Examkin

Tüm alıştırma soruları

6755 soru

Tüm türler6,755Çoktan seçmeli4,123Çoklu seçim2Doğru / Yanlış394Sayısal689Eşleştirme1,052Sıralama324Boşluk doldurma130Kısa cevap41
Soru 3001Soru →

a, b ve c pozitif tam sayılardır.

a!⋅b!=a!+b!+c!a! \cdot b! = a! + b! + c!

olduğuna göre, a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Pozitif tam sayıların toplamı 10'dur.
Denklemin tek pozitif tam sayı çözümü a=3a=3, b=3b=3 ve c=4c=4 değerleridir. Bu değerlerin toplamı 3+3+4=103+3+4=10 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemi düzenleyelim ve pozitif tam sayı koşulunu inceleyelim.
a!⋅b!−a!−b!=c!a! \cdot b! - a! - b! = c! ifadesini elde ederiz.
Denklemi analiz etmek için terimleri bir araya topluyoruz.
2
a değişkeninin k��çük değerleri için denklemi inceleyelim.
a = 1 için çözüm yoktur. a = 2 için b!−2=c!b! - 2 = c! olur; b≥3b \ge 3 için b!b! sayısı 3 ile bölünürken c!+2c! + 2 say��sı 3 ile bölünmez. Dolayısıyla a = 2 için çözüm yoktur.
Değişkenlerin alabileceği değer aralıklarını sınırlamak amacıyla.
3
a = 3 durumunu inceleyelim.
3!⋅b!=3!+b!+c!  ⟹  6b!=6+b!+c!  ⟹  5b!−6=c!3! \cdot b! = 3! + b! + c! \implies 6b! = 6 + b! + c! \implies 5b! - 6 = c! elde edilir. Burada b=3b = 3 seçilirse 5⋅6−6=24=c!  ⟹  c!=4!  ⟹  c=45 \cdot 6 - 6 = 24 = c! \implies c! = 4! \implies c = 4 bulunur.
a = 3 için olası b ve c değerlerini tespit etmek için.
4
Elde edilen tek çözümü kullanarak toplamı hesaplayalım.
a=3a = 3, b=3b = 3 ve c=4c = 4 değerleri için a+b+c=3+3+4=10a + b + c = 3 + 3 + 4 = 10 olur.
Soruda istenen toplam değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Faktöriyel kavramı, faktöriyelli denklemlerin değer analizi ve asal çarpanlar yardımıyla çözülmesi.
Soru 3002Soru →

İslam dininde ibadetler mükelleflerin yapılış şekillerine göre bedenî, malî ve hem bedenî hem malî ibadetler olmak üzere sınıflandırılır. Bu sınıflandırma, ibadetlerin vekaletle (başkasının yerine yapılması) ifa edilip edilemeyeceğini doğrudan etkiler.

Üç arkadaş arasında geçen konuşmada yapmak istedikleri şu şekilde ifade edilmiştir:

* Hilal: "Geçirdiğim ağır hastalık sebebiyle Ramazan orucumu tutamıyorum. Maddi durumum yerinde olduğu için benim yerime bir başkasını vekil tayin edip ona oruç tutturabilir miyim?"
* Tarık: "Üzerime farz olan zekat ibadetini, yoğun iş tempomdan dolayı kendim dağıtamayacağım için güvendiğim bir yardım kuruluşu aracılığıyla hak sahiplerine ulaştırmak istiyorum."
* Merve: "Maddi gücüm yerinde fakat seyahat etmeme engel olan kronik bir rahatsızlığım var. Bu nedenle üzerime farz olan hac ibadetini yerine getirmesi için adıma bir başkasını göndermeyi planlıyorum."

Buna göre Hilal, Tarık ve Merve'nin durumları ile ibadetlerin sınıflandırılması ilişkisi göz önüne alındığında, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Tarık'ın zekat, Merve'nin ise hac ibadeti vekaletle ifa edilmeye uygunken; Hilal'in bahsettiği oruç yalnızca bedenî bir ibadet olduğundan bu ibadette vekalet geçerli değildir.

Cevap

Tarık'ın zekat, Merve'nin ise hac ibadeti vekaletle ifa edilmeye uygunken; Hilal'in bahsettiği oruç yalnızca bedenî bir ibadet olduğundan bu ibadette vekalet geçerli değildir.
İbadetler yapılış şekillerine göre sınıflandırılır. Oruç yalnızca bedenî bir ibadettir ve bedenî ibadetlerde şahsîlik esas olduğundan vekalet geçerli değildir; mazereti olanlar daha sonra kaza eder ya da fidye verir. Zekat yalnızca malî bir ibadettir ve malî ibadetlerde vekalet tamamen geçerlidir. Hac ise hem bedenî hem malî bir ibadet olup, kişinin bizzat gitmesini engelleyen sürekli bir sağlık sorunu (kronik hastalık) olduğunda başkasını kendi adına göndermesine (vekalet/bedel) fıkhen müsaade edilmektedir. Dolayısıyla, zekat ve hac ibadetlerinin vekalete uygun olduğunu, oruçta ise vekaletin geçersiz olduğunu ifade eden yargı doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Metinde geçen ibadetlerin fıkhi olarak hangi ibadetler olduğunu belirlemek.
Hilal'in bahsettiği ibadet oruç, Tarık'ınki zekat, Merve'ninki ise hac ibadetidir.
Doğru sınıflandırma yapabilmek için öncelikle ibadetlerin adlarının doğru belirlenmesi gerekir.
2
Belirlenen ibadetleri yapılış biçimlerine göre gruplandırmak.
Oruç yalnızca bedenle yapıldığından 'bedenî ibadet'; zekat mal ile yapıldığından 'malî ibadet'; hac ise hem bedenî güç hem de maddi imkân gerektirdiğinden 'hem bedenî hem malî ibadet' sınıfına girer.
İbadetlerin vekaletle (vekil aracılığıyla) yapılıp yapılamayacağı doğrudan yapılış biçimlerine bağlıdır.
3
Gruplandırılan ibadetlerin vekalet kuralları ile olan ilişkisini kurmak.
Bedenî ibadetlerde vekalet geçersizdir (Hilal vekil tayin edemez). Malî ibadetlerde vekalet tamamen geçerlidir (Tarık zekatını kurumlar aracılığıyla gönderebilir). Hem bedenî hem malî ibadetlerde ise kalıcı sağlık sorunu veya yaşlılık gibi mazeretlerde vekalet geçerlidir (Merve vekil gönderebilir).
Bu ilişkilendirme sonucunda, orucun vekalet kabul etmediği, zekat ve haccın ise uygun şartlarda vekaletle yapılabileceği yargısına ulaşılır.

Anahtar Kavram

İbadetlerin yapılış şekillerine (bedenî, malî, hem bedenî hem malî) göre sınıflandırılması ve vekalet durumu ilişkisi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 3003Soru →

Her xx gerçel sayısı için, −x2-x^2 ve (−x)2(-x)^2 ifadelerinden en az biri negatif bir say��ya eşittir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

İfade yanlıştır.
Önerme yanlıştır çünkü x=0x=0 için −x2-x^2 ve (−x)2(-x)^2 ifadelerinin her ikisi de sıfıra eşit olur ve sıfır negatif bir sayı değildir.

Adım Adım Çözüm

1
xx gerçel sayısının sıfırdan farklı olduğu durumları incelemek.
x≠0x \neq 0 iken, −x2-x^2 daima negatif bir sayı, (−x)2(-x)^2 ise daima pozitif bir sayıdır. Bu durumda ifadelerden en az biri (yani −x2-x^2 olanı) negatiftir.
Sıfır dışındaki sayıların karelerinin pozitif olmasından yola çıkarak ifadelerin işaretlerini belirlemek.
2
xx gerçel sayısının sıfır olduğu durumu incelemek.
x=0x = 0 için −02=0-0^2 = 0 ve (−0)2=0(-0)^2 = 0 olur.
Önermenin 'her xx gerçel sayısı' için geçerli olup olmadığını test etmek amacıyla kritik değer olan sıfırı denemek.
3
Sıfırın işaretini belirlemek ve sonucu değerlendirmek.
Sıfır sayısı işaretsiz (nötr) olduğundan negatif değildir. x=0x=0 için iki ifade de negatif olmadığından önerme yanlıştır.
Sıfırın pozitif veya negatif olmadığını (nötr olduğunu) kullanarak önermenin yanlışlığını kesinleştirmek.

Anahtar Kavram

Sıfırın nötr olması ve negatif sayıların parantezli kuvvetlerinin işaret üzerindeki etkisi
Soru 3004Soru →

Bir dağın yamacında deniz seviyesinden yükseldikçe her 200200 metrede hava sıcaklığı 11 °C azalmaktadır. Deniz seviyesindeki hava sıcaklığının 1212 °C olduğu bu dağda, bir dağcının bulunduğu hh yüksekli��indeki (metre cinsinden) hava sıcaklığı T(h)T(h) olarak tanımlanıyor.

Dağcının bulunduğu konumdaki hava sıcaklığının −3-3 °C'den yüksek ve 44 °C'den düşük olduğu bilindiğine göre, dağcın��n bulunduğu hh yüksekliğinin alabileceği değerlerin en geniş aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1600<h<30001600 < h < 3000

Cevap

Dağcının bulunduğu yüksekliğin alabileceği değerlerin en geniş aralığı 1600<h<30001600 < h < 3000 şeklindedir.
Hava sıcaklığı sınırları −3<T(h)<4-3 < T(h) < 4 olarak kurulduğunda, T(h)=12−h200T(h) = 12 - \frac{h}{200} ifadesi eşitsizlikte yerine yerleştirilir. −3<12−h200<4-3 < 12 - \frac{h}{200} < 4 eşitsizliğinde her taraftan 1212 çıkarılarak −15<−h200<−8-15 < -\frac{h}{200} < -8 elde edilir. Eşitsizliğin her tarafı −200-200 ile çarpıldığında, negatif bir sayı ile çarpma yapıldığı için eşitsizlik yön değiştirerek 3000>h>16003000 > h > 1600 halini alır. Bu da 1600<h<30001600 < h < 3000 ifadesine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen bilgilere göre dağcının bulunduğu yükseklikteki hava sıcaklığını ifade eden T(h)T(h) fonksiyonunu kurmak ve eşitsizlik sınırlarını belirlemek.
Deniz seviyesinde sıcaklık 1212 °C olup her 200200 metrede 11 °C azaldığından T(h)=12−h200T(h) = 12 - \frac{h}{200} olur. Sıcaklık −3-3 °C'den yüksek ve 44 °C'den düşük olduğu için eşitsizlik −3<12−h200<4-3 < 12 - \frac{h}{200} < 4 olarak yazılır.
Soruda verilen sözel durumun matematiksel eşitsizlik modelini oluşturmak.
2
Eşitsizliğin her üç tarafından 1212 çıkararak ortadaki sabit terimi yok etmek.
−3−12<12−h200−12<4−12⇒−15<−h200<−8-3 - 12 < 12 - \frac{h}{200} - 12 < 4 - 12 \Rightarrow -15 < -\frac{h}{200} < -8 elde edilir.
hh değişkenini yalnız bırakmak için ilk adımı uygulamak.
3
Eşitsizliği −200-200 ile çarparak paydadaki ve işaretteki negatifliği gidermek ve hh değişkenini yalnız bırakmak.
Negatif bir sayıyla çarpma yapıldığı için eşitsizlik yön değiştirir: −15×(−200)>h>−8×(−200)⇒3000>h>1600-15 \times (-200) > h > -8 \times (-200) \Rightarrow 3000 > h > 1600 olur. Bu ifade 1600<h<30001600 < h < 3000 şeklinde de yazılabilir.
Negatif sayı ile çarpma veya bölme işleminde eşitsizliğin yön değiştireceği kuralını uygulayarak doğru aralığı bulmak.

Anahtar Kavram

Eşitsizliklerde negatif bir sayı ile çarpma veya bölme işlemi yapıldığında eşitsizliğin yönünün değişmesi kuralı.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 3005Soru →

Bir dijital baskül, üzerine konulan cisimlerin ağırlıklarını üç basamaklı doğal sayılar olarak göstermektedir. Ancak bu baskülde, onlar ve birler basamağındaki rakamları gösteren haneler ters bağlanmıştır. Örneğin; gerçek ağırlığı 135 gram olan bir cisim basküle konulduğunda ekranda 153 sayısı görünmektedir.

Gerçek ağırlıkları sırasıyla gram cinsinden üç basamaklı ABCABC ve BCABCA doğal sayıları olan iki cisim bu basküle ayrı ayrı konulduğunda ekranda görünen sayıların toplamı 987 olmaktadır.

Buna göre, A+B+CA + B + C toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Doğru cevap 12'dir.
Baskülde hatalı okunan ACBACB ve BACBAC sayılarının toplamı olan 110A+101B+11C=987110A + 101B + 11C = 987 denklemi çözüldüğünde, B=4B = 4, A=5A = 5 ve C=3C = 3 değerleri elde edilir. Bu değerlerin toplamı 12'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Baskülde hatalı okunan sayıları belirleme
ABCABC yerine ACBACB, BCABCA yerine ise BACBAC okunur.
Onlar ve birler basamağı ters bağlandığı için bu iki basamaktaki rakamlar yer değiştirir.
2
Sayıları basamak çözümlemesiyle ifade etme
ACB=100A+10C+BACB = 100A + 10C + B ve BAC=100B+10A+CBAC = 100B + 10A + C
Sayılar basamak değerlerine göre çözümlenerek cebirsel ifadeye dönüştürülür.
3
Toplama işlemini denklem haline getirme
110A+101B+11C=987110A + 101B + 11C = 987
Ekranda görünen sayıların toplamının 987 olduğu bilgisi kullanılarak denklem yazılır.
4
Bölünebilme veya modüler aritmetik kurallarıyla B rakamını bulma
B=4B = 4
110A110A ve 11C11C terimleri 11'in tam katıdır. Sağ taraftaki 987 sayısı 11'e bölündüğünde 8 kalanını verdiğinden, 101B101B sayısının 11'e bölümünden kalan da 8 olmalıdır. Buradan 2B≡8(mod11)2B \equiv 8 \pmod{11} elde edilerek B=4B = 4 bulunur.
5
Diğer bilinmeyen rakamları bulma
A=5A = 5 ve C=3C = 3
B=4B = 4 değeri denklemde yerine yazılıp sadeleştirildiğinde 10A+C=5310A + C = 53 bulunur. AA ve CC rakam olduğundan bu eşitliği yalnızca A=5A=5 ve C=3C=3 değerleri sağlar.
6
Toplamı hesaplama
A+B+C=12A + B + C = 12
A,BA, B ve CC rakamlarının toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Üç basamaklı sayıların basamak çözümlemesi ve basamaklarındaki rakamların yer değiştirmesiyle oluşan yeni sayıların analizi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 3006Soru →
−5<1−2x≤7 -5 < 1 - 2x \le 7

eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

Eşitsizliği sağlayan x tam sayılarının toplamı -3'tür.
Verilen eşitsizlik çözüldüğünde x gerçel sayısının [-3, 3) aralığında olduğu görülür. Bu aralıktaki tam sayılar -3, -2, -1, 0, 1, 2 olup toplamları -3'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlikteki ortadaki terimi yalnız bırakmak için her taraftan 1 çıkarılır.
−6<−2x≤6-6 < -2x \le 6
Bilinmeyenli terimi tek başına bırakmak amacıyla sabit terim sadeleştirilir.
2
Her taraf -2'ye bölünerek x yalnız bırakılır.
−3≤x<3-3 \le x < 3
Negatif bir sayıya bölme yapıldığı için eşitsizliklerin yönü değiştirilir.
3
Bu aralıktaki tam sayılar tespit edilerek toplamları hesaplanır.
−3+(−2)+(−1)+0+1+2=−3-3 + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 = -3
Eşitsizliği sağlayan tam sayıların toplamını bulmak için.

Anahtar Kavram

Eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayıyla çarpıldığında veya bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 3007Soru →

Bir mağazada satılan belirli bir ürünün alış fiyatı (2x−10)(2x - 10) TL, satış fiyatı ise (26−2x)(26 - 2x) TL'dir.

Bu ürünün satışından kâr elde edildiği bilindiğine göre, xx tam sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

Ürünün kâr getirmesi için satış fiyatının alış fiyatından yüksek olması (26−2x>2x−1026 - 2x > 2x - 10) ve alış fiyatının fiziksel olarak pozitif olması (2x−10>02x - 10 > 0) gerekir. Bu iki eşitsizlik çözüldüğünde xx tam sayısının alabileceği değerlerin toplamı 21 olarak bulunur.
Ürünün kâr getirmesi için satış fiyatının alış fiyatından büyük olması gerekir: 26−2x>2x−1026 - 2x > 2x - 10. Bu eşitsizlik çözüldüğünde −4x>−36-4x > -36 elde edilir. Her iki taraf −4-4 ile bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir ve x<9x < 9 bulunur. Aynı zamanda alış fiyatı pozitif olmalıdır: 2x−10>0⇒x>52x - 10 > 0 \Rightarrow x > 5. Bu iki eşitsizliğin kesişimi olan 5<x<95 < x < 9 aralığındaki tam sayılar 6, 7 ve 8'dir. Bu sayıların toplamı ise 21'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Kâr elde etme koşuluna ait eşitsizliği kurun.
26−2x>2x−1026 - 2x > 2x - 10
Bir ürünün satışından kâr elde edilmesi, satış fiyatının alış fiyatından büyük olmasıyla mümkündür.
2
Birinci adındaki eşitsizliği xx değişkeni için çözün.
−4x>−36⇒x<9-4x > -36 \Rightarrow x < 9
Eşitsizliğin her iki tarafı −4-4 gibi negatif bir sayıya bölündüğünde eşitsizlik sembolü yön değiştirir.
3
Gerçek hayat kısıtı gereği alış fiyatının pozitif olması şartını uygulayın.
2x−10>0⇒2x>10⇒x>52x - 10 > 0 \Rightarrow 2x > 10 \Rightarrow x > 5
Bir ürünün alış fiyatı sıfır ya da negatif bir değer olamaz.
4
Bulunan iki eşitsizliği birleştirerek xx için geçerli ortak aralığı yazın.
5<x<95 < x < 9
Hem kâr etme koşulunun hem de fiyatların pozitif olması koşulunun aynı anda sağlanması gerekir.
5
Aralıktaki xx tam sayı değerlerini toplayın.
x∈{6,7,8}⇒6+7+8=21x \in \{6, 7, 8\} \Rightarrow 6 + 7 + 8 = 21
Soru kökünde bizden xx tam sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 3008Soru →

aa, bb ve cc sıfırdan ve birbirinden farklı birer rakamdır.

ab\frac{a}{b} ve bc\frac{b}{c} ifadelerinden biri doğal sayı, diğeri ise rasyonel sayı olup tam sayı değildir.

Buna göre, a+b+ca + b + c toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

Koşulları sağlayan en büyük toplam değeri 21'dir.
Verilen koşullara uygun olarak en büyük a+b+ca + b + c toplamını elde etmek için rakamlar {9,8,4}\{9, 8, 4\} olarak seçilmelidir. Bu durumda oranlardan biri doğal sayı (22) iken, diğeri tam sayı olmayan bir rasyonel sayı (98\frac{9}{8} veya 49\frac{4}{9}) olmaktadır. Bu rakamların toplamı en fazla 2121 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Rakamların değer aralığını ve temel kısıtları belirleme.
aa, bb ve cc sıfırdan farklı ve birbirinden farklı rakamlar olduğundan, {1,2,3,4,5,6,7,8,9}\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} kümesinden seçilmelidir.
Değişkenlerin alabileceği değer kümesini sınırlandırmak.
2
Oranlardan birinin doğal sayı olmasını sağlayacak şekilde en büyük rakamları seçme.
bb sayısının cc'nin tam katı olması durumunu inceleyelim. Toplamı büyük yapmak için b=8b = 8 ve c=4c = 4 seçildiğinde bc=84=2\frac{b}{c} = \frac{8}{4} = 2 bir doğal sayı olur.
Toplamı en büyük yapan rakam çiftini bulmak.
3
Diğer oranın rasyonel sayı olup tam sayı olmama koşulunu inceleme.
b=8b = 8 ve c=4c = 4 iken geriye kalan en büyük rakam a=9a = 9 olarak seçilirse ab=98\frac{a}{b} = \frac{9}{8} ifadesi rasyonel sayıdır ve tam sayı değildir. Bu durumda a+b+c=9+8+4=21a + b + c = 9 + 8 + 4 = 21 elde edilir.
Kalan değişkeni en büyük seçerek tüm koşulların sağlandığını doğrulamak.
4
Alternatif durumları karşılaştırarak sonucun kesinliğini sağlama.
Eğer ab\frac{a}{b} doğal sayı ve bc\frac{b}{c} rasyonel sayı (tam sayı olmayan) olarak seçilseydi, en büyük değerler için a=8a = 8, b=4b = 4 ve c=9c = 9 alınabilirdi. Bu durumda 84=2∈N\frac{8}{4} = 2 \in \mathbb{N} ve 49∉Z\frac{4}{9} \notin \mathbb{Z} olurdu. Buradan da a+b+c=8+4+9=21a + b + c = 8 + 4 + 9 = 21 değeri elde edilirdi.
Farklı birleşimlerin daha büyük bir toplam verip vermeyeceğini kontrol etmek.

Anahtar Kavram

Sayı kümeleri arasındaki farklar (doğal sayılar ile tam sayı olmayan rasyonel sayılar) ve temel aritmetik işlemler.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 3009Soru →

Bir matematik öğretmeni, tahtaya yazdığı aa, bb ve cc tam sayıları ile ilgili öğrencilerine şu bilgileri vermiştir:

* a+5ba + 5b toplamı bir çift sayıdır.
* b⋅cb \cdot c çarpımı bir tek sayıdır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a⋅b+ca \cdot b + c

Cevap

a⋅b+ca \cdot b + c ifadesi her zaman çift sayıdır.
Tek sayıların çarpımı tek, toplamı ise çifttir. aa ve bb tek sayı olduğundan a⋅ba \cdot b tek sayıdır. Bu tek sayıya tek olan cc sayısı eklendiğinde sonuç her zaman çift sayı olur.

Adım Adım Çözüm

1
b⋅cb \cdot c çarpımının tek sayı olma durumunu inceleyin.
bb ve cc sayılarının her ikisi de tek sayıdır.
İki tam sayının çarpımının tek sayı olması için her iki sayının da tek sayı olması gerekir.
2
a+5ba + 5b toplamının çift say�� olma durumunu inceleyin.
aa sayısı tek sayıdır.
bb tek sayı olduğundan 5b5b de tek sayıdır. Toplamın çift sayı olması için aa sayısının da tek sayı olması gerekir.
3
a⋅b+ca \cdot b + c ifadesinin tekliğini veya çiftliğini belirleyin.
a⋅b+ca \cdot b + c her zaman çift sayıdır.
aa ve bb tek sayı olduğundan a⋅ba \cdot b çarpımı tek sayıdır. Tek sayı olan a⋅ba \cdot b ile tek sayı olan cc toplandığında sonuç çift sayı olur.

Anahtar Kavram

Tek ve çift sayıların temel toplama ve çarpma özellikleri ile üslü ifadelerde taban ve üssün tam sayı olma koşulları.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 3010Soru →

Bir gün Hz. Muhammed'in yanına gelen bir kişi, onun peygamberlik kimliğinden duyduğu heyecan ve çekingenlikle titremeye başlar. Durumu fark eden Hz. Muhammed, muhatabını rahatlatmak amacıyla, "Sakin ol! Ben bir kral değilim; Mekke'de güneşte kurutulmuş et yiyen bir kadının oğluyum." diyerek mukabelede bulunmuştur.

Bu olayda Hz. Muhammed'in sergilediği tavır, onun aşağıdaki özelliklerinden hangisini en doğrudan vurgulamaktadır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Kendisinin de diğer insanlar gibi be��erî özelliklere ve mütevazı bir yaşam tarzına sahip olduğunu

Cevap

Kendisinin de diğer insanlar gibi beşerî özelliklere ve mütevazı bir yaşam tarzına sahip olduğunu
Doğru seçenek, Hz. Muhammed'in bir insan olarak diğer insanlarla eşit seviyede olduğunu, kral gibi otoriter bir konumda bulunmadığını ve mütevazı bir hayat sürdüğünü ifade etmektedir. Kuru et yiyen bir kadının oğlu olduğunu söylemesi doğrudan bu insani kimliği ve alçakgönüllülüğü vurgular.

Adım Adım Çözüm

1
Metindeki anahtar ifadeleri analiz etme
Hz. Muhammed'in "kral olmadığını" ve "güneşte kurutulmuş et yiyen bir kadının oğlu" olduğunu vurgulaması tespit edildi.
Bu sözler, peygamberin kendisini diğer insanlardan üstün görmediğini ve sıradan bir insan (beşer) olduğunu göstermeyi amaçlamaktadır.
2
Beşerî yön ile risalet (peygamberlik) yönü arasındaki farkı değerlendirme
Verilen olayın yönetsel veya mucizevi bir durumla değil, doğrudan insani duruş ve tevazu ile ilgili olduğu belirlendi.
Öğrencilerin peygamberin beşerî yönü ile risalet vazifesini karıştırmasını önlemek ve insani sınırlarını netleştirmek için bu analiz gereklidir.

Anahtar Kavram

Hz. Muhammed'in İnsani Yönü
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 3011Soru →

Bir AA doğal sayısının birbirinden farklı tüm asal çarpanlarının çarpımına bu sayının 'asal çekirdeği' denir ve C¸(A)\text{Ç}(A) ile gösterilir. AA sayısının birbirinden farklı tüm asal çarpanlarının toplamı ise T(A)\text{T}(A) ile gösterilir.

Örneğin, 20=22⋅520 = 2^2 \cdot 5 olduğundan C¸(20)=2⋅5=10\text{Ç}(20) = 2 \cdot 5 = 10 ve T(20)=2+5=7\text{T}(20) = 2 + 5 = 7'dir.

Buna göre, iki basamaklı bir AA doğal sayısı için
C¸(A)⋅T(A)=A\text{Ç}(A) \cdot \text{T}(A) = A
eşitliğini sağlayan tüm AA sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 74

Cevap

Eşitliği sağlayan iki basamaklı sayıların toplamı 74'tür.
Eşitliği sağlayan iki basamaklı sayılar 25 ve 49'dur. Bu sayıların toplamı 74 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
A sayısının asal çarpanlarına ayrılmış biçimini yazarak tanımları bu gösterim üzerinden ifade edelim.
A=p1a1p2a2⋯pkakA = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k} olsun. Bu durumda C¸(A)=p1p2⋯pk\text{Ç}(A) = p_1 p_2 \cdots p_k ve T(A)=p1+p2+⋯+pk\text{T}(A) = p_1 + p_2 + \cdots + p_k olur.
Soruda verilen tanımları matematiksel denkleme dökmek için.
2
A sayısının yaln��zca bir asal çarpanı (k=1k=1) olduğu durumu inceleyelim.
A=paA = p^a ise C¸(A)=p\text{Ç}(A) = p ve T(A)=p\text{T}(A) = p olur. Eşitlikten p⋅p=pa  ⟹  p2=pa  ⟹  a=2p \cdot p = p^a \implies p^2 = p^a \implies a = 2 bulunur. Dolayısıyla A=p2A = p^2 formunda olmalıdır. AA iki basamaklı olduğundan pp asal sayısı için 52=255^2 = 25 ve 72=497^2 = 49 değerleri elde edilir (32=93^2 = 9 tek basamaklı, 112=12111^2 = 121 üç basamaklıdır).
Tek asal çarpanlı iki basamaklı çözümleri belirlemek için.
3
A sayısının iki farklı asal çarpanı (k=2k=2) olduğu durumu inceleyelim.
A=paqbA = p^a q^b (p<qp < q) olsun. Eşitlikten pq(p+q)=paqb  ⟹  p+q=pa−1qb−1pq(p+q) = p^a q^b \implies p+q = p^{a-1}q^{b-1} elde edilir. Eğer a−1≥1a-1 \geq 1 ve b−1≥1b-1 \geq 1 ise pa−1qb−1≥pq>p+qp^{a-1}q^{b-1} \geq pq > p+q olacağından çözüm yoktur. Eğer a−1=0a-1=0 ise p+q=qb−1  ⟹  p=q(qb−2−1)p+q = q^{b-1} \implies p = q(q^{b-2}-1) olur ki bu durum qq asalının pp asalını bölmesini gerektirir, bu da pp ve qq farklı asallar olduğundan imkansızdır. b−1=0b-1=0 durumu da simetrik olarak çözümsüzdür.
İki asal çarpanlı durumların matematiksel olarak çözümsüz olduğunu kanıtlamak için.
4
A sayısının üç veya daha fazla asal çarpanı olduğu durumu inceleyelim.
p<q<rp < q < r olmak üzere en küçük üç asal sayı 2, 3 ve 5'tir. Bu durumda en küçük AA sayısı 22⋅31⋅52=3002^2 \cdot 3^1 \cdot 5^2 = 300 olur. Dolayısıyla üç veya daha fazla asal çarpanı olan tüm çözümler üç basamaklı veya daha büyüktür.
Çoklu asal çarpanlı durumların iki basamaklı olamayacağını göstermek için.
5
Bulunan iki basamaklı tüm AA değerlerini toplayalım.
25+49=7425 + 49 = 74 elde edilir.
Soruda istenen toplam değerini hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Asal Çarpanlara Ayırma ve Asal Sayı Özellikleri
Soru 3012Soru →

Bir kutudaki bilyelerin sayısı, onlar basamağı xx rakamı olan iki basamaklı x2x2 doğal sayısıdır. Bu kutuya 13 bilye daha eklendiğinde kutudaki toplam bilye sayısı, xx rakamının 15 katına eşit olmaktadır. Buna göre, xx rakamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Bilye sayısını veren denklemin çözümüyle elde edilen rakam değeri 3 olmalıdır.
İki basamaklı x2x2 sayısı 10x+210x + 2 şeklinde çözümlenir. Bu sayıya 13 eklenmesiyle elde edilen 10x+1510x + 15 ifadesi, xx rakamının 15 katı olan 15x15x değerine eşitlenir. Buradan 10x+15=15x⇒5x=15⇒x=310x + 15 = 15x \Rightarrow 5x = 15 \Rightarrow x = 3 elde edilir. 3 bir rakam olduğu için şartları tam olarak sağlar.

Adım Adım Çözüm

1
İki basamaklı x2x2 sayısını basamak değerlerine göre çözümlemek.
x2=10x+2x2 = 10x + 2
Onlar basamağında xx, birler basamağında 2 olan iki basamaklı doğal sayının sayısal değeri 10⋅x+2⋅110 \cdot x + 2 \cdot 1 şeklinde ifade edilir.
2
Soruda verilen bilgilere uygun olarak birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi kurmak.
(10x+2)+13=15x(10x + 2) + 13 = 15x
Kutudaki mevcut bilye sayısına (10x+210x+2) 13 bilye eklenmesinin, xx rakamının 15 katına (15x15x) eşit olduğu belirtilmiştir.
3
Kurulan denklemi çözerek xx bilinmeyenini bulmak.
10x+15=15x⇒15=15x−10x⇒15=5x⇒x=310x + 15 = 15x \Rightarrow 15 = 15x - 10x \Rightarrow 15 = 5x \Rightarrow x = 3
Benzer terimler eşitliğin aynı tarafında toplanarak sadeleştirilir ve bilinmeyen yalnız bırakılır. Bulunan 3 değeri bir rakam olup şartı sağlamaktadır.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem kurma ve iki basamaklı sayıların basamak çözümlemesi ilişkisi.
Soru 3013Soru →

Bir trende her biri eşit yolcu kapasitesine sahip toplam 12 vagon bulunmaktadır. Bu trendeki vagonların 6 tanesi tamamen doluyken, geri kalan vagonların her birinde 10'ar koltuk boş kalmıştır.

Trendeki toplam yolcu sayısı 300 olduğuna göre, bir vagonun yolcu kapasitesi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Bir vagonun yolcu kapasitesi 30'dur.
Vagon kapasitesine xx dediğimizde, tamamen dolu 6 vagonun her birinde xx yolcu, diğer 6 vagonun her birinde ise x−10x - 10 yolcu bulunur. Trendeki toplam yolcu sayısı bu iki grubun toplamına eşit olduğundan 6x+6(x−10)=3006x + 6(x-10) = 300 denklemi elde edilir. Bu denklem çözüldüğünde 12x−60=300  ⟹  12x=360  ⟹  x=3012x - 60 = 300 \implies 12x = 360 \implies x = 30 olarak bulunur. Dolayısıyla bir vagonun yolcu kapasitesi 30'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken tanımlama ve vagonlardaki yolcu sayısını ifade etme
Bir vagonun kapasitesine xx diyelim. Tamamen dolu olan 6 vagonun her birinde xx yolcu bulunur. Geri kalan 6 vagonun her birinde 10 koltuk boş olduğundan, bu vagonların her birinde x−10x - 10 yolcu bulunur.
Problemi cebirsel olarak modellemek için bilinmeyen kapasiteyi bir değişkenle ifade etmemiz gerekir.
2
Toplam yolcu sayısı denklemini kurma
Toplam yolcu sayısı: 6⋅x+6⋅(x−10)=3006 \cdot x + 6 \cdot (x - 10) = 300 olur.
Dolu vagonlar ile boşluğu olan vagonlardaki yolcu sayılarının toplamının, trendeki toplam yolcu sayısı olan 300'e eşitlenmesi gerekir.
3
Denklemi çözme
6x+6x−60=300  ⟹  12x−60=300  ⟹  12x=360  ⟹  x=306x + 6x - 60 = 300 \implies 12x - 60 = 300 \implies 12x = 360 \implies x = 30 bulunur.
Bilinmeyeni yalnız bırakarak bir vagonun kapasitesini hesaplamak için toplama ve bölme işlemleri uygulanır.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde verilen sözel ilişkileri birinci dereceden bir bilinmeyenli denkleme dönüştürme ve çözme.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 3014Soru →

Mustafa Kemal ve Temsil Heyeti'nin Ankara merkezli olarak yürüttüğü ulusal mücadele sürecinde, Ankara'da yeni bir meclisin açılmasına giden tarihsel gelişmeler ile meclisin otoritesini sağlamak adına aldığı kararların kronolojik sırası büyük önem taşımaktadır.

Buna göre, aşağıda verilen tarihsel olayların ilk gerçekleşenden son gerçekleşene doğru kronolojik sıralaması nasıl olmalıdır?

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Doğru sıralama: Osmanlı Mebusan Meclisi'nin kapatılması, Büyük Millet Meclisi'nin aç��lması, Hıyanet-i Vataniye Kanunu'nun kabul edilmesi ve İstiklal Mahkemeleri'nin kurulması şeklindedir.
Doğru kronolojik sıralama, İstanbul'un işgal edilerek Mebusan Meclisi'nin kapatılmasıyla başlar (16 Mart 1920). Bu durum Büyük Millet Meclisi'nin açılışına yol açar (23 Nisan 1920). Açılıştan hemen sonra meclisi hedef alan isyanları önlemek için Hıyanet-i Vataniye Kanunu çıkarılır (29 Nisan 1920) ve son olarak bu kanunun hızlıca uygulanabilmesi için İstiklal Mahkemeleri tesis edilir (11 Eylül 1920).

Adım Adım Çözüm

1
İstanbul'un işgalinin ve Mebusan Meclisi'nin kapatılmasının tarihini belirlemek
16 Mart 1920 tarihinde İstanbul işgal edilmiş ve meclis kapatılmıştır.
Bu gelişme, Ankara'da yeni bir meclis kurulmasının meşru zeminini ve aciliyetini hazırlayan ilk olaydır.
2
Büyük Millet Meclisi'nin açılış tarihini belirlemek
23 Nisan 1920 tarihinde Ankara'da meclis açılmıştır.
Mebusan Meclisi'nin işlevsiz kalmasının ardından ulusun temsilcileri Ankara'da toplanmıştır.
3
İsyanlara karşı çıkarılan kanunun tarihini belirlemek
29 Nisan 1920 tarihinde Hıyanet-i Vataniye Kanunu kabul edilmiştir.
Meclisin açılmasıyla beraber başlayan ayaklanmalara karşı meclisin ilk yasama tedbiridir.
4
İstiklal Mahkemeleri'nin kuruluş tarihini belirlemek
11 Eylül 1920 tarihinde İstiklal Mahkemeleri kurulmuştur.
Hıyanet-i Vataniye Kanunu kapsamında suçlanan kişilerin yargılama sürecini hızlandırmak ve meclisin yargı gücünü doğrudan kullanmasını sağlamak için atılan en son adımdır.

Anahtar Kavram

Büyük Millet Meclisi'nin açılış süreci, meclise karşı isyanlar ve bu isyanları bastırmaya yönelik yasama-yargı önlemleri.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 3015Soru →

Osmanlı Devleti'nin XVII. yüzyılda yürüttüğü diplomasi faaliyetleri incelendiğinde; 1606 Zitvatorok Antlaşması ile Avusturya karşısındaki diplomatik üstünlüğünü kaybederek hükümdarların eşitliği (mütekabiliyet) ilkesini kabul ettiği, 1672 Bucaş Antlaşması ile Batı'da en geniş sınırlarına ulaşmasına rağmen yeni toprak kazanma gücünün sınırlarına dayandığı ve 1699 Karlofça Antlaşması ile ilk kez büyük ölçekte toprak kaybederek savunmaya çekildiği görülmektedir. Bu tarihsel süreç ve antlaşmaların özellikleri dikkate alındığında, XVII. yüzyıl siyasi gelişmeleri hakkında aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Askeri ve diplomatik alanda güç dengelerinin Osmanlı Devleti aleyhine dönüştüğü

Cevap

Askeri ve diplomatik alanda güç dengelerinin Osmanlı Devleti aleyhine dönüştüğü
Askeri ve diplomatik alanda güç dengelerinin Osmanlı Devleti aleyhine dönüştüğünü belirten seçenek doğrudur. Çünkü metinde sunulan Zitvatorok Antlaşması ile Avusturya karşısındaki diplomatik üstünlüğün son bulması (mütekabiliyet ilkesi), Bucaş Antlaşması ile fetihlerin doygunluk noktasına ulaşması ve Karlofça Antlaşması ile büyük miktarda toprak kaybedilerek savunmaya çekilinmesi durumları, Osmanlı Devleti'nin küresel güç dengesinde gerilediğini ve savunma pozisyonuna geçtiğini açıkça ortaya koymaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Zitvatorok, Bucaş ve Karlofça antlaşmalarının siyasi ve askeri etkilerini analiz etmek.
Zitvatorok'ta diplomatik eşitliğin kabul edilmesi, Bucaş'ta Batı'da en geniş sınırlara ulaşıldığı halde tıkanmanın başlaması ve Karlofça'da büyük çaplı toprak kaybıyla savunmaya geçilmesi tespit edilir.
XVII. yüzyıl boyunca Osmanlı Devleti'nin uluslararası arenadaki konumunun nasıl değiştiğini kronolojik olarak saptamak gereklidir.
2
Bu üç gelişmenin ortak tarihsel ve jeopolitik sonucunu yorumlamak.
Tüm bu gelişmeler bir arada değerlendirildiğinde, Osmanlı Devleti'nin hem askeri gücünün zayıfladığı hem de diplomasi masasında eski üstünlüğünü koruyamayarak güç dengesinin aleyhine döndüğü sonucuna varılır.
YKS-TYT felsefesine uygun olarak, olayların tekil sonuçlarından yola çıkıp dönemin genel siyasi karakteristiğine dair doğru çıkarımı yapmak hedeflenmiştir.

Anahtar Kavram

XVII. Yüzyıl Osmanlı Dış Politikasındaki Güç Kaybı ve Mütekabiliyet Esası
Soru 3016Soru →

Bir otoparkın ücret tarifesi şu şekildedir:
- Giriş ücreti sabittir ve bu ücrete ilk 1 saatlik park süresi dahildir.
- 1 saatten sonraki her bir saat için ödenecek ek ücret sabit ve TL cinsinden birer tam sayıdır.

Bu otoparkta;
- xx saat kalan bir müşteri, giriş ücreti ve ek ücretler dahil toplam iki basamaklı 3x3x TL,
- (x+2)(x + 2) saat kalan başka bir müşteri ise toplam (5x−4)(5x - 4) TL
ödüyor.

Buna göre, bu otoparkta 6 saat kalan bir müşterinin ödeyeceği toplam tutar kaç TL'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

6 saat kalan bir müşterinin ödeyeceği toplam tutar 36 TL'dir.
Müşterilerin ödediği toplam ücret denklemleri yazılıp taraf tarafa çıkarıldığında saatlik ek ücret E=2x−17E = 2x - 17 olarak bulunur. 3x3x ifadesi iki basamaklı bir sayı olduğundan xx bir rakam olmalıdır. Ayrıca ek ücret pozitif bir tam sayı olmak zorunda olduğundan 2x−17≥1  ⟹  x≥92x - 17 \ge 1 \implies x \ge 9 eşitsizliğinden x=9x = 9 bulunur. Buradan ek ücret E=1E = 1 TL ve giriş ücreti G=31G = 31 TL olarak elde edilir. Otoparkta 6 saat kalan bir müşteri, ilk saat için 31 TL ve kalan 5 saat için 5⋅1=55 \cdot 1 = 5 TL olmak üzere toplam 36 TL öder.

Adım Adım Çözüm

1
Müşterilerin ödediği toplam ücret denklemlerini kurun.
Giriş ücreti GG ve saatlik ek ücret EE olsun. İlk 1 saat giriş ücretine dahil olduğundan:
1. Müşteri (xx saat): G+(x−1)E=30+xG + (x - 1)E = 30 + x (çünkü 3x3x iki basamaklı sayısı 30+x30 + x değerindedir).
2. Müşteri ((x+2)(x + 2) saat): G+(x+1)E=5x−4G + (x + 1)E = 5x - 4.
Otoparkın ücret yapısına uygun doğrusal denklemleri oluşturmak için bu adım gereklidir.
2
Elde edilen denklemleri taraf tarafa çıkararak GG değişkenini yok edin.
[G+(x+1)E]−[G+(x−1)E]=(5x−4)−(30+x)[G + (x + 1)E] - [G + (x - 1)E] = (5x - 4) - (30 + x)
2E=4x−342E = 4x - 34
E=2x−17E = 2x - 17.
İki bilinmeyenli denklem sistemini çözmek amacıyla giriş ücretini elemek için bu işlem yapılır.
3
xx değişkeninin alabileceği değeri belirleyin.
3x3x iki basamaklı bir sayı olduğundan xx bir rakam olmalıdır (x∈{0,1,...,9}x \in \{0, 1, ..., 9\}).
Ek ücret pozitif bir tam sayı olmak zorunda olduğundan:
E≥1  ⟹  2x−17≥1  ⟹  2x≥18  ⟹  x≥9E \ge 1 \implies 2x - 17 \ge 1 \implies 2x \ge 18 \implies x \ge 9.
Bu durumda xx ancak 99 olabilir.
Sayı kümelerinin kısıtları kullanılarak denklemin tekil çözümü bulunur.
4
Belirlenen xx değerine göre EE ve GG sabitlerini bulun.
x=9x = 9 için:
E=2(9)−17=1E = 2(9) - 17 = 1 TL.
İlk denklemde yerine yazılırsa:
G+(9−1)⋅1=30+9  ⟹  G+8=39  ⟹  G=31G + (9 - 1) \cdot 1 = 30 + 9 \implies G + 8 = 39 \implies G = 31 TL.
Giriş ücreti ve saatlik ek ücret değerlerinin netleştirilmesi için bu adım zorunludur.
5
6 saat park eden müşterinin ödeyeceği toplam ücreti hesaplayın.
6 saat park süresi için ilk 1 saat giriş ücretine dahildir ve kalan 5 saat için ek ücret ödenir:
Toplam Ücret = G+5E=31+5⋅1=36G + 5E = 31 + 5 \cdot 1 = 36 TL.
Soruda istenen hedef değere ulaşmak için bu son hesaplama yapılır.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin katsayı kısıtları ve sayı kümeleri özellikleri kullanılarak çözülmesi.
Soru 3017Soru →

aa, bb ve xx birer gerçel sayı olmak üzere,

I. −a2-a^2 sayısı, her aa gerçel sayısı için negatif bir sayıdır.
II. (−b)3=−b3(-b)^3 = -b^3 eşitliği her bb gerçel sayısı için sağlanır.
III. xx negatif bir gerçel sayı olmak üzere, (−x)4(-x)^4 ve −x4-x^4 ifadeleri zıt işaretlidir.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: II ve III

Cevap

II ve III
Her zaman doğru olan öncüller II ve III'tür. İkinci öncülde tek kuvvet parantez dışına eksi işaretini aynen taşıyacağından (−b)3=−b3(-b)^3 = -b^3 eşitliği tüm gerçel sayılar için sağlanır. Üçüncü öncülde xx negatif olduğundan −x-x pozitif olur ve pozitif sayının çift kuvveti olan (−x)4(-x)^4 ifadesi pozitif bir değer alır; diğer taraftan −x4-x^4 ifadesinde eksi işareti parantez dışında olduğundan ve x4x^4 pozitif olduğundan bu ifade negatif bir değer alır, dolayısıyla zıt işaretli olurlar. Birinci öncülde ise a=0a = 0 için −a2=0-a^2 = 0 olur ve sıfır nötr bir sayı olduğundan negatif değildir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci öncülü incelemek için sıfır (00) sayısının özelliğini dikkate alalım.
a=0a = 0 gerçel sayısı için −a2=−(0)2=0-a^2 = -(0)^2 = 0 olur.
Sıfır sayısı nötr (işaretsiz) bir sayı olduğundan negatif bir sayı değildir. Bu nedenle birinci öncül her zaman doğru değildir.
2
İkinci öncüldeki (−b)3(-b)^3 ifadesini üslü sayı özelliklerine göre açalım.
(−b)3=(−1⋅b)3=(−1)3⋅b3=−b3(-b)^3 = (-1 \cdot b)^3 = (-1)^3 \cdot b^3 = -b^3 eşitliği elde edilir.
Negatif bir sayının veya bir ifadenin tek kuvveti alınırken eksi işareti parantez dışına aynen çıkar. Bu eşitlik tüm bb gerçel sayıları için her zaman sağlanır.
3
Üçüncü öncüldeki (−x)4(-x)^4 ve −x4-x^4 ifadelerinin işaretlerini x<0x < 0 koşuluna göre ayrı ayrı inceleyelim.
x<0x < 0 ise −x>0-x > 0 olur, dolayısıyla (−x)4>0(-x)^4 > 0 (pozitif) elde edilir. Diğer yandan x4>0x^4 > 0 olduğundan −x4<0-x^4 < 0 (negatif) olur.
Pozitif bir sayının çift kuvveti pozitiftir, fakat −x4-x^4 ifadesinde eksi işareti parantez dışında kaldığından sonuç negatiftir. Biri pozitif diğeri negatif olduğundan bu ifadeler zıt işaretlidir.

Anahtar Kavram

Gerçel sayıların kuvvetlerinde tabanın negatifliği, parantez kullanımı ve sıfırın işaretsiz (nötr) olma özelliği.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 3018Soru →

Bir restoranda masalara verilen sipariş numaraları iki basamaklı ABAB doğal sayılarıdır. Kasa görevlisi, bir masanın sipariş numarasını sisteme girerken onlar basamağı ile birler basamağını yer değiştirerek iki basamaklı BABA sayısı olarak girmiştir. Bu hata sonucunda, sisteme girilen sipariş numarası ile gerçek sipariş numarasının toplamının 154 olduğu görülmüştür. Buna göre, bu masanın gerçek sipariş numarasının alabileceği en büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

En büyük ve en küçük sipariş numarası değerleri arasındaki fark 36'dır.
Çözümleme yapıldığında sipariş numaraları toplamı 11(A+B)=15411(A+B) = 154 olur ve buradan rakamlar toplamı A+B=14A+B = 14 olarak bulunur. ABAB ve BABA iki basamaklı sayılar olduğu için basamaklar sıfır olamaz. Bu koşul altında yazılabilecek en büyük sayı 95, en küçük sayı ise 59'dur. Değerler arasındaki fark 95−59=3695 - 59 = 36 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İki basamaklı ABAB ve BABA sayılarının basamak çözümlemesini yapmak.
AB=10A+BAB = 10A + B ve BA=10B+ABA = 10B + A eşitlikleri yazılır.
Sayıları oluşturan rakamlar arasındaki cebirsel ilişkiyi kurabilmek amacıyla çözümleme adımı uygulanır.
2
Verilen toplam bilgisini çözümleme formunda yerine koyarak rakamların toplamını bulmak.
AB+BA=(10A+B)+(10B+A)=11(A+B)=154AB + BA = (10A + B) + (10B + A) = 11(A + B) = 154 denkleminden A+B=14A + B = 14 elde edilir.
Soruda verilen sayıların toplamı üzerinden rakamların toplam değerine ulaşılması gerekir.
3
ABAB ve BABA iki basamaklı sayılar olduğundan AA ve BB sıfırdan farklı rakamlar olmak üzere, toplamları 14 olan olası (A,B)(A, B) ikililerini ve buna karşılık gelen ABAB sayılarını listelemek.
(A,B)(A, B) ikilileri (5,9),(6,8),(7,7),(8,6),(9,5)(5,9), (6,8), (7,7), (8,6), (9,5) olabilir. Bu durumda ABAB sayısı 59,68,77,86,9559, 68, 77, 86, 95 değerlerini alabilir.
Basamak kurallarına göre birler ve onlar basamağına gelebilecek rakam sınırları doğrultusunda sayı kümesini belirlemek.
4
ABAB sayısının alabileceği en büyük ve en küçük değerleri belirleyip farkını hesaplamak.
En büyük sipariş numarası 95, en küçük sipariş numarası ise 59 olarak bulunur. Farkları 95−59=3695 - 59 = 36 olur.
Soruda istenen en büyük ve en küçük değerlerin farkını bularak sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

İki basamaklı sayıların basamak çözümlemesi ve basamak değerlerinin doğru katsayılarla ifade edilmesi.
Soru 3019Soru →

−2<x<−1-2 < x < -1 olmak üzere, aa, bb ve cc gerçel sayıları aşağıdaki gibi tanımlanıyor:

* a=−3x+2a = -3x + 2
* b=x−1−2b = \frac{x-1}{-2}
* c=2x−5−3c = \frac{2x - 5}{-3}

Buna göre; aa, bb ve cc sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe sıralama b < c < a şeklindedir.
Verilen xx aralığı kullanılarak her bir değişkenin değer aralığı, eşitsizlik kurallarına (özellikle negatif sayılarla çarpma/bölme yapıldığında eşitsizlik yönünün değişmesi kuralına) uygun olarak hesaplanır. Elde edilen aralıklar b∈(1,1.5)b \in (1, 1.5), c∈(73,3)c \in (\frac{7}{3}, 3) ve a∈(5,8)a \in (5, 8) şeklindedir. Bu aralıkların sınır değerleri karşılaştırıldığında en küçük değerin bb sayısı, ortanca değerin cc sayısı ve en büyük değerin aa sayısı olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1
aa sayısının aralığını bulmak için xx aralığını −3-3 ile çarpıp 22 ekleyin.
5<a<85 < a < 8
−2<x<−1-2 < x < -1 eşitsizliği negatif −3-3 sayısı ile çarpıldığında yön değiştirir (3<−3x<63 < -3x < 6) ve 22 eklendiğinde 5<a<85 < a < 8 elde edilir.
2
bb sayısının aralığını bulmak için xx aralığından 11 çıkarıp −2-2 ile bölün.
1<b<1.51 < b < 1.5
−3<x−1<−2-3 < x - 1 < -2 eşitsizliği negatif −2-2 sayısına bölündüğünde yön değiştirerek 1<b<1.51 < b < 1.5 olur.
3
cc sayısının aralığını bulmak için xx aralığını 22 ile çarpıp 55 çıkarın ve elde edilen sonucu −3-3 ile bölün.
73<c<3\frac{7}{3} < c < 3
−9<2x−5<−7-9 < 2x - 5 < -7 eşitsizliği negatif −3-3 sayısına bölündüğünde yön değiştirerek 73<c<3\frac{7}{3} < c < 3 olur.
4
Elde edilen aa, bb ve cc aralıklarını karşılaştırarak sıralamayı yapın.
b<c<ab < c < a
bb aralığının üst sınırı olan 1.51.5 değeri, cc aralığının alt sınırı olan 73≈2.33\frac{7}{3} \approx 2.33 değerinden küçüktür. Benzer şekilde cc aralığının üst sınırı olan 33 değeri, aa aralığının alt sınırı olan 55 değerinden küçüktür.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde negatif sayılarla çarpma ve bölme işlemlerinde eşitsizlik yönünün değişmesi.
Soru 3020Soru →

Bir depodaki nn adet kutu, soldan sağa doğru 1,2,3,…,n1, 2, 3, \dots, n şeklinde ardışık pozitif tam sayılarla numaralandırılmıştır. Bu kutuların her birine, kutu numarasının 2 katının 3 fazlası kadar bilye konuluyor.

Kutulardaki toplam bilye sayısı, kutuların üzerindeki numaraların toplamından 120 fazla olduğuna göre; numarası tek sayı olan kutulardaki toplam bilye sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 152

Cevap

Numarası tek sayı olan kutulardaki toplam bilye sayısı 152'dir.
Doğru cevap 152 bilyedir. Kutulardaki toplam bilye sayısı ile kutu numaraları toplamının farkından yararlanarak kutu sayısı (nn) 16 olarak bulunur. 16 kutudan numarası tek sayı olan 8 kutudaki bilye sayıları sırasıyla 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29 ve 33'tür. Bu sayıların toplamı 152 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Kutulardaki toplam bilye sayısını veren ifadeyi yazmak.
ii. kutudaki bilye sayısı 2i+32i + 3 olduğundan, toplam bilye sayısı ∑i=1n(2i+3)\sum_{i=1}^n (2i+3) olur.
Toplam bilye sayısı ile kutu numaraları toplamı arasındaki ilişkiyi kurmak için genel toplam ifadesini bulmamız gerekir.
2
Toplam bilye sayısı ile kutu numaraları toplamı arasındaki farkı denklem haline getirmek.
∑i=1n(2i+3)−∑i=1ni=120  ⟹  ∑i=1n(i+3)=120  ⟹  n(n+1)2+3n=120\sum_{i=1}^n (2i+3) - \sum_{i=1}^n i = 120 \implies \sum_{i=1}^n (i+3) = 120 \implies \frac{n(n+1)}{2} + 3n = 120 denklemi elde edilir.
Soruda verilen bilye sayısının kutu numaraları toplamından 120 fazla olduğu bilgisi bu denklemi kurmamızı sağlar.
3
Elde edilen denklemi düzenleyip kutu sayısı olan nn değerini bulmak.
n2+7n2=120  ⟹  n2+7n−240=0  ⟹  (n−16)(n+15)=0\frac{n^2 + 7n}{2} = 120 \implies n^2 + 7n - 240 = 0 \implies (n-16)(n+15) = 0 olur. nn pozitif tam sayı olduğundan n=16n = 16 bulunur.
Kutuların toplam sayısını bularak hangi kutuların tek numaralı olduğunu belirlemek için bu denklemin çözülmesi gerekir.
4
Numarası tek sayı olan kutuları belirlemek ve bu kutulardaki bilye sayılarını bulmak.
Kutular 1,3,5,…,151, 3, 5, \dots, 15 olmak üzere 8 adettir. Bu kutulardaki bilye sayıları sırasıyla 2(1)+3=52(1)+3=5, 2(3)+3=92(3)+3=9, …\dots, 2(15)+3=332(15)+3=33 şeklindedir.
Tek numaralı kutuların bilye sayıları toplamını bulmak için her bir tek numaralı kutuda kaç bilye olduğunu belirlemeliyiz.
5
Belirlenen bilye sayılarının ardışık toplamını hesaplamak.
Terim sayısı 8, ilk terim 5 ve son terim 33 olan ardışık toplam: 5+332×8=19×8=152\frac{5+33}{2} \times 8 = 19 \times 8 = 152 bulunur.
Sonuca ulaşmak için tek numaralı kutulardaki tüm bilyeleri toplamamız gerekir.

Anahtar Kavram

Ardışık sayıların toplamı formülleri ve aritmetik dizilerde terim toplamı bulma.
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 151 / 338Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) | Examkin