Tüm alıştırma soruları

1'den büyük

x

,

y

ve

z

gerçel sayıları için

\log_x y + \log_z y = \frac{13}{2}

\log_y z + \log_x z = \frac{1}{2}

olduğuna göre,

\log_z x + \log_y x

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Verilen denklem sistemine göre, istenen ifadenin değeri 4 olarak bulunur.

Verilen denklem sisteminde değişken değiştirme yöntemi uygulanmış, taban değiştirme kuralları yardımıyla tüm bilinmeyenler tek bir değişken cinsinden ifade edilerek çözülmüştür. Elde edilen değerlerin toplamı 4 olmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Değişken dönüşümünün tanımlanması

\log_x y = a

,

\log_y z = b

ve

\log_z x = c

olsun. Buradan

a \cdot b \cdot c = 1

elde edilir.

Taban değiştirme kuralı gereğince farklı tabanlardaki logaritmaların çarpımı sadeleşerek 1 değerini verir.

2

İfadelerin çarpmaya göre terslerinin bulunması

\log_z y = \frac{1}{b}

,

\log_x z = \frac{1}{c}

ve

\log_y x = \frac{1}{a}

olarak yazılır.

Bir logaritmik ifadede taban ile argüman yer değiştirdiğinde ifadenin çarpmaya göre tersi alınır.

3

Denklem sisteminin değişkenler cinsinden ifade edilmesi

a + \frac{1}{b} = \frac{13}{2}

ve

b + \frac{1}{c} = \frac{1}{2}

denklemleri elde edilir. İstenen ifade ise

c + \frac{1}{a}

toplamıdır.

Verilen denklemlerdeki logaritmik ifadelerin yerine tanımladığımız değişkenler yazılmıştır.

4

Değişkenlerin birbirleri cinsinden yazılması

c = \frac{2}{1-2b}

ve

a = \frac{1-2b}{2b}

bağıntıları elde edilir.

İkinci denklemden

c

çekilerek

a \cdot b \cdot c = 1

eşitliğinde yerine yazılmış ve

a

elde edilmiştir.

5

Bilinmeyenlerin değerlerinin hesaplanması

b = \frac{1}{5}

,

a = \frac{3}{2}

ve

c = \frac{10}{3}

bulunur.

Bulunan

a

bağıntısı birinci denklemde yerine yazılarak

b

çözülmüş, ardından bu değerle

a

ve

c

hesaplanmıştır.

6

İtenen ifadenin hesaplanması

c + \frac{1}{a} = \frac{10}{3} + \frac{2}{3} = 4

bulunur.

Hesaplanan

a

ve

c

değerleri istenen toplam formülünde yerine yerleştirilmiştir.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

Soru 282Soru →

Bir $(a_n)$ aritmetik dizisinde $a_2 = 5$ ve $a_5 = 17$ olduğuna göre, bu dizinin 10. terimi ( $a_{10}$ ) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 37

Cevap

Dizinin 10. teriminin değeri 37'dir.

Dizinin terimleri arasındaki sabit artış miktarı (ortak fark)

r = 4

olarak hesaplanır. 10. terimi bulmak için 5. terime 5 kez ortak fark eklenerek 37 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen terimler arasındaki farkı kullanarak dizinin ortak farkını (

r

) belirleme

r = 4

Aritmetik dizilerde herhangi iki terim arasındaki ilişki

a_k = a_p + (k-p)r

formülüyle ifade edilir. Burada

a_5 = a_2 + 3r

yazılarak ortak fark bulunur.

2

Bulunan ortak fark yardımıyla 10. terimi (

a_{10}

) hesaplama

a_{10} = 37

Dizinin 10. terimi, 5. terime ortak farkın 5 katı eklenerek (

a_{10} = a_5 + 5r

) hesaplanabilir.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizinin ardışık terimleri arasındaki fark sabittir ve herhangi iki terim arasındaki fark, ortak farkın indis farkı katına eşittir.

Soru 283Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f

ve

g

fonksiyonları, her

x

gerçel sayısı için

f(-x) = f(x)

g(-x) = -g(x)

eşitliklerini sağlamaktadır.

f(x) + (x - 1) \cdot g(x) = x^3 + 2x^2 - x - 2

olduğuna göre, $f(2)$ değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

18

Çift fonksiyonlarda her

x

için

f(-x) = f(x)

ve tek fonksiyonlarda her

x

için

g(-x) = -g(x)

eşitlikleri sağlanır. Verilen ana denklemde sırasıyla

x = 2

ve

x = -2

yazıldığında elde edilen

f(2) + g(2) = 12

ve

f(2) + 3g(2) = 0

denklemleri ortak çözülürse

f(2) = 18

değeri bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen denklemde

x = 2

yazarak

f(2)

ve

g(2)

terimlerini içeren birinci bağıntıyı bulmak.

f(2) + g(2) = 12

x = 2

değeri için e��itliğin sağ tarafı

2^3 + 2(2^2) - 2 - 2 = 8 + 8 - 4 = 12

değerine eşit olur.

2

Denklemde

x = -2

yazarak

f(-2)

ve

g(-2)

terimlerini içeren ikinci bağıntıyı bulmak.

f(-2) - 3g(-2) = 0

x = -2

değeri için eşitliğin sağ tarafı

(-2)^3 + 2(-2)^2 - (-2) - 2 = -8 + 8 + 2 - 2 = 0

değerine eşit olur.

3

Süreçteki tek ve çift fonksiyon tanımlarını kullanarak ikinci bağıntıyı

f(2)

ve

g(2)

cinsinden ifade etmek.

f(2) + 3g(2) = 0

f(-x) = f(x)

olduğundan

f(-2) = f(2)

'dir.

g(-x) = -g(x)

olduğundan

g(-2) = -g(2)

'dir. Bu simetri özellikleri denklemde yerine yazıldığında

f(2) - 3(-g(2)) = 0 \implies f(2) + 3g(2) = 0

elde edilir.

4

Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini ortak çözerek

f(2)

değerini hesaplamak.

f(2) = 18

f(2) + 3g(2) = 0

denkleminden

f(2) + g(2) = 12

denklemi taraf tarafa çıkarıldığında

2g(2) = -12 \implies g(2) = -6

bulunur. Bu değer ilk denklemde yerine yazıldığında

f(2) - 6 = 12 \implies f(2) = 18

olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Tek ve çift fonksiyonların cebirsel tanımları olan

f(-x) = f(x)

ve

g(-x) = -g(x)

özelliklerinin denklem sistemlerine uygulanması.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, verilen fonksiyon denkleminde

f(x)

ve

g(x)

polinom fonksiyonlar olarak elde edilebilir. Bunun için denklemde

x

yerine

-x

yazılır ve

f(-x)=f(x)

,

g(-x)=-g(x)

özellikleri kullanılarak iki bilinmeyenli fonksiyon denklem sistemi çözülür. Buradan genel kuralları

f(x) = x^4 + x^2 - 2

ve

g(x) = -x^3 + x

olarak bulunur. Sonrasında

f(2) = 2^4 + 2^2 - 2 = 18

hesaplanır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 284Soru →

f(x) = \log_{12 - x}\left(\frac{x^2 - 5x - 14}{x - 4}\right)

fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki $x$ tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

Fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 32'dir.

Logaritma tanımı gereğince, taban pozitif ve 1'den farklı olmalıdır (

12-x>0

ve

12-x \neq 1 \implies x < 12

ve

x \neq 11

). Logaritması alınan ifade de pozitif olmalıdır (

\frac{x^2-5x-14}{x-4} > 0

). Bu rasyonel eşitsizliğin çözüm kümesi işaret tablosundan

(-2, 4) \cup (7, \infty)

olarak bulunur. Bu iki koşul kümesinin kesişimi

(-2, 4) \cup (7, 12) \setminus \{11\}

aralığını verir. Bu aralıktaki tam sayılar

-1, 0, 1, 2, 3, 8, 9, 10

olup toplamları

32

'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Tabanın pozitiflik ve 1'den farklı olma koşullarını inceleme.

x < 12

ve

x \neq 11

Bir logaritma fonksiyonunda taban pozitif ve 1'den farklı olmalıdır.

2

Logaritması alınan ifadenin köklerini bulma.

Payın kökleri

x = -2

ve

x = 7

, paydanın kökü

x = 4

Eşitsizlik işaret tablosu oluşturabilmek için kritik noktalar belirlenmelidir.

3

Rasyonel ifadenin işaret tablosunu oluşturma ve pozitif bölgeleri belirleme.

x \in (-2, 4) \cup (7, \infty)

Logaritması alınan ifadenin tanımlı olabilmesi için pozitif olması gerekir.

4

Tüm koşulların kesişimini alarak en geniş tanım kümesini belirleme.

x \in (-2, 4) \cup (7, 12) \setminus \{11\}

Hem tabanın hem de logaritması alınan ifadenin aynı anda tanımlı olması gerekir.

5

Tanım kümesindeki tam sayıları belirleme ve toplama.

Tam sayılar:

-1, 0, 1, 2, 3, 8, 9, 10

ve toplamları:

32

Soruda istenen en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamıdır.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının pozitif ve 1'den farklı, logaritması alınan ifadenin ise pozitif olması gerekir. Bu koşullar rasyonel eşitsizliklerin işaret incelemesiyle birleştirilerek en geniş tanım kümesi bulunur.

Soru 285Soru →

\log_2(x^2 - x) = \log_4(9x^2)

denklemini sağlayan $x$ gerçel sayılarının çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -8

Cevap

Denklemi sağlayan gerçel sayıların çarpımı -8'dir.

Denklemin çözümü sonucunda elde edilen gerçel kökler olan -2 ve 4 değerlerinin çarpımı -8 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Logaritma tabanlarını eşitlemek

\log_4(9x^2) = \log_2(3|x|)

Denklemin her iki tarafındaki ifadelerin tabanlarını aynı yaparak argümanları karşılaştırabilmek.

2

Tanım kümesini belirlemek

x < 0

veya

x > 1

(

x \neq 0

)

Logaritma argümanlarının sıfırdan büyük olması gerektiğinden, bulunacak köklerin bu aralıkta olduğunu doğrulamak.

3

Denklemi mutlak değerli olarak düzenlemek

x^2 - x = 3|x|

Tabanları eşit olan logaritmaların argümanlarını eşitlemek.

4

x > 1

için denklemi çözmek

x = 4

Mutlak değer dışına

x

pozitif olarak çıkacağı için denklemi çözmek ve tanım kümesine uygun kökü seçmek.

5

x < 0

için denklemi çözmek

x = -2

Mutlak değer dışına

x

negatif olarak çıkacağı için denklemi çözmek ve tanım kümesine uygun kökü seçmek.

6

Köklerin çarpımını bulmak

4 \cdot (-2) = -8

Soruda bizden istenen kökler çarpımını hesaplamak.

Anahtar Kavram

Logaritmik denklemlerin çözümü ve logaritma tanım kümesi kontrolü.

Soru 286Soru →

x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)

olmak üzere,

\sqrt{1 - \sin(2x)} + \sin x = 0{}8

olduğuna göre,

\cos(2x)

ifadesinin ondalık değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.28

Cevap

İfadenin ondalık değeri 0,28'dir.

Karekök içerisindeki tam kare ifade mutlak değer kullanılarak dışarı çıkarılır. Verilen tanım kümesinde kosinüs değeri sinüs değerinden büyük olduğu için ifade aynen çıkar ve sadeleşerek kosinüs değerini verir. Kosinüs yarım açı formülü uygulanarak doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

1 - \sin(2x)

ifadesini tam kare şeklinde yazalım.

1 - \sin(2x) = \cos^2 x - 2\sin x \cos x + \sin^2 x = (\cos x - \sin x)^2

elde edilir.

Karekök dışına çıkarma işlemini yapabilmek için ifadenin tam kare formunu belirlemeliyiz.

2

Karekök içerisindeki ifadeyi dışarı çıkaralım ve verilen eşitliği sadeleştirelim.

x \in (0, \pi/4)

aralığında

\cos x > \sin x

olduğundan,

\sqrt{(\cos x - \sin x)^2} = |\cos x - \sin x| = \cos x - \sin x

olur. Buradan,

(\cos x - \sin x) + \sin x = \cos x = 0{}8

bulunur.

Verilen açı aralığına göre trigonometrik değerlerin büyüklük sıralamasını belirleyerek mutlak değer dışına doğru çıkarmak gerekir.

3

Kosinüs yarım açı formülünü kullanarak

\cos(2x)

değerini hesaplayalım.

\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1

formülünden,

\cos(2x) = 2(0{}8)^2 - 1 = 2(0{}64) - 1 = 1{}28 - 1 = 0{}28

bulunur.

Bulunan

\cos x

değerini yarım açı formülünde yerine yazarak istenen

\cos(2x)

değerine ulaşırız.

Anahtar Kavram

Kosinüs Yarım Açı Formülü ve Mutlak Değerli Trigonometrik İfadeler

Soru 287Soru →

x + y = \frac{3\pi}{4}

olmak üzere,

\tan x - \cot y = \frac{5}{2}

olduğuna göre, $\tan x \cdot \cot y$ çarpımının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1.5

Cevap

İşlemler sonucunda

\tan x \cdot \cot y

çarpımının değeri

1.5

(veya

\frac{3}{2}

) olarak bulunur.

Soruda verilen

x + y = \frac{3\pi}{4}

bağıntısı kullanılarak

y

yerine

\frac{3\pi}{4} - x

yazılır. Ardından

\cot y = \frac{1}{\tan(\frac{3\pi}{4} - x)}

ilişkisinden ve tanjant fark formülünden yararlanılarak

\cot y

ifadesi

\tan x

cinsinden

\frac{\tan x - 1}{\tan x + 1}

olarak elde edilir. Bu ifade verilen

\tan x - \cot y = \frac{5}{2}

denklemine yazıldığında oluşan ikinci dereceden denklem çözülerek

\tan x

değerleri (

3

ve

-\frac{1}{2}

) bulunur. Her iki değer için de

\tan x \cdot \cot y

çarpımı hesaplandığında sonuç değişmeyip

1.5

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen toplam ilişkisini kullanarak

y

açısını

x

cinsinden yazmak ve trigonometrik dönüşüm yapmak.

\cot y = \cot\left(\frac{3\pi}{4} - x\right) = \frac{1}{\tan\left(\frac{3\pi}{4} - x\right)}

y

açısını

x

türünden ifade ederek denklemdeki bilinmeyen sayısını teke düşürmek.

2

Tanjant fark formülü yardımıyla

\tan\left(\frac{3\pi}{4} - x\right)

ifadesini açmak ve sadeleştirmek.

\tan\left(\frac{3\pi}{4} - x\right) = \frac{\tan x + 1}{\tan x - 1} \implies \cot y = \frac{\tan x - 1}{\tan x + 1}

Tanjant fark formülünü uygulayıp

\tan\frac{3\pi}{4} = -1

değerini yerine yazarak

\cot y

ifadesini

\tan x

cinsinden bulmak.

3

\tan x = u

değişken değiştirmesi yaparak denklemi çözmek.

2u^2 - 5u - 3 = 0 \implies u = 3

veya

u = -\frac{1}{2}

Rasyonel denklemi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denkleme dönüştürüp

\tan x

değerlerini bulmak.

4

Bulunan

\tan x

değerleri için

\cot y

değerlerini hesaplamak ve çarpımlarını bulmak.

\tan x \cdot \cot y = 1.5

Soruda istenen

\tan x \cdot \cot y

çarpımının sayısal değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Tanjant fark formülü

\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}

ve kotanjant ile tanjant arasındaki

\cot A = \frac{1}{\tan A}

ilişkisi.

Soru 288Soru →

Bir $(a_n)$ dizisinde $a_1 = 4$ ve her $n \geq 1$ tam sayısı için

a_{n+1} = \frac{n+2}{n} a_n + (n+1)(n+2) \cdot 2^{n-1}

bağıntısı sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin beşinci terimi olan $a_5$ kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 510

Cevap

Dizinin beşinci terimi olan

a_5

değeri 510'dur.

Verilen bağıntı

(n+1)(n+2)

ile bölündüğünde

\frac{a_{n+1}}{(n+1)(n+2)} - \frac{a_n}{n(n+1)} = 2^{n-1}

teleskopik yapısı elde edilir.

b_n = \frac{a_n}{n(n+1)}

dönüşümü ile

b_5 = b_1 + 15 = 17

bulunur. Buradan

a_5 = 30 \cdot b_5 = 510

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen indirgemeli bağıntının her iki tarafı

(n+1)(n+2)

ifadesine bölünerek sadeleştirilir.

\frac{a_{n+1}}{(n+1)(n+2)} = \frac{a_n}{n(n+1)} + 2^{n-1}

Bağıntıyı teleskopik (ardışık sadeleşen) bir toplamsal forma dönüştürmek amacıyla paydaları düzenlemek için.

2

b_n = \frac{a_n}{n(n+1)}

dönüşümü tanımlanır ve başlangıç terimi

b_1

hesaplanır.

b_{n+1} = b_n + 2^{n-1}

ve

b_1 = \frac{a_1}{1 \cdot 2} = \frac{4}{2} = 2

elde edilir.

Diziyi toplamsal indirgeme modeliyle ifade edip çözümü basitleştirmek için.

3

b_{n+1} - b_n = 2^{n-1}

bağıntısında

n = 1, 2, 3, 4

değerleri yazılarak taraf tarafa toplanır.

b_5 - b_1 = 2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 = 1 + 2 + 4 + 8 = 15

ve buradan

b_5 = 2 + 15 = 17

bulunur.

Teleskopik toplam yöntemiyle

b_5

değerini doğrudan bulmak için.

4

b_5 = \frac{a_5}{5 \cdot 6}

eşitliğinden faydalanılarak

a_5

çekilir.

a_5 = 30 \cdot b_5 = 30 \cdot 17 = 510

elde edilir.

Dönüşüm tanımını kullanarak orijinal dizinin terimini hesaplamak için.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde uygun bir çarpanla bölme yoluyla teleskopik toplamsal form elde etme.

Soru 289Soru →

Pozitif terimli bir

(a_n)

dizisi, her

n \geq 1

tam sayısı için

a_{n+1} = \frac{a_n}{1 + 4n a_n}

indirgeme bağıntısını sağlamaktadır.

$a_1 = \frac{1}{5}$ olduğuna göre, $\sqrt{\frac{1}{a_{11}}}$ ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

İfadenin değeri 15'tir.

Verilen rasyonel indirgeme bağıntısında

b_n = \frac{1}{a_n}

dönüşümü yapıldığında ardışık terimler arasındaki fark

b_{n+1} - b_n = 4n

olarak elde edilir. Bu farkların

n=1

'den

10

'a kadar olan toplamı teleskopik sadeleştirme ile

b_{11} - b_1 = 220

sonucunu verir.

b_1 = 5

değeri yerine yazıldığında

b_{11} = 225

bulunur. Buradan

\sqrt{\frac{1}{a_{11}}} = \sqrt{b_{11}} = \sqrt{225} = 15

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Dizideki indirgeme bağıntısını do��rusal hale getirmek için çarpmaya göre ters dönüşüm yapılması

b_n = \frac{1}{a_n}

tanımıyla

b_{n+1} = b_n + 4n

elde edilir.

Paydada

a_n

terimi bulunan rasyonel bağıntıları daha kolay çözebilmek için

b_n = \frac{1}{a_n}

dönüşümü yapılarak doğrusal bir fark denklemi elde edilir.

2

Ardışık terimlerin farklarının

n=1

'den

n=10

'a kadar taraf tarafa toplanması

b_{11} - b_1 = 220

elde edilir.

Teleskopik (zincirleme) sadeleştirme yöntemiyle ara terimlerin birbirini götürmesini sağlamak ve

b_{11}

ile

b_1

arasındaki ilişkiyi bulmak amaçlanır.

3

İlk terim yardımıyla

b_{11}

değerinin hesaplanması

b_{11} = 225

elde edilir.

a_1 = \frac{1}{5}

olarak verildiğinden

b_1 = 5

olur ve bu değer toplama eklenerek

b_{11}

bulunur.

4

İstenen kareköklü ifadenin değerinin bulunması

\sqrt{\frac{1}{a_{11}}} = 15

elde edilir.

b_{11} = \frac{1}{a_{11}}

olduğu bilindiğinden, bulduğumuz değerin karekökü alınır.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde değişken değiştirme (çarpmaya göre tersini alma) ve ardışık terim farklarının teleskopik toplamı yöntemi.

Soru 290Soru →

Bir

ABC

üçgeninin kenar uzunlukları sırasıyla

a

,

b

ve

c

birimdir. Bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı

R

birim olmak üzere,

c^2 = a^2 + b^2 - \sqrt{3}ab

\sin(A) \cdot \sin(B) = \frac{3}{8}

ve

R = 4

birimdir.

Buna göre, $ABC$ üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

ABC üçgeninin alanı 6 birimkaredir.

Verilen bağıntılardan Kosinüs Teoremi yardımıyla

C

açısı

30^\circ

olarak bulunur. Sinüs Teoremi kullanılarak

a \cdot b = 4R^2\sin(A)\sin(B)

eşitliği elde edilir ve buradan

a \cdot b = 24

hesaplanır. Üçgenin alanı ise

\frac{1}{2}ab\sin(C)

formülüyle 6 birimkare olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Kosinüs Teoremi yardımıyla C açısının ölçüsünü bulma.

C = 30^\circ

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)

formülü ile verilen

c^2 = a^2 + b^2 - \sqrt{3}ab

bağıntısını karşılaştırarak

\cos(C) = \frac{\sqrt{3}}{2}

elde ederiz.

2

Sinüs Teoremi yardımıyla

a \cdot b

çarpımını bulma.

a \cdot b = 24

a = 2R\sin(A)

ve

b = 2R\sin(B)

eşitliklerini taraf tarafa çarparak

a \cdot b = 4R^2\sin(A)\sin(B)

bağıntısını kurar ve verilen

R

ile çarpım değerlerini yerine yazarız.

3

Üçgenin alanını hesaplama.

Alan = 6

Sinüslü alan formülü olan

\text{Alan}(ABC) = \frac{1}{2}ab\sin(C)

bağıntısında elde edilen değerleri yerine koyarak alanı hesaplarız.

Anahtar Kavram

Sinüs ve Kosinüs Teoremlerinin birlikte kullanılarak üçgenin alanının hesaplanması.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 291Soru →

\frac{\sin(3x)}{\sin(x)} + \frac{\cos(3x)}{\cos(x)} = 4\cos^2(2x)

denkleminin $[0, \pi]$ kapalı aralığındaki farklı gerçel köklerinin sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Denklemin

[0, \pi]

kapalı aralığındaki farklı gerçel köklerinin sayısı 2'dir.

Denklemin sol tarafı sadeleştirildiğinde

4\cos(2x) = 4\cos^2(2x)

eşitliği elde edilir. Bu eşitlikten

4\cos(2x)(\cos(2x) - 1) = 0

denklemine ulaşılır. Buradan

\cos(2x) = 0

veya

\cos(2x) = 1

olmalıdır.

\cos(2x) = 0

durumundan

[0, \pi]

aralığında

x = \frac{\pi}{4}

ve

x = \frac{3\pi}{4}

kökleri elde edilir ve bu kökler başlangıçtaki ifadenin paydalarını sıfır yapmaz. Ancak

\cos(2x) = 1

durumundan elde edilen

x = 0

ve

x = \pi

kökleri

\sin(x) = 0

yaparak paydayı sıfır yaptığından tanımsızlığa yol açar. Bu yüzden aralıktaki farklı köklerin sayısı 2'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Payları eşitleyerek sol tarafı tek bir kesir olarak yazın ve pay/payda kısımlarında trigonometrik özdeşlikleri uygulayın.

\frac{\sin(4x)}{\frac{\sin(2x)}{2}} = 4\cos^2(2x)

Sol taraftaki iki rasyonel ifadeyi tek bir terim haline getirmek ve sadeleştirme yapabilmek için.

2

Pay kısmındaki

\sin(4x)

ifadesini yarım açı formülüyle açarak sadeleştirme yapın.

4\cos(2x) = 4\cos^2(2x)

(Burada

\sin(2x) \neq 0

olmalıdır)

İfadeyi daha basit bir trigonometrik denklem formuna dönüştürmek için.

3

Denklemi çarpanlarına ayırarak çözün.

4\cos(2x)(\cos(2x) - 1) = 0

Çarpanların her birini sıfıra eşitleyerek olası kök adaylarını bulmak için.

4

Bulunan kök adaylarının tanım kümesine uygunluğunu denetleyin ve

[0, \pi]

aralığındaki kök sayısını belirleyin.

x = \frac{\pi}{4}

ve

x = \frac{3\pi}{4}

geçerli köklerdir.

x = 0

ve

x = \pi

ise paydayı sıfır yaptığından elenir. Toplam kök sayısı 2'dir.

Rasyonel ifadeler içeren denklemlerde paydayı sıfır yapan değerlerin kök olamayacağını kontrol etmek için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Denklemlerin Çözümü ve Tanım Kümesi Kontrolü

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 292Soru →

a \in \mathbb{R}

olmak üzere,

(a - 3)x^2 - 4x + a > 0

ikinci dereceden eşitsizliği her $x$ gerçel sayısı için sağlandığına göre, $a$ parametresinin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

En küçük tam sayı değeri 5'tir.

Eşitsizliğin her gerçel sayı için daima pozitif değerler alması için

a - 3 > 0

ve diskriminantın

\Delta < 0

olması gerekir. Bu iki eşitsizliğin ortak çözümü

a > 4

aralığını verir. Bu aralıktaki en küçük tam sayı değeri ise 5'tir.

Adım Adım Çözüm

1

Daima pozitiflik şartlarını belirleme

a - 3 > 0

ve

\Delta < 0

olmalıdır.

İkinci dereceden bir fonksiyonun daima pozitif değerler alması için kollarının yukarı doğru olması ve grafiğinin x-eksenini kesmemesi gerekir.

2

Baş katsayı koşulunu çözme

a > 3

a - 3 > 0

eşitsizliğinin çözülmesiyle baş katsayının pozitif olma aralığı bulunur.

3

Diskriminant eşitsizliğini kurma ve sadeleştirme

a^2 - 3a - 4 > 0

\Delta = 16 - 4a(a - 3) < 0

ifadesini düzenleyip

-4

'e bölerek

a

cinsinden ikinci dereceden bir eşitsizlik elde edilir.

4

Diskriminant eşitsizliğinin köklerini bulma ve çözüm aralığını belirleme

a \in (-\infty, -1) \cup (4, \infty)

a^2 - 3a - 4 = 0

denkleminin kökleri olan

-1

ve

4

değerleri ile işaret tablosu oluşturularak pozitif bölgeler belirlenir.

5

İki koşulun kesişimini alarak en küçük tam sayıyı belirleme

a > 4

aralığından en küçük tam sayı 5'tir.

Hem baş katsayının pozitiflik şartı (

a > 3

) hem de diskriminant şartı (

a > 4

veya

a < -1

) birlikte sağlanmalıdır.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliğin her gerçel sayı için daima sağlanması koşulu

Soru 293Soru →

Sabit

20^\circ\text{C}

sıcaklıktaki bir laboratuvar ortamında bulunan iki farklı kimyasal sıvının sıcaklıklarının zamana göre değişimi incelenmektedir. A sıvısının

t

dakika sonraki sıcaklığı

T_A(t) = 20 + 64 \cdot 4^{-at}

B sıvısının

t

dakika sonraki sıcaklığı

T_B(t) = 20 + 128 \cdot 8^{-bt}

fonksiyonları ile modellenmiştir (burada

a

ve

b

pozitif sabitlerdir). Deneyin başlangıcından

5

dakika sonra her iki sıvının sıcaklığı da

36^\circ\text{C}

olarak ölçülmüştür. Buna göre, deneyin başlangıcından kaç dakika sonra B sıvısının sıcaklığı, A sıvısının sıcaklığının

\frac{1}{4}

'ünden

16^\circ\text{C}

fazla olur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Deneyin başlangıcından 10 dakika sonra B sıvısının sıcaklığı, A sıvısının sıcaklığının 1/4'ünden 16°C fazla olur.

Sıvıların sıcaklık modellerindeki bilinmeyen katsayılar başlangıç verileriyle

a=1/5

ve

b=1/5

olarak belirlenir. İstenen sıcaklık eşitliği kurulup

y = 2^{-t/5}

dönüşümü yapıldığında

128y^3 - 16y^2 - 1 = 0

denklemi elde edilir. Bu denklem

(4y-1)(32y^2+4y+1)=0

şeklinde çarpanlarına ayrılır. İkinci çarpanın reel kökü olmadığından

4y-1=0 \implies y=1/4

tek çözümdür. Buradan

2^{-t/5} = 2^{-2} \implies t = 10

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

A ve B sıvılarının sıcaklık modellerindeki

a

ve

b

katsayılarını bulunuz.

a = \frac{1}{5}

ve

b = \frac{1}{5}

olarak bulunur.

t=5

anında her iki sıvının sıcaklığının

36^\circ\text{C}

olduğu bilgisi kullanılarak üstel denklemler çözülür.

2

B sıvısının sıcaklığının, A sıvısının sıcaklığının

\frac{1}{4}

'ünden

16^\circ\text{C}

fazla olduğu anı veren denklemi kurunuz.

20 + 128 \cdot 8^{-t/5} = \frac{1}{4}(20 + 64 \cdot 4^{-t/5}) + 16

denklemi elde edilir.

Soruda verilen sözel ilişki matematiksel eşitliğe dökülür.

3

y = 2^{-t/5}

dönüşümü yaparak elde edilen üçüncü dereceden denklemi çarpanlarına ayırıp çözünüz.

y = \frac{1}{4}

tek gerçek kök olarak bulunur.

128y^3 - 16y^2 - 1 = 0 \implies (4y - 1)(32y^2 + 4y + 1) = 0

eşitliğinde ikinci çarpanın gerçel kökü yoktur.

4

y

değerini kullanarak

t

süresini hesaplayınız.

t = 10

dakika olarak bulunur.

2^{-t/5} = \frac{1}{4} = 2^{-2}

temel logaritmik/üstel eşitliği çözülür.

Anahtar Kavram

Üstel fonksiyon modellerinde değişken değiştirme yöntemi kullanılarak çok terimli denklemlerin çözülmesi.

Soru 294Soru →

1'den farklı

x

ve

y

pozitif tam sayıları için,

\log_2 x + \log_x 8 = \log_3 y + \log_y 27

x^y = 2^{18}

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, $\log_6(x \cdot y)$ ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İfadenin değeri 2'dir.

Denklemin çarpanlara ayrılmasıyla elde edilen

u=v

durumundan

x=4

ve

y=9

tam sayı değerleri bulunur. Bu değerlerin çarpımı 36 olup, 6 tabanındaki logaritması

\log_6(36) = 2

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Değişken tanımlaması ve taban değiştirme kuralının uygulanması

u = \log_2 x

ve

v = \log_3 y

alınarak

\log_x 8 = \frac{3}{u}

ve

\log_y 27 = \frac{3}{v}

yazılır.

Logaritmik ifadeleri ortak değişkenler cinsinden ifade ederek sadeleştirmek.

2

İlk denklemin düzenlenmesi ve çarpanlara ayrılması

u - v + \frac{3(v-u)}{uv} = 0 \implies (u - v)\left(1 - \frac{3}{uv}\right) = 0

elde edilir.

Denklemin çözümlerini iki ayrı duruma indirgemek.

3

Eşitlik durumunun (

u = v

) çözülmesi

k \cdot 3^k = 18 \implies k = 2

bulunur. Buradan

x = 2^2 = 4

ve

y = 3^2 = 9

elde edilir.

Pozitif tam sayı kısıtlamasına uygun ilk çözüm kümesini bulmak.

4

Diğer durumun (

uv = 3

) tam sayı çözümlerinin kontrol edilmesi

y = 6\log_3 y

denkleminin 1'den farklı pozitif tam sayı çözümü olmadığı gösterilir.

Olası tüm durumları inceleyerek çözümün tekliğini garantilemek.

5

İstenen değerin hesaplanması

\log_6(4 \cdot 9) = \log_6(36) = 2

elde edilir.

Bulunan

x

ve

y

değerlerini hedef ifadede yerine yazmak.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonlarında taban değiştirme, kuvveti başa alma kuralları ve logaritmik denklem sistemlerinin analitik çözümü.

Soru 295Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir

f

fonksiyonu, her

x

gerçel sayısı için

f(2+x) + f(2-x) = 6

eqitliğini sağlamaktadır.
Buna göre,

\int_{1}^{3} (3x^2 - 12x) f(x) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -66

Cevap

İntegralin değeri -66'dır.

Soruda verilen integral

x=2

simetri eksenine göre düzenlendiğinde

3x^2 - 12x = 3(x-2)^2 - 12

olarak parçalanır. Elde edilen iki ayrı integral teriminde

t = 4-x

dönüşümü uygulanıp

f(x) + f(4-x) = 6

simetri bağıntısı kullanıldığında, birinci integralin değeri

2

, ikinci integralin değeri ise

6

olarak bulunur. Bu değerler yerine yazıldığında doğru sonuç

-66

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

İntegral içindeki

3x^2 - 12x

karesel ifadesini simetri merkezi olan

x=2

değerine göre

3(x-2)^2 - 12

biçiminde yeniden yazmak ve integrali iki parçaya ayırmak.

I = 3 \int_{1}^{3} (x-2)^2 f(x) \, dx - 12 \int_{1}^{3} f(x) \, dx

Verilen

f(2+x) + f(2-x) = 6

simetri özelliğini integral sınırları olan

[1, 3]

aralığında verimli kullanabilmek için.

2

J = \int_{1}^{3} f(x) \, dx

integralinde

t = 4-x

değişken değiştirmesi yapıp

f(x) + f(4-x) = 6

bağıntısını kullanarak integral değerini hesaplamak.

J = 6

Belirli integralin sınır değiştirme ve fonksiyon simetrisi özelliğinden yararlanarak bilinmeyen

f(x)

fonksiyonunun integralini çözmek.

3

K = \int_{1}^{3} (x-2)^2 f(x) \, dx

integralinde

t = 4-x

değişken değiştirmesi uygulayarak terimi sadeleştirmek ve bilinen bir polinomsal integrale indirgemek.

K = 2

x=2

noktasına göre simetrik karesel çarpanın integral üzerindeki etkisini simetri özellikleri yardımıyla sayısal bir değere dönüştürmek.

4

Elde edilen

K

ve

J

değerlerini ana integral ifadesinde yerine koyarak sonucu hesaplamak.

-66

İstenen belirli integralin nihai sayısal sonucuna ulaşmak.

Anahtar Kavram

Belirli integralde sınırların simetrisi, değişken değiştirme yöntemi ve simetrik fonksiyonların belirli integral özelliklerinin uygulanması.

Soru 296Soru →

Bir aritmetik dizinin ardışık üç terimi sırasıyla $x - 3$ , $9$ ve $2x + 3$ olduğuna göre, $x$ kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

6

Bir aritmetik dizide ardışık terimlerin toplamı ortadaki terimin iki katına eşittir. Bu özellikten yararlanarak

(x - 3) + (2x + 3) = 2 \times 9

eşitliği elde edilir. Buradan benzer terimler toplanınca

3x = 18

ve her iki taraf 3'e bölündüğünde

x = 6

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Aritmetik dizi özelliğini kullanarak denklem kurma

(x - 3) + (2x + 3) = 2 \times 9

Bir aritmetik dizide ardışık terimler arasındaki fark sabit olduğundan, birinci ve üçüncü terimin toplamı ortadaki terimin iki katına eşittir.

2

Eşitliğin sol tarafındaki benzer terimleri toplama ve denklemi sadeleştirme

3x = 18

x

ile

2x

toplanarak

3x

elde edilir,

-3

ile

+3

birbirini götürür. Sağ taraftaki

2 \times 9

çarpımı ise 18 yapar.

3

Bilinmeyen

x

değerini yalnız bırakma

x = 6

Eşitliğin her iki tarafı 3'e bölünür.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizide ardışık terimler arasındaki ilişki

Soru 297Soru →

Sıfırdan farklı her

x

gerçel sayısı için

x \cdot f(x) + 2x \cdot f(-x) = x^3 - 6x

eşitliğini sağlayan

f

fonksiyonunun grafiği ordinat eksenine göre simetriktir.

Buna göre, $f(3)$ değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Fonksiyonun ordinat eksenine göre simetrik olması çift fonksiyon olduğu anlamına gelir. Bu durumda her

x

gerçel sayısı için

f(-x) = f(x)

eşitliği sağlanır. Verilen denklemde

x = 3

yazıldığında

3 \cdot f(3) + 6 \cdot f(-3) = 3^3 - 6(3) \implies 3f(3) + 6f(-3) = 9

elde edilir. Çift fonksiyon özelliğinden dolayı

f(-3) = f(3)

yazılırsa

9f(3) = 9

ve buradan

f(3) = 1

bulunur.

Doğru cevap 1'dir. Grafiği ordinat eksenine göre simetrik olan fonksiyonlar çift fonksiyondur ve

f(-x) = f(x)

eşitliğini sağlar. Denklemde

x = 3

yazılıp bu özellik kullanıldığında

9f(3) = 9

denklemi elde edilir ve buradan

f(3) = 1

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Fonksiyonun simetri özelliğini belirleme

f(-x) = f(x)

Grafiği ordinat eksenine göre simetrik olan fonksiyonlar çift fonksiyondur ve tanım kümesindeki her

x

için

f(-x) = f(x)

özelliğini sağlar.

2

Verilen denklemde

x = 3

değerini yerine yazma

3 \cdot f(3) + 6 \cdot f(-3) = 9

İstenen

f(3)

değerine ulaşmak amacıyla denklemdeki

x

değişkenleri yerine

3

yazılır ve sağ taraf hesaplanır (

3^3 - 6 \cdot 3 = 27 - 18 = 9

).

3

Çift fonksiyon eşitliğini kullanarak denklemi çözme

f(3) = 1

f(-3) = f(3)

eşitliği denklemde yerine yaz��ldığında

3f(3) + 6f(3) = 9 \implies 9f(3) = 9

elde edilir. Her iki taraf

9

ile bölünerek sonuç bulunur.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Fonksiyonlar ve Simetrileri

Soru 298Soru →

(a_n)

dizisinin genel terimi

a_n = \frac{n^2 + 5n + 18}{n + 1}

olarak tanımlanıyor.

Buna göre, $(a_n)$ dizisinin tam sayı olan terimlerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 42

Cevap

Genel terimi tam sayı olan terimlerin toplamı 42'dir.

Dizinin genel terimi polinom bölmesi yapılarak

a_n = n + 4 + \frac{14}{n+1}

biçiminde yazılır.

n

değeri pozitif tam sayı olmak zorunda olduğundan

n+1 \ge 2

olmalıdır. Bu koşulu sağlayan ve 14'ü tam bölen

n+1

değerleri 2, 7 ve 14'tür. Buradan elde edilen terimler sırasıyla

a_1 = 12

,

a_6 = 12

ve

a_{13} = 18

olup, bu terimlerin toplamı 42'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Genel terimi oluşturan rasyonel ifadeyi polinom bölmesi yardımıyla tam ve rasyonel kısımlarına ayırarak yazalım.

a_n = n + 4 + \frac{14}{n+1}

İfadenin hangi

n

değerleri için tam sayı olacağını daha rahat analiz edebilmek için.

2

Dizi tanımı gereği

n

indisinin pozitif tam sayı (

n \ge 1

) olması gerektiğini göz önüne alarak,

\frac{14}{n+1}

ifadesini tam sayı yapan

n

değerlerini belirleyelim.

n+1

ifadesi 14'ün 1'den büyük pozitif böleni olmalıdır. Yani

n+1 \in \{2, 7, 14\}

olmalıdır. Buradan

n \in \{1, 6, 13\}

elde edilir.

Dizilerin tanım kümesinin pozitif tam sayılar olması nedeniyle

n+1 = 1 \implies n=0

durumunun elenmesi için.

3

Belirlenen indis değerlerine karşılık gelen dizi terimlerini tek tek hesaplayalım.

a_1 = 12

,

a_6 = 12

,

a_{13} = 18

Tam sayı olan terimlerin kendi değerlerini elde etmek için.

4

Hesaplanan tam sayı terimlerin değerlerini toplayalım.

12 + 12 + 18 = 42

Soruda bizden istenen tam sayı olan terimlerin toplamına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Dizi tanımı, genel terim kavramı ve rasyonel ifadeleri tam sayı yapan pozitif tam sayı indis değerlerinin belirlenmesi.

Soru 299Soru →

(a_n)

dizisi, genel terimi

a_n = \frac{2n^2 + k \cdot n + 12}{n^2 - m \cdot n + 6}

olan bir sabit dizidir.

$n^2 - m \cdot n + 6 = 0$ denkleminin kökleri birer tam sayı olduğuna göre, $k$ sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

k sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı 24'tür.

Dizinin sabit olması için pay ve paydanın katsayıları oranından

k = -2m

elde edilir. İfadenin her pozitif tam sayı için tanımlı (bir dizi) olması gerektiğinden, paydanın pozitif tam sayı kökü olmamalıdır. Kökler çarpımı 6 olan tam sayı kök çiftlerinden yalnızca negatif olanlar (

\{-1, -6\}

ve

\{-2, -3\}

) bu şartı sağlar. Buradan

m

değerleri

-7

ve

-5

bulunur. Bu değerlere karşılık gelen

k

değerleri

14

ve

10

olup, toplamları 24'tür.

Adım Adım Çözüm

1

Dizinin sabit dizi olma koşulunu belirleme

k = -2m

bağıntısı elde edilir.

Rasyonel ifadenin

n

değişkeninden bağımsız olması için katsayılarının orantılı olması gerekir.

2

Dizinin tanım kümesi şartını analiz etme

Payda olan

n^2 - m \cdot n + 6

ifadesinin pozitif tam sayı kökü olmamalıdır.

Bir dizinin terimleri tüm pozitif tam sayılar için tanımlı olmalıdır; paydanın sıfır olduğu

n \in \mathbb{Z}^+

değerleri diziyi tanımsız yapar.

3

Paydanın köklerinin tam sayı olma durumlarını listeleme

Kök çarpımı

6

olduğundan olası kök kümesi çiftleri:

\{1, 6\}

(buradan

m = 7

),

\{2, 3\}

(buradan

m = 5

),

\{-1, -6\}

(buradan

m = -7

) ve

\{-2, -3\}

(buradan

m = -5

)

n^2 - m \cdot n + 6 = 0

denkleminin kökleri çarpımı

c/a = 6

ve kökleri tam sayıdır.

4

Pozitif tam sayı kökleri eleyerek geçerli

m

ve

k

değerlerini bulma

Geçerli kökler negatif olanlardır, yani

m \in \{-7, -5\}

. Buradan

k = 14

ve

k = 10

bulunur.

n = 1, 2, 3, 6

değerleri pozitif tam sayı olup diziyi tanımsız yapacağından bu köklere sahip

m = 7

ve

m = 5

durumları elenir. Negatif köklere sahip olan

m = -7

ve

m = -5

durumlarında payda pozitif tam sayılarda sıfır olmaz.

5

Farklı

k

değerlerinin toplamını hesaplama

14 + 10 = 24

İstenen farklı

k

değerlerinin toplamı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Sabit dizilerde rasyonel ifadelerin sadeleşme koşulu ve dizilerin pozitif tam sayılar kümesinde tanımlı olması zorunluluğu.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 300Soru →

$(a_n)$ gerçel sayı dizisinin ilk terimi $a_1 = 2$ olup her $n \geq 1$ tam sayısı için

a_{n+1} = a_n + \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}

indirgeme bağıntısı verilmiştir.

Buna göre, genel terimi $b_n = \frac{1}{3 - a_n}$ olan $(b_n)$ dizisinin ilk 9 teriminin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 285

Cevap

285

Verilen indirgemeli dizinin genel terimi teleskopik toplam yöntemiyle

a_n = 3 - \frac{1}{n^2}

olarak bulunur. Bu ifade

b_n

dizisinin tanımında yerine konulduğunda

b_n = n^2

elde edilir. İlk 9 terimin toplamı olan

\sum_{n=1}^9 n^2

ifadesi de kareler toplamı formülüyle 285 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

İndirgeme bağıntısındaki terimi teleskopik toplam oluşturacak şekilde düzenleme

a_{n+1} - a_n = \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2}

Ardışık terimler arasındaki farkı sadeleşebilir (teleskopik) biçimde yazarak

a_n

genel terimine ulaşmak.

2

n

yerine

1

ve

n-1

arasındaki tam sayıları yazarak taraf tarafa toplama

a_n - a_1 = \left(\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2}\right) + \left(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}\right) + \dots + \left(\frac{1}{(n-1)^2} - \frac{1}{n^2}\right) = 1 - \frac{1}{n^2}

Ara terimlerin birbirini götürmesini (teleskopik sadeleşme) sağlayarak

a_n

ile

a_1

arasındaki ilişkiyi bulmak.

3

Verilen

a_1 = 2

ilk terim değerini yerine yazarak

a_n

dizisinin genel terimini belirleme

a_n = 3 - \frac{1}{n^2}

Dizinin genel terimini bularak

b_n

dizisini tanımlayabilmek.

4

b_n

dizisinin genel terimini elde etme

b_n = \frac{1}{3 - \left(3 - \frac{1}{n^2}\right)} = n^2

b_n

dizisinin genel terimini

n

cinsinden ifade etmek.

5

(b_n)

dizisinin ilk 9 teriminin toplamını hesaplama

\sum_{n=1}^{9} b_n = 1^2 + 2^2 + \dots + 9^2 = \frac{9 \cdot 10 \cdot 19}{6} = 285

İlk

n

kare toplamı formülü olan

\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

ifadesini

n=9

için kullanmak.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde teleskopik toplam yöntemi kullanılarak genel terimin bulunması

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm