Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 1721Soru →
sin⁡(3x)sin⁡(x)+cos⁡(3x)cos⁡(x)=4cos⁡2(2x)\frac{\sin(3x)}{\sin(x)} + \frac{\cos(3x)}{\cos(x)} = 4\cos^2(2x)

denkleminin [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki farklı gerçel köklerinin sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Denklemin [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki farklı gerçel köklerinin sayısı 2'dir.
Denklemin sol tarafı sadeleştirildiğinde 4cos⁡(2x)=4cos⁡2(2x)4\cos(2x) = 4\cos^2(2x) eşitliği elde edilir. Bu eşitlikten 4cos⁡(2x)(cos⁡(2x)−1)=04\cos(2x)(\cos(2x) - 1) = 0 denklemine ulaşılır. Buradan cos⁡(2x)=0\cos(2x) = 0 veya cos⁡(2x)=1\cos(2x) = 1 olmalıdır. cos⁡(2x)=0\cos(2x) = 0 durumundan [0,π][0, \pi] aralığında x=π4x = \frac{\pi}{4} ve x=3π4x = \frac{3\pi}{4} kökleri elde edilir ve bu kökler başlangıçtaki ifadenin paydalarını sıfır yapmaz. Ancak cos⁡(2x)=1\cos(2x) = 1 durumundan elde edilen x=0x = 0 ve x=πx = \pi kökleri sin⁡(x)=0\sin(x) = 0 yaparak paydayı sıfır yaptığından tanımsızlığa yol açar. Bu yüzden aralıktaki farklı köklerin sayısı 2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Payları eşitleyerek sol tarafı tek bir kesir olarak yazın ve pay/payda kısımlarında trigonometrik özdeşlikleri uygulayın.
sin⁡(4x)sin⁡(2x)2=4cos⁡2(2x)\frac{\sin(4x)}{\frac{\sin(2x)}{2}} = 4\cos^2(2x)
Sol taraftaki iki rasyonel ifadeyi tek bir terim haline getirmek ve sadeleştirme yapabilmek için.
2
Pay kısmındaki sin⁡(4x)\sin(4x) ifadesini yarım açı formülüyle açarak sadeleştirme yapın.
4cos⁡(2x)=4cos⁡2(2x)4\cos(2x) = 4\cos^2(2x) (Burada sin⁡(2x)≠0\sin(2x) \neq 0 olmalıdır)
İfadeyi daha basit bir trigonometrik denklem formuna dönüştürmek için.
3
Denklemi çarpanlarına ayırarak çözün.
4cos⁡(2x)(cos⁡(2x)−1)=04\cos(2x)(\cos(2x) - 1) = 0
Çarpanların her birini sıfıra eşitleyerek olası kök adaylarını bulmak için.
4
Bulunan kök adaylarının tanım kümesine uygunluğunu denetleyin ve [0,π][0, \pi] aralığındaki kök sayısını belirleyin.
x=π4x = \frac{\pi}{4} ve x=3π4x = \frac{3\pi}{4} geçerli köklerdir. x=0x = 0 ve x=πx = \pi ise paydayı sıfır yaptığından elenir. Toplam kök sayısı 2'dir.
Rasyonel ifadeler içeren denklemlerde paydayı sıfır yapan değerlerin kök olamayacağını kontrol etmek için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Denklemlerin Çözümü ve Tanım Kümesi Kontrolü
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 1722Soru →
a∈Ra \in \mathbb{R} olmak üzere,
(a−3)x2−4x+a>0(a - 3)x^2 - 4x + a > 0

ikinci dereceden eşitsizliği her xx gerçel sayısı için sağlandığına göre, aa parametresinin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

En küçük tam sayı değeri 5'tir.
Eşitsizliğin her gerçel sayı için daima pozitif değerler alması için a−3>0a - 3 > 0 ve diskriminantın Δ<0\Delta < 0 olması gerekir. Bu iki eşitsizliğin ortak çözümü a>4a > 4 aralığını verir. Bu aralıktaki en küçük tam sayı değeri ise 5'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Daima pozitiflik şartlarını belirleme
a−3>0a - 3 > 0 ve Δ<0\Delta < 0 olmalıdır.
İkinci dereceden bir fonksiyonun daima pozitif değerler alması için kollarının yukarı doğru olması ve grafiğinin x-eksenini kesmemesi gerekir.
2
Baş katsayı koşulunu çözme
a>3a > 3
a−3>0a - 3 > 0 eşitsizliğinin çözülmesiyle baş katsayının pozitif olma aralığı bulunur.
3
Diskriminant eşitsizliğini kurma ve sadeleştirme
a2−3a−4>0a^2 - 3a - 4 > 0
Δ=16−4a(a−3)<0\Delta = 16 - 4a(a - 3) < 0 ifadesini düzenleyip −4-4'e bölerek aa cinsinden ikinci dereceden bir eşitsizlik elde edilir.
4
Diskriminant eşitsizliğinin köklerini bulma ve çözüm aralığını belirleme
a∈(−∞,−1)∪(4,∞)a \in (-\infty, -1) \cup (4, \infty)
a2−3a−4=0a^2 - 3a - 4 = 0 denkleminin kökleri olan −1-1 ve 44 değerleri ile işaret tablosu oluşturularak pozitif bölgeler belirlenir.
5
İki koşulun kesişimini alarak en küçük tam sayıyı belirleme
a>4a > 4 aralığından en küçük tam sayı 5'tir.
Hem baş katsayının pozitiflik şartı (a>3a > 3) hem de diskriminant şartı (a>4a > 4 veya a<−1a < -1) birlikte sağlanmalıdır.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliğin her gerçel sayı için daima sağlanması koşulu
Soru 1723Soru →

(an)(a_n) bir gerçel sayı dizisidir.

an=n2−9n−102n−ka_n = \frac{n^2 - 9n - 10}{2n - k}

genel terimi ile verilen (an)(a_n) dizisinin negatif terimlerinin sayısı 4 olduğuna göre, kk tam sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

Farklı k değerlerinin toplamı 40'tır.
Genel terimi verilen ifadenin bir gerçel sayı dizisi belirtmesi için her pozitif tam sayı için tanımlı olması gerekir. Bu sebeple paydanın kökü pozitif bir tam sayı olamaz, yani kk çift sayı olamaz. Payın kökleri ile paydanın işaret değiştirdiği sınır noktası incelendiğinde, dizinin negatif terimlerinin sayısını tam olarak 4 yapan kk tam sayı değerleri sadece 11 ve 29 olarak bulunur. Bu değerlerin toplamı 40'tır.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin terimlerinin tanımlı olma şartının belirlenmesi
2n−k≠0  ⟹  k≠2n2n - k \neq 0 \implies k \neq 2n
Bir ifadenin gerçel sayı dizisi belirtebilmesi için tüm pozitif tam sayılar (n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+) için tanımlı olması gerekir. Bu yüzden payda sıfır olamaz. Dolayısıyla kk sayısı çift bir pozitif tam sayı olamaz.
2
Pay kısmının işaretinin incelenmesi
n2−9n−10=(n−10)(n+1)n^2 - 9n - 10 = (n-10)(n+1) ifadesinin kökleri n=−1n = -1 ve n=10n = 10'dur.
Dizi terimlerinin işaretini incelemek için pay ve paydanın işaret değişim noktalarını belirlememiz gerekir. Pozitif tam sayılar kümesinde pay 1≤n≤91 \leq n \leq 9 için negatif, n=10n = 10 için sıfır ve n≥11n \geq 11 için pozitif değerler alır.
3
Paydanın işaret durumuna göre negatif terim sayısının analiz edilmesi (Birinci durum)
k/2<10k/2 < 10 ise k=11k = 11 bulunur.
Payda n=k/2n = k/2 noktasında işaret değiştirir. Eğer k/2<10k/2 < 10 ise, negatif terimler (k/2,10)(k/2, 10) aralığında yer alır. Bu aralıktaki terim sayısının 4 olması için 9,8,7,69, 8, 7, 6 terimleri negatif olmalıdır. Buradan 5≤k/2<6  ⟹  10≤k<125 \leq k/2 < 6 \implies 10 \leq k < 12 elde edilir. kk çift olamayacağından k=11k = 11 bulunur.
4
Paydanın işaret durumuna göre negatif terim sayısının analiz edilmesi (İkinci durum)
k/2>10k/2 > 10 ise k=29k = 29 bulunur.
Eğer k/2>10k/2 > 10 ise, negatif terimler (10,k/2)(10, k/2) aralığında yer alır. Bu aralıktaki terim sayısının 4 olması için 11,12,13,1411, 12, 13, 14 terimleri negatif olmalıdır. Buradan 14<k/2≤15  ⟹  28<k≤3014 < k/2 \leq 15 \implies 28 < k \leq 30 elde edilir. kk çift olamayacağından k=29k = 29 bulunur.
5
Bulunan kk değerlerinin toplamının hesaplanması
11+29=4011 + 29 = 40
Koşulları sağlayan kk tam sayı değerleri 11 ve 29 olduğundan, bu değerlerin toplamı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bir ifadenin gerçel sayı dizisi genel terimi olabilmesi için her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için tanımlı olması gerekir. Dizi terimlerinin işaretleri eşitsizlik tablosu yöntemiyle incelenir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1724Soru →
Sabit 20∘C20^\circ\text{C} sıcaklıktaki bir laboratuvar ortamında bulunan iki farklı kimyasal sıvının sıcaklıklarının zamana göre değişimi incelenmektedir. A sıvısının tt dakika sonraki sıcaklığı TA(t)=20+64⋅4−atT_A(t) = 20 + 64 \cdot 4^{-at} B sıvısının tt dakika sonraki sıcaklığı TB(t)=20+128⋅8−btT_B(t) = 20 + 128 \cdot 8^{-bt} fonksiyonları ile modellenmiştir (burada aa ve bb pozitif sabitlerdir). Deneyin başlangıcından 55 dakika sonra her iki sıvının sıcaklığı da 36∘C36^\circ\text{C} olarak ölçülmüştür. Buna göre, deneyin başlangıcından kaç dakika sonra B sıvısının sıcaklığı, A sıvısının sıcaklığının 14\frac{1}{4}'ünden 16∘C16^\circ\text{C} fazla olur?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Deneyin başlangıcından 10 dakika sonra B sıvısının sıcaklığı, A sıvısının sıcaklığının 1/4'ünden 16°C fazla olur.
Sıvıların sıcaklık modellerindeki bilinmeyen katsayılar başlangıç verileriyle a=1/5a=1/5 ve b=1/5b=1/5 olarak belirlenir. İstenen sıcaklık eşitliği kurulup y=2−t/5y = 2^{-t/5} dönüşümü yapıldığında 128y3−16y2−1=0128y^3 - 16y^2 - 1 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklem (4y−1)(32y2+4y+1)=0(4y-1)(32y^2+4y+1)=0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. İkinci çarpanın reel kökü olmadığından 4y−1=0  ⟹  y=1/44y-1=0 \implies y=1/4 tek çözümdür. Buradan 2−t/5=2−2  ⟹  t=102^{-t/5} = 2^{-2} \implies t = 10 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
A ve B sıvılarının sıcaklık modellerindeki aa ve bb katsayılarını bulunuz.
a=15a = \frac{1}{5} ve b=15b = \frac{1}{5} olarak bulunur.
t=5t=5 anında her iki sıvının sıcaklığının 36∘C36^\circ\text{C} olduğu bilgisi kullanılarak üstel denklemler çözülür.
2
B sıvısının sıcaklığının, A sıvısının sıcaklığının 14\frac{1}{4}'ünden 16∘C16^\circ\text{C} fazla olduğu anı veren denklemi kurunuz.
20+128⋅8−t/5=14(20+64⋅4−t/5)+1620 + 128 \cdot 8^{-t/5} = \frac{1}{4}(20 + 64 \cdot 4^{-t/5}) + 16 denklemi elde edilir.
Soruda verilen sözel ilişki matematiksel eşitliğe dökülür.
3
y=2−t/5y = 2^{-t/5} dönüşümü yaparak elde edilen üçüncü dereceden denklemi çarpanlarına ayırıp çözünüz.
y=14y = \frac{1}{4} tek gerçek kök olarak bulunur.
128y3−16y2−1=0  ⟹  (4y−1)(32y2+4y+1)=0128y^3 - 16y^2 - 1 = 0 \implies (4y - 1)(32y^2 + 4y + 1) = 0 eşitliğinde ikinci çarpanın gerçel kökü yoktur.
4
yy değerini kullanarak tt süresini hesaplayınız.
t=10t = 10 dakika olarak bulunur.
2−t/5=14=2−22^{-t/5} = \frac{1}{4} = 2^{-2} temel logaritmik/üstel eşitliği çözülür.

Anahtar Kavram

Üstel fonksiyon modellerinde değişken değiştirme yöntemi kullanılarak çok terimli denklemlerin çözülmesi.
Soru 1725Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı, grafiği yy-eksenine göre simetrik olan ve (0,∞)(0, \infty) aralığında artan bir ff fonksiyonu veriliyor.

ff fonksiyonunun grafiği; xx-ekseni boyunca sağa 4 birim, yy-ekseni boyunca yukarı 3 birim ötelendiğinde gg fonksiyonunun grafiği elde ediliyor.

Buna göre, gg fonksiyonu ile ilgili,

I. Grafiği x=−4x = -4 doğrusuna göre simetriktir.
II. (4,∞)(4, \infty) aralığında artandır.
III. (3,∞)(3, \infty) aralığında artandır.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız II

Cevap

Yalnız II
Grafiği ordinat eksenine göre simetrik olan fonksiyonun simetri ekseni x=0x=0 doğrusudur. Bu grafik sağa 4 birim ötelendiğinde simetri ekseni x=4x=4 doğrusu olur. Aynı şekilde, fonksiyonun (0,∞)(0, \infty) aralığındaki artanlığı sağa 4 birim ötelenerek (4,∞)(4, \infty) aralığına taşınır. Dikey öteleme bu özellikleri değiştirmediği için sadece ikinci öncül doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
ff fonksiyonunun simetri eksenini ve öteleme sonrası yeni simetri eksenini belirleme.
ff fonksiyonunun grafiği yy-eksenine göre simetrik olduğundan başlangıçtaki simetri ekseni x=0x = 0 doğrusudur. Grafiğin sağa 4 birim ötelenmesiyle yeni simetri ekseni x=4x = 4 doğrusu olur. Dikey öteleme simetri eksenini etkilemez. Bu nedenle I. öncül yanlıştır.
yy-eksenine göre simetrik olan çift fonksiyonların simetri ekseni x=0x=0 doğrusudur ve yatay ötelemeler bu eksenin konumunu doğrudan kaydırır.
2
gg fonksiyonunun artan olduğu aralığı belirleme.
ff fonksiyonu (0,∞)(0, \infty) aralığında artandır. Grafik sağa 4 birim ötelendiğinde artan olduğu aralık da sağa 4 birim ötelenerek (4,∞)(4, \infty) aralığı olur. Dikey öteleme fonksiyonun artanlık/azalanlık karakterini ve bu karakterin geçerli olduğu tanım kümesi aralığını etkilemez. Bu nedenle II. öncül doğrudur.
Yatay öteleme işlemi, fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkların sınırlarını öteleme miktarı kadar kaydırır.
3
Dikey ötelemenin artanlık aralığı üzerindeki etkisini inceleme ve III. öncülü değerlendirme.
Yukarı 3 birimlik dikey öteleme sadece yy değerlerini etkiler, xx eksenindeki artanlık aralığını değiştirmez. Dolayısıyla fonksiyon (3,∞)(3, \infty) aralığında değil, (4,∞)(4, \infty) aralığında artandır. Ayrıca ff çift ve (0,∞)(0, \infty) aralığında artan olduğundan (−∞,0)(-\infty, 0) aralığında azalandır. Bu durumda gg fonksiyonu (3,4)(3, 4) aralığında azalan olacaktır. Bu nedenle III. öncül yanlıştır.
Dikey öteleme miktarı, fonksiyonun x eksenindeki artanlık/azalanlık aralığının başlangıç noktasını belirlemez.

Anahtar Kavram

Tek ve çift fonksiyonların simetri özellikleri ve öteleme dönüşümleri altındaki değişimleri
Soru 1726Soru →
log⁡2x−3log⁡x2=2\log_2 x - 3\log_x 2 = 2

denkleminin gerçel köklerinin çarpımı 44'tür.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen logaritmik denklemde taban değiştirme özelliği kullanılıp ikinci dereceden denklem dönüşümü yapıldığında köklerin x=8x = 8 ve x=12x = \frac{1}{2} olduğu belirlenir. Bu köklerin çarpımı 44 olduğundan önerme doğrudur.
Denklemde taban değiştirme ve değişken değiştirme adımları uygulandığında köklerin x=8x = 8 ve x=12x = \frac{1}{2} olduğu saptanır. Bu köklerin her ikisi de logaritma tanım kümelerine uygundur ve çarpımları 44 değerini vermektedir. Bu nedenle önerme doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma taban değiştirme özelliğini kullanarak denklemi aynı tabanda terimler içerecek şekilde düzenleyin.
log⁡x2=1log⁡2x\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x} eşitliği yazılır.
Farklı tabanlardaki logaritmik ifadeleri ortak bir tabana indirgeyerek işlem kolaylığı sağlamak için.
2
log⁡2x=t\log_2 x = t dönüşümü yaparak denklemi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem formuna getirin ve çözün.
t−3t=2  ⟹  t2−2t−3=0t - \frac{3}{t} = 2 \implies t^2 - 2t - 3 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklem çarpanlarına (t−3)(t+1)=0(t-3)(t+1) = 0 şeklinde ayrılır ve kökler t=3t = 3 ile t=−1t = -1 olarak bulunur.
Rasyonel denklemi polinom denklemine dönüştürüp köklerini bulmak için.
3
Bulunan tt değerlerini kullanarak orijinal xx değişkenini elde edin ve tanımlılık şartlarına göre kontrol edin.
log⁡2x=3  ⟹  x=23=8\log_2 x = 3 \implies x = 2^3 = 8
log⁡2x=−1  ⟹  x=2−1=12\log_2 x = -1 \implies x = 2^{-1} = \frac{1}{2}
Logaritma tanım kuralları gereği taban olan xx ifadesi x>0x > 0 ve x≠1x \neq 1 şartlarını sağlamalıdır. Bulunan 88 ve 12\frac{1}{2} değerlerinin her ikisi de bu şartlara uyar. Köklerin çarpımı ise 8⋅12=48 \cdot \frac{1}{2} = 4 olarak bulunur.
Denklemin geçerli gerçel köklerini saptamak ve bunların çarpımını hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Logaritmik denklemlerde taban değiştirme ve değişken değiştirme yöntemi
Soru 1727Soru →
1'den farklı xx ve yy pozitif tam sayıları için,
log⁡2x+log⁡x8=log⁡3y+log⁡y27\log_2 x + \log_x 8 = \log_3 y + \log_y 27
xy=218x^y = 2^{18}
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, log⁡6(x⋅y)\log_6(x \cdot y) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İfadenin değeri 2'dir.
Denklemin çarpanlara ayrılmasıyla elde edilen u=vu=v durumundan x=4x=4 ve y=9y=9 tam sayı değerleri bulunur. Bu değerlerin çarpımı 36 olup, 6 tabanındaki logaritması log⁡6(36)=2\log_6(36) = 2 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken tanımlaması ve taban değiştirme kuralının uygulanması
u=log⁡2xu = \log_2 x ve v=log⁡3yv = \log_3 y alınarak log⁡x8=3u\log_x 8 = \frac{3}{u} ve log⁡y27=3v\log_y 27 = \frac{3}{v} yazılır.
Logaritmik ifadeleri ortak değişkenler cinsinden ifade ederek sadeleştirmek.
2
İlk denklemin düzenlenmesi ve çarpanlara ayrılması
u−v+3(v−u)uv=0  ⟹  (u−v)(1−3uv)=0u - v + \frac{3(v-u)}{uv} = 0 \implies (u - v)\left(1 - \frac{3}{uv}\right) = 0 elde edilir.
Denklemin çözümlerini iki ayrı duruma indirgemek.
3
Eşitlik durumunun (u=vu = v) çözülmesi
k⋅3k=18  ⟹  k=2k \cdot 3^k = 18 \implies k = 2 bulunur. Buradan x=22=4x = 2^2 = 4 ve y=32=9y = 3^2 = 9 elde edilir.
Pozitif tam sayı kısıtlamasına uygun ilk çözüm kümesini bulmak.
4
Diğer durumun (uv=3uv = 3) tam sayı çözümlerinin kontrol edilmesi
y=6log⁡3yy = 6\log_3 y denkleminin 1'den farklı pozitif tam sayı çözümü olmadığı gösterilir.
Olası tüm durumları inceleyerek çözümün tekliğini garantilemek.
5
İstenen değerin hesaplanması
log⁡6(4⋅9)=log⁡6(36)=2\log_6(4 \cdot 9) = \log_6(36) = 2 elde edilir.
Bulunan xx ve yy değerlerini hedef ifadede yerine yazmak.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonlarında taban değiştirme, kuvveti başa alma kuralları ve logaritmik denklem sistemlerinin analitik çözümü.
Soru 1728Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
f(2+x)+f(2−x)=6f(2+x) + f(2-x) = 6
eqitliğini sağlamaktadır.
Buna göre,
∫13(3x2−12x)f(x) dx\int_{1}^{3} (3x^2 - 12x) f(x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -66

Cevap

İntegralin değeri -66'dır.
Soruda verilen integral x=2x=2 simetri eksenine göre düzenlendiğinde 3x2−12x=3(x−2)2−123x^2 - 12x = 3(x-2)^2 - 12 olarak parçalanır. Elde edilen iki ayrı integral teriminde t=4−xt = 4-x dönüşümü uygulanıp f(x)+f(4−x)=6f(x) + f(4-x) = 6 simetri bağıntısı kullanıldığında, birinci integralin değeri 22, ikinci integralin değeri ise 66 olarak bulunur. Bu değerler yerine yazıldığında doğru sonuç −66-66 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İntegral içindeki 3x2−12x3x^2 - 12x karesel ifadesini simetri merkezi olan x=2x=2 değerine göre 3(x−2)2−123(x-2)^2 - 12 biçiminde yeniden yazmak ve integrali iki parçaya ayırmak.
I=3∫13(x−2)2f(x) dx−12∫13f(x) dxI = 3 \int_{1}^{3} (x-2)^2 f(x) \, dx - 12 \int_{1}^{3} f(x) \, dx
Verilen f(2+x)+f(2−x)=6f(2+x) + f(2-x) = 6 simetri özelliğini integral sınırları olan [1,3][1, 3] aralığında verimli kullanabilmek için.
2
J=∫13f(x) dxJ = \int_{1}^{3} f(x) \, dx integralinde t=4−xt = 4-x değişken değiştirmesi yapıp f(x)+f(4−x)=6f(x) + f(4-x) = 6 bağıntısını kullanarak integral değerini hesaplamak.
J=6J = 6
Belirli integralin sınır değiştirme ve fonksiyon simetrisi özelliğinden yararlanarak bilinmeyen f(x)f(x) fonksiyonunun integralini çözmek.
3
K=∫13(x−2)2f(x) dxK = \int_{1}^{3} (x-2)^2 f(x) \, dx integralinde t=4−xt = 4-x değişken değiştirmesi uygulayarak terimi sadeleştirmek ve bilinen bir polinomsal integrale indirgemek.
K=2K = 2
x=2x=2 noktasına göre simetrik karesel çarpanın integral üzerindeki etkisini simetri özellikleri yardımıyla sayısal bir değere dönüştürmek.
4
Elde edilen KK ve JJ değerlerini ana integral ifadesinde yerine koyarak sonucu hesaplamak.
−66-66
İstenen belirli integralin nihai sayısal sonucuna ulaşmak.

Anahtar Kavram

Belirli integralde sınırların simetrisi, değişken değiştirme yöntemi ve simetrik fonksiyonların belirli integral özelliklerinin uygulanması.
Soru 1729Soru →

Bir aritmetik dizinin ardışık üç terimi sırasıyla x−3x - 3, 99 ve 2x+32x + 3 olduğuna göre, xx kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

6
Bir aritmetik dizide ardışık terimlerin toplamı ortadaki terimin iki katına eşittir. Bu özellikten yararlanarak (x−3)+(2x+3)=2×9(x - 3) + (2x + 3) = 2 \times 9 eşitliği elde edilir. Buradan benzer terimler toplanınca 3x=183x = 18 ve her iki taraf 3'e bölündüğünde x=6x = 6 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik dizi özelliğini kullanarak denklem kurma
(x−3)+(2x+3)=2×9(x - 3) + (2x + 3) = 2 \times 9
Bir aritmetik dizide ardışık terimler arasındaki fark sabit olduğundan, birinci ve üçüncü terimin toplamı ortadaki terimin iki katına eşittir.
2
Eşitliğin sol tarafındaki benzer terimleri toplama ve denklemi sadeleştirme
3x=183x = 18
xx ile 2x2x toplanarak 3x3x elde edilir, −3-3 ile +3+3 birbirini götürür. Sağ taraftaki 2×92 \times 9 çarpımı ise 18 yapar.
3
Bilinmeyen xx değerini yalnız bırakma
x=6x = 6
Eşitliğin her iki tarafı 3'e bölünür.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizide ardışık terimler arasındaki ilişki
Soru 1730Soru →
Bir (an)(a_n) dizisinde a1=34a_1 = \frac{3}{4} ve her n≥1n \geq 1 tam sayısı için
an+1=an+1n3+3n2+2na_{n+1} = a_n + \frac{1}{n^3 + 3n^2 + 2n}
bağıntısı sağlanmaktadır.
Buna göre, dizinin genel terimi ana_n olmak üzere,
∑k=11011−ak\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{1 - a_k}
toplamının değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 880

Cevap

İstenen toplamın değeri 880'dir.
Ardışık terimlerin farkı teleskopik biçimde yazılıp taraf tarafa toplandığında genel terim an=1−12n(n+1)a_n = 1 - \frac{1}{2n(n+1)} olarak elde edilir. İstenen toplamda genel terim yerine yazıldığında toplam 2k(k+1)2k(k+1) ifadesinin k=1k=1'den 1010'a kadar olan toplamına dönüşür. Formül uygulandığında sonuç 880 çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
İndirgeme bağıntısındaki kesrin paydasını çarpanlarına ayırın.
n3+3n2+2n=n(n2+3n+2)=n(n+1)(n+2)n^3 + 3n^2 + 2n = n(n^2 + 3n + 2) = n(n+1)(n+2) elde edilir.
Kesirli ifadeyi daha basit terimlere ayırmak için öncelikle paydayı çarpanlarına ayırmamız gerekir.
2
İfadeyi teleskopik sadeleştirmeye uygun olacak şekilde basit kesirlere ayrıştırın.
1n(n+1)(n+2)=12(1n(n+1)−1(n+1)(n+2))\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right) olarak yazılır.
Ardışık terimlerin farkı biçiminde yazarak taraf tarafa toplama işleminde sadeleşme sağlamak amacıyla bu ayrıştırma yapılır.
3
İndirgeme bağıntısını kullanarak dizinin genel terimi ana_n'i bulun.
an−a1=∑i=1n−1(ai+1−ai)=12∑i=1n−1(1i(i+1)−1(i+1)(i+2))a_n - a_1 = \sum_{i=1}^{n-1} (a_{i+1} - a_i) = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n-1} \left( \frac{1}{i(i+1)} - \frac{1}{(i+1)(i+2)} \right)
an−a1=12(12−1n(n+1))=14−12n(n+1)a_n - a_1 = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{n(n+1)} \right) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2n(n+1)}
a1=34a_1 = \frac{3}{4} değeri yerine yazıldığında:
an=1−12n(n+1)a_n = 1 - \frac{1}{2n(n+1)} elde edilir.
Başlangıç koşulunu kullanarak dizinin her nn pozitif tam sayısı için geçerli olan genel terim formülünü üretmek için.
4
İstenen toplam sembolündeki genel terimi yerine yazarak sonucu hesaplayın.
1−ak=12k(k+1)⇒11−ak=2k(k+1)1 - a_k = \frac{1}{2k(k+1)} \Rightarrow \frac{1}{1-a_k} = 2k(k+1)
∑k=1102k(k+1)=2∑k=110k(k+1)\sum_{k=1}^{10} 2k(k+1) = 2 \sum_{k=1}^{10} k(k+1)
Ardışık çarpım toplam formülü ∑k=1nk(k+1)=n(n+1)(n+2)3\sum_{k=1}^{n} k(k+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3} kullanılarak:
2⋅10⋅11⋅123=2⋅440=8802 \cdot \frac{10 \cdot 11 \cdot 12}{3} = 2 \cdot 440 = 880 bulunur.
Elde edilen genel terimi istenen matematiksel ifadede yerine koyup bilinen toplam formülleri yardımıyla sonucu bulmak için.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde teleskopik toplam yardımıyla genel terim bulma ve ardışık terimlerin toplam formüllerini uygulama.
Soru 1731Soru →

Dik koordinat düzleminde, O(0,0)O(0,0) orijin noktası olmak üzere A(1,k)A(1, k) ve B(k,3)B(k, 3) noktaları veriliyor.

OAOA ve OBOB doğruları arasındaki dar açının ölçüsü 45∘45^\circ olduğuna göre, kk sayısının alabileceği pozitif değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 272\sqrt{7}

Cevap

Pozitif kk değerlerinin toplamı 272\sqrt{7}'dir.
İki doğrunun eğimleri sırasıyla m1=km_1 = k ve m2=3/km_2 = 3/k olarak hesaplanır. Eğimler arasındaki farkın mutlak değeri ile iki doğrunun arasındaki dar açının tanjantı formülünden ∣k−3/k1+3∣=1\left| \frac{k - 3/k}{1 + 3} \right| = 1 denklemi elde edilir. Bu denklem çözüldüğünde pozitif kökler 2+72 + \sqrt{7} ve −2+7-2 + \sqrt{7} olarak bulunur. Bu değerlerin toplamı ise 272\sqrt{7}'dir.

Adım Adım Çözüm

1
OAOA ve OBOB doğrularının eğimlerini belirleyin.
OAOA doğrusunun eğimi m1=k1=km_1 = \frac{k}{1} = k ve OBOB doğrusunun eğimi m2=3km_2 = \frac{3}{k} olur.
Bir doğrunun eğimi, üzerindeki bir noktanın ordinatının apsisine oranına eşittir.
2
İki doğru arasındaki açının tanjant formülünü yazın ve uygulayın.
tan⁡45∘=∣m1−m21+m1⋅m2∣  ⟹  1=∣k−3k1+k⋅3k∣  ⟹  1=∣k2−34k∣\tan 45^\circ = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 \cdot m_2} \right| \implies 1 = \left| \frac{k - \frac{3}{k}}{1 + k \cdot \frac{3}{k}} \right| \implies 1 = \left| \frac{k^2 - 3}{4k} \right|
İki doğru arasındaki açıyı veren formül tan⁡θ=∣m1−m21+m1m2∣\tan\theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| şeklindedir.
3
Mutlak değerli denklemi iki farklı durum için çözün.
Birinci durum: k2−34k=1  ⟹  k2−4k−3=0\frac{k^2 - 3}{4k} = 1 \implies k^2 - 4k - 3 = 0. Buradan kökler k=2±7k = 2 \pm \sqrt{7} olur. Pozitif olan kök k1=2+7k_1 = 2 + \sqrt{7}'dir. İkinci durum: k2−34k=−1  ⟹  k2+4k−3=0\frac{k^2 - 3}{4k} = -1 \implies k^2 + 4k - 3 = 0. Buradan kökler k=−2±7k = -2 \pm \sqrt{7} olur. Pozitif olan kök k2=−2+7k_2 = -2 + \sqrt{7}'dir.
Mutlak değer içerisindeki ifade dışarıya pozitif ya da negatif işaretli olarak çıkabilir.
4
Bulunan pozitif kk değerlerini toplayın.
k1+k2=(2+7)+(−2+7)=27k_1 + k_2 = (2 + \sqrt{7}) + (-2 + \sqrt{7}) = 2\sqrt{7}
Soru bizden alabileceği pozitif kk değerlerinin toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

İki doğru arasındaki açının tanjantı, doğruların eğimleri yardımıyla iki açının farkının tanjantı formülü kullanılarak hesaplanır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 1732Soru →
f(x)=log⁡3(x2−x−12x2−9x+14)+log⁡x(10−x)f(x) = \log_{3}\left(\frac{x^2 - x - 12}{x^2 - 9x + 14}\right) + \log_{x}(10-x)

fonksiyonunu tanımlı kılan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Fonksiyonu tanımlı kılan xx tam sayılarının toplamı 20'dir.
Logaritma tanımlılık şartlarından elde edilen x>0x > 0, x≠1x \neq 1, x<10x < 10 ve x2−x−12x2−9x+14>0\frac{x^2 - x - 12}{x^2 - 9x + 14} > 0 koşullarının ortak çözüm kümesi (2,4)∪(7,10)(2, 4) \cup (7, 10) açık aralıklarının birleşimidir. Bu aralıklardaki tam sayılar sırasıyla 3, 8 ve 9 olup toplamları 20 değerini vermektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci logaritma teriminin tanımlı olması için logaritma içinin pozitif olması koşulunu yazma
x2−x−12x2−9x+14>0\frac{x^2 - x - 12}{x^2 - 9x + 14} > 0 eşitsizliği elde edilir.
Logaritma fonksiyonunun tanımı gere��i, içindeki ifadenin daima sıfırdan büyük olması gerekir.
2
Eşitsizliğin pay ve paydasındaki ifadeleri çarpanlarına ayırarak kökleri bulma
Pay: x2−x−12=(x−4)(x+3)=0  ⟹  x=−3x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3) = 0 \implies x = -3 ve x=4x = 4.
Payda: x2−9x+14=(x−2)(x−7)=0  ⟹  x=2x^2 - 9x + 14 = (x - 2)(x - 7) = 0 \implies x = 2 ve x=7x = 7 kökleri bulunur.
İşaret tablosu oluşturabilmek için pay ve paydanın sıfır noktalarını belirlemek gerekir.
3
Elde edilen köklerle işaret tablosunu oluşturup pozitif bölgeleri belirleme
Birinci terimin en geniş tanım kümesi: x∈(−∞,−3)∪(2,4)∪(7,∞)x \in (-\infty, -3) \cup (2, 4) \cup (7, \infty) olarak bulunur.
Kökler tabloda sıralanıp en sağdan ++ işaretiyle başlanarak işaret değişimi yapıldığında pozitif bölgeler bu şekilde elde edilir.
4
İkinci logaritma terimi olan log⁡x(10−x)\log_{x}(10-x) için tanımlılık koşullarını belirleme
Taban için: x>0x > 0 ve x≠1x \neq 1.
İç kısım için: 10−x>0  ⟹  x<1010 - x > 0 \implies x < 10.
Buradan ikinci terimin tanım kümesi: x∈(0,10)∖{1}x \in (0, 10) \setminus \{1\} olur.
Logaritma fonksiyonunun tabanı pozitif ve 1'den farklı, içi ise pozitif olmak zorundadır.
5
Her iki terimin tanımlı olduğu aralıkların kesişimini alma
((−∞,−3)∪(2,4)∪(7,∞))∩((0,10)∖{1})=(2,4)∪(7,10)\left((-\infty, -3) \cup (2, 4) \cup (7, \infty)\right) \cap \left((0, 10) \setminus \{1\}\right) = (2, 4) \cup (7, 10) aralığı elde edilir.
Toplama işleminin tanımlı olabilmesi için her iki logaritma fonksiyonunun da eş zamanlı tanımlı olması gerekir.
6
Tanım kümesindeki tam sayı değerlerini belirleyip toplama
Aralıktaki tam sayılar 3,83, 8 ve 99'dur. Toplamları ise 3+8+9=203 + 8 + 9 = 20 olur.
Açık aralık uç değerleri (2,4,7,102, 4, 7, 10) tanım kümesine dahil edilmez.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aranırken tabanın pozitif ve 1'den farklı olması, logaritmanın içinin ise sıfırdan büyük olması koşulları aynı anda sağlanmalıdır.
Soru 1733Soru →
x∈(7π4,2π)x \in \left(\frac{7\pi}{4}, 2\pi\right) olmak üzere,
a=sin⁡x−tan⁡xb=cos⁡x−cot⁡xc=sin⁡x−cos⁡x\begin{aligned} a &= \sin x - \tan x \\ b &= \cos x - \cot x \\ c &= \sin x - \cos x \end{aligned}
ifadeleri veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralanışını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

c<a<bc < a < b
Verilen aralık IV. bölgeyi temsil eder. Bu bölgede c=sin⁡x−cos⁡xc = \sin x - \cos x ifadesi negatif bir sayıdan pozitif bir sayı çıkarıldığı için kesinlikle negatiftir (c<0c < 0). a=sin⁡x−tan⁡xa = \sin x - \tan x ifadesinde tan⁡x<sin⁡x<0\tan x < \sin x < 0 olduğundan sonuç pozitiftir (a>0a > 0). b=cos⁡x−cot⁡xb = \cos x - \cot x ifadesinde ise cot⁡x<−1  ⟹  −cot⁡x>1\cot x < -1 \implies -\cot x > 1 ve cos⁡x>0\cos x > 0 olduğundan b>1b > 1 olur. Bu durumda doğru sıralama c<a<bc < a < b şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen xx açısının bölgesine göre temel trigonometrik fonksiyonların işaretlerini ve değer aralıklarını analiz etmek.
x∈(7π4,2π)x \in \left(\frac{7\pi}{4}, 2\pi\right) aralığı birim çemberde IV. bölgededir. Bu bölgede sin⁡x<0\sin x < 0, cos⁡x>0\cos x > 0, tan⁡x<0\tan x < 0 ve cot⁡x<0\cot x < 0 değerlerini alır. Daha spesifik olarak −22<sin⁡x<0-\frac{\sqrt{2}}{2} < \sin x < 0, 22<cos⁡x<1\frac{\sqrt{2}}{2} < \cos x < 1, −1<tan⁡x<0-1 < \tan x < 0 ve cot⁡x<−1\cot x < -1 aralıklarındadır.
Toplama ve çıkarma içeren ifadelerin işaretlerini ve büyüklüklerini belirleyebilmek.
2
c=sin⁡x−cos⁡xc = \sin x - \cos x ifadesinin işaretini incelemek.
Negatif bir değer olan sin⁡x\sin x ifadesinden pozitif bir değer olan cos⁡x\cos x çıkarıldığında sonuç negatif olur. Yani c<0c < 0 elde edilir.
cc değerinin negatif olduğunu bularak sıralamadaki en küçük eleman olduğunu belirlemek.
3
a=sin⁡x−tan⁡xa = \sin x - \tan x ifadesinin işaretini incelemek.
IV. bölgede 0<cos⁡x<10 < \cos x < 1 olduğundan tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} ifadesi sin⁡x\sin x değerinden daha küçük (daha negatif) bir sayıdır. Dolayısıyla sin⁡x−tan⁡x>0\sin x - \tan x > 0 olur. Yani aa pozitiftir (a>0a > 0).
aa değerinin pozitif olduğunu bularak negatif olan cc değerinden büyük olduğunu belirlemek.
4
b=cos⁡x−cot⁡xb = \cos x - \cot x ifadesinin değer aralığını incelemek.
IV. bölgede cos⁡x>0\cos x > 0 ve cot⁡x<−1\cot x < -1 dir. Buradan −cot⁡x>1-\cot x > 1 olur. Pozitif olan cos⁡x\cos x ile 11'den büyük olan −cot⁡x-\cot x toplandığında b>1b > 1 elde edilir.
bb değerinin 11'den büyük olduğunu göstererek 0<a<10 < a < 1 aralığında kalan aa değerinden büyük olduğunu doğrulamak.
5
Elde edilen tüm işaret ve aralık bilgilerini birleştirerek sıralamayı tamamlamak.
c<0c < 0, 0<a<10 < a < 1 ve b>1b > 1 olduğundan küçükten büyüğe sıralama c<a<bc < a < b şeklindedir.
Nihai sıralamayı oluşturmak.

Anahtar Kavram

IV. bölgedeki trigonometrik fonksiyonların işaretleri ve büyüklük ilişkilerini kullanarak sıralama yapma.
Soru 1734Soru →
Bir (an)(a_n) dizisinde a1=5a_1 = 5 ve her n≥1n \geq 1 tam sayısı için
an+1=n⋅an+2n−2n+1a_{n+1} = \frac{n \cdot a_n + 2n - 2}{n+1}
indirgeme bağıntısı tanımlanmıştır.
Buna göre, bu dizinin otuzuncu terimi olan a30a_{30} değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 81730\frac{817}{30}

Cevap

Dizinin otuzuncu terimi olan 817/30 değeridir.
Dizinin terimleri arasındaki ilişkiyi (n+1)an+1−nan=2n−2(n+1)a_{n+1} - na_n = 2n-2 şeklinde yazıp taraf tarafa topladığımızda genel terim an=n2−3n+7na_n = \frac{n^2 - 3n + 7}{n} olarak bulunur. Bu genel terimde n=30n = 30 yazıldığında 81730\frac{817}{30} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İndirgeme bağıntısını düzenlemek için her iki tarafı n+1n+1 ile çarparız.
(n+1)an+1=nan+2n−2(n+1)a_{n+1} = n a_n + 2n - 2 elde edilir.
Ardışık terimleri birbiri cinsinden yazıp teleskopik toplam elde etmek için.
2
bn=nanb_n = n a_n değişken değiştirmesini tanımlarız.
bn+1=bn+2n−2b_{n+1} = b_n + 2n - 2 bağıntısı elde edilir.
Bağıntıyı daha basit bir birinci dereceden fark denklemine dönüştürmek için.
3
bnb_n dizisinin genel terimini bulmak için terimleri n=1n=1'den n−1n-1'e kadar yazar ve taraf tarafa toplarız.
bn=b1+∑k=1n−1(2k−2)b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k - 2) ve b1=1⋅a1=5b_1 = 1 \cdot a_1 = 5 olduğundan bn=5+n2−3n+2=n2−3n+7b_n = 5 + n^2 - 3n + 2 = n^2 - 3n + 7 bulunur.
Aritmetik toplam formüllerini uygulayarak bnb_n ifadesini kapalı formda yazmak için.
4
bn=nanb_n = n a_n tanımından faydalanarak ana_n genel terimini bulur ve n=30n=30 değerini yerine yazarız.
an=n2−3n+7na_n = \frac{n^2 - 3n + 7}{n} olduğundan a30=302−3(30)+730=81730a_{30} = \frac{30^2 - 3(30) + 7}{30} = \frac{817}{30} olarak elde edilir.
Bizden istenen 30. terimin değerini hesaplamak için.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde değişken değiştirme ve teleskopik toplam yöntemiyle genel terim bulma.
Soru 1735Soru →
Sıfırdan farklı her xx gerçel sayısı için
x⋅f(x)+2x⋅f(−x)=x3−6xx \cdot f(x) + 2x \cdot f(-x) = x^3 - 6x
eşitliğini sağlayan ff fonksiyonunun grafiği ordinat eksenine göre simetriktir.

Buna göre, f(3)f(3) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Fonksiyonun ordinat eksenine göre simetrik olması çift fonksiyon olduğu anlamına gelir. Bu durumda her xx gerçel sayısı için f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) eşitliği sağlanır. Verilen denklemde x=3x = 3 yazıldığında 3⋅f(3)+6⋅f(−3)=33−6(3)  ⟹  3f(3)+6f(−3)=93 \cdot f(3) + 6 \cdot f(-3) = 3^3 - 6(3) \implies 3f(3) + 6f(-3) = 9 elde edilir. Çift fonksiyon özelliğinden dolayı f(−3)=f(3)f(-3) = f(3) yazılırsa 9f(3)=99f(3) = 9 ve buradan f(3)=1f(3) = 1 bulunur.
Doğru cevap 1'dir. Grafiği ordinat eksenine göre simetrik olan fonksiyonlar çift fonksiyondur ve f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) eşitliğini sağlar. Denklemde x=3x = 3 yazılıp bu özellik kullanıldığında 9f(3)=99f(3) = 9 denklemi elde edilir ve buradan f(3)=1f(3) = 1 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun simetri özelliğini belirleme
f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)
Grafiği ordinat eksenine göre simetrik olan fonksiyonlar çift fonksiyondur ve tanım kümesindeki her xx için f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) özelliğini sağlar.
2
Verilen denklemde x=3x = 3 değerini yerine yazma
3⋅f(3)+6⋅f(−3)=93 \cdot f(3) + 6 \cdot f(-3) = 9
İstenen f(3)f(3) değerine ulaşmak amacıyla denklemdeki xx değişkenleri yerine 33 yazılır ve sağ taraf hesaplanır (33−6⋅3=27−18=93^3 - 6 \cdot 3 = 27 - 18 = 9).
3
Çift fonksiyon eşitliğini kullanarak denklemi çözme
f(3)=1f(3) = 1
f(−3)=f(3)f(-3) = f(3) eşitliği denklemde yerine yaz��ldığında 3f(3)+6f(3)=9  ⟹  9f(3)=93f(3) + 6f(3) = 9 \implies 9f(3) = 9 elde edilir. Her iki taraf 99 ile bölünerek sonuç bulunur.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Fonksiyonlar ve Simetrileri
Soru 1736Soru →
(an)(a_n) dizisinin genel terimi
an=n2+5n+18n+1a_n = \frac{n^2 + 5n + 18}{n + 1}
olarak tanımlanıyor.

Buna göre, (an)(a_n) dizisinin tam sayı olan terimlerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 42

Cevap

Genel terimi tam sayı olan terimlerin toplamı 42'dir.
Dizinin genel terimi polinom bölmesi yapılarak an=n+4+14n+1a_n = n + 4 + \frac{14}{n+1} biçiminde yazılır. nn değeri pozitif tam sayı olmak zorunda olduğundan n+1≥2n+1 \ge 2 olmalıdır. Bu koşulu sağlayan ve 14'ü tam bölen n+1n+1 değerleri 2, 7 ve 14'tür. Buradan elde edilen terimler sırasıyla a1=12a_1 = 12, a6=12a_6 = 12 ve a13=18a_{13} = 18 olup, bu terimlerin toplamı 42'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terimi oluşturan rasyonel ifadeyi polinom bölmesi yardımıyla tam ve rasyonel kısımlarına ayırarak yazalım.
an=n+4+14n+1a_n = n + 4 + \frac{14}{n+1}
İfadenin hangi nn değerleri için tam sayı olacağını daha rahat analiz edebilmek için.
2
Dizi tanımı gereği nn indisinin pozitif tam sayı (n≥1n \ge 1) olması gerektiğini göz önüne alarak, 14n+1\frac{14}{n+1} ifadesini tam sayı yapan nn değerlerini belirleyelim.
n+1n+1 ifadesi 14'ün 1'den büyük pozitif böleni olmalıdır. Yani n+1∈{2,7,14}n+1 \in \{2, 7, 14\} olmalıdır. Buradan n∈{1,6,13}n \in \{1, 6, 13\} elde edilir.
Dizilerin tanım kümesinin pozitif tam sayılar olması nedeniyle n+1=1  ⟹  n=0n+1 = 1 \implies n=0 durumunun elenmesi için.
3
Belirlenen indis değerlerine karşılık gelen dizi terimlerini tek tek hesaplayalım.
a1=12a_1 = 12, a6=12a_6 = 12, a13=18a_{13} = 18
Tam sayı olan terimlerin kendi değerlerini elde etmek için.
4
Hesaplanan tam sayı terimlerin değerlerini toplayalım.
12+12+18=4212 + 12 + 18 = 42
Soruda bizden istenen tam sayı olan terimlerin toplamına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Dizi tanımı, genel terim kavramı ve rasyonel ifadeleri tam sayı yapan pozitif tam sayı indis değerlerinin belirlenmesi.
Soru 1737Soru →
log⁡2(2x+6)=2x−3\log_2(2^x + 6) = 2x - 3

denklemini sağlayan xx gerçel sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2+log⁡232 + \log_2 3

Cevap

İki artı logaritma iki tabanında üç
Verilen denklem düzenlendiğinde 2x+6=(2x)282^x + 6 = \frac{(2^x)^2}{8} ikinci dereceden denklemi elde edilir. Bu denklemde 2x=t2^x = t dönüşümü yapıldığında t2−8t−48=0t^2 - 8t - 48 = 0 bulunur. Bu denklemin pozitif kökü t=12t = 12 olduğundan 2x=122^x = 12 eşitliği kurulur. Buradan x=log⁡212=2+log⁡23x = \log_2 12 = 2 + \log_2 3 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritmalı denklemi, logaritma tanımını kullanarak üstel forma dönüştürün.
2x+6=22x−32^x + 6 = 2^{2x - 3}
Logaritma tanımı gereğince log⁡a(b)=c  ⟺  b=ac\log_a(b) = c \iff b = a^c eşitliği uygulanır.
2
Eşitliğin sağ tarafındaki üstel ifadeyi taban özellikleri yardımıyla düzenleyin.
22x−3=22x23=(2x)282^{2x - 3} = \frac{2^{2x}}{2^3} = \frac{(2^x)^2}{8}
Tabanları aynı olan üslü ifadelerde bölme ve üssün üssü kuralları uygulanarak değişken de��iştirilmeye uygun hale getirilir.
3
2x=t2^x = t değişken değiştirmesini yapın (burada t>0t > 0 olmalıdır).
t+6=t28  ⟹  t2−8t−48=0t + 6 = \frac{t^2}{8} \implies t^2 - 8t - 48 = 0
İfadeyi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denkleme dönüştürerek ç��zümü kolaylaştırmak amaçlanır.
4
Elde edilen ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak köklerini bulun.
(t−12)(t+4)=0  ⟹  t=12 veya t=−4(t - 12)(t + 4) = 0 \implies t = 12 \text{ veya } t = -4
Çarpımları −48-48 ve toplamları −8-8 olan iki sayı belirlenerek denklem çarpanlarına ayrılır.
5
Değişken değiştirme koşuluna göre kökleri kontrol edin.
t=12  ⟹  2x=12t = 12 \implies 2^x = 12
2x2^x üstel ifadesi her xx gerçel sayısı için daima pozitif olmak zorundadır. Bu nedenle t=−4t = -4 kökü (2x=−42^x = -4) çözüm kümesine dahil edilemez.
6
2x=122^x = 12 eşitliğini logaritma yardımıyla çözün ve sadeleştirin.
x=log⁡212=log⁡2(4⋅3)=log⁡24+log⁡23=2+log⁡23x = \log_2 12 = \log_2(4 \cdot 3) = \log_2 4 + \log_2 3 = 2 + \log_2 3
Logaritmanın çarpım kuralı (log⁡a(x⋅y)=log⁡ax+log⁡ay\log_a(x \cdot y) = \log_a x + \log_a y) kullanılarak ifade sade bir forma dönüştürülür.

Anahtar Kavram

Logaritmik denklemlerin üstel formlara dönüştürülmesi, değişken değiştirme yöntemiyle ikinci dereceden denklem analizi ve üstel ifadelerin tanım kümesi sınırlamaları.

Alternatif Yöntem

Denklemde seçenekler tek tek xx yerine yazılarak eşitliğin sağlanıp sağlanmadığı kontrol edilebilir. Doğru cevap olan x=2+log⁡23=log⁡212x = 2 + \log_2 3 = \log_2 12 değeri denklemde yerine yazıldığında, sol taraf log⁡2(12+6)=log⁡218\log_2(12 + 6) = \log_2 18 olur. Sağ taraf ise 2log⁡212−3=log⁡2144−log⁡28=log⁡2(144/8)=log⁡2182\log_2 12 - 3 = \log_2 144 - \log_2 8 = \log_2(144/8) = \log_2 18 olur. İki taraf birbirine eşit olduğundan çözüm doğrulanır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1738Soru →
(an)(a_n) dizisi, genel terimi
an=2n2+k⋅n+12n2−m⋅n+6a_n = \frac{2n^2 + k \cdot n + 12}{n^2 - m \cdot n + 6}
olan bir sabit dizidir.

n2−m⋅n+6=0n^2 - m \cdot n + 6 = 0 denkleminin kökleri birer tam sayı olduğuna göre, kk sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

k sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı 24'tür.
Dizinin sabit olması için pay ve paydanın katsayıları oranından k=−2mk = -2m elde edilir. İfadenin her pozitif tam sayı için tanımlı (bir dizi) olması gerektiğinden, paydanın pozitif tam sayı kökü olmamalıdır. Kökler çarpımı 6 olan tam sayı kök çiftlerinden yalnızca negatif olanlar ({−1,−6}\{-1, -6\} ve {−2,−3}\{-2, -3\}) bu şartı sağlar. Buradan mm değerleri −7-7 ve −5-5 bulunur. Bu değerlere karşılık gelen kk değerleri 1414 ve 1010 olup, toplamları 24'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin sabit dizi olma koşulunu belirleme
k=−2mk = -2m bağıntısı elde edilir.
Rasyonel ifadenin nn değişkeninden bağımsız olması için katsayılarının orantılı olması gerekir.
2
Dizinin tanım kümesi şartını analiz etme
Payda olan n2−m⋅n+6n^2 - m \cdot n + 6 ifadesinin pozitif tam sayı kökü olmamalıdır.
Bir dizinin terimleri tüm pozitif tam sayılar için tanımlı olmalıdır; paydanın sıfır olduğu n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ değerleri diziyi tanımsız yapar.
3
Paydanın köklerinin tam sayı olma durumlarını listeleme
Kök çarpımı 66 olduğundan olası kök kümesi çiftleri: {1,6}\{1, 6\} (buradan m=7m = 7), {2,3}\{2, 3\} (buradan m=5m = 5), {−1,−6}\{-1, -6\} (buradan m=−7m = -7) ve {−2,−3}\{-2, -3\} (buradan m=−5m = -5)
n2−m⋅n+6=0n^2 - m \cdot n + 6 = 0 denkleminin kökleri çarpımı c/a=6c/a = 6 ve kökleri tam sayıdır.
4
Pozitif tam sayı kökleri eleyerek geçerli mm ve kk değerlerini bulma
Geçerli kökler negatif olanlardır, yani m∈{−7,−5}m \in \{-7, -5\}. Buradan k=14k = 14 ve k=10k = 10 bulunur.
n=1,2,3,6n = 1, 2, 3, 6 değerleri pozitif tam sayı olup diziyi tanımsız yapacağından bu köklere sahip m=7m = 7 ve m=5m = 5 durumları elenir. Negatif köklere sahip olan m=−7m = -7 ve m=−5m = -5 durumlarında payda pozitif tam sayılarda sıfır olmaz.
5
Farklı kk değerlerinin toplamını hesaplama
14+10=2414 + 10 = 24
İstenen farklı kk değerlerinin toplamı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Sabit dizilerde rasyonel ifadelerin sadeleşme koşulu ve dizilerin pozitif tam sayılar kümesinde tanımlı olması zorunluluğu.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 1739Soru →
Pozitif terimli bir (an)(a_n) geometrik dizisinde,
a4=3a_4 = 3
a10=27a_{10} = 27
olduğuna göre, bu dizinin yedinci terimi (a7a_7) kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 99

Cevap

Dokuz
Doğru cevap dokuzdur. Geometrik dizinin an2=an−k⋅an+ka_n^2 = a_{n-k} \cdot a_{n+k} özelliği gereğince, a7a_7 terimi a4a_4 ve a10a_{10} terimlerine eşit uzaklıkta olduğundan a72=a4⋅a10=3⋅27=81a_7^2 = a_4 \cdot a_{10} = 3 \cdot 27 = 81 olur. Dizi pozitif terimli olduğundan a7=9a_7 = 9 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Geometrik dizilerde eşit uzaklıktaki terimlerin çarpım özelliğini belirleyelim.
Bir geometrik dizide herhangi bir terimin karesi, kendisine eşit uzaklıktaki iki terimin çarpımına eşittir. Formül olarak: an2=an−k⋅an+ka_n^2 = a_{n-k} \cdot a_{n+k}
Dizinin verilen a4a_4 ve a10a_{10} terimleri ile istenen a7a_7 terimi arasındaki ilişkiyi kurmak için.
2
Verilen terimlerin indislerinin ortalamasını bularak a7a_7 terimi ile ilişkisini kuralım.
4 ve 10 indislerinin aritmetik ortalaması (4+10)/2=7(4 + 10)/2 = 7 olduğundan, a7a_7 terimi a4a_4 ve a10a_{10} terimlerine eşit uzaklıktadır. Dolayısıyla a72=a4⋅a10a_7^2 = a_4 \cdot a_{10} eşitliği yazılır.
a7a_7 teriminin karesinin diğer iki terimin çarpımına eşit olduğunu göstermek için.
3
Verilen değerleri formülde yerine yazarak a7a_7 terimini hesaplayalım.
a72=3⋅27=81a_7^2 = 3 \cdot 27 = 81 bulunur. Buradan a7=9a_7 = 9 veya a7=−9a_7 = -9 elde edilir. Dizi pozitif terimli olduğundan a7=9a_7 = 9 olmalıdır.
Yedinci terimin değerini bulmak ve pozitif terimli olma şartını uygulamak için.

Anahtar Kavram

Geometrik dizide bir terimin kendisine eşit uzaklıktaki terimlerin geometrik ortalaması olması özelliği (an2=an−k⋅an+ka_n^2 = a_{n-k} \cdot a_{n+k})
Soru 1740Soru →
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) olmak üzere,
tan⁡x+cot⁡x=52\tan x + \cot x = \frac{5}{2}
olduğuna göre, cos⁡(2x)\cos(2x) ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 35\frac{3}{5}

Cevap

Üç bölü beş
Doğru cevap olan üç bölü beş değeri, verilen aralıkta tan⁡x=1/2\tan x = 1/2 değerinin seçilmesi ve bu değerin kosinüs yarım açı formülünde yerine yazılmasıyla elde edilir. 2x2x açısı birinci bölgede yer aldığından değer pozitif çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Tanjant ve kotanjant toplamından faydalanarak tanjant değerini bulma.
tan⁡x+1tan⁡x=52⇒2tan⁡2x−5tan⁡x+2=0⇒(2tan⁡x−1)(tan⁡x−2)=0\tan x + \frac{1}{\tan x} = \frac{5}{2} \Rightarrow 2\tan^2 x - 5\tan x + 2 = 0 \Rightarrow (2\tan x - 1)(\tan x - 2) = 0 denkleminden tan⁡x=12\tan x = \frac{1}{2} veya tan⁡x=2\tan x = 2 bulunur.
Verilen denklemde kotanjant yerine tanjant cinsinden ifadesi yazılarak tek bilinmeyenli ikinci dereceden bir denklem elde edilir.
2
Açının aralığını kullanarak doğru tanjant kökünü seçme.
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) aralığında tan⁡x\tan x değeri 00 ile 11 arasında olmalıdır. Bu nedenle tan⁡x=12\tan x = \frac{1}{2} seçilir.
Verilen açı aralığı üçüncü bölgenin ilk yarısı olup, bu bölgede tanjant değeri 1'den küçüktür.
3
Kosinüs yarım açı formülünü uygulayarak sonucu hesaplama.
cos⁡(2x)=1−tan⁡2x1+tan⁡2x=1−(12)21+(12)2=1−141+14=3454=35\cos(2x) = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} = \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2}{1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{1 - \frac{1}{4}}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{4}} = \frac{3}{5} bulunur.
Tanjantı bilinen bir açının iki katının kosinüs değerini doğrudan hesaplamak için kosinüs yarım açı formülü uygulanır.

Anahtar Kavram

Tanjant değerine bağlı olarak kosinüs yarım açı formülünün uygulanması ve açı aralığına göre işaret analizi.
ÖncekiSayfa 87 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin