Examkin

Tüm alıştırma soruları

689 soru

Tüm türler6,755Çoktan seçmeli4,123Çoklu seçim2Doğru / Yanlış394Sayısal689Eşleştirme1,052Sıralama324Boşluk doldurma130Kısa cevap41
Soru 121Soru →
A={−4, 06, 123, 5, −94, 7}A = \left\{-\sqrt{4},\, 0{}6,\, \frac{12}{3},\, \sqrt{5},\, -\frac{9}{4},\, 7\right\} kümesinin elemanlarından kaç tanesi rasyonel sayı olmasına rağmen tam sayı değildir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Kümenin elemanlarından rasyonel sayı olup tam sayı olmayan elemanlar 0,6 ve -9/4 olmak üzere 2 tanedir.
Kümedeki elemanlar tek tek incelendiğinde; −4=−2-\sqrt{4} = -2, 123=4\frac{12}{3} = 4 ve 77 sayıları tam sayılardır. 5\sqrt{5} sayısı irrasyoneldir. Geriye kalan 060{}6 ondalık sayısı ve −94-\frac{9}{4} kesirli sayısı ise rasyonel sayı olmalarına rağmen birer tam sayı değillerdir. Bu nedenle koşulu sağlayan eleman sayısı 2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Kümedeki her bir elemanın değerini sadeleştirerek ait oldukları sayı kümelerini sınıflandıralım.
−4=−2∈Z-\sqrt{4} = -2 \in \mathbb{Z}, 06=35∈Q0{}6 = \frac{3}{5} \in \mathbb{Q} (ancak ∉Z\notin \mathbb{Z}), 123=4∈Z\frac{12}{3} = 4 \in \mathbb{Z}, 5∈Q′\sqrt{5} \in \mathbb{Q}' (irrasyonel), −94∈Q-\frac{9}{4} \in \mathbb{Q} (ancak ∉Z\notin \mathbb{Z}), 7∈Z7 \in \mathbb{Z}'dir.
Elemanların sayı kümeleri içerisindeki tam konumlarını belirlemek için.
2
Rasyonel sayılar kümesinde (Q\mathbb{Q}) yer alıp tam sayılar kümesinde (Z\mathbb{Z}) yer almayan elemanları seçip sayalım.
Bu koşulu sağlayan elemanlar 060{}6 ve −94-\frac{9}{4} sayılarıdır. Toplamda 2 eleman bulunur.
Soruda bizden istenen rasyonel olup tam sayı olmayan eleman sayısına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Sayı kümeleri (Doğal Sayılar, Tam Sayılar, Rasyonel Sayılar, İrrasyonel Sayılar) arasındaki ilişkiler ve elemanların sadeleştirilerek sınıflandırılması.
Soru 122Soru →

Doğal sayılar kümesi N\mathbb{N}, tam sayılar kümesi Z\mathbb{Z} ve gerçel sayılar kümesi R\mathbb{R} ile gösterilmektedir.

A={x∈R∣x2∈N} A = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 \in \mathbb{N}\}
B={x∈R∣12x2+1∈Z} B = \{x \in \mathbb{R} \mid \frac{12}{x^2 + 1} \in \mathbb{Z}\}

kümeleri veriliyor.

Buna göre, A∩BA \cap B kesişim kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Kesişim kümesinin eleman sayısı 11'dir.
Kesişim kümesindeki elemanlar hem x2∈Nx^2 \in \mathbb{N} hem de 12x2+1∈Z\frac{12}{x^2+1} \in \mathbb{Z} koşulunu sağlamalıdır. İkinci koşuldan elde edilen x2=12k−1x^2 = \frac{12}{k}-1 ifadesinin bir doğal sayı olabilmesi için kk sayısı 12'nin pozitif bölenleri olmalıdır. Bu bölenler için x2x^2 değerleri 11,5,3,2,1,011, 5, 3, 2, 1, 0 olarak bulunur. Pozitif olan 5 adet kare değeri için ikişer adet (x=±x2x = \pm\sqrt{x^2}), sıfır değeri için ise tek bir xx gerçel sayısı bulunur. Böylece kesişim kümesinin eleman sayısı 11 olur.

Adım Adım Çözüm

1
B kümesinin eleman tanımından yola çıkarak 12x2+1\frac{12}{x^2+1} ifadesini bir kk tam sayısına eşitlemek ve x2+1≥1x^2+1 \geq 1 eşitsizliğini kullanarak kk değer aralığını bulmak.
k∈{1,2,3,…,12}k \in \{1, 2, 3, \dots, 12\} aralığında olmalıdır.
Gerçel sayılar kümesinde bir sayının karesi en az sıfır olabileceğinden payda en az 1 olur. Pozitif bir sayının en az 1 olan bir sayıya bölümü pozitif olup en fazla 12 olabilir.
2
A kümesinin eleman koşulu olan x2∈Nx^2 \in \mathbb{N} şartını kesişim kümesine uygulamak.
x2=12k−1x^2 = \frac{12}{k} - 1 ifadesinin doğal sayı olması için kk sayısının 12'nin pozitif bölenleri (1,2,3,4,6,121, 2, 3, 4, 6, 12) olması gerekir.
Kesişim kümesindeki elemanların karelerinin doğal sayı (yani negatif olmayan bir tam sayı) olması şartı aranır. 12k−1\frac{12}{k} - 1 ifadesinin tam sayı olması için kk sayısı 12'yi tam bölmelidir.
3
Bölen kk değerleri için xx gerçel sayılarını elde edip eleman sayısını hesaplamak.
k∈{1,2,3,4,6}k \in \{1, 2, 3, 4, 6\} için ikişer adet gerçel sayı (x=±x2x = \pm\sqrt{x^2}), k=12k = 12 için ise tek bir gerçel sayı (x=0x = 0) elde edilir. Toplam eleman sayısı 11'dir.
Pozitif tam sayıların karekökü iki farklı gerçel sayı (biri pozitif, diğeri negatif) verirken, sıfırın karekökü yalnızca sıfır değerini verir.

Anahtar Kavram

Sayı kümelerinin tanımları, rasyonel ve irrasyonel sayıların ayırt edilmesi ve küme kesişim işleminin eleman analizi.
Soru 123Soru →

Bir pozitif tam sayının basamaklarındaki rakamların toplamı T(n)T(n) ile gösteriliyor.

AA ve BB üç basamaklı doğal sayılar olmak üzere,
A+B=1000 A + B = 1000
T(A)+T(B)=28 T(A) + T(B) = 28
eşitliklerini sağlayan kaç farklı AA sayısı vardır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 720

Cevap

Koşulları sağlayan 720 farklı A sayısı vardır.
Üç basamaklı iki sayının toplamının 1000 olması ve rakamları toplamının 28 olması koşulu, toplama işlemindeki elde geçişlerinin incelenmesiyle çözülür. Birler basamağında c+f=10c+f=10 olup onlar basamağına 1 elde aktarılır. Onlar basamağında b+e=9b+e=9 olup yüzler basamağına 1 elde aktarılır. Yüzler basamağında ise a+d=9a+d=9 bulunur. A=abcA=abc sayısı için a∈{1,2,...,8}a \in \{1, 2, ..., 8\} (8 adet), b∈{0,1,...,9}b \in \{0, 1, ..., 9\} (10 adet) ve c∈{1,2,...,9}c \in \{1, 2, ..., 9\} (9 adet) olmak üzere bağımsız seçimlerin çarpımıyla 8×10×9=7208 \times 10 \times 9 = 720 farklı değer elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
A ve B üç basamaklı sayılarını basamaklarına ayırarak çözümleme ve rakamlar toplamı denklemlerini yazmak.
A=abcA = abc ve B=defB = def olsun. 100(a+d)+10(b+e)+(c+f)=1000100(a+d) + 10(b+e) + (c+f) = 1000 ve (a+d)+(b+e)+(c+f)=28(a+d) + (b+e) + (c+f) = 28 elde edilir.
Toplama işleminin ve rakamlar toplamının basamaklar düzeyindeki matematiksel ifadesini oluşturmak gerekir.
2
Toplama işleminde birler basamağından onlar basamağına geçen elde durumunu analiz etmek.
c+f=10c + f = 10 olmak zorundadır. c+f=0c + f = 0 durumu rakamlar toplamını 28 yapamaz.
Elde geçişi olmadan toplamın birler basamağının sıfır olması sadece c=f=0c=f=0 ile mümkündür ancak bu durum rakamlar toplamı şartını sağlamaz.
3
Onlar ve yüzler basamağındaki elde durumlarını belirlemek.
b+e=9b + e = 9 ve a+d=9a + d = 9 elde edilir.
Birler basamağından gelen 1 eldenin onlar basamağında da 1 elde oluşturup yüzler basamağına aktarması ve toplamın 1000 olmasını sağlaması gerekir.
4
A=abcA = abc sayısının her bir basamağındaki rakamların alabileceği farklı değer sayılarını belirlemek.
aa için 8 farklı değer (1'den 8'e kadar), bb için 10 farklı değer (0'dan 9'a kadar), cc için 9 farklı değer (1'den 9'a kadar) bulunur.
AA ve BB sayılarının üç basamaklı olma şartları (a≥1,d≥1a \ge 1, d \ge 1) ve basamak ilişkileri kullanılarak sınır değerler hesaplanır.
5
Bağımsız basamak seçimlerini çarparak toplam olasılık sayısını bulmak.
8×10×9=7208 \times 10 \times 9 = 720 farklı AA sayısı elde edilir.
Basamak seçimleri birbirinden bağımsız olduğundan çarpma yoluyla sayma kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Basamak analizi, basamak çözümleme ve toplama işleminde elde geçişlerinin rakamlar toplamı üzerindeki etkisi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 124Soru →

Bir belediye, düz bir cadde boyunca eşit aralıklarla bisiklet park istasyonları yerleştirecektir. Caddenin başlangıç noktasında bir istasyon bulunmakta olup, bu istasyondan sonra her xx metrede bir yeni bir istasyon yerleştirilmektedir. Toplam 12 istasyon yerleştirildiğinde, son istasyon ile caddenin bitiş noktası arasında 2020 metre mesafe kalmaktadır. Eğer başlangıç noktasındaki istasyondan sonra her (x+15)(x + 15) metrede bir istasyon yerleştirilseydi, toplam 8 istasyon yerleştirilebilecek ve son istasyon ile caddenin bitiş noktası arasında 3535 metre mesafe kalacaktı. Buna göre, bu caddenin toplam uzunluğu kaç metredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 350

Cevap

Caddenin toplam uzunluğu 350 metredir.
Caddenin toplam uzunluğu, her iki durumdaki yerleşim düzenine bağlı denklemlerin eşitlenmesiyle elde edilen x=30x = 30 değerinin denklemde yerine konulmasıyla 350 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk durum için cadde uzunluğu denklemini yazma
Birinci Durum Uzunluğu = 11x+2011x + 20
12 adet istasyon arasında 11 adet xx metrelik aralık bulunur ve son istasyondan sonra 20 metre boşluk kalır.
2
İkinci durum için cadde uzunluğu denklemini yazma
İkinci Durum Uzunluğu = 7(x+15)+357(x + 15) + 35
8 adet istasyon arasında 7 adet (x+15)(x + 15) metrelik aralık bulunur ve son istasyondan sonra 35 metre boşluk kalır.
3
İki durumu birbirine eşitleyerek bilinmeyen xx değerini çözme
x=30x = 30
Her iki durum da aynı caddenin uzunluğunu belirttiği için denklemler birbirine eşittir: 11x+20=7x+105+35  ⟹  4x=120  ⟹  x=3011x + 20 = 7x + 105 + 35 \implies 4x = 120 \implies x = 30 bulunur.
4
Bulunan xx değerini birinci denklemde yerine koyarak toplam uzunluğu bulma
Toplam Uzunluk = 350350
11×30+20=330+20=35011 \times 30 + 20 = 330 + 20 = 350 metre olarak caddenin toplam uzunluğu hesaplanır.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler yardımıyla günlük yaşam problemlerini modelleme ve çözme.
Soru 125Soru →

Bir akıllı telefonun hafızasının kullanım durumuyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Telefonda yalnızca fotoğraflar, videolar ve boş alan bulunmaktadır.
* Telefonun boş alanı, toplam hafızasının 15\frac{1}{5}'ine eşittir.
* Fotoğrafların telefonda kapladığı alan, videoların kapladığı alanın 35\frac{3}{5}'idir.

Bu telefondaki videoların kapladığı alan 4545 GB olduğuna göre, bu telefonun toplam hafızası kaç GB'tır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 90

Cevap

Telefonun toplam hafızası 9090 GB'tır.
Videoların kapladığı alan olan 4545 GB'ın 35\frac{3}{5}'i hesaplandığında fotoğrafların kapladığı alan 2727 GB olarak bulunur. Dolu olan toplam alan 45+27=7245 + 27 = 72 GB olur. Boş alan tüm hafızanın 15\frac{1}{5}'i olduğuna göre, dolu alan tüm hafızanın 45\frac{4}{5}'idir. Buradan toplam hafıza 72×54=9072 \times \frac{5}{4} = 90 GB olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Fotoğrafların kapladığı alanı hesaplama
Fotoğrafların kapladığı alan 2727 GB'tır.
Soruda fotoğrafların kapladığı alanın, videoların kapladığı alanın 35\frac{3}{5}'i olduğu belirtilmiştir. Videoların alanı 4545 GB olarak verildiği için 45×35=2745 \times \frac{3}{5} = 27 GB bulunur.
2
Fotoğraflar ve videoların kapladığı toplam alanı bulma
Dolu olan toplam alan 7272 GB'tır.
Telefonda boş alan dışında sadece fotoğraflar ve videolar bulunduğu için bu iki alanın toplamı dolu alanı verir: 45+27=7245 + 27 = 72 GB.
3
Boş alan oranını kullanarak dolu alan oranını belirleme
Fotoğraflar ve videolar toplam hafızanın 45\frac{4}{5}'ini kaplar.
Hafızanın boş kısmı toplam hafızanın 15\frac{1}{5}'i olduğuna göre, dolu kısmı tüm hafızanın 1−15=451 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}'idir.
4
Toplam hafızayı denklem kurarak hesaplama
Toplam hafıza 9090 GB'tır.
Toplam hafızaya TT dersek, 45⋅T=72\frac{4}{5} \cdot T = 72 denklemi kurulur. Buradan T=72×54=90T = 72 \times \frac{5}{4} = 90 GB elde edilir.

Anahtar Kavram

Kesir Problemlerinde bütünden parçaya veya parçadan bütüne geçiş yaparken oranların doğru belirlenmesi ve denklem kurulması.
Soru 126Soru →

Bir sayı doğrusu üzerindeki bazı noktalar işaretlenerek bir KK kümesi oluşturuluyor:

K={−6; −94; −2; 0; 153; 17}K = \left\{ -6;\, -\frac{9}{4};\, -\sqrt{2};\, 0;\, \frac{15}{3};\, \sqrt{17} \right\}

Bu kümenin elemanlarından;

- Doğal sayı olanların sayısı aa,
- Rasyonel sayı olanların sayısı bb,
- Gerçel (reel) sayı olup rasyonel sayı olmayanların sayısı cc

olarak belirleniyor.

Buna göre, a⋅b−ca \cdot b - c ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Doğru cevap 6'dır.
Kümedeki doğal sayılar 00 ve 153=5\frac{15}{3} = 5 olmak üzere 2 tanedir (a=2a=2). Rasyonel sayılar −6-6, −94-\frac{9}{4}, 00 ve 55 olmak üzere 4 tanedir (b=4b=4). İrrasyonel sayılar −2-\sqrt{2} ve 17\sqrt{17} olmak üzere 2 tanedir (c=2c=2). Bu değerlerle yapılan a⋅b−ca \cdot b - c işlemi 2⋅4−2=62 \cdot 4 - 2 = 6 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Kümedeki her bir elemanın sayı kümelerindeki yerini belirlemek.
−6∈Z⊂Q-6 \in \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}, −94∈Q-\frac{9}{4} \in \mathbb{Q}, −2∈Q′-\sqrt{2} \in \mathbb{Q}', 0∈N⊂Q0 \in \mathbb{N} \subset \mathbb{Q}, 153=5∈N⊂Q\frac{15}{3} = 5 \in \mathbb{N} \subset \mathbb{Q}, 17∈Q′.\sqrt{17} \in \mathbb{Q}'.
Soruda istenen aa, bb ve cc değerlerini bulabilmek için küme elemanlarının özelliklerini analiz etmeliyiz.
2
Doğal sayı olan elemanları seçip adetlerini (aa) belirlemek.
Doğal sayılar kümesi N={0,1,2,… }\mathbb{N} = \{0, 1, 2, \dots\} şeklindedir. Kümedeki doğal sayılar 00 ve 55 (yani 153\frac{15}{3}) olup a=2a = 2 bulunur.
Sıfırın ve tam sayıya sadeleşen kesirlerin doğal sayı olduğunu doğrulamak.
3
Rasyonel sayı olan elemanları seçip adetlerini (bb) belirlemek.
Rasyonel sayılar kümesi Q\mathbb{Q}, iki tam sayının oranı şeklinde yazılabilen sayılardır. Kümedeki rasyonel sayılar −6-6, −94-\frac{9}{4}, 00 ve 153=5\frac{15}{3} = 5 olup b=4b = 4 bulunur.
Tam sayıların ve ondalıklı/kesirli ifadelerin rasyonel sayı olduğunu saptamak.
4
İrrasyonel (rasyonel olmayan gerçel) sayı olan elemanları seçip adetlerini (cc) belirlemek.
Rasyonel olmayan gerçel sayılar irrasyonel sayılardır (Q′\mathbb{Q}'). Kümedeki irrasyonel sayılar −2-\sqrt{2} ve 17\sqrt{17} olup c=2c = 2 bulunur.
Kök dışına tam çıkamayan gerçel sayıların irrasyonel olduğunu belirlemek.
5
a⋅b−ca \cdot b - c ifadesini hesaplamak.
2⋅4−2=62 \cdot 4 - 2 = 6 elde edilir.
Bulunan a=2a = 2, b=4b = 4 ve c=2c = 2 değerlerini soruda istenen denklemde yerine yazmak.

Anahtar Kavram

Sayı kümelerinin tanımı ve elemanlarının bu kümeler bazında sınıflandırılması (Doğal Sayılar, Tam Sayılar, Rasyonel Sayılar, İrrasyonel Sayılar ve Gerçel Sayılar).
Soru 127Soru →

Sıfır sayısı işaretsiz (nötr) bir sayı olmak üzere; aa, bb ve cc birer tam sayıdır.

* aa sayısı negatif bir tam sayıdır ve a>−4a > -4 koşulunu sağlamaktadır.
* bb sayısı işaretsiz (nötr) bir sayıdır.
* cc sayısı pozitif bir tam sayıdır ve c<3c < 3 koşulunu sağlamaktadır.

Buna göre, a⋅b+aca \cdot b + a^c ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

İfadenin alabileceği en küçük değer -3'tür.
Sıfır sayısı işaretsiz olduğundan b=0b = 0 olur ve a⋅ba \cdot b ifadesi sıfıra eşitlenir. Geriye kalan aca^c ifadesinde en küçük değeri bulmak için negatif bir tabanın tek kuvveti tercih edilmelidir. aa negatif tam sayısı −3-3, cc pozitif tam sayısı 11 seçildiğinde ifadenin alabileceği en küçük değer −3-3 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İşaretsiz (nötr) sayının belirlenmesi ve ifadenin sadeleştirilmesi
b=0b = 0 ve a⋅b=0a \cdot b = 0
Sıfır sayısı işaretsiz (nötr) tek sayıdır. Bu nedenle b=0b = 0 olur ve ifadedeki çarpım terimi sıfıra eşitlenir.
2
Değişkenlerin alabileceği değerlerin belirlenmesi
a∈{−3,−2,−1}a \in \{-3, -2, -1\} ve c∈{1,2}c \in \{1, 2\}
Verilen negatif/pozitif tam sayı tanımları ve eşitsizlik sınırları kullanılarak değişkenlerin kümesi oluşturulur.
3
Kuvvet alma kurallarına göre en küçük değerin hesaplanması
ac=(−3)1=−3a^c = (-3)^1 = -3
Negatif bir sayının tek kuvveti negatif sonuç verir. En küçük negatif değere ulaşmak için taban −3-3 ve üs 11 olarak seçilmelidir.

Anahtar Kavram

Sıfırın işaretsiz olması ve negatif sayıların tek/çift kuvvetlerinin işareti
Soru 128Soru →

Bir teknoloji mağazası, maliyeti 12001200 TL olan bir kulaklığı %50\%50 kâr ile etiketlendirmiştir. Bu kulaklık etiket fiyatı üzerinden indirimli olarak satıldığında, mağazanın bu kulaklıktan elde ettiği gerçek kâr oranı %20\%20 olmuştur. Buna göre, kulaklığa etiket fiyatı üzerinden uygulanan indirim oranı yüzde kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Kulaklığa etiket fiyatı üzerinden uygulanan indirim oranı %20'dir.
Etiket fiyatı 18001800 TL olan kulaklık, %20\%20 gerçek kârla 14401440 TL'ye satılmıştır. Yapılan 360360 TL'lik indirim, etiket fiyatının %20\%20'sine denk gelmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Etiket fiyatını hesaplama
Kulaklığın etiket fiyatı 18001800 TL'dir.
Maliyeti 12001200 TL olan ürüne %50\%50 kâr eklendiğinde etiket fiyatı 1200×1,50=18001200 \times 1,50 = 1800 TL olarak bulunur.
2
İndirimli satış fiyatını hesaplama
Kulaklığın indirimli satış fiyatı 14401440 TL'dir.
Gerçek kâr oranı %20\%20 olduğuna göre, indirimli satış fiyatı maliyetin 1,201,20 katı, yani 1200×1,20=14401200 \times 1,20 = 1440 TL olur.
3
İndirim miktarını bulma
Yapılan indirim miktarı 360360 TL'dir.
Etiket fiyatı ile indirimli satış fiyatı arasındaki fark indirim miktarını verir: 1800−1440=3601800 - 1440 = 360 TL.
4
İndirim yüzdesini hesaplama
İndirim oranı %20\%20'dir.
Yapılan indirim miktarının etiket fiyatına oranı indirim yüzdesini belirler: 3601800=15=%20\frac{360}{1800} = \frac{1}{5} = \%20.

Anahtar Kavram

İndirim oranı, yapılan indirim miktarının indirim öncesi etiket fiyatına bölünmesiyle hesaplanır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 129Soru →

Bir tabletin batarya doluluk oranı %75\%75 iken bu tabletle kesintisiz 4040 dakika oyun oynandığında batarya doluluk oranı %55\%55'e düşmektedir. Buna göre, bataryası tamamen dolu (%100\%100) olan bu tabletle aynı koşullarda kesintisiz kaç dakika oyun oynanırsa batarya doluluk oranı %15\%15'e düşer?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 170

Cevap

Bataryası tamamen dolu olan bu tabletle kesintisiz 170 dakika oyun oynandığında batarya doluluk oranı %15'e düşer.
Batarya azalış miktarı olan %20'lik kısım 40 dakikada tükendiğine göre, her %1'lik tüketim 2 dakika sürer. Tam dolu bataryanın %15 seviyesine inmesi için %85'lik bir tüketim gerçekleşmelidir. Bu tüketim de 85 ile 2'nin çarpımından 170 dakika sürer.

Adım Adım Çözüm

1
İlk durumdaki batarya tüketim yüzdesini hesaplama
%20 tüketim
Oyun oynanırken harcanan batarya miktarını yüzde cinsinden belirlemek için.
2
%1'lik batarya tüketimi için gereken süreyi bulma
2 dakika
Birim tüketim süresini belirleyerek diğer hesaplamalarda kullanmak için.
3
Hedeflenen batarya tüketim yüzdesini hesaplama
%85 tüketim
Bataryanın tamamen doludan %15 doluluk seviyesine düşmesi için tüketilmesi gereken miktarı bulmak için.
4
Toplam oyun süresini hesaplama
170 dakika
Birim tüketim süresi ile hedeflenen tüketim yüzdesini çarparak toplam süreyi bulmak için.

Anahtar Kavram

Doğru orantı kullanarak yüzde problemlerini çözme
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 130Soru →

Bir çiçekçi, tanesini 2525 TL'ye satın aldığı güllerin %80\%80'ini tanesini 5050 TL'den satmış, kalan güller ise solduğu için satılamayarak çöpe atılmıştır. Buna göre, çiçekçinin bu güllerin tamamının satışından elde ettiği kâr oranı yüzde kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Çiçekçinin bu güllerin tamamının satışından elde ettiği kâr oranı yüzde 60'tır.
Toplam maliyet 250 TL ve elde edilen toplam gelir 400 TL olduğundan net kâr 150 TL'dir. 150 TL kâr, 250 TL maliyetin yüzde 60'ına eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam gül sayısı üzerinden maliyet hesabı yapılması
Toplam maliyet 250250 TL'dir.
Kâr oranını hesaplamak için öncelikle toplam satın alma maliyetini bulmamız gerekir. Kolay hesaplanabilmesi için toplam gül sayısını 1010 kabul edebiliriz.
2
Satılan gül sayısının hesaplanması
Satılan gül sayısı 88 adettir.
Güllerin %80\%80'i satıldığı için satılan gül miktarını bulmak üzere toplam gül sayısının %80\%80'ini hesaplarız.
3
Toplam satış gelirinin hesaplanması
Toplam satış geliri 400400 TL'dir.
Satılan gül adedi ile bir gülün satış fiyatı çarpılarak toplam gelir elde edilir.
4
Kâr miktarının ve kâr oranının bulunması
Kâr oranı %60\%60'tır.
Elde edilen toplam kâr (150150 TL), toplam maliyete (250250 TL) bölünerek kâr yüzdesi elde edilir.

Anahtar Kavram

Kâr oranı, aksi belirtilmedikçe elde edilen toplam net kârın toplam maliyete bölünmesiyle hesaplanır. Çöpe atılan güller gelir getirmese de ilk maliyet hesabına dahil edilmelidir.
Soru 131Soru →
A={−4,3,0,153,−2.5,1.44,π,−72}A = \left\{ -4, \sqrt{3}, 0, \frac{15}{3}, -2.5, \sqrt{1.44}, \pi, -\frac{7}{2} \right\}

kümesi veriliyor.

Bu kümenin elemanlarından rasyonel sayı olanların sayısı RR, tam sayı olanların sayısı TT ve pozitif olmayan gerçel sayı olanların sayısı PP olarak belirleniyor.

Buna göre, R+T+PR + T + P toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

Kümedeki elemanların doğru sınıflandırılması sonucu elde edilen rasyonel sayı adedi R = 6, tam sayı adedi T = 3 ve pozitif olmayan gerçel sayı adedi P = 4 değerlerinin toplamı 13'tür.
Rasyonel sayı adedi 6, tam sayı adedi 3 ve pozitif olmayan gerçel sayı adedi 4 olarak hesaplanır. Bu üç değer toplandığında 13 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Kümedeki her bir elemanın rasyonel sayı olup olmadığını belirleme
Rasyonel sayılar kümesi (Q) elemanları: -4, 0, \frac{15}{3} (5), -2.5, \sqrt{1.44} (1.2) ve -\frac{7}{2}. Toplam R = 6 eleman.
Soruda istenen rasyonel sayı adedini (R) doğru tespit etmek için.
2
Kümedeki elemanların tam sayı olma durumlarını inceleme
Tam sayılar kümesi (Z) elemanları: -4, 0 ve \frac{15}{3} = 5. Toplam T = 3 eleman.
Tam sayı adedini (T) bulmak için. Kesirli olarak gösterilen \frac{15}{3} ifadesinin sadeleşerek 5 tam sayısına eşit olduğuna dikkat edilir.
3
Pozitif olmayan gerçel sayıları belirleme
Pozitif olmayan gerçel sayılar (sıfırdan küçük veya sıfıra eşit olanlar): -4, 0, -2.5 ve -\frac{7}{2}. Toplam P = 4 eleman.
Pozitif olmayan gerçel sayı adedini (P) bulmak için. Sıfır (0) sayısının işareti olmamakla birlikte pozitif olmadığı unutulmamalıdır.
4
Bulunan değerleri toplama
R + T + P = 6 + 3 + 4 = 13
Soruda bizden istenen toplam değerini elde etmek için.

Anahtar Kavram

Sayı kümeleri (tam sayılar, rasyonel sayılar, irrasyonel sayılar) arasındaki farklar ve gerçel sayıların işaret özellikleri (pozitiflik, negatiflik ve sıfırın durumu).
Soru 132Soru →

Pozitif bir nn tam sayısı için, n!n! sayısının sondan kaç basamağının sıfır olduğunu gösteren değer S(n)S(n) ile ifade edilmektedir.

Buna göre,
S(a)+S(b)=9S(a) + S(b) = 9
eşitliğini sağlayan aa ve bb pozitif tam sayıları için a+ba + b toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

40
Doğru cevap 40'tır. S(a) + S(b) = 9 eşitliğini sağlayan durumlar incelendiğinde, (S(a), S(b)) ikilisi için (1, 8), (2, 7) veya (3, 6) değerleri seçildiğinde en küçük a + b toplamı 40 olarak elde edilir. S(b) = 5 durumunu sağlayan bir b pozitif tam sayısı olmadığı için (4, 5) ikilisi kullanılamaz.

Adım Adım Çözüm

1
Faktöriyel sayılarının sonundaki sıfır sayısını bulma yöntemini belirleme.
S(n)S(n) fonksiyonu, nn sayısının sürekli 5'e bölünmesiyle elde edilen b��lümlerin toplamı olarak hesaplanır.
n!n! sayısının sonundaki sıfır sayısı, n!n! içindeki 5 asal çarpanının sayısına eşittir.
2
S(n)S(n) fonksiyonunun farklı aralıklardaki en küçük nn değerlerini listeleme.
S(n)=0→nmin=1S(n) = 0 \rightarrow n_{min} = 1, S(n)=1→nmin=5S(n) = 1 \rightarrow n_{min} = 5, S(n)=2→nmin=10S(n) = 2 \rightarrow n_{min} = 10, S(n)=3→nmin=15S(n) = 3 \rightarrow n_{min} = 15, S(n)=4→nmin=20S(n) = 4 \rightarrow n_{min} = 20, S(n)=6→nmin=25S(n) = 6 \rightarrow n_{min} = 25, S(n)=7→nmin=30S(n) = 7 \rightarrow n_{min} = 30, S(n)=8→nmin=35S(n) = 8 \rightarrow n_{min} = 35, S(n)=9→nmin=40S(n) = 9 \rightarrow n_{min} = 40 elde edilir.
Toplamın en küçük olabilmesi için S(a)S(a) ve S(b)S(b) değerlerini veren en küçük aa ve bb pozitif tam sayılarını kullanmamız gerekir.
3
S(a)+S(b)=9S(a) + S(b) = 9 eşitliğini sağlayan olası durumları inceleme.
S(a)=0,S(b)=9→a+b≥1+40=41S(a) = 0, S(b) = 9 \rightarrow a+b \ge 1+40 = 41; S(a)=1,S(b)=8→a+b≥5+35=40S(a) = 1, S(b) = 8 \rightarrow a+b \ge 5+35 = 40; S(a)=2,S(b)=7→a+b≥10+30=40S(a) = 2, S(b) = 7 \rightarrow a+b \ge 10+30 = 40; S(a)=3,S(b)=6→a+b≥15+25=40S(a) = 3, S(b) = 6 \rightarrow a+b \ge 15+25 = 40. S(a)=4,S(b)=5S(a)=4, S(b)=5 durumu ise S(b)=5S(b)=5 olamayacağı için geçersizdir.
Tüm durumları tek tek analiz ederek a+ba+b toplamının alabileceği en küçük değeri bulmak.
4
Bulunan en küçük değeri sonuç olarak belirleme.
En küçük a+ba+b toplamı 40'tır.
Olası tüm durumlar arasında elde edilen en küçük toplam 40'tır.

Anahtar Kavram

Faktöriyel sayılarının sonundaki sıfır sayısı ve asal çarpan analizi
Soru 133Soru →

Bir su deposunun boş kısmının hacmi, dolu kısmının hacminin 3 katından 10 litre fazladır. Bu depoya 40 litre su ilave edildiğinde depodan su taşmamakta, ancak 65 litre su ilave edildiğinde depodan su taşmaktadır.

Başlangıçta depodaki dolu kısmın hacmi litre cinsinden bir xx tam sayısı olduğuna göre, xx'in alabileceği kaç farklı değer vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Başlangıçtaki dolu kısmın hacmini temsil eden x tam sayısının alabileceği 9 farklı değer vardır.
Boş kısmın hacmi 3x+103x+10 litredir. 40 litre su taşmadığı için boş kısım en az 40 litredir, yani 3x+10≥403x+10 \ge 40 olup buradan x≥10x \ge 10 elde edilir. 65 litre su taştığı için boş kısım 65 litreden azdır, yani 3x+10<653x+10 < 65 olup buradan x<18,33...x < 18,33... elde edilir. Bu iki şartı sağlayan xx tam sayı değerleri 10 ile 18 (dahil) arasındaki 9 tam sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Boş kısmın hacmini veren ifadeyi x cinsinden yazma
Boş kısmın hacmi 3x+103x + 10 litredir.
Deponun bo�� kısmının hacminin, dolu kısmın hacminin 3 katından 10 litre fazla olduğu belirtilmiştir.
2
İlk durum için eşitsizliği kurma ve çözme
x≥10x \ge 10
40 litre su ilave edildiğinde depodan su taşmaması, deponun boş kısmının hacminin en az 40 litre olduğunu gösterir (3x+10≥403x + 10 \ge 40).
3
İkinci durum için eşitsizliği kurma ve çözme
x<18,33...x < 18,33...
65 litre su ilave edildiğinde depodan su taşması, deponun boş kısmının hacminin 65 litreden az olduğunu gösterir (3x+10<653x + 10 < 65).
4
Eşitsizlikleri birleştirme ve tam sayı çözümlerini bulma
x∈{10,11,12,13,14,15,16,17,18}x \in \{10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18\} olmak üzere 9 farklı değer
10≤x<18,33...10 \le x < 18,33... aralığındaki tam sayı değerlerinin adedi hesaplanır.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin kurulması, çözülmesi ve eşitsizlik yönü kurallarının uygulanması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 134Soru →

Bir yüksek hassasiyetli 3D yazıcının hammadde eritme haznesindeki sıcaklık değeri TT (°C) olmak üzere, yazıcının farklı modlardaki çalışma sıcaklık aralıkları aşağıda verilmiştir:

* Ekonomik modda çalışma sıcaklık aralığı AA olup ∣T−160∣≤25|T - 160| \leq 25 eşitsizliğini sağlayan TT gerçek sayılarıdır.
* Hızlı baskı modunda çalışma sıcaklık aralığı BB olup ∣T−195∣<35|T - 195| < 35 eşitsizliğini sağlayan TT gerçek sayılarıdır.
* Aşırı ısınma risk aralığı CC olup [180,220][180, 220] kapalı aralığıdır.

Bu yazıcının hem ekonomik modda hem de hızlı baskı modunda güvenle çalışabildiği, ancak aşırı ısınma risk aralığında olmayan sıcaklık değerlerinin kümesi sayı doğrusunda gösterilecektir.

Buna göre, bu kümede yer alan kaç farklı TT tam sayı değeri vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19

Cevap

Yazıcının hem ekonomik hem de hızlı baskı modunda çalışabildiği fakat aşırı ısınma riskinde olmadı��ı sıcaklık değerlerinin oluşturduğu küme (160,180)(160, 180) açık aralığıdır. Bu aralıkta 19 farklı tam sayı değeri bulunmaktadır.
Verilen mutlak değerli eşitsizlikler çözüldüğünde ekonomik mod için A=[135,185]A = [135, 185] kapalı aralığı, hızlı mod için B=(160,230)B = (160, 230) açık aralığı elde edilir. Her iki modda da çalışılan bölge bu iki kümenin kesişimi olan (160,185](160, 185] yarı açık aralığıdır. Bu bölgeden aşırı ısınma risk aralığı olan C=[180,220]C = [180, 220] çıkarıldığında, 180 değeri de dışarıda kalacağı için geriye (160,180)(160, 180) açık aralığı kalır. Bu aralıktaki tam sayılar 161'den 179'a kadar olan 19 adet tam sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
A aralığını belirleme
A=[135,185]A = [135, 185]
Ekonomik mod eşitsizliği olan ∣T−160∣≤25|T - 160| \leq 25 çözülerek çalışma sınırları bulunur.
2
B aralığını belirleme
B=(160,230)B = (160, 230)
Hızlı baskı modu eşitsizliği olan ∣T−195∣<35|T - 195| < 35 çözülerek çalışma sınırları bulunur.
3
A ve B aralıklarının kesişimini bulma
A∩B=(160,185]A \cap B = (160, 185]
Yazıcının her iki modda da çalışabilmesi için sıcaklığın her iki aralıkta da bulunması gerekir.
4
C aralığını çıkarma ve güvenli bölgeyi belirleme
(A∩B)∖C=(160,180)(A \cap B) \setminus C = (160, 180)
Aşırı ısınma risk bölgesi olan [180,220][180, 220] aralığındaki değerler güvenli bölgeden çıkarılır. 180 değeri çıkarılan kümeye dahil olduğundan kalan sınır açık aralık olur.
5
Aralıktaki tam sayı adedini hesaplama
19 adet tam sayı
(160,180)(160, 180) açık aralığındaki tam sayıların sayısı terim sayısı formülüyle hesaplanır.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli eşitsizliklerin aralık olarak gösterimi ve aralıklarda küme işlemleri
Soru 135Soru →
AA ve xx birer pozitif tam sayı olmak üzere,
A=120xA = \frac{120}{x}
ifadesinde AA bir asal sayı olduğuna göre, xx’in alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 124

Cevap

x'in alabileceği farklı değerlerin toplamı 124'tür.
A sayısı 120'yi bölen bir asal sayı olmalıdır. 120'nin asal bölenleri 2, 3 ve 5'tir. Buradan A'nın alabileceği değerler için x değerleri sırasıyla 60, 40 ve 24 olarak bulunur. Bu değerlerin toplamı 124 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
120 sayısının asal çarpanlarını bulun.
120 sayısının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir.
A sayısı bir asal sayı olduğundan ve 120'yi tam böldüğünden, 120'nin asal bölenleri olmak zorundadır.
2
Her bir asal A değeri için x değerlerini hesaplayın.
A = 2 için x = 60; A = 3 için x = 40; A = 5 için x = 24 elde edilir.
A = 120/x eşitliğinde x'i çekerek x = 120/A formülünü kullanırız.
3
Elde edilen x değerlerini toplayın.
60 + 40 + 24 = 124
Soruda x'in alabileceği farklı değerlerin toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Bir sayının asal çarpanlarını bulma ve asal sayı tanımını uygulama.
Soru 136Soru →
xx ve yy gerçel sayılardır.
x⋅y=12x \cdot y = 12
olduğuna göre, x+yx + y toplamının [−10,10][-10, 10] kapalı aralığındaki bir tam sayıya eşit olduğu ve xx sayısının rasyonel olmadığı biliniyor.
Buna göre, x+yx + y toplamının alabileceği farklı değerlerin sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İstenen şartları sağlayan x + y toplamının alabileceği 4 farklı değer vardır.
Verilen x ve y sayılarının çarpımı 12 ve toplamları k olsun. Bu durumda x ve y, t^2 - kt + 12 = 0 denkleminin kökleridir. Köklerin gerçel sayı olması için Delta = k^2 - 48 >= 0 olmalıdır. Buradan |k| >= 7 elde edilir. [-10, 10] aralığındaki k tam sayıları {-10, -9, -8, -7, 7, 8, 9, 10} olur. x'in rasyonel olmaması (yani irrasyonel olması) için Delta = k^2 - 48 ifadesi bir tam kare olmamalıdır. k = +-7 için Delta = 1 (1'in karesi) ve k = +-8 için Delta = 16 (4'ün karesi) olup kökler rasyonel çıkar. k = +-9 için Delta = 33 ve k = +-10 için Delta = 52 tam kare olmadığından kökler irrasyoneldir. Dolayısıyla sağlayan k değerleri {-10, -9, 9, 10} olup toplamda 4 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1
x ve y sayılarının toplamını k kabul edip bu sayıları kök kabul eden ikinci dereceden denklemi kurmak.
t^2 - kt + 12 = 0 denklemi elde edilir.
Köklerin rasyonellik ve reellik durumunu diskriminant üzerinden analiz edebilmek.
2
Köklerin gerçel sayı olması için diskriminant şartını uygulamak.
Delta = k^2 - 48 >= 0 bağıntısından |k| >= 7 elde edilir.
x ve y'nin gerçel sayı olduğu bilgisine uyması için.
3
k tam sayısının [-10, 10] aralığındaki olası değerlerini yazmak.
k elemanıdır {-10, -9, -8, -7, 7, 8, 9, 10} kümesi bulunur.
Tanımlanan aralıktaki tam sayı değerlerini sınırlandırmak.
4
x sayısının rasyonel olmaması için diskriminantın tam kare olmama şartını incelemek.
k = +-7 için Delta = 1 (tam kare), k = +-8 için Delta = 16 (tam kare) olduğundan bu değerler elenir. k = +-9 için Delta = 33 (tam kare değil), k = +-10 için Delta = 52 (tam kare değil) olduğundan bu değerler sağlanır.
Rasyonel olmayan (irrasyonel) gerçel sayı şartını kontrol etmek.
5
Sağlayan değerleri belirleyip saymak.
{-10, -9, 9, 10} olmak üzere 4 farklı değer bulunur.
Sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Sayı Kümeleri (Rasyonel ve İrrasyonel Sayılar, Gerçel Sayılar)
Soru 137Soru →

Bir kafede portakal ve nar suları karıştırılarak AA ve BB olarak isimlendirilen iki farklı meyve kokteyli hazırlanmaktadır.

* 11 bardak AA kokteylinin yapımında 150 mL150\text{ mL} portakal suyu ve 100 mL100\text{ mL} nar suyu kullanılmaktadır.
* 11 bardak BB kokteylinin yapımında 100 mL100\text{ mL} portakal suyu ve 150 mL150\text{ mL} nar suyu kullanılmaktadır.

Bu kafede gün sonunda bu kokteyllerden belirli miktarlarda hazırlanırken toplam 3300 mL3300\text{ mL} portakal suyu ve 3700 mL3700\text{ mL} nar suyu kullanıldığı belirlenmiştir.

Buna göre, hazırlanan BB kokteyli sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

Hazırlanan B kokteyli sayısı 18'dir.
Toplam portakal suyu miktarı olan 3300 mL3300\text{ mL} ve nar suyu miktarı olan 3700 mL3700\text{ mL} kullanılarak 150a+100b=3300150a + 100b = 3300 ve 100a+150b=3700100a + 150b = 3700 denklemleri kurulur. Bu denklemler 50 ile sadeleştirildiğinde sırasıyla 3a+2b=663a + 2b = 66 ve 2a+3b=742a + 3b = 74 elde edilir. Yok etme metodu uygulanarak bb değişkeni 1818 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kokteyl sayılarına göre portakal ve nar suyu tüketim denklemlerini yazma
150a+100b=3300150a + 100b = 3300 ve 100a+150b=3700100a + 150b = 3700
Toplam kullanılan portakal suyu ve nar suyu miktarlarını veren iki bilinmeyenli denklem sistemini kurmak için
2
Denklemleri en sade hale getirme
Her iki denklemi de 50 ile bölerek 3a+2b=663a + 2b = 66 ve 2a+3b=742a + 3b = 74 denklemlerini elde ederiz.
Katsayıları küçülterek işlemleri kolaylaştırmak için
3
Yok etme metodunu uygulayarak değişkenlerden birini yok etme
İlk denklemi 3, ikinci denklemi 2 ile çarptığımızda sırasıyla 9a+6b=1989a + 6b = 198 ve 4a+6b=1484a + 6b = 148 elde edilir. Taraf tarafa çıkardığımızda 5a=50  ⟹  a=105a = 50 \implies a = 10 bulunur.
b değişkenini yok ederek a değişkeninin değerine ulaşmak için
4
Bulunan a değerini kullanarak b değerini hesaplama
3(10)+2b=66  ⟹  30+2b=66  ⟹  2b=36  ⟹  b=183(10) + 2b = 66 \implies 30 + 2b = 66 \implies 2b = 36 \implies b = 18 bulunur.
Bizden istenen B kokteyli sayısını (b) bulmak için

Anahtar Kavram

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin yok etme yöntemiyle çözülmesi
Soru 138Soru →

Bir kitabın sayfaları 11'den başlanarak ardışık pozitif tam sayılarla numaralandırılacaktır. Ancak basım hatası nedeniyle numarası 33'ün katı olan sayfalar basılmamış ve bu sayfa numaraları atlanmıştır.

Örneğin; kitabın basılan ilk sayfa numaraları sırasıyla 1,2,4,5,7,8,…1, 2, 4, 5, 7, 8, \dots şeklindedir.

Kitapta basılan tüm sayfa numaralarının toplamı 12001200 olduğuna göre, kitapta basılan en büyük sayfa numarası kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 59

Cevap

Kitapta basılan en büyük sayfa numarası 59'dur.
Basılan sayılar 33'ün katı olmayan sayılardır. Bu sayılar (1,2),(4,5),…(1, 2), (4, 5), \dots şeklinde ikili gruplandığında her bir grubun toplamı 3,9,15,…3, 9, 15, \dots aritmetik dizisini oluşturur. İlk kk grubun toplamı 3k23k^2 formülü ile bulunur. 3k2=12003k^2 = 1200 eşitliğinden grup sayısı k=20k = 20 olarak elde edilir. En son grup olan 2020. grubun elemanları 5858 ve 5959 olduğundan, basılan en büyük sayfa numarası 5959 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Sayfa numaralarını gruplandırma
Basılan sayfa numaraları 33'ün katı olmayan sayılardır. Bu sayıları ikili gruplar halinde yazarsak: (1,2),(4,5),(7,8),…,(3k−2,3k−1)(1, 2), (4, 5), (7, 8), \dots, (3k-2, 3k-1) şeklinde kk tane grup elde ederiz.
Ardışık terimlerin toplamını sistematik olarak hesaplamak için terimleri ikili gruplara ayırmak çözümü kolaylaştırır.
2
Grup toplamlarını ve genel toplamı bulma
Her bir grubun toplamı sırasıyla şöyledir:
- 1. grup: 1+2=31 + 2 = 3
- 2. grup: 4+5=94 + 5 = 9
- 3. grup: 7+8=157 + 8 = 15
- kk. grup: (3k−2)+(3k−1)=6k−3(3k-2) + (3k-1) = 6k-3

Bu toplamların oluşturduğu dizinin ilk kk teriminin toplamı:
Sk=∑r=1k(6r−3)=6⋅k(k+1)2−3k=3k2+3k−3k=3k2S_k = \sum_{r=1}^{k} (6r - 3) = 6 \cdot \frac{k(k+1)}{2} - 3k = 3k^2 + 3k - 3k = 3k^2 olarak bulunur.
İlk kk grubun toplamını veren cebirsel ifadeyi elde etmek için aritmetik dizi toplam formülü uygulanır.
3
Grup sayısını (kk) belirleme
3k2=1200  ⟹  k2=400  ⟹  k=203k^2 = 1200 \implies k^2 = 400 \implies k = 20 bulunur. Demek ki kitapta toplam 2020 tane grup (yani 4040 sayfa) basılmıştır.
Verilen toplam değerini formüle eşitleyerek basılan toplam grup sayısını buluruz.
4
En büyük sayfa numarasını hesaplama
Son grup olan 2020. grubun elemanları:
- İlk eleman: 3(20)−2=583(20) - 2 = 58
- İkinci eleman: 3(20)−1=593(20) - 1 = 59

Bu durumda basılan en büyük sayfa numarası 5959'dur.
En son basılan grubun en büyük elemanı, kitapta basılan en büyük sayfa numarasına eşittir.

Anahtar Kavram

Ardışık Sayı Gruplarının Toplamı ve Aritmetik Diziler
Soru 139Soru →

Bir çikolata üretim tesisindeki temperleme makinesinin hazne sıcaklığı TT (°C) olmak üzere, bu makinenin ideal çalışma aralığı ile oda sıcaklığı dd (°C) arasındaki ilişki, kontrol ünitesi tarafından

∣∣T−18∣−d∣=6| |T - 18| - d | = 6

denklemiyle kontrol edilmektedir. Odanın sıcaklığı dd pozitif bir değerdir.

Hazne sıcaklığı TT değerinin alabileceği tam olarak 3 farklı gerçek sayı değeri bulunduğuna göre, oda sıcaklığı (dd) kaç °C'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Hazne sıcaklığı T değerinin alabileceği 3 farklı gerçek sayı değeri bulunması için oda sıcaklığı d'nin değeri 6 olmalıdır.
Çikolata temperleme makinesinin hazne sıcaklığı denklemi ∣∣T−18∣−d∣=6| |T - 18| - d | = 6 şeklinde verilmiştir. Bu denklem ∣T−18∣=d+6|T - 18| = d + 6 ve ∣T−18∣=d−6|T - 18| = d - 6 olmak üzere iki alt denkleme ayrışır. Oda sıcaklığı d>0d > 0 olduğu için d+6>0d + 6 > 0 olur ve birinci denklemden her durumda iki farklı TT değeri gelir. Toplamda 3 farklı TT değeri elde edilebilmesi için ikinci denklemden (∣T−18∣=d−6|T - 18| = d - 6) tam olarak 1 kök gelmelidir. Bir mutlak değerli denklemin tek bir kökünün olması ise ancak mutlak değerin eşit olduğu ifadenin sıfır olmasıyla mümkündür. Buradan d−6=0  ⟹  d=6d - 6 = 0 \implies d = 6 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemi mutlak değer özelliklerini kullanarak iki ayrı denkleme dönüştürmek.
∣T−18∣−d=6|T - 18| - d = 6 veya ∣T−18∣−d=−6|T - 18| - d = -6
∣A∣=B|A| = B biçimindeki denklemler A=BA = B veya A=−BA = -B olarak çözülür.
2
Birinci denklem olan ∣T−18∣=d+6|T - 18| = d + 6 ifadesinin kök sayısını belirlemek.
d>0d > 0 olduğu için d+6>0d + 6 > 0 olur ve bu denklemden her zaman iki farklı gerçek sayı kökü gelir.
Pozitif bir sayıya eşit olan mutlak değerli denklemlerin daima iki farklı reel kökü vardır.
3
İkinci denklem olan ∣T−18∣=d−6|T - 18| = d - 6 ifadesinin kök sayısını d parametresine bağlı olarak incelemek.
d−6>0  ⟹  2d - 6 > 0 \implies 2 kök, d−6<0  ⟹  0d - 6 < 0 \implies 0 kök, d−6=0  ⟹  1d - 6 = 0 \implies 1 kök (T=18T = 18) elde edilir.
Mutlak değerli bir denklemin tek kökünün olması için karşı tarafın sıfıra eşit olması gerekir.
4
Toplam kök sayısının 3 olması koşulunu uygulamak.
Birinci denklemden 2 kök geldiği için, toplamda 3 farklı kök olması amacıyla ikinci denklemden tam olarak 1 kök gelmelidir. Buradan d−6=0  ⟹  d=6d - 6 = 0 \implies d = 6 bulunur.
Kök sayısının tam olarak 3 olması, ikinci denklemin sıfıra eşit olmasını ve tek bir kök üretmesini gerektirir.

Anahtar Kavram

İç içe mutlak değerli denklemlerin kök sayısının incelenmesi ve mutlak değerin tanım kümesi sınırları.
Soru 140Soru →

Bir lojistik deposunda iki farklı hassas gıda ürününün bozulmadan saklanabileceği sıcaklık aralıkları santigrat derece (°C) cinsinden sayı doğrusu üzerinde gösterilmiştir.

- Birinci ürünün güvenle saklanabileceği sıcaklık değerlerinin kümesi A=[−3,3)A = [-3, 3) aralığıdır.
- İkinci ürünün güvenle saklanabileceği sıcaklık değerlerinin kümesi B=(−1,5]B = (-1, 5] aralığıdır.

Deponun sıcaklık değeri, bu ürünlerden en az birinin bozulmadan saklanabildiği sıcaklık aralığının içinde fakat her ikisinin birden bozulmadan saklanabildiği sıcakl��k aralığının dışında bir tam sayı değerine ayarlanacaktır.

Buna göre, deponun sıcaklığının ayarlanabileceği bu tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Deponun sıcaklığının ayarlanabileceği tam sayı değerlerinin toplam�� 6'dır.
İstenen sıcaklık değerleri, AA ve BB aralıklarının birleşiminden kesişimlerinin çıkarılmasıyla elde edilen [−3,−1]∪[3,5][-3, -1] \cup [3, 5] kümesidir. Bu kümedeki tam sayılar −3,−2,−1,3,4,5-3, -2, -1, 3, 4, 5 olup toplamları 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Birleşim ve kesişim kümelerinin belirlenmesi
A∪B=[−3,5]A \cup B = [-3, 5] ve A∩B=(−1,3)A \cap B = (-1, 3)
En az bir ürünün saklanabildiği sıcaklık aralığı birleşim kümesini, her ikisinin birden saklanabildiği aralık ise kesişim kümesini temsil eder.
2
İstenen sıcaklık aralığının (fark kümesinin) bulunması
(A∪B)∖(A∩B)=[−3,−1]∪[3,5](A \cup B) \setminus (A \cap B) = [-3, -1] \cup [3, 5]
Kesişim kümesinin dışında fakat birleşim kümesinin içinde kalan bölgeyi bulmak için birleşim kümesinden kesişim kümesi çıkarılır. Burada A∩BA \cap B kümesinin uç noktaları olan −1-1 ve 33 değerleri kesişim kümesinde yer almadığı için fark kümesine dahil edilir.
3
Aralıklardaki tam sayı değerlerinin listelenmesi
{−3,−2,−1,3,4,5}\{-3, -2, -1, 3, 4, 5\}
[−3,−1][-3, -1] kapalı aralığındaki tam sayılar −3,−2,−1-3, -2, -1 ve [3,5][3, 5] kapalı aralığ��ndaki tam sayılar 3,4,53, 4, 5 olup bu iki kümenin birleşimi alınır.
4
Tam sayıların toplanması
(−3)+(−2)+(−1)+3+4+5=6(-3) + (-2) + (-1) + 3 + 4 + 5 = 6
Belirlenen tüm geçerli sıcaklık değerlerinin toplamı istendiğinden elemanlar toplanır.

Anahtar Kavram

Aralık Kavramı ve Sayı Doğrusunda Gösterim
ÖncekiSayfa 7 / 35Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) | Examkin