Examkin

Tüm alıştırma soruları

852 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 461Soru →

A={1,2,3,4,5,6,7,8}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}

kümesinin 44 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde, elemanların çarpımı 55 ile tam bölünürken 88 ile tam bölünmez?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

Kümenin elemanlarının çarpımının 5 ile bölünüp 8 ile bölünmediği 4 elemanlı alt küme sayısı 13'tür.
Çarpımın 5 ile bölünebilmesi için kümede mutlaka 5 bulunmalıdır. 8 ile bölünmemesi için 8 kümede olmamalı ve kalan çift sayılardan 4 ile (2 veya 6) bir arada seçilmemelidir. Geriye kalan 6 elemandan seçilecek 3 eleman için (63)=20\binom{6}{3} = 20 durum vardır. Bu durumlardan 8 ile bölünen {2,4,x}\{2, 4, x\} (4 durum) ve {4,6,y}\{4, 6, y\} (3 durum) olmak üzere 7 durum çıkarıldığında geriye 13 adet küme kalır.

Adım Adım Çözüm

1
Koşullara göre seçilecek eleman havuzunu belirleme
Seçilen alt kümede 5 elemanı bulunmalı, 8 elemanı ise bulunmamalıdır. Seçim yapılacak elemanlar {1,2,3,4,6,7}\{1, 2, 3, 4, 6, 7\} kümesidir.
Çarpımın 5 ile tam bölünmesi için asal çarpan olarak 5'in bulunması zorunludur. 8 ile tam bölünmemesi için ise doğrudan 8 çarpanı bulunmamalıdır.
2
Kalan elemanlarla yapılabilecek tüm 3 elemanlı seçimlerin sayısını bulma
Toplam olası seçim say��sı (63)=20\binom{6}{3} = 20 adettir.
4 elemanlı kümenin 1 elemanı (5 sayısı) sabitlendiği için kalan 6 elemandan 3 eleman seçilerek kombinasyon oluşturulur.
3
Çarpımı 8'in katı yapan istenmeyen durumları hesaplama
İstenmeyen durum sayısı 4+3=74 + 3 = 7 adettir.
Seçilen elemanlar arasında 4 ile 2'nin veya 4 ile 6'nın bir arada bulunması çarpımı 8'e tam bölünür hale getirir.
4
İstenen durum sayısını hesaplama
İstenen alt küme sayısı 20−7=1320 - 7 = 13 adettir.
Tüm kombinasyonlardan istenmeyen durumların çıkarılması yöntemi kullanılmıştır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon hesabı ile koşullu alt küme seçimi ve tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkarma prensibi.

Alternatif Yöntem

İkinci bir yol olarak, {1,2,3,4,6,7}\{1, 2, 3, 4, 6, 7\} kümesinden seçilecek 3 elemanı çift sayıların sayısına göre gruplandırarak seçebiliriz:
- Hiç çift sayı seçilmemesi (hepsi {1,3,7}\{1, 3, 7\} arasından): (33)=1\binom{3}{3} = 1 durum.
- Sadece bir çift sayı seçilmesi (2, 4 veya 6'dan biri): (31)×(32)=3×3=9\binom{3}{1} \times \binom{3}{2} = 3 \times 3 = 9 durum.
- İki çift sayı seçilmesi (çarpımın 8'e bölünmemesi için sadece {2,6}\{2, 6\} çifti seçilebilir): (11)×(31)=3\binom{1}{1} \times \binom{3}{1} = 3 durum.
Toplam durum: 1+9+3=131 + 9 + 3 = 13 bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 462Soru →
f(x)=x2+ax+1x2+2f(x) = \frac{x^2 + ax + 1}{x^2 + 2}

fonksiyonu için f′(1)=1f'(1) = 1 olduğuna göre, f′(0)f'(0) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3.5

Cevap

Türev fonksiyonunda a = 7 değeri yerine yazılarak f'(0) değeri 3,5 olarak bulunur.
Bölümün türevi kuralı uygulanarak türev fonksiyonu elde edilir. x = 1 yazılıp ifadenin değeri 1'e eşitlenerek a = 7 bulunur. Türev fonksiyonunda a yerine 7 ve x yerine 0 yazıldığında pay 14, payda ise 4 gelmekte olup f'(0) = 3,5 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Bölüm türevi kuralın�� uygulayarak f'(x) ifadesini elde edin.
f′(x)=(2x+a)(x2+2)−(x2+ax+1)(2x)(x2+2)2f'(x) = \frac{(2x + a)(x^2 + 2) - (x^2 + ax + 1)(2x)}{(x^2 + 2)^2}
Bölüm durumundaki fonksiyonların türevi payın türevi çarpı payda eksi pay çarpı paydanın türevi bölü paydanın karesi kuralı ile hesaplanır.
2
f'(1) = 1 eşitliğini kullanarak a değerini çözün.
a=7a = 7
x = 1 değerini türev fonksiyonunda yerine yazıp 1'e eşitleyerek a parametresi elde edilir.
3
a = 7 değerini yerine yazarak f'(0) değerini hesaplayın.
f′(0)=3,5f'(0) = 3,5
Türev fonksiyonunda a yerine 7 ve x yerine 0 yazarak f'(0) değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bölümün Türevi Kuralı
Soru 463Soru →
A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} kümesinin 44 elemanlı alt kümelerinden kaç tanesinin elemanları toplamı tek sayıdır ve en az bir asal sayı içerir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 92

Cevap

Koşulları sağlayan alt küme sayısı 92'dir.
Toplamı tek olan tüm 4 elemanlı alt kümelerin sayısı (100) ile hiç asal sayı barındırmayan ve toplamı tek olan alt kümelerin sayısı (8) arasındaki fark alınarak en az bir asal içeren ve toplamı tek olan küme sayısı 92 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kümenin elemanlarını özelliklerine göre ayırın.
Asal sayılar: {2,3,5,7}\{2, 3, 5, 7\} (4 adet)
Asal olmayan sayılar: {1,4,6,8,9,10}\{1, 4, 6, 8, 9, 10\} (6 adet)
Tek sayılar: {1,3,5,7,9}\{1, 3, 5, 7, 9\} (5 adet)
Çift sayılar: {2,4,6,8,10}\{2, 4, 6, 8, 10\} (5 adet)
Kombinasyon seçimlerinde teklik-çiftlik ve asallık koşullarını ayrı ayrı uygulayabilmek için.
2
Toplamın tek sayı olma koşulunu analiz edin.
Toplamın tek olması için kümede tek sayıda tek sayı bulunmalıdır. 4 elemanlı küme için bu durumlar: (1 Tek, 3 Çift) veya (3 Tek, 1 Çift) şeklindedir.
Çift sayıda tek sayının toplamı çift, tek sayıda tek sayının toplamı tek olduğundan.
3
Koşulsuz olarak toplamı tek olan tüm 4 elemanlı alt kümelerin sayısını hesaplayın.
- 1 Tek ve 3 Çift seçimi: (51)×(53)=5×10=50\binom{5}{1} \times \binom{5}{3} = 5 \times 10 = 50
- 3 Tek ve 1 Çift seçimi: (53)×(51)=10×5=50\binom{5}{3} \times \binom{5}{1} = 10 \times 5 = 50
Toplam = 50+50=10050 + 50 = 100 durum.
Toplamı tek olan tüm olası durumları bulmak için.
4
Hiç asal sayı içermeyen ve toplamı tek olan alt kümeleri (istenmeyen durumları) hesaplayın.
Asal olmayan tek sayılar: {1,9}\{1, 9\} (2 adet)
Asal olmayan çift sayılar: {4,6,8,10}\{4, 6, 8, 10\} (4 adet)
- 1 Tek (asal olmayan) ve 3 Çift (asal olmayan) seçimi: (21)×(43)=2×4=8\binom{2}{1} \times \binom{4}{3} = 2 \times 4 = 8
- 3 Tek (asal olmayan) ve 1 Çift (asal olmayan) seçimi: (23)×(41)=0\binom{2}{3} \times \binom{4}{1} = 0
Toplam = 8+0=88 + 0 = 8 durum.
Tüm durumlardan bu istenmeyen durumları çıkararak en az bir asal sayı içerenleri bulmak için.
5
İstenen durum sayısını bulmak için çıkarma işlemini yapın.
100−8=92100 - 8 = 92
Tüm toplamı tek olan durumlardan, içinde hiç asal bulunmayan durumları çıkararak en az bir asal sayı içeren durumları bulmak için.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (seçme) kullanarak belirli özelliklere (teklik/çiftlik, asallık) sahip alt kümelerin sayısını hesaplama.

Alternatif Yöntem

Doğrudan çözüm yöntemi: İstenen koşulu sağlayan durumları asal sayıların dağılımına göre gruplayarak toplayabiliriz. 1) Kümede sadece 2 (çift asal) olup tek olan asalların olmadığı durumlar, 2) Kümede tek olan asalların olup 2'nin olmadığı durumlar, 3) Hem 2'nin hem de tek asalların olduğu durumlar ayrı ayrı hesaplanıp toplanarak da 92 sonucuna ulaşılabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 464Soru →

Bir bilim insanı, laboratuvarındaki 88 farklı deney tüpünden 33 tanesini seçerek bir deneyde kullanacaktır. Buna göre, bu bilim insanı bu seçim işlemini kaç farklı şekilde yapabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 56

Cevap

8 farklı deney tüpünden 3 tanesi sıraya bakılmaksızın 56 farklı şekilde seçilebilir.
Seçim işlemi sıraya bağlı olmaksızın yapıldığından kombinasyon formülü kullanılır. 8 farklı deney tüpünden 3 tanesi C(8, 3) = 56 farklı şekilde seçilebilir.

Adım Adım Çözüm

1
Seçim türünü belirleme
Kombinasyon (seçme) yöntemi kullanılmalıdır.
Tüplerin seçilme sırası önemsizdir.
2
Kombinasyon formülünü uygulama
C(8,3)C(8, 3) değeri hesaplanır.
88 farklı eleman arasından 33 eleman seçilmektedir.
3
Matematiksel işlemi yapma
C(8,3)=8×7×63×2×1=56C(8, 3) = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56
Pay ve payda sadeleştirilerek sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon
Soru 465Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=−x2+8xf(x) = -x^2 + 8x ve g(x)=x2g(x) = x^2 eğrileri arasında kalan sınırlı bölge verilmiştir. Orijinden geçen y=mxy = mx (m>0m > 0) doğrusu, bu bölgeyi S1S_1 ve S2S_2 alanlarına sahip iki alt bölgeye ayırmaktadır. S1S_1 bölgesi y=mxy = mx doğrusunun üst tarafında kalan bölgeyi temsil etmek üzere, S1S2=115\frac{S_1}{S_2} = \frac{1}{15} eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, mm gerçel sayısının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

m gerçel sayısının değeri 6'dır.
Toplam alan 643\frac{64}{3} birimkaredir. Alanlar oranı S1S2=115\frac{S_1}{S_2} = \frac{1}{15} olduğu için doğrunun üstünde kalan bölgenin alanı S1=43S_1 = \frac{4}{3} birimkaredir. Bu alan ∫08−m(−x2+(8−m)x)dx=(8−m)36\int_{0}^{8-m} (-x^2 + (8-m)x) dx = \frac{(8-m)^3}{6} integraline eşittir. (8−m)36=43\frac{(8-m)^3}{6} = \frac{4}{3} eşitliğinden 8−m=28-m = 2 ve m=6m=6 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Eğrilerin kesişim noktalarını bulmak için denklemleri birbirine eşitleyin.
−x2+8x=x2  ⟹  2x2−8x=0  ⟹  2x(x−4)=0  ⟹  x=0-x^2 + 8x = x^2 \implies 2x^2 - 8x = 0 \implies 2x(x - 4) = 0 \implies x = 0 ve x=4x = 4 kesişim noktalarıdır.
İntegral sınırlarını belirlemek amacıyla kesişim noktaları bulunmalıdır.
2
Eğriler arasında kalan toplam alanı (AA) veren integrali yazın ve hesaplayın.
A=∫04((−x2+8x)−x2)dx=∫04(−2x2+8x)dx=[−2x33+4x2]04=−1283+64=643A = \int_{0}^{4} ((-x^2 + 8x) - x^2) dx = \int_{0}^{4} (-2x^2 + 8x) dx = \left[ -\frac{2x^3}{3} + 4x^2 \right]_0^4 = -\frac{128}{3} + 64 = \frac{64}{3} birimkaredir.
Toplam alanı bulmak, oranlama yaparak alt bölgelerin alanlarını bulmayı sağlar.
3
S1S_1 alanını toplam alan türünden yazın.
S1S2=115  ⟹  S1=116A=116⋅643=43\frac{S_1}{S_2} = \frac{1}{15} \implies S_1 = \frac{1}{16} A = \frac{1}{16} \cdot \frac{64}{3} = \frac{4}{3} birimkare elde edilir.
S1S_1 ve S2S_2 bölgelerinin toplamı tüm alana eşit olduğundan, oran kullanılarak S1S_1 alanı hesaplanır.
4
y=mxy = mx doğrusunun f(x)=−x2+8xf(x) = -x^2 + 8x eğrisiyle kesişim noktasını bulun.
−x2+8x=mx  ⟹  x2+(m−8)x=0  ⟹  x=8−m-x^2 + 8x = mx \implies x^2 + (m - 8)x = 0 \implies x = 8 - m (çünkü x>0x > 0 olmalıdır).
S1S_1 bölgesinin sağ sınırını belirlemek için kesişim noktası hesaplanmalıdır.
5
S1S_1 alanını integral olarak ifade edip mm değerini çözün.
S1=∫08−m((−x2+8x)−mx)dx=∫08−m((8−m)x−x2)dx=[(8−m)x22−x33]08−m=(8−m)36S_1 = \int_{0}^{8 - m} ((-x^2 + 8x) - mx) dx = \int_{0}^{8 - m} ((8 - m)x - x^2) dx = \left[ \frac{(8 - m)x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^{8 - m} = \frac{(8 - m)^3}{6} olur. Buradan (8−m)36=43  ⟹  (8−m)3=8  ⟹  8−m=2  ⟹  m=6\frac{(8 - m)^3}{6} = \frac{4}{3} \implies (8 - m)^3 = 8 \implies 8 - m = 2 \implies m = 6 bulunur.
S1S_1 alanının sayısal değerini integral sonucuna eşitleyerek bilinmeyen mm parametresi elde edilir.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan alanın integral yardımıyla hesaplanması ve alan paylaştırma problemleri.
Soru 466Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=x3−3x2+ax+1f(x) = x^3 - 3x^2 + ax + 1
fonksiyonunun grafiğine üzerindeki x=1x = 1 apsisli noktasından çizilen normal doğrusu, y=−2x+5y = -2x + 5 doğrusuna diktir.

Buna göre, aa değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Aranan a değeri 1 olarak bulunur.
Fonksiyonun x=1x = 1 apsisli noktasındaki teğetinin eğimi türev yardımıyla f′(1)=a−3f'(1) = a - 3 olarak bulunur. Bu noktadaki normal doğrusunun eğimi ise mn=−1a−3m_n = -\frac{1}{a - 3} olur. Normal doğrusunun dik olduğu belirtilen y=−2x+5y = -2x + 5 doğrusunun eğimi −2-2 olduğundan, normal doğrusunun eğimi 12\frac{1}{2} olmalıdır. Buradan −1a−3=12  ⟹  a=1-\frac{1}{a - 3} = \frac{1}{2} \implies a = 1 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türev kuralının bulunması
f′(x)=3x2−6x+af'(x) = 3x^2 - 6x + a
Teğet doğrusunun eğimini bulmak amacıyla öncelikle fonksiyonun birinci türevi alınır.
2
x=1x = 1 noktasındaki teğet doğrusunun eğiminin (mtm_t) hesaplanması
mt=a−3m_t = a - 3
Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.
3
Teğet eğimi yardımıyla normal doğrusunun eğiminin (mnm_n) belirlenmesi
mn=−1a−3m_n = -\frac{1}{a - 3}
Teğet doğrusu ile normal doğrusu birbirine diktir. Eğimleri çarpımı −1-1 olduğundan mn=−1mtm_n = -\frac{1}{m_t} eşitliği kullanılır.
4
Verilen doğrunun eğiminden yararlanarak normal doğrusunun eğim değerinin bulunması
mn=12m_n = \frac{1}{2}
Normal doğrusu y=−2x+5y = -2x + 5 doğrusuna diktir. Eğimi −2-2 olan bir doğruya dik olan doğrunun eğimi 12\frac{1}{2} olmalıdır.
5
Elde edilen eğim değerlerinin eşitlenmesi ve aa parametresinin çözülmesi
a=1a = 1
−1a−3=12-\frac{1}{a - 3} = \frac{1}{2} denklemi çözülerek aa parametresinin değeri belirlenir.

Anahtar Kavram

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal Doğrularının Eğimleri)
Soru 467Soru →

22, 22, 33, 33, 55 rakamlarının tümü kullanılarak yazılabilecek beş basamaklı farklı doğal sayıların kaç tanesi tek sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

18
Beş basamaklı bir sayının tek sayı olması için birler basamağında 3 veya 5 bulunmalıdır. Birler basamağı 3 olduğunda kalan {2, 2, 3, 5} rakamları 4! / 2! = 12 farklı şekilde sıralanır. Birler basamağı 5 olduğunda kalan {2, 2, 3, 3} rakamları 4! / (2! * 2!) = 6 farklı şekilde sıralanır. Bu iki durumun toplamı 12 + 6 = 18 farklı sayı üretir.

Adım Adım Çözüm

1
Tek sayı olma koşulunu belirleme ve durumları sınıflandırma.
Birler basamağı 3 veya 5 olmalıdır.
Bir sayının tek sayı olması için birler basamağındaki rakamın tek sayı olması gerekir.
2
Birler basamağında 3 rakamı bulunan sayıların adedini hesaplama.
Kalan {2, 2, 3, 5} rakamları ile 12 farklı dizilim oluşturulur.
Tekrarlayan iki adet 2 rakamı olduğu için tekrarlı permütasyon formülü (4! / 2!) uygulanır.
3
Birler basamağında 5 rakamı bulunan sayıların adedini hesaplama.
Kalan {2, 2, 3, 3} rakamları ile 6 farklı dizilim oluşturulur.
Tekrarlayan iki adet 2 ve iki adet 3 rakamı olduğu için tekrarlı perm��tasyon formülü (4! / (2! * 2!)) uygulanır.
4
Elde edilen durum sayılarını toplama.
12 + 6 = 18
Birler basamağının 3 veya 5 olması ayrık olaylar olduğundan toplama yoluyla sayma kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Tekrarlı permütasyon hesaplamalarında belirli basamak koşullarını (teklik/çiftlik) ayrı durumlar halinde inceleyerek hesaplama yapma.
Soru 468Soru →

Köşeleri, bir düzgün sekizgenin köşeleri arasından seçilen üçgenlerden kaç tanesinin en az bir kenarı bu düzgün sekizgenin bir kenarıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

En az bir kenarı düzgün sekizgenin bir kenarı olan üçgenlerin sayısı 40'tır.
Soruda en az bir kenarı düzgün sekizgenin bir kenarı olan üçgenler istendiği için, tam olarak bir kenarı ortak olan 32 üçgen ile iki kenarı ortak olan 8 üçgen toplanarak doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Düzgün sekizgenin köşeleri kullanılarak oluşturulabilecek tüm üçgenlerin sayısını hesaplama.
(83)=56\binom{8}{3} = 56 farklı üçgen.
Sekizgenin 8 köşesinden herhangi 3 tanesi seçilerek bir üçgen oluşturulabilir.
2
Yalnızca bir kenarı sekizgenin kenarı olan üçgenlerin sayısını hesaplama.
8×4=328 \times 4 = 32 adet üçgen.
Ortak olan 1 kenar 8 farklı şekilde seçilebilir. Üçgenin üçüncü köşesi, seçilen kenarın köşeleri ve bunlara komşu olan köşeler olamaz; aksi takdirde ortak kenar sayısı 2 olur. Bu nedenle üçüncü köşe için kalan 4 köşeden biri seçilmelidir.
3
İki kenarı sekizgenin kenarları olan üçgenlerin sayısını hesaplama.
8 adet üçgen.
İki kenarın ortak olması için köşelerin sekizgen üzerinde ardışık üç köşe olması gerekir. Sekizgende ardışık üçlülerden oluşan 8 farklı grup vardır (örneğin A-B-C, B-C-D, ...).
4
Toplam üçgen sayısını bulma.
32+8=4032 + 8 = 40 adet üçgen.
En az bir kenarı ortak olan üçgenlerin sayısı, 1 kenarı ortak olanlar ile 2 kenarı ortak olanların toplamıdır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon yöntemiyle durum analizi ve geometrik şekillerin sayılması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 469Soru →

gg ve hh, x=2x = 2 noktasında türevlenebilen iki fonksiyon olmak üzere,

g(2)=5h(2)=6h′(2)=−1\begin{aligned} g(2) &= 5 \\ h(2) &= 6 \\ h'(2) &= -1 \end{aligned}

eşitlikleri verilmektedir.
f(x)=(x2−2x)⋅g(x)+h(x)xf(x) = (x^2 - 2x) \cdot g(x) + \frac{h(x)}{x}

şeklinde tanımlanan ff fonksiyonu için f′(2)f'(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Türevlenebilir iki fonksiyonun toplam, çarpım ve bölüm türev kuralları kullanılarak x = 2 noktasındaki türevi hesaplandığında sonuç 8 olarak bulunur.
Toplam, çarpım ve bölüm kuralları yardımıyla f'(x) türev fonksiyonu oluşturulup x = 2 değeri yazıldığında, g'(2) ifadesinin katsayısı 0 olduğundan bu terim elenir ve verilen diğer değerlerle f'(2) değeri 8 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x) fonksiyonunun türevini almak için toplam, çarpım ve bölüm kurallarını uygulayal��m.
f'(x) = (2x - 2) * g(x) + (x^2 - 2x) * g'(x) + (h'(x) * x - h(x)) / x^2
Toplamın türevi türevlerin toplamına eşittir. Birinci terim için çarpım kuralı (u * v)' = u' * v + u * v', ikinci terim için ise bölüm kuralı (u / v)' = (u' * v - u * v') / v^2 uygulanır.
2
Elde ettiğimiz türev fonksiyonunda x yerine 2 yazalım.
f'(2) = (2*2 - 2) * g(2) + (2^2 - 2*2) * g'(2) + (h'(2) * 2 - h(2)) / 2^2
f'(2) değerini elde etmek için türev fonksiyonunun kuralında x değişkeni yerine 2 sayısı yazılır.
3
Verilen g(2) = 5, h(2) = 6 ve h'(2) = -1 değerlerini yerine koyarak hesaplamayı tamamlayalım.
f'(2) = 2 * 5 + 0 * g'(2) + (-1 * 2 - 6) / 4 = 10 - 2 = 8
x = 2 noktasında x^2 - 2x ifadesi 0 değerini aldığından g'(2) değerine ihtiyaç duyulmaz. Bölüm türevi kısmından gelen terim -2, çarpım türevi kısmından gelen terim 10 olur ve toplamları 8'i verir.

Anahtar Kavram

Temel türev alma kuralları kullanılarak çarpım ve bölüm durumundaki fonksiyonların türevlerinin hesaplanması
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 470Soru →

Koordinat düzleminde x=2−y2x = 2 - y^2 eğrisi ile x+y=0x + y = 0 doğrusunun sınırladığı kapalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4.5

Cevap

Eğriler arasında kalan kapalı bölgenin alanı 4,5 birimkaredir.
Verilen parabol ile doğrunun y eksenine göre kesim noktaları y = -1 ve y = 2 olarak hesaplanır. Bu sınırlar arasında sağda kalan parabol denkleminden solda kalan doğru denklemi çıkarılıp integral alındığında alan 4,5 birimkare olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Eğrilerin kesişim noktalarını (integrasyon sınırlar��nı) belirlemek için denklemleri birbirine eşitleriz.
y2−y−2=0  ⟹  y=2y^2 - y - 2 = 0 \implies y = 2 ve y=−1y = -1 bulunur.
Bölgenin y ekseni boyunca sınırlarını bulmak için kesim noktalarının y koordinatlarına ihtiyacımız vardır.
2
Sağdaki eğriden soldaki eğriyi çıkararak alanı veren belirli integrali kurarız.
A=∫−12((2−y2)−(−y))dy=∫−12(2−y2+y)dyA = \int_{-1}^{2} \left( (2 - y^2) - (-y) \right) dy = \int_{-1}^{2} (2 - y^2 + y) dy elde edilir.
y eksenine göre alan hesaplanırken integral sınırları arasında sağda kalan fonksiyondan solda kalan fonksiyon çıkarılır.
3
İntegrali hesaplar ve sınırları yerine koyarak alanı buluruz.
A=[2y−y33+y22]−12=103−(−76)=276=4,5A = \left[ 2y - \frac{y^3}{3} + \frac{y^2}{2} \right]_{-1}^{2} = \frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{27}{6} = 4,5 birimkare.
Belirli integralin değerini hesaplayarak sınırlı bölgenin alanın�� bulmuş oluruz.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan alanın y eksenine göre integral alınarak hesaplanması

Alternatif Yöntem

Bir parabol ile doğrunun kesim noktalarının y koordinatları y_1 ve y_2 ise, aralarında kalan alan pratik olarak A = (1/6) * |a| * (y_2 - y_1)^3 formülüyle hesaplanabilir. Burada a, parabolün y^2 teriminin katsayısıdır. Kökler farkı y_2 - y_1 = 2 - (-1) = 3 ve |a| = 1 olduğundan, Alan = (1/6) * 1 * 3^3 = 27/6 = 4,5 birimkare olarak saniyeler içinde bulunabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 471Soru →

Dik koordinat düzleminde, birinci bölgede yer alan y=8xy = \frac{8}{x} eğrisine üzerindeki bir PP noktasından çizilen teğet doğrusunun koordinat eksenleri arasında kalan parçasının uzunluğu en az kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Teğet doğrusunun koordinat eksenleri arasında kalan parçasının en kısa uzunluğu 8 birimdir.
Teğet doğrusunun eksenler arasında kalan parçasının uzunluğunu veren fonksiyon L(a)=4a2+256a2L(a) = \sqrt{4a^2 + \frac{256}{a^2}} şeklindedir. Bu fonksiyonun en küçük değerini bulmak için türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde elde edilen a=22a = 2\sqrt{2} değeri fonksiyonda yerine yazıldığında en kısa uzunluk 64=8\sqrt{64} = 8 birim olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet noktasını belirleme ve türev yardımıyla teğet doğrusunun eğimini bulma
Teğet noktası P(a,8a)P(a, \frac{8}{a}) ve teğet doğrusunun eğimi m=−8a2m = -\frac{8}{a^2} olarak bulunur.
Teğet doğrusunun denklemini oluşturabilmek için öncelikle eğrinin üzerindeki bir noktayı ve bu noktadaki türev değerini kullanarak eğimi bulmamız gerekir.
2
Teğet doğrusunun denklemini yazma
Doğru denklemi y=−8a2x+16ay = -\frac{8}{a^2}x + \frac{16}{a} şeklinde elde edilir.
Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi formülü olan y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1) kullanılarak teğetin denklemi oluşturulur.
3
Teğet doğrusunun koordinat eksenlerini kestiği noktaları bulma
y-eksenini kestiği nokta A(0,16a)A(0, \frac{16}{a}) ve x-eksenini kestiği nokta B(2a,0)B(2a, 0) olarak bulunur.
Teğet doğrusunun eksenler arasında kalan parçasının uç noktalarını belirlemek için eksenleri kestiği noktaları bulmalıyız.
4
Eksenler arasında kalan parçanın uzunluk fonksiyonunu tanımlama
Uzunluğun karesi L2=4a2+256a2L^2 = 4a^2 + \frac{256}{a^2} olarak ifade edilir.
A ve B noktaları arasındaki uzaklığı bulmak için iki nokta arasındaki uzaklık formülü (Pisagor teoremi) uygulanır.
5
Uzunluk fonksiyonunun türevini alarak kritik noktayı bulma
8a−512a3=08a - \frac{512}{a^3} = 0 denklemi çözülerek a=22a = 2\sqrt{2} kritik noktası elde edilir.
Bir fonksiyonun yerel ekstremum (maksimum/minimum) değerlerini bulmak için türevi sıfıra eşitlenir.
6
Kritik noktayı fonksiyon yerine yazarak en küçük uzunluk değerini hesaplama
L2=64  ⟹  L=8L^2 = 64 \implies L = 8 olarak hesaplanır.
Bulunan kritik değer fonksiyon yerine yazılarak en küçük uzunluk değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum problemlerinin çözümü ve türevin geometrik yorumu

Alternatif Yöntem

Aritmetik ve Geometrik Ortalama (AGO) eşitsizliği kullanılarak türev almadan da bu problem çözülebilir. L2=4a2+256a2L^2 = 4a^2 + \frac{256}{a^2} ifadesinde terimlerin her ikisi de pozitif olduğundan AGO eşitsizliğine göre: 4a2+256a2≥24a2⋅256a2=21024=644a^2 + \frac{256}{a^2} \geq 2\sqrt{4a^2 \cdot \frac{256}{a^2}} = 2\sqrt{1024} = 64 olur. Buradan L2≥64  ⟹  L≥8L^2 \geq 64 \implies L \geq 8 bulunur. Eşitlik durumu 4a2=256a2  ⟹  a4=64  ⟹  a=224a^2 = \frac{256}{a^2} \implies a^4 = 64 \implies a = 2\sqrt{2} için sağlanır. Dolayısıyla en küçük uzunluk 8 birimdir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 472Soru →

Bir torbada 1'den 10'a kadar numaralandırılmış 10 top bulunmaktadır. Bu torbadan aynı anda rastgele 4 top çekiliyor.

Çekilen topların üzerindeki sayılar küçükten büyüğe doğru aa, bb, cc ve dd olarak sıralandığında;
b−a≥2ved−c≥2b - a \geq 2 \quad \text{ve} \quad d - c \geq 2
koşullarını sağlayan kaç farklı {a,b,c,d}\{a, b, c, d\} kümesi seçilebilir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 70

Cevap

Koşulları sağlayan 70 farklı küme seçilebilir.
Seçilen sayıların farkları arasındaki koşulları temsil eden değişkenler oluşturularak problem, negatif olmayan tam sayı denkleminin çözüm sayısını bulma (ayraç yöntemi) problemine dönüştürülmüştür. Bu yöntemle (84)=70\binom{8}{4} = 70 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Seçilecek elemanları küçükten büyüğe a<b<c<da < b < c < d olarak sıralayarak aralarındaki farklar üzerinden yeni değişkenler tanımlamak.
x1=a−1≥0x_1 = a - 1 \geq 0, x2=b−a−1≥0x_2 = b - a - 1 \geq 0, x3=c−b−1≥0x_3 = c - b - 1 \geq 0, x4=d−c−1≥0x_4 = d - c - 1 \geq 0 ve x5=10−d≥0x_5 = 10 - d \geq 0.
Topların numaralarının 1 ile 10 arasında olmasını ve aralarındaki sıralamayı kontrol altında tutmak.
2
Tanımlanan fark değişkenlerinin toplamını hesaplamak.
x1+x2+x3+x4+x5=6x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 6.
Değişkenlerin toplamının sınır değerlere bağlı sabit bir sayı verdiğini göstermek.
3
b−a≥2b - a \geq 2 ve d−c≥2d - c \geq 2 koşullarını değişkenler cinsinden yazıp değişken dönüşümü uygulamak.
x2≥1x_2 \geq 1 ve x4≥1x_4 \geq 1 koşullarını sağlamak için y2=x2−1≥0y_2 = x_2 - 1 \geq 0 ve y4=x4−1≥0y_4 = x_4 - 1 \geq 0 dönüşümü yapılır. Yeni denklem: x1+y2+x3+y4+x5=4x_1 + y_2 + x_3 + y_4 + x_5 = 4 olur.
Denklemi tüm değişkenlerin negatif olmayan tam sayılar (doğal sayılar) olduğu standart forma indirgemek.
4
Elde edilen denklemin doğal sayılardaki çözüm sayısını ayraç (tekrarlı kombinasyon) yöntemi ile hesaplamak.
(4+5−15−1)=(84)=70\binom{4 + 5 - 1}{5 - 1} = \binom{8}{4} = 70.
n=4n=4 özdeş nesneyi r=5r=5 farklı kutuya dağıtma probleminin çözümünü bulmak.

Anahtar Kavram

Kombinasyon ve Ayraç Yöntemi (Tekrarlı Kombinasyon)
Soru 473Soru →

S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\} kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinin elemanları toplamı 3 ile tam bölünür ve elemanlarının çarpımı bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 160

Cevap

Seçilen 4 elemanının toplamı 3 ile tam bölünen ve çarpımı bir çift sayı olan alt küme sayısı 160'tır.
Toplamı 3 ile tam bölünen tüm 4 elemanlı alt kümelerin sayısı 165'tir. Bu kümeler arasından elemanlarının tamamı tek sayılardan oluşan (ve dolayısıyla çarpımları tek sayı olan) 5 küme çıkarıldığında, geriye kalan 160 alt kümenin elemanları toplamı 3'e tam bölünür ve en az bir çift sayı içerdiklerinden çarpımları çift sayı olur.

Adım Adım Çözüm

1
Kümenin elemanlarını 3 ile bölümünden kalanlarına göre R0={3,6,9,12}R_0 = \{3, 6, 9, 12\}, R1={1,4,7,10}R_1 = \{1, 4, 7, 10\} ve R2={2,5,8,11}R_2 = \{2, 5, 8, 11\} olmak üzere üç gruba ayırıp eleman sayılarını belirlemek.
Her grupta 4 eleman bulunur (∣R0∣=∣R1∣=∣R2∣=4|R_0| = |R_1| = |R_2| = 4).
Seçilecek sayıların toplamının 3 ile bölümünden kalanı, bu sayıların kendi kalanlarının toplamı üzerinden analiz etmek için.
2
Toplamı 3 ile tam bölünen 4 elemanlı seçimlerin durumlarını (a,b,c)(a, b, c) şeklinde (sırasıyla R0,R1,R2R_0, R_1, R_2 gruplarından seçilen eleman sayıları) analiz edip kombinasyonlarını toplamak.
1 + 96 + 36 + 16 + 16 = 165 farklı seçim belirlenir.
a+b+c=4a+b+c = 4 ve b+2c≡0(mod3)b+2c \equiv 0 \pmod 3 koşullarını sağlayan durumları tek tek bulup kombinasyon sayılarını hesaplamak için.
3
Çarpımı tek sayı olan (yani tamamı tek sayılardan oluşan) ve toplamları 3 ile bölünen alt kümelerin sayısını hesaplamak.
5 farklı istenmeyen seçim bulunur.
Çarpımın çift olması için en az bir çift sayının seçilmesi gerektiğinden, tüm elemanları tek olan istenmeyen durumları tüm durumlardan çıkarmak için.
4
Toplam durum sayısından, sadece tek sayılardan oluşan istenmeyen durum sayısını çıkarmak.
165 - 5 = 160.
İstenen koşulları sağlayan (toplamı 3'e bölünen ve en az bir çift sayı barındıran) alt küme sayısını elde etmek için.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçme) ve Kalan Sınıfları Yardımıyla Sayma
Soru 474Soru →

Tüm gerçel sayılarda sürekli olan bir ff fonksiyonu

f(x)={3x2+1,x<12x+a,x≥1f(x) = \begin{cases} 3x^2 + 1, & x < 1 \\ 2x + a, & x \ge 1 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre,

∫−12f(∣x∣) dx\int_{-1}^{2} f(|x|) \, dx

belirli integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Sürekli fonksiyonun kuralları ve mutlak değer özelliği kullan��larak hesaplanan belirli integralin değeri 9'dur.
Fonksiyonun sürekliliği kullanılarak a = 2 bulunur. Mutlak değer tanımından dolayı integral [-1, 0] ve [0, 2] aralıklarına bölünür. Bu aralıklarda fonksiyonun ilgili kuralları uygulanarak elde edilen integral değerleri toplanır ve doğru sonuç 9 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun x=1x = 1 noktasındaki sürekliliğini kullanarak aa sabitini bulunuz.
a=2a = 2
ff fonksiyonu tüm gerçel sayılarda sürekli olduğundan x=1x = 1 kritik noktasında da süreklidir. Bu nedenle sağdan ve soldan limitleri eşit olmalıdır: lim⁡x→1−f(x)=lim⁡x→1+f(x)  ⟹  3(1)2+1=2(1)+a  ⟹  4=2+a  ⟹  a=2\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) \implies 3(1)^2 + 1 = 2(1) + a \implies 4 = 2 + a \implies a = 2 elde edilir.
2
İntegrali mutlak değerin içi sıfır olan x=0x = 0 noktasına göre iki parçaya ayırınız.
∫−12f(∣x∣) dx=∫−10f(−x) dx+∫02f(x) dx\int_{-1}^{2} f(|x|) \, dx = \int_{-1}^{0} f(-x) \, dx + \int_{0}^{2} f(x) \, dx
x<0x < 0 için ∣x∣=−x|x| = -x ve x≥0x \ge 0 için ∣x∣=x|x| = x olduğundan integral bu kritik noktaya göre ikiye bölünür.
3
[−1,0][-1, 0] aralığındaki integrali hesaplayınız.
∫−10(3x2+1) dx=2\int_{-1}^{0} (3x^2 + 1) \, dx = 2
x∈[−1,0]x \in [-1, 0] aralığında ∣x∣=−x|x| = -x olur. Bu durumda −x∈[0,1]-x \in [0, 1] olacağından fonksiyonun 11'den küçük değerler için geçerli olan kuralı kullanılır: f(−x)=3(−x)2+1=3x2+1f(-x) = 3(-x)^2 + 1 = 3x^2 + 1. İntegral hesaplandığında: ∫−10(3x2+1) dx=[x3+x]−10=0−(−1−1)=2\int_{-1}^{0} (3x^2 + 1) \, dx = [x^3 + x]_{-1}^0 = 0 - (-1 - 1) = 2 bulunur.
4
[0,2][0, 2] aralığındaki integrali hesaplayınız.
∫02f(x) dx=7\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 7
x∈[0,2]x \in [0, 2] aralığı, fonksiyonun kural değiştirdiği x=1x = 1 noktasına göre bölünür: ∫01(3x2+1) dx+∫12(2x+2) dx=[x3+x]01+[x2+2x]12=2+(8−3)=7\int_{0}^{1} (3x^2 + 1) \, dx + \int_{1}^{2} (2x + 2) \, dx = [x^3 + x]_0^1 + [x^2 + 2x]_1^2 = 2 + (8 - 3) = 7 elde edilir.
5
Bulunan iki integral değerini toplayarak sonucu bulunuz.
9
∫−12f(∣x∣) dx=∫−10f(∣x∣) dx+∫02f(∣x∣) dx=2+7=9\int_{-1}^{2} f(|x|) \, dx = \int_{-1}^{0} f(|x|) \, dx + \int_{0}^{2} f(|x|) \, dx = 2 + 7 = 9 bulunur.

Anahtar Kavram

Parçalı sürekli fonksiyonlerin belirli integrali ve mutlak değer içeren integral özellikleri
Soru 475Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=∣x2−1∣f(x) = |x^2 - 1| fonksiyonunun grafiği ile y=3y = 3 doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Sınırlı bölgenin alanı 8 birimkaredir.
Sınırlı bölgenin alanı, üstteki doğru olan y=3y = 3 ile alttaki eğri olan y=∣x2−1∣y = |x^2 - 1| arasındaki farkın [−2,2][-2, 2] aralığındaki belirli integraline eşittir. Bu integral simetri kullanılarak iki parçaya ayrılıp hesaplandığında sonuç 8 birimkare çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Kesişim noktalarını bulma
x=−2x = -2 ve x=2x = 2
Entegrasyon sınırlarını belirlemek için ∣x2−1∣=3|x^2 - 1| = 3 denklemi çözülür. x2−1=3  ⟹  x2=4  ⟹  x=±2x^2 - 1 = 3 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2 elde edilir. Diğer durum olan x2−1=−3x^2 - 1 = -3 denkleminin gerçel kökü yoktur.
2
Simetriyi kullanarak integrali basitleştirme
Alan=2∫02(3−∣x2−1∣) dxAlan = 2 \int_{0}^{2} (3 - |x^2 - 1|) \, dx
f(x)=∣x2−1∣f(x) = |x^2 - 1| ve y=3y = 3 fonksiyonları çift fonksiyonlar olduğundan, grafikler yy-eksenine göre simetriktir. Bu yüzden alan [−2,2][-2, 2] aralığı yerine [0,2][0, 2] aralığında hesaplanıp 2 ile çarpılabilir.
3
İntegrali kritik noktaya göre parçalama
Alan=2(∫01(3−(1−x2)) dx+∫12(3−(x2−1)) dx)Alan = 2 \left( \int_{0}^{1} (3 - (1 - x^2)) \, dx + \int_{1}^{2} (3 - (x^2 - 1)) \, dx \right)
x2−1=0  ⟹  x=1x^2 - 1 = 0 \implies x = 1 noktası mutlak değerin kritik noktasıdır. [0,1][0, 1] aralığında x2−1≤0x^2 - 1 \le 0 olduğundan ∣x2−1∣=1−x2|x^2 - 1| = 1 - x^2 olur. [1,2][1, 2] aralığında ise ∣x2−1∣=x2−1|x^2 - 1| = x^2 - 1 olur.
4
Belirli integralleri hesaplama
Birinci parça için 73\frac{7}{3}, ikinci parça için 53\frac{5}{3}
∫01(2+x2) dx=[2x+x33]01=73\int_{0}^{1} (2 + x^2) \, dx = \left[ 2x + \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{7}{3} ve ∫12(4−x2) dx=[4x−x33]12=(8−83)−(4−13)=53\int_{1}^{2} (4 - x^2) \, dx = \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_1^2 = \left(8 - \frac{8}{3}\right) - \left(4 - \frac{1}{3}\right) = \frac{5}{3} olarak hesaplanır.
5
Toplam alanı bulma
8
Alan=2×(73+53)=2×123=8Alan = 2 \times \left( \frac{7}{3} + \frac{5}{3} \right) = 2 \times \frac{12}{3} = 8 birimkare bulunur.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan alan hesaplanırken üstteki eğriden alttaki eğri çıkarılarak belirli integral alınır. Mutlak değerli ifadelerde integral sınırları kritik noktalara göre parçalanmalıdır.
Soru 476Soru →

aa bir gerçel sayı parametresi olmak üzere,

f(x)={x2−9x−3,x<4ax−5,x≥4f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 9}{x - 3}, & x < 4 \\ ax - 5, & x \geq 4 \end{cases}

biçiminde tanımlanan f(x)f(x) fonksiyonu yalnızca bir noktada süreksiz olduğuna göre, aa değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

a parametresinin değeri 3'tür.
Fonksiyonun x=3x = 3 noktasında tanımsız olmasından dolayı süreksiz olduğu belirlendikten sonra, yalnızca bir süreksizlik noktası olması için x=4x = 4 noktasında sürekli olması gerektiği görülür. x=4x = 4 noktasındaki sol ve sağ limitlerin eşitliğinden 4a−5=74a - 5 = 7 denklemi elde edilir ve buradan aa değeri 3 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk dal olan rasyonel ifadenin paydasını sıfır yapan değeri belirleyin.
x=3x = 3 için payda sıfır olur. 3<43 < 4 olduğundan bu nokta fonksiyonun tanım kümesindedir ancak fonksiyon bu noktada tanımsızdır.
Rasyonel fonksiyonlar paydalarının sıfır olduğu noktalarda tanımsızdır ve dolayısıyla süreksizdir.
2
x=3x = 3 noktasındaki süreksizliği ve sorunun koşulunu analiz edin.
Fonksiyon x=3x = 3 noktasında kesinlikle süreksizdir. Fonksiyonun yalnızca bir noktada süreksiz olması istendiğinden, diğer kritik nokta olan x=4x = 4 sınır noktasında sürekli olması gerekir.
Eğer x=4x = 4 noktasında da süreksizlik olsaydı, fonksiyonun süreksiz olduğu iki farklı nokta bulunurdu.
3
x=4x = 4 noktasında süreklilik şartını uygulayarak aa değerini bulun.
Sol limit: lim⁡x→4−x2−9x−3=16−94−3=7\lim_{x \to 4^-} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \frac{16 - 9}{4 - 3} = 7
Sağ limit ve fonksiyon değeri: f(4)=4a−5f(4) = 4a - 5
Eşitlikten: 4a−5=7  ⟹  4a=12  ⟹  a=34a - 5 = 7 \implies 4a = 12 \implies a = 3 elde edilir.
Bir fonksiyonun sınır noktasında sürekli olması için o noktadaki sol limit, sağ limit ve fonksiyon değerinin birbirine eşit olması gerekir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olabilmesi için o noktada tanımlı olması, limitinin bulunması ve limit değerinin fonksiyon değerine eşit olması gerekir. Rasyonel ifadelerde sadeleştirme yapılsa bile paydayı sıfır yapan noktalar tanım kümesine dahil edilmediği için süreksizlik noktalarıdır.
Soru 477Soru →

n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ olmak üzere,

(2x+1x4)n\left(2\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt[4]{x}}\right)^n

ifadesinin xx'in azalan kuvvetlerine göre açılımında baştan 3. terimin katsayısının baştan 4. terimin katsayısına oranı 32\frac{3}{2}'dir.

Buna göre, bu açılımdaki sabit terim kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Sabit terim 60 olarak bulunur.
Verilen binomial ifadenin terim katsayıları oranından n=6n = 6 elde edilir. Bu değer ile sabit terimi veren rr değeri belirlendiğinde r=4r = 4 bulunur. Buradan sabit terim (64)26−4=60\binom{6}{4} 2^{6-4} = 60 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Baştan 3. ve 4. terimlerin katsayılarını belirleme
Baştan 3. terim (r=2r = 2 için): C3=(n2)2n−2C_3 = \binom{n}{2} 2^{n-2}
Baştan 4. terim (r=3r = 3 için): C4=(n3)2n−3C_4 = \binom{n}{3} 2^{n-3}
(a+b)n(a+b)^n açılımında baştan (r+1)(r+1). terim (nr)an−rbr\binom{n}{r} a^{n-r} b^r formülüyle bulunur.
2
Katsayıların oranından nn değerini bulma
C3C4=(n2)2n−2(n3)2n−3=6n−2=32  ⟹  n=6\frac{C_3}{C_4} = \frac{\binom{n}{2} 2^{n-2}}{\binom{n}{3} 2^{n-3}} = \frac{6}{n-2} = \frac{3}{2} \implies n = 6
Soruda verilen oran kullanılarak açılımın derecesi olan nn sayısı elde edilir.
3
Sabit terimi veren rr değerini belirleme
x6−r2−r4=x0  ⟹  12−3r4=0  ⟹  r=4x^{\frac{6-r}{2} - \frac{r}{4}} = x^0 \implies \frac{12-3r}{4} = 0 \implies r = 4
Sabit terimde xx değişkeninin üssü 0 olmalıdır.
4
Sabit terimi hesaplama
(64)26−4=15×4=60\binom{6}{4} 2^{6-4} = 15 \times 4 = 60
n=6n = 6 ve r=4r = 4 değerleri genel terim formülünde yerine yazılarak katsayı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Binom Açılımında Katsayı Oranları ve Sabit Terim Hesabı
Soru 478Soru →
A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}

kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinden kaç tanesinin en büyük elemanı ile en küçük elemanının toplamı bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 100

Cevap

Koşulları sağlayan 4 elemanlı alt kümelerin sayısı 100'dür.
Koşulları sağlayan alt kümelerin bulunması için tüm olası en küçük ve en büyük eleman çiftleri farklarına göre sınıflandırılmış ve aralarında kalan sayılardan yapılan kombinasyon seçimleri toplanarak 100 sonucu elde edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
En küçük ve en büyük elemanların belirlenmesi ve çift toplam koşulunun analiz edilmesi.
En küçük eleman x1x_1, en büyük eleman x4x_4 olmak üzere, x1+x4x_1 + x_4 toplamının çift olması için x4−x1x_4 - x_1 farkının çift olması gerektiği belirlenir.
İki sayının toplamının çift olması için paritelerinin (teklik-çiftlik durumlarının) aynı olması gerekir.
2
Alt kümedeki eleman sayısı sınırlamasına göre en büyük ve en küçük elemanlar arasındaki farkın sınırlarının belirlenmesi.
Arada en az 2 eleman bulunması gerektiğinden x4−x1≥3x_4 - x_1 \geq 3 olmalıdır. Bu durumda çift farklar 4,64, 6 ve 88 olarak belirlenir.
Küçükten büyüğe sıralı 4 elemanlı kümede x1<x2<x3<x4x_1 < x_2 < x_3 < x_4 eşitsizliğinden dolayı x4−x1≥3x_4 - x_1 \geq 3 olmalıdır.
3
Farkın 4 olduğu durum için alt küme sayısının hesaplanması.
x4−x1=4x_4 - x_1 = 4 için 6 farklı (x1,x4)(x_1, x_4) ikilisi ve her biri için (32)=3\binom{3}{2} = 3 seçim olmak üzere 6×3=186 \times 3 = 18 durum bulunur.
Seçilen uç noktaların arasında kalan 3 tam sayıdan 2'sinin seçilmesi gerekir.
4
Farkın 6 olduğu durum için alt küme sayısının hesaplanması.
x4−x1=6x_4 - x_1 = 6 için 4 farklı (x1,x4)(x_1, x_4) ikilisi ve her biri için (52)=10\binom{5}{2} = 10 seçim olmak üzere 4×10=404 \times 10 = 40 durum bulunur.
Seçilen uç noktaların arasında kalan 5 tam sayıdan 2'sinin seçilmesi gerekir.
5
Farkın 8 olduğu durum için alt küme sayısının hesaplanması.
x4−x1=8x_4 - x_1 = 8 için 2 farklı (x1,x4)(x_1, x_4) ikilisi ve her biri için (72)=21\binom{7}{2} = 21 seçim olmak üzere 2×21=422 \times 21 = 42 durum bulunur.
Seçilen uç noktaların arasında kalan 7 tam sayıdan 2'sinin seçilmesi gerekir.
6
Tüm durumların toplanması.
Toplam alt küme sayısı 18+40+42=10018 + 40 + 42 = 100 olarak hesaplanır.
Ayrık durumların toplamı, toplam seçim sayısını verir.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçme) ve Koşullu Alt Küme Oluşturma

Alternatif Yöntem

Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkararak da çözüme ulaşabiliriz. 10 elemanlı bir kümenin 4 elemanlı toplam alt küme sayısı (104)=210\binom{10}{4} = 210 tanedir. İstenmeyen durum, en büyük ve en küçük elemanın toplamının tek sayı olmasıdır. Bu durum, x4−x1x_4 - x_1 farkının tek sayı olması anlamına gelir. x4−x1≥3x_4 - x_1 \geq 3 olacağına göre fark 3,5,73, 5, 7 veya 99 olabilir. Bu farklar için olası durumlar hesaplanır:
- Fark 3 ise: 7 ikili ve (22)=1\binom{2}{2} = 1 seçimden 7×1=77 \times 1 = 7 durum.
- Fark 5 ise: 5 ikili ve (42)=6\binom{4}{2} = 6 seçimden 5×6=305 \times 6 = 30 durum.
- Fark 7 ise: 3 ikili ve (62)=15\binom{6}{2} = 15 seçimden 3×15=453 \times 15 = 45 durum.
- Fark 9 ise: 1 ikili ve (82)=28\binom{8}{2} = 28 seçimden 1×28=281 \times 28 = 28 durum.
İstenmeyen toplam durum sayısı 7+30+45+28=1107 + 30 + 45 + 28 = 110 olur. İstenen durum sayısı ise 210−110=100210 - 110 = 100 olarak bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 479Soru →
Her noktada sürekli olan bir ff fonksiyonu için
∫28f(x) dx=15\int_{2}^{8} f(x) \, dx = 15
ve
∫25f(10−x) dx=9\int_{2}^{5} f(10-x) \, dx = 9
eşitlikleri sağlanmaktadır.
Buna göre,
∫12f(3x−1) dx\int_{1}^{2} f(3x-1) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İntegralin değeri 2'dir.
Verilen belirli integral özellikleri ve değişken değiştirme yöntemleri sırasıyla uygulandığında integralin değeri 2 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk verilen integralde u = 10 - x değişken değiştirmesi yapılması
\int_{5}^{8} f(u) \, du = 9
İntegrali standart formda ifade ederek sınırları belirlemek amacıyla değişken değiştirme uygulanır.
2
Belirli integralin aralık bölme özelliğinin kullanılması
\int_{2}^{5} f(x) \, dx = 6
[2, 8] aralığındaki integral, [2, 5] ve [5, 8] aralıklarının toplamı olarak yazılır.
3
İstenen integralde t = 3x - 1 değişken değiştirmesi yapılarak sonucun hesaplanması
2
İstenen integral, elde edilen bilinen integral cinsine dönüştürülerek hesaplanır.

Anahtar Kavram

Belirli integralin aralık bölme ve değişken değiştirme (ikame) özellikleri.
Soru 480Soru →

Bir çember üzerinde 6 farklı nokta ve bu çemberin tamamen dışındaki bir doğru üzerinde 4 farklı nokta bulunmaktadır. Buna göre, köşeleri bu 10 noktadan seçilen en çok kaç farklı üçgen oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 116

Cevap

Seçilebilecek tüm 3'lü noktaların sayısından doğrusal olan 3'lülerin sayısı çıkarıldığında 116 farklı üçgen oluşturulabilir.
Herhangi üçü doğrusal olmayan 10 noktadan normalde 120 üçgen oluşturulabilirdi. Ancak doğru üzerindeki 4 nokta doğrusal olduğundan, bu 4 noktadan seçilen 3'lü gruplar (4 adet) üçgen oluşturamaz. Bu yüzden 120'den 4 çıkarılarak 116 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam nokta sayısı üzerinden seçilebilecek tüm 3'lü grupların sayısı hesaplanır.
120
10 noktadan herhangi 3'ünün seçimi C(10,3) kombinasyonu ile bulunur.
2
Aynı doğru üzerindeki noktaların doğrusal olmasından dolayı üçgen oluşturmayan seçimler hesaplanır.
4
Doğru üzerindeki 4 noktadan seçilen 3 noktanın tamamı doğrusal olduğundan üçgen belirtmez.
3
Toplam seçim sayısından doğrusal olan seçim sayısı çıkarılır.
116
Doğrusal olmayan her 3 nokta bir üçgen oluşturduğu için çıkarma işlemi yapılır.

Anahtar Kavram

Doğrusal olmayan noktalarla üçgen oluşturma kombinasyonları
ÖncekiSayfa 24 / 43Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin