Examkin

Tüm alıştırma soruları

6755 soru

Tüm türler6,755Çoktan seçmeli4,123Çoklu seçim2Doğru / Yanlış394Sayısal689Eşleştirme1,052Sıralama324Boşluk doldurma130Kısa cevap41
Soru 2681Soru →
Birer gerçel sayı olan aa ve bb için
(−a)2⋅(−b)3≥0(-a)^2 \cdot (-b)^3 \geq 0
eşitsizliği sağlandığına göre, bb sayısının pozitif bir sayı olamayacağı iddiası her zaman doğru mudur?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen iddia her zaman doğru değildir (yanlıştır), çünkü a=0a = 0 durumunda bb sayısı pozitif bir değer alabilir.
İddia yanlıştır. Eşitsizliği sağlayan aa ve bb gerçel sayıları için a=0a=0 seçildiğinde, (−a)2=0(-a)^2 = 0 olur ve çarpımın sonucu bb'nin tüm değerleri için sıfıra eşit olur. Bu durumda bb sayısı pozitif bir değer (örneğin b=1b=1) alabilmektedir. Dolayısıyla, bb sayısının pozitif olamayacağı iddiası her zaman doğru değildir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitsizlikteki ifadelerin işaret durumlarını incelemek için parantezli üslü ifadelerin özelliklerini belirlemek.
(−a)2(-a)^2 ifadesi her aa gerçel sayısı için sıfırdan büyük veya sıfıra eşittir ((−a)2≥0(-a)^2 \geq 0). Benzer şekilde (−b)3(-b)^3 ifadesi, −b-b sayısının işareti ile aynı işarete sahiptir.
Çarpımın sonucunun sıfırdan büyük veya eşit olması durumunu analiz edebilmek için çarpanların alabileceği değer aralıklarını bilmemiz gerekir.
2
a=0a = 0 olma durumunu (sıfırın nötr olma özelliğini) kontrol etmek.
Eğer a=0a = 0 ise (−a)2=(−0)2=0(-a)^2 = (-0)^2 = 0 olur. Bu durumda (−a)2⋅(−b)3=0⋅(−b)3=0≥0(-a)^2 \cdot (-b)^3 = 0 \cdot (-b)^3 = 0 \geq 0 eşitsizliği, bb sayısının değeri ne olursa olsun her zaman sağlanır.
Sıfır sayısı işaretsiz (nötr) bir sayıdır ve çarpma işleminde yutan elemandır; bu özel durumun eşitsizliğin çözüm kümesini nasıl etkilediğini görmemiz gerekir.
3
bb sayısının pozitif bir değer alıp alamayacağını bir karşı örnekle test etmek.
a=0a = 0 ve b=1b = 1 (pozitif bir sayı) seçildiğinde, (−0)2⋅(−1)3=0⋅(−1)=0≥0(-0)^2 \cdot (-1)^3 = 0 \cdot (-1) = 0 \geq 0 eşitsizliği doğru olur. Dolayısıyla bb sayısı pozitif bir sayı olabilir.
İddianın doğruluğunu çürütmek için eşitsizliği sağlayan en az bir pozitif bb değerinin var olduğunu göstermek yeterlidir.

Anahtar Kavram

Pozitif ve negatif sayılarda sıfırın nötr (işaretsiz) olma durumu ve çift kuvvetlerin sıfıra eşit olabilme özelliği.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2682Soru →

İki basamaklı ABAB doğal sayısı, rakamları toplamının 44 katına eşittir. Buna göre, bu koşulu sağlayan en büyük ABAB sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4848

Cevap

48
İki basamaklı ABAB sayısı çözümlenip verilen eşitlikte yerine yazıldığında 2A=B2A = B bağıntısı elde edilir. AA ve BB birer rakam ve A≠0A \neq 0 olduğundan, bu koşulu sağlayan en büyük sayı A=4A = 4 ve B=8B = 8 değerleri ile elde edilen 4848 sayısıdır.

Adım Adım Çözüm

1
İki basamaklı ABAB doğal sayısını çözümleyelim.
AB=10A+BAB = 10A + B
Basamak analizi kurallarına göre onlar basamağındaki rakam 1010 ile, birler basamağındaki rakam ise 11 ile çarpılarak çözümlenir.
2
Soruda verilen eşitliği kuralım ve düzenleyelim.
10A+B=4(A+B)⇒10A+B=4A+4B⇒6A=3B⇒2A=B10A + B = 4(A + B) \Rightarrow 10A + B = 4A + 4B \Rightarrow 6A = 3B \Rightarrow 2A = B
ABAB sayısının rakamları toplamının 44 katına eşit olduğu belirtilmiştir. Bu denklemde benzer terimler bir araya getirilerek sadeleştirme yapılır.
3
2A=B2A = B koşulunu sağlayan AA ve BB rakamlarını belirleyelim.
AA ve BB birer rakam olmak üzere, AA sıfırdan farklı olmalıdır. Bu durumda yazabileceğimiz (A,B)(A, B) ikilileri:
- A=1A = 1 için B=2⇒AB=12B = 2 \Rightarrow AB = 12
- A=2A = 2 için B=4⇒AB=24B = 4 \Rightarrow AB = 24
- A=3A = 3 için B=6⇒AB=36B = 6 \Rightarrow AB = 36
- A=4A = 4 için B=8⇒AB=48B = 8 \Rightarrow AB = 48
ABAB iki basamaklı sayı olduğundan onlar basamağındaki AA rakamı sıfır olamaz. Ayrıca BB bir rakam olduğundan en fazla 99 değerini alabilir, dolayısıyla AA en fazla 44 olabilir.
4
Elde edilen sayılar arasından en büyük olanı seçelim.
En büyük ABAB sayısı 4848 olarak bulunur.
Koşulu sağlayan sayılar 12,24,36,4812, 24, 36, 48 olup, bunlar arasından en büyüğü 4848'dir.

Anahtar Kavram

İki basamaklı sayıların basamak çözümlemesi ve rakam kısıtlamaları.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 2683Soru →

İslam ahlakında iffet; nefsin yeme, içme, maddi kazanç ve bedensel hazlar gibi dünyevi arzular karşısında ölçülü olması, haram ve şüpheli şeylerden kaçınarak şahsiyetini ve onurunu korumasıdır. Bu yönüyle iffet, sadece belirli bir alanla sınırlı olmayıp hayatın geneline yayılan geniş kapsamlı bir otokontrol mekanizmasıdır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi İslam ahlakındaki 'iffet' erdemine uygun bir davranış olarak değerlendirilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Maddi sıkıntı yaşayan bir kişinin, borçlarını ödeyebilmek amacıyla gayrimeşru kazanç yollarına yönelmeyip şerefiyle çalışmaya devam etmesi

Cevap

Maddi sıkıntı yaşayan bir kişinin, borçlarını ödeyebilmek amacıyla gayrimeşru kazanç yollarına yönelmeyip şerefiyle çalışmaya devam etmesi
İffet erdemi, nefsin maddi kazanç, yeme-içme ve bedensel hazlar karşısında kendini sınırlaması, haramlardan kaçınarak onurunu korumasıdır. Maddi olarak zor durumda olmasına rağmen haksız ve gayrimeşru kazanç yollarına tevessül etmeyip şerefiyle çalışmaya devam eden kişinin tutumu, iffet erdeminin doğrudan bir yansıması ve hayattaki karşılığıdır.

Adım Adım Çözüm

1
İffet kavramının İslam ahlakındaki tanımı ve sınırları incelenir.
İffetin sadece namus kavramıyla sınırlı olmadığı; yeme-içme, maddi kazanç ve bedensel hazlarda ölçülülük ve onuru koruma anlamına geldiği belirlenir.
Soruda geçen ahlaki kavramın kapsamını doğru belirlemek için bu adım gereklidir.
2
Seçeneklerde yer alan davranışlar analiz edilerek hangi erdemlerle ilişkili olduğu tespit edilir.
Yöneticinin liyakati esas alması 'adalet'; haksızlığa karşı durmak 'şecaat'; toplumsal sorunlara çözüm üretmek 'hikmet'; kibirlenmemek 'tevazu'; gayrimeşru kazançtan kaçınmak ise 'iffet' erdemiyle ilişkilendirilir.
Seçeneklerin kavramsal analizini yaparak yanlış erdem eşleştirmelerini elemek için bu analiz yapılmalıdır.
3
Parçada verilen iffet tanımıyla doğrudan uyuşan davranışı barındıran seçenek belirlenir.
Maddi sıkıntıya rağmen gayrimeşru kazanca sapmayıp onuruyla çalışan kişinin davranışı iffet erdeminin doğrudan bir yansımasıdır.
Tanımla birebir örtüşen ahlaki davranışı bularak doğru sonuca ulaşmak hedeflenir.

Anahtar Kavram

Ahlaki Erdemler (İffet)
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2684Soru →

Her biri birer tam sayı olan aa, bb ve cc değişkenleri için,
* a⋅(b+c)a \cdot (b + c) ifadesinin bir tek sayıya,
* (a+c)⋅b(a + c) \cdot b ifadesinin bir çift sayıya
eşit olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a⋅(b+1)+ca \cdot (b + 1) + c

Cevap

a * (b + 1) + c
Belirlenen teklik-çiftlik durumlarına göre aa tek, bb çift ve cc tek sayıdır. Çarpma ve toplama işlemlerinden oluşan a⋅(b+1)+ca \cdot (b + 1) + c ifadesinde b+1b+1 tek, a⋅(b+1)a \cdot (b+1) tek ve tek bir sayıya tek olan cc eklendiğinde sonuç her zaman çift tam sayı olur. Bölme veya değişken üssü barındırmadığı için her zaman tam sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk verilen ifadenin çarpanlarını analiz edelim.
aa tek sayı ve (b+c)(b + c) tek sayı olmalıdır.
İki tam sayının çarpımı tek sayı ise bu çarpanların her ikisi de tek sayı olmak zorundadır. a⋅(b+c)a \cdot (b + c) tek olduğundan aa tektir ve b+cb+c toplamı da tektir.
2
bb ve cc değişkenlerinin teklik-çiftlik durumunu belirlemek için ikinci ifadeyi inceleyelim.
bb çift sayı ve cc tek sayı olmalıdır.
b+cb + c toplamı tek sayı olduğuna göre bb ve cc sayılarından biri tek, diğeri çifttir. E��er bb tek sayı olsaydı, cc çift sayı olurdu. Bu durumda a+ca+c toplamı tek + çift = tek olurdu ve (a+c)⋅b(a+c) \cdot b ifadesi tek ⋅\cdot tek = tek çıkardı. Ancak bu ifadenin çift olduğu bilinmektedir. Çelişkiyi önlemek için bb çift, cc tek sayı olmak zorundadır.
3
Elde edilen verileri kullanarak seçenekleri değerlendirelim.
a⋅(b+1)+ca \cdot (b + 1) + c ifadesinin her zaman çift sayı olduğu görülür.
bb çift sayı olduğundan b+1b + 1 tek sayıdır. aa tek sayı olduğundan a⋅(b+1)a \cdot (b + 1) çarpımı tek ⋅\cdot tek = tek olur. Bu tek sayıya tek olan cc sayısı eklendiğinde tek + tek = çift tam sayı elde edilir.

Anahtar Kavram

Tek ve çift tam sayılarda temel toplama ve çarpma kuralları ile üslü ifadelerde tam sayı/negatiflik koşulları.
Soru 2685Soru →

Bir dağcılık kulübü, deniz seviyesinden yükseklikleri metre cinsinden birer tam sayı olan üç farklı kamp noktası belirlemiştir. Bu kamp noktalarının yükseklikleri olan aa, bb ve cc değerleri ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* aa ve bb noktalarının yükseklikleri negatif tam sayılardır.
* cc noktasının yüksekliği pozitif bir tam sayıdır.
* Kamp noktalarının yükseklikleri arasında a<b<ca < b < c sıralaması vardır.
* Bu üç yüksekliğin çarpımı a⋅b⋅c=72a \cdot b \cdot c = 72 dir.

Buna göre, bu üç kamp noktasının yükseklikleri toplamı olan a+b+ca + b + c ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 33

Cevap

Kamp noktalarının yükseklikleri toplamının alabileceği en büyük değer 33 metredir.
Verilen koşullarda toplamı en büyük yapmak için pozitif olan cc sayısı olabildiğince büyük seçilmelidir. c=36c = 36 seçildiğinde, çarpımları 2 olan ve a<b<0a < b < 0 koşulunu sağlayan negatif tam sayılar a=−2a = -2 ve b=−1b = -1 olarak bulunur. Bu durumda toplam −2+(−1)+36=33-2 + (-1) + 36 = 33 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Sayı kümelerini ve işaretlerini tanımlama
a,b∈Z−a, b \in \mathbb{Z}^- ve c∈Z+c \in \mathbb{Z}^+ ve a<b<ca < b < c
Soruda verilen negatif tam sayı ve pozitif tam sayı tanımlarını matematiksel sembollerle ifade etmek için.
2
Çarpım denklemini analiz etme
a⋅b⋅c=72a \cdot b \cdot c = 72 ve a⋅b>0a \cdot b > 0
İki negatif tam sayının çarpımının pozitif olduğunu belirleyerek cc sayısının çarpanlarını sınırlandırmak için.
3
cc için en büyük değeri arama ve a,ba, b değerlerini belirleme
c=36c = 36 iken a⋅b=2a \cdot b = 2 olur, buradan a=−2a = -2 ve b=−1b = -1 bulunur.
Toplamı maksimize etmek için pozitif olan cc terimini en büyük seçip, a<b<0a < b < 0 eşitsizliğine uyan farklı negatif tam sayıları bulmak için.
4
En büyük toplam değerini hesaplama
a+b+c=−2+(−1)+36=33a + b + c = -2 + (-1) + 36 = 33
Elde edilen en büyük değerler ile toplam sonucuna ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Tam sayılar kümesinde pozitiflik, negatiflik, sıralama ve çarpan analizi
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2686Soru →
aa, bb ve cc gerçel sayıları için a4⋅b3⋅c≤0a^4 \cdot b^3 \cdot c \leq 0 a3⋅b2>0a^3 \cdot b^2 > 0 eşitsizlikleri sağlandığına göre, cc sayısı işaretsiz (nötr) bir sayı olamaz.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen önerme yanlıştır. Eşitsizlik sisteminde eşitlik durumu da geçerli olduğu için c sayısı 0 (işaretsiz/nötr) değerini alabilir.
Verilen önerme yanlıştır çünkü a3⋅b2>0a^3 \cdot b^2 > 0 eşitsizliği a>0a > 0 ve b≠0b \neq 0 olmasını gerektirirken, a4⋅b3⋅c≤0a^4 \cdot b^3 \cdot c \leq 0 eşitsizliği b3⋅c≤0b^3 \cdot c \leq 0 olmasını gerektirir. Burada eşitlik durumu sağlandığı için c=0c = 0 seçilebilir. Sıfır sayısı işaretsiz (nötr) bir sayı olduğundan, cc sayısı işaretsiz bir sayı olabilir.

Adım Adım Çözüm

1
a3⋅b2>0a^3 \cdot b^2 > 0 eşitsizliği analiz edilir.
a>0a > 0 ve b≠0b \neq 0 olduğu belirlenir.
Çift kuvvetli olan b2b^2 ifadesi sıfırdan farklı her gerçel sayı için pozitiftir. Çarpımın pozitif olabilmesi için hem b2>0b^2 > 0 (yani b≠0b \neq 0) hem de a3>0a^3 > 0 olmalıdır. Buradan a>0a > 0 sonucuna ulaşılır.
2
a4⋅b3⋅c≤0a^4 \cdot b^3 \cdot c \leq 0 eşitsizliği sadeleştirilir.
b3⋅c≤0b^3 \cdot c \leq 0 eşitsizliği elde edilir.
a>0a > 0 olduğu için çift kuvveti olan a4a^4 da daima pozitiftir. Pozitif bir çarpan eşitsizliğin yönünü veya sıfıra göre durumunu etkilemeyeceği için eşitsizlik sadeleştirilebilir.
3
cc sayısının sıfır (nötr) olma durumu test edilir.
c=0c = 0 değerinin sistemi sağladığı görülür.
b3⋅c≤0b^3 \cdot c \leq 0 eşitsizliğinde c=0c = 0 yazılırsa b3⋅0=0≤0b^3 \cdot 0 = 0 \leq 0 ifadesi elde edilir ve bu ifade her b≠0b \neq 0 gerçel sayısı için doğrudur. Sıfır sayısı işaretsiz (nötr) bir sayı olduğu için cc sayısı işaretsiz olabilir.

Anahtar Kavram

Gerçel sayıların kuvvetlerinin işaret durumları ve sıfır sayısının işaretsiz (nötr) olma özelliği.
Soru 2687Soru →

Sıfırdan farklı aa, bb ve cc tam sayıları için,
- a(b+c)a(b + c) çarpımının bir çift sayı,
- a+b⋅ca + b \cdot c toplamının bir tek sayı
olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir tek sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a⋅(b+1)+ca \cdot (b + 1) + c

Cevap

a⋅(b+1)+ca \cdot (b + 1) + c ifadesi her zaman bir tek sayıdır.
a⋅(b+1)+ca \cdot (b + 1) + c ifadesi, aa, bb ve cc tam sayılarının alabileceği her iki olası parite durumunda da tek sayı sonucunu vermektedir. Dört işlem sonucu tam sayı olduğundan tanımsızlık veya rasyonellik sorunu yaşanmaz.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen iki koşulu analiz etmek için durumları belirleme.
a(b+c)a(b + c) çift ve a+b⋅ca + b \cdot c tek sayı olmalıdır.
Değişkenlerin teklik ve çiftlik durumların�� inceleyerek tutarlı senaryoları bulmak.
2
aa sayısının tek olduğu durumu inceleme.
aa tek ise, a(b+c)a(b + c) çift olduğundan b+cb + c çift olmalıdır. Yani bb ve cc aynı paritede olmalıdır. Eğer bb ve cc tek olursa, b⋅cb \cdot c tek olur ve a+b⋅ca + b \cdot c toplamı tek + tek = çift olur; bu durum ikinci koşulla çelişir. Dolayısıyla, bb ve cc çift olmalıdır. Bu durumda aa tek, bb çift, cc çift olur ve koşullar sağlanır.
Birinci olasılığın tutarlılığını test etmek.
3
aa sayısının çift olduğu durumu inceleme.
aa çift ise, a(b+c)a(b + c) her zaman çifttir. a+b⋅ca + b \cdot c toplamının tek olması için b⋅cb \cdot c çarpımı tek olmalıdır. Bu durumda hem bb hem de cc tek sayı olmak zorundadır. Bu durumda aa çift, bb tek, cc tek olur ve tüm koşullar sağlanır.
İkinci olasılığın tutarlılığını test etmek.
4
Elde edilen iki durumu seçeneklerdeki ifadeler üzerinde deneme.
Durum 1: aa tek, bb çift, cc çift. Durum 2: aa çift, bb tek, cc tek. Her iki durumda da a⋅(b+1)+ca \cdot (b + 1) + c ifadesinin sonucunu kontrol ederiz. Durum 1 için: tek ⋅\cdot (çift + 1) + çift = tek ⋅\cdot tek + çift = tek + çift = tek. Durum 2 için: çift ⋅\cdot (tek + 1) + tek = çift ⋅\cdot çift + tek = çift + tek = tek.
Her zaman tek sayı olan ifadeyi doğrulamak.

Anahtar Kavram

Tek ve çift sayıların özellikleri ile tam sayı kuvvetlerinde negatif üs durumu.
Soru 2688Soru →

Karesi kendisinden küçük olan bir xx gerçel sayısı veriliyor.

Buna göre, xx sayısı aşağıdaki sayı kümelerinden hangisinin kesinlikle bir elemanı olamaz?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Tam sayılar kümesi

Cevap

Tam sayılar kümesi
Karesi kendisinden küçük olan sayılar 0<x<10 < x < 1 aralığındadır. Bu açık aralıkta hiçbir tam sayı bulunmadığından, xx sayısı tam sayılar kümesinin bir elemanı olamaz.

Adım Adım Çözüm

1
Karesi kendisinden küçük olan gerçel sayıların aralığı belirlenir.
x2<xx^2 < x eşitsizliğinin çözüm kümesi 0<x<10 < x < 1 açık aralığıdır.
Bir gerçel sayının karesinin kendisinden küçük olması, o sayının 0 ile 1 arasında olduğunu gösterir.
2
Elde edilen aralığın tam sayılar kümesiyle olan ilişkisi incelenir.
0 ile 1 açık aralığında hiçbir tam sayı bulunmaz.
Ardışık iki tam sayı (0 ve 1) arasında başka bir tam sayı yer alamaz. Dolayısıyla bu aralıktaki bir sayı tam sayı olamaz.

Anahtar Kavram

Sayı Kümeleri ve Aralık İlişkisi
Tahmini Süre:45s
Soru 2689Soru →

Üç basamaklı A2BA2B doğal sayısı, iki basamaklı ABAB doğal sayısından 200200 fazladır. Buna göre, A+BA + B toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

A + B toplamının alabileceği en büyük değer 11'dir.
Verilen sayıların basamak çözümlenmesi yapıldığında A2B−AB=90A+20A2B - AB = 90A + 20 ifadesi elde edilir. Bu ifade 200200 değerine eşitlendiğinde A=2A = 2 olarak bulunur. Toplamın en büyük olması için serbest kalan BB rakamı 99 seçilir ve doğru sonuca 2+9=112 + 9 = 11 olarak ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Sayıları basamak değerlerine göre çözümleme
A2B=100A+20+BA2B = 100A + 20 + B ve AB=10A+BAB = 10A + B
Sayılar arasındaki büyüklük ilişkisini cebirsel denkleme dönüştürmek amacıyla çözümleme yöntemi kullanılır.
2
Fark denklemini kurma ve sadeleştirme
90A+20=200⇒A=290A + 20 = 200 \Rightarrow A = 2
İki sayının farkının 200 olduğu bilgisi kullanılarak denklemin her iki tarafındaki birler basamağı olan B rakamları sadeleştirilir ve A değeri elde edilir.
3
A + B toplamının alabileceği en büyük değeri belirleme
A+B=2+9=11A + B = 2 + 9 = 11
A değeri 2 olarak sabitlendiğinden, toplamı en büyük yapmak amacıyla B rakamı seçilebilecek en büyük rakam olan 9 olarak belirlenir.

Anahtar Kavram

Basamak analizi yardımıyla çok basamaklı sayıları çözümleme ve sadeleşen basamaklar yardımıyla bilinmeyenleri sınırlandırma.
Soru 2690Soru →
x=(−5)2x = (-5)^2
y=−52y = -5^2
ve zz sayısı negatif olmayan en küçük tam sayıdır.

Buna göre, x−y+zx - y + z işleminin sonucu kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 50

Cevap

Verilen işlemin sonucu 50'dir.
Verilen ifadeler incelendiğinde, negatif bir sayının parantezli karesi pozitif olduğundan x=25x = 25, parantezsiz kare işleminde işaret etkilenmediğinden y=−25y = -25 ve nötr olan sıfır sayısı negatif olmadığından z=0z = 0 olur. Bu değerlerle yapılan x−y+zx - y + z işlemi 25−(−25)+0=5025 - (-25) + 0 = 50 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
xx sayısının değerini hesaplama
x=25x = 25
Negatif bir sayının çift kuvveti parantez dışındaysa tabandaki eksi işaretini de etkiler ve sonuç pozitif olur: (−5)2=(−5)⋅(−5)=25(-5)^2 = (-5) \cdot (-5) = 25.
2
yy sayısının değerini hesaplama
y=−25y = -25
Parantez bulunmayan durumlarda üs alma işlemi sadece sayıya aittir, sayının önündeki işarete etki etmez: −52=−(52)=−25-5^2 = -(5^2) = -25.
3
zz sayısının değerini belirleme
z=0z = 0
Sıfır sayısı nötr (işaretsiz) bir sayıdır. Dolayısıyla negatif olmayan tam sayılar kümesi 0'dan başlar: {0,1,2,3,… }\{0, 1, 2, 3, \dots\}. Bu kümenin en küçük elemanı da 0'dır.
4
x−y+zx - y + z ifadesinin değerini bulma
50
Elde edilen değerler ifadede yerine yazıldığında 25−(−25)+0=25+25+0=5025 - (-25) + 0 = 25 + 25 + 0 = 50 elde edilir.

Anahtar Kavram

Pozitif ve negatif sayıların kuvvetleri alınırken parantez kullanımının önemi ile sıfırın nötr (işaretsiz) olma özelliği.
Tahmini Süre:50s
Soru 2691Soru →

Aşağıda sol sütunda verilen İslam ahlakına ait erdemleri, sağ sütundaki günlük hayata dair örnek senaryolarla en uygun şekilde eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

Haya
Gıybetten Kaçınma
Emanet
Adalet

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Haya erdemi Ahmet'in tek başınayken edep sınırlarını korumasıyla; gıybetten kaçınma Zeynep'in arkadaşının arkasından konuşulmasını engellemesiyle; emanet Elif'in komşusunun b��raktığı eşyaları korumasıyla; adalet ise Selim Bey'in yardımları yakınlarına öncelik vermeden hak sahiplerine ulaştırmasıyla eşleşir.
Verilen ahlaki erdemler ile örnek olaylar incelendiğinde; yalnızken ahlaka aykırı davranmaktan çekinmek haya ile, gıyabında konuşulan arkadaşının hakkını korumak gıybetten kaçınma ile, emanet alınan anahtar ve çiçekleri korumak emanet erdemiyle, yardımları akrabalık gözetmeden hakkaniyete göre dağıtmak ise adalet ilkesiyle birebir ve tutarlı biçimde eşleşmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Ahmet'in yalnızken bile ahlaki değerlere bağlı kalıp edebe aykırı davranışlardan sakınma durumunu değerlendirmek.
Bu durum, kişinin ahlak dışı durumlardan çekinmesini sağlayan içsel bir utanma duygusu olan haya kavramı ile örtüşür.
Haya, hem Allah'a hem de insanlara karşı duyulan edep ve çekinme hissini ifade eder.
2
Zeynep'in ortamda bulunmayan bir arkadaşının arkasından konuşulmasına izin vermemesi durumunu incelemek.
Bu tutum, bir kimsenin arkas��ndan hoşlanmayacağı şeyleri konuşmaktan uzak durmayı ifade eden gıybetten kaçınma erdemi ile eşleşir.
Gıybetten kaçınmak, bireylerin gıyabında onurlarını zedeleyecek konuşmalar yapmamayı ve bu tür durumlara müdahale etmeyi gerektirir.
3
Elif'in komşusu tarafından kendisine teslim edilen anahtar ve çiçekleri özenle koruması durumunu analiz etmek.
Bu davranış, güvenilirlik ve korumaya bırakılan değerleri muhafaza etme anlamına gelen emanet kavramı ile ilişkilendirilir.
Emanet, korumak üzere teslim alınan maddi veya manevi bir şeyi zayi etmeden sahibine geri verme bilincidir.
4
Selim Bey'in akrabalık ilişkilerini bir kenara bırakıp ihtiyaç derecesine göre yardım dağıtması durumunu değerlendirmek.
Bu durum, her hak sahibine hakkını vermeyi ve tarafsız davranmayı ifade eden adalet kavramı ile örtüşür.
Adalet, kararlarda ve paylaşımlarda objektifliği, hakkaniyeti ve dengeyi korumayı hedefler.

Anahtar Kavram

İslam ahlakındaki olumlu tutum ve erdemlerin günlük hayat senaryoları üzerinden kavranması ve analizi.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2692Soru →
aa, bb ve cc birer tam sayı olmak üzere,
(a+b)⋅cb(a + b) \cdot c^b
ifadesinin bir tek tam sayıya eşit olduğu bilinmektedir.

Buna göre;
I. (a+1)⋅(b+c)(a + 1) \cdot (b + c)
II. a⋅b⋅(c+1)a \cdot b \cdot (c + 1)
III. a+b⋅ca + b \cdot c

ifadelerinden hangileri her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız I

Cevap

Yalnız I
Verilen (a+b)⋅cb(a+b) \cdot c^b ifadesinin tek tam sayı olması koşulunda, bb sayısının negatif tam sayı veya sıfır olabileceği unutulmamalıdır. Tüm olası durumlar analiz edildiğinde, (a+1)⋅(b+c)(a+1) \cdot (b+c) ifadesinin her durumda çift sayı sonuç verdiği görülür. Bu nedenle yalnızca birinci öncül her zaman çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen (a+b)⋅cb(a+b)\cdot c^b ifadesinin tek tam sayı olma koşullarını analiz etmek.
cbc^b ve a+ba+b çarpanlarının tek tam sayı olması gerektiği belirlenir ancak bb tam sayısının negatif ve sıfır değerleri dikkate alınır.
bb sayısının işareti ve değeri, taban cc ve üs bb arasındaki teklik-çiftlik ilişkisini doğrudan etkiler.
2
bb tam sayısının pozitif, sıfır ve negatif olma durumlarını ayrı ayrı incelemek.
1) b>0b > 0 ise cc tek, aa ve bb farklı tekliğe/çiftliğe sahiptir.
2) b=0b = 0 ise c0=1c^0 = 1 olup aa tek, bb çift (sıfır), cc ise herhangi bir tam sayıdır.
3) b<0b < 0 ise (b=−k,k>0b = -k, k > 0) ifadesi (a−k)/ck(a-k)/c^k şeklinde bir tek sayı belirtir. Eğer cc çift ise a−ka-k çift olmalıdır, yani aa ve bb aynı tekliğe/çiftliğe sahiptir. Eğer cc tek ise aa ve bb farklı tekliğe/çiftliğe sahiptir.
Değişkenlerin işaret ve değer sınırı belirtilmediği için tüm olası tam sayı senaryolarının belirlenmesi gerekir.
3
Birinci öncülü ((a+1)⋅(b+c)(a+1) \cdot (b+c)) her senaryo için değerlendirmek.
Tüm senaryolar analiz edildiğinde; cc tek ise aa ile bb farklı paritede olduğundan b+cb+c veya a+1a+1 ifadelerinden en az biri kesinlikle çifttir. cc çift ise, b=0b=0 durumunda aa tek olduğundan a+1a+1 çifttir; b<0b < 0 durumunda ise aa ve bb aynı paritede olacağından aa ve bb çift ise b+cb+c çift, aa ve bb tek ise a+1a+1 çifttir. Dolayısıyla bu ifade her zaman çift sayıdır.
Çarpım durumundaki bir ifadenin her durumda çift sayı sonuç verdiğini doğrulamak.
4
İkinci ve üçüncü öncüller için aksi örnekler (tek sayı çıkaran durumlar) bulmak.
a=7a = 7, b=−1b = -1 ve c=2c = 2 tam sayıları için (7−1)⋅2−1=3(7-1) \cdot 2^{-1} = 3 (tek sayı) sağlanır. Bu değerler için ikinci öncül 7⋅(−1)⋅3=−217 \cdot (-1) \cdot 3 = -21 (tek sayı) olur. a=3a = 3, b=0b = 0 ve c=2c = 2 tam sayıları için (3+0)⋅20=3(3+0) \cdot 2^0 = 3 (tek sayı) sağlanır. Bu değerler için üçüncü öncül 3+0⋅2=33 + 0 \cdot 2 = 3 (tek sayı) olur.
Diğer öncüllerin her zaman çift sayı olmadığını karşıt örneklerle kanıtlamak.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda tek ve çift sayı özellikleri ile negatif ve sıfır üs durumlarının incelenmesi
Soru 2693Soru →

Aşağıda verilen kimyasal tepkime denklemleri en küçük tam sayılarla denkleştirildiğinde, tepkimelerin en küçük tam sayılarla denkleştirilmiş hâllerindeki tüm maddelerin kat sayıları toplamı bakımından küçükten büyüğe doğru sıralanışı nasıl olmalıdır?

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

En küçük tam sayılarla denkleştirilen tepkimelerin kat sayıları toplamı sırasıyla 4, 5 ve 6 olduğundan, küçükten büyüğe doğru doğru sıralama I, II, III şeklinde olmalıdır.
Tepkimeler en küçük tam sayılarla denkleştirildiğinde kat sayıları toplamı sırasıyla 4, 5 ve 6 olur. Bu değerlerin küçükten büyüğe sıralanışı I, II, III biçimindedir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci tepkimeyi denkleştirme ve kat sayıları toplamını bulma
H2(g)+Cl2(g)→2HCl(g)\text{H}_2(g) + \text{Cl}_2(g) \rightarrow 2\text{HCl}(g) kat sayıları toplamı: 1+1+2=41 + 1 + 2 = 4
Tepkimenin her iki tarafındaki hidrojen ve klor atom sayılarını eşitlemek için ürünlerdeki hidrojen klorür bileşiğinin kat sayısı 2 yapılır.
2
İkinci tepkimeyi denkleştirme ve kat sayıları toplamını bulma
2H2(g)+O2(g)→2H2O(g)2\text{H}_2(g) + \text{O}_2(g) \rightarrow 2\text{H}_2\text{O}(g) kat sayıları toplamı: 2+1+2=52 + 1 + 2 = 5
Ürünlerdeki oksijen atom sayısını eşitlemek için suyun kat sayısı 2 yapılır, ardından girenlerdeki hidrojen atom sayısını eşitlemek için hidrojen gazının kat sayısı 2 yapılır.
3
Üçüncü tepkimeyi denkleştirme ve kat sayıları toplamını bulma
N2(g)+3H2(g)→2NH3(g)\text{N}_2(g) + 3\text{H}_2(g) \rightarrow 2\text{NH}_3(g) kat sayıları toplamı: 1+3+2=61 + 3 + 2 = 6
Girenlerdeki azot atom sayısını eşitlemek için ürünlerdeki amonyağın kat sayısı 2 yapılır, ardından girenlerdeki hidrojen atom sayısını eşitlemek için hidrojen gazının kat sayısı 3 yapılır.
4
Kat sayıları toplamlarını karşılaştırarak sıralama yapma
4<5<64 < 5 < 6 olduğundan küçükten büyüğe sıralama I, II, III şeklindedir.
Tepkimelerin denkleştirilmiş hâllerindeki kat sayıları toplamı sayısal değerlerine göre küçükten büyüğe doğru dizilmiştir.

Anahtar Kavram

Kimyasal tepkimeler denkleştirilirken atom sayısı ve türü korunur; en küçük tam sayılar kullanılarak kat sayılar belirlenir.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 2694Soru →

Ahlak felsefesinde ahlaki eylemin niteliğini, koşullarını ve amacını belirlemek amacıyla çeşitli temel kavramlar kullanılır. Bu kavramların doğru anlaşılması, ahlak felsefesinin diğer problemlerinin çözümü için de temel teşkil eder. Buna göre, solda yer alan ahlaki durum tanımlarını sağda verilen ilgili ahlak felsefesi kavramlarıyla doğru şekilde eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

Bireyin dışsal bir zorlama olmaksızın, kendi özgür seçimiyle gerçekleştirdiği ahlaki eylemlerin sonuçlarını üstlenmesi ve hesabını verebilmesi yükümlülüğü.
Bireyin kendi ahlaki tutum ve davranışlarını değerlendirdiği, kendisine yönelik bir iç mahkeme kurarak ahlaki onay veya rahatsızlık hissettiği içsel bilinç.
Ahlaki açıdan yapılması istenen, yapıldığında toplumsal ve bireysel açıdan değer taşıyan, insanın yapması gereken olumlu eylemlerin genel adı.
Bireyin kararlarını kendi iradesiyle alabilmesi, eylemlerini dışarıdan bir dayatma veya engel olmadan belirleyebilme gücü.

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

İlk tanım sorumluluk kavramıyla, ikinci tanım vicdan kavramıyla, üçüncü tanım iyi kavramıyla ve dördüncü tanım özgürlük kavramıyla eşleşmelidir.
Yapılan eşleştirmede; eylemlerin sonuçlarını üstlenme yükümlülüğü sorumluluk kavramıyla, ahlaki iç mahkeme ve bilinç vicdan kavramıyla, yapılması istenen olumlu eylemler iyi kavramıyla ve kararları dış etki olmadan verebilme gücü özgürlük kavramıyla doğru şekilde eşleştirilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk tanımda geçen 'eylemlerin sonuçlarını üstlenme' ve 'hesap verebilme yükümlülüğü' ifadelerini analiz etmek.
Bu ifadelerin ahlaki eylemin sorumluluk boyutuyla ilgili olduğu belirlenir.
Sorumluluk, özgürce yapılan eylemin sonuçlarına katlanma durumudur.
2
İkinci tanımda yer alan 'iç mahkeme' ve 'ahlaki onay veya rahatsızlık' ifadelerini değerlendirmek.
Bu özelliklerin bireyin kendi kendisini ahlaken yargılaması anlamına gelen vicdan kavramına ait olduğu sonucuna ulaşılır.
Vicdan, bireyin eylemlerini denetleyen iç ses ve ahlaki bilinçtir.
3
Üçüncü tanımda belirtilen 'yapılması istenen', 'değer taşıyan' ve 'olumlu eylemlerin genel adı' nitelemelerini incelemek.
Bu tanımın ahlaken arzulanan olumlu eylemleri temsil eden iyi kavramına karşılık geldiği görülür.
İyi, ahlaki eylemin yapılması gereken, olumlu değer atfedilen yönüdür.
4
Dördüncü tanımda geçen 'kararlarını kendi iradesiyle alabilmesi' ve 'dışarıdan dayatma olmadan belirleyebilme gücü' kısımlarını incelemek.
Bu ifadelerin ahlaki seçim yapabilme yeteneği olan özgürlük kavramını tanımladığı saptanır.
Özgürlük, bireyin ahlaki eylemde bulunurken kendi kararlarını kendisinin vermesidir.

Anahtar Kavram

Ahlak felsefesinin temel kavramları (özgürlük, sorumluluk, vicdan, iyi) arasındaki anlamsal farkların ayırt edilmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2695Soru →

Aşağıda üç farklı sayı kümesi tanımlanmıştır:

* AA: Pozitif olmayan tam sayılar kümesi
* BB: Pozitif olmayan rasyonel sayılar kümesi
* CC: İrrasyonel sayılar kümesi

Bu kümelerden sırasıyla aa, bb ve cc elemanları seçiliyor.

Buna göre;

I. a⋅ba \cdot b çarpımı her zaman pozitif bir rasyonel sayıdır.

II. b⋅cb \cdot c çarpımı sıfır olabilir.

III. a+ca + c toplamı her zaman bir irrasyonel sayıdır.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: II ve III

Cevap

İkinci ve üçüncü öncüllerin doğru, birinci öncülün ise yanlış olduğu seçenektir.
Doğru olan seçenekte II ve III numaralı öncüller yer almaktadır. Çünkü pozitif olmayan rasyonel sayılar kümesinde bulunan 0 elemanı, bir irrasyonel sayı ile çarpıldığında sonucu 0 (rasyonel sayı) yapar, bu da çarpımın sıfır olabileceğini doğrular. Ayrıca, her tam sayı aynı zamanda rasyonel olduğundan, rasyonel bir sayı ile irrasyonel bir sayının toplamı daima irrasyoneldir. Birinci öncül ise elemanlardan birinin 0 seçilmesi durumunda çarpımı 0 yapacağından ve 0 pozitif olmadığından her zaman doğru değildir.

Adım Adım Çözüm

1
Kümelerin eleman yapılarını analiz etmek ve sınır koşullarını belirlemek.
AA kümesi {0,−1,−2,… }\{0, -1, -2, \dots\} tam sayılarından; BB kümesi negatif rasyonel sayılar ile 00 sayısından oluşur. CC kümesi ise 2,π\sqrt{2}, \pi gibi irrasyonel sayılardan oluşur.
Soruda verilen öncülleri test etmek için kümelerin hangi sayıları barındırdığını netleştirmeliyiz.
2
Birinci öncülü test etmek.
a⋅ba \cdot b ifadesinde a=0∈Aa = 0 \in A veya b=0∈Bb = 0 \in B seçilirse çarpım 00 olur. Sıfır sayısı pozitif olmadığı için öncül her zaman doğru değildir.
Çarpımın daima pozitif rasyonel sayı olup olmadığını belirlemek için nötr eleman olan sıfırın etkisini inceleriz.
3
İkinci öncülü test etmek.
b=0∈Bb = 0 \in B seçilirse, irrasyonel herhangi bir c∈Cc \in C sayısı için b⋅c=0⋅c=0b \cdot c = 0 \cdot c = 0 olur. Sıfır bir rasyonel sayıdır ve çarpım sıfır olabilir. Öncül doğrudur.
Rasyonel sayı kümesindeki sıfır elemanının irrasyonel sayıyla çarpımının sonucunu değerlendirmek.
4
Üçüncü öncülü test etmek.
aa tam sayısı bir rasyonel sayıdır (A⊂Z⊂QA \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}). Rasyonel bir sayı ile irrasyonel bir sayının toplamı her zaman irrasyoneldir. Öncül doğrudur.
Rasyonel ve irrasyonel sayı kümelerinin toplama işlemine göre kapalılık/ilişki özelliklerini kullanmak.

Anahtar Kavram

Sayı kümelerinin özellikleri, rasyonel ve irrasyonel sayılarda toplama ve çarpma işlemleri ile sıfırın nötr karakteri.
Soru 2696Soru →

Müslüman, hayatını yalnızca kurallara uymaktan ibaret görmez; aynı zamanda her an Yaratıcı’nın gözetiminde olduğunun bilincindedir. Bu farkındalık onu, hem ibadetlerini içtenlikle yerine getirmeye hem de insanlarla ilişkilerinde ve iş hayatında en iyiyi, en güzeli ortaya koymaya yönlendirir. O, yaptığı işin kalitesini artırırken aynı zamanda bunu yalnızca Yaratıcı'nın hoşnutluğunu kazanmak amacıyla yapar.

Buna göre, parçada sözü edilen; kulun her an ilahi gözetim altında olduğunu hissederek işini en güzel şekilde yapması ve ibadetlerini yalnızca Allah’ın rızasını hedefleyerek samimiyetle gerçekleştirmesi durumları sırasıyla aşağıdaki kavram çiftlerinden hangisiyle adlandırılır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: İhsan - İhlas

Cevap

İhsan ve İhlas
Parçada belirtilen ilk durum olan 'kulun her an ilahi gözetim altında olduğunu hissederek işini en güzel şekilde yapması', 'ihsan' kavramıyla doğrudan ilgilidir. İkinci durum olan 'ibadetlerini yalnızca Allah’ın rızasını hedefleyerek samimiyetle gerçekleştirmesi' ise 'ihlas' kavramını ifade eder. Dolayısıyla sırasıyla doğru eşleştirme 'İhsan - İhlas' şeklinde olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Parçada geçen birinci durumu analiz etme
Birinci durum: 'kulun her an ilahi gözetim altında olduğunu hissederek işini en güzel şekilde yapması'. Bu tanım, İslam literatüründe 'ihsan' kavramına karşılık gelir.
Cibril hadisinde de belirtildiği üzere ihsan, Allah'ı görüyormuş gibi ibadet etmek ve O'nun her an bizi gördüğü bilinciyle hareket ederek işimizi en güzel şekilde yapmaktır.
2
Parçada geçen ikinci durumu analiz etme
İkinci durum: 'ibadetlerini yalnızca Allah’ın rızasını hedefleyerek samimiyetle gerçekleştirmesi'. Bu tanım, İslam literatüründe 'ihlas' kavramına karşılık gelir.
İhlas, ibadet ve ahlaki eylemlerde samimiyeti, yalnızca Allah rızasını hedeflemeyi ve riyadan (gösterişten) uzak durmayı ifade eder.
3
Kavramları eşleştirme ve doğru seçeneği belirleme
İlk durum ihsan, ikinci durum ihlas olduğu için sırasıyla 'İhsan - İhlas' ikilisi doğru cevaptır.
Sıralamaya uygun olan seçeneğin belirlenmesi gerekmektedir.

Anahtar Kavram

İhsan ve İhlas Kavramları
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2697Soru →
aa, bb ve cc gerçel sayıları için
a3⋅b4>0a^3 \cdot b^4 > 0
a+b<0a + b < 0
b5⋅c≥0b^5 \cdot c \geq 0
eşitsizlikleri sağlandığına göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle pozitif bir gerçel sayıdır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a−ba - b

Cevap

a−ba - b ifadesi kesinlikle pozitif bir gerçel sayıdır.
a−ba - b ifadesinde aa pozitif ve bb negatif bir sayı olduğundan, −b-b pozitif olur. İki pozitif sayının toplamı her zaman pozitif olduğundan, bu ifade kesinlikle pozitif bir gerçel sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
aa ve bb sayılarının özelliklerini belirleme
a>0a > 0 ve b≠0b \neq 0
a3⋅b4>0a^3 \cdot b^4 > 0 eşitsizliğinde b4b^4 çift kuvvet olduğundan b≠0b \neq 0 için her zaman pozitiftir. Çarpımın pozitif olması için a3>0a^3 > 0 olmalıdır, bu da a>0a > 0 anlamına gelir.
2
bb sayısının işaretini belirleme
b<0b < 0
a+b<0a + b < 0 eşitsizliğinde a>0a > 0 olduğu için toplamın negatif olabilmesi ancak bb sayısının negatif olması (b<0b < 0) ve mutlak değerce aa'dan büyük olmasıyla mümkündür.
3
cc sayısının işaret aralığını belirleme
c≤0c \leq 0
b<0b < 0 olduğundan tek kuvveti olan b5<0b^5 < 0 olur. b5⋅c≥0b^5 \cdot c \geq 0 eşitsizliğinde her iki taraf negatif olan b5b^5 sayısına bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir ve c≤0c \leq 0 elde edilir. Burada cc sayısı sıfır da olabilir.
4
Seçenekleri analiz etme
a−b>0a - b > 0
a>0a > 0 ve b<0b < 0 olduğu bilindiğine göre, −b>0-b > 0 olur. Dolayısıyla a−b=a+(−b)a - b = a + (-b) ifadesi iki pozitif sayının toplamı olup kesinlikle pozitiftir.

Anahtar Kavram

Pozitif ve negatif sayıların çarpma, bölme ve toplama işlemleri altındaki işaret değişimleri ile sıfır sayısının nötr karakteri.
Soru 2698Soru →

Bir laboratuvardaki hassas termometre, bir deney kabının sıcaklığını günün üç farklı saatinde sırasıyla aa, bb ve cc °C olarak ölçmüştür.

Sıcaklık değerleriyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
* aa bir negatif tam sayıdır (a∈Z−a \in \mathbb{Z}^-).
* bb bir rasyonel sayı olup tam sayı değildir (b∈Q∖Zb \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}).
* cc bir pozitif tam sayıdır (c∈Z+c \in \mathbb{Z}^+).

Bu sıcaklık değerleri arasında
a⋅b=6a \cdot b = 6
b+c=55b + c = 5{}5

bağıntıları olduğuna göre, a+ca + c toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

Sıcaklık değerlerinin toplamı olan -3
Doğru yanıt olan -3 değeri, denklem sistemini sağlayan tüm koşulların (a∈Z−a \in \mathbb{Z}^-, b∈Q∖Zb \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z} ve c∈Z+c \in \mathbb{Z}^+) doğru analiz edilmesiyle elde edilir. Bu koşullara uygun olarak bb sayısının ondalık kısmı 050{}5 olmak zorundadır. a⋅b=6a \cdot b = 6 eşitliği kullanıldığında aa negatif tam sayısının alabileceği değerler −12-12 ve −4-4 olarak bulunur. Bu değerlere karşılık gelen cc değerleri sırasıyla 66 ve 77 olup, a+ca+c toplamları −6-6 ve 33 bulunur. Bu değerlerin toplamı −3-3'tür.

Adım Adım Çözüm

1
b sayısının biçimini belirleme
b+c=55b + c = 5{}5 ve c∈Z+c \in \mathbb{Z}^+ olduğundan b=55−cb = 5{}5 - c olur. cc bir tam sayı olduğundan bb rasyonel sayısının ondalık kısmı mutlaka 050{}5 olmalıdır. Yani b=p2b = \frac{p}{2} formundadır (burada pp tek bir tam sayıdır).
cc tam sayı olduğu için bb sayısı yarı-tam (ondalık kısmı 0,5 olan) bir sayı olmak zorundadır.
2
a ve b bağıntısını kullanarak olası değerleri bulma
a⋅b=6  ⟹  a⋅p2=6  ⟹  a⋅p=12a \cdot b = 6 \implies a \cdot \frac{p}{2} = 6 \implies a \cdot p = 12 elde edilir. a∈Z−a \in \mathbb{Z}^- olduğundan hem aa hem de pp negatif olmalıdır. pp tek sayı olduğundan, 1212 sayısının negatif tek bölenleri p=−1p = -1 veya p=−3p = -3 olabilir.
aa tam sayısı negatif olduğu için çarpımı 1212 yapan negatif tek tam sayı bölenlerini ararız.
3
Her iki durum için a, b ve c değerlerini hesaplayıp a + c toplamını bulma
1. Durum: p=−1p = -1 ise a=−12a = -12 olur. b=−05b = -0{}5 olur. Bu durumda c=55−(−05)=6c = 5{}5 - (-0{}5) = 6 (pozitif tam sayıdır). Buradan a+c=−12+6=−6a + c = -12 + 6 = -6 elde edilir.
2. Durum: p=−3p = -3 ise a=−4a = -4 olur. b=−15b = -1{}5 olur. Bu durumda c=55−(−15)=7c = 5{}5 - (-1{}5) = 7 (pozitif tam sayıdır). Buradan a+c=−4+7=3a + c = -4 + 7 = 3 elde edilir.
Olası pp değerlerine göre denklem sisteminin tüm değişkenlerini bulmak ve istenen toplamı hesaplamak için.
4
Bulunan toplamların genel toplamını alma
a+ca + c toplamının alabileceği farklı değerler −6-6 ve 33 olup, bunların toplamı −6+3=−3-6 + 3 = -3 bulunur.
Soruda istenen nihai sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Sayı kümelerinin tanımları ve elemanlarının özelliklerinin denklem çözümlerinde sınırlandırıcı olarak kullanılması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2699Soru →
Doğal sayılar kümesi N\mathbb{N}, tam sayılar kümesi Z\mathbb{Z} ve rasyonel sayılar kümesi Q\mathbb{Q} olmak üzere,
A={−4,  0,  52,  3,  8,  −153}A = \left\{-4, \,\, 0, \,\, \frac{5}{2}, \,\, \sqrt{3}, \,\, 8, \,\, -\frac{15}{3}\right\}
kümesi veriliyor.

Buna göre, AA kümesinin elemanlarından kaç tanesi Z\mathbb{Z} kümesinin bir elemanıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

A kümesinin elemanlarından tam sayı olanlar -4, 0, 8 ve -15/3 (yani -5) sayılarıdır. Dolayısıyla bu kümenin 4 elemanı tam sayılar kümesinin bir elemanıdır.
Kümedeki elemanlar tek tek incelendiğinde; -4, 0, 8 ve -15/3 (yani -5) sayılarının tam sayı olduğu görülür. Toplamda 4 eleman tam sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin elemanlarının tam sayı olup olmadığını belirlemek amacıyla her bir elemanı sadeleştirerek analiz etme
−4,0,8-4, 0, 8 ve −153-\frac{15}{3} (yani −5-5) sayılarının tam sayı; 52\frac{5}{2} ve 3\sqrt{3} sayılarının ise tam sayı olmadığı belirlenmiştir.
Her bir elemanın tam sayılar kümesine ait olup olmadığını netleştirmek için.
2
Belirlenen tam sayı elemanlarının sayısını bulma
4
Soruda bizden istenen toplam tam sayı elemanı sayısına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Sayı kümeleri arasındaki ilişkiler ve elemanların kümelere aitliği.
Soru 2700Soru →
aa ve bb birer tam sayı olmak üzere,
a2+a⋅ba^2 + a \cdot b
ifadesi bir tek sayıdır.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a⋅b+a+1a \cdot b + a + 1

Cevap

a⋅b+a+1a \cdot b + a + 1 ifadesi her zaman çift sayıdır.
Verilen a(a+b)a(a+b) çarpımının tek sayı olmasından yola çıkılarak aa tek ve bb çift tam sayı olarak bulunur. Bu değerler a⋅b+a+1a \cdot b + a + 1 ifadesine uygulandığında, terimler sırasıyla çift, tek ve tek olur. Bu tam sayıların toplamı (Çift + Tek + Tek) her zaman çift sayı sonucunu doğurur.

Adım Adım Çözüm

1
a2+a⋅ba^2 + a \cdot b ifadesini ortak çarpan parantezine alın.
a(a+b)a(a + b) ifadesi elde edilir.
Çarpanların teklik-çiftlik durumunu ayrı ayrı analiz edebilmek için ifadeyi çarpanlarına ayırırız.
2
Çarpımın sonucunun tek sayı olma durumunu inceleyin.
aa tek sayı ve a+ba + b tek sayı olmalıdır.
İki tam sayının çarpımının tek sayı olması için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir.
3
bb tam sayısının teklik-çiftlik durumunu belirleyin.
bb çift sayıdır.
aa tek sayı olduğuna göre, a+ba + b toplamının tek sayı olabilmesi için bb çift sayı olmalıdır (Tek + Çift = Tek).
4
a⋅b+a+1a \cdot b + a + 1 ifadesinin teklik-çiftlik durumunu değerlendirin.
a⋅b+a+1a \cdot b + a + 1 ifadesinin sonucu her zaman çift sayıdır.
aa tek ve bb çift tam sayı olduğundan, a⋅ba \cdot b çift, aa tek ve 11 tek sayıdır. Bu terimlerin toplamı olan Çift + Tek + Tek işlemi çift sayı sonucunu verir.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayılarda Dört İşlem Kuralları ve Değişken Analizi
Tahmini Süre:1m 0s
ÖncekiSayfa 135 / 338Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) | Examkin