Tüm alıştırma soruları

Soru 621Soru →

Bir asansörün tavanına asılı olan kütlesi önemsiz ipin ucuna $5\text{ kg}$ kütleli bir cisim bağlanmıştır. Asansör yukar�� yönde $2\text{ m/s}^2$ büyüklüğünde sabit ivmeyle hızlanırken ipte oluşan gerilme kuvvetinin büyüklüğü $T_1$ , aşağı yönde $2\text{ m/s}^2$ büyüklüğünde sabit ivmeyle hızlanırken ipte oluşan gerilme kuvvetinin büyüklüğü $T_2$ olmaktadır. Buna göre, ip gerilmelerinin oranı olan $\frac{T_1}{T_2}$ değeri kaçtır? (Yer çekimi ivmesini $g = 10\text{ m/s}^2$ alınız.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1.5

Cevap

İp gerilmelerinin oranı 1,5 olarak bulunur.

Yukarı yönde hızlanan asansörde ivme yukarı yönlü olduğundan net kuvvet yukarı doğrudur ve

T_1 - mg = ma \implies T_1 = m(g+a) = 60\text{ N}

olur. Aşağı yönde hızlanan asansörde ivme aşağı yönlü olduğundan net kuvvet aşağı doğrudur ve

mg - T_2 = ma \implies T_2 = m(g-a) = 40\text{ N}

olur. Bu iki gerilme kuvvetinin oranı

\frac{60}{40} = 1,5

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Yukarı doğru hızlanan asans��rdeki cismin dinamik denklemini yazmak ve birinci durumdaki ip gerilmesini hesaplamak.

T_1 = 60\text{ N}

Asansör yukarı doğru hızlandığı için ivme vektörü yukarı yönlüdür. Cisme etki eden net kuvvet Newton'ın ikinci yasasına göre

F_{\text{net}} = T_1 - mg = m \cdot a

şeklinde yazılır. Buradan

T_1 = m(g + a) = 5 \cdot (10 + 2) = 60\text{ N}

elde edilir.

2

Aşağı doğru hızlanan asansördeki cismin dinamik denklemini yazmak ve ikinci durumdaki ip gerilmesini hesaplamak.

T_2 = 40\text{ N}

Asansör aşağı doğru hızlandığı için ivme vektörü aşağı yönlüdür. Cisme etki eden net kuvvet Newton'ın ikinci yasasına göre

F_{\text{net}} = mg - T_2 = m \cdot a

şeklinde yazılır. Buradan

T_2 = m(g - a) = 5 \cdot (10 - 2) = 40\text{ N}

elde edilir.

3

Birinci ve ikinci durumlardaki gerilme kuvvetlerini oranlamak.

\frac{T_1}{T_2} = 1,5

Soruda istenen ip gerilmelerinin oranı, bulunan değerlerin birbirine bölünmesiyle

\frac{60}{40} = 1,5

olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

İvmeli hareket eden referans sistemlerindeki cisimlerin hareketinin Newton'ın ikinci yasasıyla incelenmesi.

Soru 622Soru →

Bir torbada 1'den 8'e kadar numaralandırılmış 8 kart bulunmaktadır. Bu torbadan aynı anda rastgele iki kart seçiliyor. Seçilen kartların üzerindeki sayıların çarpımının 3 ile kalansız bölünebilen bir sayı olma olasılığı en sade haliyle $\frac{a}{b}$ olduğuna göre, $a + b$ toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 41

Cevap

Çarpımın 3 ile kalansız bölünebilme olasılığı en sade biçimde

\frac{13}{28}

olup, pay ile paydanın toplamı 41'dir.

Seçilen iki kartın çarpımının 3 ile kalansız bölünebilmesi için seçilen kartlardan en az birinin 3 veya 6 olması gerekir. Tüm 28 durumdan, 3'ün katı olmayan 6 sayı arasından yapılan 15 farklı seçimi çıkardığımızda istenen durum sayısını 13 buluruz. Olasılık

\frac{13}{28}

olduğundan ve bu kesir sadeleşemediğinden

a=13

,

b=28

ve

a+b=41

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Örnek uzayın (tüm olası seçimlerin) eleman sayısını kombinasyon yardımıyla hesaplama.

s(E) = \binom{8}{2} = 28

8 farklı kart arasından sıra gözetmeksizin 2 kartın kaç farklı şekilde seçilebileceğini bulmak için.

2

Çarpımın 3'ün katı olmadığı (yani seçilen iki kartın da 3 veya 6 olmadığı) durum sayısını hesaplama.

\binom{6}{2} = 15

Torbadaki 3'ün katı olmayan 6 karttan 2 tanesini seçerek çarpımları 3 ile bölünmeyen durumları belirlemek için.

3

Çarpımın 3 ile kalansız bölündüğü durum sayısını tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkararak bulma.

28 - 15 = 13

Bir olayın gerçekleşme olasılığını tüm durumlar ile tüm durumların dışındaki durumların farkı yöntemiyle daha kolay bulmak için.

4

Olasılık değerini

\frac{a}{b}

biçiminde ifade edip

a + b

değerini bulma.

P(A) = \frac{13}{28}

ve

a+b = 41

Olasılık tanımı gereği istenen durum sayısını tüm durum sayısına oranlayıp en sade kesir biçiminde pay ve paydayı toplamak için.

Anahtar Kavram

Bir olayın olasılığı, istenen durum sayısının tüm olası durumların sayısına oranıdır. Kombinasyon kullanılarak alt kümeler seçilir ve tüm durumlar farkı yöntemiyle istenen durum sayısı pratik şekilde hesaplanır.

Soru 623Soru →

Bir torbada $3$ kırmızı, $4$ mavi ve $5$ yeşil bilye bulunmaktadır. Bu torbadan çekilen bilye geri atılmaksızın art arda rastgele iki bilye çekiliyor.

Çekilen birinci bilyenin kırmızı veya ikinci bilyenin mavi olma olasılığı en sade hâliyle $\frac{a}{b}$ kesridir.

Buna göre, $a + b$ toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 197

Cevap

Doğru cevap 197'dir. İstenen olasılık değeri en sade biçimde

\frac{65}{132}

olarak hesaplanır ve bu kesrin payı ile paydasının toplamı 197'ye eşit olur.

İstenen durumun olasılığı, bağımlı olaylar kuralı ve olasılık birleşim formülü (

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

) kullanılarak en sade biçimde

\frac{65}{132}

olarak hesaplanır. Buradan pay ve paydanın toplamı

65 + 132 = 197

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Olayları tanımlama ve birleşim formülünü yazma

P(K_1 \cup M_2) = P(K_1) + P(M_2) - P(K_1 \cap M_2)

Birinci bilyenin kırmızı (veya) ikinci bilyenin mavi olma olasılığı sorulduğu için iki olayın birleşim kümesi olasılık formülü uygulanmalıdır.

2

Birinci bilyenin kırmızı olma olasılığını hesaplama

P(K_1) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}

Torbadaki toplam 12 bilyeden 3 tanesi kırmızıdır.

3

İkinci bilyenin mavi olma olasılığını hesaplama

P(M_2) = \frac{1}{3}

Bilyeler geri konulmadığı için bağımlı olaylardır. İkinci bilyenin mavi olma olasılığı, birincinin mavi olması (

P(M_1 \cap M_2) = \frac{4}{12} \times \frac{3}{11}

) ve birincinin mavi olmaması (

P(M_1' \cap M_2) = \frac{8}{12} \times \frac{4}{11}

) durumlarının toplamıdır.

4

Birinci bilyenin kırmızı ve ikinci bilyenin mavi olma olasılığını hesaplama

P(K_1 \cap M_2) = \frac{1}{11}

Çekilen bilye geri konulmadığı için olaylar bağımlıdır. Birincinin kırmızı gelme olasılığı

\frac{3}{12}

iken, kalan 11 bilyeden 4'ünün mavi olma olasılığı

\frac{4}{11}

olur.

5

Birleşim olasılığını ve

a+b

toplamını hesaplama

P(K_1 \cup M_2) = \frac{65}{132}

ve

a+b = 197

Değerler formülde yerine yazıldığında

\frac{1}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{11} = \frac{65}{132}

elde edilir.

65

ve

132

aralarında asal olduğundan

a=65

,

b=132

ve

a+b=197

bulunur.

Anahtar Kavram

Bağımlı Olaylar ve Olasılık Birleşim Kuralı

Alternatif Yöntem

İstenen durumun tümleyenini (tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkararak) hesaplayabiliriz. İstenmeyen durum, birinci bilyenin kırmızı OLMAMASI ve ikinci bilyenin mavi OLMAMASI durumudur. Birinci bilyenin kırmızı olmama olasılığı

\frac{9}{12} = \frac{3}{4}

'tür. Bu durumda ilk çekilen bilye mavi ise (olasılık

\frac{4}{12}

), geriye kalan 11 bilyeden 8'i mavi değildir. İlk çekilen yeşil ise (olasılık

\frac{5}{12}

), geriye kalan 11 bilyeden 7'i mavi değildir. Bu yolla istenmeyen durumun olasılığı

\frac{4}{12} \times \frac{8}{11} + \frac{5}{12} \times \frac{7}{11} = \frac{32 + 35}{132} = \frac{67}{132}

olarak bulunur. Tüm durumdan çıkardığımızda

1 - \frac{67}{132} = \frac{65}{132}

olasılığını elde ederiz.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 624Soru →

Sürtünmeli yatay bir masa üzerinde bulunan $m_1 = 4\text{ kg}$ kütleli bir blok, masanın ucundaki sürtünmesiz ve hafif bir makara üzerinden geçen esnemeyen hafif bir iple $m_2 = 3\text{ kg}$ kütleli asılı bir bloğa bağlanmıştır. Blok ile masa yüzeyi arasındaki statik sürtünme katsayısı $\mu_s = 0,5$ , kinetik sürtünme katsayısı ise $\mu_k = 0,4$ 'tür. Sistem durgun hâlden serbest bırakıldığına göre, hareket sürecinde cisimlerin ivmesi kaç $\text{m/s}^2$ olur? (Yer çekimi ivmesini $g = 10\text{ m/s}^2$ alınız; ip ve makaranın kütlesini ihmal ediniz.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Sistemin ivmesi

2\text{ m/s}^2

olarak bulunur.

Sistem serbest bırakıldığında, asılı duran bloğun ağırlığı (

30\text{ N}

), masa üzerindeki bloğa etki eden maksimum statik sürtünme kuvvetinden (

20\text{ N}

) büyük olduğu için sistem harekete geçer. Hareket başladıktan sonra masa üzerindeki bloğa kinetik sürtünme kuvveti (

16\text{ N}

) etki eder. Sisteme uygulanan net kuvvet

30\text{ N} - 16\text{ N} = 14\text{ N}

olup, toplam

7\text{ kg}

kütleyi ivmelendirir. Buradan Newton'ın ikinci yasasına göre ivme

2\text{ m/s}^2

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

m_1

kütleli cisme etki eden maksimum statik sürtünme kuvvetini bulmak.

f_{s,\max} = 20\text{ N}

Sistemin harekete geçip geçmeyeceğini belirlemek için bu limit değer gereklidir.

2

m_2

kütleli cismin ağırlığını hesaplamak ve maksimum statik sürtünme kuvvetiyle karşılaştırmak.

G_2 = 30\text{ N}

.

30\text{ N} > 20\text{ N}

olduğundan sistem hareket eder.

Harekete geçiş koşulunu doğrulamak.

3

Hareket halindeki

m_1

cismine etki eden kinetik sürtünme kuvvetini hesaplamak.

f_k = 16\text{ N}

Hareket sırasında ivmeyi belirleyen sürtünme kuvveti kinetik sürtünmedir.

4

Net kuvvet ve toplam kütle yardımıyla Newton'ın ikinci yasasını uygulayarak ivmeyi hesaplamak.

a = 2\text{ m/s}^2

F_{\text{net}} = m_{\text{toplam}} \cdot a

formülüyle sistemin ortak ivmesini bulmak.

Anahtar Kavram

Statik ve kinetik sürtünme kuvvetleri arasındaki fark ile Newton'ın İkinci Hareket Yasası'nın sisteme uygulanması.

Soru 625Soru →

Deniz seviyesinden yüksekliği $h$ kilometre olan bir yerdeki açık hava basıncı $P(h)$ (mmHg cinsinden)

P(h) = P_0 \cdot e^{-k \cdot h}

formülüyle modellenmektedir. Burada $P_0$ deniz seviyesindeki açık hava basıncını, $k$ ise pozitif bir sabiti göstermektedir.

Deniz seviyesinde açık hava basıncı $760\text{ mmHg}$ olup deniz seviyesinden $4\text{ km}$ yükseklikteki bir dağın zirvesinde açık hava basıncı $380\text{ mmHg}$ olarak ölçülmüştür.

Buna göre, açık hava basıncının $190\text{ mmHg}$ olarak ölçüldüğü bir yüksekliğin deniz seviyesinden kaç kilometre olduğunu bulunuz.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Açık hava basıncının

190\text{ mmHg}

olduğu yükseklik deniz seviyesinden

8\text{ km}

'dir.

Verilen modelde deniz seviyesindeki basınç

P_0 = 760

olarak yerine yazılır. Ardından

P(4) = 380

bilgisiyle

e^{-4k} = \frac{1}{2}

elde edilir. Basıncın

190\text{ mmHg}

olması durumu ise

e^{-kh} = \frac{1}{4}

eşitliğini gerektirir.

\frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^2

ilişkisi kurulduğunda

e^{-kh} = e^{-8k}

elde edilir ve buradan aranan yükseklik

8\text{ km}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Başlangıç değerini formülde yerine yazarak fonksiyonu sadeleştirmek

P(h) = 760 \cdot e^{-k \cdot h}

Deniz seviyesinde (

h = 0

) açık hava basıncı

760\text{ mmHg}

olarak verildiği için

P(0) = P_0 \cdot e^0 = P_0 = 760

olur.

2

4\text{ km}

yükseklikteki basınç değerini kullanarak üstel ifadenin değerini bulmak

e^{-4k} = \frac{1}{2}

P(4) = 380

olarak verildiği için

760 \cdot e^{-4k} = 380 \implies e^{-4k} = \frac{380}{760} = \frac{1}{2}

elde edilir.

3

Basıncın

190\text{ mmHg}

olduğu durum için üstel denklemi kurmak

e^{-k \cdot h} = \frac{1}{4}

P(h) = 190

olması istendiğinden

760 \cdot e^{-k \cdot h} = 190 \implies e^{-k \cdot h} = \frac{190}{760} = \frac{1}{4}

elde edilir.

4

Elde edilen iki üstel ifadeyi ilişkilendirerek bilinmeyen yüksekliği (

h

) hesaplamak

h = 8

\frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^2

olduğundan

e^{-k \cdot h} = \left(e^{-4k}\right)^2 = e^{-8k}

yazılır. Tabanlar aynı olduğundan üslerin eşitliğinden

-k \cdot h = -8k \implies h = 8

bulunur.

Anahtar Kavram

Üstel azalış modellerinde başlangıç koşullarının kullanılması ve üs kuralları yardımıyla bilinmeyen değişkenin bulunması.

Alternatif Yöntem

Yarılanma mantığı kullanılarak da çözülebilir. Basınç her

4\text{ km}

'de bir yarıya (

760 \rightarrow 380

) inmektedir. Basıncın

190\text{ mmHg}

'ye inmesi için başlangıç değerinin iki kez yarıya inmesi gerekir (

760 \rightarrow 380 \rightarrow 190

). Bu durum iki kez

4\text{ km}

yükselmek anlamına gelir ve toplam yükseklik

4 + 4 = 8\text{ km}

olarak doğrudan bulunur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 626Soru →

Yatay ve sürtünmesiz bir düzlemde, $2\text{ kg}$ kütleli $K$ cismi $+x$ yönünde $4\text{ m/s}$ hızla, $3\text{ kg}$ kütleli $L$ cismi ise $+y$ yönünde $3\text{ m/s}$ hızla hareket etmektedir. Bu iki cisim orijinde çarpışarak kenetleniyor. Buna göre, çarpışma sırasında $K$ cisminin $L$ cismine uyguladığı itmenin büyüklüğü kaç $\text{N}\cdot\text{s}$ 'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Çarpışma sırasında K cisminin L cismine uyguladığı itmenin büyüklüğü 6 N·s'dir.

Çarpışma süresince K cisminin L cismine uyguladığı itme, L cisminin momentumundaki değişime eşittir. L'nin son momentumu ile ilk momentumu arasındaki vektörel fark alındığında

\Delta\vec{p}_L = 4.8\vec{i} - 3.6\vec{j}\text{ kg}\cdot\text{m/s}

vektörü elde edilir. Bu vektörün büyüklüğü Pisagor teoremiyle

\sqrt{4.8^2 + (-3.6)^2} = 6\text{ N}\cdot\text{s}

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Çarpışma öncesi çizgisel momentum vektörlerini hesaplama

K cisminin çizgisel momentumu

\vec{p}_{K,i} = 8\vec{i}\text{ kg}\cdot\text{m/s}

, L cisminin çizgisel momentumu

\vec{p}_{L,i} = 9\vec{j}\text{ kg}\cdot\text{m/s}

Çizgisel momentum

\vec{p} = m\vec{v}

formülüyle hesaplanan vektörel bir büyüklüktür ve çarpışma sonrası ortak hızı bulmak için başlangıç momentumları vektörel olarak ifade edilmelidir.

2

Çarpışma sonrası ortak hızı bulma

Ortak hız vektörü

\vec{v}_f = 1.6\vec{i} + 1.8\vec{j}\text{ m/s}

Sürtünmesiz yatay düzlemdeki çarpışmada dış kuvvet etki etmediğinden sistemin toplam çizgisel momentumu korunur:

\vec{P}_{ilk} = \vec{P}_{son}

.

3

L cisminin çarpışma sonrası momentumunu ve momentum değişimini bulma

L cisminin son momentumu

\vec{p}_{L,f} = 4.8\vec{i} + 5.4\vec{j}\text{ kg}\cdot\text{m/s}

, momentum değişimi

\Delta\vec{p}_L = 4.8\vec{i} - 3.6\vec{j}\text{ kg}\cdot\text{m/s}

L cismine etki eden itme, L cisminin momentumundaki değişime eşittir (

\vec{I} = \Delta\vec{p}

).

4

Momentum değişim vektörünün büyüklüğünü hesaplama

|\Delta\vec{p}_L| = 6\text{ N}\cdot\text{s}

Vektörün büyüklüğü bileşenlerin karelerinin toplamının karekökü alınarak bulunur.

Anahtar Kavram

İtme-momentum ili��kisi ve iki boyutta esnek olmayan çarpışmalarda momentum korunumu

Soru 627Soru →

Dik koordinat düzleminde, tepe noktası

T(r, k)

olan

f(x) = x^2 - 2(m+1)x + m^2 + 3m + 5

parabolünün simetri ekseni

x = 4

doğrusudur.

Buna göre, bu parabolün tepe noktasının ordinatı ( $k$ değeri) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Parabolün tepe noktas��nın ordinatı 7'dir.

Parabolün simetri ekseni x = r = -b/(2a) formülüyle bulunur. Verilen denklemde a = 1, b = -2(m+1) olduğundan r = m + 1 olur. Simetri ekseni x = 4 olarak verildiği için m + 1 = 4 eşitliğinden m = 3 bulunur. m = 3 değeri fonksiyonda yerine yazıldığında f(x) = x^2 - 8x + 23 parabolü elde edilir. Tepe noktasının ordinatı k = f(r) olduğundan, k = f(4) = 4^2 - 8(4) + 23 = 7 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Simetri ekseninden yararlanarak m parametresini bulunuz.

m = 3

Parabolün simetri ekseni x = r = -b/(2a) doğrusudur. Denklemde a = 1, b = -2(m+1) olduğundan r = m+1 olur. r = 4 verildiği için m+1 = 4 eşitliğinden m = 3 elde edilir.

2

m değerini denklemde yerine yazarak parabol fonksiyonunu oluşturunuz.

f(x) = x^2 - 8x + 23

m = 3 için f(x) = x^2 - 2(3+1)x + 3^2 + 3(3) + 5 = x^2 - 8x + 23 olur.

3

Tepe noktasının apsisini fonksiyonda yerine yazarak tepe noktasının ordinatını hesaplayınız.

k = 7

Tepe noktasının ordinatı k = f(r) = f(4) ile hesaplanır. f(4) = 4^2 - 8(4) + 23 = 16 - 32 + 23 = 7 bulunur.

Anahtar Kavram

Parabolün simetri ekseni x = r doğrusudur ve tepe noktası T(r, k) koordinatlarına sahiptir, burada k = f(r) değeri parabolün tepe noktasının ordinatıdır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 628Soru →

Bir

(a_n)

aritmetik dizisinin terimleri arasında

a_8^2 - a_4^2 = 96

a_2 + a_{10} = 12

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin 5. terimi ( $a_5$ ) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Bu aritmetik dizinin 5. terimi (

a_5

) 4 olarak bulunur.

Aritmetik dizilerin indis özellikleri kullanıldığında,

a_2 + a_{10} = 2a_6 = 12

eşitliğinden

a_6 = 6

bulunur. Ardından

a_8

ve

a_4

terimleri

a_6

ve ortak fark

r

cinsinden

a_8 = 6+2r

,

a_4 = 6-2r

olarak yazılıp kareler farkı denkleminde yerine koyulduğunda,

(6+2r)^2 - (6-2r)^2 = 96 \implies 48r = 96 \implies r = 2

elde edilir. İstenen 5. terim ise

a_5 = a_6 - r = 6 - 2 = 4

olarak doğru hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Aritmetik dizilerde indisler toplamı eşit olan terimlerin toplamlarının eşit olması özelliğini kullanarak

a_6

terimini hesaplamak.

a_2 + a_{10} = 2a_6 = 12 \implies a_6 = 6

elde edilir.

2 + 10 = 6 + 6

olduğundan indislerin ortalaması bize ortadaki terimi verir.

2

a_8

ve

a_4

terimlerini

a_6

ve ortak fark

r

türünden ifade etmek.

a_8 = a_6 + 2r = 6 + 2r

ve

a_4 = a_6 - 2r = 6 - 2r

şeklinde yazılır.

Aritmetik dizide her terim

a_n = a_k + (n-k)r

kuralı ile ba��ka bir terim cinsinden yazılabilir.

3

Elde edilen ifadeleri kareler farkı denkleminde yerine yazıp ortak fark olan

r

değerini bulmak.

a_8^2 - a_4^2 = (6+2r)^2 - (6-2r)^2 = 96 \implies 48r = 96 \implies r = 2

bulunur.

Tam kare ifadeler açılıp farkı alındığında sadeleşerek

48r

ifadesine eşit olur.

4

Bulunan

a_6

ve

r

değerlerini kullanarak istenen

a_5

terimini hesaplamak.

a_5 = a_6 - r = 6 - 2 = 4

elde edilir.

Dizinin 5. terimi, 6. teriminden bir ortak fark (

r

) eksiktir.

Anahtar Kavram

Aritmetik Dizilerde Terim Özellikleri ve İndis İlişkileri

Soru 629Soru →

Sürtünmesiz yatay düzlemde aralarında $d$ uzaklığı bulunan $m_K = 3\text{ kg}$ ve $m_L = 1\text{ kg}$ kütleli $K$ ve $L$ cisimleri, boyu $d$ olan esnemeyen hafif bir iple birbirine bağlıdır. Cisimler başlangıçta durgun ve ip doğrusal fakat gerilmesizdir. $t = 0$ anında $L$ cismine, ip doğrultusuyla $60^\circ$ lik açı yapacak şekilde ve $K$ cisminden uzaklaşacak yönde $v_0 = 8\text{ m/s}$ büyüklüğünde yatay bir hız kazandırılıyor. Buna göre, ipte oluşan ani gerilme (itme) etkisi bittiği anda $L$ cisminin hızının büyüklüğü kaç $\text{m/s}$ olur? ( $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\cos 60^\circ = 0,5$ ; ipin kütlesi önemsizdir.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

L cisminin son hızının büyüklüğü 7 m/s olur.

L cisminin ilk hızı ip doğrultusundaki 4 m/s ve ipe dik doğrultudaki 4√3 m/s bileşenlerine ayrılır. İp esnemeyen yapıda olduğundan sadece kendi doğrultusunda bir itme uygulayabilir, bu nedenle L'nin ipe dik doğrultudaki hızı değişmeden 4√3 m/s olarak kalır. İp doğrultusunda ise çizgisel momentum korunur; başlangıçtaki 1 kg kütleli L cisminin bu doğrultudaki momentumu, ip gerildikten sonra K ve L cisimlerinin ortak momentumuna eşit olur. Buradan ortak doğrusal hız 1 m/s olarak bulunur. Son olarak, L cisminin bu iki dik hız bileşeninin vektörel toplamı alınarak hızının büyüklüğü 7 m/s hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

İlk hızın bileşenlerine ayrılması

v_{0x} = 4\text{ m/s}

,

v_{0y} = 4\sqrt{3}\text{ m/s}

İpin sadece kendi doğrultusunda kuvvet uygulayabileceğini görmek için hız vektörünü ip doğrultusuna paralel ve dik bileşenlerine ayırmamız gerekir.

2

İpe dik doğrultudaki hızın korunumu

v_{Ly} = 4\sqrt{3}\text{ m/s}

İpteki gerilme kuvveti yalnızca ip doğrultusundadır; bu doğrultuya dik olan doğrultuda net dış kuvvet sıfır olduğundan L cisminin bu bileşendeki hızı değişmez.

3

İp doğrultusunda çizgisel momentumun korunumu

v_x = 1\text{ m/s}

İp gerildiğinde oluşan iç gerilme kuvveti nedeniyle sistemin ip doğrultusundaki çizgisel momentumu korunur ve iki cisim bu doğrultuda ortak bir hıza ulaşır.

4

L cisminin son hızının büyüklüğünün hesaplanması

v_L = 7\text{ m/s}

L cisminin birbirine dik olan son hız bileşenlerinin vektörel toplamı alınarak cismin net son hızının büyüklüğü bulunur.

Anahtar Kavram

İki boyutlu kısıtlı hareketlerde çizgisel momentum korunumu ve ip gerilmesinin çizgisel momentum değişimine (itme) etkisi

Soru 630Soru →

1'den büyük

x

gerçel sayısı için

\log_3 x \cdot \log_9 x \cdot \log_{27} x = \frac{9}{2}

eşitliği veriliyor.
Buna göre,

\log_{\sqrt{x}} 27

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İstenen ifadenin değeri 2'dir.

Verilen denklemin tüm çarpanları taban değiştirme kuralları yardımıyla 3 tabanına çevrildiğinde

\frac{1}{6}(\log_3 x)^3 = \frac{9}{2}

elde edilir. Buradan

(\log_3 x)^3 = 27

yani

\log_3 x = 3

bulunur. Bu durumda

x = 27

olur. Soruda istenen

\log_{\sqrt{x}} 27

ifadesi

\log_{\sqrt{27}} 27 = \log_{27^{1/2}} 27 = 2

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen denklemdeki tüm logaritma terimlerini ortak 3 tabanına dönüştürün.

\log_9 x = \frac{1}{2}\log_3 x

ve

\log_{27} x = \frac{1}{3}\log_3 x

ifadeleri elde edilir.

Tüm çarpanları aynı tabanda yazarak çarpım işlemini basitleştirmek.

2

Elde edilen 3 tabanındaki ifadeleri çarpım denkleminde yerine yazın ve sadeleştirin.

\frac{1}{6}(\log_3 x)^3 = \frac{9}{2}

denklemi elde edilir.

Logaritmaların çarpımından tek bilinmeyenli bir üslü denklem oluşturmak.

3

Denklemi çözerek

\log_3 x

ve

x

değerlerini bulun.

(\log_3 x)^3 = 27 \implies \log_3 x = 3

ve buradan

x = 27

bulunur.

İstenen ifadeyi hesaplamak için gerekli olan temel değişken değerini elde etmek.

4

Bulunan

x

değerini istenen

\log_{\sqrt{x}} 27

ifadesinde yerine yazarak hesaplayın.

\log_{\sqrt{27}} 27 = 2

bulunur.

Logaritmanın taban üssü özelliğini kullanarak nihai cevaba ulaşmak.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Taban Değiştirme ve Kuvvet Özellikleri

Soru 631Soru →

Ortak çarpanı $2$ olan bir geometrik dizinin ilk $6$ teriminin toplamı, ilk $3$ teriminin toplamından $112$ fazladır. Buna göre, bu dizinin ikinci terimi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Dizinin ikinci terimi 4'tür.

Geometrik dizinin ilk

n

teriminin toplamı

S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}

formülüyle hesaplanır. Dizinin ortak çarpanı

r = 2

olduğundan, ilk 6 teriminin toplamı

S_6 = a_1 \cdot (2^6 - 1) = 63a_1

ve ilk 3 teriminin toplamı

S_3 = a_1 \cdot (2^3 - 1) = 7a_1

olur. İki toplam arasındaki fark

S_6 - S_3 = 56a_1 = 112

olarak verildiğinden ilk terim

a_1 = 2

bulunur. Buradan ikinci terim

a_2 = a_1 \cdot r = 2 \cdot 2 = 4

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Geometrik dizinin ilk

n

terim toplamı formülünü tanımlama

S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}

İlk 6 ve ilk 3 terim toplamların�� ilk terim ve ortak çarpan cinsinden ifade etmek için genel formül kurulur.

2

Ortak çarpan

r=2

değerini kullanarak

S_6

ve

S_3

toplamlarını

a_1

cinsinden hesaplama

S_6 = 63a_1

ve

S_3 = 7a_1

Verilen toplamları tek bir bilinmeyen olan

a_1

parametresine indirgemek amacıyla

r = 2

değeri formülde yerine yazılır.

3

Verilen fark ilişkisini kullanarak ilk terim olan

a_1

değerini bulma

56a_1 = 112 \implies a_1 = 2

Dizinin diğer terimlerini hesaplayabilmek için öncelikle birinci terim (

a_1

) bulunur.

4

Dizinin ikinci terimi olan

a_2

değerini hesaplama

a_2 = 2 \cdot 2 = 4

Geometrik dizinin tanımı gereği ikinci terim, ilk terimin ortak çarpan ile çarpılmasıyla elde edilir.

Anahtar Kavram

Geometrik dizide ilk

n

terim toplamı formülünün uygulanması ve terimler arası geçiş

Soru 632Soru →

Dik koordinat düzleminde, tepe noktas��

T

olan

f(x) = x^2 - 4x + m

parabolü veriliyor.

$T$ noktasının orijine olan uzaklığı $2\sqrt{5}$ birim olduğuna göre, $m$ gerçel sayısının alabileceği pozitif değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

m gerçel say��sının alabileceği pozitif değer 8'dir.

Parabolün tepe noktasının apsisi

r = 2

ve ordinatı

k = m - 4

'tür.

T(2, m-4)

noktasının orijine olan uzaklığı

2\sqrt{5}

birim olduğundan

2^2 + (m-4)^2 = (2\sqrt{5})^2 \implies 4 + (m-4)^2 = 20 \implies (m-4)^2 = 16

olur. Buradan

m

pozitif değeri için

m-4 = 4 \implies m = 8

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Tepe noktasının apsisinin (r) bulunması

r = 2

Tepe noktasının apsisi

r = -\frac{b}{2a}

formülü kullanılarak bulunur.

2

Tepe noktasının ordinatının (k) m cinsinden bulunması

k = m - 4

Apsis değeri parabol denkleminde yerine yazılarak ordinat hesaplanır.

3

Tepe noktasının orijine olan uzaklığının formüle edilmesi

\sqrt{4 + (m-4)^2} = 2\sqrt{5}

İki nokta arasındaki uzaklık formülü uygulanarak verilen uzaklık değerine eşitlenir.

4

Denklemin çözülmesi ve pozitif m değerinin belirlenmesi

m = 8

(m-4)^2 = 16

eşitliğinden gelen

m=8

ve

m=0

köklerinden pozitif olanı seçilir.

Anahtar Kavram

Parabolün tepe noktası koordinatları ve analitik düzlemde iki nokta arasındaki uzaklık formülü

Alternatif Yöntem

Parabolün denklemi tam kareye tamamlama yöntemi kullanılarak

f(x) = (x-2)^2 + m - 4

biçiminde yazılabilir. Bu gösterimden tepe noktasının koordinatları doğrudan

T(2, m-4)

olarak okunur. Sonrasında orijine olan uzaklık bağıntısı yazılarak sonuca ulaşılır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 633Soru →

Bir $(a_n)$ aritmetik dizisinin terimleri arasında

a_4 + a_{10} + a_{16} = 36

a_7 + a_9 = a_5 + 14

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin 20. terimi olan $a_{20}$ değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

Dizinin 20. terimi olan a_{20} değeri 32'dir.

Aritmetik dizinin indis özellikleri kullanılarak önce

a_{10} = 12

bulunur, ardından ortak fark

r = 2

olarak elde edilir ve

a_{20} = a_{10} + 10r

formülüyle

32

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Dizinin indis özelliklerini kullanarak a_{10} terimini bulma

a_{10} = 12

Aritmetik dizilerde indis toplamları eşit olan terimlerin toplamı birbirine eşittir.

4 + 16 = 2 \cdot 10

olduğundan

a_4 + a_{16} = 2a_{10}

yazılabilir. Denklemde yerine yazıldığında

3a_{10} = 36 \implies a_{10} = 12

bulunur.

2

Dizinin terimlerini ortak fark (r) cinsinden ifade edip r değerini bulma

r = 2

a_5 = a_{10} - 5r = 12 - 5r

,

a_7 = a_{10} - 3r = 12 - 3r

ve

a_9 = a_{10} - r = 12 - r

eşitlikleri

a_7 + a_9 = a_5 + 14

denklemine yazılır. Buradan

24 - 4r = 26 - 5r \implies r = 2

elde edilir.

3

a_{20} terimini hesaplama

a_{20} = 32

a_{20} = a_{10} + 10r

bağıntısı kullanılarak

a_{20} = 12 + 10 \cdot 2 = 32

bulunur.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde indis özellikleri ve genel terim bağıntısı

Soru 634Soru →

İnsan kulağının duyarlı olduğu en düşük ses şiddeti (referans ses şiddeti)

I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2

olarak kabul edilir. Bir ses kaynağının ses şiddeti

I

(

\text{W/m}^2

cinsinden) olmak üzere, bu kaynağın oluşturduğu ses düzeyi

L

(desibel, dB cinsinden)

L = 10 \cdot \log\left(\frac{I}{I_0}\right)

formülü ile hesaplanır.

Bir iş yerinde çalışan bir makinenin tek başına çalışırken çıkardığı sesin şiddeti $I_1$ $\text{W/m}^2$ olup bu makinenin oluşturduğu ses düzeyi $75\text{ dB}$ olarak ölçülmüştür. Bu iş yerine aynı makineden 3 tane daha getirilerek toplamda 4 özdeş makine aynı anda çalıştırılmaya başlanmıştır.

Buna göre, 4 makine aynı anda çalıştırıldığında iş yerindeki toplam ses düzeyi kaç desibel (dB) olur?
(Logaritma tabanını 10 olarak alınız ve $\log 2 \approx 0.3$ kabul ediniz.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 81

Cevap

Yeni ses düzeyi 81 dB olarak bulunur.

Tek bir makinenin ses şiddeti

I_1

iken ses düzeyi

75\text{ dB}

'dir. 4 makine aynı anda çalıştığında toplam ses şiddeti

4I_1

olur. Logaritmanın toplama özelliğini kullanarak ses düzeyi formülünü açtığımızda, yeni ses düzeyi

L_2 = 10 \log 4 + 10 \log(I_1/I_0) = 20 \log 2 + 75

halini alır. Verilen

\log 2 \approx 0.3

değeri yerine yazıldığında toplam ses düzeyi

81\text{ dB}

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Tek bir makinenin ses düzeyini veren formülden yararlanarak

\log(I_1 / I_0)

değerini belirlemek.

10 \cdot \log(I_1 / I_0) = 75

olduğu için

\log(I_1 / I_0) = 7.5

olarak bulunur.

4 makinenin toplam ses şiddeti hesaplanırken bu değeri kullanmak gerekmektedir.

2

4 özdeş makinenin toplam ses şiddeti

4I_1

olacağından, yeni ses düzeyi formülünü yazmak.

L_2 = 10 \cdot \log(4I_1 / I_0)

elde edilir.

Toplam ses şiddetinin 4 katına çıkması nedeniyle yeni toplam ses düzeyini hesaplamak gerekmektedir.

3

Logaritma özelliklerini kullanarak ifadeyi açmak ve verilen

\log 2 \approx 0.3

değerini yerine koymak.

L_2 = 10 \cdot \log 4 + 10 \cdot \log(I_1 / I_0) = 20 \cdot \log 2 + 75 = 20 \cdot (0.3) + 75 = 81\text{ dB}

bulunur.

Matematiksel işlemleri tamamlayarak nihai ses düzeyine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun gerçek hayat uygulamalarındaki modellenmesi ve logaritma özelliklerinin kullanılması.

Soru 635Soru →

Sürtünmesiz yatay düzlemde durmakta olan $3\text{ kg}$ kütleli bir tahta bloğa, $0,1\text{ kg}$ kütleli bir mermi yatay doğrultuda fırlatılıyor. Mermi bloğun içinden geçip bloğu terk ettiğinde hızı $100\text{ m/s}$ oluyor. Blok ise çarpışmadan hemen sonra girdiği sürtünmeli bölgede $6\text{ m}$ yol alarak duruyor. Blok ile zemin arasındaki sürtünme katsayısı $0,3$ olduğuna göre, merminin bloğa çarpmadan hemen önceki hızı kaç $\text{m/s}$ 'dir? (Yer çekimi ivmesini $g = 10\text{ m/s}^2$ alınız.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 280

Cevap

Merminin bloğa çarpmadan hemen önceki hızı

280\text{ m/s}

'dir.

Çarpışma anında çizgisel momentum korunduğu için ilk momentum son momentuma eşitlenir. Bloğun çarpışmadan hemen sonraki hızı ise sürtünmeli yüzeyde yaptığı hareketin kinetiğinden (iş-enerji teoremi veya ivmeli hareket denklemleri yardımıyla)

6\text{ m/s}

olarak hesaplanır. Momentumun korunumu denkleminden merminin ilk hızı

280\text{ m/s}

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Bloğun sürtünmeli bölgedeki ivmesini hesaplama

a = 3\text{ m/s}^2

Sürtünmeli yüzeyde bloğa etki eden net kuvvet sürtünme kuvvetidir (

F_s = \mu_k M g

). Newton'ın ikinci hareket yasasından yavaşlama ivmesi

a = \frac{F_s}{M} = \mu_k g

olarak bulunur.

2

Çarpışma sonrasında bloğun ilk hızını hesaplama

v_{\text{blok}} = 6\text{ m/s}

Blok sabit ivmeli yavaşlayan hareket yaparak

d = 6\text{ m}

yol sonunda durduğuna göre, zamansız hız formülü (

v_f^2 = v_i^2 - 2ad

) kullanılarak çarpışmadan hemen sonraki hızı bulunur.

3

Çizgisel momentumun korunumunu uygulayarak merminin ilk hızını bulma

v_0 = 280\text{ m/s}

Çarpışma sürecinde dış kuvvetlerin etkisi ihmal edilebilir düzeyde olduğundan çizgisel momentum korunur. Merminin ilk momentumu, merminin son momentumu ile bloğun çarpışma sonrası momentumunun vektörel toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Çizgisel Momentumun Korunumu ve Sürtünmeli Yüzeyde Hareket

Soru 636Soru →

Bir madeni para ardı ardına havaya atılmaktadır. Bu atış işlemi, üst üste iki kez aynı sonuç (yazı-yazı veya tura-tura) elde edildiğinde sonlandırılmaktadır.

Buna göre, bu işlemin en fazla 5 atış sonunda sonlanmış olma olasılığı en sade biçimde $\frac{a}{b}$ rasyonel sayısı olarak yazıldığında $a + b$ toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 31

Cevap

İşlemin en fazla 5 atış sonunda sonlanmış olma olasılığı 15/16 olduğundan, pay ve paydanın toplamı 31'dir.

Tüm olası 5'li atış serilerinden (32 adet), oyunun 5. atışta henüz sonlanmadığı ardışık alternasyon durumları olan Y-T-Y-T-Y ve T-Y-T-Y-T (2 adet) çıkarıldığında, geriye kalan 30 durumda oyun en geç 5. atışta veya daha öncesinde sonlanmış olur. Bu olasılık 30/32 = 15/16'dır. En sade haliyle pay ve payda toplamı 15 + 16 = 31 olur.

Adım Adım Çözüm

1

5 madeni para atışında oluşabilecek tüm olası durumların sayısını hesaplamak

2^5 = 32

farklı durum

Her bir atış için 2 olası sonuç (Yazı veya Tura) bulunduğundan, 5 bağımsız atışın toplam durum sayısı çarpım kuralı ile bulunur.

2

İşlemin 5 atı�� sonunda sonlanmadığı (yani oyunun devam ettiği) durumları belirlemek

{Y-T-Y-T-Y, T-Y-T-Y-T} olmak üzere 2 durum

Oyunun 5 atış sonunda sonlanmaması için hiçbir ardışık iki atışın aynı sonucu vermemesi, yani sonuçların sürekli dalgalanması gerekir.

3

İşlemin en fazla 5 atışta sonlanma olasılığını tüm durumlardan sonlanmama durumunu çıkararak hesaplamak

1 - \frac{2}{32} = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}

İstenen olayın olasılığı, tüm durumların olasılığından (1) istenmeyen olayın (sonlanmama) olasılığının çıkarılmasıyla pratik bir şekilde bulunur.

4

En sade kesir biçimindeki

a

ve

b

değerlerini bulup toplamak

a = 15

,

b = 16

ve

a + b = 31

\frac{15}{16}

kesri sadeleştirilemediğinden

a=15

ve

b=16

alınır.

Anahtar Kavram

Bir olayın tümleyeninin olasılığını kullanarak basit olayların olasılığını hesaplama.

Soru 637Soru →

Hava direncinin ihmal edildiği düşey kesiti verilen ortamda, yerdeki $K$ noktasından bir cisim yerle $53^\circ$ lik açı yapacak şekilde $v_1 = 25\text{ m/s}$ büyüklüğündeki ilk hızla eğik olarak fırlatılıyor. Aynı anda, $K$ noktasından yatay doğrultuda $d$ uzaklığında ve $h$ yüksekli��inde bulunan $L$ noktasından başka bir cisim $v_2 = 10\text{ m/s}$ büyüklüğündeki yatay hızla $K$ cismine doğru fırlatılıyor. Cisimler havada, $K$ cisminin yörüngesinin tepe noktasında çarpıştığına göre, $L$ cisminin fırlatıldığı yükseklik ( $h$ ) kaç metredir?

(Yer çekimi ivmesini $g = 10\text{ m/s}^2$ alınız; $\sin 53^\circ = 0{}8$ , $\cos 53^\circ = 0{}6$ )

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

L cisminin fırlatıldığı yükseklik 40 metredir.

K cisminin düşey hız bileşeni

20\text{ m/s}

olup, yerçekimi ivmesi

10\text{ m/s}^2

olduğundan maksimum yüksekliğe

2\text{ s}

'de ulaşır. Bu esnada düşeyde

20\text{ m}

yükselir. L cismi yatay doğrultuda fırlatıldığı için düşeyde serbest düşme hareketi yapar ve

2\text{ s}

'de

20\text{ m}

aşağı düşer. Cisimlerin havada çarpışabilmeleri için düşey konumlarının eşit olması gerektiğinden, L cisminin başlangıç yüksekliği bu iki mesafenin toplamı olan

40\text{ m}

olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

K cisminin ilk hızının yatay ve düşey bileşenleri bulunur.

v_{1x} = 25 \times \cos 53^\circ = 15\text{ m/s}

ve

v_{1y} = 25 \times \sin 53^\circ = 20\text{ m/s}

İki boyutta hareketi yatay ve düşey doğrultularda ayrı ayrı incelemek için hız bileşenlerini belirlememiz gerekir.

2

K cisminin yörüngesinin tepe noktasına ulaşma süresi hesaplanır.

t = \frac{v_{1y}}{g} = \frac{20}{10} = 2\text{ s}

Cisimler havada K'nin maksimum yüksekliğe ulaştığı anda çarpıştığı için çarpışma anı bu süreye eşittir.

3

Cisimlerin düşey doğrultudaki hareket denklemleri yazılarak çarpışma yüksekliği ve L'nin başlangıç yüksekliği (

h

) bulunur.

K cisminin tepe noktasındaki yüksekliği:

y_K = v_{1y} t - \frac{1}{2}gt^2 = 20(2) - 5(2)^2 = 20\text{ m}

. L cismi yatay atıldığı için düşeyde serbest düşme yapar.

2\text{ s}

süresince düşeyde aldığı yol:

h_{düşüş} = \frac{1}{2}gt^2 = 5(2)^2 = 20\text{ m}

. Dolayısıyla L cisminin başlangıç yüksekliği:

h = y_K + h_{düşüş} = 20 + 20 = 40\text{ m}

olur.

Her iki cismin çarpışma anında aynı konumda olması gerektiğinden düşey konumları eşitlenerek başlangıç yüksekliği hesaplanır.

Anahtar Kavram

İki boyutta sabit ivmeli hareket yapan cisimlerin bağıl hareketi ve düşey doğrultudaki serbest düşme ile eğik atış hareketlerinin birleşimi.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 638Soru →

Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan bir geometrik dizide ilk $n$ terim toplamı $S_n$ ile gösterilmektedir.

S_8 = 17 \cdot S_4

olduğuna ve bu dizinin üçüncü terimi $12$ olduğuna göre, dizinin ilk terimi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Dizinin ilk terimi 3'tür.

Verilen geometrik dizi toplam formülünden elde edilen

r^8 - 1 = 17(r^4 - 1)

denkleminden ortak çarpan

r = 2

bulunur. Üçüncü terim

a_3 = a_1 \cdot r^2 = 12

olduğundan

a_1 \cdot 4 = 12 \implies a_1 = 3

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

İlk

n

terim toplamı formülünü

S_8

ve

S_4

için yazmak

S_8 = a_1 \cdot \frac{r^8 - 1}{r - 1}

ve

S_4 = a_1 \cdot \frac{r^4 - 1}{r - 1}

Verilen

S_8 = 17 \cdot S_4

eşitliğinde ortak çarpan

r

değerini bulabilmek için genel toplam formülünden yararlanılır.

2

S_8 = 17 \cdot S_4

eşitliğini çözerek ortak çarpan

r

'yi bulmak

a_1 \cdot \frac{r^8 - 1}{r - 1} = 17 \cdot a_1 \cdot \frac{r^4 - 1}{r - 1} \implies r^8 - 1 = 17(r^4 - 1) \implies (r^4 - 1)(r^4 + 1) = 17(r^4 - 1)

.

r \neq 1

ve terimler pozitif olduğundan,

r^4 + 1 = 17 \implies r^4 = 16 \implies r = 2

elde edilir.

Ortak çarpan

r

belirlenerek dizinin terimleri arasındaki geçiş sağlanır.

3

Dizinin üçüncü terimi

a_3 = 12

bilgisini kullanarak ilk terim olan

a_1

'i bulmak

a_3 = a_1 \cdot r^2 \implies 12 = a_1 \cdot 2^2 \implies 12 = 4a_1 \implies a_1 = 3

Üçüncü terim ile ilk terim arasındaki

a_3 = a_1 \cdot r^2

ilişkisi kullanılarak ilk terim hesaplanır.

Anahtar Kavram

Geometrik dizinin ilk

n

teriminin toplam formülü

S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}

şeklinde tanımlanır. Bu formül kullanılarak farklı terim toplamları oranlanıp ortak çarpan

r

elde edilebilir.

Soru 639Soru →

1'den farklı

a

,

b

ve

c

pozitif gerçel sayıları için,

\log_a b = 4

\log_c b = 6

olduğuna göre,

\log_{a^2 \cdot c} (b^2)

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

İfadenin değeri 3'tür.

Verilen ifadeler taban değiştirme kuralı kullanılarak ortak bir taban olan

b

tabanında yazıldığında

\log_b a = 1/4

ve

\log_b c = 1/6

elde edilir. İstenen ifade de aynı tabana dönüştürülüp sadeleştirildiğinde değerinin 3 olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen logaritma ifadelerini taban değiştirme özelliğini kullanarak

b

tabanına dönüştürün.

\log_b a = \frac{1}{4}

ve

\log_b c = \frac{1}{6}

elde edilir.

İstenen ifadenin tabanındaki

a

ve

c

değişkenlerini ortak olan

b

tabanında yazarak tek bir tabanda işlem yapabilmek için.

2

İstenen

\log_{a^2 \cdot c} (b^2)

ifadesine taban değiştirme kuralını uygulayarak ifadeyi

b

tabanında yazın.

\log_{a^2 \cdot c} (b^2) = \frac{\log_b (b^2)}{\log_b (a^2 \cdot c)}

elde edilir.

Tüm terimleri aynı tabanda birleştirip sadeleştirebilmek için.

3

Pay ve paydadaki ifadeleri logaritmanın çarpım ve üs özelliklerini kullanarak düzenleyin.

Pay kısmı

\log_b (b^2) = 2

olur. Payda kısmı ise

\log_b (a^2 \cdot c) = \log_b (a^2) + \log_b c = 2\log_b a + \log_b c

şeklinde yazılır.

Çarpımın logaritması logaritmaların toplamına eşittir ve logaritması alınan sayının üssü başa katsayı olarak çarpan olarak geçer.

4

Birinci adımda elde edilen

\log_b a

ve

\log_b c

değerlerini yerlerine koyarak rasyonel işlemleri gerçekleştirin.

\frac{2}{2 \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{6}} = \frac{2}{\frac{1}{2} + \frac{1}{6}} = \frac{2}{\frac{2}{3}} = 3

bulunur.

İfadenin en sade sayısal değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Logaritma taban değiştirme kuralı (

\log_x y = \frac{1}{\log_y x}

ve

\log_x y = \frac{\log_z y}{\log_z x}

) ile çarpım ve üs özelliklerinin uygulanması.

Soru 640Soru →

Bir afiş tasarımında, afişin ortasındaki dikdörtgen biçimindeki baskı alanının $50 \text{ cm}^2$ olması planlanmaktadır. Afişin üst ve alt kısmında dörder $\text{cm}$ , sağ ve sol yanlarında ise ikişer $\text{cm}$ boşluk bırakılacaktır. Baskı alanı da dikdörtgen şeklinde olduğuna göre, bu afişin toplam alanının en küçük değeri kaç $\text{cm}^2$ dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 162

Cevap

Afişin toplam alanının alabileceği en küçük değer

162 \text{ cm}^2

dir.

Baskı alanının boyutları

x

ve

y

olup çarpımları 50'dir. Kenar boşlukları eklendiğinde afişin boyutları

x+4

ve

y+8

olur. Toplam alan fonksiyonu

A(x) = 8x + \frac{200}{x} + 82

şeklindedir. Bu fonksiyonun türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde

x = 5

elde edilir.

x = 5

değeri fonksiyona yazıldığında en küçük alan

162 \text{ cm}^2

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Baskı alanının kenar uzunluklarını değişkenler cinsinden ifade etme ve aralarındaki ilişkiyi yazma

Baskı alanı dikdörtgen şeklinde olup kenarları

x

ve

y

ise,

x \cdot y = 50 \implies y = \frac{50}{x}

olur.

Toplam alan fonksiyonunu tek bir değişkene bağlı olarak yazabilmek için kenarlar arasındaki ilişkiyi kurmamız gerekir.

2

Afişin toplam boyutlarını belirleme ve toplam alan fonksiyonunu oluşturma

Genişlik

x + 4

, yükseklik

y + 8

olup toplam alan

A(x) = (x + 4)\left(\frac{50}{x} + 8\right) = 8x + \frac{200}{x} + 82

olarak elde edilir.

Tasarım gereği kenarlarda bırakılan boşlukları baskı alanının boyutlarına ekleyerek afişin toplam alan formülünü oluşturmalıyız.

3

Alan fonksiyonunun türevini alıp kritik noktayı bulma

A'(x) = 8 - \frac{200}{x^2} = 0 \implies x^2 = 25 \implies x = 5

bulunur.

Bir fonksiyonun yerel minimum değerini bulmak için türevinin köklerini (kritik noktaları) incelememiz gerekir.

4

Bulunan kritik değer için minimum alanı hesaplama

A(5) = 8(5) + \frac{200}{5} + 82 = 162 \text{ cm}^2

elde edilir.

Elde edilen kritik nokta olan

x = 5

değeri alan fonksiyonunda yerine yazılarak minimum alan değeri bulunur.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum değerlerin bulunması ve optimizasyon problemlerinin çözümü

Alternatif Yöntem

Aritmetik-Geometrik Ortalama (AGO) eşitsizliği kullanılarak da çözülebilir.

8x > 0

ve

\frac{200}{x} > 0

olduğundan,

8x + \frac{200}{x} \geq 2\sqrt{8x \cdot \frac{200}{x}} = 2\sqrt{1600} = 80

olur. Buradan toplam alan en az

80 + 82 = 162 \text{ cm}^2

olarak bulunur.

Tahmini Süre:2m 0s

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar