Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 1621Soru →

Dik koordinat düzleminde, y=x2−(m−1)x+4y = x^2 - (m - 1)x + 4 parabolü y=x+3y = x + 3 doğrusuna teğettir. Buna göre, doğrunun parabole teğet olduğu noktanın apsisinin alabileceği farklı değerlerin çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

Doğrunun parabole teğet olduğu noktanın apsisinin alabileceği farklı değerlerin çarpımı −1-1 olur.
Ortak çözüm denkleminin diskriminantı sıfıra eşitlendiğinde m=2m = 2 veya m=−2m = -2 elde edilir. Bu mm değerlerine karşılık gelen çift katlı kökler (teğet noktalarının apsisleri) sırasıyla 11 ve −1-1 olur. Bu değerlerin çarpımı ise −1-1 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol ve doğrunun denklemlerini birbirine eşitleyerek ortak çözüm denklemini elde edin.
x2−(m−1)x+4=x+3  ⟹  x2−mx+1=0x^2 - (m - 1)x + 4 = x + 3 \implies x^2 - mx + 1 = 0
Parabol ile doğrunun kesişme veya teğet olma durumlarını incelemek için ortak çözüm yapılması gerekir.
2
Parabol ile doğru birbirine teğet olduğundan ortak çözüm denkleminin diskriminantını sıfıra eşitleyin.
Δ=(−m)2−4⋅1⋅1=0  ⟹  m2−4=0  ⟹  m=2 veya m=−2\Delta = (-m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 0 \implies m^2 - 4 = 0 \implies m = 2 \text{ veya } m = -2
Bir doğru bir parabole teğet ise, ortak çözüm denkleminin tek bir kökü (çift katl�� kök) olmalıdır, bu da diskriminantın sıfır olmasını gerektirir.
3
Her bir mm değeri için teğet noktasının apsisini bulun. İkinci dereceden ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 denkleminde Δ=0\Delta = 0 ise çift katlı kök (apsis) x=−b2ax = -\frac{b}{2a} formülüyle bulunur.
x=m2x = \frac{m}{2} olur. Buradan, m=2m = 2 için x1=1x_1 = 1 ve m=−2m = -2 için x2=−1x_2 = -1 elde edilir.
Teğet noktasının apsis değerlerini belirlemek için bulduğumuz parametre değerlerini kök formülünde yerine koymalıyız.
4
Elde edilen teğet noktalarının apsis değerlerini çarpın.
x1⋅x2=1⋅(−1)=−1x_1 \cdot x_2 = 1 \cdot (-1) = -1
Soru bizden teğet noktalarının apsislerinin alabileceği farklı değerlerin çarpımını istemektedir.

Anahtar Kavram

Parabol ile doğrunun teğet olması durumunda ortak çözüm denkleminin diskriminantı sıfırdır (\Delta = 0) ve teğet noktasının apsisi bu denklemin çift katlı köküdür.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1622Soru →
x∈(π4,π2)x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
a=cos⁡x−sin⁡xa = \cos x - \sin x
b=tan⁡x−cot⁡xb = \tan x - \cot x
c=sec⁡x−csc⁡xc = \sec x - \csc x

olduğuna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a<c<ba < c < b

Cevap

Doğru sıralama a<c<ba < c < b şeklindedir.
Verilen aralıkta sinüs kosinüsten büyük olduğu için a=cos⁡x−sin⁡xa = \cos x - \sin x negatif bir değer alır. Sekant ve kosekant farkı olan c=sec⁡x−csc⁡xc = \sec x - \csc x ile tanjant ve kotanjant farkı olan b=tan⁡x−cot⁡xb = \tan x - \cot x ifadeleri ise pozitif değerler üretir. Bu iki pozitif değer rasyonel biçimde yazılıp birbirine oranlandığında, b=c(sin⁡x+cos⁡x)b = c(\sin x + \cos x) eşitliği elde edilir. Bu aralıkta sin⁡x+cos⁡x>1\sin x + \cos x > 1 olduğundan, pozitif bir sayı olan cc değeri, 1'den büyük bir katsayı ile çarpılarak daha büyük olan bb değerine ulaşır. Dolayısıyla en doğru sıralama a<c<ba < c < b şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
Aralıktaki temel trigonometrik fonksiyonların ilişkilerini belirleme
x∈(π4,π2)x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) aralığında sinüs değeri kosinüs değerinden büyüktür: sin⁡x>cos⁡x>0\sin x > \cos x > 0. Benzer şekilde tanjant değeri 1'den büyük, kotanjant değeri ise 1'den küçüktür: tan⁡x>1>cot⁡x>0\tan x > 1 > \cot x > 0.
Değişkenlerin işaretlerini ve bağıl büyüklüklerini analiz etmek için referans noktaları oluşturulur.
2
aa, bb ve cc değerlerinin işaretlerini tespit etme
sin⁡x>cos⁡x  ⟹  a=cos⁡x−sin⁡x<0\sin x > \cos x \implies a = \cos x - \sin x < 0 (negatif)
tan⁡x>cot⁡x  ⟹  b=tan⁡x−cot⁡x>0\tan x > \cot x \implies b = \tan x - \cot x > 0 (pozitif)
sec⁡x=1cos⁡x\sec x = \frac{1}{\cos x} ve csc⁡x=1sin⁡x\csc x = \frac{1}{\sin x} ifadelerinde sin⁡x>cos⁡x>0  ⟹  1cos⁡x>1sin⁡x  ⟹  sec⁡x>csc⁡x  ⟹  c=sec⁡x−csc⁡x>0\sin x > \cos x > 0 \implies \frac{1}{\cos x} > \frac{1}{\sin x} \implies \sec x > \csc x \implies c = \sec x - \csc x > 0 (pozitif)
Negatif olan terimi belirleyerek sıralamanın en küçük elemanını saptamak amaçlanır.
3
Pozitif olan bb ve cc ifadelerini cebirsel özdeşlikler yardımıyla karşılaştırma
b=tan⁡x−cot⁡x=sin⁡xcos⁡x−cos⁡xsin⁡x=sin⁡2x−cos⁡2xsin⁡xcos⁡xb = \tan x - \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cos x}
c=sec⁡x−csc⁡x=1cos⁡x−1sin⁡x=sin⁡x−cos⁡xsin⁡xcos⁡xc = \sec x - \csc x = \frac{1}{\cos x} - \frac{1}{\sin x} = \frac{\sin x - \cos x}{\sin x \cos x}

bb ifadesinin payındaki iki kare farkı açılırsa:
b=(sin⁡x−cos⁡x)(sin⁡x+cos⁡x)sin⁡xcos⁡x=c⋅(sin⁡x+cos⁡x)b = \frac{(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x)}{\sin x \cos x} = c \cdot (\sin x + \cos x) elde edilir.

x∈(π4,π2)x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) aralığında sin⁡x>22\sin x > \frac{\sqrt{2}}{2} ve cos⁡x>0\cos x > 0 olduğundan sin⁡x+cos⁡x>1\sin x + \cos x > 1 olur. c>0c > 0 olduğuna göre, b=c⋅(1’den bu¨yu¨k bir sayı)  ⟹  b>cb = c \cdot (\text{1'den büyük bir sayı}) \implies b > c bulunur.
Ortak paydalı rasyonel ifadeleri sadeleştirip karşılaştırmak için özdeşliklerden faydalanılır.
4
Bulunan tüm eşitsizlikleri birleştirerek sıralamayı tamamlama
a<0a < 0, c>0c > 0, b>0b > 0 ve b>cb > c olduğundan a<c<ba < c < b sıralaması elde edilir.
Elde edilen tüm bölgesel ve cebirsel sonuçlar birleştirilerek nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik ifadelerin bölgelere göre sıralanması ve temel trigonometrik özdeşliklerin cebirsel analizde kullanılması

Alternatif Yöntem

Alternatif bir yöntem olarak, verilen aralıkta bulunan özel bir açı seçilerek sıralama yapılabilir. Örneğin, x=60∘x = 60^\circ (π3\frac{\pi}{3} radyan) seçilsin:

sin⁡60∘=32≈0.87\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.87
cos⁡60∘=0.5\cos 60^\circ = 0.5
tan⁡60∘=3≈1.73\tan 60^\circ = \sqrt{3} \approx 1.73
cot⁡60∘=33≈0.58\cot 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.58
sec⁡60∘=2\sec 60^\circ = 2
csc⁡60∘=233≈1.15\csc 60^\circ = \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1.15

Bu değerler yerine yazıldığında:
a=0.5−0.87=−0.37a = 0.5 - 0.87 = -0.37
b=1.73−0.58=1.15b = 1.73 - 0.58 = 1.15
c=2−1.15=0.85c = 2 - 1.15 = 0.85

Değerler kıyaslandığında −0.37<0.85<1.15  ⟹  a<c<b-0.37 < 0.85 < 1.15 \implies a < c < b sıralamasına doğrudan ulaşılır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 1623Soru →
arcsin⁡(x)=arccot(23x)\arcsin(x) = \text{arccot}(2\sqrt{3}x)

denklemini sağlayan xx gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12\frac{1}{2}

Cevap

Bir bölü iki
Denklemi sağlayan değer bulunurken, ters trigonometrik fonksiyonların değer aralıkları (arcsin için [−π/2,π/2][-\pi/2, \pi/2] ve arccot için (0,π)(0, \pi)) dikkate alınmalıdır. Eşitliğin sağlanabilmesi için ortak değer aralığından dolayı her iki taraf da pozitif bir açıya eşit olmalıdır. Bu durum x>0x > 0 olmasını gerektirir. Trigonometrik özdeşlikler kullanılarak elde edilen 12x4+x2−1=012x^4 + x^2 - 1 = 0 denkleminden x2=1/4x^2 = 1/4 bulunur. x>0x > 0 koşulunu sağlayan tek kök bir bölü iki değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemin her iki tarafını bir θ\theta açısına eşitleyip ters trigonometrik fonksiyonların değer kümelerini incelemek.
θ=arcsin⁡(x)=arccot(23x)\theta = \arcsin(x) = \text{arccot}(2\sqrt{3}x)

Burada arcsin⁡(x)∈[−π/2,π/2]\arcsin(x) \in [-\pi/2, \pi/2] ve arccot(23x)∈(0,π)\text{arccot}(2\sqrt{3}x) \in (0, \pi) olduğundan, eşitliğin sağlanması için ortak değer aralığı θ∈(0,π/2]\theta \in (0, \pi/2] olmalıdır. Bu durum sin⁡(θ)=x>0\sin(\theta) = x > 0 olmasını gerektirir.
Ters trigonometrik fonksiyonların tanımlı oldukları değer aralıkları, bulunacak köklerin işaretini ve geçerliliğini belirler.
2
Trigonometrik tanımları kullanarak cos⁡(θ)\cos(\theta) ifadesini xx cinsinden yazmak.
sin⁡(θ)=x\sin(\theta) = x

cot⁡(θ)=23x\cot(\theta) = 2\sqrt{3}x

cos⁡(θ)=cot⁡(θ)⋅sin⁡(θ)=(23x)⋅x=23x2\cos(\theta) = \cot(\theta) \cdot \sin(\theta) = (2\sqrt{3}x) \cdot x = 2\sqrt{3}x^2
Temel trigonometrik özdeşliklerden yararlanarak tüm ifadeleri tek bir değişken cinsinden ifade etmek.
3
sin⁡2(θ)+cos⁡2(θ)=1\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 temel kimliğini uygulamak ve xx değişkenine bağlı denklemi elde etmek.
x2+(23x2)2=1x^2 + (2\sqrt{3}x^2)^2 = 1

12x4+x2−1=012x^4 + x^2 - 1 = 0
Sinüs ve kosinüs arasındaki temel Pisagor özdeşliğini kullanarak cebirsel bir denklem kurmak.
4
t=x2t = x^2 dönüşümü yaparak elde edilen ikinci dereceden denklemi çözmek.
12t2+t−1=0  ⟹  (4t−1)(3t+1)=012t^2 + t - 1 = 0 \implies (4t - 1)(3t + 1) = 0

Burada t≥0t \ge 0 olması gerektiğinden t=14t = \frac{1}{4} bulunur. Buradan x2=14x^2 = \frac{1}{4} elde edilir.
Dördüncü dereceden bir denklemi, değişken değiştirme yöntemiyle ikinci dereceden denkleme indirgeyerek çarpanlarına ayırmak.
5
x2=14x^2 = \frac{1}{4} denkleminin köklerini bulmak ve tanım aralığına uygun olan kökü seçmek.
x=12x = \frac{1}{2} veya x=−12x = -\frac{1}{2}

İlk adımda belirlenen x>0x > 0 koşulu nedeniyle yalnızca x=12x = \frac{1}{2} değeri çözümdür.
Bulunan cebirsel köklerin, başlangıçtaki ters trigonometrik fonksiyon tanım ve değer aralıklarına uygunluğunu denetlemek.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonların tanım ve değer kümeleri ile temel trigonometrik özdeşlikler arasındaki ilişki.
Soru 1624Soru →
log⁡35=x\log_{3} 5 = x oldu��una göre, log⁡2515\log_{25} 15 ifadesinin xx türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x+12x\frac{x+1}{2x}

Cevap

İfadenin xx türünden eşiti x+12x\frac{x+1}{2x} olarak bulunur.
Doğru cevaba ulaşmak için log⁡2515\log_{25} 15 ifadesi taban değiştirme kuralı yardımıyla 3 tabanına çevrilir. Elde edilen log⁡315log⁡325\frac{\log_3 15}{\log_3 25} ifadesinin pay kısmı log⁡3(3⋅5)=1+log⁡35=1+x\log_3 (3 \cdot 5) = 1 + \log_3 5 = 1 + x olarak, payda kısmı ise log⁡3(52)=2log⁡35=2x\log_3 (5^2) = 2 \log_3 5 = 2x olarak bulunur. Bu değerler oranlandığında doğru sonuç elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeyi, elimizdeki tabana uygun şekilde 3 tabanında yazmak için taban değiştirme kuralı uygulanır.
log⁡2515=log⁡315log⁡325\log_{25} 15 = \frac{\log_3 15}{\log_3 25}
Soruda log⁡35\log_3 5 ifadesinin değeri verildiği için çözümü 3 tabanına indirgemek kolaylık sağlar.
2
Pay kısmındaki log⁡315\log_3 15 ifadesi, 15=3⋅515 = 3 \cdot 5 çarpımı kullanılarak toplam durumuna getirilir.
log⁡315=log⁡3(3⋅5)=log⁡33+log⁡35=1+x\log_3 15 = \log_3(3 \cdot 5) = \log_3 3 + \log_3 5 = 1 + x
Logaritmanın içindeki çarpım işlemi, logaritmaların toplamı olarak yazılabilir.
3
Payda kısmındaki log⁡325\log_3 25 ifadesi, 25=5225 = 5^2 kuvveti kullanılarak düzenlenir.
log⁡325=log⁡3(52)=2log⁡35=2x\log_3 25 = \log_3(5^2) = 2 \log_3 5 = 2x
Logaritmanın içindeki ifadenin üssü, logaritmanın başına katsayı olarak çarpım durumunda geçer.
4
Elde edilen pay ve payda değerleri taban değiştirme formülünde yerine yazılır.
log⁡2515=log⁡315log⁡325=x+12x\log_{25} 15 = \frac{\log_3 15}{\log_3 25} = \frac{x+1}{2x}
İfadenin en sade ve xx cinsinden nihai biçimine ulaşmak için parçalar birleştirilir.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Taban Değiştirme ve Çarpım/Kuvvet Özellikleri
Soru 1625Soru →
a=cos⁡(190∘)a = \cos(190^\circ)
b=sin⁡(290∘)b = \sin(290^\circ)
c=tan⁡(200∘)c = \tan(200^\circ)

olduğuna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a<b<ca < b < c

Cevap

Doğru sıralama a<b<ca < b < c şeklindedir.
Üçüncü bölgede yer alan c=tan⁡(200∘)c = \tan(200^\circ) ifadesinin değeri pozitiftir (c>0c > 0). Negatif olan aa ve bb ifadeleri dar açıya indirgendiğinde a=−cos⁡(10∘)a = -\cos(10^\circ) ve b=−cos⁡(20∘)b = -\cos(20^\circ) olur. Birinci bölgede cos⁡(10∘)>cos⁡(20∘)\cos(10^\circ) > \cos(20^\circ) olduğundan, negatif işaretler eklendiğinde −cos⁡(10∘)<−cos⁡(20∘)-\cos(10^\circ) < -\cos(20^\circ) olur. Bu durumda a<ba < b elde edilir. Pozitif olan cc değeri en büyük olduğundan doğru sıralama a<b<ca < b < c şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
Açıların bulundukları bölgeleri ve fonksiyonların bu bölgelerdeki işaretlerini belirleyelim.
190∘190^\circ açısı III. bölgede olduğundan a=cos⁡(190∘)<0a = \cos(190^\circ) < 0 (negatif) olur.
290∘290^\circ açısı IV. bölgede olduğundan b=sin⁡(290∘)<0b = \sin(290^\circ) < 0 (negatif) olur.
200∘200^\circ açısı III. bölgede olduğundan c=tan⁡(200∘)>0c = \tan(200^\circ) > 0 (pozitif) olur.
Sıralama yaparken ilk olarak değerlerin işaretlerini belirlemek, pozitif ve negatif grupları ayırmamızı sağlar.
2
Negatif olan aa ve bb değerlerini kıyaslayabilmek için birinci bölgeye indirgeyelim.
a=cos⁡(190∘)=cos⁡(180∘+10∘)=−cos⁡(10∘)a = \cos(190^\circ) = \cos(180^\circ + 10^\circ) = -\cos(10^\circ)
b=sin⁡(290∘)=sin⁡(270∘+20∘)=−cos⁡(20∘)b = \sin(290^\circ) = \sin(270^\circ + 20^\circ) = -\cos(20^\circ) olur.
Farklı bölgelerdeki negatif değerleri karşılaştırmak için onları aynı türden dar açıların negatifleri olarak ifade etmemiz gerekir.
3
Birinci bölgede kosinüs fonksiyonunun azalan olduğunu kullanarak aa ve bb değerlerini karşılaştıralım.
0∘<10∘<20∘<90∘0^\circ < 10^\circ < 20^\circ < 90^\circ olduğundan cos⁡(10∘)>cos⁡(20∘)>0\cos(10^\circ) > \cos(20^\circ) > 0 olur.
Eşitsizliği −1-1 ile çarptığımızda eşitsizlik yön değiştirir: −cos⁡(10∘)<−cos⁡(20∘)-\cos(10^\circ) < -\cos(20^\circ) yani a<ba < b elde edilir.
Kosinüs fonksiyonu birinci bölgede açı büyüdükçe küçülen (azalan) bir fonksiyondur. Negatif sayılarda ise mutlak değerce büyük olan sayı daha küçüktür.
4
Elde edilen tüm karşılaştırmaları birleştirerek nihai sıralamayı yazalım.
a<b<0a < b < 0 ve c>0c > 0 olduğundan, doğru sıralama a<b<ca < b < c olur.
Negatif sayılar her zaman pozitif sayılardan küçüktür.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaretleri ve dar açıya indirgenerek sıralanması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1626Soru →

Bir ABCABC üçgeninde, AA köşesinden [BC][BC] kenarına çizilen [AD][AD] doğru parçası [BC][BC] kenarını DD noktasında kesmektedir.

m(BAD^)=30∘m(\widehat{BAD}) = 30^\circ
m(DAC^)=60∘m(\widehat{DAC}) = 60^\circ

ABDABD ve ADCADC üçgenlerinin çevrel çemberlerinin yarıçapları sırasıyla R1R_1 ve R2R_2 birimdir.

R1R2=23\frac{R_1}{R_2} = 2\sqrt{3}

olduğuna göre, ∣BD∣∣CD∣\frac{|BD|}{|CD|} oranı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İstenen oran 2'dir.
Sinüs Teoremi gereği, her iki üçgende de taban uzunlukları karşısındaki açıların sinüsleri ve çevrel çember yarıçapları ile ifade edilir: ∣BD∣=2R1sin⁡30∘|BD| = 2R_1 \sin 30^\circ ve ∣CD∣=2R2sin⁡60∘|CD| = 2R_2 \sin 60^\circ. Bu ifadeler oranlandığında ∣BD∣∣CD∣=R1R2⋅sin⁡30∘sin⁡60∘\frac{|BD|}{|CD|} = \frac{R_1}{R_2} \cdot \frac{\sin 30^\circ}{\sin 60^\circ} elde edilir. Verilen R1R2=23\frac{R_1}{R_2} = 2\sqrt{3} oranı ile sin⁡30∘=12\sin 30^\circ = \frac{1}{2} ve sin⁡60∘=32\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} değerleri yerine yazıldığında aranan oran 2 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
ABD üçgeninde Sinüs Teoremi'ni çevrel çember yarıçapı cinsinden yazma
∣BD∣=2R1sin⁡30∘|BD| = 2R_1 \sin 30^\circ
Bir üçgende bir kenar uzunluğunun, o kenarın karşısındaki açının sinüs değerine oranı, o üçgenin çevrel çemberinin çapına eşittir.
2
ADC üçgeninde Sinüs Teoremi'ni çevrel çember yarıçapı cinsinden yazma
∣CD∣=2R2sin⁡60∘|CD| = 2R_2 \sin 60^\circ
Aynı Sinüs Teoremi bağıntısını ADC üçgeni için de kurarak [CD][CD] kenarı ile karşısındaki açıyı ilişkilendirmek.
3
Elde edilen denklemleri oranlayarak ∣BD∣/∣CD∣|BD|/|CD| oranını oluşturma
∣BD∣∣CD∣=R1R2⋅sin⁡30∘sin⁡60∘\frac{|BD|}{|CD|} = \frac{R_1}{R_2} \cdot \frac{\sin 30^\circ}{\sin 60^\circ}
Ortak terimleri sadeleştirmek ve verilen R1/R2R_1/R_2 yarıçap oranını kullanabilmek amacıyla denklemleri birbirine oranlamak.
4
Değerleri yerine yerleştirip sonucu hesaplama
∣BD∣∣CD∣=2\frac{|BD|}{|CD|} = 2
sin⁡30∘=1/2\sin 30^\circ = 1/2, sin⁡60∘=3/2\sin 60^\circ = \sqrt{3}/2 ve R1R2=23\frac{R_1}{R_2} = 2\sqrt{3} değerlerini yerleştirerek cebirsel sadeleştirme yapmak.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi ve çevrel çember yarıçapı (RR) ilişkisi: asin⁡A=2R\frac{a}{\sin A} = 2R
Soru 1627Soru →
log⁡2(x+2)+log⁡2(x−1)=2\log_2(x + 2) + \log_2(x - 1) = 2 denkleminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: \{2\}

Cevap

Denklemin gerçel sayılardaki çözüm kümesi yalnızca 2 elemanından oluşan \{2\} kümesidir.
Doğru seçenekte verilen küme yalnızca 2 elemanını içerir. Denklemi çözerken logaritma özelliklerinden (x+2)(x−1)=4  ⟹  x2+x−6=0(x+2)(x-1) = 4 \implies x^2 + x - 6 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri x=−3x = -3 ve x=2x = 2 bulunur. Logaritmanın tanım kümesi gereği iç kısımlar pozitif olmalıdır. x=−3x = -3 için logaritmaların içi negatif olduğundan bu kök alınamaz, sadece x=2x = 2 kökü geçerlidir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonlarının tanımlı olabilmesi için gerekli koşulları (tanım kümesini) belirleyin.
x+2>0  ⟹  x>−2x + 2 > 0 \implies x > -2 ve x−1>0  ⟹  x>1x - 1 > 0 \implies x > 1 olup, ortak tanım kümesi x>1x > 1 olarak bulunur.
Logaritmanın tanım kümesi gereği taban ve argüman pozitif olmalıdır.
2
Logaritmanın toplama özelliğini (log⁡a(b)+log⁡a(c)=log⁡a(b⋅c)\log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(b \cdot c)) kullanarak sol tarafı tek bir logaritma altında birleştirin.
log⁡2((x+2)(x−1))=2\log_2((x + 2)(x - 1)) = 2
Aynı tabandaki iki logaritmanın toplamı, içlerinin çarpımının logaritmasına eşittir.
3
Logaritma tanımını kullanarak denklemi ikinci dereceden bir denkleme dönüştürün ve ��özün.
(x+2)(x−1)=22  ⟹  x2+x−2=4  ⟹  x2+x−6=0  ⟹  (x+3)(x−2)=0(x + 2)(x - 1) = 2^2 \implies x^2 + x - 2 = 4 \implies x^2 + x - 6 = 0 \implies (x + 3)(x - 2) = 0 Buradan kökler x=−3x = -3 ve x=2x = 2 elde edilir.
log⁡a(y)=b  ⟹  y=ab\log_a(y) = b \implies y = a^b özelliğinden yararlanarak logaritmayı kaldırıp cebirsel denklemi çözmek gerekir.
4
Elde edilen köklerin tanım kümesini sağlayıp sağlamadığını kontrol edin.
x=−3x = -3 değeri x>1x > 1 koşulunu sağlamaz (tanımsızlık yaratır). x=2x = 2 değeri ise x>1x > 1 koşulunu sağlar. Dolayısıyla çözüm kümesi {2}\{2\} olur.
Bulunan köklerin orijinal denklemde tanımlı olup olmadığını denetlemek zorunludur.

Anahtar Kavram

Logaritmik denklemlerin çözümünde logaritma özelliklerinin kullanılması ve bulunan köklerin tanım kümesi sınırlarına göre kontrol edilmesi.
Soru 1628Soru →
log⁡x−2(2x2−12x+19)+2log⁡2x2−12x+19(x−2)=3\log_{x-2}(2x^2 - 12x + 19) + 2\log_{2x^2 - 12x + 19}(x-2) = 3 denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 172\frac{17}{2}

Cevap

Denklemi sağlayan geçerli köklerin toplamı 17/2 olur.
Denklemin doğru çözümü için değişken değiştirme yöntemi uygulanarak iki farklı durum elde edilir. Bu durumlardan elde edilen x=3x = 3 değeri logaritmanın tabanını 1 yaptığı için elenirken, geçerli olan x=72x = \frac{7}{2} ve x=5x = 5 köklerinin toplamı 172\frac{17}{2} sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme tanımlamak
u=log⁡x−2(2x2−12x+19)u = \log_{x-2}(2x^2 - 12x + 19) seçilirse, taban değiştirme kuralı gereği log⁡2x2−12x+19(x−2)=1u\log_{2x^2 - 12x + 19}(x-2) = \frac{1}{u} elde edilir.
Denklemi çözebilmek amacıyla tek bir bilinmeyenli rasyonel bir denklem kurmak.
2
Oluşan u değişkenli denklemi çözmek
u+2u=3⇒u2−3u+2=0⇒(u−1)(u−2)=0u + \frac{2}{u} = 3 \Rightarrow u^2 - 3u + 2 = 0 \Rightarrow (u-1)(u-2) = 0 olup, buradan u=1u = 1 veya u=2u = 2 bulunur.
Dönüşüm sonucunda elde edilen ikinci dereceden denklemin köklerini tespit etmek.
3
Her iki durum için x değerlerini belirlemek
u=1⇒2x2−12x+19=x−2⇒2x2−13x+21=0⇒(2x−7)(x−3)=0⇒x=72u = 1 \Rightarrow 2x^2 - 12x + 19 = x - 2 \Rightarrow 2x^2 - 13x + 21 = 0 \Rightarrow (2x-7)(x-3) = 0 \Rightarrow x = \frac{7}{2} veya x=3x = 3 bulunur. u=2⇒2x2−12x+19=(x−2)2⇒x2−8x+15=0⇒(x−5)(x−3)=0⇒x=5u = 2 \Rightarrow 2x^2 - 12x + 19 = (x-2)^2 \Rightarrow x^2 - 8x + 15 = 0 \Rightarrow (x-5)(x-3) = 0 \Rightarrow x = 5 veya x=3x = 3 bulunur.
Orijinal bilinmeyen olan xx değişkeninin alabileceği değerleri bulmak.
4
Köklerin logaritma tanım kümesine uygunluğunu kontrol etmek
Taban x−2x-2 ifadesinin tanımı gereği x−2>0x-2 > 0 ve x−2≠1⇒x>2x-2 \neq 1 \Rightarrow x > 2 ve x≠3x \neq 3 olmalıdır. Benzer şekilde, 2x2−12x+19>02x^2 - 12x + 19 > 0 ve 2x2−12x+19≠12x^2 - 12x + 19 \neq 1 olmalıdır. Bu şartlara göre x=3x = 3 değeri tabanı 1 yaptığı için elenir. x=72x = \frac{7}{2} ve x=5x = 5 değerleri ise tüm şartları sağlar.
Logaritma tanım kümesini ihlal eden sahte kökleri elemek.
5
Geçerli köklerin toplamını hesaplamak
72+5=172\frac{7}{2} + 5 = \frac{17}{2} bulunur.
Soruda istenen kökler toplamı değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Logaritmik denklemlerin değişken değiştirme yöntemiyle çözülmesi ve logaritmanın tanım kümesi kurallarına göre kök kontrolü.
Soru 1629Soru →
Bir xx gerçel sayısı için,
(x−3)2(x+1)x−5≤0\frac{(x - 3)^2(x + 1)}{x - 5} \le 0
x2−7x+6≤0x^2 - 7x + 6 \le 0
eşitsizliklerinin her ikisini de sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Eşitsizlik sistemini sağlayan tam sayıların toplamı 10'dur.
Sistemi oluşturan birinci eşitsizliğin çözüm kümesi [−1,5)[-1, 5) ve ikinci eşitsizliğin çözüm kümesi [1,6][1, 6] aralıklarıdır. Bu iki aralığın kesişimi [1,5)[1, 5) olup, bu aralıktaki tam sayıların (1,2,3,41, 2, 3, 4) toplamı 10 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizliğin çözüm aralığını bulma.
Birinci eşitsizliğin çözüm kümesi [−1,5)[-1, 5) aralığıdır.
Payın köklerinden x=3x = 3 çift katlı köktür ve paydanın kökü olan x=5x = 5 tanımsızlık oluşturduğu için çözüm kümesine dahil edilemez.
2
İkinci eşitsizliğin çözüm aralığını bulma.
İkinci eşitsizliğin çözüm kümesi [1,6][1, 6] aralığıdır.
x2−7x+6≤0x^2 - 7x + 6 \le 0 ifadesi (x−6)(x−1)≤0(x - 6)(x - 1) \le 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır ve kökler yardımıyla çözüm aralığı elde edilir.
3
Çözüm kümelerinin kesişimini alma.
Eşitsizlik sisteminin ortak çözüm kümesi [1,5)[1, 5) aralığıdır.
Sistemin her iki eşitsizliği de sağlaması için iki çözüm kümesinin kesişimi ([−1,5)∩[1,6][-1, 5) \cap [1, 6]) alınmalıdır.
4
Ortak aralıktaki tam sayıların toplamını hesaplama.
Tam sayıların toplamı 10'dur.
[1,5)[1, 5) aralığındaki tam sayılar 1,2,3,41, 2, 3, 4 olup, bu sayıların toplamı 1+2+3+4=101 + 2 + 3 + 4 = 10 olur.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik sistemlerinin ortak çözüm kümesini bulma, çift katlı kök ve payda köklerinin analizi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1630Soru →
log⁡x4+log⁡2x=3\log_x 4 + \log_2 x = 3

denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının çarpımı 8'dir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Doğru (Köklerin çarpımı 8'dir)
Verilen denklem taban değiştirme ve değişken değiştirme yöntemleriyle çözüldüğünde kökler x=2x = 2 ve x=4x = 4 olarak bulunur. Her iki değer de logaritmanın tanım kümesi şartlarını sağladığından denklemin çözüm kümesi {2,4}\{2, 4\} olur. Bu köklerin çarpımı 2⋅4=82 \cdot 4 = 8 olduğundan, ifadenin doğru olduğu bilgisi doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemdeki logaritma terimlerinin tabanlarını eşitlemek için taban değiştirme özelliği uygulanır.
log⁡x4=log⁡24log⁡2x=2log⁡2x\log_x 4 = \frac{\log_2 4}{\log_2 x} = \frac{2}{\log_2 x} elde edilir.
Farklı tabanlardaki logaritmik ifadeleri ortak bir tabana indirgeyerek denklem çözümünü kolaylaştırmak gerekir.
2
log⁡2x=t\log_2 x = t dönüşümü yapılarak denklem tek değişkene bağlı rasyonel bir denklem haline getirilir.
2t+t=3  ⟹  t2−3t+2=0\frac{2}{t} + t = 3 \implies t^2 - 3t + 2 = 0 denklemi elde edilir.
Değişken de��iştirme yöntemiyle logaritmik denklemi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem formuna dönüştürmek amaçlanır.
3
Elde edilen ikinci dereceden denklem çarpanlarına ayrılarak tt değerleri bulunur.
(t−1)(t−2)=0  ⟹  t1=1 ve t2=2(t-1)(t-2) = 0 \implies t_1 = 1 \text{ ve } t_2 = 2 olarak bulunur.
İkinci dereceden denklemin köklerini saptamak için çarpanlara ayırma yöntemi uygulanır.
4
Bulunan tt değerleri kullanılarak orijinal xx değişkeninin değerleri (x1x_1 ve x2x_2) hesaplanır ve tanımlılık kontrolü yapılır.
log⁡2x=1  ⟹  x1=21=2\log_2 x = 1 \implies x_1 = 2^1 = 2 ve log⁡2x=2  ⟹  x2=22=4\log_2 x = 2 \implies x_2 = 2^2 = 4 bulunur. Her iki değer de logaritmanın tanım kümesi şartlarını (x>0x > 0 ve x≠1x \neq 1) sağladığından çözüm kümesi {2,4}\{2, 4\}'tür.
Bulunan yardımcı değişkenlerin orijinal değişkene geri dönüştürülmesi ve bu değerlerin logaritma fonksiyonunun tanım kümesine uygunluğunun denetlenmesi gerekir.
5
Köklerin çarpımı hesaplanır.
x1⋅x2=2⋅4=8x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot 4 = 8 bulunur.
Soruda verilen ifadenin doğruluğunu kontrol etmek amacıyla köklerin çarpım değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

Logaritmik Denklemler ve Değişken Değiştirme Yöntemi
Soru 1631Soru →
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere,
cos⁡(4x)=0,2\cos(4x) = 0,2
olduğuna göre, sin⁡4x+cos⁡4x\sin^4 x + \cos^4 x ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.8

Cevap

İfadenin değeri 0,8 olarak bulunur.
İstenen sin⁡4x+cos⁡4x\sin^4 x + \cos^4 x ifadesi, (sin⁡2x+cos⁡2x)2−2sin⁡2xcos⁡2x(\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x şeklinde yazılıp düzenlendiğinde 1−12sin⁡2(2x)1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x) ifadesine eşit olur. Diğer taraftan, cos⁡(4x)=1−2sin⁡2(2x)\cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x) yarım açı formülünden yararlanarak cos⁡(4x)=0,2\cos(4x) = 0,2 değeri yerine yazıldığında sin⁡2(2x)=0,4\sin^2(2x) = 0,4 elde edilir. Bu değer ilk eşitlikte yerine yazıldığında sonuç 1−0,2=0,81 - 0,2 = 0,8 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
sin⁡4x+cos⁡4x\sin^4 x + \cos^4 x ifadesini, bilinen trigonometrik özdeşlikleri kullanabilmek amacıyla sin⁡2(2x)\sin^2(2x) cinsinden ifade edin.
sin⁡4x+cos⁡4x=1−12sin⁡2(2x)\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)
sin⁡4x+cos⁡4x=(sin⁡2x+cos⁡2x)2−2sin⁡2xcos⁡2x\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x özdeşliğinde sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 ve sin⁡xcos⁡x=sin⁡(2x)2\sin x \cos x = \frac{\sin(2x)}{2} eşitliklerini yerine yazmak için.
2
Verilen cos⁡(4x)=0,2\cos(4x) = 0,2 eşitliğini, cos⁡(2θ)=1−2sin⁡2θ\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2\theta yarım açı formülünü kullanarak sin⁡2(2x)\sin^2(2x) cinsinden açın ve çözün.
sin⁡2(2x)=0,4\sin^2(2x) = 0,4
0,2=1−2sin⁡2(2x)  ⟹  2sin⁡2(2x)=0,8  ⟹  sin⁡2(2x)=0,40,2 = 1 - 2\sin^2(2x) \implies 2\sin^2(2x) = 0,8 \implies \sin^2(2x) = 0,4 elde edilerek ilk adımda ihtiyaç duyulan terimi bulmak için.
3
Elde edilen sin⁡2(2x)=0,4\sin^2(2x) = 0,4 değerini, birinci adımda basitleştirdiğimiz ifadede yerine yazıp sonucu hesaplayın.
0,80,8
İstenen ifadenin sayısal değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Yarım Açı Formülleri ve Trigonometrik Özdeşlikler
Soru 1632Soru →
(log⁡x(12−x)−1)⋅log⁡12−x(x4)=2log⁡x(12−x)−2(\log_x(12-x) - 1) \cdot \log_{12-x}(x^4) = 2\log_x(12-x) - 2

denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

9
Denklemi çözmek için öncelikle logaritma taban değiştirme özelliği kullanılarak değişken değiştirme yapılır. log_x(12-x) ifadesine t denildiğinde, diğer logaritmik ifade 4/t olur. Denklem ortak çarpan parantezine alınarak çözüldüğünde t değerleri 1 ve 2 olarak bulunur. Bu değerlerden elde edilen x değerleri sırasıyla 6 ve 3'tür (x = -4 değeri taban pozitifliği kuralı gereği elenir). Bu geçerli köklerin toplamı 9 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken tanımlama ve logaritma özelliklerinin uygulanması
log⁡x(12−x)=t\log_x(12-x) = t dönüşümü yapıldığında taban değiştirme kuralı gereğince log⁡12−x(x4)=4log⁡12−x(x)=4t\log_{12-x}(x^4) = 4\log_{12-x}(x) = \frac{4}{t} olur.
Denklemi tek bir değişken cinsinden ifade ederek çözülebilir hale getirmek.
2
Dönüştürülmüş denklemin kurulması ve çözülmesi
(t−1)⋅4t=2(t−1)  ⟹  (t−1)(4t−2)=0(t-1) \cdot \frac{4}{t} = 2(t-1) \implies (t-1)\left(\frac{4}{t} - 2\right) = 0 denkleminden t=1t = 1 veya t=2t = 2 elde edilir.
Ortak çarpan parantezine alarak denklemin köklerini bulmak.
3
Bulunan t değerleri için x değişkeninin hesaplanması
t=1  ⟹  log⁡x(12−x)=1  ⟹  x=6t = 1 \implies \log_x(12-x) = 1 \implies x = 6. t=2  ⟹  log⁡x(12−x)=2  ⟹  12−x=x2  ⟹  x2+x−12=0  ⟹  (x+4)(x−3)=0  ⟹  x=3t = 2 \implies \log_x(12-x) = 2 \implies 12-x = x^2 \implies x^2 + x - 12 = 0 \implies (x+4)(x-3) = 0 \implies x = 3 veya x=−4x = -4 bulunur.
Logaritmik ifadeleri üstel biçime çevirerek orijinal değişkeni bulmak.
4
Tanım kümesi kontrolünün yapılması ve toplamın bulunması
x>0x > 0 ve x≠1x \neq 1 olması gerektiğinden x=−4x = -4 elenir. Geçerli kökler x=3x = 3 ve x=6x = 6 olup, toplamları 3 + 6 = 9 olur.
Logaritmanın tanımı gereği taban ve argümanın pozitif olması koşulunu test etmek.

Anahtar Kavram

Logaritmik denklemlerde taban değiştirme, değişken değiştirme ve tanım kümesi sınırlandırmaları.
Soru 1633Soru →

(an)(a_n) bir sonlu dizi olmak üzere, bu dizinin genel terimi

an=24−2n−n2+log⁡(5−n)(n+2)a_n = \sqrt{24 - 2n - n^2} + \log_{(5-n)}(n+2)

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, bu (an)(a_n) sonlu dizisinin terim sayısı en fazla ka��tır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Dizinin terim sayısı en fazla 3'tür.
Dizinin genel terimini oluşturan kareköklü ifadenin tanımlı olması için n≤4n \leq 4, logaritma tabanının tanımlı olması için n<5n < 5 ile n≠4n \neq 4, logaritmanın içinin tanımlı olması için ise n>−2n > -2 olmalıdır. Bir dizinin terimleri pozitif tam sayılar ile indekslendiğinden bu koşulların tamamını sağlayan değerler 1,21, 2 ve 33'tür. Dolayısıyla dizinin terim sayısı en fazla 3 olabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kareköklü ifadenin tanımlı olma koşulunu belirleme
−6≤n≤4-6 \leq n \leq 4
Çift dereceden köklü bir ifadenin gerçek sayılarda tanımlı olması için kök içindeki ifadenin sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir. Buradan 24−2n−n2≥0  ⟹  n2+2n−24≤0  ⟹  (n+6)(n−4)≤024 - 2n - n^2 \geq 0 \implies n^2 + 2n - 24 \leq 0 \implies (n+6)(n-4) \leq 0 eşitsizliği elde edilir ve bu eşitsizliğin çözüm kümesi [−6,4][-6, 4] aralığıdır.
2
Logaritmalı ifadenin tanımlı olma koşullarını belirleme
n<5n < 5, n≠4n \neq 4 ve n>−2n > -2
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olması için tabanın sıfırdan büyük ve 1'den farklı, logaritması alınan ifadenin ise sıfırdan büyük olması gerekir. Taban için 5−n>0  ⟹  n<55 - n > 0 \implies n < 5 ve 5−n≠1  ⟹  n≠45 - n \neq 1 \implies n \neq 4 elde edilir. Logaritmanın içi için n+2>0  ⟹  n>−2n + 2 > 0 \implies n > -2 elde edilir.
3
Dizi tanımını uygulayarak ortak çözüm kümesini bulma
n∈{1,2,3}n \in \{1, 2, 3\}
Bir genel terimin dizi belirtebilmesi için tanım kümesindeki nn değerlerinin pozitif tam sayılar kümesinin (Z+\mathbb{Z}^+) bir elemanı olması gerekir. Birinci ve ikinci adımlarda elde edilen −6≤n≤4-6 \leq n \leq 4, n<5n < 5, n≠4n \neq 4 ve n>−2n > -2 koşullarının tamamını sağlayan pozitif tam sayılar kümesi {1,2,3}\{1, 2, 3\} elemanlarından oluşur. Bu nedenle dizi en fazla 3 terimlidir.

Anahtar Kavram

Bir gerçek sayı dizisinin genel teriminin tanımlı olabilmesi için indis değişkeninin pozitif tam sayılar kümesinde tanımlı olması ve genel terimi oluşturan diğer fonksiyonların (karekök, logaritma vb.) gerçek sayılardaki tanım kümeleriyle çelişmemesi gerekir.
Soru 1634Soru →
log⁡550−1log⁡25\log_{5} 50 - \frac{1}{\log_{2} 5} işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İşleminin sonucu 2'dir.
Verilen ifadede taban değiştirme özelliği uygulanarak 1log⁡25\frac{1}{\log_{2} 5} ifadesi log⁡52\log_{5} 2 olarak yazılır. Ardından, tabanları aynı olan logaritmik ifadelerin farkı bölme kuralı yardımıyla log⁡5(502)=log⁡525\log_{5}\left(\frac{50}{2}\right) = \log_{5} 25 haline getirilir. Son olarak, 25=5225 = 5^2 olduğundan log⁡552=2\log_{5} 5^2 = 2 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci terim üzerinde taban değiştirme kuralını uygulayın.
1log⁡25=log⁡52\frac{1}{\log_{2} 5} = \log_{5} 2
log⁡ab=1log⁡ba\log_{a} b = \frac{1}{\log_{b} a} taban değiştirme özelliği gereğidir.
2
Elde edilen fark işlemini logaritma bölme özelliğine dönüştürün.
log⁡550−log⁡52=log⁡5(502)\log_{5} 50 - \log_{5} 2 = \log_{5}\left(\frac{50}{2}\right)
Aynı tabandaki logaritmaların farkı, argümanların bölümünün logaritmasına eşittir: log⁡ax−log⁡ay=log⁡a(xy)\log_{a} x - \log_{a} y = \log_{a}\left(\frac{x}{y}\right)
3
Argümanı sadeleştirip logaritma değerini hesaplayın.
log⁡525=log⁡5(52)=2\log_{5} 25 = \log_{5}(5^2) = 2
log⁡a(an)=n\log_{a}(a^n) = n özelliği kullanılmıştır.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunda taban değiştirme kuralı ve logaritmik ifadelerin farkını bölme şeklinde yazma özelliği.
Tahmini Süre:45s
Soru 1635Soru →

Bir ABCDABCD karesinde EE noktası [AB][AB] kenarı üzerinde, FF noktası [BC][BC] kenarı üzerindedir.

∣AE∣=∣EB∣|AE| = |EB|
∣BF∣=2∣FC∣|BF| = 2|FC|

eşitlikleri sağlandığına ve DEDE ve AFAF doğruları kare içinde bir PP noktasında kesiştiğine göre, DEDE ve AFAF doğruları arasında kalan dar açının tanjant değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Doğrular arasında kalan dar açının tanjant değeri 8'dir.
Doğrular arasındaki dar açıyı α=90∘−(x−y)\alpha = 90^\circ - (x - y) olarak modelledikten sonra tanjant fark formülü yardımıyla tan⁡(x−y)=−1/8\tan(x-y) = -1/8 bulunur. Buradan tan⁡α=∣cot⁡(x−y)∣=8\tan\alpha = |\cot(x-y)| = 8 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Karenin kenar uzunluklarını ve üzerindeki noktaların konumlarını belirleme.
Karenin bir kenarı 6 birim seçilirse, ∣AE∣=3|AE| = 3, ∣EB∣=3|EB| = 3, ∣BF∣=4|BF| = 4 ve ∣FC∣=2|FC| = 2 olur.
Trigonometrik oranları hesaplamak için uygun kenar uzunlukları tanımlanmalıdır.
2
ADEADE ve ABFABF dik üçgenlerini kullanarak ilgili açıların tanjant değerlerini bulma.
tan⁡(∠ADE)=12\tan(\angle ADE) = \frac{1}{2} ve tan⁡(∠BAF)=23\tan(\angle BAF) = \frac{2}{3} olarak bulunur.
Toplam-fark formüllerinde kullanılacak temel açıların oranlarını elde etmek gerekir.
3
Doğrular arasındaki açıyı dik üçgenlerdeki açılar cinsinden ifade etme.
α=90∘−(x−y)\alpha = 90^\circ - (x - y) olduğundan tan⁡α=cot⁡(x−y)=1tan⁡(x−y)\tan\alpha = \cot(x - y) = \frac{1}{\tan(x - y)} elde edilir.
Kesişen doğruların oluşturduğu dar açıyı bilinen açılarla ilişkilendirmek için.
4
Tanjant fark formülü yardımıyla sonucu hesaplama.
tan⁡(x−y)=−18\tan(x-y) = -\frac{1}{8} ve buradan tan⁡α=8\tan\alpha = 8 bulunur.
Fark formülü uygulanarak aranan dar açının tanjant değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

İki doğru arasındaki açının tanjantını bulmak için tanjant fark formülünün kullanılması.
Soru 1636Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=log⁡12−x(x2−4x−12x−3)f(x) = \log_{12 - x}\left(\frac{x^2 - 4x - 12}{x - 3}\right)
fonksiyonunun en geniş tanım kümesinde yer alan tam sayıların toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

Fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 36'dır.
Logaritma fonksiyonunun tanım kümesini bulmak için iki temel şart sağlanmalıdır: Taban pozitif ve 1'den farklı olmalı (12−x>0  ⟹  x<1212 - x > 0 \implies x < 12 ve 12−x≠1  ⟹  x≠1112 - x \neq 1 \implies x \neq 11), logaritması alınan rasyonel ifade sıfırdan büyük olmalıdır (x2−4x−12x−3>0\frac{x^2-4x-12}{x-3} > 0). Bu rasyonel ifadenin kökleri −2,3,6-2, 3, 6 olup yapılan işaret tablosunda ifadenin (−2,3)∪(6,∞)(-2, 3) \cup (6, \infty) aralığında pozitif olduğu görülür. İki şartın kesişimi alındığında en geniş tanım kümesi (−2,3)∪(6,11)∪(11,12)(-2, 3) \cup (6, 11) \cup (11, 12) olarak elde edilir. Bu kümedeki tam sayılar −1,0,1,2,7,8,9,10-1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10 olup toplamları 36'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma tabanının pozitif olma ve 1'e eşit olmama şartlarını belirlemek.
x<12x < 12 ve x≠11x \neq 11
Logaritmanın tanımı gereği taban sıfırdan büyük ve 1'den farklı olmalıdır (12−x>0  ⟹  x<1212-x > 0 \implies x < 12 ve 12−x≠1  ⟹  x≠1112-x \neq 1 \implies x \neq 11).
2
Logaritmanın içinin pozitif olması koşulu için rasyonel ifadenin pay ve paydasının köklerini bulmak.
Payın kökleri: x=−2,6x = -2, 6 ve paydanın kökü: x=3x = 3
Rasyonel ifadenin işaretini incelemek için tüm çarpanların köklerini bulmamız gerekir.
3
İşaret tablosu oluşturarak x2−4x−12x−3>0\frac{x^2 - 4x - 12}{x - 3} > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini belirlemek.
x∈(−2,3)∪(6,∞)x \in (-2, 3) \cup (6, \infty)
En sağdaki aralık pozitif işaretle (+) başlar ve her köke gelindiğinde işaret değişir. İfadenin pozitif olduğu bölgeler taranır.
4
Bulunan iki koşulun kesişimini alarak fonksiyonun en geniş tanım kümesini yazmak.
En geniş tanım kümesi: (−2,3)∪(6,11)∪(11,12)(-2, 3) \cup (6, 11) \cup (11, 12)
Hem taban hem de iç kısım şartlarının aynı anda sağlanması gerekir.
5
Tanım kümesindeki tam sayıları listelemek ve toplamlarını hesaplamak.
Tam sayılar: −1,0,1,2,7,8,9,10-1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10 ve toplamları: 3636
(−2,3)(-2, 3) aralığındaki tam sayılar −1,0,1,2-1, 0, 1, 2 iken (6,11)(6, 11) aralığındaki tam sayılar 7,8,9,107, 8, 9, 10'dur. x=11x = 11 taban şartından ötürü hariç tutulmuştur. Bu sayıların toplamı −1+0+1+2+7+8+9+10=36-1 + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 = 36 olur.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için taban sıfırdan büyük ve 1'den farklı olmalı, logaritması alınan ifade ise sıfırdan büyük olmalıdır.
Soru 1637Soru →
f(x)=log⁡x−4(18+7x−x2)f(x) = \log_{x-4}(18 + 7x - x^2)

fonksiyonu tanımlanıyor. Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

En geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 21'dir.
Doğru cevap olan 21 değeri; logaritmanın içinin pozitif olması (−2<x<9-2 < x < 9), tabanının pozitif olması (x>4x > 4) ve tabanının 1'den farklı olması (x≠5x \neq 5) koşullarının kesişim kümesi olan (4,9)∖{5}(4, 9) \setminus \{5\} aralığındaki tam sayıların (6,7,86, 7, 8) toplamıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritmanın tanımlı olabilmesi için argümanın (logaritmanın içinin) pozitif olması gerekir. Bu doğrultuda 18+7x−x2>018 + 7x - x^2 > 0 eşitsizliği çözülür.
Eşitsizlik −(x2−7x−18)>0  ⟹  (x−9)(x+2)<0- (x^2 - 7x - 18) > 0 \implies (x-9)(x+2) < 0 biçiminde çarpanlarına ayrılır. Kökler x=−2x = -2 ve x=9x = 9 olup, başkatsayı negatif olduğundan aralık −2<x<9-2 < x < 9 olarak bulunur.
Logaritma fonksiyonunun tanım kümesinde argümanın pozitif gerçel sayı olması zorunludur.
2
Logaritmanın tabanının pozitif olması gerektiğinden x−4>0x - 4 > 0 eşitsizliği çözülür.
x>4x > 4 elde edilir.
Logaritma tabanı her zaman pozitif bir sayı olmalıdır.
3
Logaritmanın tabanının 1'den farklı olması gerektiğinden x−4≠1x - 4 \neq 1 koşulu incelenir.
x≠5x \neq 5 elde edilir.
Logaritma tabanı 1 olamaz.
4
Elde edilen üç koşulun kesişimi alınarak fonksiyonun en geniş tanım kümesi belirlenir.
−2<x<9-2 < x < 9 ve x>4x > 4 koşulları birleştirildiğinde 4<x<94 < x < 9 elde edilir. x≠5x \neq 5 koşulu da eklendiğinde en geniş tanım kümesi (4,9)∖{5}(4, 9) \setminus \{5\} olur. Bu kümedeki tam sayılar 6,7,86, 7, 8 olup, toplamları 6+7+8=216 + 7 + 8 = 21 bulunur.
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için tüm kısıtlamaların aynı anda sağlanması gerekir.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun tanım kümesi kuralları
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1638Soru →
mm bir gerçel sayı olmak üzere,
x2−(m−1)x+m+2≤0x^2 - (m-1)x + m + 2 \le 0
eşitsizliği veriliyor.

Buna göre,
I. m=−1m = -1 için eşitsizliğin çözüm kümesi tek elemanlıdır.
II. m∈(−1,7)m \in (-1, 7) için eşitsizliğin gerçel sayılardaki ç��züm kümesi boş kümedir.
III. m>7m > 7 için eşitsizliği sağlayan en az bir tane negatif xx gerçel sayısı vardır.

ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II
Doğru seçenek olan 'I ve II' ifadelerinin kesin doğruluğu şu şekilde ispatlanır: m=−1m = -1 iken ifade (x+1)2≤0(x+1)^2 \le 0 biçimine dönüşür ve bunu sağlayan tek değer x=−1x = -1 olup çözüm kümesi tek elemanlıdır (I doğru). m∈(−1,7)m \in (-1, 7) aralığında diskriminant negatif ve başkatsayı pozitif olduğu için ifade daima pozitiftir ve sıfıra eşit ya da küçük olamaz; çözüm kümesi boş kümedir (II doğru). m>7m > 7 için köklerin toplamı ve çarpımı pozitif olduğundan her iki kök de pozitiftir, bu yüzden çözüm kümesinde negatif sayı yer alamaz (III yanlış).

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliğin sol tarafındaki ifadenin diskriminantını (Δ\Delta) hesaplayın.
Δ=[−(m−1)]2−4⋅1⋅(m+2)=m2−2m+1−4m−8=m2−6m−7=(m−7)(m+1)\Delta = [-(m-1)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m+2) = m^2 - 2m + 1 - 4m - 8 = m^2 - 6m - 7 = (m-7)(m+1) elde edilir.
İkinci dereceden ifadenin köklerinin varlığı ve çözüm kümesinin yapısı diskriminantın işaretine bağlıdır.
2
I. öncül için m=−1m = -1 değerini yerine yazarak eşitsizliğin çözüm kümesini bulun.
m=−1m = -1 için Δ=(−1−7)(−1+1)=0\Delta = (-1-7)(-1+1) = 0 olur. Eşitsizlik x2+2x+1≤0  ⟹  (x+1)2≤0x^2 + 2x + 1 \le 0 \implies (x+1)^2 \le 0 halini alır. Karesi sıfırdan küçük veya eşit olan tek gerçel sayı x=−1x = -1 olduğundan çözüm kümesi {−1}\{-1\} olup tek elemanlıdır. Dolayısıyla I. öncül doğrudur.
Diskriminant sıfır olduğunda çift katlı kök oluşur ve eşitsizlikte eşitlik de arandığı için çözüm kümesi tek elemanlı olur.
3
II. önc��l için m∈(−1,7)m \in (-1, 7) aralığında diskriminantın işaretini analiz edin.
m∈(−1,7)m \in (-1, 7) için (m−7)<0(m-7) < 0 ve (m+1)>0(m+1) > 0 olduğundan Δ=(m−7)(m+1)<0\Delta = (m-7)(m+1) < 0 olur. Eşitsizliğin başkatsayısı 1>01 > 0 olduğundan, x2−(m−1)x+m+2x^2 - (m-1)x + m + 2 ifadesi her xx gerçel sayısı için daima pozitiftir. Bu durumda ifadenin sıfırdan küçük veya eşit olmasını sağlayan hiçbir gerçel sayı yoktur; yani çözüm kümesi boş kümedir (∅\emptyset). Dolayısıyla II. öncül doğrudur.
Diskriminant negatif ve başkatsayı pozitif olduğunda, ikinci dereceden ifade tüm gerçel sayılar için pozitif değerler alır.
4
III. öncül için m>7m > 7 durumunda köklerin işaretlerini kökler toplamı ve çarpımı kuralları ile inceleyin.
m>7m > 7 için Δ>0\Delta > 0 olur ve ifadenin iki farklı gerçel kökü (x1<x2x_1 < x_2) vardır. Çözüm kümesi [x1,x2][x_1, x_2] aralığıdır. Kökler çarpımı x1⋅x2=m+2>9>0x_1 \cdot x_2 = m + 2 > 9 > 0 ve kökler toplamı x1+x2=m−1>6>0x_1 + x_2 = m - 1 > 6 > 0 olur. Çarpımları ve toplamları pozitif olan iki kök de pozitiftir (0<x1<x20 < x_1 < x_2). Bu durumda çözüm aralığındaki tüm gerçel sayılar pozitif olup negatif bir xx gerçel sayısı bulunmaz. Dolayısıyla III. öncül yanlıştır.
İki kök de pozitif olduğunda, bu köklerin arasındaki çözüm kümesi aralığı sadece pozitif sayılardan oluşur.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde diskriminant durumuna göre işaret tablosu yapılması ve köklerin işaret analizi.
Soru 1639Soru →
3sin⁡(2x)+cos⁡(2x)=2cos⁡(x)\sqrt{3}\sin(2x) + \cos(2x) = 2\cos(x)

denkleminin [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı kaç radyandır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11π9\frac{11\pi}{9}

Cevap

11π9\frac{11\pi}{9}
Doğru cevap olan 11π9\frac{11\pi}{9} değeri, verilen denklemin sol tarafının sinüs toplam formülü yardımıyla sin⁡(2x+π6)=sin⁡(π2−x)\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) biçimine getirilmesiyle bulunur. Bu denklemin genel çözümlerinden [0,π][0, \pi] aralığına uygun olan farklı gerçel kökler π9\frac{\pi}{9}, 7π9\frac{7\pi}{9} ve π3\frac{\pi}{3} olarak elde edilir. Bu değerlerin toplamı 11π9\frac{11\pi}{9} radyandır.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemin sol tarafını doğrusal kombinasyon özelliğini kullanarak tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden ifade edelim.
sin⁡(2x+π6)=cos⁡(x)\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = \cos(x)
Eşitliğin sol tarafı 22 parantezine alındığında, 2(32sin⁡(2x)+12cos⁡(2x))=2sin⁡(2x+π6)2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(2x) + \frac{1}{2}\cos(2x)\right) = 2\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) elde edilir. Her iki taraf 22'ye bölünerek denklem sadeleştirilir.
2
Eşitliğin sağ tarafındaki kosinüs ifadesini tümler açı ilişkisini kullanarak sinüs cinsinden yazalım.
sin⁡(2x+π6)=sin⁡(π2−x)\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)
cos⁡(x)=sin⁡(π2−x)\cos(x) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) özdeşliği sayesinde denklem çözülebilir sinüs eşitliği formuna getirilir.
3
Sinüs denkleminin çözüm kurallarını uygulayarak iki farklı genel çözüm durumunu belirleyelim.
Birinci durum: x=π9+2kπ3x = \frac{\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}
İkinci durum: x=π3+2kπx = \frac{\pi}{3} + 2k\pi (k∈Zk \in \mathbb{Z})
sin⁡(A)=sin⁡(B)\sin(A) = \sin(B) denkleminin genel çözümü A=B+2kπA = B + 2k\pi ve A=π−B+2kπA = \pi - B + 2k\pi durumlarından oluşur.
4
Genel çözümlerde kk yerine tam sayı değerleri vererek [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki farklı gerçel kökleri bulalım ve toplayalım.
Kökler: π9\frac{\pi}{9}, 7π9\frac{7\pi}{9} ve π3\frac{\pi}{3}
Toplam: π9+7π9+3π9=11π9\frac{\pi}{9} + \frac{7\pi}{9} + \frac{3\pi}{9} = \frac{11\pi}{9}
Bulunan genel çözümlerden sadece verilen [0,π][0, \pi] aralığına düşen değerler belirlenerek toplanır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerde doğrusal kombinasyonların dönüşümü ve belirli bir aralıktaki köklerin periyodik olarak bulunması.
Soru 1640Soru →
cos⁡(arcsin⁡(x)−arctan⁡(2))=255\cos\left(\arcsin(x) - \arctan(2)\right) = \frac{2\sqrt{5}}{5} denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1.6

Cevap

Denklemi sağlayan köklerin toplamı 1.6'dır.
Verilen denklemde ters trigonometrik fonksiyonlar açı dönüşümleriyle basitleştirilip kosinüs fark formülü uygulandığında 1−x2=2−2x\sqrt{1-x^2} = 2 - 2x cebirsel denklemine ulaşılır. Bu denklemin çözümü için x≤1x \le 1 şartı altında karesi alındığında 5x2−8x+3=05x^2 - 8x + 3 = 0 elde edilir. Çözüm kümesi {1,0.6}\{1, 0.6\} olup her iki değer de tanımlı aralıktadır. Bu köklerin toplamı 1.61.6 yapmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken dönüşümü yapılması
arcsin⁡(x)=a  ⟹  sin⁡(a)=x\arcsin(x) = a \implies \sin(a) = x ve arctan⁡(2)=b  ⟹  tan⁡(b)=2\arctan(2) = b \implies \tan(b) = 2
Ters trigonometrik ifadeleri daha kolay işlenebilir açılara dönüştürmek için.
2
Açıların diğer trigonometrik değerlerinin bulunması
cos⁡(a)=1−x2\cos(a) = \sqrt{1-x^2}, sin⁡(b)=25\sin(b) = \frac{2}{\sqrt{5}} ve cos⁡(b)=15\cos(b) = \frac{1}{\sqrt{5}}
Kosinüs fark formülünde kullanılacak bileşenleri elde etmek için.
3
Kosinüs fark formülünün uygulanması
cos⁡(a)cos⁡(b)+sin⁡(a)sin⁡(b)=25\cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b) = \frac{2}{\sqrt{5}}
Verilen cos⁡(a−b)\cos(a-b) ifadesini açıp değeriyle eşitlemek için.
4
Cebirsel ifadenin sadeleştirilmesi ve denklemin kurulması
1−x2+2x=2  ⟹  1−x2=2−2x\sqrt{1-x^2} + 2x = 2 \implies \sqrt{1-x^2} = 2 - 2x
Kökleri bulabilmek amacıyla denklemi tek bir kareköklü ifadeye indirgemek için.
5
Karesinin alınması ve köklerin belirlenmesi
x1=1x_1 = 1 ve x2=0.6x_2 = 0.6 kökleri bulunur. Köklerin toplamı 1+0.6=1.61 + 0.6 = 1.6 elde edilir.
İkinci dereceden denklemi çözüp koşullara uygun kökleri toplamak için.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonların tanım ve değer aralıkları ile toplam-fark formüllerinin birlikte uygulanması.
ÖncekiSayfa 82 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin