Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 1741Soru →
Tanımlı olduğu xx ve yy değerleri için,
cos⁡(x−y)−cos⁡x⋅cos⁡ysin⁡x⋅cos⁡y\frac{\cos(x-y) - \cos x \cdot \cos y}{\sin x \cdot \cos y}
ifadesinin en sade hali nedir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: \tan(y); \tan y; tan(y); tan y

Cevap

tan⁡y\tan y
Kosinüs fark formülü kullanılarak cos⁡(x−y)\cos(x-y) ifadesi cos⁡x⋅cos⁡y+sin⁡x⋅sin⁡y\cos x \cdot \cos y + \sin x \cdot \sin y şeklinde açılır. Bu açılım pay kısmındaki −cos⁡x⋅cos⁡y-\cos x \cdot \cos y terimi ile işleme sokulduğunda payda sadece sin⁡x⋅sin⁡y\sin x \cdot \sin y terimi kalır. Elde edilen bu pay değeri, paydadaki sin⁡x⋅cos⁡y\sin x \cdot \cos y terimine bölündüğünde sin⁡x\sin x çarpanları birbirini sadeleştirir. Geriye kalan sin⁡ycos⁡y\frac{\sin y}{\cos y} ifadesi ise tan⁡y\tan y fonksiyonuna eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Kosinüs fark formülünü kullanarak cos⁡(x−y)\cos(x-y) ifadesini açın.
cos⁡(x−y)=cos⁡x⋅cos⁡y+sin⁡x⋅sin⁡y\cos(x-y) = \cos x \cdot \cos y + \sin x \cdot \sin y
Pay kısmındaki fark terimini sadeleştirebilmek amacıyla kosinüs fark özdeşliği uygulanır.
2
Açılımı pay ifadesinde yerine koyarak sadeleştirmeyi gerçekleştirin.
Pay = (cos⁡x⋅cos⁡y+sin⁡x⋅sin⁡y)−cos⁡x⋅cos⁡y=sin⁡x⋅sin⁡y(\cos x \cdot \cos y + \sin x \cdot \sin y) - \cos x \cdot \cos y = \sin x \cdot \sin y
cos⁡x⋅cos⁡y\cos x \cdot \cos y terimleri zıt işaretli oldukları için birbirini götürür.
3
Bulunan pay değerini paydaya bölerek nihai trigonometrik oranı bulun.
sin⁡x⋅sin⁡ysin⁡x⋅cos⁡y=sin⁡ycos⁡y=tan⁡y\frac{\sin x \cdot \sin y}{\sin x \cdot \cos y} = \frac{\sin y}{\cos y} = \tan y
Pay ve paydadaki ortak sin⁡x\sin x çarpanları sadeleşir ve geriye kalan sin⁡ycos⁡y\frac{\sin y}{\cos y} ifadesi tanjant tanımından tan⁡y\tan y değerine eşit olur.

Anahtar Kavram

Kosinüs toplam-fark formüllerinin uygulanması ve temel trigonometrik özdeşlikler yardımıyla sadeleştirme yapılması.
Soru 1742Soru →
f(x)={3x−1,x<22x+3,x≥2f(x) = \begin{cases} 3x - 1, & x < 2 \\ 2x + 3, & x \geq 2 \end{cases} biçiminde tanımlanan ff fonksiyonu için, lim⁡x→3−f(x−1)\lim_{x \to 3^-} f(x - 1) limitinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

5
Limit hesaplanırken x→3−x \to 3^- yönelimi için x<3x < 3 olur. Buradan x−1<2x - 1 < 2 elde edilir. Bu durum, t=x−1t = x - 1 değişkeninin 22 değerine soldan yaklaştığını (t→2−t \to 2^-) gösterir. Parçalı fonksiyonda x<2x < 2 için tanımlı olan 3x−13x - 1 kuralı kullanılarak limit değeri 3(2)−1=53(2) - 1 = 5 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Limitte değişken değiştirme işlemi yapmak için t=x−1t = x - 1 dönüşümü uygulanır.
x→3−x \to 3^- iken tt değişkeninin hangi değere yaklaştığı araştırılır.
Ötelenmiş fonksiyonların limitini hesaplarken yaklaşım yönünü doğru belirlemek gerekir.
2
xx değişkeni 33'e soldan yaklaştığı için x<3x < 3 eşitsizliği yazılır ve her iki taraftan 11 çıkarılır.
x−1<2x - 1 < 2 elde edilir, yani t→2−t \to 2^- olur.
Yaklaşım y��nünü belirlemek için eşitsizlik kurallarından yararlanılır.
3
t→2−t \to 2^- limiti parçalı fonksiyonda yerine yazılır. t<2t < 2 olduğu için f(t)=3t−1f(t) = 3t - 1 kuralı seçilir.
lim⁡t→2−(3t−1)=3(2)−1=5\lim_{t \to 2^-} (3t - 1) = 3(2) - 1 = 5 olarak bulunur.
Parçalı tanımlı fonksiyonlarda limit hesaplanırken kritik noktaya hangi yönden yaklaşıldığına göre ilgili fonksiyon dalı seçilir.

Anahtar Kavram

Sağdan ve soldan limit kavramı ile ötelenmiş fonksiyonlarda limit hesabı.
Soru 1743Soru →
cos⁡(3x)−sin⁡(x)=3(sin⁡(3x)+cos⁡(x))\cos(3x) - \sin(x) = \sqrt{3}(\sin(3x) + \cos(x))

denkleminin [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı kaç radyandır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13π6\frac{13\pi}{6}

Cevap

Verilen denklemin [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı 13π6\frac{13\pi}{6} radyandır.
Denklemin her iki tarafı 2'ye bölünerek düzenlendiğinde kosinüs toplam ve fark formülleri elde edilir. Bu formüller yardımıyla denklem cos⁡(3x+π3)=cos⁡(x−π6)\cos(3x + \frac{\pi}{3}) = \cos(x - \frac{\pi}{6}) biçimini alır. Kosinüsün genel çözüm formüllerinden [0,π][0, \pi] aralığındaki farklı gerçel kökleri sırasıyla 3π4\frac{3\pi}{4}, 11π24\frac{11\pi}{24} ve 23π24\frac{23\pi}{24} olarak bulunur. Bu köklerin toplamı da 13π6\frac{13\pi}{6} değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemi düzenlemek ve her iki tarafı 22'ye bölmek.
12cos⁡(3x)−32sin⁡(3x)=32cos⁡(x)+12sin⁡(x)\frac{1}{2}\cos(3x) - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(3x) = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos(x) + \frac{1}{2}\sin(x)
Katsayıları bilinen özel açıların trigonometrik değerleriyle eşleştirip toplam-fark formüllerini uygulayabilmek.
2
Toplam ve fark formüllerini uygulayarak her iki tarafı kosinüs cinsinden tek bir terim olarak ifade etmek.
cos⁡(3x+π3)=cos⁡(x−π6)\cos\left(3x + \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right)
Denklemi cos⁡(A)=cos⁡(B)\cos(A) = \cos(B) formuna getirerek standart çözüm adımlarına geçebilmek.
3
Kosinüs denkleminin genel çözüm formüllerini iki durum için yazmak.
Birinci durum: 3x+π3=x−π6+2kπ⇒x=−π4+kπ3x + \frac{\pi}{3} = x - \frac{\pi}{6} + 2k\pi \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + k\pi
İkinci durum: 3x+π3=−(x−π6)+2kπ⇒x=−π24+kπ23x + \frac{\pi}{3} = -\left(x - \frac{\pi}{6}\right) + 2k\pi \Rightarrow x = -\frac{\pi}{24} + \frac{k\pi}{2}
cos⁡(θ)=cos⁡(α)\cos(\theta) = \cos(\alpha) denkleminin genel çözümünün θ=α+2kπ\theta = \alpha + 2k\pi ve θ=−α+2kπ\theta = -\alpha + 2k\pi olmasından dolayı.
4
Elde edilen genel çözümlerden [0,π][0, \pi] kapalı aralığında olan kökleri bulmak ve toplamak.
Birinci durumdan x=3π4x = \frac{3\pi}{4}.
İkinci durumdan x=11π24x = \frac{11\pi}{24} ve x=23π24x = \frac{23\pi}{24}.
Köklerin toplamı: 3π4+11π24+23π24=13π6\frac{3\pi}{4} + \frac{11\pi}{24} + \frac{23\pi}{24} = \frac{13\pi}{6}
Belirtilen aralık sınırlarına uyan tüm farklı kökleri tam ve doğru olarak elde etmek.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemleri toplam ve fark formülleri kullanarak sadeleştirme ve belirli bir aralıktaki köklerini bulma.
Soru 1744Soru →
Bir roketin egzoz gazı çıkış hızı vev_e, roketin ilk kütlesi m0m_0 ve yakıt tüketimi sonrasındaki anlık kütlesi mm olmak üzere, roketin ulaştığı hız vv formülü ile hesaplanmaktadır:
v=ve⋅ln⁡(m0m)v = v_e \cdot \ln\left(\frac{m_0}{m}\right)
Boş kütlesi (yakıtsız kütlesi) MM kg olan bir roketin başlangıçtaki yakıt kütlesi 7M7M kg'dır.
Fırlatılan bu roketin anlık hızı, egzoz gazı çıkış hızına ilk kez ulaştığı anda; tüketilen yakıt kütlesinin, kalan yakıt kütlesine oranı aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8(e−1)8−e\frac{8(e-1)}{8-e}

Cevap

8(e−1)8−e\frac{8(e-1)}{8-e}
Tüketilen yakıt kütlesinin kalan yakıt kütlesine oranı, roketin hız denkleminin çözülmesiyle 8(e−1)8−e\frac{8(e-1)}{8-e} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Roketin başlangıçtaki toplam kütlesinin (m0m_0) belirlenmesi
m0=M+7M=8Mm_0 = M + 7M = 8M
Formüldeki m0m_0 roketin boş ağırlığı ile yakıt ağırlığının toplamıdır.
2
Roketin hızı egzoz hızına ulaştığı andaki toplam kütlesinin (mm) bulunması
v=ve  ⟹  ve⋅ln⁡(8Mm)=ve  ⟹  ln⁡(8Mm)=1  ⟹  m=8Mev = v_e \implies v_e \cdot \ln\left(\frac{8M}{m}\right) = v_e \implies \ln\left(\frac{8M}{m}\right) = 1 \implies m = \frac{8M}{e}
Hızın egzoz hızına eşitlendiği durumu modellemek için v=vev = v_e eşitliği kurularak mm yalnız bırakılır.
3
Kalan yakıt kütlesinin (mkalanm_{\text{kalan}}) hesaplanması
mkalan=m−M=8Me−M=M(8−ee)m_{\text{kalan}} = m - M = \frac{8M}{e} - M = M\left(\frac{8-e}{e}\right)
Kalan yakıt kütlesi, anlık toplam kütleden roketin boş kütlesinin çıkarılmasıyla elde edilir.
4
Tüketilen yakıt kütlesinin (mtu¨ketilenm_{\text{tüketilen}}) hesaplanması
mtu¨ketilen=7M−mkalan=7M−M(8−ee)=M(8e−8e)m_{\text{tüketilen}} = 7M - m_{\text{kalan}} = 7M - M\left(\frac{8-e}{e}\right) = M\left(\frac{8e-8}{e}\right)
Tüketilen yakıt kütlesi, başlangıçtaki yakıt kütlesinden kalan yakıt kütlesinin çıkarılmasıyla bulunur.
5
Tüketilen yakıt kütlesinin kalan yakıt kütlesine oranının hesaplanması
Oran=M(8e−8e)M(8−ee)=8(e−1)8−e\text{Oran} = \frac{M\left(\frac{8e-8}{e}\right)}{M\left(\frac{8-e}{e}\right)} = \frac{8(e-1)}{8-e}
Elde edilen kütle değerleri birbirine oranlanarak sadeleştirilir.

Anahtar Kavram

Logaritmik denklemlerin gerçek hayat problemlerindeki uygulamaları ve modelleme
Soru 1745Soru →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
log⁡13(x2−3x)+1log⁡2(x−2)−2≥0\frac{\log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 3x) + 1}{\log_2(x - 2) - 2} \geq 0

eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Eşitsizliği sağlayan xx tam sayılarının toplamı 9'dur.
Eşitsizliği sağlayan xx tam sayılarının toplamı, logaritmanın tanım kümesi ve taban özelliklerine göre yapılan işaret tablosu sonucunda elde edilen [3+212,6)[\frac{3+\sqrt{21}}{2}, 6) aralığındaki tam sayılar olan 4 ve 5'in toplamı olan 9'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlikte yer alan logaritmik ifadelerin tanımlı olması için gereken koşullar (tanım kümeleri) belirlenir.
x2−3x>0  ⟹  x(x−3)>0  ⟹  x<0x^2 - 3x > 0 \implies x(x-3) > 0 \implies x < 0 veya x>3x > 3 ve x−2>0  ⟹  x>2x - 2 > 0 \implies x > 2 bulunur. Bu iki koşulun kesişimi x>3x > 3 olarak elde edilir.
Logaritması alınan ifadelerin tanımlı olabilmesi için sıfırdan büyük olmaları zorunludur.
2
Payın kökünü bulmak için pay sıfıra eşitlenir.
log⁡13(x2−3x)+1=0  ⟹  log⁡13(x2−3x)=−1  ⟹  x2−3x=3  ⟹  x2−3x−3=0\log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 3x) + 1 = 0 \implies \log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 3x) = -1 \implies x^2 - 3x = 3 \implies x^2 - 3x - 3 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri x=3±212x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{2} dir. Tanım kümesine (x>3x > 3) uygun olan kök x=3+212≈3,79x = \frac{3 + \sqrt{21}}{2} \approx 3,79 dur.
Eşitsizliğin işaret tablosunda kullanılacak olan payın kökünün bulunması gerekir.
3
Paydanın kökünü bulmak için payda sıfıra eşitlenir.
log⁡2(x−2)−2=0  ⟹  log⁡2(x−2)=2  ⟹  x−2=4  ⟹  x=6\log_2(x - 2) - 2 = 0 \implies \log_2(x - 2) = 2 \implies x - 2 = 4 \implies x = 6 bulunur. Bu kök tanım kümesindedir ancak paydayı sıfır yaptığ�� için çözüm kümesine dahil edilmeyecektir.
Eşitsizliğin işaret tablosunda kullanılacak olan paydanın kökünün bulunması gerekir.
4
Bulunan kökler ve tanım kümesi göz önüne alınarak bir işaret tablosu oluşturulur.
Tabloda x>3x > 3 bölgesi incelenir. [3+212,6)[\frac{3+\sqrt{21}}{2}, 6) aralığında pay ve payda negatif olduğundan bölüm pozitif (≥0\geq 0) olur. Diğer aralıklarda ise negatif sonuç elde edilir. Dolayısıyla çözüm kümesi [3+212,6)[\frac{3+\sqrt{21}}{2}, 6) aralığıdır.
Rasyonel ifadenin sıfırdan büyük veya eşit olduğu aralığı belirlemek için işaret incelemesi yapılmalıdır.
5
Elde edilen çözüm kümesindeki tam sayılar belirlenir ve toplanır.
[3+212,6)≈[3,79,6)[\frac{3+\sqrt{21}}{2}, 6) \approx [3,79, 6) aralığındaki tam sayılar 4 ve 5'tir. Bu sayıların toplamı 4+5=94 + 5 = 9 olarak bulunur.
Soru kökünde istenen toplamı bulmak için çözüm kümesindeki tam sayılar toplanır.

Anahtar Kavram

Logaritmik Eşitsizliklerin Çözüm Kümesi ve Tanım Kümesi Kısıtlamaları

Alternatif Yöntem

Eşitsizliği sağlayan tam sayıları bulmak için tanım kümesi olan x>3x > 3 şartını sağlayan tam sayılar (4,5,6,7,…4, 5, 6, 7, \dots) teker teker eşitsizlikte yerine yazılarak da kontrol edilebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 1746Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=3−x2f(x) = 3 - x^2 ve g(x)=x2−2x−1g(x) = x^2 - 2x - 1 parabolleri arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Paraboller arasında kalan sınırlı bölgenin alanı 9 birimkaredir.
İki parabolün kesişim noktalarının apsisleri olan -1 ve 2 sınırları arasında, üstteki parabolün denkleminden alttaki parabolün denklemi çıkarılarak hesaplanan belirli integralin değeri 9'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabollerin kesişim noktalarını bulmak için denklemleri birbirine eşitleriz.
3−x2=x2−2x−1  ⟹  2x2−2x−4=0  ⟹  x2−x−2=0  ⟹  (x−2)(x+1)=03 - x^2 = x^2 - 2x - 1 \implies 2x^2 - 2x - 4 = 0 \implies x^2 - x - 2 = 0 \implies (x - 2)(x + 1) = 0 denkleminden kesişim noktalarının apsisleri x=−1x = -1 ve x=2x = 2 olarak bulunur.
İki eğri arasında kalan kapalı bölgenin sınırlarını (entegrasyon sınırlarını) belirlemek amacıyla bu işlem gerçekleştirilir.
2
[−1,2][-1, 2] aralığında hangi parabolün üstte olduğunu belirler ve alan integralini kurarız.
x=0x = 0 için f(0)=3f(0) = 3 ve g(0)=−1g(0) = -1 olup bu aralıkta f(x)≥g(x)f(x) \geq g(x) sağlanır. Buradan alan ifadesi A=∫−12(f(x)−g(x)) dx=∫−12(−2x2+2x+4) dxA = \int_{-1}^{2} (f(x) - g(x)) \, dx = \int_{-1}^{2} (-2x^2 + 2x + 4) \, dx olarak yazılır.
İki eğri arasındaki alan, üstte yer alan eğrinin denkleminden altta yer alan eğrinin denklemi çıkarılarak hesaplanır.
3
Belirli integrali hesaplarız.
F(x)=−23x3+x2+4xF(x) = -\frac{2}{3}x^3 + x^2 + 4x olmak üzere, F(2)−F(−1)=(−163+4+8)−(23+1−4)=203−(−73)=273=9F(2) - F(-1) = \left(-\frac{16}{3} + 4 + 8\right) - \left(\frac{2}{3} + 1 - 4\right) = \frac{20}{3} - \left(-\frac{7}{3}\right) = \frac{27}{3} = 9 birimkare elde edilir.
Belirli integralin temel teoremi uygulanarak sınırlı bölgenin alanının sayısal değeri bulunur.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan kapalı bölgenin alanı, kesişim noktaları arasındaki belirli integral yardımıyla hesaplanır.
Soru 1747Soru →
Dar açılı bir ABCABC üçgeninde,
sin⁡A⋅cos⁡B+cos⁡A⋅sin⁡B=23\sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B = \frac{2}{3}
olduğuna göre, cos⁡C\cos C değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 53\frac{\sqrt{5}}{3}

Cevap

Kök 5 bölü 3
Sinüs toplam formülüne göre sol taraf sin⁡(A+B)\sin(A+B) ifadesine eşittir. Üçgenin iç açılar toplamı 180∘180^\circ olduğundan sin⁡(A+B)=sin⁡(180∘−C)=sin⁡C=23\sin(A+B) = \sin(180^\circ - C) = \sin C = \frac{2}{3} olur. Üçgen dar açılı olduğu için cos⁡C\cos C pozitif olmalıdır. Buradan cos⁡C=1−sin⁡2C=53\cos C = \sqrt{1 - \sin^2 C} = \frac{\sqrt{5}}{3} bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen trigonometrik ifadeye sinüs toplam formülünü uygulayarak sadeleştirin.
sin⁡(A+B)=sin⁡A⋅cos⁡B+cos⁡A⋅sin⁡B=23\sin(A + B) = \sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B = \frac{2}{3}
Toplam formüllerinden yararlanarak ifadeyi tek bir trigonometrik fonksiyon altında birleştirmek için.
2
Üçgenin iç açılar toplamı özelliğini kullanarak A+BA+B açısını CC açısı cinsinden ifade edin.
A+B+C=180∘⇒A+B=180∘−CA + B + C = 180^\circ \Rightarrow A + B = 180^\circ - C
sin⁡(A+B)=sin⁡(180∘−C)=sin⁡C=23\sin(A+B) = \sin(180^\circ - C) = \sin C = \frac{2}{3}
��stenen cos⁡C\cos C değerine geçiş yapabilmek amacıyla açı indirgemesi uygulamak için.
3
Üçgenin dar açılı olması bilgisini kullanarak cos⁡C\cos C değerini hesaplayın.
sin⁡2C+cos⁡2C=1⇒cos⁡2C=1−(23)2=59\sin^2 C + \cos^2 C = 1 \Rightarrow \cos^2 C = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{5}{9}
Üçgen dar açılı olduğundan C<90∘C < 90^\circ ve dolayısıyla cos⁡C>0\cos C > 0 olmalıdır.
cos⁡C=53\cos C = \frac{\sqrt{5}}{3}
Temel trigonometrik kimliği kullanarak açının bölgesine göre doğru işaretli kosinüs değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Sinüs toplam formülü ve üçgende açı indirgemesi
Soru 1748Soru →

(an)(a_n) gerçel sayı dizisinin ilk terimi a1=2a_1 = 2 olup her n≥1n \geq 1 tam sayısı için

an+1=an+2n+1n2(n+1)2a_{n+1} = a_n + \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}

indirgeme bağıntısı verilmiştir.

Buna göre, genel terimi bn=13−anb_n = \frac{1}{3 - a_n} olan (bn)(b_n) dizisinin ilk 9 teriminin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 285

Cevap

285
Verilen indirgemeli dizinin genel terimi teleskopik toplam yöntemiyle an=3−1n2a_n = 3 - \frac{1}{n^2} olarak bulunur. Bu ifade bnb_n dizisinin tanımında yerine konulduğunda bn=n2b_n = n^2 elde edilir. İlk 9 terimin toplamı olan ∑n=19n2\sum_{n=1}^9 n^2 ifadesi de kareler toplamı formülüyle 285 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İndirgeme bağıntısındaki terimi teleskopik toplam oluşturacak şekilde düzenleme
an+1−an=1n2−1(n+1)2a_{n+1} - a_n = \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2}
Ardışık terimler arasındaki farkı sadeleşebilir (teleskopik) biçimde yazarak ana_n genel terimine ulaşmak.
2
nn yerine 11 ve n−1n-1 arasındaki tam sayıları yazarak taraf tarafa toplama
an−a1=(112−122)+(122−132)+⋯+(1(n−1)2−1n2)=1−1n2a_n - a_1 = \left(\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2}\right) + \left(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}\right) + \dots + \left(\frac{1}{(n-1)^2} - \frac{1}{n^2}\right) = 1 - \frac{1}{n^2}
Ara terimlerin birbirini götürmesini (teleskopik sadeleşme) sağlayarak ana_n ile a1a_1 arasındaki ilişkiyi bulmak.
3
Verilen a1=2a_1 = 2 ilk terim değerini yerine yazarak ana_n dizisinin genel terimini belirleme
an=3−1n2a_n = 3 - \frac{1}{n^2}
Dizinin genel terimini bularak bnb_n dizisini tanımlayabilmek.
4
bnb_n dizisinin genel terimini elde etme
bn=13−(3−1n2)=n2b_n = \frac{1}{3 - \left(3 - \frac{1}{n^2}\right)} = n^2
bnb_n dizisinin genel terimini nn cinsinden ifade etmek.
5
(bn)(b_n) dizisinin ilk 9 teriminin toplamını hesaplama
∑n=19bn=12+22+⋯+92=9⋅10⋅196=285\sum_{n=1}^{9} b_n = 1^2 + 2^2 + \dots + 9^2 = \frac{9 \cdot 10 \cdot 19}{6} = 285
İlk nn kare toplamı formülü olan n(n+1)(2n+1)6\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} ifadesini n=9n=9 için kullanmak.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde teleskopik toplam yöntemi kullanılarak genel terimin bulunması
Soru 1749Soru →

Bir ABCABC üçgeninde, kenar uzunlukları a=53 birima = 5\sqrt{3}\text{ birim} ve b=13 birimb = 13\text{ birim} olarak verilmiştir.

sin⁡C=12\sin C = \frac{1}{2} ve C^\widehat{C} açısı dar açı olduğuna göre, bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 77

Cevap

Çevrel çemberin yarıçapı 77 birimdir.
Verilen aa ve bb kenarları ile aralarındaki CC açısının ölçüsü (30∘30^\circ) kullanılarak Kosinüs teoremi yardımıyla cc kenarı 77 birim olarak hesaplanır. Ardından Sinüs teoremi formülü csin⁡C=2R\frac{c}{\sin C} = 2R uygulanarak çevrel çemberin yarıçapı 77 birim olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
sin⁡C=12\sin C = \frac{1}{2} eşitliği ve C^\widehat{C} açısının dar açı olduğu bilgisi kullanılarak CC açısının ölçüsü belirlenir.
m(C^)=30∘m(\widehat{C}) = 30^\circ
Dar açı olan ve sinüsü 12\frac{1}{2} olan tek açı 30∘30^\circ dir.
2
Kosinüs teoremi uygulanarak cc kenarının uzunluğu hesaplanır.
c2=a2+b2−2abcos⁡C  ⟹  c2=(53)2+132−2⋅53⋅13⋅cos⁡30∘=75+169−1303⋅32=244−195=49  ⟹  c=7c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C \implies c^2 = (5\sqrt{3})^2 + 13^2 - 2 \cdot 5\sqrt{3} \cdot 13 \cdot \cos 30^\circ = 75 + 169 - 130\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 244 - 195 = 49 \implies c = 7 birim
cc kenarını bulmak için bilinen iki kenar ile aralarındaki açı kullanılarak Kosinüs teoremi uygulanır.
3
Sinüs teoremi uygulanarak çevrel çemberin yarıçapı (RR) bulunur.
csin⁡C=2R  ⟹  7sin⁡30∘=2R  ⟹  71/2=2R  ⟹  14=2R  ⟹  R=7\frac{c}{\sin C} = 2R \implies \frac{7}{\sin 30^\circ} = 2R \implies \frac{7}{1/2} = 2R \implies 14 = 2R \implies R = 7 birim
cc kenarı ve bu kenarın karşısındaki CC açısı bilindiğinden Sinüs teoremi ile çevrel çemberin yarıçapına geçiş yapılır.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi ile Kosinüs Teoreminin birlikte uygulanması
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1750Soru →

Ortak farkı sıfırdan farklı olan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

S27=3S18S_{27} = 3S_{18}

olduğuna göre, bu dizinin kaçıncı terimi sıfıra eşittir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Dizinin 5. terimi sıfıra eşittir.
Verilen toplam eşitliği S27=3S18S_{27} = 3S_{18} formülize edilip sadeleştirildiğinde a1=−4da_1 = -4d bağıntısına ulaşılır. Aritmetik dizinin genel terim formülü am=a1+(m−1)da_m = a_1 + (m-1)d olduğundan, a5=a1+4d=−4d+4d=0a_5 = a_1 + 4d = -4d + 4d = 0 bulunur. Dolayısıyla dizinin 5. terimi kesinlikle sıfırdır.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik dizinin ilk nn teriminin toplam formülünü yazalım.
Sn=n2[2a1+(n−1)d]S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d]
Verilen S27S_{27} ve S18S_{18} ifadelerini bu formül cinsinden ifade etmek için.
2
S27S_{27} ve S18S_{18} terimlerini formülde yerine koyalım.
S27=272[2a1+26d]=27(a1+13d)S_{27} = \frac{27}{2} [2a_1 + 26d] = 27(a_1 + 13d) ve S18=182[2a1+17d]=9(2a1+17d)S_{18} = \frac{18}{2} [2a_1 + 17d] = 9(2a_1 + 17d)
Denklemi kurabilmek ve ifadeleri sadeleştirmek amacıyla.
3
Verilen S27=3S18S_{27} = 3S_{18} eşitliğini kullanalım ve denklemi çözelim.
27(a1+13d)=3⋅9(2a1+17d)  ⟹  27(a1+13d)=27(2a1+17d)  ⟹  a1+13d=2a1+17d  ⟹  a1=−4d27(a_1 + 13d) = 3 \cdot 9(2a_1 + 17d) \implies 27(a_1 + 13d) = 27(2a_1 + 17d) \implies a_1 + 13d = 2a_1 + 17d \implies a_1 = -4d
Dizinin ilk terimi ile ortak farkı arasındaki ilişkiyi bulmak için.
4
Dizinin sıfıra eşit olan mm. terimini bulalım.
am=a1+(m−1)d=0  ⟹  −4d+(m−1)d=0  ⟹  (m−5)d=0a_m = a_1 + (m-1)d = 0 \implies -4d + (m-1)d = 0 \implies (m-5)d = 0. Ortak fark sıfırdan farklı (d≠0d \neq 0) olduğundan, m−5=0  ⟹  m=5m - 5 = 0 \implies m = 5 bulunur.
Sıfıra eşit olan terimin indisini belirlemek için.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizide ilk nn terim toplamı formülü olan Sn=n2[2a1+(n−1)d]S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d] ifadesinin uygulanması ve dizinin genel terimi an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d ile ilişkilendirilmesi.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 1751Soru →

f(x)=ax2−6x+5f(x) = ax^2 - 6x + 5 parabolünün x=1x = 1 apsisli noktasındaki normal doğrusu, x−2y+1=0x - 2y + 1 = 0 doğrusuna paraleldir.

Buna göre, aa gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

a parametresinin değeri 2 olmalıdır.
Parabolün teğetinin eğimi, o noktadaki türeve eşittir. Normal doğrusu verilen doğruya paralel olduğundan eğimleri eşittir ve teğet ile normal dik olduğundan teğet eğimi -2 olarak bulunur. Buradan türev değeri -2'ye eşitlenerek a = 2 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen doğrunun eğimini bulmak için denklem düzenlenir.
y=12x+12y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} elde edilir ve doğrunun eğimi m=12m = \frac{1}{2} olarak bulunur.
Normal doğrusunun eğimini belirlemek için paralel olduğu doğrunun eğimine ihtiyaç vardır.
2
Normal doğrusunun eğimi belirlenir.
mn=12m_n = \frac{1}{2} olur.
Paralel doğruların eğimleri eşittir.
3
Teğet doğrusunun eğimi (mtm_t) hesaplanır.
mt=−2m_t = -2 bulunur.
Aynı noktadaki teğet ve normal doğruları birbirine dik olduğundan eğimleri çarpımı −1-1 olmalıdır (mt⋅mn=−1m_t \cdot m_n = -1).
4
Fonksiyonun türevi alınıp x=1x = 1 noktasındaki teğet eğimine eşitlenerek aa değeri bulunur.
f′(x)=2ax−6  ⟹  f′(1)=2a−6=−2  ⟹  a=2f'(x) = 2ax - 6 \implies f'(1) = 2a - 6 = -2 \implies a = 2 elde edilir.
Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun grafiğine üzerindeki bir noktadan çizilen teğet ve normal doğrularının eğimleri sırasıyla o noktadaki türeve ve türevin negatif çarpmaya göre tersine eşittir.
Soru 1752Soru →
x∈(π4,π2)x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
a=sin⁡2x−cos⁡2xb=tan⁡x−cot⁡xc=sec⁡x−csc⁡x\begin{aligned} a &= \sin^2 x - \cos^2 x \\ b &= \tan x - \cot x \\ c &= \sec x - \csc x \end{aligned}
sayıları veriliyor.
Buna göre; aa, bb ve cc sayılarının doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a < c < b

Cevap

a < c < b sıralaması doğrudur.
Verilen aralıkta sinüs değeri kosinüs değerinden, tanjant değeri ise kotanjant değerinden büyüktür. Bu durum a>0a > 0 ve b>0b > 0 olmasını sağlar. İfadeler sadeleştirildiğinde b=c(sin⁡x+cos⁡x)b = c(\sin x + \cos x) ilişkisi elde edilir. Açı 45∘45^\circ ile 90∘90^\circ arasında olduğundan sinüs ile kosinüsün toplamı 11'den büyüktür ve bu nedenle b>cb > c olur. Benzer şekilde, c=a(sin⁡x+cos⁡x)sin⁡xcos⁡xc = \frac{a}{(\sin x + \cos x)\sin x \cos x} bağıntısında payda 11'den küçük pozitif bir değer olduğu için c>ac > a sonucu çıkar. Bu iki durum birleştirildiğinde a<c<ba < c < b sıralaması bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Açının bulunduğu aralığa göre fonksiyonların temel büyüklük ilişkilerini belirleme.
x∈(π4,π2)x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) olduğundan 45∘<x<90∘45^\circ < x < 90^\circ aralığındadır. Bu bölgede sin⁡x>cos⁡x>0\sin x > \cos x > 0 ve tan⁡x>1>cot⁡x>0\tan x > 1 > \cot x > 0 eşitsizlikleri geçerlidir.
Sıralama yapabilmek için öncelikle sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant değerlerinin birbirlerine göre durumlarını tespit etmeliyiz.
2
Verilen ifadeleri birbirleri cinsinden yazarak karşılaştırma yapma.
a=sin⁡2x−cos⁡2x>0a = \sin^2 x - \cos^2 x > 0 ve b=tan⁡x−cot⁡x=sin⁡xcos⁡x−cos⁡xsin⁡x=sin⁡2x−cos⁡2xsin⁡xcos⁡x=asin⁡xcos⁡xb = \tan x - \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{a}{\sin x \cos x} olur. Bu aralıkta sin⁡xcos⁡x<12\sin x \cos x < \frac{1}{2} olduğundan 1sin⁡xcos⁡x>2\frac{1}{\sin x \cos x} > 2'dir. Dolayısıyla b>2a>ab > 2a > a elde edilir.
Değişkenleri ortak paydada birleştirerek sadeleştirmek ve aralarındaki katsayı ilişkisini bulmak sıralamayı kolaylaştırır.
3
Sekant ve kosekant farkı olan c değerini diğer ifadelerle ilişkilendirme.
c=sec⁡x−csc⁡x=1cos⁡x−1sin⁡x=sin⁡x−cos⁡xsin⁡xcos⁡xc = \sec x - \csc x = \frac{1}{\cos x} - \frac{1}{\sin x} = \frac{\sin x - \cos x}{\sin x \cos x} olur. Buradan b=(sin⁡x−cos⁡x)(sin⁡x+cos⁡x)sin⁡xcos⁡x=c(sin⁡x+cos⁡x)b = \frac{(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x)}{\sin x \cos x} = c(\sin x + \cos x) bağıntısı kurulur. Bu aralıkta sin⁡x+cos⁡x>1\sin x + \cos x > 1 ve c>0c > 0 olduğundan b>cb > c olmalıdır. Ayrıca c=a(sin⁡x+cos⁡x)sin⁡xcos⁡xc = \frac{a}{(\sin x + \cos x)\sin x \cos x} ifadesinde payda 11'den küçük olduğundan c>ac > a bulunur. Sonuç olarak a<c<ba < c < b sıralamasına ulaşılır.
Cebirsel özdeşlikler kullanılarak tüm ifadelerin birbirine bağlı oranları incelenir ve kesin sıralama bulunur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların bölgelerdeki değer aralıklarının belirlenmesi ve temel özdeşliklerin sadeleştirilerek sıralanması.

Alternatif Yöntem

Sıralamayı doğrulamak veya sınavda pratik çözüme ulaşmak için aralıkta bulunan özel bir açı değeri seçilebilir. Örneğin, x=60∘x = 60^\circ (π3\frac{\pi}{3} radyan) seçilirse; sin⁡60∘=32\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, cos⁡60∘=12\cos 60^\circ = \frac{1}{2}, tan⁡60∘=3\tan 60^\circ = \sqrt{3}, cot⁡60∘=33\cot 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}, sec⁡60∘=2\sec 60^\circ = 2 ve csc⁡60∘=233\csc 60^\circ = \frac{2\sqrt{3}}{3} değerleri elde edilir. Buradan a=0,75−0,25=0,5a = 0,75 - 0,25 = 0,5, b=3−33=233≈1,15b = \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1,15 ve c=2−233≈0,85c = 2 - \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 0,85 bulunur. Bu değerlerin sıralaması doğrudan a<c<ba < c < b sonucunu verir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1753Soru →

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

Bu dizide,
S9−S5=64S_9 - S_5 = 64
S6=48S_6 = 48

olduğuna göre, bu dizinin 10. terimi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

Dizinin 10. terimi 21'dir.
Verilen toplam ve fark eşitliklerinden elde edilen 2a1+13d=322a_1 + 13d = 32 ve 2a1+5d=162a_1 + 5d = 16 denklem sistemi çözüldüğünde dizinin ortak farkı d=2d = 2 ve ilk terimi a1=3a_1 = 3 olarak bulunur. Bu değerlerle dizinin 10. terimi a10=a1+9d=3+18=21a_{10} = a_1 + 9d = 3 + 18 = 21 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
S9−S5S_9 - S_5 ifadesinin terimler ve ortak fark cinsinden eşitini bulma
2a1+13d=322a_1 + 13d = 32
S9−S5=a6+a7+a8+a9S_9 - S_5 = a_6 + a_7 + a_8 + a_9 eşitliğinde her terim a1a_1 ve dd cinsinden yazılarak toplanır.
2
S6S_6 terim toplamı formülünü kullanarak ikinci bir denklem elde etme
2a1+5d=162a_1 + 5d = 16
Sn=n2(2a1+(n−1)d)S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) formülünde n=6n = 6 yazılıp toplam 48'e eşitlenir.
3
Elde edilen denklem sistemini çözerek a1a_1 ve dd değerlerini bulma
d=2d = 2 ve a1=3a_1 = 3
İki denklemin taraf tarafa çıkarılmasıyla dd bulunur, ardından elde edilen değer denklemlerden birinde yerine yazılarak a1a_1 değeri çekilir.
4
Dizinin 10. terimi olan a10a_{10} değerini hesaplama
a10=21a_{10} = 21
a10=a1+9da_{10} = a_1 + 9d genel terim formülü uygulanır.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizide ilk n terim toplamı formülü ve genel terim özellikleri
Soru 1754Soru →

aa ve bb sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere, x2−ax+b≤0x^2 - ax + b \le 0 eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi boş küme ise x2+ax+b≥0x^2 + ax + b \ge 0 eşitsizliği her xx gerçel sayısı için sağlanır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen önerme doğrudur.
Verilen ifadenin diskriminantı negatif ve başkatsayısı pozitif olduğundan, her iki eşitsizlikteki ifadeler de daima pozitif değerler alır. Bu nedenle önerme doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizliğin çözüm kümesi bilgisini kullanarak diskriminantın işaretini belirleme.
x2−ax+b≤0x^2 - ax + b \le 0 eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi boş kümedir. Bu, x2−ax+b>0x^2 - ax + b > 0 ifadesinin her x∈Rx \in \mathbb{R} için doğru olması demektir. İkinci dereceden bir ifadenin daima pozitif olması için başkatsayısının pozitif ve diskriminantının negatif olması gerektiğinden Δ=(−a)2−4⋅1⋅b=a2−4b<0\Delta = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot b = a^2 - 4b < 0 elde edilir.
İkinci dereceden bir ifadenin işaretinin daima pozitif kalabilmesi için xx eksenini kesmemesi gerekir, bu da diskriminantın negatif olmasını gerektirir.
2
İkinci eşitsizlikteki ifadenin diskriminantını hesaplama.
x2+ax+b≥0x^2 + ax + b \ge 0 eşitsizliğindeki üç terimlinin diskriminantı Δ2=a2−4⋅1⋅b=a2−4b\Delta_2 = a^2 - 4 \cdot 1 \cdot b = a^2 - 4b olarak bulunur.
Yeni ifadenin işaret davranışını analiz edebilmek için diskriminantını hesaplamamız gerekir.
3
İki diskriminantı karşılaştırarak ikinci eşitsizliğin çözüm kümesini yorumlama.
İlk adımdan Δ=a2−4b<0\Delta = a^2 - 4b < 0 olduğunu biliyoruz. Dolayısıyla Δ2=a2−4b<0\Delta_2 = a^2 - 4b < 0 olur. Başkatsayısı da 1>01 > 0 olduğundan, x2+ax+bx^2 + ax + b ifadesi her x∈Rx \in \mathbb{R} için daima pozitif (>0> 0) değerler alır. Bu da x2+ax+b≥0x^2 + ax + b \ge 0 eşitsizliğinin tüm gerçel sayılar için sağlandığını gösterir.
Negatif diskriminant ve pozitif başkatsayı, ifadenin her zaman pozitif olduğunu garanti eder.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden eşitsizliklerin daima sağlanması veya çözüm kümesinin boş küme olması durumlarında diskriminantın işaret analizi.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 1755Soru →
log⁡12(x−2)+3log⁡3(x2−9)−3≥0\frac{\log_{\frac{1}{2}}(x - 2) + 3}{\log_3(x^2 - 9) - 3} \geq 0

eşitsizliğini sağlayan tüm xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 34

Cevap

Eşitsizliğini sağlayan tüm x tam sayılarının toplamı 34'tür.
Eşitsizliği sağlayan tam sayılar 7, 8, 9 ve 10 olup toplamları 34'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritmik ifadelerin tanımlı olabilmesi için gerekli olan tanım kümelerini belirlemek.
x>3x > 3 olmalıdır.
log⁡b(a)\log_b(a) ifadesinin tanımlı olması için a>0a > 0 olmalıdır. Dolayısıyla x−2>0  ⟹  x>2x - 2 > 0 \implies x > 2 ve x2−9>0  ⟹  x>3x^2 - 9 > 0 \implies x > 3 veya x<−3x < -3 koşullarının kesişimi alınarak x>3x > 3 bulunur.
2
Payın kökünü bulmak.
x=10x = 10
log⁡12(x−2)+3=0  ⟹  log⁡12(x−2)=−3  ⟹  x−2=8  ⟹  x=10\log_{\frac{1}{2}}(x - 2) + 3 = 0 \implies \log_{\frac{1}{2}}(x - 2) = -3 \implies x - 2 = 8 \implies x = 10 olur.
3
Paydanın köklerini bulmak.
x=6x = 6 (ve x=−6x = -6, ancak bu değer tanım kümesi dışındadır).
log⁡3(x2−9)−3=0  ⟹  log⁡3(x2−9)=3  ⟹  x2−9=27  ⟹  x2=36  ⟹  x=6\log_3(x^2 - 9) - 3 = 0 \implies \log_3(x^2 - 9) = 3 \implies x^2 - 9 = 27 \implies x^2 = 36 \implies x = 6 veya x=−6x = -6 olur. Tanım kümesi x>3x > 3 olduğundan sadece x=6x = 6 kökü incelenir.
4
Pay ve paydanın işaretlerini tanım kümesi olan (3,∞)(3, \infty) aralığında incelemek.
İşaret tablosu yardımıyla eşitsizliğin [6,10][6, 10] aralığında pozitif veya sıfır olduğu, ancak x=6x = 6'da payda sıfır olduğu için tanımsız olduğu belirlenir. Çözüm kümesi (6,10](6, 10] olarak elde edilir.
Payın tabanı 1/2<11/2 < 1 olduğundan azalan, paydanın tabanı 3>13 > 1 olduğundan artan fonksiyondur. Bu durum işaret tablosundaki yönleri belirler.
5
Çözüm kümesindeki tam sayıların toplamını bulmak.
34
(6,10](6, 10] aralığındaki tam sayılar 7,8,9,107, 8, 9, 10 olup, toplamları 7+8+9+10=347 + 8 + 9 + 10 = 34 eder.

Anahtar Kavram

Logaritmik eşitsizliklerin çözümünde tanım kümesi sınırlamaları, tabanın 1'den küçük olması durumunda eşitsizliğin yön değiştirmesi ve rasyonel ifadelerin işaret incelemesi.
Soru 1756Soru →

Terimleri pozitif gerçek sayılar olan bir geometrik dizinin ardışık üç terimi sırasıyla x−3x-3, x+1x+1 ve x+9x+9 olduğuna göre, bu dizinin ortak çarpanı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Ortak ��arpanı 2 olan seçenektir.
Dizinin ardışık terimleri arasındaki oran sabit olduğundan ortadaki terimin karesi komşu terimlerin çarpımına eşittir. (x+1)2=(x−3)(x+9)(x+1)^2 = (x-3)(x+9) denklemi çözüldüğünde x=7x = 7 bulunur. Bu değer yerine yazıldığında terimler 4, 8 ve 16 olarak elde edilir. Ortak çarpan ise ardışık iki terimin oranı olan 8/4 = 2 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Geometrik dizinin ardışık üç terimi a1,a2,a3a_1, a_2, a_3 için geçerli olan a22=a1⋅a3a_2^2 = a_1 \cdot a_3 özelliğini kullanarak bir denklem kurarız.
(x+1)2=(x−3)⋅(x+9)(x+1)^2 = (x-3) \cdot (x+9) denklemi elde edilir.
Geometrik dizide ardış��k terimlerin oranları birbirine eşittir.
2
Elde edilen denklemdeki ifadeleri açarak xx değerini buluruz.
x2+2x+1=x2+6x−27  ⟹  2x+1=6x−27  ⟹  4x=28  ⟹  x=7x^2 + 2x + 1 = x^2 + 6x - 27 \implies 2x + 1 = 6x - 27 \implies 4x = 28 \implies x = 7 bulunur.
Dizinin terimlerini sayısal olarak belirlemek için xx bilinmeyeninin çözülmesi gerekir.
3
Bulunan x=7x = 7 değerini terimlerin formüllerinde yerine yazarak dizinin ardışık üç terimini elde ederiz.
Terimler sırasıyla 7−3=47 - 3 = 4, 7+1=87 + 1 = 8 ve 7+9=167 + 9 = 16 olur.
Ortak çarpanı hesaplamak için terimlerin değerlerinin bilinmesi gerekir.
4
Ardışık terimlerden ikincisini birincisine bölerek dizinin ortak çarpanını (rr) hesaplarız.
r=84=2r = \frac{8}{4} = 2 elde edilir.
Geometrik dizide ortak çarpan, ardışık herhangi iki terimden sonrakinin öncekine bölünmesiyle bulunur.

Anahtar Kavram

Bir geometrik dizinin ardışık terimlerinin oranı sabittir. Dizinin ardışık üç terimi için ortadaki terimin karesi, komşu terimlerin çarpımına eşittir.

Alternatif Yöntem

Geometrik dizinin tanımı gereği ardışık terimlerin oranı eşit olduğundan doğrudan x+1x−3=x+9x+1\frac{x+1}{x-3} = \frac{x+9}{x+1} eşitliği yazılıp içler dışlar çarpımı yapılarak da aynı denklem elde edilebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 1757Soru →
Bir (an)(a_n) dizisinde a1=1a_1 = 1 ve her n≥1n \geq 1 tam sayısı için
an+1=n⋅an+1n+2a_{n+1} = \frac{n \cdot a_n + 1}{n+2}
indirgeme bağıntısı tan��mlanıyor.

Buna göre, bu dizinin ilk 10 teriminin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6511\frac{65}{11}

Cevap

İlk 10 terimin toplamı olan 65/11 değeri
Verilen indirgemeli bağıntı düzenlenip her iki taraf n+1n+1 ile çarpıldığında, bn=n(n+1)anb_n = n(n+1)a_n dönüşümü yardımıyla teleskopik bir fark bağıntısı elde edilir. Buradan genel terim ak=1/2+1/(k(k+1))a_k = 1/2 + 1/(k(k+1)) olarak bulunur. İlk 10 terim toplandığında ise sabit terimlerin toplamından 5, teleskopik toplamdan ise 1−1/11=10/111 - 1/11 = 10/11 gelir. Bu iki değerin toplamı 65/11 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
İndirgeme bağıntısını düzenleyip her iki tarafı n+1n+1 ile çarpmak.
(n+1)(n+2)an+1=n(n+1)an+(n+1)(n+1)(n+2)a_{n+1} = n(n+1)a_n + (n+1)
Eşitliğin sol ve sağ taraflarında benzer indis yapıları elde ederek teleskopik forma dönüştürmek.
2
bn=n(n+1)anb_n = n(n+1)a_n dönüşümü yapmak.
bn+1=bn+n+1  ⟹  bn+1−bn=n+1b_{n+1} = b_n + n + 1 \implies b_{n+1} - b_n = n + 1
Karmaşık bağıntıyı daha kolay çözülebilen birinci dereceden bir fark denklemine indirgemek.
3
bn+1−bn=n+1b_{n+1} - b_n = n + 1 bağıntısında n=1n=1'den k−1k-1'e kadar değerler yazıp taraf tarafa toplamak.
bk=k(k+1)2+1b_k = \frac{k(k+1)}{2} + 1
bkb_k genel terimini b1b_1 cinsinden hesaplamak.
4
aka_k terimini yalnız bırakıp ilk 10 terimin toplamını hesaplamak.
∑k=110ak=6511\sum_{k=1}^{10} a_k = \frac{65}{11}
Genel terimdeki kesirli ifadeyi basit kesirlere ayırarak teleskopik toplamı uygulamak.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde uygun bir çarpan yardımıyla teleskopik toplam veya çarpım formuna ulaşılarak genel terimin elde edilmesi.
Soru 1758Soru →

Bir ABCABC üçgeninde, aa ve bb kenar uzunlukları sırasıyla 6 birim6\text{ birim} ve 3 birimdir.3\text{ birimdir.}

m(A^)−m(B^)=90∘m(\widehat{A}) - m(\widehat{B}) = 90^\circ

olduğuna göre, cot⁡(B^)\cot(\widehat{B}) değeri ka��tır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İstenen cot⁡(B^)\cot(\widehat{B}) değeri 2 olarak bulunur.
Sinüs Teoremi uygulanarak 6sin⁡(90∘+B)=3sin⁡B\frac{6}{\sin(90^\circ + B)} = \frac{3}{\sin B} elde edilir. sin⁡(90∘+B)=cos⁡B\sin(90^\circ + B) = \cos B özdeşliği kullanıldığında 6cos⁡B=3sin⁡B\frac{6}{\cos B} = \frac{3}{\sin B} bağıntısı bulunur. Buradan oran-orantı kuralları ile cot⁡B=cos⁡Bsin⁡B=2\cot B = \frac{\cos B}{\sin B} = 2 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgende Sinüs Teoremi bağıntısı yazılır.
asin⁡(A^)=bsin⁡(B^)\frac{a}{\sin(\widehat{A})} = \frac{b}{\sin(\widehat{B})}
Kenar uzunlukları ile karşılarındaki açıların sinüs değerleri arasındaki ilişkiyi kurmak için.
2
a=6a = 6, b=3b = 3 ve m(A^)=90∘+m(B^)m(\widehat{A}) = 90^\circ + m(\widehat{B}) değerleri denklemde yerine yazılır.
6sin⁡(90∘+B^)=3sin⁡(B^)\frac{6}{\sin(90^\circ + \widehat{B})} = \frac{3}{\sin(\widehat{B})}
Verilen bağıntıyı kullanarak denklemi tek bir açı cinsinden ifade etmek için.
3
Trigonometrik indirgeme kullanılarak sin⁡(90∘+B^)\sin(90^\circ + \widehat{B}) ifadesi sadeleştirilir.
sin⁡(90∘+B^)=cos⁡(B^)\sin(90^\circ + \widehat{B}) = \cos(\widehat{B}) olduğundan denklem 6cos⁡(B^)=3sin⁡(B^)\frac{6}{\cos(\widehat{B})} = \frac{3}{\sin(\widehat{B})} halini alır.
İkinci bölgedeki açının sinüs değerini birinci bölgedeki kosinüs cinsinden yazmak için.
4
Elde edilen denklem düzenlenerek cot⁡(B^)\cot(\widehat{B}) oranı hesaplanır.
cos⁡(B^)sin⁡(B^)=63=2\frac{\cos(\widehat{B})}{\sin(\widehat{B})} = \frac{6}{3} = 2 yani cot⁡(B^)=2\cot(\widehat{B}) = 2 bulunur.
Soruda bizden istenen oranı elde etmek için.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi ve Trigonometrik İndirgeme
Soru 1759Soru →

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

Bu dizide ilk 8 terimin toplamı, ilk 4 terimin toplamının 4 katına eşittir.

Dizinin ilk terimi a1=3a_1 = 3 olduğuna göre, bu dizinin 10. terimi (a10a_{10}) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 57

Cevap

Dizinin 10. terimi 57'dir.
İlk nn terim toplamı formülünden elde edilen S8=4S4S_8 = 4S_4 eşitliği çözüldüğünde ortak fark ile ilk terim arasında d=2a1d = 2a_1 bağıntısı bulunur. a1=3a_1 = 3 olduğundan d=6d = 6 olur. Buradan dizinin 10. terimi a10=a1+9d=3+9⋅6=57a_{10} = a_1 + 9d = 3 + 9 \cdot 6 = 57 şeklinde doğru olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik dizinin ilk nn terim toplamı formülün�� yazmak.
Sn=n2⋅[2a1+(n−1)d]S_n = \frac{n}{2} \cdot [2a_1 + (n-1)d]
Dizideki toplam ifadelerini ortak fark (dd) ve ilk terim (a1a_1) cinsinden ifade etmek için.
2
Soruda verilen S8=4S4S_8 = 4S_4 eşitliğini formüle uygulamak.
4(2a1+7d)=8(2a1+3d)  ⟹  2a1+7d=4a1+6d  ⟹  d=2a14(2a_1 + 7d) = 8(2a_1 + 3d) \implies 2a_1 + 7d = 4a_1 + 6d \implies d = 2a_1
İlk terim ile ortak fark arasındaki ilişkiyi bulmak için.
3
Verilen a1=3a_1 = 3 değerini kullanarak ortak farkı (dd) hesaplamak.
d=2⋅3=6d = 2 \cdot 3 = 6
Dizinin terimlerini bulabilmek amacıyla ortak farkı sayısal olarak belirlemek için.
4
Aritmetik dizinin genel terim formülünü kullanarak 10. terimi hesaplamak.
a10=a1+9d=3+9⋅6=57a_{10} = a_1 + 9d = 3 + 9 \cdot 6 = 57
Bizden istenen 10. terim değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde ilk nn terim toplamı formülü Sn=n2(2a1+(n−1)d)S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) ve genel terim formülü an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d bağıntılarıyla bulunur.
Soru 1760Soru →

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

Bu dizinin ilk terimi a1=3a_1 = 3 ve ortak farkı d=2d = 2'dir.

p<q<rp < q < r pozitif tam sayıları için SpS_p, SqS_q ve SrS_r toplamları sırasıyla bir geometrik dizinin ardışık üç terimi olduğuna göre, p+q+rp + q + r toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Koşulu sağlayan p,q,rp, q, r değerlerinin en küçük toplamı 24'tür.
Aritmetik dizinin genel toplam formülü uygulandığında Sn=n(n+2)S_n = n(n+2) elde edilir. Sp,Sq,SrS_p, S_q, S_r toplamlarının geometrik dizi oluşturması için [q(q+2)]2=p(p+2)r(r+2)[q(q+2)]^2 = p(p+2)r(r+2) olmalıdır. Bu Diophantine denkleminin p<q<rp < q < r koşulunu sağlayan en küçük pozitif tam sayı çözümü p=2,q=6,r=16p=2, q=6, r=16 olup, bu değerlerin toplamı 24'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik dizinin ilk nn teriminin toplam formülünü oluşturun.
Sn=n2[2a1+(n−1)d]S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d] formülünde verilenler yerine yazılırsa; Sn=n2[2⋅3+(n−1)2]=n2[2n+4]=n(n+2)S_n = \frac{n}{2}[2 \cdot 3 + (n-1)2] = \frac{n}{2}[2n + 4] = n(n+2) elde edilir.
Soruda verilen dizinin toplam fonksiyonunu bulmak için aritmetik dizi toplam formülünü uygulamamız gerekir.
2
Geometrik dizi koşulunu uygulayın.
SpS_p, SqS_q, SrS_r terimleri geometrik bir dizinin ardışık üç terimi olduğundan Sq2=Sp⋅SrS_q^2 = S_p \cdot S_r olmalıdır. Buradan [q(q+2)]2=p(p+2)⋅r(r+2)[q(q+2)]^2 = p(p+2) \cdot r(r+2) denklemi elde edilir.
Bir geometrik dizide ortanca terimin karesi, kendisine eşit uzaklıktaki terimlerin çarpımına eşittir.
3
Değişken dönüşümü yaparak denklemi basitleştirin.
p(p+2)=(p+1)2−1p(p+2) = (p+1)^2 - 1 özdeşliği yardımıyla x=p+1x = p+1, y=r+1y = r+1 ve z=q+1z = q+1 dönüşümleri yapıldığında denklem: (z2−1)2=(x2−1)(y2−1)(z^2 - 1)^2 = (x^2 - 1)(y^2 - 1) halini alır. Burada p<q<rp < q < r olduğundan 1<x<z<y1 < x < z < y olmalıdır.
İfadeyi tam karelere benzeterek Diophantine (tam sayı) denklem çözümü yapmayı kolaylaştırmak için bu dönüşüm uygulanır.
4
Denklemin en küçük pozitif tam sayı çözümlerini analiz edin.
x=3x = 3 (p=2p = 2) için: 8(y2−1)=(z2−1)28(y^2 - 1) = (z^2 - 1)^2 olur. 8=2⋅228 = 2 \cdot 2^2 olduğundan y2−1y^2 - 1 ifadesinin 2⋅k22 \cdot k^2 biçiminde olması gerekir. Buradan y2−2k2=1y^2 - 2k^2 = 1 Pell denklemi elde edilir. Bu denklemin y>xy > x koşulunu sağlayan en küçük tam sayı çözümü y=17,k=12y = 17, k = 12 değerleridir. Bu durumda z2−1=2⋅2⋅12=48  ⟹  z2=49  ⟹  z=7z^2 - 1 = 2 \cdot 2 \cdot 12 = 48 \implies z^2 = 49 \implies z = 7 bulunur. Buradan p=2,q=6,r=16p = 2, q = 6, r = 16 elde edilir. Bu indisler için toplam 2+6+16=242 + 6 + 16 = 24 olur.
En küçük pozitif tam sayı indislerini bulmak için Pell denklemi teorisi ve çarpan analizi uygulanır.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde ilk nn terim toplamının geometrik dizi özellikleri ile birleştirilerek Diophantine denklem analiziyle çözülmesi.
ÖncekiSayfa 88 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin