Examkin

Sayılar

461 soru

Tüm türler461Çoktan seçmeli282Doğru / Yanlış16Sayısal148Sıralama15
Soru 81Soru →
Sıfırdan farklı aa ve bb gerçel sayıları için
a+b a + b
a⋅b a \cdot b
ab \frac{a}{b}
sayılarından yalnızca biri irrasyonel sayıdır.

Buna göre;
I. a2+b2a^2 + b^2
II. (a+b)2(a+b)^2
III. a2⋅b2a^2 \cdot b^2

ifadelerinden hangileri kesinlikle bir rasyonel sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız II

Cevap

Yalnız II
Verilen üç durumun tamamında (a+b)2(a+b)^2 ifadesinin değeri her zaman bir rasyonel sayıya eşit çıkmaktadır. Dolayısıyla yalnızca ikinci öncül her zaman rasyoneldir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen üç ifadeden (a+ba+b, a⋅ba \cdot b, a/ba/b) tam olarak birinin irrasyonel, diğer ikisinin rasyonel olduğu durumları belirleyelim.
��ç olası durum vardır:
1) a+ba+b ve a⋅ba \cdot b rasyonel iken a/ba/b irrasyoneldir.
2) a+ba+b ve a/ba/b rasyonel iken a⋅ba \cdot b irrasyoneldir.
3) a⋅ba \cdot b ve a/ba/b rasyonel iken a+ba+b irrasyoneldir.
Soruda verilen 'yalnızca biri irrasyonel sayıdır' koşulunu matematiksel olarak analiz etmek için tüm durumları ayırarak incelememiz gerekir.
2
Birinci durumu (a+ba+b ve a⋅ba \cdot b rasyonel, a/ba/b irrasyonel) inceleyelim.
a+b=q1∈Qa+b = q_1 \in \mathbb{Q} olsun. Bu durumda (a+b)2=q12∈Q(a+b)^2 = q_1^2 \in \mathbb{Q} olur.
Rasyonel sayıların karesi de rasyonel olduğundan, birinci durumda (a+b)2(a+b)^2 kesinlikle rasyoneldir.
3
İkinci durumu (a+ba+b ve a/ba/b rasyonel, a⋅ba \cdot b irrasyonel) inceleyelim.
a/b=q2∈Qa/b = q_2 \in \mathbb{Q} ve a+b=q1∈Qa+b = q_1 \in \mathbb{Q} olsun. Buradan a=q2ba = q_2 b elde edilir. Bu eşitliği toplamda yerine yazarsak b(q2+1)=q1b(q_2 + 1) = q_1 olur. Eğer q2≠−1q_2 \neq -1 olsaydı, b=q1q2+1b = \frac{q_1}{q_2 + 1} rasyonel sayı olurdu ve dolayısıyla a=q2ba = q_2 b de rasyonel olurdu. İki rasyonel sayının çarpımı rasyonel olacağından a⋅ba \cdot b rasyonel olurdu, bu da a⋅ba \cdot b'nin irrasyonel olmasıyla çelişirdi. Dolayısıyla bu durumda q2=−1q_2 = -1 olmak zorundadır. Buradan a=−ba = -b ve a+b=0a+b = 0 elde edilir. Bu durumda da (a+b)2=0∈Q(a+b)^2 = 0 \in \mathbb{Q} olur.
İkinci durumun gerçekleşmesi ancak ve ancak a=−ba = -b ve toplamın sıfır (yani rasyonel) olmasıyla mümkündür.
4
Üçüncü durumu (a⋅ba \cdot b ve a/ba/b rasyonel, a+ba+b irrasyonel) inceleyelim.
a⋅b=q1∈Qa \cdot b = q_1 \in \mathbb{Q} ve a/b=q2∈Qa/b = q_2 \in \mathbb{Q} olsun. Buradan a2=(a⋅b)⋅(a/b)=q1q2∈Qa^2 = (a \cdot b) \cdot (a/b) = q_1 q_2 \in \mathbb{Q} ve b2=(a⋅b)/(a/b)=q1/q2∈Qb^2 = (a \cdot b) / (a/b) = q_1 / q_2 \in \mathbb{Q} bulunur. (a+b)2=a2+b2+2ab(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab ifadesini açarsak; a2∈Qa^2 \in \mathbb{Q}, b2∈Qb^2 \in \mathbb{Q} ve 2ab=2q1∈Q2ab = 2q_1 \in \mathbb{Q} olduğundan, bu üç rasyonel sayının toplamı olan (a+b)2(a+b)^2 de kesinlikle rasyonel bir sayıdır.
Rasyonel sayıların toplamaya göre kapalılık özelliğini kullanarak (a+b)2(a+b)^2 ifadesinin bu durumda da rasyonel olduğunu gösteririz.
5
Diğer ifadelerin (a2+b2a^2 + b^2 ve a2⋅b2a^2 \cdot b^2) her zaman rasyonel olup olmadığını karşıt örneklerle kontrol edelim.
İkinci durum için b=38b = \sqrt[8]{3} ve a=−38a = -\sqrt[8]{3} seçelim. Bu durumda a+b=0∈Qa+b = 0 \in \mathbb{Q} ve a/b=−1∈Qa/b = -1 \in \mathbb{Q} rasyoneldir. Ancak a⋅b=−34a \cdot b = -\sqrt[4]{3} irrasyoneldir (koşul sağlanır). Bu durumda a2+b2=234a^2 + b^2 = 2\sqrt[4]{3} ve a2⋅b2=3a^2 \cdot b^2 = \sqrt{3} ifadelerinin her ikisi de irrasyonel olur. Dolayısıyla I ve III kesinlikle rasyonel değildir.
Verilen önermelerden hangilerinin kesinlikle doğru olduğunu bulmak için karşıt örnek tekniğini kullanırız.

Anahtar Kavram

Rasyonel ve irrasyonel sayı kümelerinin işlemsel özellikleri ve kapalılık kuralları

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, sayıların rasyonel olması durumunda cebirsel kapalılık özelliklerini doğrudan kullanarak her durum için değerleri birer rasyonel değişken cinsinden (q1,q2q_1, q_2) yazarak ifadelerin rasyonelliğini doğrudan kontrol edebiliriz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 82Soru →

aa, bb ve cc birer tam sayı olmak üzere,
* a⋅(b+1)+ca \cdot (b + 1) + c ifadesinin bir çift sayıya,
* a+b+ca + b + c ifadesinin bir tek sayıya
eşit olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a+b⋅ca + b \cdot c

Cevap

a + b * c ifadesi daima bir çift sayıdır.
Yapılan analizler sonucunda aa çift, bb tek ve cc çift tam sayı olarak bulunur. Bu durumda, tek bir sayı ile çift bir sayının çarpımı çift olacağından b⋅cb \cdot c ifadesi çift sayıdır. Çift bir sayı olan aa ile çift bir sayı olan b⋅cb \cdot c'nin toplamı da daima çift sayı olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen iki ifadenin farkını alarak değişkenlerin durumunu analiz edelim.
(a+b+c)−[a(b+1)+c]=b(1−a)(a + b + c) - [a(b + 1) + c] = b(1 - a) elde edilir.
Tek bir sayıdan çift bir sayı çıkarıld��ğında sonuç daima tek sayı olmalıdır. Dolayısıyla b(1−a)b(1 - a) çarpımı tek sayı olmalıdır.
2
Elde edilen b(1−a)b(1 - a) çarpımının tek sayı olma ko��ulunu inceleyelim.
bb tek sayı ve 1−a1 - a tek sayı olmalıdır. Buradan bb tek sayı, aa ise çift sayı olarak bulunur.
İki tam sayının çarpımının tek sayı olması için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir.
3
Bulunan aa ve bb değerlerini ilk ifadede yerine yazarak cc sayısının teklik-çiftlik durumunu belirleyelim.
aa çift olduğundan a(b+1)a(b + 1) çift sayı olur. a(b+1)+ca(b + 1) + c ifadesi çift sayı olduğuna göre cc de çift sayı olmalıdır.
Çift bir sayı ile çift bir sayının toplamı çift sayı olacağından, toplamın çift kalabilmesi için cc çift olmalıdır.
4
Belirlenen durumları (aa çift, bb tek, cc çift) seçeneklerdeki ifadelerde test edelim.
a+b⋅ca + b \cdot c ifadesinde b⋅cb \cdot c çarpımı (tek ve çift sayıların çarpımı) çift sayıdır. Çift olan aa sayısı ile çift olan b⋅cb \cdot c çarpımının toplamı çift sayıdır.
Her zaman çift sayı olan ifadeyi bulmak için.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerinde teklik ve çiftlik özellikleri.
Soru 83Soru →

aa, bb ve cc sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,
* a⋅ba \cdot b rasyonel sayıdır.
* b⋅cb \cdot c irrasyonel sayıdır.
* a+ca + c rasyonel sayıdır.

bilgileri veriliyor.

Buna göre;
I. aa ve cc irrasyonel sayılardır.
II. a2−c2a^2 - c^2 irrasyonel sayıdır.
III. b−cb - c irrasyonel sayıdır.

ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

a ve c sayılarının her ikisi de irrasyonel olup, a^2 - c^2 farkı da kesinlikle irrasyoneldir. b - c farkı ise rasyonel bir sayıya eşit olabilir.
Verilen koşullara göre a ve c sayılarının her ikisi de irrasyonel olmak zorundadır. a + c toplamı sıfırdan farklı bir rasyonel sayı olduğundan ve a - c farkı irrasyonel olduğundan, bu iki ifadenin çarpımı olan a^2 - c^2 de kesinlikle irrasyoneldir. b - c farkı ise rasyonel bir değer alabilmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
a sayısının rasyonel olduğu varsayılarak çelişki yöntemi uygulanır.
a rasyonel ise, a * b rasyonel olduğundan b de rasyonel olmalıdır. b rasyonel ise, b * c irrasyonel olduğundan c irrasyonel olmalıdır. Ancak a + c rasyonel verildiğinden, rasyonel a ile irrasyonel c'nin toplamı rasyonel olamaz; çelişki elde edilir.
a'nın rasyonel olamayacağını göstererek irrasyonel olduğunu ispatlamak için.
2
a sayısı irrasyonel bulunduktan sonra c sayısının kümesi belirlenir.
a irrasyonel bir sayı ve a + c rasyonel olduğundan, c = (a + c) - a ifadesi rasyonel bir sayıdan irrasyonel bir sayının çıkarılmasıyla elde edilir. Dolayısıyla c de kesinlikle irrasyoneldir. (I. öncül kesinlikle doğrudur).
a ve c sayılarının irrasyonel olma durumunu netleştirmek için.
3
a^2 - c^2 ifadesi iki kare farkı şeklinde çarpanlarına ayrılarak analiz edilir.
a^2 - c^2 = (a - c)(a + c) olur. a + c rasyonel sayıdır ve sıfıra eşit olamaz (eğer a + c = 0 olsaydı c = -a olurdu, bu durumda b * c = - (a * b) rasyonel olurdu, oysa b * c irrasyoneldir). a - c ise irrasyoneldir. Sıfırdan farklı bir rasyonel sayı ile irrasyonel sayının çarpımı kesinlikle irrasyoneldir. (II. öncül kesinlikle doğrudur).
Çarpımın rasyonel/irrasyonel olma kurallarını uygulamak için.
4
b - c farkının irrasyonel olmak zorunda olup olmadığı karşıt örnekle test edilir.
a = sqrt(2), b = -sqrt(2) ve c = 1 - sqrt(2) seçilirse; a * b = -2 (rasyonel), b * c = 2 - sqrt(2) (irrasyonel), a + c = 1 (rasyonel) şartları sağlanır. Ancak b - c = -sqrt(2) - (1 - sqrt(2)) = -1 (rasyonel) elde edilir. (III. öncül kesinlikle doğru değildir).
Önermeyi çürütecek uygun bir karşıt örnek bulmak için.

Anahtar Kavram

Rasyonel ve irrasyonel sayı kümelerinde kapalılık özellikleri ve dört işlem sonuçlarının analizi.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 84Soru →
xx bir irrasyonel gerçel sayı olmak üzere,
x2−2xx^2 - 2x
ve
x3−5xx^3 - 5x
ifadelerinin her ikisi de birer rasyonel sayıdır.
Buna göre, x2+2xx^2 + 2x ifadesinin alabileceği farklı değerlerin toplamı ka��tır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

İfadenin alabileceği farklı değerlerin toplamı 10'dur.
Verilen ifadelerin rasyonel olabilmesi için, x3−5xx^3 - 5x ifadesinin xx cinsinden yazılımındaki irrasyonel terimin katsayısının sıfır olması gerekir. Buradan x2−2x=1x^2 - 2x = 1 elde edilir. Bu denklemin kökleri olan 1+21+\sqrt{2} ve 1−21-\sqrt{2} değerleri için x2+2xx^2 + 2x ifadesinin alacağı değerlerin toplamı 10 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
x2−2xx^2 - 2x ve x3−5xx^3 - 5x ifadelerinin rasyonel sayı değerlerini sırasıyla aa ve bb olarak tanımlayalım.
x2−2x=ax^2 - 2x = a ve x3−5x=bx^3 - 5x = b (a,b∈Qa, b \in \mathbb{Q})
Verilen ifadelerin rasyonel sayı olma koşullarını cebirsel olarak analiz etmek.
2
x2=2x+ax^2 = 2x + a eşitliğini kullanarak x3x^3 ifadesini xx cinsinden yazalım.
x3=x⋅x2=x(2x+a)=2x2+ax=2(2x+a)+ax=(a+4)x+2ax^3 = x \cdot x^2 = x(2x + a) = 2x^2 + ax = 2(2x + a) + ax = (a + 4)x + 2a
x3x^3 teriminin derecesini düşürerek birinci dereceden bir ifade elde etmek.
3
Elde ettiğimiz x3x^3 ifadesini x3−5xx^3 - 5x ifadesinde yerine yazarak düzenleyelim.
x3−5x=(a+4)x+2a−5x=(a−1)x+2a=bx^3 - 5x = (a + 4)x + 2a - 5x = (a - 1)x + 2a = b
x3−5xx^3 - 5x ifadesini xx cinsinden ifade etmek.
4
xx irrasyonel sayısı için (a−1)x=b−2a(a - 1)x = b - 2a eşitliğini inceleyelim.
a−1=0  ⟹  a=1a - 1 = 0 \implies a = 1 ve b=2a=2b = 2a = 2
Eğer a−1≠0a - 1 \neq 0 olsaydı, x=b−2aa−1x = \frac{b - 2a}{a - 1} olurdu ve a,ba, b rasyonel olduğundan xx de rasyonel olurdu. Bu durum xx'in irrasyonel olmasıyla çelişir.
5
a=1a = 1 için x2−2x=1x^2 - 2x = 1 denklemini çözelim.
x2−2x−1=0  ⟹  x=1+2x^2 - 2x - 1 = 0 \implies x = 1 + \sqrt{2} veya x=1−2x = 1 - \sqrt{2}
xx irrasyonel sayısının alabileceği olası gerçel sayı değerlerini bulmak.
6
Bulunan xx değerleri için x2+2xx^2 + 2x ifadesinin değerlerini hesaplayıp toplayalım.
x2=2x+1x^2 = 2x + 1 olduğundan, x2+2x=4x+1x^2 + 2x = 4x + 1 olur. Buradan değerler 5+425+4\sqrt{2} ve 5−425-4\sqrt{2} olup toplamları 1010'dur.
İstenen değerlerin toplamını elde etmek.

Anahtar Kavram

Rasyonel ve irrasyonel sayı kümelerinin özellikleri, kapalılık ve irrasyonellik tanımı.
Soru 85Soru →

N\mathbb{N} doğal sayılar, Z\mathbb{Z} tam sayılar, Q\mathbb{Q} rasyonel sayılar, Q′\mathbb{Q}' irrasyonel sayılar ve R\mathbb{R} gerçel sayılar kümesini temsil etmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlışt��r?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16∈Q′\sqrt{16} \in \mathbb{Q}'

Cevap

Karekök dışına tam sayı olarak çıkabilen ifadeler rasyonel sayılardır. 16=4\sqrt{16} = 4 olduğundan bu sayı irrasyonel değil, rasyonel bir sayıdır. Dolayısıyla bu ifadedeki üyelik ilişkisi yanlıştır.
Karekök dışına tam sayı olarak çıkabilen ifadeler rasyonel sayılardır. 16=4\sqrt{16} = 4 olduğundan bu sayı irrasyonel değil, rasyonel bir sayıdır. Dolayısıyla bu ifadedeki üyelik ilişkisi yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadelerdeki sayıların hangi sayı kümelerine ait olduğunu belirlemek için sayıları inceleyelim.
−5-5 bir negatif tam sayıdır, 00 bir doğal sayıdır, 34\frac{3}{4} bir rasyonel sayıdır, 2\sqrt{2} kök dışına tam çıkamayan bir irrasyonel sayıdır ve 16=4\sqrt{16} = 4 bir rasyonel sayıdır.
Her bir ifadenin doğruluğunu kontrol etmek için temel sayı kümelerinin tanımlarını uygulamamız gerekir.
2
Seçeneklerdeki ifadelerin doğruluk durumunu tek tek değerlendirelim.
−5∈Z-5 \in \mathbb{Z} doğrudur çünkü −5-5 tam sayıdır. 0∈N0 \in \mathbb{N} doğrudur çünkü 00 doğal sayıdır. 34∈Q\frac{3}{4} \in \mathbb{Q} doğrudur çünkü rasyonel sayıdır. 2∈R\sqrt{2} \in \mathbb{R} doğrudur çünkü her gerçel sayı gibi irrasyonel sayılar da gerçel sayılar kümesine dahildir. 16∈Q′\sqrt{16} \in \mathbb{Q}' ifadesi yanlıştır çünkü 16=4\sqrt{16} = 4 rasyonel bir sayıdır, irrasyonel değildir.
Yanlış olan ifadeyi tespit ederek doğru seçeneğe ulaşmak.

Anahtar Kavram

Sayı kümelerinin tanımları ve elemanların bu kümelere aidiyeti
Tahmini Süre:45s
Soru 86Soru →

Gerçel sayı doğrusu üzerinde konumlandırılan aa, bb ve cc sayıları hakkında aşağıdaki bilgiler verilmiştir:
- aa sayısı bir doğal sayıdır.
- bb sayısı, başlangıç noktasına olan uzaklığı 5 birimden az olan bir negatif tam sayıdır.
- cc sayısı, tam sayı olmayan bir rasyonel sayıdır.

Bu sayılar arasında
a−b+2c=12a - b + 2c = 12
eşitliği tanımlanmıştır.

Buna göre, cc sayısının alabileceği en büyük değer için a+b+2ca + b + 2c ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

c sayısının alabileceği en büyük değer için a + b + 2c ifadesinin değeri 10'dur.
c sayısını en büyük yapmak amacıyla, c=12−a+b2c = \frac{12 - a + b}{2} ifadesinde çıkarılan aa doğal sayısı en küçük (00), eklenen bb negatif tam sayısı ise en büyük (−1-1) olarak seçilmiştir. Buradan elde edilen c=11/2c = 11/2 sayısı tam sayı olmayan rasyonel sayı koşulunu sağlamaktadır. Bu değerlerin toplamı olan a+b+2ca + b + 2c işlemi 0+(−1)+11=100 + (-1) + 11 = 10 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitlikten c değerini diğer değişkenler cinsinden ifade edin.
2c=12−a+b⇒c=12−a+b22c = 12 - a + b \Rightarrow c = \frac{12 - a + b}{2}
c'nin alabileceği en büyük değeri bulabilmek için a ve b üzerindeki etkisini incelemek.
2
c rasyonel sayısını en büyük yapacak a ve b değerlerini belirleyin.
En küçük doğal sayı a=0a = 0, mutlak değeri 5'ten küçük en büyük negatif tam sayı b=−1b = -1.
c'nin payını en büyük yapmak için çıkarılan terim a en küçük, eklenen terim b en büyük seçilmelidir.
3
Seçilen değerler için c'nin koşulları sağlayıp sağlamadığını kontrol edin.
c=12−0−12=112c = \frac{12 - 0 - 1}{2} = \frac{11}{2} elde edilir. 112\frac{11}{2} sayısı tam sayı olmayan bir rasyonel sayıdır.
c sayısının tam sayı olmayan rasyonel sayı olma koşulunu doğrulamak.
4
a, b ve c değerlerini kullanarak istenen toplamı hesaplayın.
a+b+2c=0+(−1)+2⋅(112)=−1+11=10a + b + 2c = 0 + (-1) + 2 \cdot \left(\frac{11}{2}\right) = -1 + 11 = 10
Soruda istenen ifadenin nihai değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Sayı Kümeleri ve Eleman Özellikleri
Soru 87Soru →
aa ve bb birer tam sayı olmak üzere,
a⋅(b+1)a \cdot (b + 1)
ifadesi bir tek sayıdır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a⋅ba \cdot b

Cevap

a⋅ba \cdot b ifadesi her zaman çift sayıdır.
aa tek ve bb çift tam sayı olduğundan, a⋅ba \cdot b çarpımı tekle çiftin çarpımı olup her zaman çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
a⋅(b+1)a \cdot (b + 1) ifadesinin tek sayı olma durumunu inceleyin.
aa tek sayı ve b+1b + 1 tek sayı olmalıdır.
İki tam sayının çarpımının tek sayı olması için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir.
2
bb sayısının tek/çift durumunu belirleyin.
bb çift sayıdır.
b+1b + 1 tek sayı olduğuna göre, bb sayısı çift olmalıdır.
3
Seçeneklerdeki ifadelerin her zaman çift sayı olup olmadığını test edin.
a⋅ba \cdot b ifadesi her zaman çift sayıdır. bab^a ve aba^b gibi ifadeler, aa veya bb negatif tam sayı seçildiğinde rasyonel sayı belirtebileceğinden tek veya çift sayı olamaz.
Çift bir tam sayı ile herhangi bir tam sayının çarpımı her zaman çift sayıdır. Kuvvet içeren ifadelerde ise tabanın tam sayı, üssün ise pozitif tam sayı olma zorunluluğu vardır.

Anahtar Kavram

Tek ve çift tam sayıların çarpma, toplama işlemleri ve üs alma özelliklerinde üssün pozitif tam sayı olması gerekliliği.
Soru 88Soru →

aa, bb ve cc tam sayılar olmak üzere,

a⋅(b+c)a \cdot (b + c) ve a+ca + c

sayılarının her ikisinin de tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman tek sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a⋅b+ca \cdot b + c

Cevap

İki tek sayının çarpımı ile bir çift sayının toplamını belirten ifade
Yapılan analizler sonucunda aa tek, bb tek ve cc çift tam sayı olarak bulunur. İki tek sayının çarpımı tek sayı olduğundan a⋅ba \cdot b tektir. Tek sayı ile çift olan cc toplandığında elde edilen iki tek sayının çarpımı ile bir çift sayının toplamını belirten ifade daima tek sayı olur.

Adım Adım Çözüm

1
Çarpım ifadesinin teklik durumunu analiz etmek
a⋅(b+c)a \cdot (b + c) tek sayı ise hem aa hem de b+cb + c ifadeleri tek sayı olmalıdır.
İki tam sayının çarpımının tek sayı olması için çarpanların her ikisinin de tek sayı olması gerekir.
2
Toplam ifadesini kullanarak birinci değişkenin paritesini bulmak
aa tek sayı olduğundan, a+ca + c ifadesinin tek sayı olabilmesi için cc çift sayı olmalıdır.
Tek sayı ile çift sayının toplamı tek sayı yapar.
3
Diğer toplam ifadesini kullanarak ikinci değişkenin paritesini bulmak
cc çift sayı olduğundan, b+cb + c ifadesinin tek sayı olabilmesi için bb tek sayı olmalıdır.
Çift sayı ile tek sayının toplamı tek sayı yapar.
4
Elde edilen teklik-çiftlik durumlarına göre seçenekleri test etmek
aa tek, bb tek ve cc çift tam sayılardır. Buradan a⋅ba \cdot b tek sayı olur ve çift sayı olan cc ile toplandığında a⋅b+ca \cdot b + c ifadesi daima tek sayı sonucunu verir. Üslü ifadeler içeren diğer durumlarda üslerin negatif veya sıfır olma ihtimalleri göz önünde bulundurulduğunda teklik-çiftlik kesin olarak söylenemez.
Tam sayılar kümesinde negatif kuvvetlerin rasyonel sayı üretebileceğini göz önünde bulundurarak kesin teklik durumunu belirlemek.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayılar
Soru 89Soru →

Üzerinde birer sayı yazılı olan 5 adet kart aşağıda gösterilmiştir:

* Kart 1: −16-\sqrt{16}
* Kart 2: 00
* Kart 3: 123\frac{12}{3}
* Kart 4: 8\sqrt{8}
* Kart 5: 2,72,7

Bu kartlarda yazan sayılarla ilgili olarak;

I. Kartlarda yazan sayılardan 3 tanesi tam sayıdır.
II. Rasyonel sayı yazan kart sayısı, irrasyonel sayı yazan kart sayısından 3 fazladır.
III. Pozitif tam sayı yazan kart sayısı, negatif olmayan tam sayı yazan kart sayısından 1 eksiktir.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I, II ve III

Cevap

Her üç ifade de doğrudur (I, II ve III)
Kartlarda yazan sayılar incelendiğinde; −16=−4-\sqrt{16} = -4, 00 ve 123=4\frac{12}{3} = 4 sayıları tam sayıdır ve toplam 3 tanedir. Rasyonel olanlar −4,0,4,2,7-4, 0, 4, 2,7 (4 tane), irrasyonel olan ise yalnızca 8\sqrt{8}'dir (1 tane). Aradaki fark 4−1=34 - 1 = 3'tür. Pozitif tam sayı olan sadece 44 (1 tane) iken, negatif olmayan tam sayılar 00 ve 44 (2 tane) olup aradaki fark 1'dir. Bu durumda tüm ifadeler doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Kartlar üzerindeki sayıların değerlerini belirleme ve sadeleştirme
−16=−4-\sqrt{16} = -4 (tam sayı), 00 (tam sayı), 123=4\frac{12}{3} = 4 (tam sayı), 8=22\sqrt{8} = 2\sqrt{2} (irrasyonel sayı), 2,7=27102,7 = \frac{27}{10} (ondalık rasyonel sayı).
Sayıların hangi sayı kümelerine ait olduğunu doğru belirleyebilmek için öncelikle en sade hallerini bulmalıyız.
2
Birinci öncülün doğruluğunu kontrol etme
Tam sayılar: −4-4, 00 ve 44 olmak üzere 3 tanedir. Dolayısıyla I. öncül doğrudur.
Tam sayılar kümesi (Z\mathbb{Z}), negatif tam sayılar, sıfır ve pozitif tam sayıların birleşiminden oluşur.
3
İkinci öncülün doğruluğunu kontrol etme
Rasyonel sayılar (Q\mathbb{Q}): −4,0,4,2,7-4, 0, 4, 2,7 (4 adet). İrrasyonel sayılar (Q′\mathbb{Q}'): 222\sqrt{2} (1 adet). Fark: 4−1=34 - 1 = 3 fazladır. Dolayısıyla II. öncül doğrudur.
Gerçel sayılar kümesinde rasyonel olmayan sayılar irrasyoneldir.
4
Üçüncü öncülün doğruluğunu kontrol etme
Pozitif tam sayılar: 44 (1 adet). Negatif olmayan tam sayılar: 00 ve 44 (2 adet). Pozitif tam sayı sayısı (1), negatif olmayan tam sayı sayısından (2) 1 eksiktir (2−1=12 - 1 = 1). Dolayısıyla III. öncül doğrudur.
Sıfır sayısı işaretsizdir (nötrdür), dolayısıyla pozitif değildir fakat negatif de olmadığı için 'negatif olmayan' sınıfına dahildir.

Anahtar Kavram

Sayı kümeleri (doğal sayılar, tam sayılar, rasyonel sayılar ve irrasyonel sayılar) arasındaki ilişkiler ve sıfır sayısının özellikleri.
Soru 90Soru →

−3-3, 00, 23\frac{2}{3}, 5\sqrt{5}, π\pi ve −18-1{}8 sayılarından kaç tanesi rasyonel sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Verilen sayılardan 4 tanesi rasyonel sayıdır.
Verilen sayılardan −3-3, 00, 23\frac{2}{3} ve −18-1{}8 rasyonel sayıdır. Bu sayılar iki tam sayının oranı biçiminde ifade edilebilir. Dolayısıyla doğru cevap 4'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Rasyonel sayı tanımını belirlemek
Rasyonel sayılar kümesi Q\mathbb{Q} ile gösterilir ve a,b∈Za, b \in \mathbb{Z}, b≠0b \neq 0 olmak üzere ab\frac{a}{b} şeklinde yazılabilen sayılardır.
Sayıların hangi kümeye ait olduğunu sınıflandırmak için tanımı uygulamak gerekir.
2
Verilen sayıları tek tek incelemek
−3-3, 00, 23\frac{2}{3} ve −18-1{}8 sayılarının rasyonel; 5\sqrt{5} ve π\pi sayılarının irrasyonel olduğunu belirlemek.
−3-3 ve 00 tam sayıları sırasıyla −31\frac{-3}{1} ve 01\frac{0}{1} şeklinde yazılabilir. 23\frac{2}{3} kesirli bir sayıdır. −18-1{}8 ise −1810-\frac{18}{10} ondalıklı sayısıdır. 5\sqrt{5} kök dışına tam sayı çıkamadığı için, π\pi ise devirsiz sonsuz ondalık açılıma sahip olduğu için rasyonel değildir.
3
Rasyonel sayıların adedini bulmak
Toplamda 4 tane rasyonel sayı olduğunu hesaplamak.
Sınıflandırılan sayılardan rasyonel olanları sayarak sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Rasyonel ve irrasyonel sayıların ayırt edilmesi
Soru 91Soru →
x∈R∖Qx \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} olmak üzere,
x+1xx + \frac{1}{x}

toplamı bir tam sayıya eşittir.

Buna göre,

x3+1x3x^3 + \frac{1}{x^3}

ifadesinin alabileceği en küçük pozitif tam sayı değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

İfadenin alabileceği en küçük pozitif tam sayı değeri 18'dir.
İfadenin alabileceği en küçük pozitif tam sayı değeri, xx sayısının rasyonel olmasını engelleyen ∣k∣≥3|k| \ge 3 koşulu altında k=3k = 3 seçilerek 33−3(3)=183^3 - 3(3) = 18 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
x+1xx + \frac{1}{x} toplamını bir kk tam sayısına eşitleyerek xx değişkenine bağlı ikinci dereceden bir denklem elde etmek ve bu denklemin gerçel köklerinin olması için gereken koşulu belirlemek.
x2−kx+1=0x^2 - kx + 1 = 0 denkleminin diskriminantı Δ=k2−4≥0\Delta = k^2 - 4 \ge 0 olmalıdır. Buradan k≥2k \ge 2 veya k≤−2k \le -2 elde edilir.
xx sayısın��n bir gerçel sayı olduğu verilmiştir, dolayısıyla denklemin gerçel kökleri bulunmalıdır.
2
xx sayısının irrasyonel olması koşulunu kullanarak kk tam sayısının alabileceği değer aralığını daraltmak.
k2−4k^2 - 4 ifadesinin bir tam kare olmaması gerekir. Bu ifadeyi tam kare yapan k=±2k = \pm 2 değerleri elenir ve ∣k∣≥3|k| \ge 3 koşulu elde edilir.
xx sayısının rasyonel olmaması (yani irrasyonel olması) için kareköklü ifadenin dışarıya tam sayı olarak çıkmaması gerekir.
3
İstenen x3+1x3x^3 + \frac{1}{x^3} ifadesini kk cinsinden yazıp en küçük pozitif tam sayı değerini veren kk değerini bulmak.
x3+1x3=k3−3kx^3 + \frac{1}{x^3} = k^3 - 3k ifadesinde ∣k∣≥3|k| \ge 3 için en küçük pozitif değer k=3k = 3 yazıldığında 1818 olarak bulunur.
Pozitif en küçük değeri bulmak için kk değerlerini kontrol ederiz. k≥3k \ge 3 için ifade artandır ve k=3k = 3 en küçük değeri verir; k≤−3k \le -3 için ise değer negatif olur.

Anahtar Kavram

İrrasyonel sayıların tanımı ve gerçel kök varlığı koşulu ile cebirsel özdeşliklerin birlikte uygulanması.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 92Soru →

a,ba, b ve cc tam sayıları için

3a−b=2c+13a - b = 2c + 1

eşitliği veriliyor.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a⋅ba \cdot b

Cevap

İki sayının çarpımını içeren ifade her zaman çift sayıdır.
2c2c ifadesi cc tam sayısı için her zaman çift bir sayıdır. Dolayısıyla 2c+12c + 1 ifadesi her zaman tek bir sayıdır. Buradan 3a−b3a - b ifadesinin tek sayı olması gerektiği anlaşılır. İki tam sayının farkının tek sayı olabilmesi için bu sayılardan birinin tek, diğerinin çift olması gerekir. 3a3a ifadesinin tekliği veya çiftliği aa sayısı ile aynı olduğundan, aa ve bb sayılarından biri tek, diğeri çift sayıdır. Biri tek diğeri çift olan iki tam sayının çarpımı her zaman çift sayı olacağından, iki değişkenin çarpımını içeren ifade her zaman çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin sağ tarafındaki 2c+12c + 1 ifadesinin teklik-çiftlik durumunu belirleyin.
cc bir tam sayı olduğundan, 2c2c her zaman çift sayıdır. Çift bir sayıya 11 eklenirse sonuç her zaman tek sayı olur. Bu yüzden 2c+12c + 1 tektir.
Eşitliğin sol tarafındaki ifadenin değerini yorumlayabilmek için sağ tarafının karakterini bilmemiz gerekir.
2
3a−b3a - b ifadesinin zıtlık veya teklik-çiftlik durumunu analiz edin.
3a−b3a - b ifadesi tek sayıya eşit olmalıdır. İki tam sayının farkı tek ise, bu sayılardan biri tek, diğeri çifttir. 3a3a ifadesinin teklik-çiftlik durumu aa ile aynı olduğundan, aa ve bb değişkenlerinden biri çift, diğeri tek olmak zorundadır.
Fark işleminin sonucunun tek sayı çıkması ancak ve ancak terimlerin teklik-çiftlik yönünden zıt karakterde olmasıyla mümkündür.
3
aa ve bb değerlerini çarpma işlemine tabi tutarak sonucu değerlendirin.
Çarpanlardan en az biri çift sayı (biri tek, biri çift olduğu için) olduğundan, a⋅ba \cdot b çarpımı her zaman çift sayıdır.
Bir çift tam sayı ile herhangi bir tam sayının çarpımı daima çift bir tam sayı üretir.

Anahtar Kavram

Tek ve çift tam sayılarda toplama, çıkarma ve çarpma işlemleri ile bir ifadenin her zaman çift olabilmesi için çarpanlardan en az birinin çift sayı olması gerekliliği.
Soru 93Soru →

Bir hedef tahtası üzerindeki bölgelere isabet eden oklar için puanlama kuralları şu şekildedir:

İsabet eden sayının türüne göre;
- Sayı bir doğal sayı ise bu sayının 22 katı kadar puan,
- Sayı bir negatif tam sayı ise bu sayının mutlak değeri kadar puan,
- Sayı bir rasyonel sayı olup tam sayı değilse bu sayının çarpma işlemine göre tersi kadar puan,
- Sayı bir irrasyonel sayı ise 00 puan
kazanılmaktadır.

Bu hedef tahtasına yapılan 5 başarılı atışın isabet ettiği sayılar sırasıyla −4-4, 00, 33, 14\frac{1}{4} ve 5\sqrt{5} olduğuna göre, bu atışlar sonucunda kazanılan toplam puan kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

Atışlar sonucunda kazanılan toplam puan 14'tür.
Verilen sayıların sayı kümelerine doğru bir şekilde yerleştirilmesi ve kurallara göre hesaplanan puanların (44, 00, 66, 44, 00) toplanmasıyla elde edilen sonuç 14'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Sayıların ait oldukları sayı kümelerini belirleyin.
−4-4 sayısı negatif tam sayıdır.
00 sayısı doğal sayıdır.
33 sayısı doğal sayıdır.
14\frac{1}{4} sayısı tam sayı olmayan rasyonel sayıdır.
5\sqrt{5} sayısı irrasyonel sayıdır.
Her bir sayıya uygulanacak puanlama kuralını doğru seçebilmek için sayıların ait olduğu kümeleri tespit etmek gerekir.
2
Her bir sayı için kurallara göre puanları hesaplayın.
−4-4 için: ∣−4∣=4|-4| = 4 puan
00 için: 2⋅0=02 \cdot 0 = 0 puan
33 için: 2⋅3=62 \cdot 3 = 6 puan
14\frac{1}{4} için: 11/4=4\frac{1}{1/4} = 4 puan
5\sqrt{5} için: 00 puan
Soruda tanımlanan kural yönergelerini ilgili sayılara uygulamak için.
3
Elde edilen puanları toplayarak toplam puanı bulun.
4+0+6+4+0=144 + 0 + 6 + 4 + 0 = 14 puan.
Beş başarılı atışın tamamından elde edilen toplam puanı hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Gerçel sayıların alt kümeleri (doğal sayılar, tam sayılar, rasyonel sayılar, irrasyonel sayılar) ve bu kümelerin eleman özelliklerinin kavranması.
Soru 94Soru →
Sıfırdan farklı aa ve bb gerçel sayıları için a2≠b2a^2 \neq b^2 olmak üzere,
A={a+b,  a−b,  a⋅b,  ab}A = \{a+b,\; a-b,\; a\cdot b,\; \frac{a}{b}\}
kümesi tan��mlanıyor.

AA kümesinin elemanlarından iki tanesinin irrasyonel sayı, diğer iki tanesinin ise tam sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre,
I. a2+b2a^2 + b^2 bir rasyonel sayıdır.
II. a2⋅b2a^2 \cdot b^2 bir tam sayıdır.
III. a2−b2a^2 - b^2 bir rasyonel sayıdır.

ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II
I ve II ifadelerini içeren seçenek doğrudur. Çünkü a^2 + b^2 ifadesi her olası durumda rasyonel bir sayı belirtirken, a^2 * b^2 ifadesi ise her durumda bir tam sayı belirtir. a^2 - b^2 ifadesi ise irrasyonel bir değer alabildiği için kesinlikle doğru değildir.

Adım Adım Çözüm

1
Kümedeki elemanların analiz edilmesi ve olası durumların belirlenmesi
a2≠b2a^2 \neq b^2 koşulu altında a≠±ba \neq \pm b olduğundan a+b≠0a+b \neq 0 ve a−b≠0a-b \neq 0'dır.
Kümedeki elemanların sıfırdan farklı olduğunu doğrulamak ve sadeleştirme hatalarını önlemek için.
2
Hangi eleman çiftlerinin aynı anda tam sayı olabileceğinin belirlenmesi
{a+b,a−b}\{a+b, a-b\}, {a+b,a/b}\{a+b, a/b\} ve {a−b,a/b}\{a-b, a/b\} çiftleri aynı anda tam sayı olamaz; aksi halde aa ve bb rasyonel olup kümede hiç irrasyonel sayı kalmazdı. Bu nedenle tam sayı olan iki eleman {a+b,ab}\{a+b, ab\}, {a−b,ab}\{a-b, ab\} veya {ab,a/b}\{ab, a/b\} çiftlerinden biri olmalıdır. Her üç durumda da abab kesinlikle bir tam sayıdır.
Soruda verilen iki tam sayı ve iki irrasyonel sayı bulunması koşulunu sağlayan durumları sınırlandırmak için.
3
Belirlenen durumlar altında öncüllerin teker teker test edilmesi
1. ve 2. durumlarda a2+b2a^2+b^2 ifadesi tam sayı, 3. durumda ise a2+b2=ab⋅(a/b)+aba/ba^2+b^2 = ab \cdot (a/b) + \frac{ab}{a/b} rasyonel sayı olur. Her durumda a2⋅b2=(ab)2a^2 \cdot b^2 = (ab)^2 bir tam sayıdır. Ancak a2−b2a^2-b^2 ifadesi irrasyonel değer alabilir.
Kesinlikle doğru olan ifadeleri bulmak ve karşıt örnekler oluşturarak yanlış olanları elemek için.

Anahtar Kavram

Rasyonel ve irrasyonel sayı kümelerinin özellikleri, kapalılık kuralları ve cebirsel işlemler altındaki davranışları
Soru 95Soru →

Matematik dersinde sayı kümelerini çalışan bir öğrenci, sayıların hangi kümelere ait olduğunu belirlemek istiyor.

Buna göre, aşağıdaki sayılardan hangisi rasyonel sayılar kümesinin (Q\mathbb{Q}) bir elemanı olduğu hâlde tam sayılar kümesinin (Z\mathbb{Z}) bir elemanı değildir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −94-\frac{9}{4}

Cevap

−94-\frac{9}{4} sayısı rasyonel sayı olduğu hâlde tam sayı değildir.
−94-\frac{9}{4} sayısı iki tam sayının oranı biçiminde yazıldığı için rasyonel sayıdır, fakat bir tam sayı değildir. Bu nedenle doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Rasyonel sayı (Q\mathbb{Q}) ve tam sayı (Z\mathbb{Z}) kümelerinin tanımlarını hatırlayalım.
Rasyonel sayılar, aa ve bb tam sayı ve b≠0b \neq 0 olmak üzere ab\frac{a}{b} biçiminde yazılabilen sayılardır. Tam sayılar ise …,−2,−1,0,1,2,…\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots biçimindeki sayılardır.
Soruda istenen koşulu sağlayan sayının rasyonel sayı tanım��na uyup tam sayı tanımına uymaması gerekir.
2
Seçeneklerde verilen sayıları bu tanımlara göre tek tek analiz edelim.
1. 36=6\sqrt{36} = 6 olup bir tam sayıdır.
2. 00 bir tam sayıdır.
3. 5\sqrt{5} irrasyoneldir, rasyonel sayı değildir.
4. −3-3 bir tam sayıdır.
5. −94-\frac{9}{4} ise bir rasyonel sayıdır fakat tam bölünmediği için tam sayı değildir.
Hangi sayının rasyonel sayı olup tam sayı olmadığını belirlemek için her seçeneğin değerini sadeleştirip kontrol etmemiz gerekir.
3
Koşulu sağlayan tek seçeneği belirleyelim.
Rasyonel sayı olup tam sayı olmayan sayı −94-\frac{9}{4} sayısıdır.
Aranan şartı sağlayan tek sayı budur.

Anahtar Kavram

Sayı Kümeleri ve Eleman İlişkileri
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 96Soru →

aa, bb ve cc tam sayılar olmak üzere,
* a+ba + b
* b⋅cb \cdot c
sayılarından birinin tek sayı, diğerinin ise çift sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a⋅b+b⋅ca \cdot b + b \cdot c

Cevap

a⋅b+b⋅ca \cdot b + b \cdot c
a⋅b+b⋅ca \cdot b + b \cdot c ifadesi b(a+c)b(a+c) şeklinde yazıldığında, bb sayısı çift ise çarpım çift olur. Eğer bb sayısı tek ise, diğer koşullardan ötürü hem aa hem de cc tek olmakta veya her ikisi de çift olmaktadır. Her iki durumda da a+ca+c toplamı çift olacağından, b(a+c)b(a+c) ifadesi her durumda çift bir sayı vermektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Koşulları analiz ederek olası durumları gruplandırma.
a+ba+b ve b⋅cb \cdot c ifadelerinden biri tek, diğeri çift sayıdır. Bu durum iki temel olasılık doğurur:
1. Durum: a+ba+b çift ve b⋅cb \cdot c tek sayı.
2. Durum: a+ba+b tek ve b⋅cb \cdot c çift sayı.
Soruda verilen öncüllerin tüm olası teklik-çiftlik kombinasyonlarını belirlemek gerekir.
2
1. Durumu (a+ba+b çift ve b⋅cb \cdot c tek) inceleme.
b⋅cb \cdot c tek ise hem bb hem de cc kesinlikle tek sayıdır. a+ba+b çift ve bb tek olduğundan, aa da tek sayı olmalıdır. Dolayısıyla bu durumda aa, bb ve cc sayılarının hepsi tek sayıdır.
Çarpımın tek olması durumundan yararlanarak bilinmeyenlerin paritelerini kesinleştirmek için.
3
2. Durumu (a+ba+b tek ve b⋅cb \cdot c çift) inceleme.
a+ba+b tek ise aa ile bb zıt paritededir. Buradan iki alt durum elde edilir:
* bb çift ise aa tek olmalıdır. bb çift olduğundan b⋅cb \cdot c ifadesi cc'nin değerinden bağımsız olarak çift sayı olur. Yani cc tek de çift de olabilir.
* bb tek ise aa çift olmalıdır. b⋅cb \cdot c çift olması gerektiğinden ve bb tek olduğundan cc çift sayı olmalıdır.
Diğer olası durum altındaki parite kombinasyonlarını eksiksiz belirlemek için.
4
Elde edilen tüm parite durumlarını özetleme ve seçenekleri test etme.
Oluşan tüm durumlarda aa, bb ve cc pariteleri şöyledir:
1) aa tek, bb çift, cc tek
2) aa tek, bb çift, cc çift
3) aa çift, bb tek, cc çift
4) aa tek, bb tek, cc tek

a⋅b+b⋅ca \cdot b + b \cdot c ifadesi ortak paranteze alındığında b(a+c)b(a+c) elde edilir.
* bb çift ise (1. ve 2. durumlar), b(a+c)b(a+c) ifadesi çifttir.
* bb tek ise (3. ve 4. durumlar), aa ile cc aynı paritededir (ya ikisi de çift ya da ikisi de tektir). Bu durumda a+ca+c toplamı her halükarda çift olacağından b(a+c)b(a+c) çarpımı yine çift sayı olur.
Dolayısıyla bu ifade her zaman çift sayıdır.
Her dört durumda da kesinlikle çift sonuç veren tek cebirsel ifadeyi tespit etmek için.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayılarda Dört İşlem ve Ortak Çarpan Parantezi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 97Soru →

aa, bb ve cc birer tam sayı olmak üzere,

* a⋅b+ca \cdot b + c çift sayı,
* b+cb + c tek sayı

olduğu biliniyor.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman tek sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a⋅c+ba \cdot c + b

Cevap

Verilen koşullara göre, ��arpım ve toplama işlemlerinin sonucu olan a⋅c+ba \cdot c + b ifadesi her zaman tek sayıdır.
aa ve cc çift, bb tek sayılar olduğundan, iki çift sayının çarpımı olan a⋅ca \cdot c ifadesi her zaman çifttir. Çift bir sayıya tek bir sayı olan bb eklendiğinde elde edilen a⋅c+ba \cdot c + b ifadesi her zaman tek sayı olur.

Adım Adım Çözüm

1
b+cb + c ifadesinin tek sayı olması durumunu incelemek.
bb ve cc tam sayılarından biri tek, diğeri çift olmalıdır.
İki tam sayının toplamının tek sayı olabilmesi için bu sayılardan birinin tek, diğerinin ise çift olması gerekir.
2
a⋅b+ca \cdot b + c ifadesinin çift sayı olmasını bu durumlara göre değerlendirmek.
Eğer bb çift ve cc tek olsaydı, a⋅b+ca \cdot b + c ifadesi a⋅c¸ift+tek=c¸ift+tek=teka \cdot \text{çift} + \text{tek} = \text{çift} + \text{tek} = \text{tek} olurdu. Bu durum verilenle çelişir. Dolayısıyla bb tek ve cc çift olmalıdır. Bu durumda a⋅b+ca \cdot b + c ifadesinin çift sayı olması için a⋅ba \cdot b çarpımı çift olmalıdır. bb tek sayı olduğundan, aa sayısı çift olmalıdır.
Soruda verilen bilgilerin her ikisini de sağlayan tek durumu belirlemek için.
3
Elde edilen aa çift, bb tek ve cc çift bilgilerini seçeneklerde denemek.
a⋅c+ba \cdot c + b ifadesinde, iki çift sayının çarpımı olan a⋅ca \cdot c her zaman çift sayıdır. Bu çift sayıya tek sayı olan bb eklendiğinde elde edilen sonuç (a⋅c+ba \cdot c + b) her zaman tek sayıdır. ba+cb^a + c ve ab+ca^b + c gibi üslü ifadelerde üssün negatif tam sayı olması durumunda sonuç tam sayı olmayabilir. Diğer seçenekler ise her zaman çift sayıdır.
Her zaman tek sayı olan doğru seçeneğe ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda tek ve çift sayıların toplama, çıkarma, çarpma ve kuvvet işlemleri altındaki özellikleri ve üslerin tam sayı olması durumunda teklik-çiftlik kurallarının geçerliliği.
Soru 98Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde
K={x∈R:x2∈Q}K = \{ x \in \mathbb{R} : x^2 \in \mathbb{Q} \}
L={x∈R:x3∈Q}L = \{ x \in \mathbb{R} : x^3 \in \mathbb{Q} \}
kümeleri tanımlanıyor.

Buna göre,
I. K∩L=QK \cap L = \mathbb{Q}
II. x∈Kx \in K ve y∈Ky \in K ise x⋅y∈Kx \cdot y \in K
III. x∈Kx \in K ve y∈Ky \in K ise x+y∈Kx + y \in K

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II
I ve II ifadelerini içeren seçenek doğrudur. Birinci ifadede, eğer bir sayının hem karesi hem de küpü rasyonel ise, kendisi de rasyonel olmak zorundadır (sayı sıfırdan farklı ise x=x3/x2x = x^3 / x^2 bölümü rasyonel sayıların bölme işlemine göre kapalılığından rasyoneldir, sayı sıfır ise zaten rasyoneldir). İkinci ifadede, karesi rasyonel olan iki sayının çarpımının karesi, bu sayıların karelerinin çarpımına eşittir ve iki rasyonel sayının çarpımı daima rasyoneldir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci öncülü (K∩L=QK \cap L = \mathbb{Q}) analiz etmek.
x∈Qx \in \mathbb{Q} ise x2∈Qx^2 \in \mathbb{Q} ve x3∈Qx^3 \in \mathbb{Q} olduğundan x∈K∩Lx \in K \cap L olur. Tersine, x∈K∩Lx \in K \cap L ve x≠0x \neq 0 ise x=x3/x2x = x^3 / x^2 yazılabilir. Rasyonel iki sayının bölümü de rasyonel olduğundan x∈Qx \in \mathbb{Q} bulunur. x=0x = 0 durumu için de 0∈Q0 \in \mathbb{Q} olduğundan her durumda K∩L=QK \cap L = \mathbb{Q} elde edilir. Bu nedenle birinci öncül doğrudur.
Kesişim kümesinin rasyonel sayılar kümesine eşitliğini doğrulamak.
2
İkinci öncülü (x,y∈K  ⟹  x⋅y∈Kx, y \in K \implies x \cdot y \in K) analiz etmek.
x,y∈Kx, y \in K ise x2∈Qx^2 \in \mathbb{Q} ve y2∈Qy^2 \in \mathbb{Q}'dur. Buradan (x⋅y)2=x2⋅y2(x \cdot y)^2 = x^2 \cdot y^2 olur. İki rasyonel sayının çarpımı rasyonel olduğundan (x⋅y)2∈Q(x \cdot y)^2 \in \mathbb{Q} elde edilir. Bu da tanım gereği x⋅y∈Kx \cdot y \in K demektir. Dolayısıyla ikinci öncül her zaman doğrudur.
K kümesinin çarpma işlemine göre kapalılığını incelemek.
3
Üçüncü öncülü (x,y∈K  ⟹  x+y∈Kx, y \in K \implies x + y \in K) analiz etmek.
x=2∈Kx = \sqrt{2} \in K (çünkü (2)2=2∈Q(\sqrt{2})^2 = 2 \in \mathbb{Q}) ve y=3∈Ky = \sqrt{3} \in K (çünkü (3)2=3∈Q(\sqrt{3})^2 = 3 \in \mathbb{Q}) seçelim. Bu durumda x+y=2+3x + y = \sqrt{2} + \sqrt{3} olur. (x+y)2=(2+3)2=5+26∉Q(x+y)^2 = (\sqrt{2}+\sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{6} \notin \mathbb{Q} olduğundan x+y∉Kx+y \notin K'dir. Dolayısıyla üçüncü öncül her zaman doğru değildir.
Toplama işleminin K kümesinde kapalı olup olmadığını karşıt örnekle kontrol etmek.

Anahtar Kavram

Sayı kümeleri (rasyonel ve irrasyonel sayılar) ve bu kümeler üzerindeki işlemlerin kapalılık özellikleri.

Alternatif Yöntem

Birinci öncül için, rasyonel sayıların kendi aralarında bölme işlemine göre kapalı olması (sıfır hariç) kullanılarak pratik bir ispat yapılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 99Soru →

Bir matematik öğretmeni tahtaya aşağıdaki beş sayıyı yazmıştır:

* I. −12-12
* II. −9-\sqrt{9}
* III. 00
* IV. 185\frac{18}{5}
* V. 8\sqrt{8}

Buna göre, bu sayılarla ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Bu sayılardan 3 tanesi rasyonel sayı olduğu halde doğal sayı değildir.

Cevap

Bu sayılardan 3 tanesi rasyonel sayı olduğu halde doğal sayı değildir.
Rasyonel sayılar kümesi (Q\mathbb{Q}) ile doğal sayılar kümesi (N\mathbb{N}) arasındaki fark incelendiğinde; tahtadaki sayılardan −12-12, −9=−3-\sqrt{9} = -3 ve 185\frac{18}{5} rasyonel sayıdır fakat doğal sayı değildir. Sıfır sayısı hem rasyonel hem doğal sayıdır. 8\sqrt{8} ise rasyonel sayı değildir. Dolayısıyla doğru olan ifade 'Bu sayılardan 3 tanesi rasyonel sayı olduğu halde doğal sayı değildir.' diyen seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Tahtadaki kareköklü ifadelerin değerlerini sadeleştirerek sayı kümelerindeki karşılıklarını belirleme.
−9=−3-\sqrt{9} = -3 (Tam sayı ve rasyonel sayı), 8=22\sqrt{8} = 2\sqrt{2} (İrrasyonel sayı).
Kareköklü gösterimlerin kafa karıştırmasını önlemek için sayıların en sade değerleri bulunur.
2
Her sayının rasyonel sayı (Q\mathbb{Q}) ve do��al sayı (N\mathbb{N}) kümelerine ait olup olmadığını kontrol etme.
−12∈Q-12 \in \mathbb{Q} ve −12∉N-12 \notin \mathbb{N}; −3∈Q-3 \in \mathbb{Q} ve −3∉N-3 \notin \mathbb{N}; 0∈Q0 \in \mathbb{Q} ve 0∈N0 \in \mathbb{N}; 185∈Q\frac{18}{5} \in \mathbb{Q} ve 185∉N\frac{18}{5} \notin \mathbb{N}; 8∉Q\sqrt{8} \notin \mathbb{Q}.
Soruda istenen 'rasyonel sayı olup doğal sayı olmama' koşulunu (Q∖N\mathbb{Q} \setminus \mathbb{N}) sağlayan elemanları tespit etmek için her sayı ayrı ayrı incelenir.
3
Belirlenen koşulu sağlayan sayıları listeleme ve adetlerini sayma.
Koşulu sağlayan sayılar {−12,−3,185}\{-12, -3, \frac{18}{5}\} kümesini oluşturur. Bu kümenin eleman sayısı 3'tür.
Rasyonel sayı olduğu halde doğal sayı olmayan elemanların sayısının 3 olduğu doğrulanır.

Anahtar Kavram

Sayı kümeleri (doğal sayılar, tam sayılar, rasyonel ve irrasyonel sayılar) arasındaki kapsama ilişkileri ve elemanların bu kümelerdeki üyelikleri.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 100Soru →
xx ve yy tam sayıları için
x+5yx + 5y
ifadesi bir çift sayıya eşittir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x−yx - y

Cevap

x−yx - y ifadesi
Verilen x+5yx + 5y ifadesinde 5y5y teriminin teklik-çiftlik durumu yy ile aynıdır. Dolayısıyla, bu ifadenin çift sayı olabilmesi için xx ve yy tam sayılarının teklik-çiftlik durumlarının aynı olması gerekir. Yani, xx ve yy sayılarının ikisi de tek veya ikisi de çift sayıdır. Aynı teklik-çiftlik durumuna sahip iki tam sayının farkı olan x−yx - y ifadesi her zaman çift bir sayıya eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
x+5yx + 5y ifadesinin çift sayı olma durumunu incelemek.
xx ve yy tam sayılarının teklik-çiftlik durumlarının aynı olduğu belirlenir.
5y5y ifadesinin teklik-çiftlik durumu yy ile aynıdır. Toplamın çift sayı olması için toplanan iki terimin (xx ve 5y5y) teklik-çiftlik durumlarının aynı olması gerekir. Dolayısıyla, xx çift ise yy çift, xx tek ise yy tek olmalıdır.
2
x−yx - y ifadesinin sonucunun teklik-çiftlik durumunu belirlemek.
x−yx - y ifadesinin her zaman çift sayı olduğu görülür.
xx ve yy tam sayılarının her ikisi de tek veya her ikisi de çift olduğundan, aynı teklik-çiftlik karakterine sahip iki sayının farkı her zaman çift bir sayıdır.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayılar
Tahmini Süre:1m 0s
ÖncekiSayfa 5 / 24Sonraki
Sayılar Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 5 | Examkin