsünü bulmak için

360^\circ

değerinden bu açı çıkarılır.

360^\circ

açısı

359^\circ 59' 60''

biçiminde yazılarak çıkarma işlemi gerçekleştirildiğinde esas ölçü

353^\circ 29' 10''

olarak bulunur. Bileşenlerin toplamı ise

353 + 29 + 10 = 392

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Negatif açının mutlak değerini derece, dakika ve saniyeye çevirme

-23450'' = -(6^\circ 30' 50'')

Saniyeyi dereceye çevirmek için 3600'e, kalan saniyeyi dakikaya çevirmek için 60'a böleriz.

2

Açının esas ölçüsünü hesaplama

353^\circ 29' 10''

Negatif açının esas ölçüsünü bulmak için açıya

360^\circ

(veya

359^\circ 59' 60''

) ekleriz.

3

Bileşenlerin toplamını hesaplama

392

Soruda istenen

a + b + c

toplamını elde etmek için

353

,

29

ve

10

değerlerini toplarız.

Anahtar Kavram

Negatif yönlü açıların esas ölçüsü ve derece-dakika-saniye dönüşümleri

Alternatif Yöntem

Saniye cinsinden verilen

-23450''

açısının üzerine saniye cinsinden

360^\circ

değeri olan

1296000''

eklenerek doğrudan esas ölçünün saniye cinsinden değeri (

1272550''

) bulunabilir. Ardından bu değer sırasıyla 3600 ve 60 sayılarına bölünerek derece, dakika ve saniye cinsine dönüştürülür.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 130Soru →

Bir kenarı düz bir nehir kıyısı boyunca uzanan dikdörtgen biçimindeki bir bahçe, nehre dik olan iki iç bölme çiti yardımıyla üç eş dikdörtgensel bölgeye ayrılacaktır. Bahçenin nehir kıyısındaki kenarında çit kullanılmayacaktır. Bahçenin dış sınırları (nehir kıyısı hariç) ve içindeki iki bölme için toplam $160$ metre çit kullanıldığına göre, bu bahçenin toplam alanı en fazla kaç metrekare olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1600

Cevap

Bahçenin alabileceği en büyük alan 1600 metrekaredir.

Bahçenin alanı

A(x) = x(160 - 4x) = -4x^2 + 160x

parabolü ile modellenir. Bu parabol en büyük değerini tepe noktasının ordinatında alır. Tepe noktasının koordinatları

(20, 1600)

olduğundan maksimum alan 1600 metrekaredir.

Adım Adım Çözüm

1

Nehre dik olan çit parçalarının sayısını belirleme

Nehre dik toplam

4

çit parçası vardır ve her birinin uzunluğu

x

metredir. Toplam uzunlukları

4x

olur.

Bahçenin iki yan sınırı ve içini bölen iki çit de nehre diktir.

2

Nehre paralel olan kenarı

x

cinsinden ifade etme

Nehre paralel kenar

y = 160 - 4x

olarak bulunur.

Toplam kullanılan çit uzunluğu

160

metredir.

3

Alan fonksiyonunu oluşturma

Alan fonksiyonu

A(x) = -4x^2 + 160x

biçiminde ikinci dereceden bir fonksiyondur.

Dikdörtgenin alanı, dik komşu iki kenarın çarpımıdır.

4

Fonksiyonun en büyük değerini almasını sağlayan

x

değerini bulma

Tepe noktasının apsisi

r = 20

olarak bulunur.

Kolları aşağı doğru olan parabolün en büyük değeri tepe noktasındadır.

5

Maksimum alan değerini hesaplama

En büyük alan

A(20) = 1600

metrekaredir.

Bulunan tepe noktası apsisi alan fonksiyonunda yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Parabolün tepe noktası ordinatı (

k = f(r)

) yardımıyla en büyük değerinin bulunması.

Soru 131Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde, $[AD]$ doğru parçası $A$ açısının açıortayıdır. $ABD$ üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı $R_1 = \sqrt{3}$ birim, $ACD$ üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı $R_2 = 2\sqrt{3}$ birim ve $AD = 2\sqrt{3}$ birimdir. Buna g��re, $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

3

Sinüs Teoremi iki farklı alt üçgende (

ABD

ve

ACD

) uygulanarak önce üçgenin iç açıları (

B = 90^\circ

,

C = 30^\circ

ve

A = 60^\circ

) belirlenir. Ardından açıortay özelliği ve Sinüs Teoremi kullanılarak

BC

kenar uzunluğu

3\sqrt{3}

olarak hesaplanır. Son adımda, ana üçgende Sinüs Teoremi uygulanarak çevrel çemberin yarıçapı

R = 3

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

ABD

üçgeninde Sinüs Teoremi uygulanarak

B

açısı bulunur.

\sin B = 1 \implies m(\widehat{B}) = 90^\circ

ABD

üçgeninde

\frac{AD}{\sin B} = 2R_1

eşitliğinden

\sin B = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 1

elde edilir.

2

ACD

üçgeninde Sinüs Teoremi uygulanarak

C

açısı bulunur.

\sin C = \frac{1}{2} \implies m(\widehat{C}) = 30^\circ

ACD

üçgeninde

\frac{AD}{\sin C} = 2R_2

eşitliğinden

\sin C = \frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{2}

elde edilir.

B

açısı dik açı olduğundan

C

açısı dar açı olmalıd��r, dolayısıyla

m(\widehat{C}) = 30^\circ

olur.

3

ABC

üçgeninin iç açılar toplamından

A

açısı bulunur.

m(\widehat{BAC}) = 60^\circ

ABC

üçgeninde iç açılar toplamı

180^\circ

olduğundan,

m(\widehat{BAC}) = 180^\circ - (90^\circ + 30^\circ) = 60^\circ

bulunur.

4

AD

açıortay olduğundan ve Sinüs Teoremi yardımıyla

BD

ve

CD

uzunlukları bulunur.

BC = 3\sqrt{3}

birim

AD

açıortay olduğu için

m(\widehat{BAD}) = m(\widehat{CAD}) = 30^\circ

olur.

ABD

üçgeninde

\frac{BD}{\sin 30^\circ} = 2R_1 \implies BD = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3}

ve

ACD

üçgeninde

\frac{CD}{\sin 30^\circ} = 2R_2 \implies CD = 4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{3}

elde edilir. Buradan

BC = BD + CD = 3\sqrt{3}

birim bulunur.

5

ABC

üçgeninde Sinüs Teoremi uygulanarak çevrel çemberin yarıçapı

R

bulunur.

R = 3

birim

ABC

üçgeninde

\frac{BC}{\sin A} = 2R \implies \frac{3\sqrt{3}}{\sin 60^\circ} = 2R \implies \frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R \implies 6 = 2R \implies R = 3

elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir üçgende bir kenarın uzunluğunun, o kenarın karşısındaki açının sinüs değerine oranı çevrel çemberin çapına (

2R

) eşittir.

Soru 132Soru →

Analitik düzlemin birinci bölgesinde yer alan ve köşeleri; orijin $O(0,0)$ noktası, merkezil birim çember üzerindeki bir $P$ noktası ve $P$ noktasının $x$ -ekseni üzerindeki dik izdüşümü olan $H$ noktası olan bir $OPH$ dik üçgeni oluşturuluyor. Bu dik üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapı $0{}1$ birim olduğuna göre, $P$ noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1.2

Cevap

P noktasının koordinatları toplamı 1,2'dir.

Birim çember üzerindeki

P(\cos\theta, \sin\theta)

noktasından oluşturulan

OPH

dik üçgeninin kenarları

\cos\theta

,

\sin\theta

ve

1

birimdir. Dik üçgenin iç teğet çember yarıçap formülü

r = \frac{a+b-c}{2}

kullanılarak

0{}1 = \frac{\sin\theta + \cos\theta - 1}{2}

bağıntısından koordinatlar toplamı

1{}2

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

P ve H noktalarının koordinatlarını trigonometrik fonksiyonlar cinsinden ifade etme

P(\cos\theta, \sin\theta)

ve

H(\cos\theta, 0)

Birim çember üzerindeki her nokta, başlangıç doğrusuyla yaptığı

\theta

açısı cinsinden

(\cos\theta, \sin\theta)

olarak yazılır.

2

OPH dik üçgeninin kenar uzunluklarını belirleme

Dik kenarlar

\cos\theta

ve

\sin\theta

, hipotenüs

1

O(0,0)

ile

H

arasındaki uzaklık

\cos\theta

,

P

ile

H

arasındaki uzaklık

\sin\theta

ve

P

birim çember üzerinde olduğundan

OP = 1

'dir.

3

İç teğet çemberin yarıçapı ile kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi kurma

r = \frac{\sin\theta + \cos\theta - 1}{2}

Bir dik üçgende iç teğet çemberin yarıçapı, dik kenarların toplamından hipotenüsün çıkarılıp ikiye bölünmesiyle bulunur.

4

Verilen yarıçap değerini denklemde yerine yazarak çözme

\cos\theta + \sin\theta = 1{}2

0{}1 = \frac{\sin\theta + \cos\theta - 1}{2} \Rightarrow 0{}2 = \sin\theta + \cos\theta - 1 \Rightarrow \sin\theta + \cos\theta = 1{}2

elde edilir.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki noktaların koordinatlarının trigonometrik fonksiyonlarla ilişkisi ve dik üçgen geometrisi yardımıyla analizi.

Alternatif Yöntem

İç teğet çemberin yarıçapı

r = \frac{\text{Alan}}{\text{Yarıçevre}}

formülünden de bulunabilir. Alan

A = \frac{\sin\theta \cos\theta}{2}

ve yarıçevre

s = \frac{\sin\theta + \cos\theta + 1}{2}

olup,

r = \frac{\sin\theta \cos\theta}{\sin\theta + \cos\theta + 1}

yazılır.

\sin\theta + \cos\theta = u

dönüşümüyle,

\sin\theta \cos\theta = \frac{u^2 - 1}{2}

elde edilir. Formülde yerine yazıldığında

r = \frac{u^2 - 1}{2(u + 1)} = \frac{u - 1}{2}

sadeleşmesi elde edilir ve buradan

u = 1{}2

bulunur.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 133Soru →

Bir $ABC$ üçgeninin kenar uzunlukları $|AB| = 6\text{ birim}$ , $|AC| = 5\text{ birim}$ ve $|BC| = 4\text{ birim}$ dir. Buna göre, $A$ köşesindeki iç açının kosinüsü olan $\cos(\widehat{BAC})$ değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.75

Cevap

A açısının kosinüs değeri 0,75'tir.

Kosinüs teoremi doğrudan uygulandığında, açının karşısındaki kenar olan 4 birimin karesi, diğer kenarların kareleri toplamından bu kenarların çarpımının iki katının kosinüs değeriyle çarpımının çıkarılmasına eşittir. Bu denklem çözüldüğünde kosinüs değeri 0,75 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Kosinüs teoremi formülünde verilen kenar uzunluklarını yerleştirmek

4^2 = 5^2 + 6^2 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \cos(\widehat{BAC})

Açının karşısındaki kenarın karesi, komşu kenarların kareleri toplamı ile bu kenarların çarpımının iki katının aradaki açının kosinüsüyle çarpımının farkına eşittir.

2

Üslü ifadeleri hesaplamak ve denklemi sadeleştirmek

16 = 61 - 60 \cdot \cos(\widehat{BAC})

Sayısal işlemleri yaparak denklemi çözülebilir hale getirmek.

3

Bilinmeyen kosinüs ifadesini yalnız bırakmak

\cos(\widehat{BAC}) = 0,75

Denklemi çözerek

\cos(\widehat{BAC})

değerini elde etmek.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi

Soru 134Soru →

x^2 - 2x - 8 \leq 0

eşitsizliğini sağlayan

x

tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Eşitsizliği sağlayan

x

tam sayı değerlerinin toplamı

7

'dir.

İfade çarpanlarına ayrıldığında

(x-4)(x+2) \leq 0

elde edilir. Kökler

-2

ve

4

'tür. Başkatsayı pozitif olduğundan işaret tablosu en sağdan

+

ile başlar ve köklerde işaret değiştirir. İfadenin sıfırdan küçük veya eşit olduğu bölge

[-2, 4]

kapalı aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayıların toplamı

7

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Eşitsizliği oluşturan ikinci dereceden ifadenin köklerini bulun.

x^2 - 2x - 8 = 0 \implies (x - 4)(x + 2) = 0 \implies x = 4

ve

x = -2

Eşitsizliğin sınır noktalarını belirlemek ve işaret tablosunu oluşturabilmek için köklerin bulunması gerekir.

2

İşaret tablosu oluşturarak eşitsizliğin çözüm kümesini bulun.

Çözüm kümesi

[-2, 4]

kapalı aralığıdır.

İfadenin başkatsayısı (

1

) pozitif olduğundan en sağdaki aralık

+

işareti ile başlar. Her kökte işaret değiştirilir (

+

,

-

,

+

). Sıfırdan küçük veya eşit (

\leq 0

) koşulunu sağlayan aralık

[-2, 4]

kapalı aral��ğıdır.

3

Çözüm kümesindeki tam sayıların toplamını hesaplayın.

-2 + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 7

İstenen tam sayıların toplamını bulmak için aralıktaki tüm tam sayılar toplanır.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin işaret tablosu yardımıyla çözülmesi

Soru 135Soru →

\frac{(x^2 - 4x) \cdot (x - 5)^2}{(x - 2) \cdot (5 - x)} \geq 0

eşitsizliğini sağlayan tüm

x

tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Bu eşitsizliğini sağlayan tüm x tam sayılarının toplamı 5'tir.

Doğru çözüm, ifadenin çarpanlarına ayrılarak sadeleştirilmesi ve payda köklerinin (x = 2 ve x = 5) hariç tutulmasıyla

[0, 2) \cup [4, 5)

çözüm kümesinin elde edilmesidir. Bu aralıktaki tam sayılar olan 0, 1 ve 4 toplandığında 5 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Tanımsızlık yapan noktaları ve çarpanları belirleme

Payda kökleri

x = 2

ve

x = 5

olduğundan

x \neq 2

ve

x \neq 5

olmalıdır. Pay kısmı ise

x(x - 4)(x - 5)^2

şeklindedir.

Rasyonel ifadelerde paydayı sıfır yapan değerler tanımsızlığa yol açar.

2

İfadeleri sadeleştirerek eşitsizliği düzenleme

\frac{(x - 5)^2}{5 - x} = -(x - 5)

sadeleştirmesiyle yeni eşitsizlik

\frac{x(x - 4)(5 - x)}{x - 2} \geq 0

olur.

Ortak çarpanları sadeleştirerek eşitsizlik tablosunu daha kolay incelemek için.

3

Kökleri bulma ve işaret tablosunu oluşturma

Kökler

x = 0

,

x = 2

,

x = 4

,

x = 5

olup işaret tablosunda en sağdan

-

ile başlanarak sırasıyla

-, +, -, +, -

işaretleri yerleştirilir. Çözüm kümesi

[0, 2) \cup [4, 5)

olarak belirlenir.

Çarpım ve bölüm durumundaki eşitsizliklerin işaret değişimi kök noktalarında gerçekleşir.

4

Çözüm kümesindeki tam sayıları bulup toplama

Tam sayılar:

0

,

1

ve

4

. Toplam:

0 + 1 + 4 = 5

bulunur.

Soruda istenen sağlayan tüm tam sayı değerlerinin toplamını hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler

Soru 136Soru →

Düşey eksene (

y

-eksenine) göre simetrik bir grafiğe sahip olan

f

fonksiyonu için

\begin{aligned} f(4) &= 3k - 2 \\ f(-4) &= k + 6 \end{aligned}

eşitlikleri verilmiştir.

Buna göre, $f(-4)$ değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Doğru cevap 10'dur.

Düşey eksene (

y

-eksenine) göre simetriklik, fonksiyonun çift fonksiyon olduğunu gösterir. Çift fonksiyonların tanımı gereği

f(-x) = f(x)

olduğundan

f(-4) = f(4)

eşitliği yazılır. Bu eşitlikten

k + 6 = 3k - 2

elde edilir ve buradan

k = 4

bulunur.

k

değeri yerine yazıldığında

f(-4) = 4 + 6 = 10

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Düşey eksene (

y

-eksenine) göre simetrik olan fonksiyonların özelliğini belirleme.

f(-x) = f(x)

eşitliği geçerlidir, dolayısıyla

f(-4) = f(4)

olur.

Y-eksenine göre simetriklik çift fonksiyon tanımıdır.

2

f(-4)

ve

f(4)

değerlerini birbirine eşitleyerek

k

bilinmeyenini bulma.

k + 6 = 3k - 2 \implies 2k = 8 \implies k = 4

Tanım gereği iki değer birbirine eşit olmalıdır.

3

k

değerini yerine yazarak

f(-4)

değerini hesaplama.

f(-4) = 4 + 6 = 10

Soruda istenen

f(-4)

değerini elde etmek için.

Anahtar Kavram

Düşey eksene göre simetrik fonksiyonlar (çift fonksiyonlar) için

f(-x) = f(x)

eşitliği sağlanır.

Soru 137Soru →

\frac{(x - 2)^2 (x - 5)}{x + 3} \leq 0

\frac{(x + 1)^2 (x - 4)}{x - 1} \geq 0

yukarıda verilen eşitsizlik sistemini sağlayan $x$ tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Eşitsizlik sistemini sağlayan x tam sayılarının toplamı 6'dır.

Eşitsizlik sisteminin çözüm kümeleri doğru belirlenip kesişimleri alındığında, sistemi sağlayan tam sayıların

\{-2, -1, 0, 4, 5\}

olduğu görülür. Bu sayıların toplamı 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci eşitsizlik için payın kökleri

x = 2

(çift katlı) ve

x = 5

(tek katlı), paydanın kökü ise

x = -3

(tek katlı) olarak belirlenir. Eşitsizliğin başkatsayısı pozitif olduğundan işaret tablosu en sağdan

+

ile başlatılır.

Birinci eşitsizliğin çözüm kümesi

S_1 = (-3, 5]

olarak bulunur. Eşitlik durumundan dolayı payın kökleri (

2

ve

5

) çözüm kümesine dahil edilirken paydanın kökü (

-3

) tanımsızlık yarattığı için dahil edilmez.

Birinci eşitsizliği sağlayan gerçel sayı aralığını belirlemek için.

2

İkinci eşitsizlik için payın kökleri

x = -1

(çift katlı) ve

x = 4

(tek katlı), paydanın kökü ise

x = 1

(tek katlı) olarak belirlenir. Başkatsayı pozitif olduğundan tablo en sağdan

+

ile başlatılır.

İkinci eşitsizliğin çözüm kümesi

S_2 = (-\infty, 1) \cup [4, \infty)

olarak bulunur. Çift katlı kök olan

x = -1

noktasında işaret değişmez ve sıfıra eşitlik sağlandığı için çözüm kümesine dahil edilir. Paydanın kökü olan

1

ise açık bırakılır.

İkinci eşitsizliği sağlayan gerçel sayı aralığını belirlemek için.

3

Elde edilen iki çözüm kümesinin kesişimi (

S_1 \cap S_2

) alınır.

Ortak çözüm kümesi

S = (-3, 1) \cup [4, 5]

olarak elde edilir.

Eşitsizlik sisteminin her iki şartını birden sağlayan ortak bölgeyi bulmak için.

4

Bulunan ortak çözüm kümesindeki tam sayılar tespit edilerek toplanır.

Bu kümedeki tam sayılar

-2, -1, 0, 4

ve

5

olup toplamları

(-2) + (-1) + 0 + 4 + 5 = 6

bulunur.

Soru kökünde istenen toplam değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemleri

Soru 138Soru →

Analitik düzlemde, $y = x^2 - 2x + k$ parabolü ile $y = 4x + 1$ doğrusu verilmiştir. Parabolün bu doğruya en yakın noktasının koordinatları toplamı $12$ olduğuna göre, bu doğrunun parabolü kestiği noktalar arasındaki uzaklığın karesi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 272

Cevap

Doğrunun parabolü kestiği noktalar arasındaki uzaklığın karesi 272'dir.

Parabol üzerindeki bir noktanın doğruya en yakın olduğu yer, parabole çizilen teğet doğrusunun verilen doğruya paralel olduğu değme noktasıdır. Bu nokta P(3, 9) olarak bulunur ve buradan parabolün k parametresi k = 6 elde edilir. Parabol ile doğrunun ortak çözümü sonucu kesişim noktaları A(1, 5) ve B(5, 21) bulunur. İki nokta arasındaki uzaklığın karesi ise 272 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Teğet doğrusunun eğimini belirleme

Teğet doğrusunun eğimi m = 4 olmalıdır.

Parabolün doğruya en yakın noktasındaki teğet, verilen doğruya paraleldir.

2

Teğetlik şartını kullanarak c parametresini k cinsinden yazma

c = k - 9

Ortak çözüm denkleminde teğetlik için diskriminant (Δ) sıfır olmalıdır.

3

Teğet noktasının koordinatlarını k cinsinden bulma

P(3, 3 + k)

Apsisi ortak çözüm denkleminin kökünden, ordinatı ise parabol denkleminden hesaplanır.

4

Koordinatlar toplamını kullanarak k değerini bulma

k = 6 ve parabol denklemi y = x^2 - 2x + 6

Teğet noktasının koordinatları toplamı 12 olarak verilmiştir.

5

Parabol ile doğrunun kesim noktalarının apsislerini bulma

x_1 = 1 ve x_2 = 5

Parabol ve doğrunun denklemleri ortak çözülür.

6

Kesim noktalarının ordinatlarını ve koordinatlarını bulma

A(1, 5) ve B(5, 21)

Bulunan apsis değerleri doğru denkleminde yerine yazılır.

7

Noktalar arasındaki uzaklığın karesini hesaplama

272

İki nokta arasındaki uzaklık formülü uygulanır: |AB|^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2.

Anahtar Kavram

Parabol ile doğrunun birbirine göre durumları ve en yakın nokta analizi

Soru 139Soru →

a_n = \sqrt{\frac{k - n}{n - 5}}

ifadesi bir $(a_n)$ sonlu gerçel sayı dizisinin genel terimi olduğuna göre, bu dizinin terim sayısı en fazla kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Dizinin terim sayısı en fazla 4 olabilir.

Dizi tanımı gereği terimler n=1'den başlamalıdır. n=1 için kök içinin tanımlı olabilmesi k <= 1 olmasını gerektirir. k <= 1 durumunda n=1, 2, 3, 4 için terimler tanımlı olup, n=5 için payda sıfır olduğundan tanımsızlık oluşur. Dolayısıyla en fazla 4 terim tanımlanabilir.

Adım Adım Çözüm

1

Kök içi ifadenin tanımlılık koşulunu belirleme

\frac{k - n}{n - 5} \ge 0

ve

n \neq 5

olmalıdır.

Kareköklü bir ifadenin gerçel sayı belirtmesi için kök içindeki ifadenin negatif olmaması ve paydanın sıfırdan farklı olması gerekir.

2

Dizinin ilk terimi olan a_1'in tanımlı olma koşulunu inceleme

k \le 1

olmalıdır.

Dizi tanımı gereği n=1 indisinden başlamalıdır. n=1 için payda negatif olduğundan kök içinin pozitif kalabilmesi için payın da negatif ya da sıfır olması gerekir.

3

Tanımlı terimlerin indis sınırını bulma ve terim sayısını hesaplama

Dizi en fazla

\{a_1, a_2, a_3, a_4\}

terimlerinden oluşabilir, yani en fazla 4 terimlidir.

k <= 1 iken n=1, 2, 3, 4 için terimler gerçel sayıdır ancak n=5 için payda sıfır olduğundan terim tanımsızdır. Dizi indisleri kesintiye uğrayamayacağı için terim sayısı en fazla 4 olur.

Anahtar Kavram

Bir dizinin terimlerinin indis kümesi pozitif tam sayılar kümesinin bir alt kümesidir ve her n indisi için genel terim tanımlı olmalıdır.

Soru 140Soru →

\log_x(3x^2 - 4) = 3

denklemini sağlayan $x$ gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Denklemi sağlayan tek geçerli

x

gerçel sayısı 2'dir.

Verilen denklem çözüldüğünde elde edilen

x = 2

değeri, logaritmanın taban (

x > 0

,

x \neq 1

) ve argüman (

3x^2 - 4 > 0

) kurallarını eksiksiz olarak sağladığı için denklemin tek gerçel köküdür.

Adım Adım Çözüm

1

Logaritma tanım kümesi koşullarını belirleme

x > 0

,

x \neq 1

ve

3x^2 - 4 > 0

olmalıdır.

Logaritmik ifadelerde taban pozitif ve 1'den farklı, argüman ise daima pozitif olmak zorundadır.

2

Logaritmik denklemi polinom denklemine dönüştürme

x^3 = 3x^2 - 4

\log_a(b) = c \iff a^c = b

kuralı uygulanır.

3

Üçüncü dereceden polinom denklemini çarpanlarına ayırma

(x+1)(x-2)^2 = 0

x^3 - 3x^2 + 4 = 0

denkleminde

x = -1

için eşitlik sağlandığından denklem

x+1

ile tam bölünür. Bölme işlemi yapıldığında

(x+1)(x^2 - 4x + 4) = 0

elde edilir.

4

Bulunan kökleri tanım kümesi koşullarına göre test etme

x = 2

geçerli çözümdür,

x = -1

elenir.

x = -1

değeri

x > 0

taban koşulunu ihlal eder.

x = 2

ise tüm koşulları sağlar (

2 > 0

,

2 \neq 1

ve

3(2)^2 - 4 = 8 > 0

).

Anahtar Kavram

Logaritmik ve üstel denklemlerin çözümü ve logaritma fonksiyonunun tanım kümesi sınırları.

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap