Examkin

Tüm alıştırma soruları

6755 soru

Tüm türler6,755Çoktan seçmeli4,123Çoklu seçim2Doğru / Yanlış394Sayısal689Eşleştirme1,052Sıralama324Boşluk doldurma130Kısa cevap41
Soru 2981Soru →

aa, bb ve cc birer tam sayı olmak üzere,

a2⋅b+b⋅ca^2 \cdot b + b \cdot c

ifadesinin bir tek sayı olduğu biliniyor.

Buna göre,

I. a+b+ca + b + c
II. a⋅c+ba \cdot c + b
III. a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c

ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

I ve III
Verilen a2⋅b+b⋅ca^2 \cdot b + b \cdot c ifadesi bb ortak parantezine alındığında b⋅(a2+c)b \cdot (a^2 + c) elde edilir. Bu çarpım tek sayı olduğundan, hem bb hem de a2+ca^2 + c tek sayı olmak zorundadır. a2a^2 ifadesinin teklik-çiftlik durumu aa ile aynı olduğundan, a+ca + c toplamı da tek sayıdır. Bir toplamın tek sayı olması, terimlerden birinin tek, diğerinin çift olduğunu gösterir. Yani aa ve cc sayılarından biri tek, diğeri çifttir. Bu bilgiler doğrultusunda öncüller incelendiğinde; I. öncüldeki a+b+ca + b + c ifadesi (a+c)+b(a + c) + b şeklinde düşünülebilir. Tek sayı olan a+ca + c ile tek sayı olan bb toplandığında sonuç çift sayı olur (Her zaman doğru). II. öncüldeki a⋅c+ba \cdot c + b ifadesinde, aa ve cc sayılarından biri çift olduğundan a⋅ca \cdot c çarpımı çifttir. Çift bir sayıya tek olan bb eklendiğinde sonuç tek sayı olur (Her zaman yanlış). III. öncüldeki a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c ifadesinde, çarpanlardan biri (aa veya cc) çift olduğundan çarpım her zaman çift sayıdır (Her zaman doğru). Bu nedenle doğru öncüller I ve III'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeyi ortak çarpan parantezine almak
b⋅(a2+c)b \cdot (a^2 + c) ifadesi elde edilir.
Çarpım durumundaki ifadelerin teklik-çiftlik analizini daha kolay yapabilmek için.
2
Çarpanların teklik-çiftlik durumunu analiz etmek
bb tek sayıdır ve a2+ca^2 + c tek sayıdır.
İki tam sayının çarpımının tek sayı olabilmesi için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir.
3
Değişkenlerin teklik-çiftlik durumlarını belirlemek
bb tek sayıdır. a2a^2 ile aa aynı teklik-çiftlik durumuna sahip olduğundan, a2+ca^2 + c ifadesinin tek olması a+ca + c ifadesinin de tek olmasını gerektirir. Bu durumda aa ve cc sayılarından biri tek sayı iken diğeri çift sayıdır.
Toplamları tek olan iki tam sayıdan birinin çift, diğerinin tek olması gerektiği kuralından dolayı.
4
Öncülleri tek tek değerlendirmek
I. ifadede (a+c)(a + c) tek ve bb tek olduğundan toplamları çifttir. II. ifadede a⋅ca \cdot c çift (biri çift olduğundan) ve bb tek olduğundan toplamları tektir. III. ifadede aa veya cc sayılarından biri çift olduğundan çarpımları çifttir.
Her bir öncülün her zaman çift sayı belirtip belirtmediğini kesinleştirmek için.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda teklik ve çiftlik özellikleri, ortak paranteze alma ve toplama/çarpma işlemlerinin teklik-çiftlik üzerindeki etkileri.
Soru 2982Soru →

Aşağıda verilen birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin her birini sağlayan en büyük tam sayı değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Eşitsizliklerin sağladığı en büyük tam sayı değerlerinin küçükten büyüğe doğru sıralaması sırasıyla 1, 3 ve 4 değerlerine karşılık gelen birinci, üçüncü ve ikinci ifadeler şeklindedir.
Birinci, üçüncü ve ikinci ifadelerden sırasıyla 1, 3 ve 4 en büyük tam sayı değerleri elde edilir. Bu değerlerin sıralaması 1 < 3 < 4 olduğundan doğru sıralama birinci, üçüncü ve ikinci şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci ifadedeki eşitsizliği çözelim.
−2x+8>4⇒−2x>−4⇒x<2 -2x + 8 > 4 \Rightarrow -2x > -4 \Rightarrow x < 2 elde edilir. Bu aralıktaki en büyük tam sayı değeri 1'dir.
Eşitsizliğin her iki tarafından 8 çıkarılıp her iki tarafı -2'ye bölündüğünde negatif sayıya bölündüğü için eşitsizlik yön değiştirir.
2
İkinci ifadedeki eşitsizliği çözelim.
3y−5≤7⇒3y≤12⇒y≤4 3y - 5 \le 7 \Rightarrow 3y \le 12 \Rightarrow y \le 4 elde edilir. Bu aralıktaki en büyük tam sayı değeri 4'tür.
Eşitsizliğin her iki tarafına 5 eklenip her iki tarafı pozitif olan 3 sayısına bölündüğü için eşitsizlik yön değiştirmez.
3
Üçüncü ifadedeki eşitsizliği çözelim.
−4z−6≥−18⇒−4z≥−12⇒z≤3 -4z - 6 \ge -18 \Rightarrow -4z \ge -12 \Rightarrow z \le 3 elde edilir. Bu aralıktaki en büyük tam sayı değeri 3'tür.
Eşitsizliğin her iki tarafına 6 eklenip her iki tarafı -4'e bölündüğünde negatif sayıya bölündüğü için eşitsizlik yön değiştirir.
4
Bulunan tam sayı değerlerini karşılaştırıp sıralayalım.
Değerler sırasıyla 1, 4 ve 3 olduğundan küçükten büyüğe doğru sıralama 1 < 3 < 4 şeklindedir.
Sıralama birinci ifade, üçüncü ifade ve ikinci ifade şeklinde olmalıdır.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin çözümünde, eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayı ile çarpılır veya bölünürse eşitsizlik yön değiştirir.
Soru 2983Soru →

Her xx ve yy gerçel sayısı için x2⋅y≤0x^2 \cdot y \le 0 ise yy negatif bir sayıdır veya xx işaretsizdir (nötrdür).

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen ifade yanlıştır çünkü x=1x=1 ve y=0y=0 için eşitsizlik sağlanmasına rağmen yy negatif değildir ve xx işaretsiz değildir.
Verilen ifade yanlıştır çünkü y=0y = 0 ve x=1x = 1 değerleri için x2⋅y=0≤0x^2 \cdot y = 0 \le 0 eşitsizliği sağlanmasına rağmen, ne yy negatif bir sayıdır ne de xx işaretsiz (nötr) bir sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliği incelemek için x2⋅y≤0x^2 \cdot y \le 0 koşulunu sağlayan durumları sınıflandırın.
Bu eşitsizliğin sağlanması için ya x2⋅y=0x^2 \cdot y = 0 ya da x2⋅y<0x^2 \cdot y < 0 olmalıdır.
Eşitsizlik ≤\le (küçük veya eşit) sembolü içerdiğinden eşitlik ve küçüklük durumları ayrı ayrı değerlendirilmelidir.
2
x2⋅y=0x^2 \cdot y = 0 durumunu analiz edin.
Bu durumda x=0x = 0 veya y=0y = 0 olmalıdır. Eğer x=0x = 0 ise xx işaretsizdir (nötr). Ancak y=0y = 0 ve x≠0x \ne 0 (örneğin x=1x = 1) ise x2⋅y=0x^2 \cdot y = 0 sağlanır.
Çarpımın sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir.
3
x=1x = 1 ve y=0y = 0 karşıt örneğini önermede yerine koyarak test edin.
x2⋅y=12⋅0=0≤0x^2 \cdot y = 1^2 \cdot 0 = 0 \le 0 eşitsizliği sağlanır. Bu durumda y=0y = 0 (negatif değil, nötr) ve x=1x = 1 (işaretsiz değil, pozitif) elde edilir. Her iki koşul da ('yy negatif bir sayıdır' veya 'xx işaretsizdir') sağlanmamış olur.
Önermenin her xx ve yy gerçel sayısı için doğru olmadığını gösteren en az bir karşıt örnek bulmak önermenin yanlış olduğunu kanıtlar.

Anahtar Kavram

Sıfır sayısının işaretsiz (nötr) olması ve eşitsizliklerde eşitlik durumunun (00) göz ardı edilmemesi.
Soru 2984Soru →
aa ve bb gerçel sayılar olmak üzere, xx değişkenine bağlı
a(x−3)>b(x+1) a(x - 3) > b(x + 1)
eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi (2,∞)(2, \infty) aralığıdır.

Buna göre;
I. a⋅b>0a \cdot b > 0
II. a+b>0a + b > 0
III. a+3b=0a + 3b = 0

ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: II ve III

Cevap

II ve III
Doğru olan seçenekte ikinci ve üçüncü öncüller yer almaktadır. Çünkü a−b>0a - b > 0 olduğundan a>ba > b olur ve 3a+ba−b=2\frac{3a + b}{a - b} = 2 eşitliğinden a=−3ba = -3b elde edilir. Bu iki bilgi birleştirildiğinde b<0b < 0 ve a>0a > 0 bulunur. Buradan a+b=−2b>0a + b = -2b > 0 ve a+3b=0a + 3b = 0 ifadelerinin kesinlikle doğru olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen a(x−3)>b(x+1)a(x - 3) > b(x + 1) eşitsizliğinde parantezleri açıp xx terimlerini sol tarafa toplarız.
ax−3a>bx+b  ⟹  (a−b)x>3a+bax - 3a > bx + b \implies (a - b)x > 3a + b elde edilir.
Eşitsizliğin en geniş çözüm kümesini bulmak için xx değişkenini yalnız bırakmalıyız.
2
Eşitsizliğin en geniş çözüm kümesinin (2,∞)(2, \infty) yani x>2x > 2 olduğu bilgisinden yararlanarak xx'in katsayısının işaretini belirleriz.
a−b>0a - b > 0 yani a>ba > b olmalıdır.
Elde edilen (a−b)x>3a+b(a-b)x > 3a+b eşitsizliği ile çözüm kümesinin yönü (x>2x > 2) aynı olduğundan, eşitsizlik yön değiştirmemiştir. Bu da bölünen katsayının pozitif olduğunu gösterir.
3
Her iki tarafı a−ba - b ifadesine bölerek sınır değerini 22'ye eşitleriz.
x>3a+ba−b  ⟹  3a+ba−b=2  ⟹  3a+b=2a−2b  ⟹  a=−3bx > \frac{3a + b}{a - b} \implies \frac{3a + b}{a - b} = 2 \implies 3a + b = 2a - 2b \implies a = -3b (yani a+3b=0a + 3b = 0) bulunur.
Çözüm kümesinin alt sınırı olan 22 değeri, eşitsizlik sınır değerine eşit olmalıdır.
4
a=−3ba = -3b eşitliğini a>ba > b eşitsizliğinde yerine yazarak parametrelerin işaretlerini belirleriz ve öncülleri inceleriz.
−3b>b  ⟹  −4b>0  ⟹  b<0-3b > b \implies -4b > 0 \implies b < 0 olur. b<0b < 0 ise a=−3b>0a = -3b > 0 olur. Buradan:
I. a⋅b<0a \cdot b < 0 olur (I. öncül yanlıştır).
II. a+b=−3b+b=−2ba + b = -3b + b = -2b olur. b<0b < 0 olduğundan −2b>0-2b > 0 olur (II. öncül doğrudur).
III. a+3b=0a + 3b = 0 olduğu zaten bulunmuştu (III. öncül doğrudur).
Öncüllerin doğruluğunu kesin olarak belirlemek için parametrelerin işaretlerini ve birbirleriyle olan oranlarını analiz etmek gerekir.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde katsayının işaretine göre yön değiştirme kuralı ve çözüm kümesi sınır değerleri.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 2985Soru →

Sayı doğrusu üzerinde AA ve BB kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

* AA kümesi, başlangıç noktasına (00) olan uzaklığı en fazla 66 birim olan gerçek sayıların kümesidir.
* BB kümesi, −2-2 noktasına olan uzaklığı en az 33 birim olan gerçek sayıların kümesidir.

Buna göre, A∖BA \setminus B fark kümesinin sayı doğrusu üzerindeki gösteriminde yer alan tüm tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -10

Cevap

Sayı doğrusunda A fark B kümesi (−5,1)(-5, 1) açık aralığı olup, bu aralıktaki tam sayıların toplamı −10-10'dur.
Sayı doğrusundaki A kümesi [−6,6][-6, 6] kapalı aralığını, B kümesi ise (−∞,−5]∪[1,∞)(-\infty, -5] \cup [1, \infty) kümesini belirtir. A kümesinden B kümesinin çıkarılmasıyla elde edilen A∖BA \setminus B kümesi (−5,1)(-5, 1) açık aralığıdır. Bu aralıkta bulunan tam sayılar −4,−3,−2,−1,0-4, -3, -2, -1, 0 olup toplamları −10-10'dur.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesini aralık olarak belirleme
A=[−6,6]A = [-6, 6]
Başlangıç noktasına (0) uzaklığı en fazla 6 birim olan sayılar��n kümesi mutlak değerce ∣x∣≤6|x| \le 6 eşitsizliğini sağlar.
2
B kümesini aralık olarak belirleme
B=(−∞,−5]∪[1,∞)B = (-\infty, -5] \cup [1, \infty)
−2-2 noktasına uzaklığı en az 3 birim olan sayıların kümesi ∣x−(−2)∣≥3|x - (-2)| \ge 3 eşitsizliğini sağlar.
3
Fark kümesini bulma
A∖B=(−5,1)A \setminus B = (-5, 1)
A kümesinin elemanlarından B kümesinin elemanları çıkarılır. B kümesinin sınır noktaları olan −5-5 ve 11 değerleri B'ye dahil olduğu için fark kümesine dahil edilmez (açık uç).
4
Fark kümesindeki tam sayıları bulma ve toplama
−10-10
(−5,1)(-5, 1) açık aralığındaki tam sayılar −4,−3,−2,−1,0-4, -3, -2, -1, 0 sayılarıdır. Bu sayıların toplamı −10-10 yapar.

Anahtar Kavram

Sayı doğrusunda aralık kavramı, açık ve kapalı aralıkların fark kümesi işlemiyle gösterimi

Alternatif Yöntem

Sayı doğrusu çizilerek A kümesi [−6,6][-6, 6] boyanır. B kümesi olarak −5-5 ve daha küçük sayılar ile 11 ve daha büyük sayılar taranır. A kümesinin boyalı bölgesinden B kümesinin taranan kısımları makasla kesilip atıldığında geriye −5-5 ve 11 uç noktaları açık kalacak şekilde (−5,1)(-5, 1) aralığı kalır. Buradan tam sayılar kolayca tespit edilebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2986Soru →

Bir sinema salonunda yan yana bulunan koltuklar soldan sağa doğru 2,4,6,…2, 4, 6, \dots şeklinde ardışık çift sayılarla numaralandırılmıştır. Bu salonda yan yana bulunan ardışık üç koltuğun numaraları toplamı 5454 olduğuna göre, bu koltuklardan numarası en büyük olan koltuğun numarası kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

En büyük koltuk numarası 20'dir.
Ardışık üç çift sayının toplamı 54 ise, ortadaki sayı 543=18\frac{54}{3} = 18 olur. Sayılar ikişer ikişer arttığı için en büyük sayı 18+2=2018 + 2 = 20 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Toplamı terim sayısına bölerek ortanca terimi bulma.
Ortanca terim 1818 olarak bulunur.
Ardışık tek sayıda terimi olan aritmetik serilerde, terimler toplamı terim sayısına bölündüğünde ortadaki terim elde edilir.
2
Ortanca terimi kullanarak ardışık çift sayıları belirleme.
Sayılar 1616, 1818 ve 2020 olarak bulunur.
Ardı��ık çift sayılar arasındaki fark 22 olduğundan, ortanca terimin 22 eksiği en küçük terimi, 22 fazlası ise en büyük terimi verir.
3
İstenen en büyük değeri belirleme.
En büyük koltuk numarası 2020 olarak belirlenir.
Soruda yan yana bulunan koltuklardan en büyük numaralı olanı sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Ardışık çift sayıların toplamı ve ortanca terim ilişkisi
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 2987Soru →

Bir meteoroloji istasyonunda sabah, öğle ve akşam saatlerinde ölçülen hava sıcaklık değerleri sırasıyla aa, bb ve cc santigrat derecedir. Bu değerler arasında,
* a⋅b<0a \cdot b < 0
* b−c>0b - c > 0
bağıntıları bulunmaktadır.

Bu üç ölçümden en az birinde hava s��caklığı tam olarak 00 santigrat derece olduğuna göre; aa, bb ve cc değerlerinin işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −, +, 0-,\ +,\ 0

Cevap

Sabah sıcaklığı negatif, öğle sıcaklığı pozitif, akşam sıcaklığı sıfır derece olmalıdır.
Doğru cevap olan seçenekte sabah sıcaklığı negatif, öğle sıcaklığı pozitif ve akşam sıcaklığı sıfır derece olarak verilmiştir. a⋅b<0a \cdot b < 0 olduğundan ne sabah ne de öğle sıcaklığı sıfır olamaz. Bu nedenle akşam sıcaklığı olan c=0c = 0 olmak zorundadır. b−c>0b - c > 0 eşitsizliğinde c=0c = 0 yazılırsa b>0b > 0 bulunur. bb pozitif iken a⋅b<0a \cdot b < 0 olması için a<0a < 0 olmalıdır. Bu durum tüm koşulları sağlar.

Adım Adım Çözüm

1
Çarpım durumundaki değişkenleri inceleme
a≠0a \neq 0 ve b≠0b \neq 0 olmalıdır.
İki gerçel sayının çarpımı sıfırdan küçük (a⋅b<0a \cdot b < 0) olduğundan, bu sayılardan herhangi biri sıfıra eşit olamaz. Sıfır olsaydı çarpım sonucu sıfır olurdu.
2
Sıfır olan değişkeni belirleme
c=0c = 0 olmalıdır.
Soruda en az bir sıcaklık değerinin sıfır derece olduğu belirtilmiştir. aa ve bb sıfır olamayacağına göre, sıfır olan tek aday cc sayısıdır.
3
Eşitsizlik yardımıyla ikinci değişkenin işaretini bulma
b>0b > 0 (pozitif) olur.
b−c>0b - c > 0 eşitsizliğinde cc yerine 00 yazıldığında b−0>0  ⟹  b>0b - 0 > 0 \implies b > 0 elde edilir.
4
Çarpım yardımıyla son değişkenin işaretini bulma
a<0a < 0 (negatif) olur.
a⋅b<0a \cdot b < 0 eşitsizliğinde bb pozitif olduğuna göre, çarpımın negatif çıkması için aa negatif olmalıdır.

Anahtar Kavram

Pozitif ve Negatif Sayılar ile Sıfırın Nötrlük Özelliği
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2988Soru →

xx bir gerçel say�� olmak üzere,

−3<2x−5−3≤1-3 < \frac{2x - 5}{-3} \le 1

eşitsizliği veriliyor. Buna göre, 3x−13x - 1 ifadesinin alabileceği en geniş değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [2,20)[2, 20)

Cevap

[2,20)[2, 20)
Verilen eşitsizlikte her taraf −3-3 ile çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirir ve −3≤2x−5<9-3 \le 2x - 5 < 9 elde edilir. Bu ifadeden adım adım 1≤x<71 \le x < 7 aralığına ulaşılır. İstenen 3x−13x - 1 ifadesini oluşturmak amacıyla eşitsizlik önce 33 ile çarpılıp ardından 11 çıkarıldığında en geniş değer aralığı [2,20)[2, 20) olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliği sadeleştirmek için her tarafı −3-3 ile çarpın.
(−3)⋅(−3)>2x−5≥1⋅(−3)(-3) \cdot (-3) > 2x - 5 \ge 1 \cdot (-3)
9>2x−5≥−39 > 2x - 5 \ge -3
Paydadaki −3-3 değerinden kurtulmak gerekir. Negatif bir sayı ile çarpma yapıldığı için eşitsizlik yön değiştirmiştir.
2
Elde edilen eşitsizliği standart küçükten büyüğe sıralama biçiminde yazın.
−3≤2x−5<9-3 \le 2x - 5 < 9
Çözüm adımlarının daha anlaşılır ve düzenli olması için yönleri standart hale getirilir.
3
Her tarafa 55 ekleyin.
2≤2x<142 \le 2x < 14
xx terimini yalnız bırakmak için sabit sayıdan kurtulmak gerekir.
4
Her tarafı 22'ye bölün.
1≤x<71 \le x < 7
xx'in tanım aralığını bulmak için katsayısını sadeleştirmek gerekir.
5
3x−13x - 1 ifadesinin aralığını elde etmek için önce 33 ile çarpıp ardından 11 çıkarın.
3≤3x<213 \le 3x < 21
2≤3x−1<202 \le 3x - 1 < 20
İstenen ifadenin en geniş değer aralığına ulaşmak için adım adım eşitsizlik özellikleri uygulanır.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde negatif sayı ile çarpma/bölme işlemlerinde yön değiştirme kuralı ve aralıkların uç noktalarının dahil olup olmama durumları.
Soru 2989Soru →

Biyo-sanat, canlı dokuları, organizmaları ve yaşam süreçlerini sanatsal birer araç olarak kullanan modern bir sanat akımıdır. Sanatçılar; laboratuvar ortamlarında DNA dizilimlerini değiştirerek, bakterileri çoğaltarak ya da hücre kültürlerini yönlendirerek geleneksel boya ve tuvalin ötesine geçerler. Bu disiplin, yalnızca estetik bir kaygı gütmekle kalmaz; biyoteknolojik gelişmelerin insan kimliği, çevre ve yaşamın tanımı üzerindeki etik sınırlarını sorgulatmayı hedefler. Sanat ve bilimin bu kesişim noktası, izleyiciyi alışılmışın dışındaki doğasıyla sarsarken aynı zamanda insan merkezli bakış açısını da tehdit eder. Ancak yaşayan malzemelerin kullanılması, sanat eserinin zamanla değişmesine, çürümesine veya mutasyona uğramasına yol açarak sergileme ve koruma süreçlerinde müzeolojiyi yeni ve karmaşık protokoller geliştirmeye zorlamaktadır.

Bu parçadan biyo-sanatla ilgili olarak aşağıdakilerin hangisine ulaşılamaz?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Canlı organizmaların kullanılması sayesinde sanatın geniş kitleler tarafından daha kolay alımlanmasını sağladığına

Cevap

Canlı organizmaların kullanılması sayesinde sanatın geniş kitleler tarafından daha kolay alımlanmasını sağladığına
Biyo-sanatın canlı malzemeler kullanarak izleyiciyi sarstığı ve yerleşik insan merkezli bakış açısını tehdit ettiği parçada vurgulanmıştır. Ancak canlı organizmaların kullanılmasının sanatın geniş kitleler tarafından daha kolay alımlanmasını (anlaşılmasını/kabul görmesini) sağladığı yönünde hiçbir çıkarım yapılamaz. Dolayısıyla bu yargı parçadan çıkarılamaz bir yardımcı düşüncedir.

Adım Adım Çözüm

1
Paragraftaki anahtar ifadeleri belirlemek ve seçeneklerle eşleştirmek amacıyla metni analiz etme.
Metinde geçen 'laboratuvar ortamları' ve 'DNA dizilimleri' fen bilimleri ile; 'estetik kaygının ötesinde etik sınırlar' ahlaki sorgulamayla; 'yaşayan malzemelerin değişimi/çürümesi' statik olmama durumuyla; 'insan merkezli bakışı tehdit etmesi' ise yerleşik algı dünyasını sarsmasıyla eşleşmektedir.
Metindeki yardımcı düşünceleri tek tek tespit ederek seçeneklerin hangilerinin metinde yer aldığını belirlemek gerekir.
2
Metinde bulunmayan veya metindeki ifadelerle çelişen yargıyı tespit etme.
Canlı organizmaların kullanılmasının sanatı daha kolay anlaşılır kıldığına veya geniş kitlelerce daha rahat alımlanmasını sağladığına dair hiçbir bilgi parçada yer almamaktadır; aksine eserin izleyiciyi sarstığı belirtilmiştir.
Yardımcı düşünce sorularında doğru cevap, metinde değinilmeyen veya metindeki bilgilerle çelişen ifadedir.

Anahtar Kavram

Paragrafta Yardımcı Düşünceler
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2990Soru →
Bir depodaki su miktarı (litre cinsinden) zamana (tt, saat) bağlı olarak V(t)=450−18tV(t) = 450 - 18t fonksiyonu ile azalmaktadır. Depodaki su miktarının, kapasitesi 600600 litre olan deponun hacminin en az %30\%30'u kadar olması istenmektedir. Buna göre, depodaki su miktarının bu koşulu sağlaması için geçen sürenin (tt saat) alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Depodaki su miktarının istenen koşulu sağlaması için geçen sürenin alabileceği en büyük tam sayı değeri 1515 saattir.
Deponun toplam hacminin %30\%30'u 180180 litredir. Zamana bağlı kalan su miktarını gösteren 450−18t450 - 18t ifadesinin bu değerden büyük veya eşit olması gerektiğinden 450−18t≥180450 - 18t \ge 180 eşitsizliği yazılır. Buradan −18t≥−270-18t \ge -270 elde edilir. Eşitsizliğin her iki tarafı −18-18 ile bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir ve t≤15t \le 15 bulunur. Bu aralıktaki en büyük tam sayı değeri 1515 saattir.

Adım Adım Çözüm

1
Depo kapasitesinin hedeflenen minimum yüzdesini hesaplama
Minimum su miktarı 600×030=180600 \times 0{}30 = 180 litre olarak bulunur.
Depodaki su miktarının hacminin en az %30\%30'u kadar olması şartını matematiksel bir sınıra dönüştürmek için.
2
Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliği kurma
450−18t≥180450 - 18t \ge 180 eşitsizliği elde edilir.
Depodaki su miktarını temsil eden fonksiyonun, bulunan alt sınır değerinden büyük veya eşit olması gerektiğini ifade etmek için.
3
Eşitsizlikte sabit terimleri bir tarafa toplama
−18t≥−270-18t \ge -270 eşitsizliği elde edilir.
Bilinmeyenli terimi yalnız bırakmak amacıyla eşitsizliğin her iki tarafından 450450 çıkarmak için.
4
Eşitsizliği çözmek için her iki tarafı negatif katsayıya bölme ve yön değiştirme
t≤15t \le 15 eşitsizliği elde edilir.
Eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayıya bölündüğ��nde eşitsizlik sembolünün yön değiştirmesi kuralını uygulamak için.
5
Koşulu sağlayan en büyük tam sayı değerini belirleme
En büyük tam sayı değeri 1515 olarak bulunur.
t≤15t \le 15 aralığındaki en büyük tam sayıyı bulmak için.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin çözümü ve eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayıyla çarpıldığında veya bölündüğünde yön değiştirmesi kuralı.
Soru 2991Soru →

xx gerçel sayısı için x2+2xx^2 + 2x ifadesinin bir rasyonel sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre,

I. xx bir rasyonel sayıdır.
II. (x+1)2(x+1)^2 bir rasyonel sayıdır.
III. xx irrasyonel sayı ise x2−2xx^2 - 2x de irrasyonel sayıdır.

ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: II ve III

Cevap

İkinci ve üçüncü öncüller kesinlikle doğrudur.
İkinci öncüldeki ifade (x+1)2=x2+2x+1(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 biçiminde açıldığında, rasyonel olduğu bilinen bir ifadeye rasyonel bir tam sayı olan 1 eklenmektedir. Rasyonel sayılar kümesi toplama işlem altında kapalı olduğu için bu toplam yine bir rasyonel sayıdır. Üçüncü öncülde ise, eğer xx irrasyonel iken x2−2xx^2 - 2x ifadesi rasyonel olsaydı, rasyonel olan x2+2xx^2 + 2x ifadesinden bu ifade çıkarılarak elde edilen 4x4x rasyonel olurdu, bu da xx'in rasyonel olmasını gerektirirdi. Bu bir çelişki oluşturduğundan x2−2xx^2 - 2x kesinlikle irrasyoneldir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci öncülü incelemek amacıyla karşıt örnek oluşturma.
x2+2x=1x^2 + 2x = 1 denklemi kurulur. Bu denklemin kökleri x=−1±2x = -1 \pm \sqrt{2} olup irrasyoneldir. Dolayısıyla xx rasyonel olmak zorunda değildir.
Bir öncülün kesinlikle doğru olmadığını göstermek için aksine bir örnek bulmak yeterlidir.
2
İkinci öncüldeki ifadeyi cebirsel olarak açma ve rasyonel sayıların özelliklerini kullanma.
(x+1)2=x2+2x+1(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 yazılır. x2+2xx^2 + 2x rasyonel olduğundan, buna rasyonel bir sayı olan 1 eklendiğinde elde edilen (x+1)2(x+1)^2 de kesinlikle rasyonel olur.
Rasyonel sayıların toplama işlemine göre kapalı olması özelliğini kullanmak.
3
Üçüncü öncül için çelişkiyle kanıt (olmayana ergi) yöntemini uygulama.
x2+2x=qx^2 + 2x = q (rasyonel) ve x2−2x=px^2 - 2x = p (rasyonel olsun). Taraf tarafa çıkarma yapıldığında (x2+2x)−(x2−2x)=q−p  ⟹  4x=q−p  ⟹  x=q−p4(x^2 + 2x) - (x^2 - 2x) = q - p \implies 4x = q - p \implies x = \frac{q-p}{4} elde edilir. Rasyonel sayıların farkı ve bölümü rasyonel olduğundan xx rasyonel olmalıdır. Bu durum xx'in irrasyonel olması varsayımı ile çelişir. Demek ki x2−2xx^2 - 2x rasyonel olamaz, irrasyonel olmalıdır.
İki ifadenin de rasyonel olması durumunda xx'in de rasyonel olmak zorunda kalacağını göstererek çelişki elde etmek.

Anahtar Kavram

Rasyonel ve irrasyonel sayı kümelerinin özellikleri, kapalılık özelliği ve çelişki yöntemi ile ispat.
Soru 2992Soru →

Aşağıdaki parçada müzecilik anlayışındaki değişim ele alınmaktadır:

Müzeler, uzun yıllar boyunca geçmişe ait nesnelerin korunduğu, tozlu raflarda sergilendiği ve sadece tarih meraklılarının ziyaret ettiği statik mekânlar olarak algılanmıştır. Ancak günümüzde bu geleneksel yakla��ım yerini daha dinamik ve etkileşimli bir yapıya bırakmaktadır. Çağdaş müzecilik anlayışı, ziyaretçiyi sadece pasif bir alıcı olarak görmez; onu sergilenen nesnelerin öyküsüne ortak eder, atölyeler ve dijital uygulamalarla sürecin içine çeker. Bu dönüşüm sayesinde müzeler, geçmişin pasif birer bekçisi olmaktan çıkıp toplumun kültürel belleğini canlı tutan, farklı kuşakları ortak bir paydada buluşturan ve geleceğin yaratıcı düşüncelerine ilham veren aktif yaşam alanlarına dönüşmektedir. Dolayısıyla müzeleri sadece geçmişin korunduğu depolar olarak görmek, onların toplumsal değişim ve gelişimdeki itici güç olma potansiyelini göz ardı etmek anlamına gelir. Yeni nesil müzeler, geçmişle gelecek arasında kurdukları köprüyle toplumsal dönüşümün en önemli aktörlerinden biri hâline gelmiştir.

Buna göre, 'Modern müzecilik anlayışı, müzeleri geçmişin korunduğu durağan depolar olmaktan çıkarıp onları toplumsal belleği canlı tutan ve geleceğe ilham veren aktif yaşam alanlarına dönüştürmüştür.' yargısı bu parçanın ana düşüncesidir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade metnin ana düşüncesini doğru bir şekilde özetlediği için bu yargı doğrudur.
Verilen yargı, parçanın son kısmında belirtilen 'müzelerin geçmişle gelecek arasında köprü kurarak toplumsal dönüşümün en önemli aktörü haline geldiği' ve geçmişin pasif birer bekçisi olmaktan çıktığı yönündeki ana fikri eksiksiz özetlemektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Metnin konusunu ve yazarın bakış açısını belirleme
Metinde müzelerin geleneksel durağan yapısından çağdaş, etkileşimli ve dinamik yapısına doğru gerçekleşen dönüşüm konu edilmektedir.
Ana düşünceye ulaşmak için öncelikle metnin ne hakkında yazıldığını ve konunun hangi yönünün ele alındığını saptamak gerekir.
2
Yardımcı düşünceleri eleyerek yazarın okuyucuya iletmek istediği asıl mesajı saptama
Ziyaretçilerin sürece dahil edilmesi, dijital uygulamaların kullanılması gibi unsurlar yardımcı düşüncelerdir; asıl iletilmek istenen mesaj ise müzelerin toplumsal dönüşümün ve kültürel belleğin aktif birer merkezi haline geldiğidir.
Metindeki detayları ve yan unsurları ana düşünceden ayırmak, soruyu doğru çözebilmek için gereklidir.
3
Belirlenen ana düşünce ile verilen yargıyı karşılaştırma
Verilen yargının metnin ana fikrini tam olarak yansıttığı ve en genel yargı olduğu tespit edilmiştir.
Yargının doğruluğunu kesinleştirmek için metnin bütününde savunulan ana fikirle örtüşüp örtüşmediği kontrol edilmelidir.

Anahtar Kavram

Paragrafta Ana Düşünce
Soru 2993Soru →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
−3x+5-3x + 5
ifadesinin değer aldığı en geniş aralık [−4,11)[-4, 11) yarı açık aralığıdır.

Buna göre, xx sayısının alabileceği en geniş değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (−2,3](-2, 3]

Cevap

(−2,3](-2, 3] yarı açık aralığı
Verilen [−4,11)[-4, 11) aralığı −4≤−3x+5<11-4 \le -3x + 5 < 11 şeklinde yazılır. Eşitsizliğin her tarafından 5 çıkarıldığında −9≤−3x<6-9 \le -3x < 6 elde edilir. Her taraf -3'e bölündüğünde negatif sayıya bölündüğü için yön değiştirilir ve 3≥x>−23 \ge x > -2 olur. Bu da (−2,3](-2, 3] yarı açık aralığına eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen aralığı eşitsizlik biçiminde yazmak
−4≤−3x+5<11-4 \le -3x + 5 < 11
[-4, 11) yarı açık aralığı, alt sınırın dahil olduğunu ve üst sınırın dahil olmadığını gösterir.
2
Eşitsizliğin her tarafından 5 çıkarmak
−9≤−3x<6-9 \le -3x < 6
Bilinmeyen x terimini yalnız bırakabilmek için sabit sayıyı yok etmek gerekir.
3
Eşitsizliğin her tarafını -3'e bölmek ve yön değiştirmek
3≥x>−23 \ge x > -2 (yani −2<x≤3-2 < x \le 3)
Bir eşitsizlik negatif bir sayıya bölündüğ��nde eşitsizlik işaretleri yön değiştirir. Dolayısıyla \le işareti \ge işaretine, < işareti ise > işaretine dönüşür.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde, her iki taraf negatif bir sayı ile çarpılır veya bölünürse eşitsizliğin yönü değişir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2994Soru →
xx ve yy gerçel sayıları için
x2+y2=8x^2 + y^2 = 8
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, x⋅yx \cdot y çarpımının bir tam sayı olduğu durumda x+yx + y toplamının alabileceği farklı rasyonel sayı değerlerinin sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

x + y toplamının alabileceği farklı rasyonel sayı değerlerinin sayısı 5'tir.
xx ve yy gerçel sayıları için (x+y)2=8+2xy(x+y)^2 = 8 + 2xy olup, gerçel sayı olma sınırından dolayı −4≤xy≤4-4 \leq xy \leq 4 elde edilir. Bu aralıkta xyxy tam sayısı için 8+2xy8+2xy ifadesini tam kare yapan değerler xy∈{−4,−2,4}xy \in \{-4, -2, 4\} olup, x+yx+y toplamı 0,±2,±40, \pm 2, \pm 4 olmak üzere 5 farklı rasyonel sayı değeri alabilir.

Adım Adım Çözüm

1
x+yx+y toplamının karesini alarak verilen değerleri yerine yerleştirin.
(x+y)2=8+2xy(x+y)^2 = 8 + 2xy eşitliği elde edilir.
x+yx+y toplamı ile xyxy çarpımı arasındaki ilişkiyi kurmak.
2
xx ve yy sayılarının gerçel sayı olma koşulunu uygulayarak xyxy çarpımının sınırlarını belirleyin.
(x−y)2=8−2xy≥0  ⟹  xy≤4(x-y)^2 = 8 - 2xy \geq 0 \implies xy \leq 4 ve (x+y)2≥0  ⟹  8+2xy≥0  ⟹  xy≥−4(x+y)^2 \geq 0 \implies 8 + 2xy \geq 0 \implies xy \geq -4 olup −4≤xy≤4-4 \leq xy \leq 4 bulunur.
Gerçel sayı kümelerinde çalışıldığı için karelerin negatif olamama kuralını uygulamak.
3
xyxy çarpımının tam sayı koşulunu kullanarak alabileceği tam sayı değerlerini listeleyin.
xy∈{−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4}xy \in \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\} olur.
Soruda verilen tam sayı kümesi tanımını uygulamak.
4
x+yx+y toplamını rasyonel yapan xyxy değerlerini tespit edip bu toplamın alabileceği değerleri hesaplayın.
s=x+ys = x+y rasyonel sayısı için s2=8+2xys^2 = 8 + 2xy tam sayı olduğundan 8+2xy8+2xy ifadesinin bir tam kare olması gerekir. Buradan:
- xy=−4  ⟹  s2=0  ⟹  s=0xy = -4 \implies s^2 = 0 \implies s = 0
- xy=−2  ⟹  s2=4  ⟹  s=±2xy = -2 \implies s^2 = 4 \implies s = \pm 2
- xy=4  ⟹  s2=16  ⟹  s=±4xy = 4 \implies s^2 = 16 \implies s = \pm 4
olmak üzere x+yx+y toplamı {−4,−2,0,2,4}\{-4, -2, 0, 2, 4\} kümesindeki 5 farklı rasyonel değeri alabilir.
Rasyonel sayıların karesinin rasyonel olması ve tam sayı katsayılı denklemde tamkarelik koşulunu incelemek.

Anahtar Kavram

Sayı Kümeleri (Tam Sayılar, Rasyonel Sayılar, Gerçel Sayılar) ve Tanımlılık Koşulları
Soru 2995Soru →

Aylin, üç basamaklı bir ABCABC doğal sayısının onlar ve yüzler basamağını yer değiştirerek üç basamaklı bir XX sayısı, onlar ve birler basamağını yer değiştirerek ��ç basamaklı bir YY sayısı elde ediyor.

Aylin'in elde ettiği bu sayılar arasında,
ABC−X=180ABC - X = 180
Y−X=198Y - X = 198

bağıntıları olduğuna göre, yazılabilecek tüm ABCABC sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4522

Cevap

Koşulları sağlayan tüm üç basamaklı sayıların toplamı 4522'dir.
Çözümleme işlemleri yapıldığında A=B+2A = B + 2 ve C=B+2C = B + 2 bağıntılarına ulaşılır. Hem ABCABC hem de onlar ve yüzler basamağı yer değiştirmiş olan X=BACX = BAC sayısının üç basamaklı olabilmesi için B≥1B \ge 1 ve A≤9A \le 9 olmalıdır. Bu sınırlar dahilinde yazılabilecek sayılar 313, 424, 535, 646, 757, 868 ve 979'dur. Bu sayıların toplamı 4522 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC, XX ve YY sayılarının basamak çözümlemesini yapmak
ABC=100A+10B+CABC = 100A + 10B + C
X=100B+10A+CX = 100B + 10A + C (Onlar ve yüzler basamağı yer değiştirdi)
Y=100A+10C+BY = 100A + 10C + B (Onlar ve birler basamağı yer değiştirdi)
Sayılar arasındaki farkları basamak değerlerine göre ifade etmek için çözümleme yapılmalıdır.
2
ABC−X=180ABC - X = 180 bağıntısını çöz��mlemek
(100A+10B+C)−(100B+10A+C)=180(100A + 10B + C) - (100B + 10A + C) = 180
90A−90B=180  ⟹  A−B=2  ⟹  A=B+290A - 90B = 180 \implies A - B = 2 \implies A = B + 2
Yüzler ve onlar basamaklarındaki rakamların farkını bulmak için çıkarma işlemi sadeleştirilir.
3
Y−X=198Y - X = 198 bağıntısını çözümlemek
(100A+10C+B)−(100B+10A+C)=198(100A + 10C + B) - (100B + 10A + C) = 198
90A−99B+9C=19890A - 99B + 9C = 198
Her iki taraf 9'a bölünürse:
10A−11B+C=2210A - 11B + C = 22
YY ve XX sayılarının farkını basamak değerleri yardımıyla sadeleştirmek gerekir.
4
Elde edilen denklemleri birleştirerek BB ve CC arasındaki ilişkiyi bulmak
10(B+2)−11B+C=2210(B + 2) - 11B + C = 22
10B+20−11B+C=2210B + 20 - 11B + C = 22
−B+C=2  ⟹  C=B+2-B + C = 2 \implies C = B + 2
A=B+2A = B + 2 eşitliği denklemde yerine yazılarak bilinmeyen sayısı azaltılır.
5
Üç basamaklı sayı olma koşullarını dikkate alarak rakam değerlerini belirlemek
XX ve YY sayılarının yüzler basamağındaki rakamlar sıfır olamayacağından B≠0B \neq 0 ve A≠0A \neq 0 olmalıdır. Dolayısıyla B≥1B \ge 1 olmalıdır.
BB rakamına değerler verildiğinde:
- B=1  ⟹  A=3,C=3  ⟹  ABC=313B = 1 \implies A = 3, C = 3 \implies ABC = 313
- B=2  ⟹  A=4,C=4  ⟹  ABC=424B = 2 \implies A = 4, C = 4 \implies ABC = 424
- B=3  ⟹  A=5,C=5  ⟹  ABC=535B = 3 \implies A = 5, C = 5 \implies ABC = 535
- B=4  ⟹  A=6,C=6  ⟹  ABC=646B = 4 \implies A = 6, C = 6 \implies ABC = 646
- B=5  ⟹  A=7,C=7  ⟹  ABC=757B = 5 \implies A = 7, C = 7 \implies ABC = 757
- B=6  ⟹  A=8,C=8  ⟹  ABC=868B = 6 \implies A = 8, C = 8 \implies ABC = 868
- B=7  ⟹  A=9,C=9  ⟹  ABC=979B = 7 \implies A = 9, C = 9 \implies ABC = 979
(B=8B = 8 için A=10A = 10 olur, rakam olamaz.)
AA, BB ve CC değerlerinin rakam olması ve basamak kurallarını sağlaması zorunludur.
6
Elde edilen ABCABC sayılarının toplamını hesaplamak
313+424+535+646+757+868+979=4522313 + 424 + 535 + 646 + 757 + 868 + 979 = 4522
Koşulları sağlayan tüm olası üç basamaklı sayıların toplamı bulunur.

Anahtar Kavram

Üç basamaklı doğal sayıların basamak çözümlemesi ve basamak değiştirme durumlarında değer değişimlerinin cebirsel modellenmesi.
Soru 2996Soru →

İki basamaklı ABAB ve BABA doğal sayılarının farkı, bu sayıların rakamları toplamının bir tam sayı katıdır.

A>BA > B olduğuna göre, bu koşulu sağlayan kaç farklı ABAB doğal sayısı vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Koşulu sağlayan 8 farklı AB doğal sayısı vardır.
Doğru cevap 8'dir. Basamak çözümlemesi ve oran analizi yapıldığında, A>B≥1A > B \ge 1 koşulu altında denklemi sağlayan ABAB sayıları 21, 42, 51, 54, 63, 72, 81 ve 84 olmak üzere tam olarak 8 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1
ABAB ve BABA iki basamaklı sayıları için basamak çözümlemesi yapılarak farkları bulunur.
AB−BA=(10A+B)−(10B+A)=9(A−B)AB - BA = (10A + B) - (10B + A) = 9(A - B)
Sayıların basamak değerlerini çözümleyip fark ifadesini sadeleştirmek için.
2
Bu farkın, rakamlar toplamı olan A+BA + B ifadesinin bir kk tam sayı katı olduğu denklem kurulur.
9(A−B)=k(A+B)9(A - B) = k(A + B) (burada kk pozitif bir tam sayıdır, çünkü A>B  ⟹  A−B>0A > B \implies A - B > 0)
Soruda verilen kat olma koşulunu matematiksel eşitliğe dönüştürmek için.
3
Elde edilen denklem düzenlenerek rakamlar arasındaki oran yalnız bırakılır.
9A−9B=kA+kB  ⟹  (9−k)A=(9+k)B  ⟹  BA=9−k9+k9A - 9B = kA + kB \implies (9 - k)A = (9 + k)B \implies \frac{B}{A} = \frac{9 - k}{9 + k}
Farklı kk değerlerine karşılık gelen rakam çiftlerini bulmayı kolaylaştırmak için.
4
AA ve BB birer rakam (1≤A,B≤91 \le A, B \le 9) ve A>BA > B koşulu altında mümkün olan kk değerleri denenir.
- k=1  ⟹  BA=810=45  ⟹  (A,B)=(5,4)  ⟹  AB=54k=1 \implies \frac{B}{A} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \implies (A,B) = (5,4) \implies AB = 54
- k=3  ⟹  BA=612=12  ⟹  (A,B)∈{(2,1),(4,2),(6,3),(8,4)}  ⟹  AB∈{21,42,63,84}k=3 \implies \frac{B}{A} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \implies (A,B) \in \{(2,1), (4,2), (6,3), (8,4)\} \implies AB \in \{21, 42, 63, 84\}
- k=5  ⟹  BA=414=27  ⟹  (A,B)=(7,2)  ⟹  AB=72k=5 \implies \frac{B}{A} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7} \implies (A,B) = (7,2) \implies AB = 72
- k=6  ⟹  BA=315=15  ⟹  (A,B)=(5,1)  ⟹  AB=51k=6 \implies \frac{B}{A} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} \implies (A,B) = (5,1) \implies AB = 51
- k=7  ⟹  BA=216=18  ⟹  (A,B)=(8,1)  ⟹  AB=81k=7 \implies \frac{B}{A} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8} \implies (A,B) = (8,1) \implies AB = 81
Diğer kk değerleri için rakam şartı sağlanmaz. Toplamda 8 farklı değer elde edilir.
Sınır koşullarına uyan tüm basamak değerlerini ve sayıları belirlemek için.

Anahtar Kavram

İki basamaklı sayıların çözümlenmesi ve basamak değerlerinin oranlanması
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2997Soru →

Maksimum kalp hızı 180180 olan bir sporcunun antrenman yaparken hedeflediği iki farklı kalp hızı bölgesi aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

* **Aerobik Bölge (AA):** Kalp hızının, maksimum kalp hızının %65\%65'inden fazla ve %80\%80'inden az oldu��u açık aralıktır.
* **Kardiyo Bölgesi (KK):** Kalp hızının [115,132][115, 132] kapalı aralığında olduğu bölgedir.

Buna göre, bu sporcunun kalp hızının hem Aerobik Bölge'de hem de Kardiyo Bölgesi'nde olduğu aralıktaki en büyük tam sayı değeri ile en küçük tam sayı değerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 250

Cevap

Kalp hızının her iki bölgede de yer aldığı aralıktaki en büyük tam sayı ile en küçük tam sayının toplamı 250'dir.
Ortak bölge (117, 132] yarı açık aralığıdır. Bu aralıktaki sınırların dahil olup olmama durumuna dikkat edildiğinde en küçük tam sayı değeri 118, en büyük tam sayı değeri 132 olur. Bu iki değerin toplamı ise 250 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Aerobik Bölge'nin (AA) sınırlarını ve aralığını belirleyin.
Alt sınır 180×65100=117180 \times \frac{65}{100} = 117 ve üst sınır 180×80100=144180 \times \frac{80}{100} = 144 olup, aralık A=(117,144)A = (117, 144) olarak bulunur.
Soruda belirtilen yüzdelik oranlar maksimum kalp hızı olan 180'e uygulanarak aralık sınırları elde edilir. Sın��rlar dahil edilmediği için açık aralık kullanılır.
2
İki bölgenin kesişim aralığını (A∩KA \cap K) bulun.
A∩K=(117,144)∩[115,132]=(117,132]A \cap K = (117, 144) \cap [115, 132] = (117, 132] yarı açık aralığı elde edilir.
Sporcunun kalp hızının her iki bölgede de olması koşulu, iki aralığın kesişim kümesini bulmayı gerektirir.
3
Kesişim aralığındaki en büyük ve en küçük tam sayı değerlerini belirleyip toplayın.
En büyük tam sayı değeri 132132, en küçük tam sayı değeri 118118 olup, toplamları 132+118=250132 + 118 = 250 olarak bulunur.
(117,132](117, 132] aralığında üst sınır dahil olduğundan en büyük tam sayı 132'dir; alt sınır dahil olmadığından 117'den büyük en küçük tam sayı 118'dir.

Anahtar Kavram

Aralıkların kesişimi ve sayı doğrusunda dahil olma/olmama durumlarının gösterilmesi.
Soru 2998Soru →

Bir tiyatro salonunda aa tane sıranın her birinde bb adet koltuk olmak üzere toplam a⋅ba \cdot b adet koltuk vardır. Bu koltukların tamamı doludur ve koltuklarda oturan seyircilerle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Salondaki kadın seyirci sayısı cc adettir.
* Salondaki erkek seyirci sayısı, kadın seyirci sayısının 3 katından 5 fazladır.

Buna göre;

I. ab+baa^b + b^a
II. ac+ba^c + b
III. ca+bc^a + b

ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II
Toplam koltuk sayısı olan a⋅ba \cdot b, kadın ve erkek seyircilerin toplamı olan 4c+54c + 5 ifadesine eşittir. 4c+54c + 5 ifadesi her zaman tek sayı olduğundan a⋅ba \cdot b çarpımı tektir. Bu durum aa ve bb sayılarının her ikisinin de tek sayı olmasını gerektirir. Birinci öncülde tabanlar tek, üsler pozitif tam sayı olduğundan üslü ifadeler tek sayılardır; toplamları çift olur. İkinci öncülde aa tek olduğundan cc doğal sayısı için aca^c her zaman tektir; tek olan bb ile toplamı çift olur. Dolayısıyla birinci ve ikinci öncüller her zaman çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Salondaki toplam seyirci sayısını veren cebirsel ifadeyi kuralım.
Kadın seyirci sayısı cc ise erkek seyirci sayısı 3c+53c + 5 olur. Toplam seyirci sayısı c+(3c+5)=4c+5c + (3c + 5) = 4c + 5 olarak bulunur.
Toplam koltuk sayısının seyirci sayısına eşitliğini kullanarak değişkenler arasında bir bağıntı elde etmek için.
2
Elde edilen bağıntı yardımıyla a ve b sayılarının teklik-çiftlik durumunu belirleyelim.
a⋅b=4c+5a \cdot b = 4c + 5 eşitliğinde, cc bir doğal sayı olduğundan 4c4c çift sayıdır. Çift bir sayı ile tek sayı olan 5'in toplamı tek olacağından a⋅ba \cdot b çarpımı tek sayıdır. İki tam sayının çarpımının tek olması için her ikisinin de tek sayı olması gerekir. Buradan aa ve bb sayılarının her ikisinin de tek sayı olduğu sonucu çıkar.
Üslü ifadeleri değerlendirebilmek amacıyla tabanların teklik veya çiftlik durumlarını saptamak için.
3
c sayısının teklik-çiftlik durumunu inceleyelim.
a⋅b=4c+5a \cdot b = 4c + 5 eşitliğinde cc değeri tek de olabilir çift de olabilir. Örneğin, a=3,b=3a=3, b=3 için 9=4c+5  ⟹  c=19 = 4c+5 \implies c=1 (tek) iken a=3,b=7a=3, b=7 için 21=4c+5  ⟹  c=421 = 4c+5 \implies c=4 (çift) olur. Dolayısıyla cc sayısı hakkında kesin bir şey söylenemez.
Tabanı veya üssü c olan öncüllerin genel geçerliliğini test etmek için.
4
Verilen öncülleri teker teker analiz edelim.
I. ab+baa^b + b^a ifadesinde aa ve bb pozitif tam sayılardır (a≥1,b≥1a \ge 1, b \ge 1). Tek sayıların pozitif tam sayı kuvvetleri tek olacağından aba^b ve bab^a tek sayılardır. İki tek sayının toplamı (Tek+TekTek + Tek) her zaman çift sayıdır. II. ac+ba^c + b ifadesinde aa tek sayıdır. cc doğal sayı olduğundan c=0c=0 için a0=1a^0 = 1 (tek) ve c≥1c \ge 1 için aca^c tektir. Dolayısıyla aca^c her koşulda tektir. Tek olan aca^c ile tek olan bb sayısının toplamı (Tek+TekTek + Tek) her zaman çift sayıdır. III. ca+bc^a + b ifadesinde cc çift sayı ise cac^a çift sayı (çünkü a≥1a \ge 1), toplam C\cift+Tek=TekÇift + Tek = Tek olur. Bu durumda her zaman çift sayı olmaz.
Her bir öncülün teklik-çiftlik durumunun kesinliğini belirlemek için.

Anahtar Kavram

Cebirsel ifadelerde ve üslü sayılarda teklik-çiftlik kuralları, taban ve üs ilişkileri.
Soru 2999Soru →
−7<5−2x≤9-7 < 5 - 2x \leq 9 eşitsizliği veriliyor. Buna göre, bu eşitsizliği sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Eşitsizliği sağlayan xx tam sayılarının toplamı 12'dir.
Eşitsizlik çözüldüğünde x tam sayılarının değer aralığı [-2, 6) olarak bulunur. Bu aralıktaki tam sayıların toplamı ise 12 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliğin her tarafından 5 çıkarılır.
−12<−2x≤4-12 < -2x \leq 4
xx'li terimi yalnız bırakmak amacıyla sabit terimden kurtulmak hedeflenir.
2
Eşitsizliğin her tarafı -2 ile bölünür ve eşitsizlik işaretlerinin yönü değiştirilir.
−2≤x<6-2 \leq x < 6
Bir eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayı ile bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir.
3
Aralıktaki x tam sayı değerleri belirlenip toplanır.
−2+(−1)+0+1+2+3+4+5=12-2 + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 12
Eşitsizliği sağlayan tüm x tam sayılarının toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayı ile çarpıldığında veya bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 3000Soru →
aa, bb ve cc gerçel sayıları için,
−a4⋅b3>0-a^4 \cdot b^3 > 0
a⋅c2=0a \cdot c^2 = 0
b−c<0b - c < 0
eşitlik ve eşitsizlikleri veriliyor.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle negatiftir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a2⋅b−ca^2 \cdot b - c

Cevap

a2⋅b−ca^2 \cdot b - c ifadesi kesinlikle negatiftir.
a2⋅b−ca^2 \cdot b - c ifadesinde, sıfırdan farklı her gerçel sayının karesi pozitif olduğundan a2>0a^2 > 0'dır. Negatif bir sayı olan bb ile pozitif olan a2a^2 çarpıldığında sonuç negatif (a2⋅b<0a^2 \cdot b < 0) olur. Bu ifadeden sıfıra eşit olan cc çıkarıldığında değer değişmez ve sonuç kesinlikle negatif kalır.

Adım Adım Çözüm

1
−a4⋅b3>0-a^4 \cdot b^3 > 0 eşitsizliğini analiz etmek.
a≠0a \neq 0 ve b<0b < 0 olarak bulunur.
aa gerçel say�� olduğundan a4≥0a^4 \ge 0'dır. Eşitsizlik katı (>>) olduğundan a≠0a \neq 0 ve dolayısıyla a4>0a^4 > 0'dır. Bu durumda −a4<0-a^4 < 0 olur. Çarpımın pozitif olması için b3<0b^3 < 0 olmal��dır, bu da b<0b < 0 demektir.
2
a⋅c2=0a \cdot c^2 = 0 eşitliğini analiz etmek.
c=0c = 0 olarak bulunur.
İlk adımdan a≠0a \neq 0 olduğunu bulmuştuk. Çarpımın sıfır olabilmesi için c2=0c^2 = 0 olmalıdır, buradan c=0c = 0 elde edilir.
3
b−c<0b - c < 0 eşitsizliğini kontrol etmek.
b<0b < 0 ve c=0c = 0 olduğundan b−0<0  ⟹  b<0b - 0 < 0 \implies b < 0 elde edilir.
Bulunan değerlerin sistemin tüm koşullarını sağladığını doğrulamak.
4
Seçeneklerdeki ifadelerin işaretlerini incelemek.
a2⋅b−ca^2 \cdot b - c ifadesinin kesinlikle negatif olduğu belirlenir.
a≠0  ⟹  a2>0a \neq 0 \implies a^2 > 0 ve b<0b < 0 olduğundan a2⋅b<0a^2 \cdot b < 0 olur. c=0c = 0 olduğundan a2⋅b−c=a2⋅b<0a^2 \cdot b - c = a^2 \cdot b < 0 elde edilir.

Anahtar Kavram

Pozitif ve Negatif Sayılar

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi kullanılarak da seçenekler elenebilir. Örneğin; a=1a = 1, b=−1b = -1 ve c=0c = 0 seçilirse ifadelerin değerleri incelenerek kesin olarak negatif olan ifade tespit edilebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
ÖncekiSayfa 150 / 338Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) | Examkin