Examkin

Tüm alıştırma soruları

689 soru

Tüm türler6,755Çoktan seçmeli4,123Çoklu seçim2Doğru / Yanlış394Sayısal689Eşleştirme1,052Sıralama324Boşluk doldurma130Kısa cevap41
Soru 101Soru →

Bir soğuk hava deposunun sıcaklığı başlangıçta sıfırın altında 1212 °C olarak ölçülmüştür. Bu deponun sıcaklığı her saatin sonunda 33 °C artmaktadır. Buna göre, deponun sıcaklığı en az kaç saat sonra ilk kez bir doğal sayıya eşit olur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Deponun sıcaklığının ilk kez bir doğal sayı olması için en az 4 saat geçmesi gerekir.
Deponun sıcaklığının ilk kez bir doğal sayı olması, sıcaklığın en küçük doğal sayı olan 00 °C değerine ulaşması demektir. Başlangıç sıcaklığı −12-12 °C iken saatte 33 °C artışla 44 saatin sonunda sıcaklık 00 °C olur.

Adım Adım Çözüm

1
Deponun xx saat sonraki sıcaklık ifadesini yazın.
Sıcaklık −12+3x-12 + 3x olur.
Başlangıç sıcaklığı −12-12 °C olup her saat 33 °C artmaktadır.
2
Doğal sayılar kümesinin elemanlarını ve en küçük elemanını belirleyin.
Doğal sayılar kümesi 00 elemanını içerir ve en küçük doğal sayı 00'dır.
Sıcaklığın doğal sayı olabilmesi için en az 00 °C'ye ulaşması gerekir.
3
Sıcaklık ifadesini 00'a eşitleyerek geçen süreyi bulun.
−12+3x=0⇒3x=12⇒x=4-12 + 3x = 0 \Rightarrow 3x = 12 \Rightarrow x = 4
Geçen süre tam sayı olmalıdır ve 44 saatin sonunda sıcaklık tam olarak 00 °C olur.

Anahtar Kavram

Doğal sayılar kümesinin elemanları ve sıfırın bir doğal sayı olması.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 102Soru →

Bir sayı doğrusu üzerindeki nötr (işaretsiz) başlangıç noktasına olan uzaklıkları sırasıyla 4, 6 ve 9 birim olan xx, yy ve zz gerçel sayıları için aşağıdaki eşitsizlikler verilmiştir:
* x5⋅y2⋅z3<0x^5 \cdot y^2 \cdot z^3 < 0
* y⋅z>0y \cdot z > 0
* x−y>0x - y > 0

Buna göre,
−x2−(−y)2z−(−z)2+86\frac{-x^2 - (-y)^2}{z - (-z)^2 + 86}
ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

İfadenin değeri 13'tür.
Verilen eşitsizlikler analiz edildiğinde x=4x = 4, y=−6y = -6 ve z=−9z = -9 değerleri elde edilir. Bu değerler rasyonel ifadede işlem önceliklerine ve parantezli/parantezsiz üs alma kurallarına dikkat edilerek yerine yazıldığında pay −52-52, payda −4-4 bulunur. Bölme işleminin sonucunda 13 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Başlangıç noktasına olan uzaklık tanımından faydalanarak değişkenlerin mutlak değerlerini belirlemek.
∣x∣=4|x| = 4, ∣y∣=6|y| = 6 ve ∣z∣=9|z| = 9 elde edilir.
Bir gerçel sayının başlangıç noktasına (sıfır noktasına) olan uzaklığı o sayının mutlak değerine eşittir.
2
x5⋅y2⋅z3<0x^5 \cdot y^2 \cdot z^3 < 0 eşitsizliğini incelemek.
xx ve zz gerçel sayıları zıt işaretlidir (x⋅z<0x \cdot z < 0).
y≠0y \neq 0 olduğundan y2>0y^2 > 0 olur. Çarpımın negatif olması için x5⋅z3<0x^5 \cdot z^3 < 0 olmalıdır, bu da xx ile zz'nin zıt işaretli olmasını gerektirir.
3
y⋅z>0y \cdot z > 0 eşitsizliğini incelemek.
yy ve zz gerçel sayıları aynı işaretlidir.
İki gerçel sayının çarpımının pozitif olması için ikisinin de aynı işaretli olması gerekir.
4
İşaret ilişkilerini birleştirmek.
xx ile yy gerçel sayıları zıt işaretlidir.
xx ile zz zıt, yy ile zz aynı işaretli olduğundan xx ile yy mutlaka zıt işaretli olmalıdır.
5
x−y>0x - y > 0 eşitsizliğini kullanmak.
x>0x > 0 ve y<0y < 0 bulunur.
Zıt işaretli iki sayının farkının pozitif çıkması için büyük olan sayının (xx) pozitif, küçük olan sayının (yy) negatif olması gerekir.
6
Tüm değişkenlerin kesin değerlerini bulmak.
x=4x = 4, y=−6y = -6 ve z=−9z = -9 olur.
y<0y < 0 ve yy ile zz aynı işaretli olduğundan z<0z < 0 olur. Mutlak değer büyüklükleri kullanılarak değerler belirlenir.
7
Bulunan değerleri istenen ifadede yerine yazıp hesaplamak.
13 elde edilir.
Pay: −x2−(−y)2=−(4)2−(6)2=−16−36=−52-x^2 - (-y)^2 = -(4)^2 - (6)^2 = -16 - 36 = -52. Payda: z−(−z)2+86=−9−(9)2+86=−90+86=−4z - (-z)^2 + 86 = -9 - (9)^2 + 86 = -90 + 86 = -4. Sonuç: −52−4=13\frac{-52}{-4} = 13 olur.

Anahtar Kavram

Pozitif ve negatif sayılarda dört işlem kuralları, üs alma işlemleri ve mutlak değer yardımıyla işaret analizi.
Soru 103Soru →

Üç basamaklı ABCABC doğal sayısının birler basamağındaki rakam silinip bu rakam sayının soluna eklendiğinde elde edilen üç basamaklı sayı CABCAB olmaktadır.

ABC−CAB=270ABC - CAB = 270

olduğuna göre, bu koşulu sağlayan üç basamaklı tüm ABCABC doğal sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4131

Cevap

Koşulu sağlayan ��ç basamaklı tüm ABCABC sayılarının toplamı 4131'dir.
Verilen ABCABC ve CABCAB sayıları çözümlendiğinde 100A+10B+C−(100C+10A+B)=270  ⟹  90A+9B−99C=270100A + 10B + C - (100C + 10A + B) = 270 \implies 90A + 9B - 99C = 270 eşitliği elde edilir. Bu denklemi 9 ile sadeleştirdiğimizde 10A+B−11C=3010A + B - 11C = 30 olur. Burada 10A+B10A + B ifadesi iki basamaklı ABAB sayısını ifade ettiği için AB=11C+30AB = 11C + 30 yazabiliriz. CABCAB üç basamaklı bir sayı olduğundan C≥1C \ge 1 olmalıdır. Ayrıca AA ve BB birer rakam olduğu için A=C+3≤9  ⟹  C≤6A = C+3 \le 9 \implies C \le 6 olur. Bu durumda CC için 1, 2, 3, 4, 5, 6 değerleri verilebilir. Buna göre elde edilen ABCABC sayıları 411, 522, 633, 744, 855, 966'dır. Bu sayıların toplamı ise 411+522+633+744+855+966=4131411 + 522 + 633 + 744 + 855 + 966 = 4131 yapmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Sayılarda çözümleme işlemini uygulayarak denklemi oluşturma.
90A+9B−99C=27090A + 9B - 99C = 270 eşitliği elde edilir.
Sayıların basamak değerlerine göre çözümlenmesi, aralarındaki farkı basitleştirmemizi sağlar.
2
Elde edilen denklemi sadeleştirme.
10A+B−11C=3010A + B - 11C = 30 veya iki basamaklı sayı formunda AB−11C=30AB - 11C = 30 elde edilir.
Her terim 9'un katı olduğundan denklemin her iki tarafı da 9'a bölünerek daha sade bir biçim elde edilir.
3
CC rakamına değerler vererek ABAB iki basamaklı sayısını ve dolayısıyla A,B,CA, B, C rakamlarını belirleme.
CC değerleri 1'den 6'ya kadar değişirken ABCABC sayıları sırasıyla 411, 522, 633, 744, 855, 966 olarak bulunur.
C≥1C \ge 1 olmalıdır çünkü CABCAB üç basamaklı bir sayıdır. Ayrıca AA ve BB birer rakam olmak zorunda olduğundan A=C+3≤9  ⟹  C≤6A = C+3 \le 9 \implies C \le 6 sınırlandırması bulunur.
4
Bulunan tüm ABCABC sayılarının toplamını hesaplama.
411+522+633+744+855+966=4131411 + 522 + 633 + 744 + 855 + 966 = 4131 bulunur.
Soruda bizden bu koşulu sağlayan tüm ABCABC doğal sayılarının toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Çözümleme yöntemi kullanılarak basamak analizinin yapılması ve rakam olma şartlarına göre değer verilmesi.
Soru 104Soru →
Üç basamaklı ABCABC ve BCABCA doğal sayıları için,
ABC−BCA=378ABC - BCA = 378
eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, bu koşulu sağlayan en büyük ABCABC doğal sayısının rakamları toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

Bu koşulu sağlayan en büyük ABCABC sayısı 957 olup, rakamları toplamı 21'dir.
Verilen denklem çözümlenip sadeleştirildiğinde 11A−C=10B+4211A - C = 10B + 42 eşitliğine ulaşılır. En büyük ABCABC sayısını oluşturabilmek için en büyük yüzler basamağı rakamı olan A=9A=9 seçilir. Buradan 99−C=10B+42  ⟹  57−C=10B99 - C = 10B + 42 \implies 57 - C = 10B bulunur. CC bir rakam olduğundan bu eşitliği sağlayan tek değer C=7C=7 ve B=5B=5 olur. Böylece elde edilen en büyük ABCABC sayısı 957'dir. Bu sayının rakamları toplamı ise 9+5+7=219 + 5 + 7 = 21 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC ve BCABCA sayılarını basamak çözümlemesi yöntemiyle açın.
ABC=100A+10B+CABC = 100A + 10B + C ve BCA=100B+10C+ABCA = 100B + 10C + A
Sayı basamakları arasındaki cebirsel ilişkiyi kurabilmek için çözümleme yapılması gerekir.
2
Çözümlenmiş ifadeleri ABC−BCA=378ABC - BCA = 378 denkleminde yerine yazıp sadeleştirin.
99A−90B−9C=378  ⟹  11A−10B−C=4299A - 90B - 9C = 378 \implies 11A - 10B - C = 42
Denklemi 9 ile bölerek daha sade ve analiz edilmesi kolay bir eşitlik elde etmek için.
3
Elde edilen 11A−C=10B+4211A - C = 10B + 42 denklemini sağlayan A,B,CA, B, C rakam değerlerini bulun.
BB değeri 1'den 5'e kadar değer alabilir. En büyük ABCABC sayısını bulmak için en büyük yüzler basamağı olan A=9A=9 değeri seçildiğinde B=5B=5 ve C=7C=7 olur.
BCABCA üç basamaklı sayı olduğu için BB sıfır olamaz. En büyük ABCABC sayısını bulmak amacıyla yüzler basamağındaki AA rakamını en büyük seçmeye çalışırız.
4
En büyük ABCABC sayısı olan 957 sayısının rakamları toplamını hesaplayın.
9+5+7=219 + 5 + 7 = 21
Soruda en büyük sayının rakamları toplamı istendiği için.

Anahtar Kavram

Üç basamaklı sayıların basamak analizi ve çözümlenerek kısıtlı değişkenlere göre değer analizi yapılması.
Soru 105Soru →

Matematik öğretmeni Selim Bey, öğrencilerinin sayı kümeleri arasındaki farkı kavramaların�� sağlamak amacıyla tahtaya şu KK kümesini yazmıştır:

K={−4,  −32,  0,  1.8,  7,  9}K = \{-4, \; -\frac{3}{2}, \; 0, \; 1.8, \; \sqrt{7}, \; 9\}

Selim Bey öğrencilerinden, bu kümenin elemanlarından üç farklı say�� seçerek bu sayıları sırasıyla a,ba, b ve cc olarak adlandırmalarını istemiştir. Seçilecek bu sayılar için şu koşullar belirlenmiştir:

* aa bir tam sayıdır.
* bb rasyonel sayı olmasına rağmen bir tam sayı değildir.
* cc rasyonel sayı değildir.

Buna göre, bu koşullara uygun kaç farklı (a,b,c)(a, b, c) sıralı üçlüsü oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Koşulları sağlayan 6 farklı sıralı üçlü oluşturulabilir.
Soruda belirtilen koşullara göre: a sayısı tam sayılar kümesinden seçilmelidir, bu koşula uyan elemanlar -4, 0 ve 9 olmak üzere 3 tanedir. b sayısı rasyonel sayı olup tam sayı olmayanlar kümesinden seçilmelidir, bu koşula uyan elemanlar -3/2 ve 1.8 olmak üzere 2 tanedir. c sayısı rasyonel olmayan (irrasyonel) sayılar kümesinden seçilmelidir, bu koşula uyan tek eleman \sqrt{7}'dir. Bu kümeler birbirleriyle kesişmediği için seçilen elemanlar otomatik olarak birbirinden farklı olur. Çarpma yoluyla sayma kuralı gereğince 3 * 2 * 1 = 6 farklı sıralı üçlü oluşturulabilir.

Adım Adım Çözüm

1
K kümesinin elemanlarını sayı kümelerine göre sınıflandırmak
Tam sayılar: -4, 0, 9. Rasyonel olup tam sayı olmayanlar: -3/2, 1.8. İrrasyonel (rasyonel olmayan) sayılar: \sqrt{7}
Her bir değişken için hangi sayıların seçilebileceğini belirlemek amacıyla bu sınıflandırma yapılır.
2
Değişkenler için aday eleman sayılarını belirlemek
a için 3 aday (-4, 0, 9), b için 2 aday (-3/2, 1.8), c için 1 aday (\sqrt{7})
Her bir pozisyona kaç farklı seçeneğin gelebileceğini tespit etmek gerekir.
3
Çarpma kuralını uygulayarak toplam sıralı üçlü sayısını hesaplamak
3 * 2 * 1 = 6
Birbirinden bağımsız olarak yapılan bu seçimlerin toplam sonucunu bulmak için seçenek sayıları çarpılır.

Anahtar Kavram

Sayı Kümeleri ve Elemanların Sınıflandırılması
Soru 106Soru →

A={−3,−1,0,2,4}A = \{-3, -1, 0, 2, 4\} kümesinin elemanlarından seçilen birbirinden farklı iki sayının çarpımı ile elde edilebilecek en büyük negatif sayı ile en küçük pozitif sayının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

En büyük negatif çarpım değeri olan -2 ile en küçük pozitif çarpım değeri olan 3'ün toplamı 1'dir.
Çarpım sonucu elde edilen negatif sayıların kümesi {−12,−6,−4,−2}\{-12, -6, -4, -2\} olup, bu gruptaki en büyük sayı −2-2'dir. Çarpım sonucu elde edilen pozitif sayıların kümesi ise {3,8}\{3, 8\} olup, bu gruptaki en küçük sayı 33'tür. Sıfır sayısı nötr (işaretsiz) olduğundan her iki gruba da dahil edilmemiştir. Bu iki değerin toplamı −2+3=1-2 + 3 = 1 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Birbirinden farklı iki elemanın çarpımı ile elde edilebilecek tüm olası sonuçları hesaplamak.
Olası tüm çarpımlar şunlardır: (−3)⋅(−1)=3(-3) \cdot (-1) = 3, (−3)⋅0=0(-3) \cdot 0 = 0, (−3)⋅2=−6(-3) \cdot 2 = -6, (−3)⋅4=−12(-3) \cdot 4 = -12, (−1)⋅0=0(-1) \cdot 0 = 0, (−1)⋅2=−2(-1) \cdot 2 = -2, (−1)⋅4=−4(-1) \cdot 4 = -4, 0⋅2=00 \cdot 2 = 0, 0⋅4=00 \cdot 4 = 0 ve 2⋅4=82 \cdot 4 = 8. Küme olarak çarpım sonuçları {−12,−6,−4,−2,0,3,8}\{-12, -6, -4, -2, 0, 3, 8\} şeklindedir.
Soruda istenen en büyük negatif ve en küçük pozitif çarpım değerlerini bulmak için tüm olası çarpım sonuçlarını görmek gerekir.
2
Elde edilen sonu��lar arasından negatif olanları belirlemek ve en büyüğünü seçmek.
Negatif çarpım sonuçları {−12,−6,−4,−2}\{-12, -6, -4, -2\} kümesidir. Bu sayılardan en büyüğü −2-2'dir. Sıf��r sayısı işaretsiz (nötr) olduğu için bu gruba dahil edilmez.
Negatif sayılarda sıfıra yakın olan sayı daha büyüktür. Dolayısıyla en büyük negatif çarpım değeri −2-2 olur.
3
Elde edilen sonuçlar arasından pozitif olanları belirlemek ve en küçüğünü seçmek.
Pozitif çarpım sonuçları {3,8}\{3, 8\} kümesidir. Bu sayılardan en küçüğü 33'tür. Sıfır sayısı işaretsiz (nötr) olduğu için pozitif sayılar grubuna dahil edilmez.
Pozitif sayılardan en küçüğünü belirlemek gerekir. Sıfır sayısı pozitif olmadığı için en küçük pozitif sayı 33 olarak belirlenir.
4
Bulunan en büyük negatif sayı ile en küçük pozitif sayıyı toplamak.
−2+3=1-2 + 3 = 1 elde edilir.
Soru bizden bu iki değerin toplamını bulmamızı istemektedir.

Anahtar Kavram

Pozitif, negatif ve nötr (işaretsiz) sayıların tanımları ve bu sayıların kendi aralarındaki çarpım işlemleri.
Soru 107Soru →

Bir bilgisayar programı, sisteme girilen bir sayı kümesindeki elemanlardan rasyonel olmayan (irrasyonel) sayıları tespit edip ayıklamaktadır. Bu programa girdi olarak K={−9,227,π,0,5,2.3‾}K = \{-\sqrt{9}, \frac{22}{7}, \pi, 0, \sqrt{5}, 2.\overline{3}\} kümesi veriliyor. Buna göre, bu program KK kümesinden kaç tane sayı ayıklar?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Programın ayıklayacağı sayı adedi 2'dir.
Kümedeki sayılardan yalnızca π\pi ve 5\sqrt{5} sayıları irrasyoneldir. Bu durumda program toplamda 2 sayıyı ayıklar.

Adım Adım Çözüm

1
Kümedeki her bir elemanın sayı kümesini belirleme
−9=−3∈Q-\sqrt{9} = -3 \in \mathbb{Q}, 227∈Q\frac{22}{7} \in \mathbb{Q}, π∈Q′\pi \in \mathbb{Q}', 0∈Q0 \in \mathbb{Q}, 5∈Q′\sqrt{5} \in \mathbb{Q}', 2.3‾∈Q2.\overline{3} \in \mathbb{Q}
Sayıların rasyonel mi yoksa irrasyonel mi olduğunu ayırt etmek için tanımlarını kullanırız.
2
Rasyonel olmayan (irrasyonel) sayıları sayma
π\pi ve 5\sqrt{5} olmak üzere 2 tane irrasyonel sayı vardır.
Program sadece irrasyonel olan sayıları ayıklamaktadır.

Anahtar Kavram

Rasyonel ve irrasyonel sayı kümelerinin ayrımı
Soru 108Soru →

Bir xx gerçel sayısı için

x+94xx + \frac{9}{4x}

ifadesinin bir tam sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, bu koşulu sağlayan kaç farklı xx rasyonel sayısı vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Bu koşulu sağlayan rasyonel sayıların sayısı 6'dır.
Verilen rasyonel ifadenin tam sayı olmasını sağlayan rasyonel sayılar x=p/qx = p/q şeklinde yazıldığında, bölünebilme analizi sonucunda paydanın q=2q=2 ve payın p∈{±1,±3,±9}p \in \{\pm 1, \pm 3, \pm 9\} olması gerektiği görülür. Bu durum ±1/2\pm 1/2, ±3/2\pm 3/2 ve ±9/2\pm 9/2 olmak üzere tam 6 adet rasyonel sayı değeri üretir.

Adım Adım Çözüm

1
Rasyonel sayı tanımını uygulayarak x=p/qx = p/q şeklinde yazılması
x=pqx = \frac{p}{q} (burada p,q∈Zp, q \in \mathbb{Z}, q>0q > 0 ve obeb(p,q)=1\text{obeb}(p, q) = 1)
Her rasyonel sayı, aralarında asal iki tam sayının oranı biçiminde tek şekilde yazılabilir.
2
İfadeyi düzenleyerek tek bir rasyonel kesir haline getirmek ve tam sayıya eşitlemek
4p2+9q24pq=k\frac{4p^2 + 9q^2}{4pq} = k (k∈Zk \in \mathbb{Z})
Toplama işlemini gerçekleştirerek bölünebilme analizi yapabilmek.
3
Paydadaki çarpanların payı bölme koşullarını incelemek
qq sayısı 44'ü, pp sayısı ise 99'u bölmelidir.
pp ve qq aralarında asal olduğundan, paydadaki qq çarpanı paydaki 4p24p^2 terimini bölmek için 44'ü bölmelidir. Benzer şekilde paydadaki pp çarpanı 99'u bölmelidir.
4
Eşitliğin her iki tarafının 4 ile bölünebilirliğini kontrol etmek
9q29q^2 sayısı 44'ün katı olmalı, dolayısıyla qq çift sayı olmalıdır.
4p2+9q2=4kpq4p^2 + 9q^2 = 4kpq denkleminde 4p24p^2 ve 4kpq4kpq çift ve hatta 4'ün katıdır, bu yüzden kalan terim de 4'ün katı olmalıdır.
5
q=4q=4 olasılığını değerlendirmek
q=4q=4 için p2+36=4kp  ⟹  p2=4(kp−9)p^2 + 36 = 4kp \implies p^2 = 4(kp - 9) olur ki bu pp'nin çift olmasını gerektirir. Ancak pp ve qq aralarında asal olduğundan pp tek olmalıdır. Bu çelişki nedeniyle q=4q = 4 olamaz.
Aralarında asallık özelliğinin korunması gerekliliğini test etmek.
6
q=2q=2 olasılığını değerlendirip olası pp değerlerini bulmak
q=2q=2 için p2+9=2kpp^2 + 9 = 2kp elde edilir. 9'un tek bölenleri olan p∈{±1,±3,±9}p \in \{\pm 1, \pm 3, \pm 9\} değerlerinin hepsi bu eşitliği sağlayan bir kk tam sayısı üretir. Bu da 6 farklı çözüm (x=±1/2,±3/2,±9/2x = \pm 1/2, \pm 3/2, \pm 9/2) anlamına gelir.
Tüm olası çözümleri listeleyerek toplam sayıyı belirlemek.

Anahtar Kavram

Rasyonel sayı kümesinin tanımı, rasyonel ve tam sayı kümeleri arasındaki temel farklar ve bölünebilme teorisi.
Soru 109Soru →
İki basamaklı AAAA, BBBB ve ABAB doğal sayıları için,
AA+BB−AB=84AA + BB - AB = 84
eşitliği veriliyor.

Buna göre, A⋅BA \cdot B çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

Rakamların çarpımı olan A⋅BA \cdot B ifadesinin değeri 32'dir.
Verilen iki basamaklı sayıların çözümlenmiş halleri denklemde yerine yazıldığında 10B+A=8410B + A = 84 elde edilir. Bu ifade iki basamaklı BABA sayısının çözümlenmiş halidir. Dolayısıyla BA=84BA = 84 eşitliğinden B=8B = 8 ve A=4A = 4 bulunur. Buradan rakamların çarpımı A⋅B=32A \cdot B = 32 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İki basamaklı sayıları basamak değerlerine göre çözümleyelim.
AA=11AAA = 11A, BB=11BBB = 11B ve AB=10A+BAB = 10A + B ifadeleri elde edilir.
İki basamaklı sayıların basamak analizi kurallarına göre çözümlenmesi için.
2
Elde edilen çözümlenmiş ifadeleri verilen denklemde yerine yazıp benzer terimleri sadeleştirelim.
11A+11B−(10A+B)=84  ⟹  A+10B=8411A + 11B - (10A + B) = 84 \implies A + 10B = 84 denklemi bulunur.
Denklemi sade bir hale getirerek AA ve BB arasındaki ilişkiyi bulmak için.
3
AA ve BB birer rakam olduğundan basamak çözümlemesi mantığıyla değerlerini belirleyelim.
B=8B = 8 ve A=4A = 4 olarak bulunur.
10B+A10B + A ifadesi, onlar basamağı BB, birler basamağı AA olan iki basamaklı BABA sayısının açılımıdır. Buradan BA=84BA = 84 olmalıdır.
4
A⋅BA \cdot B çarpımını hesaplayalım.
4⋅8=324 \cdot 8 = 32 sonucuna ulaşılır.
Soruda bizden istenen rakamların çarpım değerini bulmaktır.

Anahtar Kavram

İki basamaklı sayıların basamak analizi ve çözümlenmesi.
Soru 110Soru →

Rakamları sıfırdan ve birbirinden farklı olan üç basamaklı bir ABCABC doğal sayısının farklı iki basamağındaki rakamlar seçilerek yazılabilecek tüm iki basamaklı doğal sayıların toplamı S(ABC)S(ABC) ile gösterilmektedir.

Örneğin;
S(123)=12+13+21+23+31+32=132S(123) = 12 + 13 + 21 + 23 + 31 + 32 = 132
olmaktadır.
Rakamları sıfırdan ve birbirinden farklı olan bir ABCABC doğal sayısı için
ABC=S(ABC)+123ABC = S(ABC) + 123
eşitliği sağlandığına göre, bu koşulu sağlayan ABCABC sayısının rakamları toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Koşulu sağlayan üç basamaklı sayı 475'tir ve bu sayının rakamları toplamı 16'dır.
Verilen koşullara göre çözümlenen denklemde A=4A=4, B=7B=7 ve C=5C=5 değerleri tek geçerli çözümdür. Rakamlar toplamı 4+7+5=164+7+5=16 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen S(ABC)S(ABC) fonksiyonunun tanımına göre iki basamaklı sayıların toplamını çözümleyerek ifade ediniz.
S(ABC)=22(A+B+C)S(ABC) = 22(A + B + C) elde edilir.
S(ABC)S(ABC) toplamındaki her bir rakam onlar basamağında 2 kez ve birler basamağında 2 kez yer alır. Bu da her bir rakam için 2×10+2×1=222 \times 10 + 2 \times 1 = 22 çarpanı getirir.
2
Verilen ABC=S(ABC)+123ABC = S(ABC) + 123 eşitliğinde sayıları basamak değerlerine göre açarak yerine yazınız ve denklemi sadeleştiriniz.
26A=4B+7C+4126A = 4B + 7C + 41 denklemi elde edilir.
100A+10B+C=22(A+B+C)+123100A + 10B + C = 22(A + B + C) + 123 denklemi düzenlendiğinde 78A−12B−21C=12378A - 12B - 21C = 123 olur. Her iki taraf 3 ile bölündüğünde sadeleşmiş denklem elde edilir.
3
26A=4B+7C+4126A = 4B + 7C + 41 denkleminde AA rakamı için olası değerleri sınırlandırarak analiz ediniz.
AA rakamı yalnızca 44 değerini alabilir.
B,C≤9B, C \leq 9 olduğundan sağ tarafın en büyük değeri 4(8)+7(9)+41=1364(8) + 7(9) + 41 = 136 (farklı rakamlar için) olur, bu da A≤5A \leq 5 olmasını gerektirir. A<4A < 4 için ise sol taraf çok küçük kalır veya tam sayı çözümü vermez. Modulo aritmetiği ve teklik-çiftlik incelemesiyle A=4A=4 olduğu belirlenir.
4
A=4A = 4 için 4B+7C=634B + 7C = 63 denkleminin sıfırdan ve birbirinden farklı rakamlarla olan çözümünü bulunuz.
B=7B = 7 ve C=5C = 5 olarak bulunur.
CC tek sayı olmalıdır. C=5C=5 için 4B=28  ⟹  B=74B = 28 \implies B=7 bulunur. Diğer durumlarda rakam olma veya sıfırdan farklı olma koşulları sağlanmaz.
5
Bulunan A=4A=4, B=7B=7 ve C=5C=5 değerlerinin toplamını hesaplayınız.
A+B+C=16A + B + C = 16 bulunur.
Soruda ABCABC sayısının rakamları toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Sayı basamaklarının çözümlenmesi ve verilen kısıtlar altında değer aralığı analizi ile denklem çözümü.
Soru 111Soru →

İki basamaklı ABAB doğal sayısı, rakamlarının toplamının 8 katına eşittir.

Buna göre, rakamlarının yerleri değiştirilerek elde edilen iki basamaklı BABA doğal sayısı ile AA ve BB rakamlarının çarpımının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 41

Cevap

İki basamaklı BA sayısı ile A ve B rakamlarının çarpımının toplamı 41'dir.
AB sayısı çözümlenerek 10A + B = 8A + 8B denklemi kurulur. Buradan 2A = 7B elde edilir. A ve B birer rakam ve A sıfırdan farklı olduğuna göre bu eşitliği sağlayan tek değerler A = 7 ve B = 2'dir. Dolayısıyla BA sayısı 27 olur. Rakamların çarpımı A * B = 14'tür. Bu iki değerin toplamı 27 + 14 = 41 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
AB sayısını çözümleyerek verilen eşitliği yazalım.
10A+B=8(A+B)10A + B = 8(A + B)
AB sayısı 10A+B10A + B şeklinde çözümlenir.
2
Elde edilen denklemi sadeleştirerek A ile B arasındaki ilişkiyi bulalım.
2A=7B2A = 7B
10A+B=8A+8B  ⟹  2A=7B10A + B = 8A + 8B \implies 2A = 7B elde edilir.
3
A ve B'nin rakam olma koşulunu ve AB'nin iki basamaklı sayı olma koşulunu kullanarak değerlerini bulalım.
A=7A = 7 ve B=2B = 2
2A=7B2A = 7B eşitliğini sağlayan sıfırdan farklı rakam çifti sadece A=7A=7 ve B=2B=2'dir.
4
İstenen BA + A * B ifadesinin değerini hesaplayalım.
41
BA=27BA = 27 ve A⋅B=7⋅2=14A \cdot B = 7 \cdot 2 = 14 olduğundan toplamları 27+14=4127 + 14 = 41 olur.

Anahtar Kavram

İki basamaklı sayıların çözümlenmesi ve rakam olma koşullarının uygulanması.
Soru 112Soru →
Bir xx gerçel sayısı için,
P=−x4P = -x^4
R=(−x)5R = (-x)^5
S=x2S = x^2
ifadeleri tanımlanıyor.
PP, RR ve SS sayılarından en az birinin işaretsiz (nötr) olduğu ve bu üç sayıdan en fazla bir tanesinin pozitif olduğu bilindiğine göre,
(x−3)2−(x+1)3(x - 3)^2 - (x + 1)^3
ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

İfadenin değeri 8'dir.
Verilen koşullara göre ifadelerden en az birinin nötr olabilmesi ve en fazla birinin pozitif olabilmesi yalnızca x=0x = 0 durumunda mümkündür. x=0x = 0 değeri hedef ifadede yerine yazıldığında (0−3)2−(0+1)3=9−1=8(0-3)^2 - (0+1)^3 = 9 - 1 = 8 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
x>0x > 0 durumu için ifadelerin işaretlerini belirleme
P=−x4<0P = -x^4 < 0 (negatif), R=(−x)5<0R = (-x)^5 < 0 (negatif), S=x2>0S = x^2 > 0 (pozitif)
Pozitif bir sayının çift kuvvetinin negatifi negatif, negatif bir tabanın tek kuvveti yine negatiftir. Bu durumda pozitif olan sadece bir ifade vardır ancak hiçbir ifade nötr (sıfır) değildir.
2
x<0x < 0 durumu için ifadelerin işaretlerini belirleme
P=−x4<0P = -x^4 < 0 (negatif), R=(−x)5>0R = (-x)^5 > 0 (pozitif), S=x2>0S = x^2 > 0 (pozitif)
xx negatif ise −x-x pozitif olur ve tek kuvveti de pozitiftir. Bu durumda pozitif olan iki ifade vardır, bu da 'en fazla bir pozitif' koşulunu ihlal eder. Ayrıca nötr ifade yoktur.
3
x=0x = 0 durumu için ifadelerin değerlerini belirleme
P=0P = 0, R=0R = 0, S=0S = 0
Sıfır sayısı işaretsiz (nötr) bir sayıdır. Bu durumda tüm ifadeler sıfır olduğundan 'en az birinin nötr olması' ve sıfır adet pozitif değer bulunduğundan 'en fazla bir tanesinin pozitif olması' koşulları birlikte sağlanır.
4
Elde edilen tek geçerli x=0x = 0 değerini hedef ifadede yerine yazıp sonucu hesaplama
(0−3)2−(0+1)3=9−1=8(0-3)^2 - (0+1)^3 = 9 - 1 = 8
Koşulları yalnızca x=0x = 0 değeri sağladığı için bu değerle işlem yapılır.

Anahtar Kavram

Pozitif ve negatif sayılarda kuvvet kuralları ve sıfırın nötr (işaretsiz) olma özelliği
Soru 113Soru →

İki basamaklı ABAB doğal sayısı, birler basamağındaki rakamın 7 katına eşittir.

Buna göre, A+BA + B toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Rakamların toplamı olan 8'dir.
İki basamaklı ABAB sayısı 10A+B10A + B şeklinde çözümlenip birler basamağındaki BB rakamının 7 katına eşitlendiğinde 10A+B=7B10A + B = 7B denklemi kurulur. Buradan 10A=6B10A = 6B ve sadeleştirilerek 5A=3B5A = 3B elde edilir. AA ve BB birer rakam ve A≠0A \neq 0 olduğundan bu eşitliği sağlayan tek rakam çifti A=3A = 3 ve B=5B = 5'tir. Rakamların toplamı 3+5=83 + 5 = 8 olur.

Adım Adım Çözüm

1
İki basamaklı ABAB sayısı çözümlenerek basamak değerleri cinsinden yazılır.
AB=10A+BAB = 10A + B
Basamak analizi yapabilmek ve denklemi çözebilmek için sayıyı çözümlemek gerekir.
2
Soruda verilen 'sayının birler basamağındaki rakamın 7 katına eşit olması' koşulu denklem haline getirilir ve sadeleştirilir.
10A+B=7B⇒10A=6B⇒5A=3B10A + B = 7B \Rightarrow 10A = 6B \Rightarrow 5A = 3B
Bilinmeyenler arasındaki ilişkiyi en basit tam sayı katsayılarıyla ifade etmek için.
3
Elde edilen 5A=3B5A = 3B denkleminde AA ve BB harflerinin sıfırdan farklı birer rakam olması kısıtlaması kullanılarak değerleri belirlenir.
A=3A = 3 ve B=5B = 5
ABAB iki basamaklı bir sayı olduğundan onlar basamağındaki AA sıfır olamaz. 5 ve 3 aralarında asal olduğundan AA sayısı 3'ün, BB sayısı 5'in katı olmalıdır. Rakam olma şartını sadece bu değerler sağlar.
4
Bulunan rakamlar toplanır.
A+B=3+5=8A + B = 3 + 5 = 8
Soruda bizden istenen rakamlar toplamı değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Basamak Analizi ve Sayı Çözümleme
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 114Soru →

Sayı doğrusu üzerinde −3-3 ile 30\sqrt{30} sayıları arasında yer alan tam sayılardan kaç tanesi aynı zamanda bir doğal sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Verilen aralıktaki tam sayılardan aynı zamanda doğal sayı olanların adeti 6'dır.
−3-3 ile 30\sqrt{30} sayıları arasındaki tam sayılar −2,−1,0,1,2,3,4,5-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 değerleridir. Doğal sayılar kümesi negatif olmayan tam sayıları (yani 0 ve pozitif tam sayıları) içerdiğinden bu aralıktaki doğal sayılar 0,1,2,3,4,50, 1, 2, 3, 4, 5 olmak üzere 6 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1
Kök dışı değer tespiti
5<30<65 < \sqrt{30} < 6 olarak bulunur.
52=255^2 = 25 ve 62=366^2 = 36 olduğundan, 25<30<3625 < 30 < 36 eşitsizliğinden yararlanarak 30\sqrt{30} değerinin 5 ile 6 arasında olduğu tespit edilir.
2
Aralıktaki tam sayıların listelenmesi
Aralıktaki tam sayılar: −2,−1,0,1,2,3,4,5-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5
−3-3 ile 30\sqrt{30} sayıları arasındaki (sınırlar dahil değil) tam sayılar belirlenir.
3
Doğal sayıların seçilmesi ve sayılması
Doğal sayılar: 0,1,2,3,4,50, 1, 2, 3, 4, 5 olmak üzere toplam 6 adettir.
Doğal sayılar kümesi 0'dan başlayıp sonsuza giden tam sayılardan oluşur. Bu nedenle negatif olan −2-2 ve −1-1 sayıları elenir.

Anahtar Kavram

Tam sayılar ve doğal sayılar kümelerinin elemanlarının ayırt edilmesi, özellikle sıfırın bir doğal sayı olması
Soru 115Soru →
Dört basamaklı ABCDABCD ve BCDABCDA doğal sayıları için,
ABCD−BCDA=3267ABCD - BCDA = 3267
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu koşulu sağlayan ve rakamları birbirinden farklı olan ABCDABCD sayısının rakamları toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 17

Cevap

Koşulları sağlayan ABCDABCD sayısı 51925192 olup, rakamları toplamı 17'dir.
Çözümleme sonucunda ulaşılan 111A−BCD=363111A - BCD = 363 denkleminde, BCDABCDA sayısının dört basamaklı olması gereğiyle B≠0B \neq 0 ve ABCDABCD sayısının rakamlarının farklı olması kısıtları uygulandığında, koşula uygun tek sayının ABCD=5192ABCD = 5192 olduğu görülür. Bu sayının rakamları toplamı 17 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Dört basamaklı ABCDABCD ve BCDABCDA sayılarının basamak çözümlemesini yapın.
ABCD=1000A+100B+10C+DABCD = 1000A + 100B + 10C + D ve BCDA=1000B+100C+10D+ABCDA = 1000B + 100C + 10D + A denklemleri elde edilir.
Sayılar arasındaki çıkarma işlemini gerçekleştirebilmek ve basamaklar arasındaki cebirsel ilişkiyi kurmak amacıyla çözümleme yapılır.
2
Verilen ABCD−BCDA=3267ABCD - BCDA = 3267 eşitliğinde çözümleme sonuçlarını yerine yazarak denklemi sadeleştirin.
999A−900B−90C−9D=3267999A - 900B - 90C - 9D = 3267 olur. Her iki tarafı 9 ile böldüğümüzde 111A−(100B+10C+D)=363111A - (100B + 10C + D) = 363 yani 111A−BCD=363111A - BCD = 363 elde edilir.
Denklemi ortak çarpan parantezine alarak daha basit bir katsayı ilişkisi kurmak ve BCDBCD üç basamaklı sayısını tek bir bütün olarak incelemek çözümü kolaylaştırır.
3
BCD=111A−363BCD = 111A - 363 eşitliğinde AA rakamının alabileceği değerleri, rakamların farklı olması ve B≠0B \neq 0 koşullarına göre test edin.
A≤3A \le 3 için BCDBCD negatif olur. A=4A=4 için BCD=081BCD=081 olur fakat BCDABCDA dört basamaklı olduğundan B≠0B \neq 0 olmalıdır. A=5A=5 için BCD=192BCD=192 olur ve ABCD=5192ABCD=5192 elde edilir (tüm rakamlar farklıdır). A≥6A \ge 6 değerleri için BCD=111A−363=100(A−3)+10(A−6)+(A−3)BCD = 111A - 363 = 100(A-3) + 10(A-6) + (A-3) formundan ötürü her zaman B=D=A−3B=D=A-3 eşitliği oluşur ve rakamlar farklı olamaz.
BCDABCDA sayısının en büyük basamağındaki rakam olan BB sıfır olamayacağı için A=4A=4 elenir. Rakamların farklı olması istendiği için B=DB=D eşitliğine yol açan A≥6A \ge 6 durumları elenir. Bu sayede tek geçerli çözüm belirlenir.
4
Koşulları sağlayan ABCD=5192ABCD = 5192 sayısının rakamları toplamını hesaplayın.
5+1+9+2=175 + 1 + 9 + 2 = 17 elde edilir.
Soruda istenen nihai sonuca ulaşmak için bulunan rakamlar toplanır.

Anahtar Kavram

Çok basamaklı doğal sayıların basamak analizi yöntemiyle çözümlenmesi, basamak değeri kısıtlamaları (baş basamağın sıfır olamaması) ve basamaklar arası cebirsel denklemlerin çözümü.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 116Soru →
aa bir doğal sayı olmak üzere,
a!+(a−1)!(a−1)!=10\frac{a! + (a-1)!}{(a-1)!} = 10
olduğuna göre, aa değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

İşlemler sadeleştirildiğinde a=9a = 9 olarak bulunur.
Verilen denklemde pay kısmındaki a!a! terimi a⋅(a−1)!a \cdot (a-1)! şeklinde açılıp ortak paranteze alındığında, ifadenin sol tarafı a+1a+1 olarak sadeleşir. Buradan a+1=10a+1=10 eşitliği elde edilir ve a=9a=9 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki a!a! ifadesini (a−1)!(a-1)! cinsinden açın.
a!=a⋅(a−1)!a! = a \cdot (a-1)!
Ortak paranteze alabilmek için faktöriyelleri aynı cinsten yazmak gerekir.
2
Payı (a−1)!(a-1)! ortak parantezine alın.
a⋅(a−1)!+(a−1)!=(a−1)!⋅(a+1)a \cdot (a-1)! + (a-1)! = (a-1)! \cdot (a+1)
Ortak çarpan parantezine alma kuralı uygulanır.
3
Pay ve paydadaki (a−1)!(a-1)! terimlerini sadeleştirin.
(a−1)!⋅(a+1)(a−1)!=a+1\frac{(a-1)! \cdot (a+1)}{(a-1)!} = a + 1
Aynı olan faktöriyel çarpanları sadeleşir.
4
a+1=10a+1 = 10 denklemini çözün.
a=9a = 9
Eşitliğin her iki tarafından 1 çıkarılır.

Anahtar Kavram

Faktöriyel içeren ifadelerde büyük olan faktöriyeli küçük olan cinsinden yazarak sadeleştirme yapılması.
Tahmini Süre:45s
Soru 117Soru →

Beş basamaklı bir doğal sayının soldan sağa doğru ardışık her iki basamağındaki rakamların sırasıyla oluşturduğu iki basamaklı sayılara o sayının "ardışık ikilileri" denir. Örneğin; 4375243752 sayısının ardışık ikilileri 4343, 3737, 7575 ve 5252 sayılarıdır.

Rakamları sıfırdan ve birbirinden farklı olan beş basamaklı ABCDEABCDE doğal sayısının tüm ardışık ikililerinin toplamı, bu sayının rakamları toplamının 8 katına eşittir.

Buna göre, bu koşulu sağlayan en küçük ABCDEABCDE sayısının binler basamağındaki rakam kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Koşulu sağlayan en küçük beş basamaklı sayı olan 12365 sayısının binler basamağındaki rakam 2'dir.
Koşulu sağlayan en küçük beş basamaklı sayı olan 12365 sayısının binler basamağındaki rakam 2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Ardışık ikili sayıların çözümlenmesi ve toplanması
Toplam =10A+11B+11C+11D+E= 10A + 11B + 11C + 11D + E
Ardışık ikililer 10A+B10A+B, 10B+C10B+C, 10C+D10C+D ve 10D+E10D+E olup toplandıklarında bu ifadeyi verir.
2
Verilen koşula göre denklemin kurulması ve sadeleştirilmesi
2A+3(B+C+D)=7E2A + 3(B+C+D) = 7E
Ardışık ikililerin toplamı rakamlar toplamının 8 katına eşitlenir: 10A+11B+11C+11D+E=8(A+B+C+D+E)10A + 11B + 11C + 11D + E = 8(A+B+C+D+E).
3
En küçük ABCDEABCDE sayısı için AA değerinin belirlenmesi
A=1A = 1 ve 2+3(B+C+D)=7E2 + 3(B+C+D) = 7E
Sayının en küçük olması için en büyük basamaktaki rakam olan AA en küçük pozitif değer olan 1 seçilmelidir.
4
Kalan rakamların değerlerinin belirlenmesi
E=5E = 5, B=2B = 2, C=3C = 3, D=6D = 6
2+3(B+C+D)=7E2 + 3(B+C+D) = 7E denkleminde E=5E=5 için B+C+D=11B+C+D=11 olur. Rakamların farklı ve sıfırdan farklı olması koşuluyla, sayıyı en küçük yapmak için B=2,C=3,D=6B=2, C=3, D=6 seçilir.
5
Sayının oluşturulması ve binler basamağının belirlenmesi
Sayı: 1236512365, Binler basamağı: 2
Oluşan 1236512365 sayısının soldan ikinci basamağı olan binler basamağındaki rakam 2'dir.

Anahtar Kavram

Basamak analizi, çözümleme ve sınırlayıcı şartlar altında değer verme
Soru 118Soru →

Q\mathbb{Q} rasyonel sayılar kümesini ve R\mathbb{R} gerçel sayılar kümesini göstermek üzere, AA ve BB kümeleri

A={x∈Q∣x2−2x∈Z ve x∈[−3,3]}A = \{x \in \mathbb{Q} \mid x^2 - 2x \in \mathbb{Z} \text{ ve } x \in [-3, 3]\}
B={x∈R∣x2−2x∈Z ve x∈[−3,3]}B = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 2x \in \mathbb{Z} \text{ ve } x \in [-3, 3]\}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, BB kümesinin eleman sayısı AA kümesinin eleman sayısından kaç fazladır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

B kümesinin eleman sayısı A kümesinin eleman sayısından 14 fazladır.
A kümesinin elemanları rasyonel sayı olarak tanımlanmıştır. Bir xx rasyonel sayısı için x2−2xx^2 - 2x ifadesinin tam sayı olması ancak xx değerinin bir tam sayı olması durumunda gerçekleşebilir. [−3,3][-3, 3] kapalı aralığındaki tam sayılar 7 tanedir, bu nedenle A kümesinin eleman sayısı 7 olur. B kümesinde ise xx değerleri gerçel sayıdır. f(x)=x2−2xf(x) = x^2 - 2x parabolü [−3,3][-3, 3] aralığında [−1,15][-1, 15] arasındaki tüm tam sayı değerlerini alır. y=ky = k (k∈Zk \in \mathbb{Z}) doğrularının bu aralıkta parabolü kestiği noktalar incelendiğinde; tepe noktasında (y=−1y = -1) 1 nokta, y∈{0,1,2,3}y \in \{0, 1, 2, 3\} için 2'şer noktadan toplam 8 nokta, y∈{4,5,...,15}y \in \{4, 5, ..., 15\} için ise sadece sol kolda 1'er noktadan toplam 12 nokta kesişim oluşturur. Böylece B kümesinin eleman sayısı 1+8+12=211 + 8 + 12 = 21 bulunur. İki kümenin eleman sayıları farkı 21−7=1421 - 7 = 14 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin elemanlarını belirlemek için rasyonel x değerlerini analiz etme
x rasyonel sayısı için x2−2xx^2 - 2x bir tam sayı ise, x sayısı da bir tam sayı olmak zorundadır. Bu koşulu sağlayan [−3,3][-3, 3] aralığındaki tam sayılar {−3,−2,−1,0,1,2,3}\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\} olup A kümesinin eleman sayısı 7'dir.
Rasyonel sayıların tam sayı olma zorunluluğunu göstererek A kümesinin eleman sayısını tam olarak tespit etmek.
2
f(x)=x2−2xf(x) = x^2 - 2x fonksiyonunun [−3,3][-3, 3] aralığındaki sınırlarını ve tepe noktasını bulma
Fonksiyon x=1x=1 tepe noktasında minimum −1-1 değerini alır. Sol uç olan x=−3x=-3 noktasında 1515, sağ uç olan x=3x=3 noktasında ise 33 değerini alır. Görüntü kümesi [−1,15][-1, 15] aralığıdır.
İkinci dereceden fonksiyonun görüntü kümesindeki tam sayı değerlerinin sınırlarını belirleyerek kaç farklı tam sayı değeri alabileceğini bulmak.
3
Değer aralığındaki her tam sayı değeri için [−3,3][-3, 3] aralığına düşen gerçel kök sayısını hesaplama
k=−1k = -1 için 1 kök, k∈{0,1,2,3}k \in \{0, 1, 2, 3\} için 8 kök, k∈{4,5,...,15}k \in \{4, 5, ..., 15\} için 12 kök olmak üzere toplam 21 farklı gerçel kök (B kümesinin elemanı) bulunur.
Fonksiyonun her bir tam sayı değerini kaç kez aldığını aralık sınırlarına dikkat ederek saymak.
4
B ve A kümelerinin eleman sayıları arasındaki farkı bulma
21−7=1421 - 7 = 14
Soruda istenen fark değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Rasyonel ve gerçel sayılar kümelerinin eleman analizi, rasyonel kök teoremi uygulaması ve ikinci dereceden fonksiyonların görüntü kümesi üzerindeki tam sayı değerlerinin tespiti.
Soru 119Soru →

Üç basamaklı ABCABC doğal sayısının yüzler basamağındaki rakam 2 artırılıp, onlar basamağındaki rakam 5 azaltılarak üç basamaklı yeni bir sayı elde ediliyor. Elde edilen bu yeni sayının onlar ve birler basamağındaki rakamlar yer değiştirildiğinde oluşan üç basamaklı sayı, ilk ABCABC sayısından 213 fazla oluyor.

Buna göre, C−BC - B farkı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

C - B farkının değeri 2'dir.
Çözümleme adımları takip edildiğinde, yüzler basamağındaki 2 artış sayı değerini 200 artırır. Yeni sayının onlar ve birler basamağı yer değiştirdiğinde basamak değerleri sırasıyla 10C+B−510C + B - 5 olur. İlk sayının onlar ve birler basamağı değerleri toplamı 10B+C10B + C olduğundan, iki sayı arasındaki fark 195+9(C−B)=213195 + 9(C-B) = 213 denklemini verir. Buradan 9(C−B)=189(C-B) = 18 ve C−B=2C-B = 2 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk sayının basamak çözümlemesini yazalım.
ABC=100A+10B+CABC = 100A + 10B + C
Değişimleri matematiksel olarak ifade edebilmek için sayıları çözümlemeliyiz.
2
Yüzler basamağı 2 artırılan ve onlar basamağı 5 azaltılan sayının basamaklarını belirleyelim.
Yüzler basamağı: A+2A+2, Onlar basamağı: B−5B-5, Birler basamağı: CC
Yeni sayının rakamlarını elde etmek için belirtilen işlemleri basamaklara uygularız.
3
Belirlenen bu sayının onlar ve birler basamağını yer değiştirip çözümleyelim.
100(A+2)+10C+(B−5)=100A+B+10C+195100(A+2) + 10C + (B-5) = 100A + B + 10C + 195
Yeni sayının onlar basamağı CC, birler basamağı B−5B-5 olur ve bu sayı çözümlenir.
4
Oluşan son sayı ile ilk sayı arasındaki farkı 213'e eşitleyip denklemi çözelim.
195+9(C−B)=213  ⟹  9(C−B)=18  ⟹  C−B=2195 + 9(C - B) = 213 \implies 9(C - B) = 18 \implies C - B = 2
İki sayının fark denklemini kurarak aradığımız C−BC-B değerine ulaşırız.

Anahtar Kavram

Basamak analizi ve çözümleme yöntemiyle sayısal ifadeleri basamak değerlerine ayırma
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 120Soru →

Birer tam sayı olan aa, bb ve cc sayılarından biri pozitif, biri negatif, diğeri ise işaretsiz (nötr) bir sayıdır.

Bu sayılar için,
- cb⋅a>0c^b \cdot a > 0
- ca<0c^a < 0
- a−c=5a - c = 5
- a⋅c+b=−6a \cdot c + b = -6

eşitlik ve eşitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, a−c+(−c)a−cba^{-c} + (-c)^a - c^b ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

İstenen ifadenin değeri 16 olarak bulunur.
Verilen koşullardan b=0b = 0, a=3a = 3 ve c=−2c = -2 tam sayıları elde edilir. Bu değerler a−c+(−c)a−cba^{-c} + (-c)^a - c^b ifadesinde yerine yazıldığında 32+23−1=163^2 + 2^3 - 1 = 16 sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Nötr tam sayının belirlenmesi
b=0b = 0
Tam sayılarda işareti olmayan (nötr) tek sayı 00 olduğundan ve aa ile cc sıfır olamayacağından (sıfır olsalardı eşitsizlikler sağlanmazdı) b=0b = 0 olmalıdır.
2
aa ve cc sayılarının işaretlerinin belirlenmesi
a>0a > 0 ve c<0c < 0
cb⋅a>0c^b \cdot a > 0 eşitsizliğinde b=0b = 0 yazıldığında c0⋅a>0  ⟹  a>0c^0 \cdot a > 0 \implies a > 0 elde edilir. Sayılardan biri pozitif, biri negatif, biri nötr olduğundan aa pozitif ve cc negatif olmalıdır.
3
aa ve cc değerlerinin bulunması
a=3a = 3 ve c=−2c = -2
a⋅c=−6a \cdot c = -6 ve a−c=5a - c = 5 denklem sisteminin negatif/pozitif tam sayı çözümleri (3,−2)(3, -2) ve (2,−3)(2, -3)'tür. ca<0c^a < 0 eşitsizliğinde taban negatif olduğundan üssün tek sayı olması gerekir. Bu durumda a=3a = 3 (tek) ve c=−2c = -2 çözümü sağlanır.
4
İstenen ifadenin değerinin hesaplanması
16
a−c+(−c)a−cba^{-c} + (-c)^a - c^b ifadesinde değerler yerine yazıldığında 32+23−1=163^2 + 2^3 - 1 = 16 elde edilir.

Anahtar Kavram

Pozitif ve Negatif Sayılarda Üs, İşaret ve Nötr Eleman Kuralları
ÖncekiSayfa 6 / 35Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) | Examkin